Satellites et sondes. Principes de satellisation

Satellites et sondes.Satellites et sondes.

Principes de satellisation

gravitationgravitation

Loi universelle de la gravitation (Newton 1687)

Deux corps ponctuels de masse MA et MB s'attirent avec une force proportionnelle à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux corps.

gravitationgravitation

gravitationgravitation

2 boules de pétanque au contact exercent une force mutuelle de 4x10-9 NLa tour Eiffel attire un visiteur à son pied avec 3 µNDonnez une estimation de la force d’attraction entre 2 personnes de 70 kg située à un mètre l’une de l’autre ? (0,33 µN)Pour être significative, il faut une distance infiniment faible ou une masse attractive énorme!

Cas particulier de Cas particulier de l’attraction terrestrel’attraction terrestre

gravitationgravitation

Un des deux corps , la Terre est de masse énorme; quand on lâche un objet, il tombe !L’accélération de la pesanteur est notée g, définie par F = mg avec g = GM/R2

M = 6x1024 kg; R=6378 km; g=9,81 ms-2 au niveau du sol

g varie avec l’altitude : g = 7,3 ms-2 à 1000 km d’altitudeg = 3,1 ms-2 à 5000 km d’altitudeg = 0,2 ms-2 à 36000 km d’altitude

gravitationgravitation

Et sur Saturne?Que vaut g à la surface de Saturne?

Chute libre Chute libre 

Chute libreChute libre

Sans vitesse horizontale : chute verticale avec accélération gAvec vitesse horizontale : courbure de la trajectoire de retombéeLe point de chute est d’autant plus loin que la vitesse horizontale est grande« Quand le point de chute dépasse les antipodes, l’objet est satellisé »

Chute libreChute libre

Chute libreChute libre

La trajectoire d'une pierre lancée depuis le sol est une parabole si on suppose la Terre plate et le centre d'attraction à l'infini. En réalité, la trajectoire est une ellipse dont le centre de la Terre est le foyer. Il faut circulariser l'orbite pour éviter que la trajectoire heurte la surface terrestre. L'altitude minimum pour satelliser un objet est de 300 km pour éviter le freinage par l'atmosphère terrestre.

Chute libreChute libre

trajectoire T0: v < 8 km/s la vitesse est insuffisante et l'objet retombe sur Terre trajectoire T1 v > 8 km/s la trajectoire est circulaire et ne heurte plus la Terre trajectoire T2 fermée: 8 km/s < v < 13 km/s la trajectoire est une ellipse dont le périgée correspond au point de lancement v > 13 km/s : la trajectoire n'est plus fermée ; le mobile va s'éloigner à l'infini sur une trajectoire hyperbolique

Aller contre la gravité ? Aller contre la gravité ? Energie potentielle de gravitation

Energie potentielle de gravitationEnergie potentielle de gravitation

La force d’attraction universelle est une force conservatrice, c'est-à-dire que le travail de cette force entre deux points A et B ne dépend que des points extrêmes du parcours et non du chemin suivi.Il existe alors une fonction des coordonnées (coordonnées sphériques) appelée énergie potentielle Ep vérifiant rdFdEP

.

Energie potentielle de gravitationEnergie potentielle de gravitation

Pour éloigner un objet de masse m d’un corps de masse M, il faut exercer un travail moteur, opposé au travail de la force de gravitation donc égal à la variation d'énergie potentielle Pour un objet de masse m lancé depuis la surface d’une planète de masse M verticalement vers le haut avec une vitesse initiale non nulle v0 :

FdrdEP

Energie potentielle de gravitationEnergie potentielle de gravitation

Pour se déplacer vers le haut dans un champ gravitationnel, c'est-à-dire passer de r1 à r2, l’énergie requise, W, se calcule comme suit :

Energie potentielle de gravitationEnergie potentielle de gravitation

Si l’on fixe à zéro la valeur de l’énergie potentielle de l’objet de masse m lorsque la distance entre l’objet et la planète tend vers l’infini, alors l’énergie potentielle de gravité ou énergie de liaison pour une distance r est  (r1 = r, r2 = ∞):

r

P r

GMmFdrE

Energie potentielle de gravitationEnergie potentielle de gravitation

L’énergie potentielle de gravitation est donc négative quelle que soit la distance r finie

Le signe négatif dans le terme d'énergie potentielle traduit le fait que celle-ci augmente si r croît.

r

GMmEp

vitesse de libérationvitesse de libérationLancement d’une sonde de masse m soumise à

l’effet gravitationnel d’un astre de masse M

vitesse de libérationvitesse de libération

Qu'il s'agisse de lancer une sonde interplanétaire, de faire revenir cette sonde de Mars, d'estimer la vitesse d'entrée dans la haute atmosphère terrestre d'une "étoile filante", ....une notion importe : la vitesse de libération d'un corps. On appelle vitesse de libération, la vitesse minimale qu’il faut communiquer à un objet situé à l’altitude h d’un astre pour qu’il  échappe  à son attraction gravitationnelle.

