PORTFOLIO TEORIJA · obveznici je naznaˇcena godišnja ﬁksna kamatna stopa koja odre duje koliku...

Univerzitet u NišuPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

Departman za matematiku

PORTFOLIO TEORIJA

MASTER RAD

Student: Mentor:Bojana Živkovic Prof. dr Miljana Jovanovic

Niš, 2019.

"Fundamentalni koncept portfolio teorije "došao" mi je jednog popodneva dok sam u bibli-oteci citao "Teoriju vrednosti investicije" Johna B. Williamsa. Williams je predložio da bivrednost akcije trebala biti jednaka sadašnjoj vrednosti njenih buducih dividendi. Pošto subuduce dividende neizvesne, Williamsov predlog vezan za vrednost akcije interpretirao samkao ocekivanu vrednost njenih diskontovanih buducih dividendi. Ukoliko bi investitor biozainteresovan samo za ocekivanu vrednost finansijskih instrumenata, on bi bio zainteresovansamo za ocekivanu vrednost portfolija, a da bi maksimizirao ocekivanu vrednost portfolijatrebao bi investirati samo u jedan finansijski instrument – finansijski instrument sa maksimal-nim ocekivanim obrtom. Znao sam da ovo nije bio, ili ne bi trebao da bude, nacin ponašanjainvestitora. Investitori vrše diversifikaciju zbog toga što su zainteresovani za rizik jednako kaoi za obrt. Varijansa mi je pala na pamet kao mera rizika. Cinjenica da varijansa portfolijazavisi od kovarijansi izmedu finansijskih instrumenata obezbedila je prihvatljivost ovakvogpristupa. Pošto su bila dva kriterijuma, rizik i obrt, bilo je prirodno pretpostaviti da investi-tori vrše izbor iz skupa Pareto optimalnih rizik-obrt kombinacija".

Harry M. Markowitz (1990)

Sadržaj

Slike 3

Tabele 4

Uvod 6

1 Uvodni pojmovi 71.1 Akcije i obveznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Osnovni pojmovi teorije verovatnoca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Slucajna promenljiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Matematicko ocekivanje i disperzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Kovarijansa i koeficijent korelacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Osnovni pojmovi matematicke statistike . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Obrt 152.1 Obrt akcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Obrt portfolija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Udeo u portfoliju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Obrt u srednjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Varijansa i kovarijansa obrta 213.1 Uzoracka varijansa obrta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Uzoracka kovarijansa obrta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Populacioni obrt i varijansa obrta 264.1 Ocekivani obrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Populaciona varijansa obrta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Populaciona kovarijansa obrta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Varijansa portfolija 295.1 Portfolio sastavljen od dve aktive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Koeficijent korelacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Opšta formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4 Efekat diversifikacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Efikasna granica 346.1 Portfolio sastavljen od dve aktive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2 Kratka prodaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.3 Efikasna granica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.4 Portfolio koji se sastoji iz više aktiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.5 Bezrizicna aktiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Zakljucak 49

Literatura 51

Biografija 52

3.1 Grafik obrta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.1 Savršena pozitivna korelacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Granica portfolija sa savršenom pozitivnom korelacijom . . . . . . . . . . . 366.3 Savršena negativna korelacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4 Granica portfolija sa savršenom negativnom korelacijom . . . . . . . . . . . 386.5 Granica portfolija sa korelacijom 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.6 Korelacija i granica portfolija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.7 African Gold i Walmart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.8 Kratka prodaja sa savršenom pozitivnom korelacijom . . . . . . . . . . . . . 416.9 Efekat kratke prodaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.10 Efikasna granica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.11 Konstrukcija skupa portfolija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.12 Granica portfolija kao omotac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.13 Skup portfolija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.14 Uvodenje bezrizicne aktive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.15 Razliciti portfoliji rizicnih aktiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.16 Efikasna granica portfolija sa bezrizicnom aktivom . . . . . . . . . . . . . . 47

Tabele

2.1 Uobicajen i logaritamski obrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Sastav i vrednost portfolija sastavljenog od aktiva A, B i C . . . . . . . . . . 182.3 Cene akcija i broj akcija u portfoliju tokom perioda od 3 godine . . . . . . . 19

3.1 Godišnji obrt akcija kompanije General Motors . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Obrti akcija A i B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Kovarijansna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Obrti aktiva A, B i C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Kovarijansna matrica obrta aktiva A, B i C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.1 Savršena pozitivna korelacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Savršena negativna korelacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 Obrt i standardna devijacija obrta kada je ρAB = 1

2 . . . . . . . . . . . . . . . 38

Prvi koraci u analizi ulaganja su izracunavanje dobitaka na osnovu investicione strategije irizika koji je ukljucen u tu strategiju. Investicioni analiticari odlucuju da mere dobitke ko-risteci koncept obrta. U ovom radu bice pokazano kako se prihodi mogu izracunati u raznimokolnostima, kako za pojedinacne aktive, tako i za portfolije. Izazov investicione analize jetaj da buduci obrti nikada ne mogu biti tacno predvideni. Investitor može imati ubedenjao tome kakav ce obrt biti, ali tržište nikada ne prestaje da iznenaduje. Prilikom izracuna-vanja buduceg obrta, neophodno je prilagoditi njegovu nepredvidenost odredivanjem rasponamogucih vrednosti obrta i verovatnocu realizacije svakog od njih. Odavde proistice vrednostocekivanog obrta investicije. Ostaje samo utvrdivanje toga u kojoj meri je obrt neizvestan.Velicina koja se koristi za merenje neizvesnosti je varijansa obrta, tj. analiticka mera rizika.Ocekivani obrt i varijansa pružaju informacije neophodne za utvrdivanje strategija ulaganja.

U srcu investicione analize je cinjenica da tržište nagraduje one koji su spremni dasnose rizik. Investitor koji kupuje aktivu suocen je sa dva potencijalna rizika. Buduca cenaaktive po kojoj se ona može prodati može da bude nepoznata, kao i isplate primljene na imevlasništva nad aktivom. Što se tice akcije, obe ove karakteristike su ocigledne. Tržišna cenaakcija se menja skoro neprekidno. Isplata akcija dolazi u vidu dividende. Iako se kompanijetrude da održe odredeni stepen konstantnosti dividende, one su diskretne isplate i podložne supromenama.

Cini se da se ovi argumenti ne odnose na obveznice cija nominalna vrednost i isplatese cine izvesnim. Ali cene obveznica variraju, tako da, iako je nominalna vrednost poznata,vrednost u bilo kom trenutku pre njenog dospeca nije. Pored toga, nominalna vrednost je datau nominalnom iznosu, dok je realna vrednost neizvesna i inflacija mora biti uzeta u obzir. Istiargument se odnosi i na realnu vrednost isplata kupona. Naravno, postoji rizik i od neplacanjaili prevremenog placanja. Samo kratkorocne obveznice koje emituju državne institucije moguse smatrati za one obveznice koje imaju približno odredene naplate.

Sa ciljem da naprave izbor ulaganja, investitori moraju biti svesni rizika prodaje aktive,ali i zadržavanja iste. Takode, moraju biti svesni na koji nacin se odražava vrednost sameaktive i rizik od njenog zadržavanja ili prodaje na portfolio u koji je ukljucena. Upravo se ovajrad odnosi na sve prethodno receno, o cemu ce i biti reci u nastavku.

Zahvaljujem mentoru, prof. dr Miljani Jovanovic, na nesebicnoj pomoci i podršci priizradi ovog rada.

Glava 1

Uvodni pojmovi

U ovoj glavi, tacnije, u Poglavlju 1.1 su definisani osnovni pojmovi finansijske matematikekoji se koriste u daljem radu kao što je pojam aktive, akcije, dividende, obveznice, portfolija.U Poglavlju 1.2 su definisani osnovni pojmovi teorije verovatnoca, poput prostora verova-tnoce, slucajne promenljive i vrste slucajnih promenljivih, njihovog ocekivanja i disperzije,kao i kovarijanse i koeficijenta korelacije izmedu dve slucajne promenljive. Na kraju su dateosnovne definicije matematicke statistike.

1.1 Akcije i obvezniceFinansijsko tržište zauzima centralno mesto u teoriji i praksi finansija, pogodno za matema-ticko modeliranje, tako da predstavlja osnovni interes matematicke teorije finansija.

Postoji nekoliko vrsta finansijskih tržišta medu kojima su najistaknutija:• tržište novca• tržište obveznica• tržište akcija• devizno tržište• tržište roba (plemenitih metala, žitarica i slicno)• tržište fjucersa i opcija

Na tržištu finansijskih instrumenata razlikuju se:• osnovni (primarni) finansijski instrumenti,• finansijski derivati (sekundarni, odnosno izvedeni finansijski instrumenti).

U osnovne finansijske instrumente spadaju novac, obveznice i akcije, dok su finansijskiderivati složeni finansijski instrumenti koji se oslanjaju na osnovne.

Definicija 1. Aktiva predstavlja sva finansijska sredstva koja investitor ili firma poseduju udatom trenutku.

Akcija predstavlja vrstu aktive i spada u osnovne finansijske instrumente, njih izdaju kom-panije sa ciljem uvecanja svog kapitala, dok akcionari sticu odredena prava, kao što su pravona ucešce u donošenju poslovnih odluka kompanije i pravo na isplatu dividendi. One spadajuu vlasnicke hartije od vrednosti kojima se trguje na odgovarajucem tržištu.

Definicija 2. Akcija predstavlja deo kapitala kompanije u vlasništvu pojedinca, odnosno ak-cionara. Ona predstavlja hartiju od vrednosti koju je emitovala kompanija sa ciljem uvecanjakapitala. Deo dobiti kompanije koji pripada akcionarima, u finansijskoj terminologiji senaziva dividenda.

Kompanije mogu emitovati dve osnovne vrste akcija: obicne (common stocks) i prioritetne,odnosno preferencijalne akcije (preferred stocks). Takode je potrebno naglasiti da postojeakcije koje nisu pracene isplatama dividende.

Znacajna vrsta osnovnih finansijskih instrumenata su obveznice, koje spadaju u dužnickehartije od vrednosti. Potreba za njihovim izdavanjem nastaje kada kompanija ili država želeda prikupe veliki iznos sredstava, ali ne postoji poverilac koji bi prihvatio takav dužnicko-poverilacki ugovor.

Definicija 3. Obveznice (bonds) su hartije od vrednsti koje investitori kupuju od emitenata,tj. izdavalaca obveznica.

Na taj nacin emitenti obezbeduju odredena sredstva u gotovini, a investitori, tj. vlasniciobveznica, prihoduju fiksnu kamatu u redovnim vremenskim intervalima.

Postoje razlicite vrste obveznica. Dele se:• prema nacinu ostvarivanja prava: na ime i donosioca• prema sigurnosti naplate: na garantovane i negarantovane• prema prihodu koje donose investitoru: sa fiksnom kamatom, sa promenljivom kamatom isa pravom ucešca u dobiti• prema roku dospeca: na kratkorocne (do godinu dana) i dugorocne• prema valuti na koju glase: na dinarske i devizne• prema emitentima: na državne, municipalne (emituju ih opštine i gradovi), druge državne(npr. emituju ih državna preduzeca), nad-nacionalne (npr. emitent je Svetska banka), korpor-ativne.

Državne obveznice su obveznice koje emituje država ili neki njen organ ili agencija, naj-cešce zbog finansiranja budžetskog deficita, odnosno za pokrice državnih dugova.

Obveznica je vrsta ugovora kojim se njen emitent obavezuje da ce vlasniku obvezniceisplatiti na datum dospeca (maturity date) dug u potpunosti, tj. nominalnu vrednost obveznice(face value) i pripadajucu kamatu. Nominalna vrednost obveznice je iznos na koji je emitovanapojedinacna obveznica i predstavlja glavnicu na koju se obracunava pripadajuca kamata. Naobveznici je naznacena godišnja fiksna kamatna stopa koja odreduje koliku kamatu na godi-šnjem nivou obveznica donosi vlasniku obveznice i koja se naziva kuponska stopa. Kupon jegodišnji prihod investitora i mogu se isplacivati i više puta godišnje. Period izmedu dve isplatenaziva se kupon-period.

Obveznice koje nemaju kupone nazivaju se nula-kupon obveznice (zero coupon bonds). Utom slucaju vlasnik obveznice na datum dospeca dobija nominalnu vrednost, ali ne i kamatu.

U vecini slucajeva se kapital investitora ili kompanije sastoji iz veceg broja istih ili razli-citih aktiva. Kako bi se lakše upravljalo ovim kapitalom, potrebno je objediniti sve aktive kojeinvestitor ili kompanija poseduju, odakle proizilazi pojam portfolija.

Definicija 4. Portfolio predstavlja ukupno vlasništvo firme ili pojedinca nad istim ili razlicitimaktivama.

Matematicki, portfolio se može predstaviti kao uredena k-torka broja k razlicitih vrstaaktiva u koje je investitor uložio svoj kapital.

