Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

1

Voved

Matematikata kako nauka se pojavuva mnogu odamna. Kako {to ne mo`e da se najde

po~etokot na matematikata, toj se gubi nekade vo krajot na praistorijata, taka nemo`e

da i se sogleda nitu krajot.

Matematikata e kralica na naukite. Taa i slu`i na astronomijata i drugi

prirodni nauki, no sekoga{ nejze i prira|a prvoto mesto. Mnogu brzo se razviva i ima

golemo zna~ewe, pred se za osovremenuvaweto na samata matematika i op{to vo naukata,

osobeno vo kompjuterskite nauki. Bogata e so interesna sodr`ina i izu~uva mnogu

matemati~ki poimi, pravila i odnosi. So nea se zanimavale golem broj na fizi~ari,

matemati~ari i filozofi. Golemite misliteli so svojata upornost i trudoqubivost,

so svojata ostroumnost i intuicija, uspeale da ni otkrijat mnogu tajni na prirodata.

Vo matematikata i vo sekoja druga nauka od osobeno zna~ewe e razgleduvaweto na

sega{nosta vo vrska so minatoto, zatoa {to sega{nosta se razvila vo minatoto, a

idninata }e se razvie od sega{nosta. A toa e predizvik za mladite, pole na nivno idno

deluvawe.

Golem del od matemati~arite i sega i vo minatoto se inspirirale od umetnosta

na matematikata, ~esto bez da razmisluvaat za neposrednata primena, vodena,

edinstveno od ~uvstvo za simetrija, ednostavnost, voop{tenost i smisla za soodvetnost.

Drugi pak, od potrebite za razre{uvawe na razni problemi vo ostanatite nauki,

bile prinudeni da istra`uvaat vo matematikata i da se zanimavaat so nea. Eden od niv

bil i starogr~kiot filozof i matemati~ar Pitagora, koj e poznat po negovata teorema.

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

2

1. Pitagora i pitagorejcite

Od grupata sofisti se oddelila grupa filozpfi so osobeno interesirawe za

matematikata. Tie samite se narekuvale pitagorejci, vo ~est na nivmiot osnova~

Pitagora (580-500 godina pred n.e.), od ostrovot Samos, vo blizina na Milet,

najverojatno u~enik na miletskite filozofi.

Patuval niz celiot toga{en poznat svet, se zapoznal so razni u~ewa i obredi.

Okolu 530 godina prebegnal vo Ju`na Italija, begaj}i od tiraninot Polikrad, vo

gradot Kroton. Tuka se zdobil so najgolemo nau~no i filozofsko ime. Go napi{al i

ustavot na gradot. Osnoval religiozno, moralno i misti~no bratstvo so cel da se

usovar{uvaat znaewata, verata i moralot kako najdlaboki vrednosti za ~ovekot.

Samiot Pitagora si pridaval sebesi polubo`estven karakter, odel vo dolga bela

obleka, imal dolga kosa so zlatni lenti na nea.

Prv za sebe ka`al deka e filozof, taka sozdavaj}i go ovoj termin. Koga mu rekle

deka e znalec (sofist), toj odgovoril deka ne e toa, tuku prijatel i qubitel na

mudrosta. Vo Kroton ja osnoval Pitagorejskata {kola, koja go napravi negovoto ime

besmartno. Spored legendata, Pitagora umrel vo po`arot na sopstvenata {kola, {to go

podmetnale politi~ki i verski fanatici, koi ne se soglasuvale so ideite i

dejstvuvaweto na pitagorejcite. Po sebe ne ostavil pi{ani trudovi i zatoa te{ko e da

se odredi {to mu pripa|a nemu, a {to na negovite u~enaci i sledbenici. Poznato e deka

Pitagora imal golem broj na istomislenici, koi se zanimavale so filozofija,

matematika, astronomija i so muzika.

