Pozitivna teorija opće ekonomske ravnoteže

Pozitivna teorija opće ekonomske ravnoteže

Problem egzistencije rješenja

Uvod

Do sada smo promatrali ponašanje individualnih sudionika ekonomskog sustava (potrošača i proizvođača) i njihove ravnoteže u izolaciji od ostatka ekonomskog sustava

Bila je to metoda parcijalne ravnoteže

Uvod

Međutim, neki problemi u ekonomiji zahtijevaju konceptualni okvir opće ravnoteže ekonomskog sustava

Npr. ekonomski rast, demografske promjene, međunarodni ekonomski odnosi, monetarna politika...

Feedback učinci bitni

Uvod

U modelu parcijalne ravnoteže koristili smo pretpostavku da potrošači imaju kvazilinearne preferencije

U tom sustavu efekt dohotka postoji samo za numéraire (prihvatljivo u tradicionalnoj analizi jednog ili male grupe tržišta)

Za istraživanje ponašanja ekonomije u cjelini, efekt dohotka glavni je izvor povezanosti između tržišta

Uvod

Perspektiva opće ravnoteže podrazumijeva metodološki i teorijski pristup

Metodološki: ekonomija se promatra kao zatvoreni sustav međuzavisnih tržišta koji unutar sebe uspostavlja jednu od mogućih alokacija resursa

Uvod

Poremećaj u okruženju zahtijeva ponovno izračunavanje cijelog skupa endogenih varijabli

Skup egzogenih varijabli nastoji se svesti na minimum

Uvod

Teorijski aspekt: određenje ravnotežnih cijena i količina u sustavu savršeno konkurentnih tržišta (Walrasova teorija tržišta) koristeći samo

osnovne podatke o ekonomiji (lista dobara, stanje tehnologije, preferencije i dohoci);

institucionalnu pretpostavku postojanja kompletnih tržišta, i

pretpostavku ponašanja (sudionici cijene uzimaju kao date)

Uvod

Dakle, problem opće ravnoteže = problem određenja cijena i količina na svim tržištima istovremeno uz uzimanje u obzir njihove složene međupovezanosti

Uvod

Svrha analize opće ravnoteže: istražiti prirodu i faktore koji određuju ravnotežno rješenje

Namjera: razumjeti način na koji tržišni mehanizam koordinira i čini kompatibilnima odvojene odluke svih ekonomskih sudionika, od kojih svaki djeluje u svom vlastitom interesu

Uvod

Velika područja interesa kada se analizira opća ravnoteža u modelu tržišne ekonomije

Da li to rješenje postoji? Ako postoji, da li je rješenje

jedinstveno? stabilno? efikasno?

Plan

U kontekstu analize opće ravnoteže ponovit ćemo koncept ekonomije privatnog vlasništva i definiciju Walrasove opće ravnoteže

Uvest ćemo pojam funkcije viška potražnje Istražit ćemo u kojim uvjetima Walrasova

ravnoteža, shvaćena kao rješenje sustava jednažbi agregatnog viška potražnje, postoji

Ekonomija privatnog vlasništva Neka ekonomski sustav čini:

potrošača proizvođača dobara

( 1,..., )i IIJ ( 1,..., )j JL ( 1,... )l L

Ekonomija privatnog vlasništva Svakog potrošača karakterizira

skup mogućih potrošnji relacija preferencije ≿ na vektor početnog bogatstva vlasničko učešće u profitu za svako poduzeće pri čemu je

Svakog proizvođača karakterizira proizvodni skup

iL

iX

i iXL

i 0ij

1,...,j J1iji

j

LjY

Ekonomska alokacija (ponavljanje)

Ekonomska alokacija

je specifikacija vektora potrošnje

za svakog potrošača

i vektora proizvodnje za svakog proizvođača

1 1( ,... , ,..., )I Jx x y y

i iXx 1,...,i Ij jYy1,...,j J

Ekonomska alokacija (ponavljanje)

