View
50
Download
10
Category
Preview:
Citation preview
TI 2001 Penelitian Operasional I 1
Analisis Sensitivitas
(Sensitivity Analysis)
Kuliah 07
TI 2001 Penelitian Operasional I 2
Pengertian analisis sensitivitas
Analisis sensitivitas dengan metode grafis
Analisis sensitivitas dengan metode simplex
Materi Bahasan
TI 2001 Penelitian Operasional I 3
Pengertian Analisis Sensitivitas
TI 2001 Penelitian Operasional I 4
Analisis Sensitivitas
Analisis thd. perubahan solusi optimal & nilai
optimal krn. perubahan parameter model (data input).
Perubahan:
1) Koefisien fungsi tujuan, c
2) Konstanta ruas kanan, b
3) Koefisien teknologi, aij
Penambahan aktivitas atau variabel baru
Perubahan pengunaan sumber dari aktivitas
(perubahan kolom)
Penambahan pembatas baru
TI 2001 Penelitian Operasional I 5
Efek dari Perubahan Parameter Model
Perubahan parameter model yg. mempenga-
ruhi optimalitas :
Perubahan koefisien fungsi tujuan
Penambahan aktivitas (variabel) baru
Perubahan penggunaan sumber daya dari aktivitas
Perubahan parameter model yg. mempenga-
ruhi kelayakan :
Perubahan konstanta ruas kanan
Penambahan pembatas baru
TI 2001 Penelitian Operasional I 6
Analisis Sensitivitas dengan Metode Grafis
TI 2001 Penelitian Operasional I 7
Analisis Sensitivitas
Perubahan Konstanta Ruas Kanan
(ketersediaan SumberDaya)
Masalah Sensitivitas 1
Berapa banyak suatu sumber daya dapat
ditingkatkan untuk memperbaiki nilai fungsi
tujuan optimum Z* ?
Berapa banyak suatu sumber daya dapat
diturunkan tanpa menyebabkan perubahan solusi
optimum x*saat ini?
TI 2001 Penelitian Operasional I 8
Pembatas binding dan nonbinding (1)
Pembatas
Binding sumber daya yg langka (scarce
resource)
Non-binding sumber daya yg berlebihan
(abundant resource)
TI 2001 Penelitian Operasional I 9
Contoh Masalah Produk Campuran (*)
Variabel keputusan:
x1 = jumlah cat eksterior yang diproduksi per hari
x2 = jumlah cat interior yang diproduksi per hari
(*) Contoh persoalan PL yg telah dibahas sebelumnya
TI 2001 Penelitian Operasional I 10
Contoh Masalah Produk Campuran (*)
Pembatas:
1) Ketersediaan bahan
Bahan A : x1 + 2x2 6
Bahan B : 2x1 + x2 8
2) Permintaan
Selisih permintaan : x2 x1 1
Permintaan cat interior : x2 2
3) Pembatas tak negatif
x1 0; x2 0
TI 2001 Penelitian Operasional I 11
Contoh Masalah Produk Campuran (*)
Fungsi Tujuan:
Memaksimumkan Pendapatan Total :
Z = 3x1 + 2x2
TI 2001 Penelitian Operasional I 12
Contoh Masalah Produk Campuran (*)
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2
dengan pembatas-pembatas:
x1 + 2x2 6
2x1 + x2 8
x1 + x2 1
x2 2
x1, x2 0
TI 2001 Penelitian Operasional I 13
Pembatas binding dan nonbinding (2) (6)
(5)
(2)
(4)
(3) (1)
x1
x2
Pada Titik Optimal C, pembatas-pembatas
yang binding (aktif) & non-binding (non-
aktif) adalah :
Binding (1) : Bahan A (2) : Bahan B
Nonbinding (3) : Selisih permintaan (4) : Permintaan cat interior
A B
C
D E
F
Peningkatan Pembatas (1) : x1 + 2x2 6 (6)
(2)
(4)
(3) (1)
x1
x2
A
F
E
B
K
Bila b1= 7, Titik K merupakan solusi
optimum baru : x1* = 3, x2
* = 2; Z* = 13
Bahan A dapat ditingkatkan s.d. = 3(1) + 2(2)
= 7 ton.
