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Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Lineares – 2a Parte
Paulo Goldfeld Marco Cabral
Departamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal do Rio de Janeiro
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 28
Sist. Lin. II
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Exemplos
Exemplo (sistema inconsistente)
1 0 00 1 00 0 1
Exemplo (sistema inconsistente)
1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28
Sist. Lin. II
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Exemplos
Exemplo (sistema inconsistente)
1 0 00 1 00 0 1
Exemplo (sistema inconsistente)
1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28
Sist. Lin. II
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
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Casos Especiais
Exemplos
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Exemplos
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4
0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2
Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{x2 = rx4 = s
O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s1x5 = −2
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4
0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2
Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{x2 = rx4 = s
O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s1x5 = −2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4
0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2
Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{x2 = rx4 = s
O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s1x5 = −2
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
1x1 = 4 + 3r − 5s
1x3 = −2s1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2
Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)
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Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
1x1 = 4 + 3r − 5s
1x3 = −2s1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2
Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
1x1 = 4 + 3r − 5s
1x3 = −2s1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2
Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Sistema em x1, x3 e x5:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28
Sist. Lin. II
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
Conj.-solução: {(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
Conj.-solução: {(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
=
( 4, 0, 0, 0, −2 ) +( 3r , r , 0, 0, 0 ) +( −5s, 0, −2s, s, 0 )
∣∣∣∣∣∣ r , s ∈ R
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
Conj.-solução: {(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
=
( 4, 0, 0, 0, −2 ) +( 3r , r , 0, 0, 0 ) +( −5s, 0, −2s, s, 0 )
∣∣∣∣∣∣ r , s ∈ R
= {(4, 0, 0, 0,−2)+r(3, 1, 0, 0, 0)+s(−5, 0,−2, 1, 0) | r , s ∈ R}
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s
x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s
Conj.-solução: {(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
=
( 4, 0, 0, 0, −2 ) +( 3r , r , 0, 0, 0 ) +( −5s, 0, −2s, s, 0 )
∣∣∣∣∣∣ r , s ∈ R
= {(4, 0, 0, 0,−2)+r(3, 1, 0, 0, 0)+s(−5, 0,−2, 1, 0) | r , s ∈ R}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s
x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s
Conj.-solução: {(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
=
( 4, 0, 0, 0, −2 ) +( 3r , r , 0, 0, 0 ) +( −5s, 0, −2s, s, 0 )
∣∣∣∣∣∣ r , s ∈ R
= {(4, 0, 0, 0,−2)+r(3, 1, 0, 0, 0)+s(−5, 0,−2, 1, 0) | r , s ∈ R}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Nomenclatura:
x2, x4 − variáveis livresr , s − parâmetrosx1, x3, x5 − variáveis dependentes
Variáveis Livres
Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)
p{ [
0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸
n
??
]variáveis livres: x1 e x4
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Nomenclatura:
x2, x4 − variáveis livresr , s − parâmetrosx1, x3, x5 − variáveis dependentes
Variáveis Livres
Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)
p{ [
0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸
n
??
]variáveis livres: x1 e x4
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Nomenclatura:
x2, x4 − variáveis livresr , s − parâmetrosx1, x3, x5 − variáveis dependentes
Variáveis Livres
Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas acolunas sem pivots.Número de variáveis livres = n − p, onden = (no de incógnitas) = (no de colunas)p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)
p{ [
0 1 0 ?0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸
n
??
]variáveis livres: x1 e x4
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28
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SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Outro Exemplo com Infinitas Soluções
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
]variáveis livres: x1 = r
x3 = s
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Outro Exemplo com Infinitas Soluções
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
]variáveis livres: x1 = r
x3 = s
Sistema original:x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28
Sist. Lin. II
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Outro Exemplo com Infinitas Soluções
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
]variáveis livres: x1 = r
x3 = s
Com eqs. p/ variáveis livres:x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Outro Exemplo com Infinitas Soluções
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
]variáveis livres: x1 = r
x3 = s
Com eqs. p/ variáveis livres:x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Gerando Soluções
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).
Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).
Infinitas Soluções
Cada escolha dos parâmetros r e s gera uma soluçãodistinta e toda solução corresponde a alguma escolha dosparâmetros.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28
Sist. Lin. II
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Gerando Soluções
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).
Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).
Infinitas Soluções
Cada escolha dos parâmetros r e s gera uma soluçãodistinta e toda solução corresponde a alguma escolha dosparâmetros.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Gerando Soluções
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).
Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).
Infinitas Soluções
Cada escolha dos parâmetros r e s gera uma soluçãodistinta e toda solução corresponde a alguma escolha dosparâmetros.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Gerando Soluções
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 0(1, 0, 0, 0) + 0(0,−3, 1, 0) = (0,−7, 0, 4).
Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução(0,−7, 0, 4) + 3(1, 0, 0, 0)− 2(0,−3, 1, 0) = (3,−1,−2, 4).
Infinitas Soluções
Cada escolha dos parâmetros r e s gera uma soluçãodistinta e toda solução corresponde a alguma escolha dosparâmetros.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Conjunto-Solução e Subespaço Afim
Um sistema linear pode ter ou não soluções (serconsistente ou inconsistente).
Teorema (Caracterização do Conjunto-Solução)
Se um sistema linear é consistente, o seu conjunto-soluçãoé um subespaço afim, ou seja, é da forma
xp +⟨xh1 , . . . , xhr
⟩.
Prova
Eliminação de Gauss.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28
Sist. Lin. II
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Conjunto-Solução e Subespaço Afim
Um sistema linear pode ter ou não soluções (serconsistente ou inconsistente).
Teorema (Caracterização do Conjunto-Solução)
Se um sistema linear é consistente, o seu conjunto-soluçãoé um subespaço afim, ou seja, é da forma
xp +⟨xh1 , . . . , xhr
⟩.
Prova
Eliminação de Gauss.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Conjunto-Solução e Subespaço Afim
Um sistema linear pode ter ou não soluções (serconsistente ou inconsistente).
Teorema (Caracterização do Conjunto-Solução)
Se um sistema linear é consistente, o seu conjunto-soluçãoé um subespaço afim, ou seja, é da forma
xp +⟨xh1 , . . . , xhr
⟩.
Prova
Eliminação de Gauss.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Conjunto-Solução e Subespaço Afim
Um sistema linear pode ter ou não soluções (serconsistente ou inconsistente).
Teorema (Caracterização do Conjunto-Solução)
Se um sistema linear é consistente, o seu conjunto-soluçãoé um subespaço afim, ou seja, é da forma
xp +⟨xh1 , . . . , xhr
⟩.
Prova
Eliminação de Gauss.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
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0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
− inconsistente
1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
? ? ? ?
0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
? ? ? ?
0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
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−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
? ? ? ?
0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
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0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
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−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
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Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
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−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
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Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Forma Escalonada eForma Totalmente Escalonada
0 ? ? ?0 0 0 ?0 0 0 0
−→
0 1 ∗ 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
? ? ? ?
0 ? ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗0 0 0 1 ∗
? ? ? ?0 ? ? ?0 0 ? ?0 0 0 ?
−→
1 0 0 0 ∗0 1 0 0 ∗0 0 1 0 ∗0 0 0 1 ∗
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
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......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
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......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
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......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0
− inconsistente
? · · · ? ?
0 · · · ? ?...
.... . .
......
0 0 · · · ?
− solução única
caso contrário − infinitas soluções(n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0
√π 9
0 0 0 0 311
−→ inconsistente
13 2 0 −6 330 10−7 2 9 10 0 0 3 0
−→ infinitas soluções1 variável livre
2 2 −8 12 00 e3 11 1 1
20 0 log(3) 2 00 0 0 77 −3
−→ solução única
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Produto Matriz-Vetor
Definição (Produto Matriz-Vetor)
Dados a matriz Am×n =
a1 · · · an
e o vetor
x =
x1...
xn
, define-se o produto Ax =n∑
j=1
xjaj .