Alokacija

je moguća ako ukupna količina svakog dobra koje se troši nije veća od ukupne količine koja je dostupna iz izvora početnog bogatstva i proizvodnje

1 1( ,... , ,..., )I Jx x y y

1 1

1,...,I J

i jl l l

i j

x y l L

Walrasova ravnoteža (ponavljanje)

Alokacija i vektor cijena predstavljaju konkurentsku (Walrasovu) ravnotežu ako su zadovoljeni uvjeti (i) – (iii):

(i) Maksimizacija korisnosti (ii) Maksimizacija profita (iii) Tržišta su u ravnoteži

* * * *1 1( ,..., , ,..., )I Jx x y y

* Lp

Walrasova ravnoteža

Za svakog potrošača i proizvođača možemo izvesti funkcije neto potražnje odnosno ponude

1 2( , ,..., )i il l Lx x p p p

1 2( , ,..., )j jl l Ly y p p p

Walrasova ravnoteža

je neto potražnja za tim dobrom i - tog potrošača, i = 1,...,I

je neto ponuda tog dobra od strane j – tog proizvođača, j =1,...,J

Ako je dobro faktor kojeg potrošač nudi, njegova komponenta u vektoru je negativna

Na strani proizvodnje, neto potražnja poduzeća za nekim dobrom isto se registrira kao odgovarajuća negativna komponenta u

ilx l

l

jly

ilx

jly

Walrasova ravnoteža

Funkcije neto potražnje i ponude posjeduju sljedeće svojstva:

za dati vektor cijena, svaka neto potražnja i ponuda su jedinstveno određene

svaka neto potražnja i ponuda neprekidno ovisi o cijenama

homogene su nultog stupnja (ako se sve cijene promijene u istoj proporciji, neto potražnje i ponude ostaju iste)

Funkcija viška potražnje

Pogledajmo razliku za dobro

... (6.1) smatramo viškom potražnje za dobrom jer predstavlja razliku između

potražnje i ponude tog dobra Možemo pisati Funkcije viška potražnje posjeduju ista svojstva kao i funkcije potražnje i

ponude Dakle, analiza se može provoditi samo na bazi funkcija viška potražnje

1 1

(1,..., )I J

i jl l l

i j

z x y l L

lz

1, 2( ,..., ) 1,...,l l Lz z p p p l L

lz

l

l

Slika 6.1. Izvođenje funkcija viška potražnje

Uzima se horizontalna udaljenost između krivulja potražnje i ponude ( 0)p

jp

*jp

jD

jS

jx

jp

jz

jz p

- 0 +

Slika a) Slika b)

*jp

0

Slika 6.2. Izvođenje funkcija viška potražnje

Uzima se horizontalna udaljenost između krivulja potražnje i ponude ( 0)p

jp

*jp

jD jS

jx

jp

jz

jz p

- 0 +

Slika c) Slika d)

Walrasova ravnoteža

Ravnotežni položaj definiraju vektor cijena i vektor viška potražnje Ovi vektori imaju sljedeća svojstva:

* * *1 2( , ,..., )lp p p

* * *1 2( , ,..., )lz z z

Walrasova ravnoteža

(i) neto potražnje koje odgovaraju

moraju zadovoljiti

To znači da moraju biti najbolje količine za potrošača u odnosu na sve one koje su mu dostupne

* * * *1 2( , ,..., )il il lx x p p p

*ilx

*lz

*ilx

Walrasova ravnoteža

to jest, za sve koji zadovoljavaju za svaki .. (6.2) jer to je osnova za funkciju potražnje (primijetimo da budžetsko ograničenje sada

predstavlja ravnotežu između potrošačevih pozitivnih količina dobara koje konzumira i negativnih količina faktora koje nudi odnosno prodaje na tržištu faktora)

*( ) ( )i i i iu x u x i ix

* 0l illp x 1,...,i I

Walrasova ravnoteža

(ii) ponuđene količine proizvoda i potraživane količine faktora koje odgovaraju moraju zadovoljiti

što znači za sve j i za sve u proizvodnom skupu ..

