Turunan

Turunan Di Satu Titik

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis '( )f c didefinisikan sebagai:

( ) ( )'( ) lim

x c

f x f cf c

x c

bila limitnya ada. Dengan penggantian x c h , jika 0x c h dan x c h , turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk:

0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h

Hitunglah '(2)f jika ( ) 2f x x Jawab ( ) 2f x x

(i) ( ) ( )

'( ) limx c

f x f cf c

x c

2 2 2

2( 2)( ) (2) 2 2(2)'(2) lim lim lim

2 2x x x

xf x f xf

x x

2x 2lim2 2x

(ii) 0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h

0 0 0

0

(2 ) (2) 2(2 ) 2(2) 4 2 4'(2) lim lim lim

2 lim

h h h

h

f h f h hf

h h hh

h 0

lim2 2h

Contoh

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari fungsi f di

c, ditulis ' ( )f c didefinisikan sebagai:

' ( ) ( )( ) lim

x c

f x f cf c

x c

atau '

0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cf c

h

bila limitnya ada Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari fungsi f

di c, ditulis ' ( )f c didefinisikan sebagai:

' ( ) ( )( ) lim

x c

f x f cf c

x c

atau '

0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cf c

h

bila limitnya ada

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik c. Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika dan hanya

jika ' '( ) ( )f c f c

Turunan Sepihak

Selidiki apakah ; 0

( ) ; 0

x xf x x

x x

mempunyai turunan di 0x !

Jawab Turunan kiri fungsi f di 0x adalah sebagai berikut:

'

0 0 0

( ) (0) 0(0) lim lim lim( 1) 1

0x x x

f x f xf

x x

Turunan kanan fungsi f di 0x adalah sebagai berikut:

'

0 0 0

( ) (0) 0(0) lim lim lim(1) 1

0x x x

f x f xf

x x

' '(0) (0) ( ) tidak mempunyai turunan di 0ff f x x

Contoh

• Jika f mempunyai turunan di c , maka f kontinu di c.

• Jika f(x) tidak kontinu di c maka f tidak mempunyai turunan di c.

• Dengan kata lain kekontinuan adalah syarat perlu untuk keterdiferensialan.

• Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

Keterdiferensialan dan Kekontinuan

Tunjukkan bahwa 1, 1

( ) | 1|1, 1

x xf x x

x x

kontinu di x = 1

tetapi tidak diferensiabel di x = 1 Jawab : 1. Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1

f(1) = 0

1 1lim ( ) lim ( 1) 0x x

f x x

1 1

lim ( ) lim 1 0x x

f x x

1

lim ( ) 0x

f x

Jadi 1

lim 1x

f(x) f( )

Jadi ( ) | 1|f x x kontinu di x = 1

Contoh

2. Selanjutnya selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1 atau ' '(1) (1)ff ?

'

1 1 1

( ) (1) | 1| |0| ( 1)(1) lim lim lim 1

1 1 1x x x

f x f x xf

x x x

'

1 1 1

( ) (1) | 1| |0| 1(1) lim lim lim 1.

1 1 1x x x

f x f x xf

x x x

Karena ' '(1) (1)ff maka ( ) | 1|f x x tidak diferensiabel di x = 1

Solusi

Periksa apakah fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan

Latihan Soal

a. 2 , 1

( )2 3, 1

x xf x

x x

; x = 1

b. 2 , 0

( )sin 1, 0

x x xf x

x x

; x = 0

c.

2

2

,jika 0

( ) ,0 1 ; 0 dan 1

1 ,jika 1

x x

f x x x x x

x x

Turunan ( )y f x terhadap x dinotasikan dengan 'y atau

'( )f x . Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan

( )y f x terhadap x di antaranya dalah:

, ( ), , ( )x xdy d

f x D yD f xdx dx

.

Notasi dydx

dikenal sebagai notasi Leibniz.

Notasi Turunan

Turunan Fungsi Konstan

Misalkan ( )f x k , dimana k adalah sembarang konsatanta Riil maka

'( ) 0f x

0 0 0 0

( ) ( ) 0'( ) lim lim lim lim0 0

h h h h

f x h f x k kf x

h h h

Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a. ( ) 2f x

b. ( ) 15f x

c. ( ) 22f x Jawab

a. ( ) 2 '( ) 0f x f x

b. ( ) 15 '( ) 0f x f x

c. ( ) 22 '( ) 0f x f x

Rumus Dasar Turunan

Turunan Fungsi Pangkat Bilangan Riil

Misalkan ( ) dimana ,nf x kx k n maka 1'( ) ( ) nf x nk x Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut:

a. 3( ) 2f x x

b. 3( ) 15f x x

c. 14( ) 5f x x

Jawab

a. 3 3 1 2( ) 2 '( ) (3)(2) 6f x x f x x x

b. 3 3 1 4( ) 15 '( ) ( 3)(15) 45f x x f x x x

c. 31 1 14 4 41 5

( ) 5 '( ) (5)4 4

f x x f x x x

Rumus Dasar Turunan

Turunan Kelipatan Fungsi

Misalkan ( ) ( ) nf x k u x dimana ( )u x merupakan

fungsi dari x maka 1'( ) ( )( ) ( ) '( )nf x n k u x u x Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a. 3( ) 2(3 4)f x x

b. 3( ) 15(4 1)f x x

Rumus Dasar Turunan

a. 3( ) 2(3 4)f x x 3 1

2

2

'( ) (3)(2)(3 4) (3 4)'