Prilikom izracunavanja buduce vrednosti kapitala kao i njegovog obrta, potrebno je uzetiu obzir i njegovu realnu vrednost, što dovodi do pojma inflacije.

Definicija 5. Inflacija je stanje narušene monetarne ravnoteže kada je u opticaju veca kolicinanovca od potrebne kolicine, što je praceno rastom cena. Ona može nastati i kada se smanjiponuda robe na tržištu, a kolicina novca u opticaju ostaje nepromenjena.

Stopa inflacije ri je stopa promene opšteg nivoa cena za odredeni period i izracunava se poformuli

r(i) =nivo cena u periodu t-nivo cena u periodu t−1

nivo cena u periodu t−1.

Ukoliko t oznacava godinu, radi se o godišnjoj stopi inflacije, a ukoliko predstavlja odredenimesec u godini, prethodni izraz predstavlja mesecnu stopu inflacije.

1.2 Osnovni pojmovi teorije verovatnocaTeorija verovatnoca se bavi slucajnim pojavama. To su one pojave koje u prirodi i društvu podistim uslovima nemaju uvek isti ishod. One zadovoljavaju osobinu statisticke homogenosti -u velikoj seriji ponavljanja eksperimenta može se uociti neka zakonitost.

Neka nadalje ω predstavlja elementarni dogadaj, odnosno, ishod koji se ne može razložitina jednostavnije ishode i neka je Ω skup svih ishoda.

Stohasticki (slucajni) eksperiment ima sledece osobine:• može se ponavljati proizvoljan broj puta pod istim uslovima,• unapred se znaju svi moguci ishodi,• ne zna se unapred koji ishod ce se realizovati,• u jednom eksperimentu može se realizovati samo jedan ishod.

Dogadaj A se definiše kao A⊂Ω, A = ωi|ωi opisuje A.Prema klasicnoj definiciji verovatnoce, skup svih ishoda je konacan i svi ishodi su jednako

verovatni. Tada je verovatnoca dogadaja A

P(A) =|A||Ω|

=broj povoljnih ishoda za A

ukupan broj ishoda.

Medutim, postoje eksperimenti kod kojih se Ω sastoji od beskonacnog broja elemenata iu ovakvom slucaju se ne može primeniti prethodno navedena klasicna definicija verovatnoce.Potrebno je da verovatnoca bude preslikavanje iz nekog skupa u skup [0,1]. Pre svega jepotrebno definisati taj skup.

Definicija 6. Familija F je σ - algebra na Ω ako važi:(1) Ω ∈F ,(2) ∀A ∈F ⇒ AC ∈F ,

(3) A1,A2, ... ∈F ⇒∞⋃

i=1Ai ∈F .

Potrebno je napomenuti da je jedna od karakteristicnijih σ - algebri Borelova σ - algebrana skupu R, u oznaci B1, i predstavljena je kao

B1 = ∞⋃

[ak,bk)|ak < bk, ak,bk ∈ R.

Tek sada se može uvesti formalna definicija verovatnoce.

Definicija 7. Verovatnoca, u oznaci P, je preslikavanje P : F −→ R za koje važe sledeceosobine:(1) P(Ω) = 1(2) ∀A ∈F ,P(A)≥ 0

(3) A1,A2, ... ∈F ∧ AiA j = /0, i 6= j⇒ P(∞

∑i=1

Ai) =∞

∑i=1

P(Ai).

Dogadaj cija je verovatnoca 0 zove se nemoguc dogadaj, dok dogadaj cija je verovatnoca1 se naziva skoro izvestan dogadaj. U ovom slucaju se (Ω,F ,P) naziva prostor verovatnoca.

1.2.1 Slucajna promenljivaNeka se vrši neki eksperiment i neka je poznat skup svih ishoda. Postavlja se pitanje kako dase dogadajima dodele numericke vrednosti, tj. kako skup Ω preslikati u skup realnih brojeva.Da bi se ovo preslikavanje realizovalo, uvodi se pojam slucajne promenljive.

Definicija 8. Slucajna promenljiva X je preslikavanje koje elementarne dogadaje slika u R iza koje važe sledece osobine:(1) Pω|X(ω) =±∞= 0,(2)(∀S ∈B1)X−1(S) = ω|X(ω) ∈ S ∈F .

Najjednostavnija slucajna promenljiva se naziva indikator dogadaja

IA(ω) =

1, ω ∈ A,0, ω /∈ A.

Teorema 1. Slucajna promenljiva X definisana na prostoru verovatnoca (Ω,F ,P) generišeprostor (R,B1,PX), gde je PX(S) = P(X−1(S)) = Pω|X(ω) ∈ S.

Prostor (R,B1,PX) se naziva fazni prostor.Ako se skup svih ishoda Ω podeli na disjunktne dogadaje A1,A2, ...,An, tada njihova unija

predstavlja skup Ω i za ove dogadaje se kaže da cine potpun sistem dogadaja, tj. potpunorazbijanje skupa Ω.

Neka je RX = x1,x2, ...,xn, pri cemu x1,x2, ...,xn cine rastuci niz i neka je P(Ak) = pk,k = 1, ...,n, za koje važi da je ∑

nk=1 pk = 1, za k = 1,2, ...,n.

Definicija 9. Prosta slucajna promenljiva X se definiše kao

∑k=1

xkIAk .

Zakon raspodele ove slucajne promenljive je (∀S ∈B1)PX(S) = ∑i:xi∈S pi, odnosno

x1 x2 ... xn

p1 p2 ... pn

Neka je RX = x1,x2, ... skup sa prebrojivo mnogo vrednosti, neka dogadaji A1,A2, ... cinepotpun sistem dogadaja i neka su zadate verovatnoce realizacije tih dogadaja, P(Ak) = pk, pricemu je ∑

∞k=1 pk = 1, za k = 1,2 . . . tada je zakon raspodele slucajne promenljive X

x1 x2 ...p1 p2 ...

Definicija 10. Elementarna slucajna promenljiva X se definiše kao

X =∞

∑k=1

xkIAk .

Definicija 11. Funkcija raspodele slucajne promenljive X je funkcija F(x) = PX((−∞,x)) =PX < x.

Potrebno je naglasiti da funkcija raspodele jednoznacno odreduje raspodelu PX .Postoje dva osnovna tipa slucajnih promenljivih, a to su diskretne slucajne promenljive i

apsolutno - neprekidne slucajne promenljive.

Definicija 12. Slucajna promenljiva X je diskretnog tipa ako sa verovatnocom 1 uzima vred-nosti iz prebrojivog skupa.

Definicija 13. Slucajna promenljiva X je apsolutno - neprekidnog tipa ako je zadata nenega-tivnom integrabilnom funkcijom g(x) tako da je (∀S ∈B1)Px(S) =

∫S g(x)dx. Funkcija g(x) se

naziva gustina raspodele verovatnoce.

Neka je data slucajna promenljiva X apsolutno - neprekidnog tipa sa gustinom g(x). Utackama neprekidnosti gustine g(x) važi F ′(x) = g(x), gde je F(x) funkcija raspodele. Tacnije,važi

F(x) = PX((−∞,x)) =∫ x

−∞

g(t)dt.

Sve prethodno receno odnosilo se na jednodimenzionalne slucajne promenljive. Medutim,slucajne promenljive mogu biti i višedimenzionalne.

Definicija 14. Slucajna promenljiva X = (X1, ...,Xn) je preslikavanje skupa svih ishoda Ω uskup Rn, tj. X : Ω→ Rn, za koje je (∀S ∈Bn) X −1(S) = ω | X (ω) ∈ S ∈F .

U ovom slucaju je Borelova σ - algebra generisana sledecim intervalima

I = [a1,b1)× [a2,b2)× ...× [an,bn).

Slucajna promenljiva definisana na prostoru verovatnoca (Ω,F ,P) odreduje novi prostor(Rn,Bn,PX) koji se naziva fazni prostor.

1.2.2 Matematicko ocekivanje i disperzijaU prethodnom delu rada su definisani osnovni pojmovi teorije verovatnoca. U narednom delubice definisani pojmovi matematickog ocekivanja i disperzije slucajne promenljive, kao i nekenjihove osobine koje su neophodne u daljem radu.

Definicija 15. Matematicko ocekivanje proste slucajne promenljive, u oznaci EX, je EX =n∑

k=1xk pk, pri cemu je pk verovatnoca realizacije dogadaja Ak. Ukoliko je u pitanju elementarna

slucajna promenljiva, njeno ocekivanje je EX =∞

∑k=1

xk pk, i ono postoji ako je ∑∞k=1 |xk|pk < ∞.

Teorema 2. Slucajna promenljiva X apsolutno - neprekidnog tipa je zadata gustinom ras-podele verovatnoce ϕ(x), −∞ < x <+∞. Tada je EX =

∫+∞

−∞xϕ(x)dx, i to ocekivanje postoji

ako je∫+∞

−∞|x|ϕ(x)dx < ∞.

Osobine matematickog ocekivanja:(1) E(cX) = cE(X)(2) E(X +Y ) = EX +EY(3) X ≥ 0⇒ EX ≥ 0(4) X ≤ Y ⇒ EX ≤ EY(5) X ,Y nezavisne⇒ EXY = EXEY .

Definicija 16. Moment reda n slucajne promenljive X je EXn. Centralni moment reda n sedefiniše kao E|X −EX |n. Ako je n = 2, dobija se centralni moment drugog reda, odnosnodisperzija: E|X−EX |2 = DX.

Disperzija predstavlja srednje kvadratno odstupanje slucajne promenljive od njene ocekivanevrednosti i naziva se još varijansa. Primenom osobina matematickog ocekivanja dobija se daje

DX = E(X−EX)2

= EX2− (EX)2.

Definicija 17. Kvadratni koren iz disperzije√

DX se naziva standardna devijacija.

Osobine disperzije:(1) DX ≥ 0(2) X = c skoro izvesno ako i samo ako je DX = 0(3) D(cX) = c2DX(4) D(X + c) = DX(5) X ,Y nezavisne slucajne promenljive, tada je D(X +Y ) = DX +DY.

1.2.3 Kovarijansa i koeficijent korelacijeNeka je X = (X ,Y ) dvodimenzionalna slucajna promenljiva.

Definicija 18. Kovarijansa se definiše na sledeci nacin

Cov(X ,Y ) = E(X−EX)(Y −EY ).

Za slucajnu promenljivu X=(X1, . . . ,Xn) može se definisati kovarijaciona matrica C(X)=[Cov(Xi,X j)]n×n. Ova matrica je simetricna pri cemu su elementi na glavnoj dijagonali D(Xi),i = 1,2, ...,n.

Definicija 19. Koeficijent korelacije slucajnih promenljivih X i Y se definiše kao

ρXY =Cov(X ,Y )√

EXY −EXEY√DXDY

Koeficijent korelacije predstavlja meru linearne zavisnosti slucajnih promenljivih na kojese odnosi. Za njega važi da je −1≤ ρXY ≤ 1. Ako je ρXY = 0, kaže se da su slucajne promen-ljive X i Y nekorelirane. Ako su slucajne promenljive nezavisne, tada je koeficijent korelacijenula. Ako koeficijent korelacije uzima vrednosti −1 ili 1, tada su slucajne promenljive X i Yskoro izvesno u linearnoj vezi.

1.2.4 Osnovni pojmovi matematicke statistikeDefinicija 20. Populacija ili osnovni skup je skup elemenata cija se zajednicka svojstvaizucavaju statistickim metodima. Populacija se simbolicki obeležava sa Ω, a njen elementsa ω .

Definicija 21. Obeležje je zajednicko svojstvo elemenata jedne populacije. Obeležje može bitikvantitativno ili kvalitativno.

Definicija 22. Uzorak je deo populacije na kome se ispituje posmatrano obeležje. Brojelemenata u uzorku se naziva obim ili velicina uzorka.

Neka se na uzorku obima n sprovodi statisticki eksperiment. Ishod tog eksperimenta cebiti vektor X = (X1,X2, ...,Xn) koji je po karakteristikama slucajna promenljiva. Vektor X sejoš naziva slucajni uzorak obima n.

Definicija 23. Vektor x = (x1,x2, ...,xn) koji predstavlja realizaciju vektora X po obavljenomeksperimentu se naziva realizovani uzorak .

Definicija 24. Slucajni uzorak X = (X1, . . . ,Xn) je prost ako su njegove koordinate nezavisneslucajne promenljive sa istom raspodelom.

Neke od statistika su navedene u nastavku:• sredina uzorka Xn =

∑ni=1 Xi,

• disperzija uzorka S2n =

∑ni=1(Xi−Xn)

• uzoracka standardna devijacija Sn =

• popravljena disperzija uzorka S2n =

1n−1

∑ni=1(Xi−Xn)

Neka se posmatraju dva obeležja X i Y i uzorak ((X1,Y1),(X2,Y2), ...,(Xn,Yn)) iz populacijena kojoj se posmatra dvodimenziono obeležje (X ,Y ).