Matematikata i geometrijata gi smetale za osnovni orudija na znaeweto, se

zafatile so nea i ja unapredile. Pitagorejcite gi dovele vo nekoj vid korespondencija

geometriskite objekti i broevite, pa to~kata ja narekle "eden", linijata "dva",

ramninskite likovi "tri", a teloto "~etiri", spored najmaliot broj to~ki nu`ni za

opredeluvawe na sekoj od ovie ~etiri geometriski objekti. Obrazovani vo

matematikata pomislile deka nejzinite na~ela se na~ela na site ne{ta. Bidej}i

broevite me|u (matemati~kite na~ela) se prvi, se ~ini deka vo broevite tie gledale

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

3

mnogu sli~nosti so ne{tata {to su{testvuvaat i nastanuvaat. Pitagorejcite do{le do

potpolna apstrekcija na brojot. Broevite i brojnite odnosi ka`uvaat mnogu.Tie im

prethodat logi~ki na ne{tata pred ovie da postojat. Da se poznava ne{to, toa zna~i da

se znae negovit broj, brojniot odnos {to vladee vo toa ne{to.

Brojot e zakonitost na svetot {to se iska`uva so preporcii kako brojni odnosi.

Za niv sekoj broj e mno`estvo od edinici. Broevite gi delele na klasi: parni, neparni,

parni-parni, neparni-neparni, prosti i slo`eni, sovr{eni, prijatelski, triagolni,

~etiragolni, petagolni, itn. Pitagorejcite na broevite im davale misti~ni svojstva.

Smetale deka nekoi broevi zna~at sprovedlivost (9 i 4, nastanati so mno`ewe na

ednakvite mno`iteli 22 i 33 ), brakot go prestavuvale so brojot 5 (spojot na prviot

paren broj 2 so prviot neparen broj 3), i sl. Najva`ni bile broevite 1,2,3,4-koga }e se

soberat ja davaat 10 (desetkata), koja za niv imala posebno zna~ewe.

Najinteresni rezultati postignale vo prou~uvaweto na"triagolni broevi"(crt.1), koi

gi povarzuvale aritmetikata i geometrijata.

●

● ● ●

● ● ● ● ● ●

● 1, ● ● 3, ● ● 6, ● ● ● ● 10,. ..........

Crt.1

Na{iot termin kvadratni broevi poteknuva od pitagorejskata konstrukcija(crt.2):

● ● ● ●

● 1, ● ● 4, ● ● ● 9, ........

Crt.2

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

4

Samite figuri se mnogu postari. Nekoi od niv gi sretnuvame i na neolitska

keramika. No, pitagorejcite gi ispituvale nivnite svojstva i tuka go vnele svojot

numeri~ki mesticizam. Broevite stanale osnova na nivnata filozofija na vselenata.

Nastojuvale site odnosi da gi svedat na numeri~ki odnosi, poa|aj}i od pretpostavkata

deka se e broj. Za niv bil osobeno zna~aen odnosot na broevite. Vo taa smisla tie

razlikuvale aritmeti~ka (2b=a+c), geometriska( =ac), i harmoniska

proporcija(

=

).

Na pitagorejcite im bile poznati nekoi svojstva na pravilni mnoguagolnici i

pravilni poliedari. Tie poka`ale kako ramninata mo`e da se popolni so sistem na

ramnostrani triagolnici, kvadrati, ili pravilni {estagolnici, a prostorot so sistem

na kocki. Mo`no e pitagorejcite da znaele za pravilen tetraedar i dodekaedar.

Na Pitagora i pitagorejcite im se prepi{uvaat zaslugite za sistematsko

voveduvawe na dokazot vo geometrijata i izgradba na teorijata na proporcii i

sli~nost. Tie ja gradat geometrijata kako apstraktna nauka, ~ii vistini se izveduvaat

so pomo{ na dokazo i od mal broj pojdovni aksiomi. Pitagora e prv koj baral vo

geometrijata najnapred da se postavat postulati, a potoa so primena deduaktivno

razmisluvawe da se dojde do dokaz na tvrdeweto. Pred nego geometrijata se sostoela od

zbirka na pravila, nastanati empiriski, bez jasna slika za vrskata ne|u niv.

Pitagorejskite u~ewa ostanalo nekolku veka i ostavilo dlaboki tragi kako vo

filozofijata taka i vo matematikata i drugi nau~ni celi.

Pitagora otkril edno od najpoznatite matemati~ki pravila, nare~eno Pitagorova

teorema.

