Turunan Fungsi Vektor

Anisa Bella Fathia (1005364) Azico Sudhagama (1002579) Clara Desi P. (1006534) Ni’matullah T. (1000131) Rizal Afif (1005180)

PENGANTAR

Untuk mempelajari turunan pada fungsivektor, kita ingat kembali konsep turunanfungsi real yang menyatakan bahwa turunandari fungsi x=f(t) di suatu t yang terletakpada selang terbuka D, ditulis x’=f’(t), tє D didefinisikan sebagai

Bila limit ini ada

Konsep Turunan fungsi real mempunyaiarti geometri sebagai gradien garissinggung di titik (t,f(t)) pada grafik fungsif dan mempunyai arti fisis sebagai lajuperubahan nilai f(t) terhadap t.

1.3.1 TURUNAN FUNGSI VEKTORTurunan fungsi vektor di satu titik pada suatuselang terbuka didefinisikan serupa sepertipada fungsi real.Definisi 1.3.1Diberikan yangterdefinisi pada selang terbuka D R. Turunan pertama fungsi vektor di tє D ditulis didefinisikan sebagai :

Diskusi

1.a. Jelaskan arti geometri

Jawab:

Untuk membahas arti geometrinya, perhatikan gambar di bawah ini yang memperlihatkan di yang terdefinisipada selang terbuka D. Fungsi vektor inimenyatakan kurva C yang arah gerakannyatertentu.

Jika ada dan tidak nol, maka vektormenyatakan vektor singgung pada kurva C ditєD. Pada kasus ini garis singgung pada fungsivektor di titik pada kurva C: adalah

Jadi arti geometri turunan fungsi vektor disuatu titik pada kurva adalah vektor singgungpada kurvanya di titik itu.

Teorema 1.3.1Misalkan terdefinisipada selang terbuka D. Jika ada, tєD, maka

Diskusi

2. Buktikan Teorema berikut:

Diberikanyang terdefinisi pada selang terbuka D R. Jika ada,maka

Jawab:

Terbukti.

Diskusi

1.b. Dengan menggunakan definisi, buktikanbahwa jika

maka

Jawab:

terbukti.

Akan sama halnya dengan

c. Dengan memperlihatkan persoalan b.,apa yang dapat anda katakan hubungan antara fungsiturunan dan fungsi asalnya?

Jawab:Teorema nilai purata memberikan hubunganantara nilai dari turunan dengan nilai dari fungsiasal. Jika adalah fungsi vektor dan a dan badalah bilangan dengan a < b, maka teorema nilaipurata mengatakan bahwa kemiringan antara duatitik (a, (a)) dan (b, (b)) adalah sama dengankemiringan garis singgung di titik c di antara aand b.

Dengan kata lain:

Dalam prakteknya, teorema nilai purata inimengontrol sebuah fungsi terhadap turunannya. Sebagai contoh, misalkan memiliki turunan yang sama dengan nol di setiap titik, maka fungsi tersebutharuslah horizontal. Teorema nilai puratamembuktikan bahwa hal ini haruslah benar, bahwakemiringan antara dua titik di grafik haruslah samadengan kemiringan salah satu garis singgung di . Semua kemiringan tersebut adalah nol, jadi garissembarang antara titik yang satu dengan titik yang lainnya di fungsi tersebut memiliki kemiringan yang bernilai nol. Namun hal ini juga mengatakan bahwafungsi tersebut tidak naik maupun turun.

Diskusi

3. Perhatikan persamaan garis singgung fungsivektor di titik pada kurva C:

a. Diketahui . Tentukan persamaan garis singgung di titikP(-1,0,π) pada kurva

b. Tentukan vektor singgung satuan padaparabola di titik (1,1)

Jawab:a. Titik P tercapai bila t=π .Menurut teorema

1.3.1, turunan fungsi di t=π diperolehdengan menentukan turunan dari setiapkomponen fungsi vektornya di t=π, hasilnyasebagai berikut:

Vektor arah singgung di titik P(-1,0,π) pada kurvaadalah = (0,-1,1) dan vektorpenyangganya P=(-1,0,π).

Jadi, persamaan garis singgung di titik P padakurva adalah

X(t) = (-1,0,π) + t(0,-1,1)

b. Persamaan parabol dapat ditulissebagai suatu fungsi vektor

, tєR

Turunan fungsi vektor ini adalah:

Tentukan dahulu nilai t, nilai danvektor singgung satuannya adalah

Hasilnya adalah

Titik singgung (1,1)

Nilai(t) =1

=

Vektor singgungnya ±(1,0)

1.3.2 Rumus-rumusTurunan FungsiVektorTeorema 1.3.2

Jika fungsi vektor , di dan fungsi real h semuanya terdiferensialkan pada selangterbuka D, maka dan

(khusus di )terdiferensialkan padadengan rumus turunan yang ditentukan oleh :

Diskusi

4. Pembuktian rumus-rumus turunan fungsivektor:

1.

2.

c) Akan ditunjukkan bahwa:

d) Akan ditunjukkan bahwa:

• .

5. Diberikan fungsi

Tentukan: a)

b)

c)

d)

Jawab:a)

b) (hF)’(t) = h(t)F’(t) + h’(t)F(t)= et.( cos t i - sin t j - e-t k ) + et.( sin t i + cos t j + e-t

k )= (et cos t + et sin t ) I + (-et sin t + et cos t) j + (et.et

- et.et)k= (et cos t + et sin t ) I + (-et sin t + et cos t) j

c) (F.G)’(t) = F(t).G’(t) + F’(t).G(t)

= ( 2 sin t – 3 cos t + 2te-t) + (2t cos t + 3t sin t –t2 e-t)

= ( 2+3t) sin t + (2t-3)cos t + (2t- t2 )e-t

d) (FxG)’(t) = [ F(t) x G’(t)] + [F’(t)xG(t)]

i j k i j k Sin t cost e-t + cos t -sin t -e-t

2 -3 2t 2t -3t t2

= ( 2t cos t + 3 e-t - t2 sin t – 3t e-t) i – (2t sin t –2e-t + t2 cos t + 2te-t) j + (-3 sin t -2 cos t + (-3t cos t) + 2t sin t )k

=( 2t cos t + 3 e-t - t2 sin t – 3t e-t) i – (2t sin t –2e-t + t2 cos t + 2te-t) j – (3 sin t + 2 cos t + 3t cos t - 2t sin t )k