Em palavras, o produto matriz vetor Ax é a combinaçãolinear das colunas de A, usando por coeficientes asentradas do vetor x.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Produto Matriz-Vetor
Definição (Produto Matriz-Vetor)
Dados a matriz Am×n =
a1 · · · an
e o vetor
x =
x1...
xn
, define-se o produto Ax =n∑
j=1
xjaj .
Em palavras, o produto matriz vetor Ax é a combinaçãolinear das colunas de A, usando por coeficientes asentradas do vetor x.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Produto Matriz-Vetor: exemplo
Exemplo
[1 2 34 5 6
] 20−1
= 2
[14
]+ 0
[25
]−1
[36
]
=
[(2× 1) + (0× 2) + (−1× 3)(2× 4) + (0× 5) + (−1× 6)
]
=
[−1
2
]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Produto Matriz-Vetor: exemplo
Exemplo
[1 2 34 5 6
] 20−1
= 2
[14
]+ 0
[25
]−1
[36
]
=
[(2× 1) + (0× 2) + (−1× 3)(2× 4) + (0× 5) + (−1× 6)
]
=
[(1× 2) + (2× 0) + (3×−1)(4× 2) + (5× 0) + (6×−1)
]=
[−1
2
]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Produto Matriz-Vetor: exemplo
Exemplo
[1 2 34 5 6
] 20−1
= 2
[14
]+ 0
[25
]−1
[36
]
=
[(2× 1) + (0× 2) + (−1× 3)(2× 4) + (0× 5) + (−1× 6)
]
=
[(1× 2) + (2× 0) + (3×−1)(4× 2) + (5× 0) + (6×−1)
]=
[−1
2
]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Produto Matriz-Vetor
Produto Matriz-Vetor (outra interpretação)
A i-ésima entrada do vetor b = Ax é dada pelo produtoescalar da i-ésima linha de A com o vetor b.
Definição (produto escalar)
O produto escalar (ou produto interno) dos vetores u ∈ Rn ev ∈ Rn é dado por
〈u, v〉 = u · v =n∑
j=1
ujvj .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Produto Matriz-Vetor
Produto Matriz-Vetor (outra interpretação)
A i-ésima entrada do vetor b = Ax é dada pelo produtoescalar da i-ésima linha de A com o vetor b.
Definição (produto escalar)
O produto escalar (ou produto interno) dos vetores u ∈ Rn ev ∈ Rn é dado por
〈u, v〉 = u · v =n∑
j=1
ujvj .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor
O sistema linear
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2
......
. . ....
...am1 am2 · · · amn bm
pode ser reescrito como Ax = b, isto é,
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
x1x2...
xn
=
b1b2...
bm
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor
O sistema linear
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2
......
. . ....
...am1 am2 · · · amn bm
pode ser reescrito como Ax = b, isto é,
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
x1x2...
xn
=
b1b2...
bm
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor
O sistema linear
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2
......
. . ....
...am1 am2 · · · amn bm
pode ser reescrito como Ax = b, isto é,
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
x1x2...
xn
=
b1b2...
bm
.
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Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor
As duas interpretações do produto matriz Ax vetorcorrespondem a duas interpretações geométricas dosistema linear Ax = b.
por linhas:interseção de hiperplanos;por colunas:b como combinação linear das colunas de A.
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Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor
As duas interpretações do produto matriz Ax vetorcorrespondem a duas interpretações geométricas dosistema linear Ax = b.
por linhas:interseção de hiperplanos;por colunas:b como combinação linear das colunas de A.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor
As duas interpretações do produto matriz Ax vetorcorrespondem a duas interpretações geométricas dosistema linear Ax = b.
por linhas:interseção de hiperplanos;por colunas:b como combinação linear das colunas de A.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Propriedades do Produto Matriz-Vetor
Ax é linear em x
A(x + y) = Ax + AyA(αx) = α(Ax)
Corolários
Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.