2. Istoriski razvoj Pitagorova teorema

Pitagorovata teorema niz sredniot vek se vikala "hekatomba". Poradi toa {to

koga ja otkril teoremata Pitagora prinesol vo `rtva na bogovite 100 bikovi

(hekatomba {to prevedeno od starogr~ki zna~i 100 bikovi).

Istorijata na teoremata ne zapo~nuva so Pitagora. Vo stariot Egipet (2000 do 3000

g.p.n.e.) od kade {to zapo~nuva istoriskiot razvoj na Pitagorovata teorema. Tuka e

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

5

interesna matemati~kata kniga ^u-pei. Vo taa kniga za Pitagorovata teorema se

ka`uva deka:

"Ako razlo`ime prav agol vrz vkrsteni pravi, vo linija srede kracite i

obrazlo`ime triagolnik so strani: osnova 3, visina 4 i sprotivna 5"

Zadadeno e ravenstvoto , bilo izvedeno od egip}anite okolu 2300 god.

p.n.e. Triagolnikot so strani 3, 4 i 5 go koristele drevnite Egip}ani pri premeruvawe

na zemji{teto, za {to im bila potrebna konstruacija na praf agol. Tie zemale ja`e i so

pomo{ na jazli ozna~uvale na nego dvanaeset ednakvi delovi, a potoa go obrazuvale

triagolnikot so strani 3,4,5. Teoremata im bila poznata na Vaviloncite(okolu 1200

god.p.n.e.) i na Kinezite (okolu 1000 god.p.n.e.) vo drevna Indija.

3. Pitagorova teorema

Edna od najstarite i najva`nite teoremi vo geometrijata i vo matematikata

voop{to e teoremata na Pitagora. Taa ja postavuva vrskata me}u dol`inite na

pravoagolen triagolnik.

AC

B

a

c

b

a

b

Crt.3

Pravoagolen triagolnik se narekuva triagolnikot (crt.3) koj ima eden prav agol

(t.e. ednakov na 90o ), koj go obrazuvaat katetite (se nao|a vo spojot na dvete kateti), a

hipotenuzata se nao|a sproti praviot agol. Vo pravoagolniot triagolnik najdolga

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

6

strana se vika hipotenuza ,a drugite dve se narekuvaat kateti i drugite agli se ostri

agli za koi va`i relacijata 090 .

Pravoagolniot triagolnik so strani 3, 4, 5 koj go koristele drevnite Egip}ani

pri premeruvawe na zemji{teto, za {to im bila potrebna konstrukcija na prav agol.

Denes ovoj triagolnik e poznat kako egipetski triagolnik. Dodeka triagolnikot so

strani 5, 12, 13 se vika indiski triagolnik.

Za pravoagolniot triagolnik so strani 3, 4, 5 va`i ravenstvoto: 222 543

pri proverka dobivame deka 9+16=25.

16 a

25

9

c

A

B

C b

Crt.4

Na stranite na egipetskiot triagolnik (crt.4) konstruriranite kvadrati ja

doka`uvaat proverkata deka 222 543 [to zna~i deka zbirot od plo{tinite na

kvadratite i{rafirani so kosi liniie ednakva na plo{tinata na kvadratot

i{rafiran so to~ki, t.e plo{tinite na kvadratot konstruiran nad hipotenuzata e

ednakov na zbirot od plo{tinite na kvadratite konstruirani nad katetite.

Ova vrska me|u stranite va`i za sekoj pravoagolen triagolnik, koja mu se

prepi{uva na starogr~kiot matemati~ar Pitagora. Vo negova ~est teoremata ja

narekuvame Pitagorova teorema koja glasi:

Vo sekoj pravoagolen triagolnik, kvadratot na hipotenuzata e ednakov na

zbirot na kvadratite na katetite.

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

7

Vo pravoagolen triagolnik so kateti a i b i hipotenuza c Pitagorovata teorema ja

izrazuvame so formulata:

Od ovaa ravenstvo sleduvaat i ravenstvata so koi mo`eme da ja presmetame i

nepoznatata kateta ako ni e dadena hipotenuzata i drugata kateta , a tie se:

222 bca i 222 acb

Od ovie tri ravenstva sleduvaat ravenstvata:

22 bca → i 22 acb

Va`i i obratnata teorema na Pitagora: Ako vo eden triagolnik kvadratot na

najdolgata strana e ednakov na zbirot od kvadratite na drugite strani, toga{ toj

triagolnik e pravoagolen.