(6.3)

*jly

*lz* * * *

1 2( , ,..., )jl jl Ly y p p p

* * *l jl l jl

l l

p y p y jly

Walrasova ravnoteža

Dakle, prema uvjetu (ii), su one vrijednosti elemenata proizvodnog skupa koje maksimiziraju profite za dati skup cijena

*jly

*lp

Walrasova ravnoteža

(iii) pretpostavljamo da su cijene ne-negativne

za sve l ... (6.4)

(iv) za opću ravnotežu, ravnoteža mora postojati na svakom tržištu, to jest:

... (6.5)

* 0lp

* * * *0, 0, 0l l l lz p p z (1,..., )l L

Walrasova ravnoteža

Dakle, Walrasovu (opću) ravnotežu čine skup nenegativnih cijena i skup potraživanih

i ponuđenih količina potrošača i proizvođača, takvih da je svaka potražnja i ponuda optimalna za odgovarajućeg potrošača odnosno proizvođača pri datim cijenama

višak potražnje na svim tržištima je jednak nuli (izuzetak su slobodna dobra gdje je manji od nule)

Walrasova ravnoteža

Posljedice ovakve alokacije su: niti jedan sudionik nema potrebu

mijenjati svoje planove planovi svih sudionika su kompatibilni i

mogu se realizirati

Walrasova ravnoteža

Prije nego postavimo pitanje postojanja ravnoteže utvrdit ćemo neka znanja o preslikavanju

O preslikavanju

Preslikavanje predstavlja pravilo kojim se svaki element povezuje sa točno jednim elementom

X i Y su skupovi Skup X je domena ili područje definicije Skup Y kodomena ili područje vrijednosti

funkcije Ovakvo preslikavanje je funkcija

x Xy Y

:f X Y

Slika 6.3. Preslikavanje

Slika 6.3

:f X Y

X Y

x y= f(x)

f

O preslikavanju

je slika -a pod tim preslikavanjem ( )f x x

O preslikavanju

Ako se element iz domene preslikava u samo jedan element kodomene, govorimo o funkciji

Ako se preslikava u podskup kodomene riječ je o višeznačnom preslikavanju ili korespondenciji

Analiza primjenom korespondencija postaje općenitija ali sve za današnje predavanje relevantne zaključke možemo izvesti i tako da promatramo “obične” funkcije

O preslikavanju

Preslikavanja se razlikuju po domeni, kodomeni i pravilu preslikavanja

Nas će zanimati domene koje su konačno dimenzionalni vektorski prostori

Elementi tih prostora su vektori čije su komponente realni brojevi

Nas će zanimati preslikavanja koja su neprekidna

Složeno preslikavanje

Učinimo još jednu metodološku napomenu na putu ka dokazu postojanja ravnoteže

Promatrat ćemo preslikavanje skupa u samoga sebe

Ovo preslikavanje dobit ćemo kao kompoziciju drugih preslikavanja (složeno preslikavanje)

Složeno preslikavanje

• Kompozicija preslikavanja (composite mapping)

je složeno preslikavanje koje

zapisujemo kao

i definira se kao

: :f X Y i g Y Z

:g f X Z

( )( ) : ( )g f x g f x

Slika 6.4. Ilustracija složenog preslikavanja

Složeno preslikavanje

X Z

xg(f(x))

f

Y

f(x) g

g ◦ f

Složeno preslikavanje

Budući da su u našoj primjeni i isti skupovi, složeno preslikavanje je slikanje jednog skupa u samoga sebe, premda g nije ista funkcija kao i f

Ako su

neprekidne onda je i složeno preslikavanje isto neprekidno

: :f X Y i g Y Z

X Z

g f

Postojanje rješenja opće ravnoteže

Elementima analize sa kojima sada rapolažemo dodat ćemo još jedan

To su teoremi fiksne točke Uz pomoć jednoga od njih pokušat

ćemo odgovoriti na pitanje da li i u kojim uvjetima postoji opća ravnoteža i kako uopće definiramo što je to što smatramo rješenjem opće ravnoteže

