View
221
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
Prawo powszechnego ciążenia Newtona
r
M
m
FMm = G Mm
r 2
FmM = G Mm
r 2
G = 6.67 ×10−11 Nm2
kg 2
Stałagrawitacji
Wielkość siły grawitacji z jaką przyciągają się wzajemnie ciała na Ziemi
M = 100kg m = 50kg
Fgr Fgr
r = 10m
Ts Ts
Mg mg
Nm = mg N M = Mg
Fgr = G Mm
r 2 ≈ 3.3×10−9 N µS ≈ 0.03
Współczynniktarciastatycznego(stal-lód)
Ts,max = µS N M = 30N Ts,max = µS Nm = 15N
Fgr ≪Ts,max grawitacjajestnajsłabsząsiłąwprzyrodzie
stalowekulenalodzie
Ziemska siła grawitacji
r = RZ + h
MZ ≈ 6×1024 kg
m
FMZ m = G
MZ m
Rz + h( )2 = maRZ
RZ ≈ 6.37 ×106 m
NamałejwysokościhnadpowierzchniąZiemi:
a = G
MZ
Rz + h( )2 ≈h≪Rz
GMZ
Rz2 = g
g = G
MZ
Rz2
h
a = G
MZ
Rz + h( )2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
przy
spie
szen
ie z
iem
skie
(m/s
2 )
9.5
9.55
9.6
9.65
9.7
9.75
9.8
9.85
ZmianyprzyspieszeniaziemskiegowrazzwysokościąnadpowierzchniąZiemi
a = G
MZ
Rz + h( )2
h≪ Rz ⇒ a ≈ g = GMZ
Rz2
bliskopowierzchniZiemi
W jaki sposób zważono Ziemię? Waga torsyjna Cavendisha (2 połowa XVIII w.)
FragmentfIlmuBBC:Gravityandme,całyfilmnastronie:https://www.youtube.com/watch?v=aNeR_fHcQSs
Promień Ziemi znany był już od starożytności
Eratostenes (276 – 194 p.n.e) – Ziemia jest kulą
http://keyah.asu.edu/lessons/Eratosthenes/KM4.html
7!
360!= 800 km
x⇒ x ≈ 40 000km
obwódZiemi RZ = 40 000km
2π≈ 6370km
promieńZiemi
Aleksandria
Siena(obecnieAsjut)
promieniesłonecznewtrakcieprzesilenialetniego(22czerwca)
https://pl.wikipedia.org/wiki/Przyspieszenie_ziemskie
Zmiany wartości przyspieszenie ziemskiego na powierzchni Ziemi
Wartośćprzyspieszeniaziemskiego(g)niejeststałąwielkościąnapowierzchniZiemi,takjaktowynikazPrawaPowszechnegoCiążeniaNewtona:
–wpływnatomakilkaczynników:
Zmiany wartości przyspieszenie ziemskiego na powierzchni Ziemi
• RuchobrotowyZiemi
Antarktyda
Fg
T Fg −T = mad
G
MZ mRZ
2 − mgeff = mad
geff = G
MZ
RZ2 − ad
geff = G
MZ
RZ2 −ω 2r
geff = G
MZ
RZ2 − 2π
T⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
r
Nabiegunachad=0bor=0;Narównikuad=0.0338m/s2bor=RZ,T=1dzień
RuchobrotowyZiemiodpowiadaw50%zazmianywartościg,zaresztęodpowiadafakt,żeZiemianiejestjednorodnąkulą.
antarktyda
Kształt Ziemi – geoida (kształt jaki miałaby Ziemia gdyby w całości wypełnić ją wodą)
https://www.youtube.com/watch?v=ThcMzqlSwYo
Nafilmie–kolorypokazująwartośćsiłygrawitacji,kształtZiemizdefiniowanyjestprzezpowierzchnięprostopadłądokierunkusiłygrawitacji
Przyciąganie grawitacyjne wewnątrz Ziemi
F = G M 'm
r 2
Zakładając,żeZiemiajestjednorodnąkulą:
r
WewnątrzZiemi(jednorodnejkuli)naciałodziałasiłagrawitacyjna,którapochodzitylkoodpowłokwewnętrznych.Całkowitasiłaodpowłokinazewnątrzjestzerowa.
M’ M ' = ρZ
43πr3
F = 4
3πGρZ m
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
r
!F = −k
!r
F
Siłagrawitacjibędziesięzachowywałajaksiłasprężystości.Jeżelinaciałodziałatylkosiłasprężystości,będzieonooscylowałowokółpołożeniarównowagi(tutajśrodkaZiemi)-pokażemytonawykładziedotyczącymruchuoscylacyjnego.