4. Dokazi na Pitagorovata teorema

To~no ne se znae kako Pitagora ja doka`al teoremata no postojat podatoci deka 500

pred nego u~eni vo Kina imale nekakov dokaz. Poradi golemoto zna~ewe na teo

Pitagorovata teorema se izvr{eni mnogu dokazalstva (pronajdeni se preku 350).

Otoga{ niz vekovite mnogu matemati~ari se zanimavale so dokazot na teoremata i

sporet edno matemati~ko spisanie, kako sto spomenavme pronajdeni se preku 350 dokazi.

]e dademe nekoi od niv:

4.1.Dokazot na Pitagorevata teorema od Indiskiot matemati~ar Bhaskara( 1114 )

a

c

c

c

c

a-b

a-b

a-b

a-b

Crt.5

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

8

Na crt.5 e nacrtan pravoagolen triagolnik ABC, potoa kvadratot so strana s.

Plo{tinata na kvadratit e . Toj e sostaven od 4 pravoagolni triagolnici so kateti a

i b i eden kvadrat so strana a-b. Spored toa:

222222 22)(2

4 bababaabbaab

c

4.2.

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

Crt.6

Na crt.6 nacrtan e prvo proizvolen pravoagolen triagolnik so kateti a i b i

hipotenuzata c, a potoa e nacrtan kvadratot so strana a+b. Spored ovoj crte` utvrdeno

e deka plo{tinata na kvadratot so strana a+b e ednakva na zbirot od plo{tinite na

~etirite pravoagolni triagolnici , plus plo{tinata na kvadratot so strana c, t.e

22222222 222

4)( cbacabbabacab

ba . Spored toa se zaklu~uva

deka e doka`ana teoremata. .

4.3.Sledniov dokaz se misli deka e od Pitagora

Na stranite na proizvolen pravoagolen triagolnik ABC (crt.7) se konstruirani

kvadratite CBIJ, ACMN i ABKL. Za da ja doka`eme Pitagorovata teorema treba da se

doka`e ABKLACMNCBIL PPP

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

9

A B

C

K L

M

N

I

J

Q

ab

c

P

Crt.7

Dokaz: Za taa cel crtame ABCQ . Potoa doka`uvame deka APKQACMN PP . Za taa cel gi

crtame otse~kite CK i BN .

ABNABMNABN PPbNMAN

P 222

2

. ACKABN spored priznakot SAS.

ACKAPKQ

APKQ

ACK PPPAPAK

P 222

. Od skladnosta na triagolnicite sleduva deka

APKQABMN PP .Sli~no, ABIBIJCABI PPaIJBI

P 222

2

. BCLABI spored priznakot

SAS. BCLBPLQ

BPLQ

BCL PPPBPBL

P 222

. Od skladnosta na triagolnicite sleduva deka

BPLQBCIJ PP Od prethodnoto sleduva deka BCIJABMNABIACKAPLKBPLQ PPPPPP 22 , t.e.

222 bac so {to e doka`ana Pitagorovata teorema.

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

10

4.4.

a

b

c

A

F

C

12

3

N

5

B

4

M

D

E

a

b

c

A

B

C

1

2

3

4

5

S

Crt.8 Crt.9

Naredniov dokaz se izveduva so dadenite crte`i (crt.8 i crt.9) i so re`awe, pri

{to utvrduvame deka zbirot od plo{tinite nad kvadratite nad katetite e ednakov na

plo{tinata na kvadratot nad hipotenuzata.

Na crt.8 ( ABNDABFN ,|| , a AM e prodol`enie na stranata AE).

Na nacrtaniot proizvolen pravoagolen triagolnik (crt.9) mu se konstruirani

kvadratite nad negovite strani. Odreden e i presekot Y na dijagonalite na kvadratot

nad edna od katetite, niz taa to~ka povlekuvame prava {to }e bide pararelna so

hipotenuzata i prava {to }e bide normalna na hipotenuzata. Taka gi dobivame delovite

1, 2, 3, 4. Od koi i od kvadratot so stranata b mo`e da sostavime kvadrat so strana s.