vitesse de libérationvitesse de libération

Si nous prenons M comme la masse de l’astre et R son rayon, Ep équivaut à l’énergie requise pour lancer une sonde de masse m depuis l’astre vers l’infini.Supposons que l’astre est un référentiel galiléen. Conservation de l'énergie mécanique :L'énergie mécanique de l'engin dans le champ de gravitation de l’astre est conservée au cours du mouvement:

vitesse de libérationvitesse de libération

Bilan énergétique au sol A l’infini

Entre le sol, r = R, et un point à l'infini, on peut donc écrire

vitesse de libérationvitesse de libération

et

De même la vitesse de libération pour une distance r = R + h au centre de l’astre : Dans ce cas, l’énergie mécanique est nulle ce qui caractérise un corps pouvant s’échapper de l’attraction terrestre.

vitesse de libérationvitesse de libération

Numériquement : astre = Terre- à l’altitude de 0 km, on a r = 6 378 000 md’où Vlib = 11 180 m.s-1 (40 248 km.h-1 ) irréalisable pour une sonde dans l’atmosphère- à l’altitude de 800 km, on a r = 800 000 + 6 378 000 = 7 178 000 m d’où Vlib = 10 539 m.s-1 (37 940 km.h-1)- à l’altitude de 36000 km, on a r = 36 000 000 + 6 378 000 = 42 378 000 md’où Vlib = 4 337 m.s-1 (15 613 km.h-1).

Vitesse initiale pour Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ?atteindre une hauteur h ?

Vitesse initiale pour atteindre Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ?une hauteur h ?

Vitesse initiale pour atteindre une Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ?hauteur h ?

La vitesse initiale communiquée au Spoutnik I, le 4 octobre 1957, (pour atteindre l’altitude de 900 km, aurait donc été de 3900 m/s.

Cependant, on ne communique pas de telles vitesses aussi brutalement au départ car le frottement de l’air volatiliserait le satellite. La fusée porteuse accélère progressivement pour atteindre la vitesse voulue lorsque l’engin a dépassé les couches denses de l’atmosphère.

Vitesse orbitaleVitesse orbitale

vitesse orbitalevitesse orbitale

Quelle est la vitesse s’un satellite en orbite circulaire de rayon r autour d’un astre massif ?Par rapport au référentiel géocentrique ou planétocentrique considéré comme galiléen, le satellite de masse m, situé à la distance r du centre de l’astre, n’est soumis qu’à la force de gravitation. Sans vitesse, il retomberait la planète. Le satellite doit être animé d’une vitesse horizontale appelée vitesse orbitale.

vitesse orbitalevitesse orbitale

La vitesse v s’obtient en appliquant la loi fondamentale de la dynamique :

vitesse orbitalevitesse orbitale

Vitesse orbitaleVitesse orbitale

En projetant selon les vecteurs et du repère de Frenet respectivement, on obtient :

La première équation traduit la nature uniforme du mouvement : la norme de la vitesse v = cte La seconde donne la vitesse, dite de satellisation :

A l’altitude de 0 km, on a r = 6 378 000 m D’où V = 7 905 m.s-1 (irréalisable dans l’atmosphère)

Vitesse orbitaleVitesse orbitale

Dans le cas d’un satellite terrestre de masse m, assimilable à un point matériel, on note r = R + h, ou h désigne l’altitude du satellite et RT le rayon de la Terre, MT sa masse.

Vitesse orbitaleVitesse orbitale

Dans le cas d'un mouvement circulaire, la vitesse du satellite a pour expression :

La vitesse orbitale du Spoutnik I est alors, si l’altitude est de 900 km, égale à 7400m/s ou 26642 km/h. (En réalité, elle était de 27800 km/h)

Quelques exemplesQuelques exemples

Quelques exemplesQuelques exemples

Le centre de la Lune a un mouvement approximativement circulaire uniforme, autour de la Terre, à une distance r d’environ 384 400 km. Quelle est la vitesse de satellisation ? Les satellites S.P.O.T. (Satellite sPécialisé dans l’Observation de la Terre), ont tous une altitude h de l’ordre de 832 km. Vitesse de satellisation ?

Quelques exemplesQuelques exemples

Altitude au point d'injection Vitesse de satellisation circulaire Vitesse de libération

200 km 7,78 km/s (28 008 km/h) 11,01 km/s (39 636 km/h)

400 km 7,67 km/s (27 612 km/h) 10,85 km/s (39 060 km/h)

800 km 7,45 km/s (26 820 km/h) 10,54 km/s (37 944 km/h)

36 000 km 3,07 km/s (11 052 km/h) 4,34 km/s (15 624 km/h)

Quelques exemplesQuelques exemples

Pour satelliser un engin spatial sur une orbite elliptique, il suffit que sa vitesse d’injection ne dépasse pas la vitesse de libération VlibIl existe une vitesse en dessous de laquelle la satellisation n’est pas possible : le satellite retomberait ou brûlerait dans l’atmosphère. Cette vitesse est la vitesse de satellisation circulaire Vsat; l’orbite est alors un cercle.