Definicija 25. Uzoracka kovarijansa je definisana kao

σXY =1n

∑i=1

(Xi−Xn)(Yi−Y n),

gde su Xn i Y n uzoracke sredine obeležja X i Y , respektivno.

Definicija 26. Uzoracki koeficijent korelacije je

RXY =1n ∑

ni=1(Xi−Xn)(Yi−Y n)

SX SY,

gde su SX i SY standardne devijacije obeležja X i Y , respektivno.

Jedan od osnovnih zadataka matematicke statistike je da na osnovu eksperimenta odrediraspodelu posmatranog obeležja. Rešavanje ovog problema svodi se na odredivanje tacnevrednosti parametra θ od koga zavisi raspodela razmatranog obeležja.

Tackasto ocenjivanje je jedan od nacina za ocenjivanje vrednosti nepoznatog parametra.Treba definisati statistiku Y = u(X1,X2, ...,Xn) tako da za realizovani uzorak (x1,x2, ...,xn),broj y = u(x1,x2, ...,xn) bude dobra ocena za θ .

Definicija 27. Statistika Y = u(X1,X2, ...,Xn) iz uzorka X =(X1,X2, ...,Xn) iz populacije sa ob-eležjem X, cija raspodela pripada familiji dopustivih raspodela f (x;θ),θ ∈Θ, je nepristra-sna ocena parametra θ ako je

EY = θ .

Na osnovu osobina matematickog ocekivanja dobija se da je statistika Xn nepristrasnaocena parametra θ = EX , dok uzoracka disperzija S2

n nije nepristrasna, ali jeste asimptotskinepristrasna ocena parametra θ = DX , tj.

EXn = EX , ES2n =

n−1n

zbog toga što se kaže da je disperzija uzorka asimptotski nepristrasna ocena disperzije obe-ležja kada

EXn −→ DX , n−→ ∞.

Asimptotski nepristrasna ocena se može popraviti do nepristrasne ocene. Tako se dolazi dotoga da je popravljena disperzija uzorka nepristrasna ocena disperzije obeležja, pri cemu jepopravljena disperzija

n−1n

Glava 2

Mera dobitka koja se koristi u analizi ulaganja naziva se obrt. Obrt se može izracunati zabilo koju investiciju pod uslovom da je poznata njena pocetna i krajnja vrednost.

Obrt se definiše kao promena zarade tokom odredenog vremenskog perioda u odnosu nauložena sredstva. Vremenski period tokom koga se izracunava obrt naziva se obracunskiperiod.

Neka je Vt−1 vrednost investicije u trenutku t−1 i Vt njena vrednost na kraju obracunskogperioda, koji predstavlja vremenski interval [t − 1, t]. Tada se obrt r izracunava na sledecinacin

r =Vt−Vt−1

Vt−1. (2.1)

Treba naglasiti da se obrt uvek posmatra u odnosu na obracunski period. Usvojeno je daperiod od godinu dana bude uobicajeni obracunski period u odnosu na koji se posmatra obrt.Medutim, postoje situacije kada je potrebno posmatrati obrt u kracim vremenskim intervalimakao što su mesec, nedelja ili cak jedan dan.

2.1 Obrt akcijaAkcija je vrsta aktive koja predstavlja deo vlasništva kompanije cija vrednost ukazuje kolikoje zdrav kapital te kompanije. Može biti predmet kupovine ili prodaje putem dogovora, alipre svega se njom trguje na berzama. Odnos ponude i potražnje na tržištu je taj koji odredujecenu akcije. Vec je ranije pomenuto da akcija može obezbedivati periodicne isplate u vidudividendi.

Postupak izracunavanja obrta može se primeniti i na akcije. Prilikom izracunavanja obrtaneophodno je obratiti pažnju na isplatu dividendi, jer one moraju biti deo obrta. Najpre ce bitipokazano kako se racuna obrt akcija koje ne obezbeduju dividendu, a zatim i obrt akcija kojeobezbeduju dividendu.

Neka se posmatra akcija koja ne obezbeduje dividendu za obracunski period od godinudana u vremenskom intervalu [t−1, t]. U tom slucaju se, primenom formule (2.1), dobija daje

r =p(t)− p(t−1)

p(t−1),

gde je p(t−1) cena akcije u trenutku t−1 i p(t) cena akcije u trenutku t.Još jedan nacin da se izracuna obrt akcije koja ne obezbeduje dividendu je korišcenje

logaritma kolicnika cena akcije na kraju i pocetku obracunskog perioda. Logaritamski obrt jejednak

r∗t = ln(

p(t)p(t−1)

za obracunski period [t−1, t]. Ovaj obrt se veoma malo razlikuje od obrta iz formule (2.1) jerse može svesti na njega primenom Tejlorovog razvoja, ako se ne uzmu u obzir clanovi drugogi viših stepena koji su gotovo uvek zanemarljivi. Zaista,

r∗t = ln(

1+p(t)− p(t−1)

p(t−1)

)= ln(1+ r)≈ r.

Prednost r∗t u odnosu na r je:• r∗t može da uzme veoma male vrednosti. Naime, ako je p(t−1)> 0, tada je

limp(t)→0+

p(t)p(t−1)

)=−∞.

• r∗t omogucava da se obrt izracuna jednostavno tokom nekoliko uzastopnih perioda, što nijemoguce uraditi sa r

p(t)p(t−2)

p(t−1)· p(t−1)

p(t−2)

p(t−1)

(p(t−1)p(t−2)

Primer 1 U ovom primeru izracunate su vrednosti za r∗t i r za nekoliko vrednosti p(t) i vred-nosti su prikazane u Tabeli 2.1.Može se primetiti da postoje vrlo male razlike izmedu r i r∗t . Dobija se da je, na osnovupodataka iz tabele, logaritamski obrt tokom cetiri uzastopnih perioda

1110012750

)= 0.0039+0.0271−0.0794−0.0907 =−0.1391.

p(t) r r∗t1275012800 0.0039 0.003913150 0.0273 0.027112150 −0.0760 −0.079411100 −0.0864 −0.0907

Tabela 2.1: Uobicajen i logaritamski obrt

Formula za izracunavanje obrta može biti prilagodena akcijama koje obezbeduju dividende.Treba naglasiti da pozitivni obrt predstavlja uvecanje kapitala investitora i isplata dividendisvakako doprinosi tom povecanju, tako da je zbog toga neophodno ukljuciti dividendu uizracunavanje obrta.

Ako d predstavlja dividendu posmatrane akcije u toku obracunskog perioda, formula zaizracunavanje obrta ovakve akcije je

r =p(t)+d− p(t−1)

p(t−1).

Prethodni izraz se može rašclaniti na dva sabirka na sledeci nacin

r =p(t)− p(t−1)

p(t−1)+

dp(t−1)

Prvi sabirak predstavlja fiktivni obrt jer se ostvaruje samo u slucaju da je investitor prodaoakciju nakon obracunskog perioda, dok drugi sabirak predstavlja stopu prinosa koja je realnajer ukljucuje prihod na ime dividende.

Da bi se dobila realna vrednost obrta r(i) neophodno je ukljuciti stopu inflacije τ . Neka r(n)

predstavlja nominalnu vrednost obrta (bez inflacije). Buduca vrednost jedinice valute dobijenapomocu realne stope jednaka je diskontovanoj buducoj vrednosti jedinice valute, pri cemu jebuduca vrednost izracunata pomocu nominalne stope, a diskontovanje se vrši u odnosu nastopu inflacije. Tada je

r(i) =1+ r(n)

1+ τ−1.

Akcije u USA obezbeduju dividendu cetiri puta godišnje, dok akcije u UK obezeduju di-videndu dva puta godišnje. U ovakvom slucaju, kada ima više isplata dividendi u toku go-dine, vrednost d je suma svih isplata na godišnjem nivou.

2.2 Obrt portfolijaVec je ranije pomenuto da se može racunati obrt bilo koje investicije. Do sada je obrt racunatsamo za pojedinacne aktive. U nastavku ce biti pokazano kako se može izracunati obrt portfo-lija. Kupovina portfolija takode predstavlja investiciju, pa se i u ovom slucaju može izracunatiobrt.

Obrt portfolija se može izracunati na dva nacina. Prvi nacin jeste da se utvrde pocetna ikrajnja vrednost portfolija u nekom obracunskom periodu i da se tome dodaju sve dividende utom obracunskom periodu, ukoliko ih ima. Ako je Vt−1 pocetna vrednost portfolija, Vt njegovakrajnja vrednost i d predstavlja sve isplacene dividende u periodu [t−1, t], tada je obrt

r =Vt +d−Vt−1

Vt−1.

Obrt portfolija se može izracunati i ako se uzimaju u obzir cene svih aktiva koje ulaze usastav tog portfolija u periodu [t − 1, t]. Neka je investitor kreirao portfolio od N razlicitihaktiva, pri cemu je ai broj jedinica aktive i koja ulazi u sastav portfolija. Ako je pocetna cenai-te aktive pi(t−1) a krajnja cena pi(t), pocetna cena portfolija je

Vt−1 =N

∑i=1

ai pi(t−1),

gde je njegova krajnja vrednost

∑i=1

ai pi(t).

Ukoliko aktive koje ulaze u sastav portfolija ne obezbeduju dividende obrt ovakvog portfolijaje

r =Vt−Vt−1

∑Ni=1 ai pi(t)−∑

Ni=1 ai pi(t−1)

∑Ni=1 ai pi(t−1)

Primer 2 Neka je dat portfolio sastavljen od tri akcije cije su vrednosti date u Tabeli 2.2

Akcija Broj jedinica aktiva Pocetna cena Krajnja cenaA 100 2 3B 200 3 2C 150 1 2

Tabela 2.2: Sastav i vrednost portfolija sastavljenog od aktiva A, B i C

Obrt ovakvog portfolija je

r =(100×3+200×2+150×2)− (100×2+200×3+150×1)

100×2+200×3+150×1= 0.052 (5.2%).

Prethodno izracunavanje se lako može modifikovati i ako su aktive koje ulaze u sastavportfolija akcije koje obezbeduju dividende. Ako di predstavlja dividendu koju obezbedujei-ta akcija, formula za izracunavanje obrta ovakvog portfolija je

r =∑

Ni=1 ai (pi(t)+di)−∑

Ni=1 ai pi(t−1)

∑Ni=1 ai pi(t−1)

Obrt se može izracunati i onda kada se zauzima kratka pozicija u akciji, što podrazumevaprodaju pozajmljene akcije. To znaci da je investitor koji je pozajmio akciju od drugog inve-stitora zadužen kod njega, tako da on zapravo ima negativan broj akcija. U ovom slucaju,obrt može biti pozitivan samo u slucaju da cena pozajmljene akcije na tržištu pada. Poredtoga, ukoliko pozajmljena akcija obezbeduje dividendu, investitor koji je pozajmio akciju je uobavezi da vlasniku akcije, pored njenog vracanja, isplati i dividendu za taj vremenski period,tako da ova isplata dividende još više umanjuje obrt investitora sa kratkom pozicijom.

2.3 Udeo u portfolijuNa prethodna izracunavanja obrta portfolija je uticao broj jedinica svake od aktiva koja ulaziu sastav posmatranog portfolija, na osnovu cega se izracunavala pocetna i krajnja vrednostport-folija. Cesto je jednostavnije da se u izracunavanjima koristi deo portfolija koji se odnosina pojedinacnu aktivu, nego da se racuna vrednost celog portfolija. Oba nacina izracunavanjadovode do istog rezultata, ali korišcenjem pomenutog udela portfolija ociglednije je primetitida obrt ovakvog portfolija zavisi od kombinacija aktiva koja ulaze u njegov sastav, a ne odtoga koliki broj aktiva on obuhvata.

Najpre treba utvrditi koliki deo portfolija se odnosi na odredenu aktivu. Ukoliko je vredno-st koja je investirana u i-tu aktivu u periodu [t−1, t] u pocetnom trenutku V i

t−1, udeo vrednostiportfolija koji se odnosi na aktivu i je definisan sa

Xi =V i

Vt−1,

gde je Vt−1 pocetna vrednost portfolija. Po definiciji, suma svih udela u portfoliju mora bitijednaka 1, tako da za portfolio koji se sastoji od N aktiva važi

∑i=1

Xi =∑

Ni=1V i

Vt−1=

Vt−1

Vt−1= 1.

Ako vlasnik portfolija zauzima kratku poziciju u i-toj aktivi, onda je njen udeo negativan, tj.Xi < 0.

Nakon što se izracunaju udeli u portfoliju moguce je izracunati i obrt portfolija. Koristecidobijene udele, obrt se dobija kao ponderisana srednja vrednost obrta svake od aktiva (težinskasuma obrta svih aktiva u sastavu portfolija)

∑i=1

Važno je napomenuti da se udeli racunaju na pocetku obracunskog perioda. One aktivekoje imaju veci relativan rast formirace i veci udeo u portfoliju.

