Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga

2. Tiga Dimensi (R3) Persamaan Garis

Titik A (xA,yA,zA) dan titik B (xB,yB,zB)

terletak pada satu garis.

Jika titik P (xP,yP,zP) terletak di tengah

titik A dan B, secara vektor dituliskan :

Jadi persamaan garis yang melalui titik A dan titik B dituliskan dalam bentuk persamaan parametrik :

Contoh :Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-1,0) dan (1,-1,1).

xP = k(xB– xA) + xA yP = k(yB– yA) + yA zP = k(zB– zA) + zA

Jawab :Gunakan persamaan garis melalui kedua titik tersebut .

x = k(xB– xA) + xA = k(2 – 1)+2= k + 2

yP = k(yB– yA) + yA = k(– 1–(–1)+(–1) = k – 1

zP = k(zB– zA) + zA = k(0 – 1)+ 0= – k

Persamaan garis di ruang 3 dimensi adalah persamaan

parametrik. Variabel A dan B dapat ditukar, yang mem

bedakan adalah arah garisnya

Perhatikan :

Persamaan bidangBidang merupakan suatu permukaan datar. Untuk membentuk suatu persamaan garis dibutuhkan 2 titik, sedangkan untuk membentuk persamaan bidang dibutuhkan 3 titik atau satu titik dan vektor normal dari bidang tersebut.

Jika terdapat satu bidang yang melalui titik P (xP,yP,zP) dan memiliki vektor normal n = (a,b,c), maka bila ingin mencari persamaan dari bidang tersebut diperlukan suatu titik sembarang Q(x,y,z) yang terletak pada bidang tersebut.

Dari definisi bahwa vektor normal tegak lurus terhadap bidang, maka QP . n 0

a

. b 0

c

P

P

P

x x

y y

z z

( ) 0P P Pax by cz ax by cz

P P Pd ax by cz Persamaan Umum, dengan :

0ax by cz d

Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (1,2,1) dan memiliki vektor normal (-1,2,3).Jawab :Langsung digunakan persamaan umum dengan mensubstitusi vektor normal :

Untuk mencari nilai d, dilakukan substitusi titik (1,2,1) ke persamaan, karena titik tersebut terletak di bidang. Maka :Jadi persamaan bidang yang dicari adalah :

0ax by cz d 2 3 0x y z d

1 2(2) 3(1) 0d 6d

2 3 6 0x y z

Bagaimana mencari persamaan bidang jika yang diketahui adalah 3 buah titik?Contoh :Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(-1,2,1), B(2,1,1) dan C(-2,-1,3).

Jawab : Substitusikan koordinat dari 3 titik itu ke dalam persamaan umum, sehingga diperoleh 3 persamaan dengan 4 variabel yaitu :

2 0a b c d

2 0a b c d

2 3 0a b c d

Cara 1.

Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh :

a = 1/10 d, b = 3/10 d dan c = ½ dPersamaan bidang yang dicari adalah :

31 110 10 2 0dx y z d 10

Dikalikan diperoleh :d

3 5 10 0x y z

Mencari vektor normal n dengan menggunakan perkalian silang vektor AB dan vektor BC.

3 -1

AB -1 ; AC -3

0 2

Cara 2.

Jarak titik terhadap bidangVektor normal n pada bidang ax + by + cz+ d = 0 dapat ditulis sebagai (a,b,c). Titik A(xA, yA) berada di luar bidang, sedangkan sembarang titik P(x,y,z) pada bidang, sehingga : PA . n PA n cos

A

A

A

x x a

y y . b n

cz z

D

D : jarak titik A ke bidang

Persamaan yang digunakan untuk mencari jarak suatu titik ke bidang yang telah diketahui persamaannya.

2 2 2A A A ( ) ax by cz ax by cz D a b c

A A A

2 2 2

ax by cz dD

a b c

Contoh :

Tentukan jarak titik (2,1,1) ke suatu bidang dengan

persamaan 3x – y – 2z + 5 = 0

Jawab :

Gunakan persamaan :2 2 2

3 2 5

3 1 2

x y zD

3.2 1.1 2.1 5

14

8 414

714

Sudut antara dua bidangJika 2 bidang saling berpotongan, maka dalam menentukan sudut yang terbentuk sama halnya seperti mencari sudut antara 2 garis.

Persamaan bidang P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0

Jika koefisien : a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2, maka ada 2 kemungkinan yaitu :

1. Bidang berhimpit bila d1 = d2,

2. Bidang sejajar apabila d1≠d2,

Jika koefisien tidak mempunyai nilai yang sama, maka kedua bidang pasti berpotongan.Vektor normal bidang P1 adalah N1(a1,b1,c1). Vektor normal bidang P2 adalah N2(a2,b2,c2).

Dengan perkalian titik kedua vektor normal tersebut dapat diperoleh sudut antara 2 bidang, yaitu :

1 2 1 2n . n n n cos

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

arc cosa a b b c c

a b c a b c

Contoh :Tentukan sudut yang dibentuk oleh bidang-bidang dengan persamaan berikut ini :P1 : 2x –3y + 2z –4 = 0

P2 : x + y + z –3 = 0

Jawab :Vektor normal P1: (2, –3,2) dan P2: (1,1,1).

2 2 2 2 2 2

2.1 3.1 2.1arc cos

2 ( 3) 2 1 1 1

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

arc cosa a bb c c

a b c a b c

-1 01cos 81,2

51

Jarak titik terhadap garis

Tidak seperti menghitung jarak titik terhadap garis pada dimensi dua, karena persamaan garisnya berbeda.

Oleh karena itu, diperlukan bantuan satu titik (Q) yang terletak pada garis g1 sedemikian sehingga jika dihubungkan dengan titik yang diketahui(P) akan saling tegak lurus

Jadi jarak P terhadap g1 = jarak antara dua titik P dan Q (PQ)

Contoh :Tentukan jarak titik (2,3,-1) ke garis g1 dengan persamaan x = 2t-1; y = t-3; z = t. Jawab :Misalkan titik Q pada garis g1 dengan koordinat (2t-1, t-3, t), maka :

Jadi :