Postojanje rješenja opće ravnoteže

Pozitivni odgovor na pitanje postojanja opće ravnoteže bitan je sa stajališta logičke utemeljenosti i opravdanosti cijele mikroekonomske teorije

Postojanje fiksne točke

Postojanje opće ravnoteže predstavit ćemo kao postojanje vektora ravnotežnih cijena koje će na svim tržištima istovremeno generirati višak potražnje jednak nuli

Matematički ovo se može postaviti kao problem postojanja fiksne točke

Postojanje fiksne točke

U mikroekonomskoj analizi najčešće su korištena dva teorema o dokazu postojanja fiksne točke: Brouwer-ov i Kakutani-jev

Kako Kakutanijev Teorem govori o korespondencijama, on je metodološki složeniji

Međutim, svi bitni uvidi u postojanje fiksne točke mogu se dobiti i na bazi Brouwerovog Teorema

Postojanje fiksne točke

U nastavku naš plan rada obuhvatit će sljedeće:

Brouwerov Teorem fiksne točke Postupak normalizacije cijena Walrasov zakon Dokaz postojanja opće ravnoteže

primjenom Brouwerovog Teorema fiksne točke

Brouwerov Teorem fiksne točke Promatramo preslikavanje skupa u

samoga sebe Zanima nas postoji li, za dato

preslikavanje skupa X u samoga sebe, točka koja je svoja vlastita slika, tj. tako da vrijedi

Točka je fiksna točka jer ona ostaje nepromijenjena pod preslikavanjem

:f X X

*x* *( )x f x

*x

Brouwerov Teorem fiksne točke

Napomenimo da su naše točke vektori u l - dimenzionalnom vektorskom prostoru

Teoremi fiksne točke tako su korisni u dokazu postojanja rješenja vektorskih jednadžbi

Brouwerov Teorem fiksne točke L.E.J. Brouwer, holandski matematičar

(1881-1960) Precizirao uvjete u kojima postoji fiksna

točka Postojanje ovisi o :

svojstvima preslikavanja (neprekidnost) svojstvima skupa koji se preslikava

(kompaktnost, konveksnost)

Brouwerov Teorem fiksne točke

Teorem: Neka je neprekidno preslikavanje nepraznog, kompaktnog i konveksnog skupa u samoga sebe, tada postoji takav da je

:f S S

nS *x S * *( )x f x

Brouwerov Teorem fiksne točke To znači da je fiksna točka

preslikavanja (funkcije) Prisjetimo se: Kažemo da je skup

kompaktan kada je zatvoren i ograničen Teorem daje dovoljni uvjet postojanja

fiksne točke: ako su svi uvjeti ispunjeni možemo biti sigurni da fiksna točka postoji

*xf

Ilustracija Brouwerovog Teorema fiksne točke

U jednodimenzionalnom prostoru, n = 1 promatramo preslikavanje zatvorenog intervala realnih brojeva u samog sebe

Teorem kaže da ako je ovo preslikavanje neprekidno, graf te funkcije mora na barem jednom mjestu presjeći dijagonalu

0,1S

Slika 6.5. Ilustracija Brouwerovog Teorema fiksne točke

(a) funkcija je neprekidna (b) funkcija nije neprekidna (fiksna točka postoji) (fiksna točka ne postoji)

0 1

1

f * *f x x

*x 0 1

1

f

Postojanje opće ravnoteže

Funkcija viška potražnje

definirana je za svako dobro u sustavu (za svako tržište)

Dokazali smo da je funkcije viška potražnje:

neprekidna homogena nultog stupnja u cijenama

1( ,..., )l l Lz z p p (1,..., )l L

Postojanje opće ravnoteže

To znači da je definirano preslikavanje iz skupa cijena u skup viška potražnje (skup količina) te da je to preslikavanje isto:

neprekidno homogeno nultog stupnja u cijenama

Postojanje opće ravnoteže

Ono što trebamo pokazati je da je definirano i drugo preslikavanje, iz skupa viška potražnje nazad u skup cijena (dakle, imamo složeno preslikavanje) koje je neprekidno i koje barem jedan vektor cijena preslikava u taj isti vektor cijena kao fiksnu točku

Postojanje opće ravnoteže

Svojstvo neprekidnosti ovih preslikavanja očito je iz prethodne analize

Sada je potrebno pomnije promotriti domenu, to jest početni skup cijena

Da li on zadovoljava potrebna svojstva da je kompaktan (zatvoren i ograničen) i konveksan?