Primer 3 Neka se portfolio sastoji od dve akcije koje ne obezbeduju dividendu. Cene ovihakcija za period od 3 godine kao i broj ovih akcija u portfoliju dati su u Tabeli 2.3

Akcija Broj akcija p(0) p(1) p(2) p(3)A 100 10 15 12 16B 200 8 9 11 12

Tabela 2.3: Cene akcija i broj akcija u portfoliju tokom perioda od 3 godine

Pocetna vrednost portfolija je V0 = 100×10+200×8 = 2600, pa su odgovarajuci udeli uportfoliju

XA(0) =10002600

13, XB(0) =

16002600

Obrt portfolija nakon godinu dana je

r =513× 15−10

813× 9−8

8= 0.269 (26.9%).

Nakon godinu dana vrednost portfolija je V1 = 100× 15 + 200× 9 = 3300, pa su udeli uportfoliju

XA(1) =15003300

11, XB(1) =

18003300

dok je obrt portfolija

11× 12−15

611× 11−9

9= 0.03(3%).

Konacno, kako je vrednost portfolija na pocetku treceg perioda V2 = 100×12+200×11= 400, udeli u portfoliju su

XA(2) =12003400

17, XB(2) =

22003400

dok je obrt jednak

17× 16−12

1117× 12−11

11= 0.176 (17.6%).

2.4 Obrt u srednjemPrethodni primeri su pokazali kako obrt akcija i portfolija tokom vremena mogu da variraju.Cene akcija koje ulaze u sastav portfolija padaju i rastu tokom vremena, što inicira i vari-ranje vrednosti celokupnog portfolija. Kada se izracuna obrt za odredene periode, moguce jeizracunati i prosecan obrt ili obrt u srednjem koji je jednak proseku svih izracunatih obrta.Kasnije ce biti objašnjeno kako se obrt u srednjem može tumaciti kao prediktor onoga što semože dešavati u buducnosti.

Ako se posmatra obrt neke aktive u T uzastopnih perioda, obrt u srednjem se definiše kao

∑t=1

gde je rt obrt u periodu [t − 1, t]. Na primer, može se izracunati prosecan godišnji obrt naosnovu obrta iz prethodnih 10 godina.

Obrt u srednjem portfolija jednak je

rP =1T

∑t=1

rPt =N

∑i=1

gde se portfolio sastoji od N aktiva i ri predstavlja obrt u srednjem i - te aktive.

Glava 3

Varijansa i kovarijansa obrta

Glavna karakteristika najveceg broja ulaganja je ta da se njihov obrt ne može tacno predvideti.Cena akcije može pasti, ali isto tako može i rasti, tako da obrt može biti pozitivan u jednomobracunskom periodu, dok u sledecem može biti negativan. Na primer, ulaganje u akcijekompanije Yahoo izmedu oktobra 2002. i septembra 2003. donosilo je obrt od 137%, alisu zato ove iste akcije izmedu oktobra 2005. i septembra 2006. donosile negativan obrt od−31%. Naredne godine su ove akcije donosile obrt od 2%. Promene ovakvih razmera natržištu ne predstavljaju izuzetak.

Investitori moraju, pored toga što vode racuna o obrtu aktive u koju ulažu, da isto tako voderacuna i o riziku koje to ulaganje nosi. Rizik se u ovom kontekstu ogleda u varijabilnosti obrtatokom razlicitih obracunskih perioda. Na primer, dva portfolija mogu imati jednake obrte, alirazlicite rizike. Malo je investitora koji bi se odlucili da zadrže rizicniji portfolio.

Mera rizika mora da obuhvati i varijabilnost obrta. Standardna mera rizika koja se koristiu analizi ulaganja je varijansa obrta ili njegova standardna devijacija. Aktiva ciji se obrt nemenja tokom vremena nije rizicna i za ovakvu aktivu varijansa obrta je jednaka 0. Obrt bilokoje druge aktive koji varira, ima pozitivnu varijansu. Što je veca varijabilnost obrta nekeaktive, to je veca i varijansa.

Pri konstrukciji portfolija, nije samo bitna mera rizika pojedinacnih aktiva koje ulaze unjegov sastav vec i nacin na koji se mera rizika kombinuje kroz ove aktive, što utice na vari-jansu portfolija. Dve aktive mogu biti rizicne same po sebi, ali ako se ovi rizici ponište ukolikose od ovih aktiva napravi portfolio, tada ovakav portfolio može imati vrlo malu meru rizika.Mera nacina na koji su obrti povezani preko aktiva, naziva se kovarijansa obrta. Kovarijansace se smatrati centralnim pojmom u odnosu na koji ce se konstruisati portfolio.

Uvodenjem varijanse obrta kao mere rizika i kovarijanse izmedu aktiva, omoguceno je dase odrede varijansa i kovarijansa portfolija.

3.1 Uzoracka varijansa obrtaPodaci u Tabeli 3.1 predstavljaju godišnji obrt akcija kompanije General Motors kojima setrguje na Njujorškoj berzi tokom perioda od 10 godina.

Godina 93−94 94−95 95−96 96−97 97−98Obrt % 36.0 −9.2 17.6 7.2 34.1Godina 98−99 99−00 00−01 01−02 02−03Obrt % −1.2 25.3 −16.6 12.7 −40.9

Tabela 3.1: Godišnji obrt akcija kompanije General Motors

Na Slici 3.1 je dat graficki prikaz ovih podataka.

Slika 3.1: Grafik obrta

Jasno se vidi varijabilnost obrta, od najviše 36% do najmanje −41%. Postavlja se pitanjekako naci kvantitativnu meru ove varijabilnosti.

Uzoracka varijansa je broj koji obuhvata celokupnu varijabilnost obrta. Razlika izmeduobrta u srednjem i posmatranog obrta se naziva odstupanje od srednje vrednosti. Neka odovih odstupanja su pozitivna (u periodima kada je posmatrani obrt veci od srednjeg), a nekanegativna (u periodima kada je posmatrani obrt manji od srednjeg). Ova odstupanja se ondakvadriraju i sumiraju. Prosek se dobija deljenjem brojem opservacija.

Ako je T broj opservacija, tada se varijansa uzorka racuna po formuli

∑t=1

(rt− r)2 .

Uzoracka standardna devijacija je kvadratni koren uzoracke varijanse

∑t=1

(rt− r)2.

Uzoracka varijansa i uzoracka standardna devijacija su nenegativne vrednosti. Samo ukolikose posmatrani obrt poklapa sa obrtom u srednjem, uzoracka varijansa je jednaka 0. U svimostalim slucajevima, varijansa obrta je pozitivna i što je vece odstupanje od obrta u srednjem,to je njena vrednost veca. Aktive cija je varijansa obrta velika, spadaju u rizicnije aktive i vrloje mala verovatnoca da ce se investitor odluciti za investiranje u ovakve aktive.

Postoji još jedna statisticka komplikacija prilikom izracunavanja varijanse. Uzoracka var-ijansa se može posmatrati i kao ocena populacione varijanse obrta. Prethodna formula zauzoracku varijansu daje ocenu populacione varijanse koja je veoma mala za male uzorke,odnosno, kada je broj opservacija mali. Zbog toga je ova ocena pristrasna. U nastavku ce bitipredstavljena nepristrasna ocena populacione varijanse.

Nepristrasna ocena populacione varijanse je

σ2T−1 =

1T −1

∑t=1

(rt− r)2 ,

gde je nepristrasna ocena populacione standardne devijacije

σT−1 =

T −1

∑t=1

(rt− r)2.

Bilo koja od prethodnih formula se može koristiti za izracunavanje uzoracke varijanse.Važno je samo da se tokom celog postupka koristi ista formula. Dalje u radu ce se koristitinepristrasna ocena. Naime, kako se broj ospervacija, T , povecava, to je manje važno da li cerazlika biti deljena sa T ili sa T −1. Formule daju približno istu vrednost za dovoljno velikoT .

3.2 Uzoracka kovarijansa obrtaDa bi neka celina dobro funkcionisala, neophodno je odabrati odgovarajuce delove i ukombi-novati ih na pravi nacin. Slicno, portfolio se može posmatrati kao celina cija funkcionalnostzavisi od nacina kako su aktive koje ulaze u njegov sastav ukombinovane. Što se tice aktivau portfoliju nije samo bitna varijabilnost obrta svake od njih vec i nacin na koji obrti variraju.One aktive koje imaju zanemarljive varijabilnosti obrta nemaju znacajan uticaj na varijabilnostportfolija koji formiraju. To je ilustrovano sledecim primerom.

Tabela 3.2 prikazuje obrte dveju obveznica u periodu izmedju 2006. i 2007.

Akcija Obrt u 2006. Obrt u 2007.A 10 2B 2 10

Tabela 3.2: Obrti akcija A i B

Na osnovu podataka za dve godine, prosecni obrt svake obveznice je 6, a uzoracke vari-janse obrta su σ2

A = σ2B = 16. Obe obveznice imaju pozitivne uzoracke varijanse, pa su obe

investicije rizicne. Medutim, ukoliko se ove obveznice ukljuce u portfolio, varijansa ce se pro-

meniti. Neka su udeli obe obveznice u portfoliju12

. Obrt ovako kreiranog portfolija u 2006.godini je

rp =12

2 = 6,

a u 2007.rp =

2 = 6.

Obrt u srednjem ovog portfolija iznosi

rp =6+6

Vrednost obrta u srednjem je ista kao i za pojedinacne obveznice. Medutim, varijansa portfo-lija je

σ2p =

(6−6)2 +(6−6)2

što dovodi do zakljucka da je ovako kreiran portfolio bezrizican.

Karakteristika prethodnog primera jeste ta da za isti posmatrani period veci obrt jedneaktive prati manji obrt druge. Medutim, ove promene automatski prestaju da važe ukoliko seove aktive ukljuce u portfolio. U ovom primeru se ogleda osnova teorije portfolija: nije bitnasamo varijabilnost obrta aktiva, vec u kom smeru se varijabilnost krece. U prethodnom slucajuobrti su varirali u suprotnim smerovima i ovo je iskorišceno prilikom formiranja portfolijakako bi se izbegla njegova varijabilnost. Potpuno uklanjanje rizika u portfoliju je pravi izazov.Opšte svojstvo kreiranja portfolija jeste upravo smanjenje rizika kombinovanjem aktiva.

Na isti nacin se varijansa koristi za merenje varijabilnosti obrta aktiva i portfolija. Takodese može dobiti i informacija o meri obima kretanja obrta dve akcije jednog prema drugom. Dabi se to dobilo, potrebno je definisati kovarijansu izmedu obrta dve aktive. To je uobicajenamera koja pokazuje da li se obrti krecu u istom ili razlicitom smeru.

Kovarijansa se bazira na odstupanjima od obrta u srednjem dveju aktiva u periodu t kojisu pomnoženi, sabrani tokom vremena, a zatim je nadena njihova srednja vrednost. Naime,ukoliko obe posmatrane aktive imaju obrte iznad ili ispod proseka, kovarijansa je pozitivna.Suprotno tome, kada je obrt jedne aktive veci od proseka, a obrt druge ispod proseka, kovari-jansa je negativna. Dakle, negativna vrednost kovarijanse ukazuje na to da se obrti krecu usuprotnim smerovima, dok pozitivna vrednost ukazuje na to da se obrti krecu u istom smeru.Vrednost nula ukazuje na to da u proseku nema obrasca u kretanju obrta ovih aktiva.

Neka je obrt aktive A u periodu t rAt, obrt u srednjem rA. Analogno, neka obrt aktive Bu periodu t bude rBt, obrt u srednjem neka je rB. Kovarijansa obrta izmedu ove dve aktive,oznacena kao σAB, je

σAB =1T

∑t=1

(rAt− rA)(rBt− rB) .

Za skup aktiva varijanse i kovarijanse obrta se mogu predstaviti i u matricnom obliku.U ovoj matrici, elementi na glavnoj dijagonali predstavljaju varijanse, dok su elementi vandijagonale kovarijanse. Za tri aktive, A, B i C, kovarijansna matrica je sledeca

A B CA σ2

AB σAB σ2

BC σAC σBC σ2

Tabela 3.3: Kovarijansna matrica

Primer 4 U Tabeli 3.4 dati su obrti aktiva A, B i C u vremenskom periodu od 3 godine.

Aktiva 1.godina 2. godina 3. godinaA 10 12 11B 10 14 12C 12 6 9

Tabela 3.4: Obrti aktiva A, B i C

Dobija se da su obrti u srednjem rA = 11, rB = 12 i rC = 9. Kovarijansa obrta izmeduaktiva A i B je

σAB =13((10−11)(10−12)+(12−11)(14−12)+(11−11)(12−12)) = 1.333,

dok je kovarijansa obrta izmedu aktiva A i C

σAC =13((10−11)(12−9)+(12−11)(6−9)+(11−11)(9−9)) =−2,

i konacno, kovarijansa obrta izmedu aktiva B i C je

σBC =13((10−12)(12−9)+(14−12)(6−9)+(12−12)(9−9)]) =−4.