D
C
Pembatas (1) :posisi awal : b1 6
Pembatas (1) :ditingkatkan : b1 7
Pembatas (1) : ditingkatkan : b1 p, dimana p>7
Bila b1>7, solusi optimum tetap di Titik K.
TI 2001 Penelitian Operasional I 15
(6)
(5)
(2)
(4)
(3) (1)
x1
x2
A B
C
D E
F
J
Bila b2=12, Titik J adalah
solusi optimum baru :
x1* = 6; x2
* = 0; Z* = 18.
Bahan B dapat ditingkatkan
s.d. = 2(6) + 1(0) = 12 ton. Pembatas (2) : ditingkatkan : b2 12
Pembatas (2) : ditingkatkan :
b2 p, dimana p>12 Pembatas (2) :
posisi awal : b2 8
Bila b2>12, solusi optimum
tetap di Titik J.
Peningkatan Pembatas (2) : 2x1 + x2 8
TI 2001 Penelitian Operasional I 16
(6)
(5)
(2)
(4)
(3) (1)
x1
x2
A B
C D E
F
Konstanta ruas kanan :
x1 + x2 = -31/3 + 1
1/3 = -2
atau pembatas menjadi:
x1 + x2 -2
x1 - x2 2
Solusi optimal pada Titik C saat ini tak
berubah walaupun selisih antara
permintaan eksterior dg. interior menjadi
2 ton.
Penurunan Pembatas (3) : -x1 + x2 1
TI 2001 Penelitian Operasional I 17
(6)
(5)
(2)
(4)
(3) (1)
x1
x2
A B
C
D E
F
Konstanta ruas kanan :
x2 = 11/3
atau pembatas menjadi:
x2 11/3
Solusi optimal pada Titik C saat ini tdk
berubah walaupun batas permintaan
cat interior turun hingga 11/3 ton.
C
Penurunan Pembatas (4) : x2 2
TI 2001 Penelitian Operasional I 18
Analisis Sensitivitas Sumberdaya yang diprioritaskan untuk ditingkatkan
Masalah sensitivitas
Sumberdaya mana yang perlu ditingkatkan?
i
ii
b
Zy
max
max
maxZi = perubahan maksimum dari nilai Z akibat
peningkatan pembatas i
maxbi = perubahan maksimum dari sumber daya/pembatas i
yi = shadow price pembatas i
TI 2001 Penelitian Operasional I 19
Shadow price
Sumber
daya Jenis
Perubahan
maksimum dari
sumber daya
Perubahan
maksimum dari
fungsi tujuan (x
1.000)
Shadow price
1 Langka 7 (6) = 1 13 122/3 = 1/3 (1/3)/1 =
1/3
2 Langka 12 (8) = 4 18 122/3 = 51/3 (5
1/3)/4= 4/3
3 Berlimpah 2 (1) = 3 122/3 122/3 = 0 0
4 Berlimpah 11/3 (2) = 2/3 12
2/3 122/3 = 0 0
TI 2001 Penelitian Operasional I 20
Interpretasi
Sumber daya 2 (bahan B) seharusnya
mendapatkan prioritas dalam pengalokasian
dana
Sumber daya 3 dan 4 tidak perlu ditingkatkan
TI 2001 Penelitian Operasional I 21
Analisis Sensitivitas
- Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
Perubahan koefisien fungsi tujuan akan mempenga-ruhi slope dari garis lurus yg merepresentasikannya.
Perubahan koefisien fungsi tujuan akan mengubah status dari suatu sumber daya (langka atau berlimpah)
Pertanyaan: Berapa besar koefisien fungsi tujuan dpt diubah tanpa
menyebabkan perubahan pada solusi (titik) optimal.
Berapa besar koefisien fungsi tujuan dpt diubah utk mengubah status sumber dari berlimpah ke langka, dan sebaliknya.