Postojanje opće ravnoteže

Skup cijena čine vektori cijena, pri čemu

Iz ranije analize znamo da je konveksan Vidimo da je zatvoren (objasnite!) Što se tiče ograničenosti ,ovaj skup je

ograničen odozdo uvjetom nenegativnosti cijena za svako ali nije ograničen odozgo (cijene mogu neograničeno rasti)

Pp1( ,..., )Lp pp

0lp l

P

Postojanje opće ravnoteže

Za primjenu teorema fiksne točke trebamo da je skup ne samo konveksan i zatvoren nego i ograničen

Zato na skup cijena primjenjujemo pravilo normalizacije

Učinak ovog postupka je da on proporcionalno povećava originalni vektor cijena ako su cijene niske i smanjuje ga ako su cijene visoke

Normalizacija cijena

Za bilo koji vektor cijena možemo formirati novi vektor cijena pomoću pravila normalizacije

gdje je ..(6.6) vektor čija je l –ta komponenta jedna jednica dobra l

1( ,..., )Lp pp

' '1' ( ,..., )Lp pp

' 1 11,...,l l l

l l

p p p l Lp e

pe

1 2( , ,..., ) (1,1,...,1)Le e e e

Normalizacija cijena

Skalarni produkt predstavlja trošak u kunama pri cijenama p košare

dobara koja se sastoji od jedne jedinice svake robe Recipročna vrijednost ovog produkta kazuje nam koliko se jediničnih košara može kupiti za jednu kunu

l lp epe

1

pe

Normalizacija cijena

Skup je ograničen odozdo jer su svi elementi nenegativni umnošci

i cijena

Dakle,

1

pe

'P'pp P

' 0lp l

Normalizacija cijena

Možemo pokazati da je skup ograničen i odozgo, to jest, ograničen

Budući da su normalizirane cijene nenegativne vrijedi

Kako je to slijedi da vrijedi

'P' 1 1

' 1l l l l l ll l l

p e p e p e p epe pe

' 1l lp e l 1le l

' 1lp l

Normalizacija cijena

Znači uspostavili smo da vrijedi

... (6.7)

Time smo dokazali da je skup normaliziranih cijena ne samo zatvoren nego i ograničen

Ilustrirajmo ovo na primjeru dvije robe,

'0 1 1,...,lp l L

'P

2l

Slika 6.6. Normalizacija cijena

Pozitivni kvadrant ilustrira skup P jer on odgovara svim parovima nenegativnih vektora cijena 1 2( , )p p

2p

1p

0p

p

0,1

1,001p

02p

a

b1p

2p

0

c

Slika 6.6. Normalizacija cijena

Linija ab na Slici 6.6. spaja vektore (0,1) i (1,0) i predstavlja skup svih normaliziranih vektora u l = 2

Svaki pozitivni vektor cijena na zraci 0c može se napisati kao

... (6.8)

Vektor na slici je takav vektor za neku vrijednost , recimo

0 0k k p p

pkk

Normalizacija cijena

Podsjetimo se da je Primjenom pravila normalizacije na

dobije se vektor cijena

Ovo će vrijediti za sve vrijednosti k

0 1p ep

0p0 0 0 0

01 2 1 2 1 20 0 0 0

, , ,p p kp kp p p

k k

p

pe pe p e p e p e p e

Normalizacija cijena

Dakle, normalizacija svodi neograničeni broj vektora cijena na bilo kojoj zraci iz ishodišta na jednu točku na dužini ab na slici