Za aktive A, B i C, u ovom slucaju, kovarijaciona matrica je

A B CA 0.666B 1.333 2.666C −2 −4 6

Tabela 3.5: Kovarijansna matrica obrta aktiva A, B i C

Glava 4

Populacioni obrt i varijansa obrta

Prethodni nacin izracunavanja obrta u srednjem bazirao se na istorijskim podacima. Isto važii za uzoracku varijansu i kovarijansu. Uzoracke vrednosti su u odredenoj meri korisne zarezimiranje ponašanja obrta u prošlosti, ali ono što je zaista potrebno za analizu ulaganja jesupredvidanja šta bi moglo da se desi u buducnosti. Investitoru su potrebne ove informacije dabi znao kakve odluke je najbolje doneti u sadašnjem trenutku.

Može se konstruisati konceptualni okvir za analizu buducih vrednosti obrta na sledecinacin: posmatrati aktivu i odrediti moguce nivoe obrta koji se mogu dostici, kao i verovatnocedostizanja tih nivoa. Na primer, nakon proucavanja trenutnog poslovnog modela kompanijeIBM, može se zakljuciti da postoji mogucnost da akcije ove kompanije u toku sledece godinemogu ostvariti obrt od 2% sa verovatnocom 0.25, 4% sa verovatnocom 0.5 i 6% sa verovatno-com 0.25.

Usvajanjem uobicajenog pristupa statisticke analize, istorijski podaci posmatranih obrtapostaju uzorci na osnovu kojih se mogu dobiti ocene pravih vrednosti. Obrt u srednjem, kojise izracunava na osnovu uzorka prethodno posmatranih obrta, jeste najbolja ocena ocekivanevrednosti za celokupnu populaciju.

Sve prethodno receno se odnosi i na vec objašnjenu uzoracku varijansu i kovarijansu.One su, takode, uzoracke ocene populacione varijanse i kovarijanse. Ovde se javlja i pitanjenepristrasnosti ocene uzoracke varijanse, kao ocene populacione varijanse.

4.1 Ocekivani obrtNeka se posmatra jedna aktiva. Nepoznato je kakav ce obrt obezbediti ova aktiva u bucnosti,tako da je moguce formirati skup svih mogucih ishoda kakav obrt može biti u buducnosti.

Neka je M broj koji predstavlja moguci broj scenarija koliki može biti obrt posmatraneaktive u buducnosti. Ako je obrt po j-tom scenariju r j, a verovatnoca realizacije ovog scenarijaπ j, tada je ocekivani obrt ove aktive

Er = π1r1 + . . .+πMrM.

Ova metoda izracunavanja ocekivanog obrta može se generalizovati da bi se utvrdio ocekivaniobrt portfolija tako što se posmatra ponderisana suma ocekivanih obrta svake od aktiva koje

cine portfolio. U tom smislu, neka N predstavlja broj aktiva u portfoliju dok M predstavljabroj mogucih scenarija. Obrt i-te aktive po j-tom scenariju neka je ri j sa verovatnocom reali-zacije π j. Neka je Xi deo portfolija investiran u i-tu aktivu. Obrt portfolija po j-tom scenarijuse racuna kao suma ponderisanih obrta svake aktive u odnosu na njen udeo u portfoliju

rP j =N

∑i=1

Xiri j. (4.1)

Ocekivani obrt portfolija se dobija na osnovu obrta portfolija dobijenih za pojedinacne scena-rije i njihovih verovatnoca realizacije, tj.

ErP = π1rP1 + . . .+πMrPM.

Primenom (4.1) dobija se da je

ErP =N

∑i=1

π1Xiri1 + . . .+N

∑i=1

πMXiriM

∑i=1

Xi(π1ri1 + . . .+πMriM)

∑i=1

∑j=1

π jri j.

4.2 Populaciona varijansa obrtaVarijansa populacije predstavlja prosek kvadrata odstupanja obrta od njegove ocekivane vredno-sti. Dok je uzoracka varijansa zapravo prosek nastao deljenjem sa brojem opservacija, popula-ciona varijansa je sredina ponderisanih kvadratnih odstupanja od srednje vrednosti njihovimverovatnocama realizacije.

Za izracunavanje populacione varijanse neophodno je:(i) Identifikovati razlicite scenarije(ii) Utvrditi obrt po svakom scenariju(iii) Zadati verovatnoce sa kojima se realizuje svaki od scenarija.Populaciona varijansa za jednu aktivu je izražena preko ocekivanja na sledeci nacin

σ2 = E(r−Er)2. (4.2)

Da bi se na ovaj nacin izracunala varijansa neophodno je navesti broj mogucih scenarijakao i verovatnoce realizacije svakog od njih. Neka M predstavlja broj mogucih scenarija, r jobrt po j-tom scenariju i π j verovatnocu njegove realizacije. Tada je populaciona varijansaobrta aktive jednaka

∑j=1

π j(r j−Er j)2.

Populaciona standardna devijacija je kvadratni koren varijanse, odnosno

√√√√ M

∑j=1

π j(r j−Er j)2.

4.3 Populaciona kovarijansa obrtaKovarijansa uzorka je bila uvedena kao mera relativne promene obrta dve aktive.

Za dve aktive A i B, populaciona kovarijansa σAB se definiše na sledeci nacin

σAB = E (rA−ErA)(rB−ErB) .

Neka M predstavlja broj mogucih scenarija, pri cemu je verovatnoca realizacije j-tog π j.Neka su rA j i rB j obrti aktiva A i B, respektivno, po j-tom scenariju. Kovarijansa izmedu obrtaaktiva A i B je

σAB =M

∑j=1

π j(rA j−ErA)(rB j−ErB).

Populaciona kovarijansa obrta može biti pozitivna ili negativna. Negativna kovarijansanastaje kada se obrti ove dve aktive krecu u suprotnim smerovima, odnosno, ako je obrt aktiveA iznad obrta u srednjem (rA j−rA > 0) tada je obrt aktive B ispod obrta u srednjem (rB j−rB <0) i obrnuto. Kovarijansa je pozitivna ukoliko se obrti krecu u istom smeru, tj. ako su oba iliispod ili iznad ocekivanog obrta.

Glava 5

Varijansa portfolija

Izracunavanja varijanse obrta jedne aktive kao i kovarijanse obrta izmedu dve aktive su ne-ophodna za odredivanje varijanse portfolija. Vec je ranije pokazano kako varijansa portfolijazavisi od varijansi aktiva od kojih je posmatrani portfolio sastavljen. Nije dovoljna samo sumavarijansi aktiva. Zbog toga je izbor aktiva koje ce kreirati portfolio i esencijalno pitanje kojimse bavi analiza investiranja.

Varijansa obrta portfolija se može izraziti na isti nacin kao i varijansa obrta individualneaktive. Ako je rP obrt posmatranog portfolija, tada je varijansa portfolija σ2

P sledeca

σ2P = E(rP−ErP)

2. (5.1)

Cilj je naci drugaciji oblik formule (5.1) za izracunavanje varijanse. Postizanje ovog ciljatrebalo bi da dovede do razumevanja kako je varijansa obrta portfolija povezana sa varijansamaobrta aktiva koje ulaze u njegov sastav i kovarijansama izmedu obrta vec pomenutih aktiva.

Analiza pocinje proucavanjem varijanse portfolija koji se sastoji od dve aktive. Dobijenirezultat se zatim proširuje na portfolio sa proizvoljnim brojem aktiva.

5.1 Portfolio sastavljen od dve aktiveNeka se razmatra portfolio sastavljen od dve aktive A i B sa udelima XA i XB. Na osnovu defini-cije populacione varijanse, varijansa obrta portfolija predstavlja ocekivanu vrednost kvadrataodstupanja obrta portfolija od ocekivanog obrta.

Kako je obrt portfolija rP = XArA +XBrB, dobija se

σ2P = E((XArA +XBrB)− (XAErA +XBErB))

Grupisanjem clanova koji se odnose na aktive A i B posebno sledi

σ2P = E(XA(rA−ErA)+XB(rB−ErB))

Posle kvadriranja unutar ocekivanja, formula dobija sledeci oblik

σ2P =E[X2

A(rA−ErA)2 +X2

B(rB−ErB)2 +2XAXB(rA−ErA)(rB−ErB)]

=E[X2A(rA−ErA)

2]+E[X2B(rB−ErB)]

2 +2E[XAXB(rA−ErA)(rB−ErB)].

Udeli aktiva u portfoliju su konstante, tako da je

σ2P =X2

AE(rA−ErA)2 +X2

BE(rB−ErB)2

+2XAXBE(rA−ErA)(rB−ErB).(5.2)

Prvi clan u formuli (5.2) predstavlja varijansu obrta aktive A, drugi clan predstavlja varijansuobrta aktive B, dok treci clan predstavlja kovarijansu obrta ovih dveju aktiva. Konacno

σ2P = X2

Aσ2A +X2

Bσ2B +2XAXBσAB. (5.3)

Formula (5.3) se može koristiti za izracunavanje varijanse obrta portfolija koji se sastoji oddve aktive ukoliko su poznate varijanse obrta ovih dveju aktiva kao i odgovarajuca kovarijansa.Prethodni rezulatat se odnosi na populacionu varijansu, ali se isto tako može koristiti i zaizracunavanje uzoracke varijanse obrta portfolija koristeci uzoracke varijanse i kovarijanse.

5.2 Koeficijent korelacijePostoji i alternativni izraz kojim se može predstaviti varijansa obrta portfolija. Kovarijansaje vec bila objašnjena kao tendencija kretanja obrta dve aktive u uslovno receno istim ilirazlicitim smerovima. Iako znak kovarijanse ukazuje na smer kretanja obrta, ipak vrednostkovarijanse sama po sebi ne otkriva koliko je jak odnos izmedu ova dva obrta. Na primer, datuvrednost kovarijanse mogu generisati dve aktive koje imaju velika odstupanja od ocekivanevrednosti ali je sa druge strane slaba veza izmedu njihovih kretanja, ili pak, dve aktive ciji suobrti veoma usko povezani ali se pojedinacno ne razlikuju mnogo od ocekivane vrednosti.

Da bi se utvrdila jacina veze, potrebno je odrediti kovarijansu u odnosu na odstupanje odocekivane vrednosti za svaku aktivu posebno. To se postiže primenom koeficijenta korelacijekoji se odnosi na standardna odstupanja (standardne devijacije) i kovarijanse. Koeficijentkorelacije izmedu obrta aktiva A i B je definisan kao

ρAB =σAB

σAσB

i važi da je −1≤ ρAB ≤ 1.Vrednost ρAB = 1 ukazuje na to da postoji savršena pozitivna korelacija, tj. promena obrta

ove dve aktive je uskladena. Oslanjanjuci se na primer sa scenarijima u nekom od prethodnihpoglavlja, u smislu obrta po razlicitim scenarijima, savršena pozitivna korelacija ukazuje nato da ako je obrt jedne aktive veci po scenariju j nego po scenariju k, tada je takav i obrt drugeaktive. Suprotno tome, ρAB = −1 ukazuje na savršenu negativnu korelaciju: obrti dve aktivese uvek krecu u suprotnim smerovima, tako da, ako je obrt jedne aktive veci po j-tom scenarijunego po k-tom, tada je obrt druge aktive niži po j-tom scenariju nego po k-tom. Veoma cestprimer negativne korelacije je korelacija izmedu cene sirove nafte i akcija avio-kompanija.Mlazno gorivo, koje se dobija iz sirove nafte, predstavlja velike troškove za avio-kompanijei ima znacajan uticaj na njihovu profitabilnost i zaradu. Ako cena sirove nafte poskupi, to bimoglo negativno da utice na zaradu avio-kompanija, a samim tim i na cene njihovih akcija.

Ali ako cene nafte budu niže, u tom slucaju bi se dobit avio-kompanija trebao povecati, kao icene njihovih akcija.

Korišcenjem koeficijenta korelacije, varijansa obrta portfolija je

σ2P = X2

Aσ2A +X2

Bσ2B +2XAXBρABσAσB. (5.4)

Iz formule (5.4) se može primetiti da negativni koeficijent korelacije smanjuje ukupnu vari-jansu portfolija.

5.3 Opšta formulaFormula za izracunavanje varijanse obrta portfolija, sada se može proširiti na proizvoljan brojaktiva. Ovo proširenje je postignuto time što formula za varijansu obrta portfolija ukljucujevarijansu svake aktive kao i njenu kovarijansu sa svakom drugom aktivom.