VsatVlib 2

Quelques exemplesQuelques exemples

Si la vitesse est supérieure à cette valeur limite Vs, l’orbite est alors une ellipse. Plus la vitesse croit, plus l’ellipse s’allonge. On parle alors d’apogée (le point le plus éloigné de la Terre sur l’orbite) et de périgée (le point le plus proche). La vitesse est inversement proportionnelle à l’altitude, elle est donc maximale au périgée et minimale à l’apogée.

Période orbitalePériode orbitaleOù l’on retrouve la troisième loi de Kepler

Période orbitalePériode orbitale

Dans le cas d'un mouvement circulaire, la vitesse du satellite a pour expression : Vitesse, dite de satellisation :

Période orbitale On en déduit aisément la période de révolution du satellite :

Période orbitalePériode orbitale

Ou On retrouve ainsi la troisième loi de Kepler

Saturne et TitanSaturne et Titan

Saturne et TitanSaturne et Titan

Le 15 octobre 1997, les agences spatiales européennes (ESA) et américaine (NASA) ont lancé la sonde Cassini-Huygens, destinée à l’observation du satellite naturel Titan de la planète Saturne. Après un voyage de 3,5 milliards de kilomètres, qui a duré 7 ans, l’orbiter Cassini, transportant la sonde Huygens, a été satellisé autour de Saturne.

Saturne et TitanSaturne et Titan

Dans la suite, tous les objets planétaires considérés seront assimiles à des points matériels.Quelle est l’expression de la force de gravitation qu’exerce Saturne S, de masse MS, sur Titan T, de masse MT, en fonction de la distance ST qui les sépare? Calculer la valeur de cette force, ainsi que le champ de gravitation GS correspondant.

Saturne et TitanSaturne et Titan

On admet que T a un mouvement circulaire uniforme autour de S, par rapport au référentiel galiléen RS, d’origine le centre S de Saturne et d’axes définis par des étoiles éloignées. Calculer l’expression de la vitesse de satellisation, en fonction de MS et ST.

Saturne et TitanSaturne et Titan

Application numérique : Données physiques Constante de gravitation : G = 6,67 10-11 m3.kg-1s-2 Masse de la Terre : MTerre = 6 1024 kg Masse de Saturne : MS = 105, 65 MTerre Masse de Titan :MT = 0,0225 MTerre Rayon de Titan : RT = 2,575 106 m Distance Saturne-Titan : ST = 1,222 109 m.

Trouver la période de révolution de Titan autour de Saturne ? Comparer cette période à celle d’un jour terrestre.

Saturne et EnceladeSaturne et Encelade

Après le survol de Titan, la sonde Cassini a survolé le satellite Encelade en février 2005.On peut considérer que dans le référentiel saturno-centrique, Encelade à un mouvement de révolution circulaire uniforme, dont la période (en jour terrestre), est TE = 1,37 et le rayon est RE.Déterminer la valeur du rayon RE de l’orbite d’Encelade.

Orbite géostationnaireOrbite géostationnaire

Orbite géostationnaireOrbite géostationnaire

Le satellite géostationnaire paraît immobile pour un observateur terrestre s’il reste à la verticale d’un même lieu au dessus de la Terre. Sa trajectoire circulaire est dans le plan de l’équateur. Sa période est égale à la période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique soit 23 heures 56 minutes 4 secondes, soit 86164 secondes

Orbite géostationnaireOrbite géostationnaire

Avec T = 86164s, h = 36000km

Orbite géostationnaireOrbite géostationnaire

Quelle fraction de la surface de la Terre peut être couverte par les émissions du satellite ?

Orbite géostationnaireOrbite géostationnaire

Surface de la Terre : 4 πRT2 Surface couverte par le satellite : Fraction de la surface

environ 42%

Sonde Cassini : Sonde Cassini : saturno-stationnaire ?saturno-stationnaire ?

Sonde Cassini : Sonde Cassini : saturno-stationnaire ?saturno-stationnaire ?

On cherche à déterminer l’altitude h à laquelle devrait se trouver la sonde Cassini pour être saturno-stationnaire (immobile au-dessus d’un point de l’équateur de Saturne). 1. Quelle condition doit-on avoir sur les périodes Ts (rotation de Saturne sur elle-même) et Tc (révolution de Cassini autour de Saturne) pour que la sonde soit « saturno-stationnaire »?

Sonde Cassini : Sonde Cassini : saturno-stationnaire ?saturno-stationnaire ?

2. Altitude de la sonde 2.1. En utilisant la troisième loi de Kepler, montrer que l’altitude h de la sonde peut se calculer avec la relation: h = 2C S3

S2

T GM - R

4

2.2. Calculer la valeur de h.