Dužina ab tako predstavlja skup normaliziranih cijena P’ za l = 2

Lako je vidjeti da je ovaj skup ograničen, zatvoren i konveksan

Normalizacija cijena

Svojstvo homogenosti nultog stupnja s obzirom na cijene funkcija viška potražnje dozvoljava da se svi mogući vektori cijena svedu na skup normaliziranih cijena P’

uz uvjet da

' '1 1( ,..., ) ( ,..., )l L l Lz p p z p p

' 0l lp kp l k

Normalizacija cijena

Ako vrijedi tada će normalizirane cijene voditi ka

istom višku potražnje kao i originalni (početni) vektor cijena

Dakle, dozvoljeno je zamijeniti originalni skup cijena za naše potrebe korisnijim skupom normaliziranih cijena

1k

pe'lp

Dodatna pretpostavka

Kako ne bi imali problema sa neprekidnošću preslikavanja iz cijena u viškove potražnje, moramo uvesti dodatnu pretpostavku

Pretpostavili smo da su cijene nenegativne Viškovi potražnje su neprekidne funkcije cijena Za p = 0 to bi značilo beskonačnu potražnju za

slobodnim dobrom t.j. funkcija viška potražnje u toj točci ne bi bila definirana (ne bi se mogao primijeniti teorem o fiksnoj točci)

Dodatna pretpostavka

Zato uzimamo dodatnu pretpostavku da uvijek postoji konačni višak potražnje za slobodnim dobrom (čija je cijena nula)

Time modificiramo aksiom lokalne nezasićenosti na način da pretpostavljamo da za sva dobra postoje razine zasićenja ali da uvijek postoji barem jedno dobro koje potrošač kupuje po pozitivnoj cijeni i sa kojim nije zasićen

Dodatna pretpostavka

Druga je mogućnost da se aksiom lokalne nezasićenosti zamijeni pretpostavkom stroge monotonosti preferencija potrošača

Tada se radi sa pretpostavkom da su sve cijene strogo pozitivne, 0p

Walrasov zakon

Budžetsko ograničenje u uvjetima neto potražnji i ponudi svodi se na uvjet

... (6.9) Uz pretpostavku lokalne nezasićenosti za

svaki vektor cijena potrošačevo budžetsko ograničenje bit će zadovoljeno u formi jednakosti

Ovo će, naravno, biti točno zato jer će potrošač trošiti maksimalno što može da bi se što je više moguće približio točci zasićenja

0 1,...,il l

l

p x i I

Walrasov zakon

Dakle, za sve potrošače zajedno (sumiranjem po i ) vrijedi

... (6.10)

U ravnoteži (stanje nultih profita) pri svakom vektoru cijena izbori inputa i proizvodnje daju

... (6.11)

0i il l l l

i l l i

p x p x

0jl l

l

p y

Walrasov zakon

Za sve proizvođače zajedno (sumiranjem po j ) vrijedi

... (6.12)

Ako oduzmemo (6.12) od (6.10) dobijemo

... (6.13)

0j jl l l l

j l l j

p y p y

0i j i jl l l l l l l l l

l i l j l i j l

p x p y p x y p z

0i j i jl l l l l l l l l

l i l j l i j l

p x p y p x y p z

Walrasov zakon

Dakle, pri bilo kojem vektoru cijena ukupna vrijednost viška potražnje je jednaka nuli

za sve

Ovaj rezultat igra važnu ulogu u

dokazu postojanja opće ravnoteže

0l llp z p z 1,...,l L

Dokaz postojanja opće ravnoteže

Želimo dokazati da uz pretpostavku neprekidnosti i

homogenosti nultog stupnja funkcija viška potražnje i Walrasovog zakona

postoji vektor cijena tako da

... (6.14)

( ), 'l lz z P p p

* 'Pp

* *( ) 0, 0, 0,l l l lz z p p z l p

Dokaz postojanja opće ravnoteže

Pri tome, višak potražnje odgovara maksimizirajućim izborima potrošača (max korisnost) i proizvođača (max profit) pri vektoru cijena