Neka se portfolio sastoji od N aktiva ciji su udeli u portfoliju Xi, i = 1, ...,N. Tada jenjegova varijansa jednaka

σ2P =

∑i=1

X2i σ

∑k=1k 6=i

XiXkσik

. (5.5)

Treba napomenuti da za N = 2, formula (5.5) se svodi na formulu (5.4) za portfolio koji sesastoji od dve aktive. Prethodna formula se može pojednostaviti korišcenjem cinjenice da jeσii = σ2

i , pa se dobija

σ2P =

∑i=1

∑k=1

XiXkσik = XTV X , (5.6)

gde su matrice X i V

X1X2...

1 σ12 · · · σ1Nσ21 σ2

2 · · · σ2N...

... . . . ...σN1 σN2 · · · σ2

Formula (5.6) može biti predstavljena i preko koeficijenata korelacije.

σ2P =

∑i=1

∑j=1

XiX jσiσ jρi j.

Znacaj ove formule je u tome što ona predstavlja meru rizika bilo kog portfolija, bez obzirana to koliko je aktiva ukljuceno. Sve neophodne informacije su udeli aktiva u portfoliju, kao ikovarijansna matrica obrta aktiva.

Varijansa obrta portfolija se može još zapisati kao

σ2P =

∑i=1

∑j=1

XiX jσi j =N

∑i=1

∑j=1

X jσi j

Ukupna varijansa obrta aktive i unutar portfolija zavisi od σ2i ali i od kovarijanse sa drugim

aktivama u portfoliju, tako da je

∑j=1

X jσi j =N

∑j=1

X j cov(ri,r j

)= cov

∑j=1

X jr j

)= cov(ri,rP) = σiP.

Relativna vrednost ukupne varijanse obrta aktive i u varijansi obrta portfolija jednaka je

∑Nj=1 X jσi j

i važi da jeN

∑i=1

XiσiP

σ2P= 1.

5.4 Efekat diversifikacijeU ovom poglavlju se, kroz efekat diversifikacije, ogleda primena formule za izracunavanjevarijanse obrta portfolija. Diversifikacija zapravo predstavlja kupovinu veceg broja razlicitihaktiva. Prirodno je diversifikaciju smatrati kao nacin za smanjenje rizika, jer ce u portfolijusa velikim brojem aktiva slucajne fluktuacije obrta pojedinih aktiva imati tendenciju da seneutrališu.

Da bi se ovaj efekat formalizovao, neka se razmatra N aktiva sa jednakim udelima u port-

foliju koji cine, što znaci da je Xi =1N

, i= 1, ...,N. U ovom slucaju je varijansa obrta portfolija

σ2P =

∑i=1

N2 σ2i +

∑k=1,k 6=i

1N2 σik

∑i=1

σ2i +

N−1N

∑i=1

∑k=1,k 6=i

1(N−1)N

Sledeca formula predstavlja sredinu varijansi obrta N aktiva

σ2a =

∑i=1

σ2i ,

a sredina kovarijansi obrta izmedu svih parova aktiva u portfoliju je

σab =N

∑i=1

∑k=1,k 6=i

1(N−1)N

Tada varijansa obrta portfolija postaje

σ2P =

σ2a +

N−1N

Kako diversifikacija predstavlja zauzimanje pozicija u vecem broju razlicitih aktiva, to impli-cira i povecanje broja N. Ekstremna diversifikacija se dešava kada se broj aktiva u sastavunekog portfolija neograniceno povecava. Ovo se formalno može predstaviti kada N −→∞ iodrediti kakav efekat ima na varijansu obrta portfolija. Kada N −→∞, prvi sabirak ce kon-vergirati ka nuli, a drugi sabirak ce konvergirati ka σab. Tada

σ2P→ σab, N −→∞.

Ovaj rezultat ukazuje na to da u dobro diversifikovanom portfoliju, samo kovarijansa izmeduobrta aktiva utice na varijansu obrta portfolija. Drugim recima, varijansa obrta pojedinacnihaktiva se može eliminisati diversifikacijom, što potvrduje polaznu cinjenicu o posledici diver-sifikacije.

Glava 6

Efikasna granica

Odluka o investiranju ukljucuje uporedivanje obrta i rizika razlicitih potencijalnih portfolija.U prethodnom poglavlju je pokazano kako se izracunava ocekivani obrt portfolija kao i vari-jansa tog obrta. Da bi napravio dobar izbor portfolija, investitor mora da zna za mogucekombinacije rizika i obrta koje se mogu postici potencijalnim portfolijima. Samo uz oveinformacije moguce je napraviti dobar izbor portfolija.

Polazna osnova za istraživanje odnosa rizika i obrta jeste posmatrati portfolio koji se sastojiiz dve rizicne aktive. Odnos izmedu rizika i obrta naziva se granica portfolija i ona zavisi odkoeficijenta korelacije obrta izmedu dve aktive. U ovoj glavi se uvode pojmovi minimalnevarijanse portfolija i efikasne granice kao skupa aktiva sa maksimalnim obrtom za odredeninivo rizika. Kasnije je pokazano da portfolio minimalne varijanse zauzima centralnu ulogu uidentifikovanju efikasnih portfolija.

Ogranicenja u vidu broja aktiva koja ulaze u sastav portfolija i nemogucnost kratke prodajeaktiva su sa ciljem da se analiza približi prakticnoj primeni. Ukljucivanje kratke prodajeproširuje granicu portfolija ali ne menja njen oblik. Uvodenjem dodatne rizicne aktive u port-folio formira se skup efikasnih granica. Skup granica se ogranicava uvodenjem bezrizicnihaktiva, kako sa jednom, tako i sa više kamatnih stopa.

Rezultat ove analize je taj da investitor dobija skup portfolija sa malim rizicima iz kogamože izvršiti izbor, kao i skup porfolija sa visokim rizicima koji ne razmatra.

6.1 Portfolio sastavljen od dve aktiveNeka je dat portfolio koji se sastoji od dve rizicne aktive, pri cemu kratka prodaja nije moguca.On je osnova za dalje razmatranje portfolija sastavljenih od više aktiva.

Neka su A i B aktive od kojih se sastoji posmatrani portfolio i neka važi da je obrt u sre-dnjem aktive A manji od obrta u srednjem aktive B, što zapravo znaci da je rA < rB. Varijansaobrta aktive A mora da bude manja od varijanse obrta aktive B da bi se neki investitor odlucioda aktivu A ukljuci u svoj portfolio. Dakle, neka važi i pretpostavka da je σ2

A < σ2B. Ako ovi

uslovi nisu ispunjeni ne bi trebalo odabrati nijednu od aktiva A i B. Ako bi obrt i odstupanjaove dve aktive bili isti, nevažno je koja ce od njih biti ukljucena u portfolio.

Neka su XA i XB udeli aktiva A i B, respektivno, u portfoliju za koje važi XA +XB = 1.

Nemogucnost kratke prodaje aktiva podrazumeva da mora da važi XA ≥ 0 kao i XB ≥ 0. Trebaposmatrati odnos izmedu standardne devijacije obrta portfolija σp i obrta u srednjem portfolijarp u slucaju kada XA i XB variraju. Razlog za posmatranje ovog odnosa jeste taj što upravo onotkriva nacin na koji investitor može izmenom sastava portfolija smanjiti ili neutralisati njegovrizik.

Standardno odstupanje obrta portfolija sastavljenog od dve aktive je

σp = (X2Aσ

2A +X2

Bσ2B +2XAXBρABσAσB)

Standardna devijacija obrta portfolija zavisi od koeficijenta korelacije ρAB, tako da se nadaljeispituje kako odnos standardne devijacije obrta i obrta u srednjem zavisi od vrednosti koefi-cijenta korelacije.

Slede slucajevi kada izmedu obrta postoji savršena pozitivna i savršena negativna korela-cija, a zatim i slucaj kada se koeficijent korelacije nalazi izmedu −1 i 1.

Prvi slucaj: ρAB = 1 (Savršena pozitivna korelacija)U slucaju savršene pozitivne korelacije obrti aktiva se istovremeno ili povecavaju ili smanjuju.

Menjajuci u formuli za standardnu devijaciju obrta portfolija ρAB = 1, ona postaje

σp = (X2Aσ

2A +X2

Bσ2B +2XAXBσAσB)

= XAσA +XBσB.(6.1)

Prethodni izraz pokazuje da je standardno odstupanje obrta portfolija zapravo ponderisanasuma standardnih devijacija pojedinacnih aktiva, gde su ponderi udeli aktiva u portfoliju.Treba još primetiti da i obrt u srednjem portfolija

rp = XArA +XBrB, (6.2)

predstavlja ponderisanu sumu obrta u srednjem pojedinacnih aktiva.

Primer 5 Neka obrt u srednjem aktive A (izražen u procentima) iznosi rA = 1, standardnadevijacija σA = 2, dok je obrt u srednjem aktive B rB = 10 i standardna devijacija σB = 8.U Tabeli 6.1 se nalaze obrti u srednjem i standardne devijacije obrta razlicitih portfolijasastavljenog od dve aktive, izracunati primenom formula (6.1) i (6.2), ciji su obrti savršenopozitivno korelirani. Vrednosti iz tabele su predstavljene na Slici 6.1.

XA 0 0.25 0.5 0.75 1XB 1 0.75 0.5 0.25 0rp 10 7.75 5.5 3.25 1σp 8 6.5 5 3.5 2

Tabela 6.1: Savršena pozitivna korelacija

Slika 6.1: Savršena pozitivna korelacija

Slika 6.1 pokazuje da je odnos izmedu σp i rp linearan. Potrebno je naci jednacinu pravekojom se opisuje rp u odnosu na σp.

Kako je XB +XA = 1, to je XB = 1−XA. Zamenom, iz jednacina (6.1) i (6.2), dobija sejednacina prave

(rBσA− rAσB

σA−σB

(rA− rB

σA−σB

koja opisuje linearnu vezu izmedu obrta u srednjem i standardne devijacije obrta portfolija.Odnos koji je dobijen izmedu standardne devijacije obrta i obrta u srednjem naziva se

granica portfolija. Ona pokazuje kako promena udela aktiva A i B u portfoliju utice na pro-menu rizika i obrta samog portfolija. Slika 6.2 predstavlja moguce kombinacije udela aktivaA i B za datu granicu portfolija.

Slika 6.2: Granica portfolija sa savršenom pozitivnom korelacijom

Drugi slucaj: ρAB =−1 (Savršena negativna korelacija)Savršena negativna korelacija nastaje onda kada rast obrta jedne aktive prati pad druge.

Kada je ρAB =−1, standardna devijacija portfolija je

σp =(X2

Aσ2A +X2

Bσ2B−2XAXBσAσB

= |XAσA−XBσB|,

odnosnoσp = XAσA−XBσB ili σp =−XAσA +XBσB. (6.3)

Kako postoje dva moguca rešenja, potrebno je utvrditi koje je pravo rešenje jednacine. Kakoje XB = 1−XA, standardna odstupanja obrta su

σp = XA(σA +σB)−σB ili σp =−XA(σA +σB)−σB.

Naravno, za odredeni portfolio uzima se formula koja daje pozitivnu vrednost σp.

Primer 6 Neka obrt u srednjem aktive A (izražen u procentima) iznosi rA = 2, standardnadevijacija obrta σA = 2, dok je obrt u srednjem aktive B rB = 4 i standardna devijacija σB = 6.U Tabeli 6.2 se nalaze obrti u srednjem i standardne devijacije obrta razlicitih portfolija,izracunate primenom (6.3), sastavljenog od dve aktive ciji su obrti savršeno negativno kore-lirani. Vrednosti iz Tabele 6.2 su predstavljene na Slici 6.3.

XA 0 0.25 0.5 0.75 1XB 1 0.75 0.5 0.25 0rp 4 3.5 3 2.5 2σp 6 4 2 0 2

Tabela 6.2: Savršena negativna korelacija

Slika 6.3: Savršena negativna korelacija

Cilj je minimizirati rizik, a to se postiže tako što se kreira portfolio cija je standardnadevijacija obrta 0. Tada se dobija da je

XA(σA +σB) = σB,

odnosnoXA =

σA +σB,

tako da jeXB =

σA +σB.

Dakle, portfolio koji je sastavljen od aktiva A i B sa udelima σBσA+σB

i σAσA+σB

u portfoliju, imacestandardnu devijaciju jednaku nuli.

Na Slici 6.4 se mogu uociti moguce kombinacije udela aktiva A i B za datu granicu port-folija.

Slika 6.4: Granica portfolija sa savršenom negativnom korelacijom

Treci slucaj: −1 < ρAB < 1Za vrednosti koeficijenta korelacije izmedu −1 i 1 granica portfolija bice kriva.

Potrebno je napomenuti da negativna korelacija ima veliki uticaj na upravljanje kapitalominvestitora, na odlucivanje o raspodeli raspoloživih sredstava. Investitori veruju da bi se rizicikoji se odnose na portfolio diversifikovali ukoliko bi mogli da sastave portfolio sa negativnokoreliranim aktivama. Investitori najcešce prave portfolije sa negativno koreliranim aktivamaukoliko ocekuju pad tržišta ili veliku nestabilnost na istom.