TI 2001 Penelitian Operasional I 22
Pada contoh kasus yang telah dibahas sebelumnya :
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 s/t :
x1 + 2x2 6
2x1 + x2 8
x1 + x2 1
x2 2
x1,, x2 0
Analisis Sensitivitas
- Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
Analisis Sensitivitas
- Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
TI 2001 Penelitian Operasional I 23
(6)
(5)
(2)
(4)
(3) (1)
x1
x2
A B
C
D E
F
Peningkatan c2
Penurunan c1
Peningkatan c1
Penurunan c2
Titik C tetap sebagai
titik optimal sepanjang
slope dari Z berubah antara
slope pembatas (1) dan (2)
Analisis Sensitivitas
- Perubahan Koefisien Suatu Fungsi
TI 2001 Penelitian Operasional I 24 x1
x2
Bentuk Fungsi : Z = c1x1 + c2x2
Z = 3x1 + 2x2
Z = 6x1 + 2x2
TI 2001 Penelitian Operasional I 25
(6)
(5)
(2)
(4)
(3) (1)
x1
x2
A B
C
D E
F
Slope Z sama dengan slope pembatas (1)
Analisis Sensitivitas
- Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
TI 2001 Penelitian Operasional I 26
(6)
(5)
(2)
(4)
(3) (1)
x1
x2
A B
C
D E
F
Slope Z sama dengan slope pembatas (2)
Analisis Sensitivitas
- Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan
TI 2001 Penelitian Operasional I 27
Rentang c1 untuk mempertahankan solusi optimal pada
titik C (dengan c2 tetap)
Minimum dari c1 slope Z = slope pembatas (1):
F. Tujuan : Z = 3x1 + 2x2
Pembatas (1) : x1 + 2x2 6 c1/c2 =
Slope Z = c1min/c2 = c1min/2 = c1min = 1.
Maksimum dari c1 slope Z = slope pembatas (2) :
Pembatas (2) : 2 x1 + x2 8 c1/c2 = 2/1 = 2
Slope Z = c1max/c2 = c1max/2 = 2 c1max = 4.
Rentang c1 agar titik C tetap sebagai titik optimal: 41 1 c
TI 2001 Penelitian Operasional I 28
Rentang c2 untuk mempertahankan solusi optimal pada
titik C (dengan c1 tetap)
Minimum dari c2 slope Z = slope pembatas (2):
F. Tujuan : Z = 3x1 + 2x2
Pembatas (2) : 2x1 + x2 8 c1/c2 = 2/1
Slope Z = c1/c2min = 3/c2min = 2/1 c2min = 3/2.
Maksimum dari c2 slope Z = slope pembatas (1) :
Pembatas (1) : x1 + 2x2 6 c1/c2 = 1/2
Slope Z = c1/c2max = 3/c2max = 1/2 c2max = 6.
Rentang c2 agar titik C tetap sebagai titik optimal:
62
32 c
TI 2001 Penelitian Operasional I 29
Analisis Sensitivitas dalam Metode Simplex
TI 2001 Penelitian Operasional I 30
Masalah Pemrograman Linier
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2
dengan pembatas-pembatas:
x1 + 2x2 6 (Bahan A)
2x1 + x2 8 (Bahan B)
x1 + x2 1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)
x2 2 (Permintaan cat interior)
x1 0
x2 0
TI 2001 Penelitian Operasional I 31
Tabel Awal
cB
3 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x3 1 2 1 0 0 0 6
0 x4 2 1 0 1 0 0 8
0 x5 -1 1 0 0 1 0 1
0 x6 0 1 0 0 0 1 2
3 2 0 0 0 0 Z = 0
Basis
cj
c Baris
TI 2001 Penelitian Operasional I 32
Tabel Akhir (Tabel Optimal)
cB
3 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
0 x5 0 0 -1 1 1 0 3
0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3
0 0 -1/3 -4/3 0 0 Z = 38/3
Basis
cj
c Baris
TI 2001 Penelitian Operasional I 33
Perubahan dalam
Koefisien Fungsi Tujuan
Perubahan koefisien fungsi tujuan dari :
a) variabel basis
b) variabel non basis
c) variabel basis dan non basis
TI 2001 Penelitian Operasional I 34
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan
dari Variabel Basis
Variabel x1:
3/2
1
3/1
3/2
)0,0,c,2(0c 13 3
c4c 13
3/1
1
3/2
3/1
)0,0,c,2(0c 14
3
c22c 14
Kondisi tetap optimal :
03 c
04 c
03
c4 1
03
c22 1
1c1
41 c41 1 c
TI 2001 Penelitian Operasional I 35
211 244 xxZc
0
3/2
1
3/1
3/2
)0,0,4,2(0c3
