View
278
Download
6
Category
Preview:
DESCRIPTION
Â
Citation preview
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
1
Voved
Matematikata kako nauka se pojavuva mnogu odamna. Kako {to ne mo`e da se najde
po~etokot na matematikata, toj se gubi nekade vo krajot na praistorijata, taka nemo`e
da i se sogleda nitu krajot.
Matematikata e kralica na naukite. Taa i slu`i na astronomijata i drugi
prirodni nauki, no sekoga{ nejze i prira|a prvoto mesto. Mnogu brzo se razviva i ima
golemo zna~ewe, pred se za osovremenuvaweto na samata matematika i op{to vo naukata,
osobeno vo kompjuterskite nauki. Bogata e so interesna sodr`ina i izu~uva mnogu
matemati~ki poimi, pravila i odnosi. So nea se zanimavale golem broj na fizi~ari,
matemati~ari i filozofi. Golemite misliteli so svojata upornost i trudoqubivost,
so svojata ostroumnost i intuicija, uspeale da ni otkrijat mnogu tajni na prirodata.
Vo matematikata i vo sekoja druga nauka od osobeno zna~ewe e razgleduvaweto na
sega{nosta vo vrska so minatoto, zatoa {to sega{nosta se razvila vo minatoto, a
idninata }e se razvie od sega{nosta. A toa e predizvik za mladite, pole na nivno idno
deluvawe.
Golem del od matemati~arite i sega i vo minatoto se inspirirale od umetnosta
na matematikata, ~esto bez da razmisluvaat za neposrednata primena, vodena,
edinstveno od ~uvstvo za simetrija, ednostavnost, voop{tenost i smisla za soodvetnost.
Drugi pak, od potrebite za razre{uvawe na razni problemi vo ostanatite nauki,
bile prinudeni da istra`uvaat vo matematikata i da se zanimavaat so nea. Eden od niv
bil i starogr~kiot filozof i matemati~ar Pitagora, koj e poznat po negovata teorema.
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
2
1. Pitagora i pitagorejcite
Od grupata sofisti se oddelila grupa filozpfi so osobeno interesirawe za
matematikata. Tie samite se narekuvale pitagorejci, vo ~est na nivmiot osnova~
Pitagora (580-500 godina pred n.e.), od ostrovot Samos, vo blizina na Milet,
najverojatno u~enik na miletskite filozofi.
Patuval niz celiot toga{en poznat svet, se zapoznal so razni u~ewa i obredi.
Okolu 530 godina prebegnal vo Ju`na Italija, begaj}i od tiraninot Polikrad, vo
gradot Kroton. Tuka se zdobil so najgolemo nau~no i filozofsko ime. Go napi{al i
ustavot na gradot. Osnoval religiozno, moralno i misti~no bratstvo so cel da se
usovar{uvaat znaewata, verata i moralot kako najdlaboki vrednosti za ~ovekot.
Samiot Pitagora si pridaval sebesi polubo`estven karakter, odel vo dolga bela
obleka, imal dolga kosa so zlatni lenti na nea.
Prv za sebe ka`al deka e filozof, taka sozdavaj}i go ovoj termin. Koga mu rekle
deka e znalec (sofist), toj odgovoril deka ne e toa, tuku prijatel i qubitel na
mudrosta. Vo Kroton ja osnoval Pitagorejskata {kola, koja go napravi negovoto ime
besmartno. Spored legendata, Pitagora umrel vo po`arot na sopstvenata {kola, {to go
podmetnale politi~ki i verski fanatici, koi ne se soglasuvale so ideite i
dejstvuvaweto na pitagorejcite. Po sebe ne ostavil pi{ani trudovi i zatoa te{ko e da
se odredi {to mu pripa|a nemu, a {to na negovite u~enaci i sledbenici. Poznato e deka
Pitagora imal golem broj na istomislenici, koi se zanimavale so filozofija,
matematika, astronomija i so muzika.