Primer 7 Neka obrt u srednjem aktive A (izražen u procentima) iznosi rA = 2, standardnadevijacija obrta σA = 2, dok je obrt u srednjem aktive B rB = 8 i standardna devijacija obrtaσB = 6. U Tabeli 6.3 se nalaze obrti u srednjem i standardne devijacije obrta razlicitih portfo-lija sastavljenih od dve aktive za koje važi da je ρAB = 1

2 . Vrednosti iz tabele su predstavljenena Slici 6.5.

XA 0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1XB 1 0.875 0.75 0.625 0.5 0.375 0.25 0.125 0rp 8 7.25 6.5 5.75 5 4.25 3.5 2.75 2σp 6 5.13 4.27 3.44 2.65 1.95 1.50 1.52 2

Tabela 6.3: Obrt i standardna devijacija obrta kada je ρAB = 12

Slika 6.5: Granica portfolija sa korelacijom 0.5

Na Slici 6.5 se vidi da ne postoji portfolio sa standardnom devijacijom obrta jednakom0, ali postoji portfolio koji minimizira tu standardnu devijaciju. Ovakav portfolio se nazivaportfolio minimalne varijanse. Sastav ovakvog portfolija može se videti sa grafika.

Cinjenica da postoji portfolio minimalne varijanse obrta je veoma važna za analizu ulaganja.Sa Slike 6.5 se vidi da se portfoliji sa manjim obrtom u srednjem od portfolija sa minimalnomvarijansom nalaze u donjem delu krive. Suprotno tome, portfoliji sa vecim obrtom u sre-dnjem od portfolija sa minimalnom varijansom nalaze u gornjem delu krive. Ovo dovodi dozakljucka da svaki efikasan portfolio ima obrt u srednjem barem koliko i portfolio minimalnevarijanse.

Sva prethodna razmatranja se sada mogu sumirati i graficki prikazati na Slici 6.6. Sasavršeno pozitivnom korelacijom, granica portfolija ima pozitivan nagib i predstavlja linearnuvezu izmedu rizika i obrta. Suprotno, kada je u pitanju savršeno negativna korelacija, gran-ica portfolija se sastoji iz dve prave pozitivnog i negativnog nagiba koje se spajaju u tackikoja predstavlja portfolio nulte varijanse. Za bilo koji portfolio koji se nalazi na pravoj sapozitivnim nagibom postoji portfolio koji se nalazi na pravoj sa negativnim nagibom sa istimstandardnim odstupanjem, ali vecim obrtom. Za sve vrednosti koeficijenta korelacije izmedu−1 i 1, grafik je blago zaobljena konkavna kriva. Porfolio minimalne varijanse odvaja efikasneportfolije od onih koji to nisu.

Slika 6.6: Korelacija i granica portfolija

Primer 8 U periodu od septembra 1998. do septembra 2003. obrti akcija kompanijaAfrican Gold (kojima se trguje u Velikoj Britaniji) i Walmart (kojima se trguje u SAD) imalisu kovarijansu jednaku −0.035. Varijansa obrta akcija kompanije African Gold iznosila je0.047, dok je varijansa obrta kompanije Walmart iznosila 0.081. Odavde proizilazi da je koe-ficijent korelacije−0.858. Granica portfolija za ove akcije prikazana je na Slici 6.7, gde tackaA predstavlja portfolio sacinjen od akcija kompanije African Gold, dok tacka B predstavljaportfolio sacinjen od akcija kompanije Walmart.

Slika 6.7: African Gold i Walmart

6.2 Kratka prodajaKratka prodaja predstavlja prodaju pozajmljene akcije, što znaci da je udeo te aktive u portfo-liju negativan. Dakle, kratkom prodajom, udeo aktive može biti negativan, ali opet, zbir udelasvih aktiva koje cine taj portfolio mora biti jednak 1, XA +XB = 1. Na primer, ukoliko sekratka prodaja odnosi na aktivu A, ova aktiva je pozajmljena i prodata, tako da je XA < 0, alitada mora postojati duga pozicija u aktivi B, i tada je XB > 1.

Kratka prodaja aktive povecava granicu portfolija van granice definisane portfolijima XA =0, XB = 1 i XA = 1, XB = 0. Posledice ove promene se mogu lako ilustrovati u slucaju savršenepozitivne korelacije, kao što je prikazano na Slici 6.8. Kao što je poznato, obrt u srednjem istandardna devijacija obrta su

rp = XArA +(1−XA)rB, σp = XAσA +(1−XA)σB.

Bez kratkih prodaja, formule za ocekivani obrt i standardnu devijaciju obrta važe samo zavrednosti XA takve da je 0 ≤ XA ≤ 1. Ali sa kratkom prodajom, prethodne formule važe zasve vrednosti XA za koje je standardna devijacija pozitivna. Ovaj uslov odreduje iz kog skupavrednosti može biti XA koje je odredeno sa σA i σB.

Slika 6.8: Kratka prodaja sa savršenom pozitivnom korelacijom

Proširenje granice portfolija prilikom kratke prodaje, kada je −1 < ρ < 1 ilustrovano jena Slici 6.9. Treba napomenuti da koordinate tacaka na grafiku predstavljaju udele aktiva uportfoliju. Proširenje granice portfolija sastavljenog iz aktiva A i B je moguce i zauzimanjemkratke pozicije u aktivi B, a duge u aktivi A.

Slika 6.9: Efekat kratke prodaje

6.3 Efikasna granicaVažna uloga portfolija minimalne varijanse je vec opisana. Za svaki portfolio, koji je pred-stavljen tackom na granici portfolija, sa nižim ocekivanim obrtom od portfolija minimalnevarijanse, postoji drugi portfolio koji ima isto standradno odstupanje, ali veci obrt. Kada ovozna, investitor onda može da bira izmedu portfolija najmanje varijanse i onog koji ima veciobrt.

Skup portfolija sa obrtima višim ili jednakim obrtu portfolija minimalne varijanse, naziva

se efikasna granica. Efikasna granica, dakle, predstavlja skup iz koga ce investitor izabratiportfolio koji je na dobitku. Uobicajeni oblik efikasne granice prikazan je na Slici 6.10.

Slika 6.10: Efikasna granica

Za svaku vrednost ρAB postoji portfolio minimalne varijanse. Izracunavanje udela aktivau portfoliju minimalne varijanse je bitna stvar koja ce nadalje biti razmatrana. Ovi udeli sedobijaju minimiziranjem varijanse obrta. Varijansa može biti zapisana samo primenom XA,menjajuci XB = 1−XA. Tada je

σ2p ≡ X2

Aσ2A +(1−XA)

2B +2XA (1−XA)ρABσAσB.

Traženjem parcijalnog izvoda po promenljivoj XA, dobija se

∂σ2p

∂XA≡ 2(XAσ

2A− (1−XA)σ

2B +(1−XA)ρABσAσB−XAρABσAσB) = 0,

odakle se konacno dobija

XA =σ2

B−σAσBρAB

σ2A +σ2

B−2σAσBρAB.

Za portfolio sastavljen iz dve aktive, prethodno dobijena formula za izracunavanje udela aktivaA i B garantuje da taj portfolio postaje portfolio minimalne varijanse za date vrednosti σA, σBi ρAB.

U slucaju savršene pozitivne korelacije udeo aktive A je

XA =σ2

B−σAσB

σ2A +σ2

B−2σAσB=

σB−σA,

dok je u slucaju savršene negativne korelacije

XA =σ2

B−σAσB

σ2A +σ2

B +2σAσB=

σB +σA.

Primer 9 Na osnovu podataka iz Primera 8, portfolio minimalne varijanse koji se sastoji odakcija kompanija African Gold i Walmart je

XA =0.081+0.047

12 0.081

12 0.858

0.047+0.081+2×0.04712 0.081

12 0.858

= 0.57,

XB = 0.43,

gde aktiva A predstavlja akcije kompanije African Gold, dok aktiva B predstavlja akcije kom-panije Walmart. Ako je obrt u srednjem akcije kompanije African Gold rA = −0.1, obrt usrednjem akcije kompanije Walmart rA = 0.2, tada je obrt u srednjem portfolija

rp =−0.1×0.57+0.2×0.43 = 0.029,

a standardna devijacija obrta

σp =[0.5720.047+0.4320.081−2×0.57×0.43×0.047

12 0.081

12 0.858

] 12= 0.06.

Na Slici 6.7 tacka A predstavlja portfolio sastavljen samo od akcija kompanije AfricanGold i tacka B predstavlja portfolio sastavljen samo od akcija kompanije Walmart. Primecujese da se efikasna granica sastoji od portfolija sastavljenih od najmanje 47% akcija kompanijeAfrican Gold i najviše 53% akcija kompanije Walmart.

6.4 Portfolio koji se sastoji iz više aktivaSledeci korak u daljoj analizi jeste posmatranje portfolija sastavljenih iz veceg broja aktiva.Prva posledica uvodenja veceg broja aktiva je ta da postoji veliki broj portfolija koji se mogukreirati. Definicija efikasne granice ostaje kao skup portfolija sa obrtom koji iznosi bar ko-liko i obrt portfolija sa najmanjim standardnim odstupanjem. Ali, u ovom slucaju, ona se nedobija jednostavnim razmatranjem dve aktive, vec se konstruiše razmatranjem svih mogucihkombinacija aktiva u portfoliju.

Proces analize kombinacija aktiva u portfoliju olakšava sledeca cinjenica: portfolio se uvekmože posmatrati kao aktiva koja ima obrt u srednjem i standardnu devijaciju. Konstrukcijaportfolija kombinovanjem dva portfolija se analiticki ne razlikuje od konstrukcije portfolijapomocu dve aktive. Dakle, prilikom kombinovanja portfolija, odnos izmedu obrta u srednjemi standardnog odstupanja u odnosu na udele varira, pa se dobijaju razlicite krive, kao na Slici6.11. Oblik krive zavisice od koeficijenta korelacije izmedu obrta portfolija. Kombinovanjeaktiva A i B je predstavljeno prvom krivom. Drugom krivom je predstavljena kombinacijaaktiva C i D. Kombinovanje prvog i drugog portfolija je predstavljeno ljubicastom linijom.Zatim, kombinovanje portfolija 3 i 4 predstavljeno je narandžastom krivom. Ovaj proces sedalje može nastaviti kombinovanjem portfolija predstavljenih razlicitim krivama.

Slika 6.11: Konstrukcija skupa portfolija

Prethodni postupak kombinovanja se može nastaviti sve dok se ne dobiju svi moguci port-foliji. Kao što je vec opisano, svaka kombinacija portfolija generiše jednu krivu koja pred-stavlja granicu portfolija, koja je uvek konkavna. Efikasna granica je onaj deo granice port-folija koji pocinje portfolijom minimalne varijanse i ukljucuje sve one portfolije na granicisa obrtom vecim ili jednakim obrtu portfolija minimalne varijanse. Sve ove karakterisitike suprikazane na Slici 6.12.

Slika 6.12: Granica portfolija kao omotac

Osim onih na granici, postoje i oni portfoliji sa kombinacijama obrta i standardnih devi-jacija obrta koji se nalaze unutar granice. Stoga, granica portfolija i portfoliji koji se nalazeunutar granica, nazivaju se skup portfolija. Ovaj skup je prikazan na Slici 6.13.

Slika 6.13: Skup portfolija

6.5 Bezrizicna aktivaU dosadašnjem radu su razmatrane samo rizicne aktive. U nastavku bice reci o bezrizicnimaktivama koje imaju uticaj na izgled efikasne granice portfolija.

Normalno je pretpostaviti da bezrizicne aktive poticu iz pouzdanih izvora, kao što jedržava. Naime, jedna vrsta takvih aktiva su državne obveznice koje emituju državne institu-cije (trezori). Obrt bezrizicnih investicija se može posmatrati kao kamatna stopa. Potrebno jenapomenuti da su kamatne stope koje se odnose na pozajmljivanje i zaduživanje bezrizicnihaktiva ekvivalentne. Dakle, nadalje ce važiti ova pretpostavka.

Ranije je receno da se portfolio sastavljen od rizicnih aktiva može posmatrati kao jedna(složena) rizicna aktiva koja ima svoj obrt i odstupanje i to važi sve dok su udeli aktiva u port-foliju konstantni. Kombinovanje ovakvog portfolija sa bezrizicnom aktivom može se posma-trati kao kombinovanje dve aktive. Koristeci ovaj pristup može se razmatrati efekat kombi-novanja portfolija sastavljenog od rizicnih aktiva sa bezrizicnom, bez detaljnih informacija osastavu portfolija sa rizicnim aktivama.

Neka je dat portfolio sastavljen od rizicnih aktiva. Neka rp predstavlja obrt u srednjemportfolija, a σ2

p njegovu varijansu. Neka se ovaj portfolio kombinuje sa bezrizicnom aktivomi neka r f predstavlja obrt bezrizicne aktive. Neka udeo u celokupnoj investiciji koji se odnosina rizicni portfolio bude X , dok je udeo koji se odnosi na bezrizicnu aktivu 1−X .