6(3 4) (3)

18(3 4)

f x x x

x

x

b. 3( ) 15(4 1)f x x

3 1

4

4

'( ) ( 3)(15)(4 1) (4 1)'

( 45)(4 1) (4)

180(4 1)

f x x x

x

x

Solusi

Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut: (i) ( ) sin '( ) cosf x x f x x

(ii) ( ) sin( ( )) '( ) cos '( )f x u x f x x u x

(iii) ( ) cos '( ) sinf x x f x x

(iv) ( ) cos( ( )) '( ) sin '( )f x u x f x x u x

(v) 2( ) tan '( ) secf x x f x x

(vi) 2( ) tan( ( )) '( ) sec ( ( )) '( )f x u x f x u x u x

Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan rumus fungsi berikut: a. ( ) sin(5 )f x x

b. 2( ) sin( 2 )f x x x

c. 1( ) cos( )5f x x

d. 3 2( ) cos(2 4 )f x x x x

e. ( ) tan(2 )f x x

f. 3 2( ) tan( 3 )f x x x

Contoh

a. ( ) sin(5 )f x x

'( ) cos(5 ) (5 )' cos5 5 5cos(5 )f x x x x x

b. 2( ) sin( 2 )f x x x 2 2

2

2

'( ) cos( 2 ) ( 2 )'

cos( 2 ) (2 2)

(2 2)cos( 2 )

f x x x x x

x x x

x x x

c. 1( ) cos( )5f x x

1 1 1 1 1 1'( ) sin( ) ( )' sin( ) ( ) sin( )5 5 5 5 5 5f x x x x x

Solusi

d. 3 2( ) cos(2 4 )f x x x x 3 2 3 2

3 2 2

2 3 2

'( ) sin(2 4 ) (2 4 )'

sin(2 4 ) (6 2 4)

(6 2 4)sin(2 4 )

f x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

e. ( ) tan(2 )f x x 2

2

2

'( ) sec (2 ) (2 )'

sec (2 ) 2

2sec (2 )

f x x x

x

x

f. 3 2( ) tan( 3 )f x x x 2 3 2 3 2

2 3 2 2

2 2 3 2

'( ) sec ( 3 ) ( 3 )'

sec ( 3 ) (3 6 )

(3 6 )sec ( 3 )

f x x x x x

x x x x

x x x x

Solusi

Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka fungsi

, , , ( ( ) 0)ff g f g fg g xg terdiferensialkan pada selang I dengan aturan

sebagai berikut: a. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x

b. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x

c. ( )'( ) '( ) ( ) ( ) '( )fg x f x g x f x g x

d. '

2

'( ) ( ) ( ) '( )( )

( ( ))

ff x g x f x g xx

g g x

a. ( )' ' 'u v u v

b. ( )' ' 'u v u v

c. ( )' ' 'uv u v uv

d. '

2

' 'u u v uvv v

Aturan Dalam Turunan

Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut ini!

a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x

b. 4

3

5( )

(2 1)

xf x

x

Jawab

a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x

Misalkan 32u x dan 5( 5)v x 2' 6u x dan 4' 5( 5)v x

2 5 3 4

2 5 3 4

( )' ' '

(6 )( 5) (2 )(5( 5) )

6 ( 5) 10 ( 5)

uv u v uv

x x x x

x x x x

2 5 3 4'( ) 6 ( 5) 10 ( 5)f x x x x x

Contoh

b. 4

3

5( )

(2 1)

xf x

x

Misalkan 45u x dan 3(2 1)v x 3' 20u x dan 2' 6(2 1)v x

'

2

3 3 4 2

23

3 3 4 2

6

' '

(20 )(2 1) 5 (6(2 1) )

(2 1)

20 (2 1) 30 (2 1)

(2 1)

u u v uvv v

x x x x

x

x x x x

x

3 3 4 2

6

20 (2 1) 30 (2 1)'( )

(2 1)

x x x xf x

x

Contoh

Misalkan ( )y f u dan ( )u g x . JIka fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi

( )( ) ( )y f g x f g x ditentukan sebagai berikut:

( )'( ) ' ( ) '( ) atau dy dy du

f g x f g x g xdx du dx

Jika y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : dy dy du dvdx du dv dx

Contoh Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan rantai!

a. 5(3 5)y x

b. 4 3 2 3(2 3 4 1)y x x x

c. 22 4 1y x x

d. 4 3sin(2 3 )y x x

Aturan Rantai

a. 5(3 5)y x

5 45dy

y u udu

dan 3 5 3du

u xdx

4

4

4

5 3

15

15(3 5)

dy dy dudx du dx

u

u

x

Solusi

b. 4 3 2 3(2 3 4 1)y x x x

3 23dy

y u udu

4 3 2 3 22 3 4 1 8 9 8du

u x x x x x xdx

2 3 2

3 2 2

3 2 4 3 2 2

3 (8 9 8 )