5.Sli~nost vo pravoagolen triagolnik. Evklidovi teoremi

Vo sekojdnevniot `ivot, a osobeno vo tehnikata, mnogu ~esto sre}avame predmeti

{to imaat ista forma i ista ili razli~na golemina. Poradi toa, mo{ne va`ni se

svojstvata na geometriskite figuri {to imaat ista forma i koi se koristat za

re{avawe problemi vo praktika.

Za dve geometriski figuri {to imaat sosema ista forma, obi~no se veli deka se

sli~ni, pritoa, tie mo`e da bidat razli~ni po golemina, mo`e da bidat i ednakvi

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

11

5.1. Sli~ni triagolnici

Za dva triagolnici se veli deka se sli~ni, ako postoi biekcija me|u nivnite

temiwa, taka {to:

1.soodvetnite agli da im se ednakvi;

2.soodvetnite strani da im se proporcionalni.

a

p

h

q

AB

C

a

c

b

b

ba

C1

Crt.10

Na pravoagolniot triagolnik ABC (crt.10) spu{tena e visinata 1CC kon

hipotenuzata AB. Taa go deli triagolnikot na dva pravoagolni triagolnici ACC1 i

CBC1. Od sli~nosta na pravoagolnite triagolnici ABC, ACC1 i CBC1 se dobivaat nekoi

interesni vrski me|u stranite, visinata i otse~kite AC1 i BC1 na hipotenuzata AB. Za

otse~kata AC1 }e velime deka e proekcija na katetata AC vrs hipotenuzata, a za

otse~kata BC1 – proekcija na katetata BC vrs hipotenuzata.

Od sli~nosta na triagolnicite ABC i CBC1 sporet crte`ot sleduva deka:

p:a=a:c

a, od sli~nosta na triagolnicite ABC i ACC1 :

q:b=b:c

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

12

Vnatre{nite ~lenovi na proporciite se ednakvi. Tie proporcii mo`eme da gi

zapi{ime vo vid na slednive ravenstva:

cpa 2 i cqb 2

so koi se iska`uva teoremata:

Sekoja od katetite vo eden pravoagolen triagolnik e geometriska sredina od

hipotenuzata i proekcija na taa kateta vrz hipotenuzata.

Za visinata i proekciite i na katetite, va`i vrskata , so koja se iska`uva

teoremata:

Visinata spu{tena kon hipotenuzata vo eden pravoagolen triagolnik e

geometriskoa sredina na proekcijata od katetite vrz hipotenuzata.

Dokaz: Od sli~nosta na triagolnicite ACC1 i CBC1, sleduva deka od sli~nosta na

triagolnicite ABC i ACC1 :

p:h=h:q

od kade se dobiva ravenstvoto pqh 2 bidej}i vnatre{nite ~lenovi se ednakvi.

Vrskite cpa 2 , cqb 2 i pqh 2 gi doka`al gr~kiot matemati~ar Evklild

(365-310 g.p..e) i poradi nego teoremite se vikaat u{te Evklidovi teoremi.

5.2. Dokaz na Pitagorovata teorema so pomo{ na Evklidovite formuli

Vrskata me}u sekoja kateta so hipotenuzata i soodvetnata proekcija, t.e vrskata

spored (Evklidovite teoremi). Zbirot od levata i zbirot od desnata strana e sporedena

so slednive dokazi:

1. ABCC 1 (crt.10) →visinata na triagolnikot e normalna na hipotenuzata

2. cpa 2 i cqb 2 →katetata e geometriska sredina od hipotenuzata i soodvetnata

proekcija.

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

13

3. cqcpba 22 →svojstno na sobirawe ravenstva

4. )(22 qpcba distrubutivnost na mno`ewe vo odnos na sobirawe

5. ccba 22 t.e principot na zamena cqp i sleduva ravenstvoto t.e Pitagorovata

teorema .

Od ovaa ravenstvo so primeri }e doka`ime deka tvrdeweto na Pitagora e to~no i deka

od Pitagorovata teorema mo`eme da gi izrazime i katetite, ako imame edna od niv i

hipotenuzata lesno mo`eme da ja najdeme drugata kateta.