Obrt u srednjem kombinovanog portfolija je

rP = (1−X)r f +Xrp,

dok je njegova standardna devijacija

σP =((1−X)2

σ2f +X2

σ2p +2X(1−X)σpσ f ρp f

Po definiciji, varijansa bezrizicne investicije je jednaka 0, pa je σ2f = 0 i ρp f = 0. Tada standar-

dna devijacija postajeσP = Xσp,

odakle se dobija

X =σP

Obrt u srednjem je tada jednak

rP = r f +

(rp− r f

Na Slici 6.14 se nalazi prava obrta portfolija dobijenog kombinovanjem rizicnih i bezricinihaktiva ciji je presek sa jednom osom u tacki r f , dok je nagib prave rp−r f

Slika 6.14: Uvodenje bezrizicne aktive

Ponavljajuci prethodni postupak za ostale tacke granice portfolija, dobija se skup linija,gde ce svaka odgovarati jednom portfoliju sastavljenog iz rizicnih aktiva. Ove linije imaju istepreseke sa vertikalnom osom, ali razlicite nagibe, što je prikazano na Slici 6.15 za tri razlicitaportfolija, 1, 2 i 3.

Slika 6.15: Razliciti portfoliji rizicnih aktiva

Završni korak u celoj ovoj analizi je pronalaženje efikasne granice. Sa Slike 6.15 se možeprimetiti da skup portfolija na pravoj ciji grafik prolazi kroz tacku 3 ima veci obrt za bilo kojustandardnu devijaciju nego oni koji prolaze kroz tacke 1 i 2. Skup efikasnih portfolija ce setada nalaziti na liniji koja obezbeduje najveci obrt za bilo koju varijansu. Drugim recima,efikasna granica je prava ciji je nagib rp−r f

σpnajveci. Graficki gledano, ta prava je zapravo

tangenta granice portfolija za rizicne aktive, što je prikazano na Slici 6.16, gde T predstavljatangentni portfolio.

Slika 6.16: Efikasna granica portfolija sa bezrizicnom aktivom

Kada je u portfolio ukljucena bezrizicna aktiva efikasna granica je linearna i svi portfolijina toj granici su kombinacije pozicija u bezrizicnoj i rizicnoj aktivi. Levo od tacke T investitorposeduje duge pozicije u bezrizicnoj i rizicnoj aktivi, dok desno od T zauzima duge pozicijeu rizicnoj i kratke u bezrizicnoj aktivi.

Ako dve rizicne aktive, A i B, nisu korelirane i X predstavlja udeo aktive A u portfolijusastavljenog od ovih aktiva, tada je tangentni portfolio definisan kao

rp− r f

XrA +(1−X)rB− r f(X2σ2

A +(1−X)2σ2B) 1

2. (6.4)

Traženjem prvog izvoda po promenljivoj X , iz (6.4) dobija se

rA− rB(X2σ2

A +(1−X)2σ2B) 1

2− 1

(rAX +(1−X)rB− r f

)(2Xσ2

A−2(1−X)σ2B)

(X2σ2

A +(1−X)2σ2B) 3

2= 0. (6.5)

Rešavanjem po X , iz (6.5) sledi

X =σ2

B(rA− r f

(rB− r f

B(rA− r f

) .Prethodna analiza se može proširiti i na uticaj promene obrta bezrizicne aktive. Neka sudate dve rizicne aktive, A i B, gde je B aktiva sa vecim obrtom i standardnim odstupanjem.

Kako se bezrizican obrt povecava, nagib efikasne granice se smanjuje. U tom slucaju selokacija tangentnog portfolija T pomera udesno duž efikasne granice, što povecava udeo aktiveB u rizicnom portfoliju, a smanjuje udeo aktive A. Baš iz ovoga se može zakljuciti da obrtbezrizicne aktive utice na sastav rizicnog portfolija.

Zakljucak

U ovom radu je pokazano kako se mogu izracunati obrt, varijansa i kovarijansa obrta na osnovuinformacija o aktivama. Takode je pokazano kako se ove mere mogu ukljuciti u izracunavanjemere rizika i obrta portfolija, ukljucujuci i portfolije sa kratkom prodajom jedne ili više aktivakoje ulaze u njegov sastav.

U nastavku je naglašena važnost kovarijanse izmedu obrta aktiva koje ulaze u sastavposmatranog portfolija na njegovu varijansu obrta. Ovo je dodatno istaknuto reprezentaci-jom varijanse preko koeficijenata korelacije i cinjenicom da diversifikacija smanjuje varijansuportfolija i svodi je na srednju vrednost kovarijansi izmedu aktiva u portfoliju.

U šestoj glavi je, pored portfolija sastavljenog od rizicnih aktiva, posmatran i portfolio kojise sastoji i od rizicnih i od bezrizicnih aktiva i ispitivano je kakav je odnos rizika i obrta u obaslucaja i uveden je pojam efikasne granice. Kada se radi o portfolijima sastavljenih samo odrizicnih aktiva, dobija se granica portfolija ciji oblik zavisi od korelacije izmedu obrta aktiva.Zatim je definisan portfolio minimalne varijanse i konstatovano je da on ima veliku uloguprilikom razdvajanja efikasnih od neefikasnih portfolija. Upravo iz prethodne konstatacijeje sledilo uvodenje pojma efikasne granice koja predstavlja skup portfolija ciji su obrti baronoliki koliki je obrt portfolija minimalne varijanse. Konacno je ukljucena i bezrizicna aktivau sastav portfolija, pri cemu efikasna granica postaje tangenta skupa portfolija. Posle svega jei razmotreno kakav uticaj pozajmljivanje i zaduživanje aktiva ima na obrt portfolija.

Treba obratiti pažnju i na to da li u sastav portfolija ulazi i bezrizicna aktiva prilikomformiranja efikasnog skupa. Na osnovu svih cinjenica i rezultata datih u ovom radu, investitormože napraviti razliku izmedu efikasnih i neefikasnih portfolija, gde ce iz skupa efikasnihportfolija izabrati onaj odgovarajuci.

Godine 1952., u "Journal of finance", Harry M. Markowitz (1927 - ) objavio je clanak podnazivom "Portfolio selekcija" (“Portfolio selection”), a 1959. godine knjigu naslovljenu sa"Portfolio selekcija: efikasna diversifikacija investicija" (“Portfolio selection: efficient diver-sification of investments”), koja predstavlja njegovu doktorsku disertaciju. Time je Markovicpostavio temelj opšte teorije o portfolio selekciji, poznatije pod nazivom "moderna portfolioteorija" (“Modern Portfolio Theory“ - MPT), za koju je nekoliko decenija kasnije, 1990., dobioNobelovu nagradu za ekonomiju, koju je podelio sa Mertonom H. Millerom (1923 - 2000) iWilliamom F. Sharpeom (1934 - ). Fundamentalni stavovi moderne portfolio teorije (MPT)predstavljaju za investitora neku vrstu orijentira za upravljanje rizicima, ali i za planiranjeinvesticija uopšte.

Upravljanje investicijama u hartije od vrednosti bazira se na teorijskim dostignucima izoblasti analize i selekcije portfolija. Portfolio teorija koja je imala dve istorijske faze, klasicnu

i modernu, predstavlja analiticki pristup selekciji i menadžmentu portfolija hartija od vredno-sti. Moderna portfolio teorija je u osnovi svake savrmene investicione analize. Novo poglavljeu razvoju portfolio teorije razvio je Markovic svojim delom "Selekcija portfolija" . Ova novasavremena portfolio teorija je u svom razvoju obuhvatala dva pravca: normativni i pozitivni.

Normativna portfolio teorija bavi se investitorima koji odlucuju u uslovima neizvesnosti.Kada bi investitor sa sigurnošcu znao buduce obrte hartija od vrednosti, tada bi on bio zainte-resovan za maksimiziranje ocekivanog obrta svog portfolija. U tom slucaju bi se opredelio zajednu hartiju od vrednosti koja ima najveci obrt. Medutim, Markovic zaklucuje da bi izborportfolija koji samo maksimizira ocekivani obrt bio inferioran, jer se tada investitor ne biopredelio za diversifikaciju portfolija jer njome ne bi postizao ništa posebno. Dakle, neizve-snost je kljucna za analizu racionalnog investicionog ponašanja.

Markovic smatra da za vecinu realnih situacija sa finansijskog tržišta pravilno konstituisanportfolio omogucava smanjenje rizika bez gubitka ocekivanog obrta. Na osnovu toga, omogu-cio je da se identifikuju specificne kombinacije hartija od vrednosti koje na datom nivou rizikamaksimiziraju obrt.

Pozitivna portfolio teorija izucava stanje tržišne ravnoteže pod uslovom da se investitoriponašaju u skladu sa normativnom portfolio teorijom. Ona pokazuje kako bi, pod odredenimuslovima, trebalo vrednovati aktivu na tržištu kapitala.

Literatura

[1] Gareth D. Myles (2003), Investment Analysis[2] Louis Esch, Robert Kieffer and Thierry Lopez (2005), Asset and Risk management, RiskOriented Finance[3] M. Jovanovic, M. Miloševic (2016), Finansijska matematika, Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematicki fakultet, Niš[4] B. Popovic (2009), Matematicka statistika, Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematicki fa-kultet, Niš[5] M. Jovanovic, Uvod u verovatnocu, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematicki fakultet, Niš[6] M. Miloševic, Teorija verovatnoca, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematicki fakultet, Niš[7] M. Jovanovic, Finansijsko modeliranje 1, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu,Prirodno-matematicki fakultet, Niš[8] Izudin Kešetovic, Emira Kozarevic, Fundamentalne pretpostavke i principi moderne port-folio teorije (MPT),Ekonomski fakultet Univerziteta u Tuzli[9] Svetlana Pantelic (2013), Tvorac savremene portfolio teorije

Biografija

Bojana Živkovic je rodena 04.07.1995. godine u Leskovcu. Završila je osnovnu školu"Svetozar Markovic" i Gimnaziju u Leskovcu kao obe sa prosekom 5.00 kao nosilac Vukovediplome.

Osnovne akademske studije na Departmanu za matematiku Prirodno-matematickog fa-kulteta u Nišu upisala je školske 2014/15. godine i završila ih 2017. godine. Iste godineje upisala master akademske studije matematike na Prirodno-matematickom fakultetu u Nišu,smer Verovatnoca, statistika i finansijska matematika. Poslednji ispit položila je oktobra 2019.godine i time stekla pravo na odbranu master rada.

PORTFOLIO TEORIJA · obveznici je naznaˇcena godišnja ﬁksna kamatna stopa koja odre duje koliku...

Documents

Skola Koja Odgaja - Prirucnik

FISKALNA NERAVNOTEŽA I DEFICITARNO FINANSIRANJE …poslovnestudije.com/arhiva/radovi2014/risticzarko... · (amortizacija zajma uz odgovarajuću kamatu) i (2) ako država ne može

GBIPasKo – GBI Pasir Koja

Koja Intervju @ Nedeljnik 11.12.2014

PORUKE KRALJICE LJUBAVI 2000 - kraljicaljubavi.hr fileDjeco, gledajte koliku vam je ljubav darovao Otac: Djeca se Božja zovete ijeste. A svijet vas ne poznaje zato što ne poznaje

HiFEK ECO - Koja

Abses Hepar Koja

Boja Koja Bubri

RAČUNOVODSTVO ZA PODUZETNIKE IIvrijednost mjenice iznosi 150.000 kn, vrijednost eskontne kamate je 7.500 kn, PDV po primljenom računu za kamatu iznosi 1.500 kn. Poslovni subjekt

Za Porodicu Koja Planira

sbplus.hr...Il Tuženici su dužni tužiteljima solidarno platiti parnicni trošak u iznosu od 2.308.724.00 kn. u roku od 8 dana uz zakonsku zateznu kamatu koja teee od dana sudenja

Zadatci za vježbanje - fizikagjb.files.wordpress.com za vježbanje Termodinamika 1. Električnim bojlerom treba zagrijati 22 litre vode 15 ⁰ do 93 ⁰. Koliku snagu mora imati grijač

Škola koja razvija kreativnostilicvojislav.com/assets/files/Skola_koja_razvija...Bognar, B. (2010). kola koja razvija kreativnost. 1 Škola koja razvija kreativnost Značaj kreativnosti

Skola Koja Razvija Kreativnost

ŽIVA BIĆA KOJA

UNIFLAIR - | Materiaalipankki | Koja

1 Omjeri i proporcije - VI. (6) osnovna škola Varaždinos-sesta-vz.skole.hr/upload/os-sesta-vz/newsattach/4320/... · 2017-11-24 · 4 Jednostavni kamatni ra cun 1.Koliku ce kamatu

Hrana koja lijeci

Organizacija koja uči

Stolica koja vrača zdravlje_flayer