Variabel x1: misal, nilainya berubah :
2
3/1
1
3/2
3/1
)0,0,4,2(0c4
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan
dari Variabel Basis
TI 2001 Penelitian Operasional I 36
cB
4 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
4 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
0 x5 0 0 -1 1 1 0 3
0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3
0 0 0 -2 0 0 Z = 16
Basis
cj
c Baris
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan
dari Variabel Basis
TI 2001 Penelitian Operasional I 37
211 255 xxZc
3/1
3/2
1
3/1
3/2
)0,0,5,2(0c3
Variabel x1: misal, nilainya berubah :
3/8
3/1
1
3/2
3/1
)0,0,5,2(0c4
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan
dari Variabel Basis
TI 2001 Penelitian Operasional I 38
cB
5 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
5 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
0 x5 0 0 -1 1 1 0 3
0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3
0 0 1/3 -8/3 0 0 Z = 38/3
Basis
cj
c Baris
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan
dari Variabel Basis
TI 2001 Penelitian Operasional I 39
cB
5 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 X3 0 3/2 1 -1/2 0 0 2
5 x1 1 1/2 0 1/2 0 0 4
0 x5 0 3/2 0 1/2 1 0 5
0 x6 0 1 0 0 0 1 2
0 -1/2 0 -5/2 0 0 Z = 20
Basis
cj
c Baris
a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan
dari Variabel Basis
TI 2001 Penelitian Operasional I 40
b) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan
dari Variabel Non Basis
3/2
1
3/1
3/2
)0,0,3,2(cc 33 3
1cc 33
Variabel non basis x3:
Kondisi tetap optimal :
03
1cc 33
3
1c3
3
1c3
TI 2001 Penelitian Operasional I 41
Penambahan Aktivitas Baru
Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 + 3/2 x7
dengan pembatas-pembatas:
x1 + 2x2 + 3/4 x7 6 (Bahan A)
2x1 + x2 + 3/4 x7 8 (Bahan B)
x1 + x2 x7 1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)
x2 2 (Permintaan cat interior)
x1, x2, x7 0
TI 2001 Penelitian Operasional I 42
103/13/2
0111
003/23/1
003/13/2
1B
777 acc
0
1
43
43
7
/
/
a2/37 c
103132
0111
003231
003132
0032Bc 16512
//
//
//
,,,,,, B
Penambahan Aktivitas Baru
003431 ,,,
TI 2001 Penelitian Operasional I 43
41
1
41
41
0
1
43
43
103132
0111
003231
003132
7
/
/
/
/
/
//
//
//
a
Penambahan Aktivitas Baru
41
0
1
43
43
00343123 777 //
/
,,/,//
acc
TI 2001 Penelitian Operasional I 44
cB
3 2 3/2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x7 x3 x4 x5 x6
2 x2 0 1 1/4 2/3 -1/3 0 0 4/3
3 x1 1 0 1/4 -1/3 2/3 0 0 10/3
0 x5 0 0 -1 -1 1 1 0 3
0 x6 0 0 -1/4 -2/3 1/3 0 1 2/3
0 0 1/4 -1/3 -4/3 0 0 Z = 38/3
Basis
cj
c Baris
Penambahan Aktivitas Baru
TI 2001 Penelitian Operasional I 45
cB
3 2 3/2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x7 x3 x4 x5 x6
3/2 x7 0 4 1 8/3 -4/3 0 0 16/3
3 x1 1 -1 0 -1 1 0 0 2
0 x5 0 4 0 5/3 -1/3 1 0 25/3
0 x6 0 1 0 0 0 0 1 2
0 -1 0 -1 -1 0 0 Z = 14
Basis
cj
c Baris
Penambahan Aktivitas Baru
TI 2001 Penelitian Operasional I 46
Perubahan dalam Penggunaan Sumber dari
Aktivitas
Perubahan pada aktivitas (variabel) non basis
Dilakukan analisis seperti kasus penambahan
aktivitas baru
Perubahan pada aktivitas (variabel) basis
Menyelesaikan masalah pemrograman linier dari
awal lagi
TI 2001 Penelitian Operasional I 47
Perubahan yang Mempengaruhi Ketidaklayakan
Perubahan dalam konstanta ruas kanan
Penambahan pembatas baru
TI 2001 Penelitian Operasional I 48
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan
Pembatas 1:
2
1
8
1
*
b
b
01 bB
103/13/2
0111
003/23/1