Matematikata i geometrijata gi smetale za osnovni orudija na znaeweto, se
zafatile so nea i ja unapredile. Pitagorejcite gi dovele vo nekoj vid korespondencija
geometriskite objekti i broevite, pa to~kata ja narekle "eden", linijata "dva",
ramninskite likovi "tri", a teloto "~etiri", spored najmaliot broj to~ki nu`ni za
opredeluvawe na sekoj od ovie ~etiri geometriski objekti. Obrazovani vo
matematikata pomislile deka nejzinite na~ela se na~ela na site ne{ta. Bidej}i
broevite me|u (matemati~kite na~ela) se prvi, se ~ini deka vo broevite tie gledale
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
3
mnogu sli~nosti so ne{tata {to su{testvuvaat i nastanuvaat. Pitagorejcite do{le do
potpolna apstrekcija na brojot. Broevite i brojnite odnosi ka`uvaat mnogu.Tie im
prethodat logi~ki na ne{tata pred ovie da postojat. Da se poznava ne{to, toa zna~i da
se znae negovit broj, brojniot odnos {to vladee vo toa ne{to.
Brojot e zakonitost na svetot {to se iska`uva so preporcii kako brojni odnosi.
Za niv sekoj broj e mno`estvo od edinici. Broevite gi delele na klasi: parni, neparni,
parni-parni, neparni-neparni, prosti i slo`eni, sovr{eni, prijatelski, triagolni,
~etiragolni, petagolni, itn. Pitagorejcite na broevite im davale misti~ni svojstva.
Smetale deka nekoi broevi zna~at sprovedlivost (9 i 4, nastanati so mno`ewe na
ednakvite mno`iteli 22 i 33 ), brakot go prestavuvale so brojot 5 (spojot na prviot
paren broj 2 so prviot neparen broj 3), i sl. Najva`ni bile broevite 1,2,3,4-koga }e se
soberat ja davaat 10 (desetkata), koja za niv imala posebno zna~ewe.
Najinteresni rezultati postignale vo prou~uvaweto na"triagolni broevi"(crt.1), koi
gi povarzuvale aritmetikata i geometrijata.
●
● ● ●
● ● ● ● ● ●
● 1, ● ● 3, ● ● 6, ● ● ● ● 10,. ..........
Crt.1
Na{iot termin kvadratni broevi poteknuva od pitagorejskata konstrukcija(crt.2):
● ● ● ●
● 1, ● ● 4, ● ● ● 9, ........
Crt.2
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
4
Samite figuri se mnogu postari. Nekoi od niv gi sretnuvame i na neolitska
keramika. No, pitagorejcite gi ispituvale nivnite svojstva i tuka go vnele svojot
numeri~ki mesticizam. Broevite stanale osnova na nivnata filozofija na vselenata.
Nastojuvale site odnosi da gi svedat na numeri~ki odnosi, poa|aj}i od pretpostavkata
deka se e broj. Za niv bil osobeno zna~aen odnosot na broevite. Vo taa smisla tie
razlikuvale aritmeti~ka (2b=a+c), geometriska( =ac), i harmoniska
proporcija(
=
).
Na pitagorejcite im bile poznati nekoi svojstva na pravilni mnoguagolnici i
pravilni poliedari. Tie poka`ale kako ramninata mo`e da se popolni so sistem na
ramnostrani triagolnici, kvadrati, ili pravilni {estagolnici, a prostorot so sistem
na kocki. Mo`no e pitagorejcite da znaele za pravilen tetraedar i dodekaedar.
Na Pitagora i pitagorejcite im se prepi{uvaat zaslugite za sistematsko
voveduvawe na dokazot vo geometrijata i izgradba na teorijata na proporcii i
sli~nost. Tie ja gradat geometrijata kako apstraktna nauka, ~ii vistini se izveduvaat
so pomo{ na dokazo i od mal broj pojdovni aksiomi. Pitagora e prv koj baral vo
geometrijata najnapred da se postavat postulati, a potoa so primena deduaktivno
razmisluvawe da se dojde do dokaz na tvrdeweto. Pred nego geometrijata se sostoela od
zbirka na pravila, nastanati empiriski, bez jasna slika za vrskata ne|u niv.
Pitagorejskite u~ewa ostanalo nekolku veka i ostavilo dlaboki tragi kako vo
filozofijata taka i vo matematikata i drugi nau~ni celi.
Pitagora otkril edno od najpoznatite matemati~ki pravila, nare~eno Pitagorova
teorema.