Primer 1: So primena na Pitegorova teorema odredi ja hipotenuzata na pravoagolniot

triagolnik so kateti cm i cm .

Re{enie: 222 cba 25 + 144 = 13169 c

t.e hopotenuzata s=13 cm

Primer 2: Odredi ja ednata kateta na pravoagolen triagolnik, ako se dadeni

hipotenuzata i drugata kateta cm ; s=25 cm

Re{enie:

= =7 t.e drugata kateta e cm

6.Pitagorovi trojki

Interesno e pra{aweto za trojkite prirodni broevi a, b, c {to go zadovoluvaat

ravenstvoto t.e trojkite prirodni broevi {to se strani na pravoagolen

triagolnik. Takvi trojki se: 3, 4, 5 ; 6, 8, 10 ; 5, 12, 13 ; i drugi. Ovie se pitagorovi

trojki. ]e navedeme nekolku izrazi so koi mo`e da se dobijat pitagorovite trojki:

1. 2n+1, 2 +2n, 2 +2n+1

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

14

Za sekoj priroden broj n }e se dobie po edna pitagorova trojka. Se smeta deka ovie

izrazi gi otkril Pitagora(no sepak, toj gi zapi{al so drugi simboli).

Za proverka, treba samo da se doka`e ravenstvoto

e identitet .

Primer 3: Najdi gi pitagorovite trojki na brojot 7.

22222172727272172

; 225+12544=12769; 12769=12769 t.e 15, 112, 113 pitagorovi trojki.

2. 2mn, za sekoj m i n pri {to m > n

3. n,

;

za sekoj neparen broj {to e pogolem od 2.

4. n,

-1,

+1 za sekoj broj pogolem od 3.

7. Primena na pitagorova teorema

Pitagirovata teorema nao|a primena kaj site figuri kaj koi mo`e da se formira

pravoagolen triagolnik. Takvi kako {to se: pravoagolnik, kvadrat, ramnokrak i

ramnostran triagolnik i kaj drugi pravilni i nepravilni mnoguagolnici, isto taka

Pitagorovata teorema ja koristime i pri konstrukcija na otse~ki ~ii meren broj na

dol`enata e iracionalen broj.

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

15

7.1.Primena na Pitagorova teorema kaj pravoagolnik

A

C

B

D

d

a

a

bb

Crt.11

Na nacrtaniot pravoagolnik e povle~ena negovata dijagonalata d,(crt.11) kade {to

so nejzino povlekuvawe dobivame dva skladni pravoagolni triagolnici ∆ABC i ∆ACD.

Kaj dvata triagolnici diagonalata d prestavuva hipotenuza a stranite a i b

kateti. So primena na Pitagorovata teorema mo`eme da ja najdime dol`inata na

dijagonalata ako gi znaeme stranite na pravoagolnikot, t.e ravenstvoto za nao|awe na

dijagonalata e; Isto taka mo`eme da ja najdeme i ednata strana ako ni e

poznata dijagonalata i drugata strana t.e ravenstvata: ;

7.2. Primena na Pitagorova teorema kaj kvadratot

A

C

B

D

d

a

a

aa

Crt.12

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

16

Na nacartaniot kvadrat povle~ena e dijaginalata AS (crt.12) na kvadratot kade

{to go deli na dva pravoagolni triagolnici ∆ABC i ∆ACD. So primenana teoremata

mo`eme da ja izrazime diagonalata t.e ravenstvoto e:

. = = t.e =

Isto taka mo`eme da ja izrazime i stranata ako e poznata dijagonalata t.e

ravenstvoto za stranata e: =

7.3.Primena na Pitagorova teorema kaj ramnokrak i ramnostran triagolnik

A

C

B

C1

2

a a

h

b b

A

C

B

C1

2

a a

h

a a

Crt.13 Crt.14

Na crt.13 e povle~ena visinata od temeto S na ramnokrakiot triagolnik ∆ABC.

Taa go deli na dva pravoagolni triagolnici ACC1 i BCC1. Otuka mo`eme da ja

zapi{ime Pitagorovata teorema za triagolnikot ABC kade hipotenuzata e krakot a

kateti se visinata i polovina od osnovata t.e ravenstvoto e: 2

2

2

2h

ab

.