003/13/2
1B
TI 2001 Penelitian Operasional I 49
3/143/2
9
3/163/
3/83/2
2
1
8
103/13/2
0111
003/23/1
003/13/2
1
1
1
11
*1
b
b
b
bb
bB
403
8
3
21
1 bb
1603
16
31
1 bb
909 11 bb
703
14
3
21
1
bb
74 1 b
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan
TI 2001 Penelitian Operasional I 50
Pembatas 1:
2
1
8
7
*b
0
2
3
2
2
1
8
7
103/13/2
0111
003/23/1
003/13/2
*1bB
1300022233 Z
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan
TI 2001 Penelitian Operasional I 51
cB
3 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 2
3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 3
0 x5 0 0 -1 1 1 0 2
0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 0
0 0 -1/3 -4/3 0 0 Z = 13
Basis
cj
c Baris
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan
TI 2001 Penelitian Operasional I 52
Pembatas 1:
2
1
8
9
*b
3/4
0
3/7
3/10
2
1
8
9
103/13/2
0111
003/23/1
003/13/2
*1bB
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan
TI 2001 Penelitian Operasional I 53
cB
3 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 10/3
3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 7/3
0 x5 0 0 -1 1 1 0 0
0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 -4/3
0 0 -1/3 -4/3 0 0
Basis
cj
c Baris
Terapkan dual simplex
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan
TI 2001 Penelitian Operasional I 54
cB
3 2 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6
2 x2 0 1 0 0 0 1 2
3 x1 1 0 0 1/2 0 -1/2 3
0 x5 0 0 0 1/2 1 -3/2 2
0 x3 0 0 1 -1/2 0 -3/2 2
0 0 0 -3 0 -1/2 Z = 13
Basis
cj
c Baris
Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan
TI 2001 Penelitian Operasional I 55
Penambahan Pembatas Baru
Solusi optimal saat ini memenuhi pembatas
baru
Pembatas baru bersifat nonbinding atau redundant sehingga tidak mengubah solusi optimal saat ini.
Solusi optimal saat ini tidak memenuhi
pembatas baru
Pembatas baru bersifat binding
TI 2001 Penelitian Operasional I 56
Pembatas baru: x1 4
Solusi optimal saat ini : x = (x1, x2, x5, x6) = (10/3, 4/3, 3, 2/3)
x1 = 10/3 4
Penambahan Pembatas Baru
TI 2001 Penelitian Operasional I 57
Pembatas baru: x1 3
Solusi optimal saat ini : x = (x1*, x2
*, x5*, x6
*) = (10/3, 4/3, 3, 2/3)
Solusi optimum saat ini utk variabel x1* = 10/3 , lebih besar dari 3
x1* = 10/3 > 3 sehingga pembatas baru ini akan mengubah solusi
optimum saat ini
Penambahan Pembatas Baru
Pada pembatas baru ditambahkan variabel slack x7 : x1 + x7 = 3
TI 2001 Penelitian Operasional I 58
cB
3 2 0 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 0 4/3
3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 10/3
0 x5 0 0 -1 1 1 0 0 3
0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 0 2/3
0 x7 1 0 0 0 0 0 1 3
0 0 -1/3 -4/3 0 0 0
Basis
cj
c Baris
Penambahan Pembatas Baru
TI 2001 Penelitian Operasional I 59
cB
3 2 0 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 0 4/3
3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 10/3
0 x5 0 0 -1 1 1 0 0 3
0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 0 2/3
0 x7 0 0 1/3 -2/3 0 0 1 -1/3
0 0 -1/3 -4/3 0 0 0 Z = 38/3
Basis
cj
c Baris
Terapkan dual simplex
Penambahan Pembatas Baru
TI 2001 Penelitian Operasional I 60
cB
3 2 0 0 0 0 0
Konstanta
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
2 x2 0 1 1/2 0 0 0 -1/2 3/2
3 x1 1 0 0 0 0 0 1 3
0 x5 0 0 -1/2 0 1 0 3/2 5/2
0 x6 0 0 -1/2 0 0 1
0 x4 0 0 -1/2 1 0 0 -3/2 1/2
0 0 -1 -4/3 0 0 0 Z = 12
Basis
cj
c Baris
Penambahan Pembatas Baru
Recommended