2. Istoriski razvoj Pitagorova teorema
Pitagorovata teorema niz sredniot vek se vikala "hekatomba". Poradi toa {to
koga ja otkril teoremata Pitagora prinesol vo `rtva na bogovite 100 bikovi
(hekatomba {to prevedeno od starogr~ki zna~i 100 bikovi).
Istorijata na teoremata ne zapo~nuva so Pitagora. Vo stariot Egipet (2000 do 3000
g.p.n.e.) od kade {to zapo~nuva istoriskiot razvoj na Pitagorovata teorema. Tuka e
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
5
interesna matemati~kata kniga ^u-pei. Vo taa kniga za Pitagorovata teorema se
ka`uva deka:
"Ako razlo`ime prav agol vrz vkrsteni pravi, vo linija srede kracite i
obrazlo`ime triagolnik so strani: osnova 3, visina 4 i sprotivna 5"
Zadadeno e ravenstvoto , bilo izvedeno od egip}anite okolu 2300 god.
p.n.e. Triagolnikot so strani 3, 4 i 5 go koristele drevnite Egip}ani pri premeruvawe
na zemji{teto, za {to im bila potrebna konstruacija na praf agol. Tie zemale ja`e i so
pomo{ na jazli ozna~uvale na nego dvanaeset ednakvi delovi, a potoa go obrazuvale
triagolnikot so strani 3,4,5. Teoremata im bila poznata na Vaviloncite(okolu 1200
god.p.n.e.) i na Kinezite (okolu 1000 god.p.n.e.) vo drevna Indija.
3. Pitagorova teorema
Edna od najstarite i najva`nite teoremi vo geometrijata i vo matematikata
voop{to e teoremata na Pitagora. Taa ja postavuva vrskata me}u dol`inite na
pravoagolen triagolnik.
AC
B
a
c
b
a
b
Crt.3
Pravoagolen triagolnik se narekuva triagolnikot (crt.3) koj ima eden prav agol
(t.e. ednakov na 90o ), koj go obrazuvaat katetite (se nao|a vo spojot na dvete kateti), a
hipotenuzata se nao|a sproti praviot agol. Vo pravoagolniot triagolnik najdolga
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
6
strana se vika hipotenuza ,a drugite dve se narekuvaat kateti i drugite agli se ostri
agli za koi va`i relacijata 090 .
Pravoagolniot triagolnik so strani 3, 4, 5 koj go koristele drevnite Egip}ani
pri premeruvawe na zemji{teto, za {to im bila potrebna konstrukcija na prav agol.
Denes ovoj triagolnik e poznat kako egipetski triagolnik. Dodeka triagolnikot so
strani 5, 12, 13 se vika indiski triagolnik.
Za pravoagolniot triagolnik so strani 3, 4, 5 va`i ravenstvoto: 222 543
pri proverka dobivame deka 9+16=25.
16 a
25
9
c
A
B
C b
Crt.4
Na stranite na egipetskiot triagolnik (crt.4) konstruriranite kvadrati ja
doka`uvaat proverkata deka 222 543 [to zna~i deka zbirot od plo{tinite na
kvadratite i{rafirani so kosi liniie ednakva na plo{tinata na kvadratot
i{rafiran so to~ki, t.e plo{tinite na kvadratot konstruiran nad hipotenuzata e
ednakov na zbirot od plo{tinite na kvadratite konstruirani nad katetite.
Ova vrska me|u stranite va`i za sekoj pravoagolen triagolnik, koja mu se
prepi{uva na starogr~kiot matemati~ar Pitagora. Vo negova ~est teoremata ja
narekuvame Pitagorova teorema koja glasi:
Vo sekoj pravoagolen triagolnik, kvadratot na hipotenuzata e ednakov na
zbirot na kvadratite na katetite.
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
7
Vo pravoagolen triagolnik so kateti a i b i hipotenuza c Pitagorovata teorema ja
izrazuvame so formulata:
Od ovaa ravenstvo sleduvaat i ravenstvata so koi mo`eme da ja presmetame i
nepoznatata kateta ako ni e dadena hipotenuzata i drugata kateta , a tie se:
222 bca i 222 acb
Od ovie tri ravenstva sleduvaat ravenstvata:
22 bca → i 22 acb
Va`i i obratnata teorema na Pitagora: Ako vo eden triagolnik kvadratot na
najdolgata strana e ednakov na zbirot od kvadratite na drugite strani, toga{ toj
triagolnik e pravoagolen.