(24 27 24 )

(24 27 24 )(2 3 4 1)

dy dy dudx du dx

u x x x

x x x u

x x x x x x

Solusi

c. 22 4 1y x x 1 12 2 11

2 2dy

y u u udu u

22 4 1 4 4du

u x x xdx

2

2

1 (4 4)

24( 1)

2 2 4 1

2( 1)

2 4 1

dy dy dudx du dx

xu

x

x xx

x x

Solusi

d. 4 3sin(2 3 )y x x

sin cosdy

y u udu

dan 4 3 3 22 3 8 27du

u x x x xdx

3 2

4 3 3 2

sin (8 27 )

sin(2 3 )(8 27 )

dy dy dudx du dx

u x x

x x x x

Solusi

Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama yang sudah diperoleh. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh turunan berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi. Jika ( )y f x maka

Turunan pertama : ' '( )dy df

y f xdx dx

Turunan kedua : 2 2

2 2'' ''( )d y d f

y f xdx dx

Turunan ketiga : 3 3

3 3''' '''( )d y d f

y f xdx dx

Turunan keempat : 4 4

(4) (4)4 4 ( )

d y d fy f x

dx dx

. .

. .

. .

Turunan ke-n : ( ) ( )( )n n

n nn n

d y d fy f x

dx dx

Turunan Tingkat Tinggi

Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi berikut ini!

a. 6 32 5y x x b. siny x

Jawab:

a. 6 32 5y x x 5 2

4

3

(4) 2

' 12 15

'' 60 30

''' 240 30

720

y x x

y x x

y x

y x

b. siny x

(4)

' cos

'' sin

''' cos

sin

y x

y x

y x

y x

Contoh

1. Tentukan dydx

jika:

a. 3 22 4 5y x x x

b. 3 2 14 2y x x x

c. 2 4 3(2 3 )( 3 )y x x x x x

22 11

x xy

x

d. 1 sin

cos

xy

x

2. Dengan menggunakan aturan rantai tentukan turunan pertama dydx

dari:

a. 102 3y x

b. 2 3 1y x x

c. 21

1x

yx

d. 3siny x

e. 2cos 4y x x

f. 2 2sin 3 2y x x

Latihan Soal

Soal Latihan Pilihan Ganda

Bab : Turunan

1. Diketahui 1

( )f xx

, '(3) ....f

a. 1

9

b. 1

9

c. 1

6

d. 1

6

e. Tidak ada jawab yang benar

2. Turunan pertama dari 2

2 1y

x x adalah ….

a. 2 3

2 1y

x x

b. 2 3

2 2y

x x

c. 2 3

2 1y

x x

d. 2 3

2 2y

x x

e. 2 3

2 2y

x x

3. Misalkan 2 3( 2)( 1)y x x . Turunan pertama dari y adalah ….

a. 4 25 6 2y x x x

b. 4 25 3 1y x x

c. 45 2 2y x x

d. 4 25 6 2y x x

e. 45 6 2y x x

4. Nilai dy

dx dari

1

1

xy

x

adalah ….

a. 2

2

( 1)

dy

dx x

b. 2

1

( 1)

dy

dx x

c. 2

2 2

( 1)

dy x

dx x

d. 2

2

( 1)

dy x

dx x

e. 2

2 1

( 1)

dy x

dx x

5. Turunan kedua dari 10(4 7)y x adalah ….

a. 8(160 280)y x

b. 81440(4 7)y x

c. 840(4 7)y x

d. 8360(4 7)y x

e. 81440(160 280)y x

6. Jika 1

3y

x

, berapakah nilai dari

3

3

d y

dy ….

a. 4

1

( 3)x

b. 4

2

( 3)x

c. 4

2

( 3)x

d. 4

6

( 3)x

e. 4

6

( 3)x

7. Turunan ketiga dari sin(3 )y x adalah …. a. 27cos(3 )y x b. 9sin(3 )y x c. 27sin(3 )y x

d. 9cos(3 )y x e. 27cos(3 )y x

8. Misalkan 2 jika 1

( )2 1 jika 1

x xf x

x x

, nilai

dari (1)f adalah …. a. 0 b. 3 c. 1

d. 2 e. tidak ada

9. Nilai a, b, dan c dari 2( )g x ax bx c bila g(1) = 5, g’(1) =3 dan g’’(1)=- 4 adalah ….a. a = -2 , b = 4, c = 0 b. a = -2 , b = 0, c = 2 c. a = -2 , b = - 7, c = 0 d. a = 2 , b = 7, c = 0 e. a = -2 , b = 7, c = 0

10. Diketahui 2 3 , 1

( )1 2 , 1

x x xf x

x x

pernyataan berikut yang benar adalah

….a. ( )f x differensiabel di 1x dan '(1) 1f b. ( )f x differensiabel di 1x dan '(1) 1f c. ( )f x tidak differensiabel di 1x d. ( )f x tidak differensiabel di 1x e. Tidak ada jawab yang benar