Isto taka mo`eme da gi najdime visinata i stranite na ramnokrakiot triagolnik t.e

ravenstvata se:

2

22

2

abh ,

222 hba .

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

17

[to zna~i ako gi znaeme dvete strani mo`eme da ja najdime visinata na

triagolnikot, a ako ja znaeme visinata i krakot na ramnokrakiot triagolnik mo`eme

da ja presmetame osnovata.

Primer 4: Da se najdi visinata na ramnokrak triagolnik so dadeni negovata osnova i

krakot a=18 ; b=41 ; h=?

Re{enie:

od kade {to =

= =1681-81=1600 ;

= =40 t.e h=40

Od kade {to h prestavuva hipotenuza na ∆ ABC.

Primer 5: Da se presmeta stranata na ramnostraniot triagolnik so plo{tina 43,25 cm2.

Re{enie: Plo{tinata na ramnostran triagolnik se presmetuva so formulata

4

3

2

2

3

2

2

2P

2

22

2

a

aaaaa

aha

. Od tuka stranata a se presmetuva

cm76993

73124434

3

34,

,,Pa

.

7.4.Primena na Pitagorova teorema kaj romb

A B

C

S

2

2d2

1d

a

D

Crt.15

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

18

Na crt.15 e nacrtan e romb i se povle~eni negovite dijagonali. Dijagonalite kaj

rombot se zaemno normalni. Tie obrazuvaat ~etiri pravoagolni triagolnici. Na

dadeniot crte` pravoagolniot ∆ ABS e so hipotenuza a i kateti 2

1di

2

2d .

Primer 6: Da se presmeta plo{tinata na rombot so strana a=10cm i dijagonala d1=12cm

.

Re{enie: Za da ja opredelime plo{tinata potrebno e prethodno da ja opredelime i

drugata dijagonala. Od pravoagolniot triagolnik OAV (crt 8)

2

2

2

122 cm962

1216Pcmcm836100

22

toa ..Spored16 d

da

d

Primer 7: Da se najde perimetarot L na rombot ABCD so dijagonali 1d =70cm ;

2d =24 cm

Re{enie: 2

1d=35 cm i

2

2d=12 cm

Parimetarot na rombot e L=4a, pa treba da ja najdeme stranata a. od ∆ ABC so primena

na Pitagirova teorema imame:

cmLa 148374371369144122512352

d

2

d 22

2

2

2

1

toa .Spored

7.5.Primena na Pitagorova teorema za pretstavuvawe na iracionalen broj na

brojna oska

Na crt.16 e poka`ana konstrukcijata na nekoi iracionalni broevi na brojna oska.

Postapkata za nivno konstruirawe e slednava:

Za konstrukcija na 2 se konstruira pravoagolen triagolnik so kateti so

dol`ina edna edinica, pa spored Pitagorovata teorema hipotenuzata e ednakva na 2 .

So rotacija na to~kata V vrz pozitivnata nasoka na h-oskata se nao|a 2 na brojnata

oska. A, za konstrukcijata na 3 na d hipotenuzata na triagolnikot OAV se konstruira

Pitagorova teorema

__________________________________________________________________________________

19

pravoagolen triagolni so kateti 1 i 2 , pa spored Pitagorovata teorema hipotenuzta

OS na triagolnikot OVS e ednakva na 3 . So rotacija na to~kata S vrz pozitivnata

nasoka na h-oskata se nao|a 3 na brojnata oska.

1

1

1

O

B

A

C

1

1

2

2

-1

-1

2

2 3

3

Crt.16

Pitagorovata teorema dosta mnogu se koristi i pri re{avawe na prakti~ni

problemi vo sekojdnevniot `ivot.

Primer 8: Skala so dol`ina 7,4m e nasloneta na yidot taka {to dolniot kraj na skalata

e odale~en 2,4m od yidot. Do koja visina dostignala skalata?

Re{enie: Baranata visina h e katetata na triagolnikot {to go obrazuva skalata pa

=7 t.e m

Baranata visina do koja dostignala skalata obrazuvaj}i pravoagolen triagolnik e 7m.