4. Dokazi na Pitagorovata teorema
To~no ne se znae kako Pitagora ja doka`al teoremata no postojat podatoci deka 500
pred nego u~eni vo Kina imale nekakov dokaz. Poradi golemoto zna~ewe na teo
Pitagorovata teorema se izvr{eni mnogu dokazalstva (pronajdeni se preku 350).
Otoga{ niz vekovite mnogu matemati~ari se zanimavale so dokazot na teoremata i
sporet edno matemati~ko spisanie, kako sto spomenavme pronajdeni se preku 350 dokazi.
]e dademe nekoi od niv:
4.1.Dokazot na Pitagorevata teorema od Indiskiot matemati~ar Bhaskara( 1114 )
a
c
c
c
c
a-b
a-b
a-b
a-b
Crt.5
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
8
Na crt.5 e nacrtan pravoagolen triagolnik ABC, potoa kvadratot so strana s.
Plo{tinata na kvadratit e . Toj e sostaven od 4 pravoagolni triagolnici so kateti a
i b i eden kvadrat so strana a-b. Spored toa:
222222 22)(2
4 bababaabbaab
c
4.2.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
Crt.6
Na crt.6 nacrtan e prvo proizvolen pravoagolen triagolnik so kateti a i b i
hipotenuzata c, a potoa e nacrtan kvadratot so strana a+b. Spored ovoj crte` utvrdeno
e deka plo{tinata na kvadratot so strana a+b e ednakva na zbirot od plo{tinite na
~etirite pravoagolni triagolnici , plus plo{tinata na kvadratot so strana c, t.e
22222222 222
4)( cbacabbabacab
ba . Spored toa se zaklu~uva
deka e doka`ana teoremata. .
4.3.Sledniov dokaz se misli deka e od Pitagora
Na stranite na proizvolen pravoagolen triagolnik ABC (crt.7) se konstruirani
kvadratite CBIJ, ACMN i ABKL. Za da ja doka`eme Pitagorovata teorema treba da se
doka`e ABKLACMNCBIL PPP
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
9
A B
C
K L
M
N
I
J
Q
ab
c
P
Crt.7
Dokaz: Za taa cel crtame ABCQ . Potoa doka`uvame deka APKQACMN PP . Za taa cel gi
crtame otse~kite CK i BN .
ABNABMNABN PPbNMAN
P 222
2
. ACKABN spored priznakot SAS.
ACKAPKQ
APKQ
ACK PPPAPAK
P 222
. Od skladnosta na triagolnicite sleduva deka
APKQABMN PP .Sli~no, ABIBIJCABI PPaIJBI
P 222
2
. BCLABI spored priznakot
SAS. BCLBPLQ
BPLQ
BCL PPPBPBL
P 222
. Od skladnosta na triagolnicite sleduva deka
BPLQBCIJ PP Od prethodnoto sleduva deka BCIJABMNABIACKAPLKBPLQ PPPPPP 22 , t.e.
222 bac so {to e doka`ana Pitagorovata teorema.
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
10
4.4.
a
b
c
A
F
C
12
3
N
5
B
4
M
D
E
a
b
c
A
B
C
1
2
3
4
5
S
Crt.8 Crt.9
Naredniov dokaz se izveduva so dadenite crte`i (crt.8 i crt.9) i so re`awe, pri
{to utvrduvame deka zbirot od plo{tinite nad kvadratite nad katetite e ednakov na
plo{tinata na kvadratot nad hipotenuzata.
Na crt.8 ( ABNDABFN ,|| , a AM e prodol`enie na stranata AE).
Na nacrtaniot proizvolen pravoagolen triagolnik (crt.9) mu se konstruirani
kvadratite nad negovite strani. Odreden e i presekot Y na dijagonalite na kvadratot
nad edna od katetite, niz taa to~ka povlekuvame prava {to }e bide pararelna so
hipotenuzata i prava {to }e bide normalna na hipotenuzata. Taka gi dobivame delovite
1, 2, 3, 4. Od koi i od kvadratot so stranata b mo`e da sostavime kvadrat so strana s.
