MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2019/2020

18 Maret 2020

Kuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah

12.5 Turunan berarah dan gradien

12.6 Aturan Rantai

12.7 Bidang singgung dan aproksimasi

12.8 Maksimum dan minimum

12.9 Metode pengali Lagrange

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari Ini

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah

12.5 Turunan berarah dan gradien

12.6 Aturan Rantai

12.7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag I

12.8 Maksimum dan minimum

12.9 Metode pengali Lagrange

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 3

12.4 TURUNAN FUNGSI DUA PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 4

• Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubahmempunyai turunan di titik tertentu danmenentukan turunannya

Turunan Parsial Saja Tidak Cukup

Kita sudah mendefinisikanturunan parsial dari suatufungsi dua peubah; tapieksistensi turunan parsial disuatu titik tidak memberi kitainformasi tentang nilai fungsidi sekitar titik tsb, kecualidalam arah sejajar sumbu-x dan sumbu-y.

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 5

P

x

y

z

??

Bagaimana Mendefinisikan Turunan

Turunan dari fungsi satu peubah y = f(x) di x = c didefinisikan sebagai

Sayangnya bentuk ini tidak dapat diperumumuntuk fungsi dua peubah

karena pembagian dgn vektor tidak terdefinisi.3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 6

.)()(

lim)('0 h

cfhcfcf

h

,)()(

lim)('0 h

cfhcfcf

h

SO?

Turunan Fungsi Satu Peubah

Jika y = f(x) mempunyai turunan di x = c, yakni

maka f linear secara lokal di x ≈ c, yaitu

dengan

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 7

,)()(

lim)('0

mh

cfhcfcf

h

),()()( hhhmcfhcf

.0)()(

lim)(lim00

m

h

cfhcfh

hh

Turunan Fungsi Satu Peubah

Sebaliknya, jika f linear secara lokal di x ≈ c, sebutlah

dengan

maka f mempunyai turunan di x = c, yakni

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 8

.)()(

lim)('0

mh

cfhcfcf

h

),()()( hhhmcfhcf

,0)()(

lim)(lim00

m

h

cfhcfh

hh

Turunan Fungsi Dua Peubah

Fungsi dua peubah f dikatakan mempunyaiturunan di p = (a,b) jika dan hanya jika f linear secara lokal di sekitar p, yakni

dengan

dan

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 9

).0,0())(lim),(lim()(lim 20

100

hhhhhh

,)())(),(()()( hhhpfpfpfhpf yx

),,()),(),(()( 2121 hhhhhh

Turunan Fungsi Dua Peubah

Vektor disebutturunan atau gradien f di p.

Jadi, f mempunyai turunan di p jika danhanya jika

dengan

Catatan: Operator disebut operator del. 3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 10

.0)(lim0

hh

))(),((:)( pfpfpf yx

,)()()()( hhhpfpfhpf

Beberapa Catatan

1. Jika turunan fungsi satu peubah merupa-kan bilangan f ’(p), maka turunan fungsidua peubah merupakan vektor

2. Hasil kali danmerupakan hasil kali titik.

3. Definisi turunan fungsi tiga (atau lebih) peubah dapat dirumuskan secara serupa.

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 11

))(),((:)( pfpfpf yx

hpf )( hh )(

Contoh

Turunan dari fungsi di (1,2) adalah

Perhatikan bahwa untuk (h,k) ≈ (0,0) fungsi flinear secara lokal:

Di sini3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 12

22),( yxyxf

).4,2()2,2()2,1()2,1( yxf

).,(),(),()4,2(5

4421

)2()1()2,1(

22

22

khkhkh

kkhh

khkhf

).0,0(),(),( khkh

Teorema

Jika f mempunyai turunan parsial fx dan fy yang kontinu pada suatu cakram yang memuat (a,b), maka f mempunyai turunan di (a,b).

Contoh. f(x,y) = x2 + y2 mempunyai turunanparsial fx = 2x dan fy = 2y yang kontinu pada R

2, karena itu f mempunyai turunan di setiap titik.

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 13

Sifat Turunan

Operator del memenuhi sifat-sifat berikut:

1.

2.

3.

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 14

)()()]()([ pgpfpgpf

)(.)](.[ pfpf

)()()()()]()([ pfpgpgpfpgpf

Teorema

Jika f mempunyai turunan di p,

maka f kontinu di p.

Catatan. Kontraposisi teorema di atas berbunyi: jika f tidak kontinu di p, maka f tidak mempunyaiturunan di p.

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 15

Soal

Selidiki apakah fungsi di bawah ini mempunyaiturunan di titik (0,0).

1.

2.

3.

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 16

.0)0,0(,),(22

fyx

xyyxf

.),( 22 yxyxf

.1),( 22 yxyxf

Soal

Buktikan bahwa

4.

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 17

2.

f g f f g

g g

12.7 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN– BAGIAN I

MA1201 MATEMATIKA 2A

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 18

• Menentukan persamaan bidang singgungpada suatu permukaan di titik tertentu

• Menghitung nilai hampiran dari suatu fungsidi sekitar titik tertentu

Hampiran Linear & Bidang Singgung

Bila f mempunyai turunan di p = (a,b), maka kitamempunyai hampiran linear

Dalam hal ini, persamaan

merupakan persamaan bidang singgung padapermukaan z = f(x,y) di titik (a,b).3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 19

),(),(),(),( byaxbafbafyxf

))(,())(,(),(

),(),(),(

bybafaxbafbaf

byaxbafbafz

yx

Contoh

Persamaan bidang singgung pada permukaan z =

di (1,2) adalah

Menggunakan persamaan bidang singgung ini, kita mempunyai hampiran

(1.1)2 + (1.9)2 ≈ 5 + 2(0.1) + 4(-0.1) = 4.8.3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 20

22),( yxyxf

.425)2(4)1(25

)2)(2,1()1)(2,1()2,1(

yxyx

yfxffz yx

Diferensial

Misal z = f(x,y) mempunyai turunan di p = (a,b). Jika dx dan dy adalah diferensial peubah bebasx dan y, maka

disebut diferensial dari f di (a,b).

Jadi, hampiran linear di sekitar (a,b) dapatdituliskan sebagai

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 21

),(),(),( dydxbafbadfdz

),(),(),( badfbafyxf

Contoh

Jika z = , maka diferensial darif di (1,2) adalah

Jika dx = 0.1 dan dy = -0.1, maka

dz = 2(0.1) + 4(-0.1) = -0.2.

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 22

22),( yxyxf

.42)2,1()2,1( dydxdyfdxfdz yx

Soal

Diketahui rumus tekanan gas P = k(T/V) dinyatakan dalam suhu T dan volume V, dengank menyatakan suatu konstanta.

Jika dalam pengukuran T terdapat kesalahanmaksimum 1% dan dalam pengukuran Vterdapat kesalahan maksimum 2%, taksirlahkesalahan maksimum dalam perhitungan P.

3/15/2020 (c) Hendra Gunawan 23