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Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Propriedades do Produto Matriz-Vetor
Ax é linear em x
A(x + y) = Ax + AyA(αx) = α(Ax)
Corolários
Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.
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SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Propriedades do Produto Matriz-Vetor
Ax é linear em x
A(x + y) = Ax + AyA(αx) = α(Ax)
Corolários
Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Propriedades do Produto Matriz-Vetor
Ax é linear em x
A(x + y) = Ax + AyA(αx) = α(Ax)
Corolários
Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Propriedades do Produto Matriz-Vetor
Ax é linear em x
A(x + y) = Ax + AyA(αx) = α(Ax)
Corolários
Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Definição (sistema homogêneo)
Ax = 0,
a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0
......
. . ....
...am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0
Definição (solução trivial)
O vetor nulo 0 = (0, 0, . . . , 0) é sempre solução do sistemahomogêneo. Esta solução é chamada solução trivial.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Definição (sistema homogêneo)
Ax = 0,
a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0
......
. . ....
...am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0
Definição (solução trivial)
O vetor nulo 0 = (0, 0, . . . , 0) é sempre solução do sistemahomogêneo. Esta solução é chamada solução trivial.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
∗ · · · ∗ 0...
. . ....
...∗ · · · ∗ 0
Forma escalonada nunca apresenta linha[
0 · · · 0].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 1 rx2 = −7 −3 sx3 = 1 sx4 = 4
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
[0 1 3 0 00 0 0 1 0
] x1 = 1 rx2 = −3 sx3 = 1 sx4 = 0
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
[0 1 3 0 00 0 0 1 0
] x1 = 1 rx2 = −3 sx3 = 1 sx4 = 0
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
[0 1 3 0 −70 0 0 1 4
] x1 = 0 1 r 0 sx2 = −7 0 r −3 sx3 = 0 0 r 1 sx4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:{(0,−7, 0, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
[0 1 3 0 00 0 0 1 0
] x1 = 1 r 0 sx2 = 0 r −3 sx3 = 0 r 1 sx4 = 0 r 0 s
Conjunto-solução:{r(1, 0, 0, 0) + s(0,−3, 1, 0) | r , s ∈ R}
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28
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SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:? · · · ? 0? · · · ? 0...
. . ....
...? · · · ? 0
∼
· · · ∗ 0...
. . ....
...0 · · · 0
Sistema não-homogêneo com mesma matriz:? · · · ? ?? · · · ? ?...
. . ....
...? · · · ? ?
∼
· · · ∗ ∗...
. . ....
...0 · · · ∗
ou
· · · ∗ ∗
.... . .
......
0 · · · ∗0 · · · 0
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28
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SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Ax = b
sol. = xp +⟨xh1 , . . . , xhr
⟩ ⇒ Ax = 0
sol. =⟨xh1 , . . . , xhr
⟩
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Ax = b
sol. = xp +⟨xh1 , . . . , xhr
⟩ou
sol. = { }
⇐ Ax = 0
sol. =⟨xh1 , . . . , xhr
⟩
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo eSistema Homogêneo Associado
Ax = b
sol. = xp +⟨xh1 , . . . , xhr
⟩ou
sol. = { }
⇐ Ax = 0
sol. =⟨xh1 , . . . , xhr
⟩
Se um sistema não-homogêneo é consistente, o subespaçoafim que forma o seu conjunto-solução é uma translação dosubspaço vetorial que forma o conjunto-solução do sistemahomogêneo associado.
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Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28
Sist. Lin. II
SistemasLinearesApós Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[1 2 42 5 9
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 40 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 20 1 1
][
1 2 32 5 7
]l2 ← l2 − 2l1
[1 2 30 1 1
]l1 ← l1 − 2l2
[1 0 10 1 1
]
[1 2 4 32 5 9 7
]∼
[1 2 4 30 1 1 1
]∼
[1 0 2 10 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matrizcom vários lados direitos de uma vez.
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