5.Sli~nost vo pravoagolen triagolnik. Evklidovi teoremi
Vo sekojdnevniot `ivot, a osobeno vo tehnikata, mnogu ~esto sre}avame predmeti
{to imaat ista forma i ista ili razli~na golemina. Poradi toa, mo{ne va`ni se
svojstvata na geometriskite figuri {to imaat ista forma i koi se koristat za
re{avawe problemi vo praktika.
Za dve geometriski figuri {to imaat sosema ista forma, obi~no se veli deka se
sli~ni, pritoa, tie mo`e da bidat razli~ni po golemina, mo`e da bidat i ednakvi
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
11
5.1. Sli~ni triagolnici
Za dva triagolnici se veli deka se sli~ni, ako postoi biekcija me|u nivnite
temiwa, taka {to:
1.soodvetnite agli da im se ednakvi;
2.soodvetnite strani da im se proporcionalni.
a
p
h
q
AB
C
a
c
b
b
ba
C1
Crt.10
Na pravoagolniot triagolnik ABC (crt.10) spu{tena e visinata 1CC kon
hipotenuzata AB. Taa go deli triagolnikot na dva pravoagolni triagolnici ACC1 i
CBC1. Od sli~nosta na pravoagolnite triagolnici ABC, ACC1 i CBC1 se dobivaat nekoi
interesni vrski me|u stranite, visinata i otse~kite AC1 i BC1 na hipotenuzata AB. Za
otse~kata AC1 }e velime deka e proekcija na katetata AC vrs hipotenuzata, a za
otse~kata BC1 – proekcija na katetata BC vrs hipotenuzata.
Od sli~nosta na triagolnicite ABC i CBC1 sporet crte`ot sleduva deka:
p:a=a:c
a, od sli~nosta na triagolnicite ABC i ACC1 :
q:b=b:c
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
12
Vnatre{nite ~lenovi na proporciite se ednakvi. Tie proporcii mo`eme da gi
zapi{ime vo vid na slednive ravenstva:
cpa 2 i cqb 2
so koi se iska`uva teoremata:
Sekoja od katetite vo eden pravoagolen triagolnik e geometriska sredina od
hipotenuzata i proekcija na taa kateta vrz hipotenuzata.
Za visinata i proekciite i na katetite, va`i vrskata , so koja se iska`uva
teoremata:
Visinata spu{tena kon hipotenuzata vo eden pravoagolen triagolnik e
geometriskoa sredina na proekcijata od katetite vrz hipotenuzata.
Dokaz: Od sli~nosta na triagolnicite ACC1 i CBC1, sleduva deka od sli~nosta na
triagolnicite ABC i ACC1 :
p:h=h:q
od kade se dobiva ravenstvoto pqh 2 bidej}i vnatre{nite ~lenovi se ednakvi.
Vrskite cpa 2 , cqb 2 i pqh 2 gi doka`al gr~kiot matemati~ar Evklild
(365-310 g.p..e) i poradi nego teoremite se vikaat u{te Evklidovi teoremi.
5.2. Dokaz na Pitagorovata teorema so pomo{ na Evklidovite formuli
Vrskata me}u sekoja kateta so hipotenuzata i soodvetnata proekcija, t.e vrskata
spored (Evklidovite teoremi). Zbirot od levata i zbirot od desnata strana e sporedena
so slednive dokazi:
1. ABCC 1 (crt.10) →visinata na triagolnikot e normalna na hipotenuzata
2. cpa 2 i cqb 2 →katetata e geometriska sredina od hipotenuzata i soodvetnata
proekcija.
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
13
3. cqcpba 22 →svojstno na sobirawe ravenstva
4. )(22 qpcba distrubutivnost na mno`ewe vo odnos na sobirawe
5. ccba 22 t.e principot na zamena cqp i sleduva ravenstvoto t.e Pitagorovata
teorema .
Od ovaa ravenstvo so primeri }e doka`ime deka tvrdeweto na Pitagora e to~no i deka
od Pitagorovata teorema mo`eme da gi izrazime i katetite, ako imame edna od niv i
hipotenuzata lesno mo`eme da ja najdeme drugata kateta.