https://www.extremetech.com/extreme/187291-to-the-core-how-can-we-travel-to-the-center-of-the-earth/2
Zmiany wartości siły grawitacji dla jednorodnej kuli
dystansodśrodka
wartośćbezwzględn
asiły F ∝ 1
r 2 F ∝ r
P. G. Hewitt, Fizyka wokół nas, PWN
Grawitacyjna energia potencjalna
M m
!FMm = −G Mm
r 2 r
0 r1 r2
Jakąpracęwykonasiłagrawitacjipodczasprzesunięciaciałazodległościr1dor2:
W =
!FMm ⋅
r1
r2
∫ rdr = −GMm 1r 2 r ⋅
r1
r2
∫ rdr = −GMm 1r 2 ⋅
r1
r2
∫ dr = −GMm − 1r
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ r1
r2 = GMmr2
− GMmr1
W = −ΔEp = − Epr2
− Epr1( )Pracawykonanaprzezsiłękonserwatywną:
Ep = −G Mm
rEnergiapotencjalna:
rdr
Ep ∝
1r
Ep
Grawitacyjna energia potencjalna
Dlamałychwysokościnapowierzchniąenergiapotencjalnarośnieprawieliniowozwysokością!czyliEp=mgr
Siłagrawitacjiskierowanazawszewkierunkuniższejenergiipotencjalnej
Fgr
II prędkość kosmiczna dla Ziemi
Drugaprędkośćkosmicznatominimalnaprędkość,jakąnależynadaćobiektowi,abyopuściłnazawszedaneciałoniebieskie,poruszającsiędalejruchemswobodnym.
vuc
JakąminimalnąprędkośćtrzebanadaćciałubyopuściłoZiemięnazawsze?
Emech =
12
mvuc2 −G
MZ mRZ
= 12
mvr2 −G
MZ mr
=r→∞
0
napowierzchni wdowolnejodległościr
nieskończeniedaleko(przyzałożeniu,żeciałozatrzymałosięnieskończeniedaleko,v=0)
vuc =
2GMZ
RZ
≈11.2 kms
12
mvuc2 = G
MZ mRZ
CzyobecnaprędkośćsondyVoyager1jestwystarczającabyuciecznaszegoukładusłonecznego?
https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/status/
≈61200km/h
≈2.15×1010km
vuc =
2GM⊙
R≈12700 km
h
Czarna dziura
Czarnadziuratogwiazda,zktórejprędkośćucieczkijestwiększaniżprędkośćświatławpróżni,c=3×108m/s.
2GM
R≥ c
DladanejmasyM,promieńponiżej,któregogwiazdastajesięczarnądziurą,nazywasiępromieniemSchwarzschilda:
RS =
2GMc2
DlaSłońce,którecharakteryzujesięmasąM!≈2×1030kg,promieńSchwarzschildawynosi:
RS =
2GM⊙
c2 ≈ 3 kmadlaZiemi:
RS =
2GMZ
c2 ≈ 8.9 mm
SferaopromieniuRSotaczającaczarnądziuręnazywasięhoryzontemzdarzeń-oddzielaonaobserwatoraodzdarzeń,októrychniemożeonnigdyotrzymaćżadnychinformacji.
Dowody na istnienie czarnych dziur
Dowodynaistnienieczarnychdziuropierająsięnakilkutypachobserwacji,takichjakanalizapromieniowaniarentgenowskiegoukładówpodwójnych,soczewkowanegrawitacyjneświatłapochodzącegozodległychgalaktykorazruchwidocznychciałwokółichniewidzialnychpartnerów.Taostatniametodadostarczyłanajwięcejdowodówistnieniaczarnychdziur.M.in.dostępnedanewskazują,żewcentrumnaszejgalaktyki(DrogiMlecznej)znajdujesięczarnadziuraomasierównej4mlnmasSłońca.
dyskakrecyjny,wizjaartystyczna
https://en.wikipedia.org/wiki/Accretion_disk#/media/File:Accretion_disk.jpg
FizykadlaszkółwyższychTom1byOpenStax
I prędkość kosmiczna dla Ziemi
Pierwszaprędkośćkosmicznatonajmniejszapoziomaprędkość,jakąnależynadaćciałuwzględemprzyciągającegojeciałaniebieskiego,abyciałotoporuszałosiępozamkniętejorbicie.
Fgr = Fdosrodkowa
G
MZ mRZ
2 = mvorb
2
RZ
vorb
Fgr
m
MZ
RZ
vorb = G
MZ
RZ
≈ 7.9 kms
Prędkość międzynarodowej stacji kosmicznej (ISS)
h=405km vorb = G
MZ
RZ + h≈ 7.68 km
s
DanezGoogle:
https://www.heavens-above.com/IssHeight.aspx
Wahaniawwysokościsatelity:
Energia mechaniczna ciała na orbicie
r Emech =
12
mvorb2 −G
Mmr
Emech =
12
G Mmr
−G Mmr
Emech = − 1
2G Mm
r= 1
2Ep
Dlamiędzynarodowejstacjikosmicznej(ISS,m=419ton,r=Rz+405km)energiamechanicznawynosi:Emech≈-1.3×1010J.
Dlaczego grawitacja jest siłą długo-zasięgową?
FizykadlaszkółwyższychTom1byOpenStax
AlbertEinstein,OgólnaTeoriaWzględności:grawitacjatozakrzywienieczasoprzestrzeni.
Recommended