Dokažimo ovo za opći slučaj

*p

Dokaz postojanja opće ravnoteže

Funkcije viška potražnje definiraju neprekidno preslikavanje iz skupa vektora normaliziranih cijena u skup vektora viška potražnji

... (6.15)

... (6.16)

'PZ

: 'f P Z 1( ,..., ) : ( ), ', 1,...,l l lZ z z z z P l L p p

Dokaz postojanja opće ravnoteže

Strategija dokaza je da se definira drugo neprekidno preslikavanje, g, iz skupa viška potražnji Z nazad u skup P’

Po Browerovom Teoremu za dobiveno

složeno preslikavanje nepraznog, zatvorenog, ograničenog i konveksnog skupa P’ u samoga sebe, postoji fiksna točka

: 'g Z P

Dokaz postojanja opće ravnoteže

Ta fiksna točka je vektor cijena p* koji je, pod složenim preslikavanjem, sam sebi slika, to jest, preslikava se u samoga sebe

P* je vektor ravnotežnih cijena Tako smo pokazali da uz date

pretpostavke ravnoteža postoji

Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena

Za ilustraciju uzmimo primjer u dvije dimenzije

Na Slici 6.6: (a) linija ab = skup normaliziranih

cjenovnih vektora u prostoru vektora cijena

(b) prostor vektora viška potražnje

2l

1 2( , )z z

' '1 2( , )p p

1 2( , )p p

Slika 6.7. Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena u dvije dimenzije

(a) (b)

2p

1p

0,1

1,0

02p

a

b

2p

0

c

d

*pm

e

0

1z

2z

Slika 6.7. Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena u dvije dimenzije Točka a u 6.7.(a) je cjenovni vektor (0,1) Ispitujemo da li je to ravnoteža Prema Walrasovom zakonu vrijedi ... (6.17) (6.17) implicira da je a prema

slici 6.7 slijedi da je Dakle, cjenovni vektor (0,1) u (a) imat će

korespondirajući vektor viška potražnje kao u u (b) sa

1 20 1 0z z 2 0z

1 20 0z i z

1 0z

Slika 6.7. Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena u dvije dimenzije Očito vektor (0,1) nije ravnotežni Sličnim rezoniranjem točka b u (a) mora

se preslikati u točku kao u (b) Pogledajmo sada kako će izgledati

odgovarajući skup vektora viška potražnje ako se krećemo po dužini ab vektora normaliziranih cijena

Slika 6.7. Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena u dvije dimenzije Zbog Walrasovog zakona viškovi

potražnje ne mogu oba biti u pozitivnom kvadrantu (jer tada bi vrijedilo )

Također oba ne mogu biti ni u negativnom kvadrantu (tada bi vrijedilo )

1 1 2 2 0p z p z

1 1 2 2 0p z p z

Slika 6.7. Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena u dvije dimenzije Ovo implicira da bilo koja

neprekidna krivulja od do koja ne prolazi kroz pozitivni ili negativni kvadrant MORA proći kroz ishodište

Dakle, mora postojati vektor cijena koji generira vektor viška potražnje (0,0)

To je ravnotežni vektor cijena

Općenitiji dokaz na istom grafikonu

Uzmimo točku c u (a) i pretpostavimo da se pod preslikavanjem f ona slika u y u (b)

Nadalje, pod preslikavanjem g , y se slika nazad u, recimo, d

Isto za e m

Općenitiji dokaz na istom grafikonu

Budući da je preslikavanje dužine ab u samu sebe neprekidno a dužina ab je neprazni, kompaktni i konveksni skup, po Brouwerovom Teoremu mora postojati točka poput p* koja se slika u samu sebe

Kako smo definirali preslikavanje g iz skupa viška potražnji nazad na dužinu ab, znamo da p* mora pod preslikavanjem f dati ishodište (0,0) i mora, prema tome, biti ravnotežni vektor cijena

Sretno!