Primer 1: So primena na Pitegorova teorema odredi ja hipotenuzata na pravoagolniot
triagolnik so kateti cm i cm .
Re{enie: 222 cba 25 + 144 = 13169 c
t.e hopotenuzata s=13 cm
Primer 2: Odredi ja ednata kateta na pravoagolen triagolnik, ako se dadeni
hipotenuzata i drugata kateta cm ; s=25 cm
Re{enie:
= =7 t.e drugata kateta e cm
6.Pitagorovi trojki
Interesno e pra{aweto za trojkite prirodni broevi a, b, c {to go zadovoluvaat
ravenstvoto t.e trojkite prirodni broevi {to se strani na pravoagolen
triagolnik. Takvi trojki se: 3, 4, 5 ; 6, 8, 10 ; 5, 12, 13 ; i drugi. Ovie se pitagorovi
trojki. ]e navedeme nekolku izrazi so koi mo`e da se dobijat pitagorovite trojki:
1. 2n+1, 2 +2n, 2 +2n+1
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
14
Za sekoj priroden broj n }e se dobie po edna pitagorova trojka. Se smeta deka ovie
izrazi gi otkril Pitagora(no sepak, toj gi zapi{al so drugi simboli).
Za proverka, treba samo da se doka`e ravenstvoto
e identitet .
Primer 3: Najdi gi pitagorovite trojki na brojot 7.
22222172727272172
; 225+12544=12769; 12769=12769 t.e 15, 112, 113 pitagorovi trojki.
2. 2mn, za sekoj m i n pri {to m > n
3. n,
;
za sekoj neparen broj {to e pogolem od 2.
4. n,
-1,
+1 za sekoj broj pogolem od 3.
7. Primena na pitagorova teorema
Pitagirovata teorema nao|a primena kaj site figuri kaj koi mo`e da se formira
pravoagolen triagolnik. Takvi kako {to se: pravoagolnik, kvadrat, ramnokrak i
ramnostran triagolnik i kaj drugi pravilni i nepravilni mnoguagolnici, isto taka
Pitagorovata teorema ja koristime i pri konstrukcija na otse~ki ~ii meren broj na
dol`enata e iracionalen broj.
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
15
7.1.Primena na Pitagorova teorema kaj pravoagolnik
A
C
B
D
d
a
a
bb
Crt.11
Na nacrtaniot pravoagolnik e povle~ena negovata dijagonalata d,(crt.11) kade {to
so nejzino povlekuvawe dobivame dva skladni pravoagolni triagolnici ∆ABC i ∆ACD.
Kaj dvata triagolnici diagonalata d prestavuva hipotenuza a stranite a i b
kateti. So primena na Pitagorovata teorema mo`eme da ja najdime dol`inata na
dijagonalata ako gi znaeme stranite na pravoagolnikot, t.e ravenstvoto za nao|awe na
dijagonalata e; Isto taka mo`eme da ja najdeme i ednata strana ako ni e
poznata dijagonalata i drugata strana t.e ravenstvata: ;
7.2. Primena na Pitagorova teorema kaj kvadratot
A
C
B
D
d
a
a
aa
Crt.12
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
16
Na nacartaniot kvadrat povle~ena e dijaginalata AS (crt.12) na kvadratot kade
{to go deli na dva pravoagolni triagolnici ∆ABC i ∆ACD. So primenana teoremata
mo`eme da ja izrazime diagonalata t.e ravenstvoto e:
. = = t.e =
Isto taka mo`eme da ja izrazime i stranata ako e poznata dijagonalata t.e
ravenstvoto za stranata e: =
7.3.Primena na Pitagorova teorema kaj ramnokrak i ramnostran triagolnik
A
C
B
C1
2
a a
h
b b
A
C
B
C1
2
a a
h
a a
Crt.13 Crt.14
Na crt.13 e povle~ena visinata od temeto S na ramnokrakiot triagolnik ∆ABC.
Taa go deli na dva pravoagolni triagolnici ACC1 i BCC1. Otuka mo`eme da ja
zapi{ime Pitagorovata teorema za triagolnikot ABC kade hipotenuzata e krakot a
kateti se visinata i polovina od osnovata t.e ravenstvoto e: 2
2
2
2h
ab
.
Isto taka mo`eme da gi najdime visinata i stranite na ramnokrakiot triagolnik t.e
ravenstvata se:
2
22
2
abh ,
222 hba .
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
17
[to zna~i ako gi znaeme dvete strani mo`eme da ja najdime visinata na
triagolnikot, a ako ja znaeme visinata i krakot na ramnokrakiot triagolnik mo`eme
da ja presmetame osnovata.
Primer 4: Da se najdi visinata na ramnokrak triagolnik so dadeni negovata osnova i
krakot a=18 ; b=41 ; h=?
Re{enie:
od kade {to =
= =1681-81=1600 ;
= =40 t.e h=40
Od kade {to h prestavuva hipotenuza na ∆ ABC.
Primer 5: Da se presmeta stranata na ramnostraniot triagolnik so plo{tina 43,25 cm2.
Re{enie: Plo{tinata na ramnostran triagolnik se presmetuva so formulata
4
3
2
2
3
2
2
2P
2
22
2
a
aaaaa
aha
. Od tuka stranata a se presmetuva
cm76993
73124434
3
34,
,,Pa
.
7.4.Primena na Pitagorova teorema kaj romb
A B
C
S
2
2d2
1d
a
D
Crt.15
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
18
Na crt.15 e nacrtan e romb i se povle~eni negovite dijagonali. Dijagonalite kaj
rombot se zaemno normalni. Tie obrazuvaat ~etiri pravoagolni triagolnici. Na
dadeniot crte` pravoagolniot ∆ ABS e so hipotenuza a i kateti 2
1di
2
2d .
Primer 6: Da se presmeta plo{tinata na rombot so strana a=10cm i dijagonala d1=12cm
.
Re{enie: Za da ja opredelime plo{tinata potrebno e prethodno da ja opredelime i
drugata dijagonala. Od pravoagolniot triagolnik OAV (crt 8)
2
2
2
122 cm962
1216Pcmcm836100
22
toa ..Spored16 d
da
d
Primer 7: Da se najde perimetarot L na rombot ABCD so dijagonali 1d =70cm ;
2d =24 cm
Re{enie: 2
1d=35 cm i
2
2d=12 cm
Parimetarot na rombot e L=4a, pa treba da ja najdeme stranata a. od ∆ ABC so primena
na Pitagirova teorema imame:
cmLa 148374371369144122512352
d
2
d 22
2
2
2
1
toa .Spored
7.5.Primena na Pitagorova teorema za pretstavuvawe na iracionalen broj na
brojna oska
Na crt.16 e poka`ana konstrukcijata na nekoi iracionalni broevi na brojna oska.
Postapkata za nivno konstruirawe e slednava:
Za konstrukcija na 2 se konstruira pravoagolen triagolnik so kateti so
dol`ina edna edinica, pa spored Pitagorovata teorema hipotenuzata e ednakva na 2 .
So rotacija na to~kata V vrz pozitivnata nasoka na h-oskata se nao|a 2 na brojnata
oska. A, za konstrukcijata na 3 na d hipotenuzata na triagolnikot OAV se konstruira
Pitagorova teorema
__________________________________________________________________________________
19
pravoagolen triagolni so kateti 1 i 2 , pa spored Pitagorovata teorema hipotenuzta
OS na triagolnikot OVS e ednakva na 3 . So rotacija na to~kata S vrz pozitivnata
nasoka na h-oskata se nao|a 3 na brojnata oska.
1
1
1
O
B
A
C
1
1
2
2
-1
-1
2
2 3
3
Crt.16
Pitagorovata teorema dosta mnogu se koristi i pri re{avawe na prakti~ni
problemi vo sekojdnevniot `ivot.
Primer 8: Skala so dol`ina 7,4m e nasloneta na yidot taka {to dolniot kraj na skalata
e odale~en 2,4m od yidot. Do koja visina dostignala skalata?
Re{enie: Baranata visina h e katetata na triagolnikot {to go obrazuva skalata pa
=7 t.e m
Baranata visina do koja dostignala skalata obrazuvaj}i pravoagolen triagolnik e 7m.
Recommended