Vektorrechnung

Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Hoheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite

vhm.mathematik.uni-stuttgart.de fur Erlauterungen zur Nutzung und zum Copyright.

Vektorrechnung 1-1

Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und imRaum

Ein raumliches kartesisches Koordinatensystem besteht aus 3 sich in einemals Ursprung bezeichneten Punkt O senkrecht schneidenden Zahlengeraden(Achsen), deren Orientierung gemaß der in der Abbildungveranschaulichten

”Rechten-Hand-Regel“ gewahlt ist.PSfrag repla ementsOx1-A hse x2-A hse

x3-A hseXx1 x2x3 PSfrag repla ements ODaumen Zeige�nger

Mittel�nger

Koordinaten Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum 1-1

Ein Punkt X wird durch seine als Koordinaten xi bezeichneten Werte derProjektionen auf die Achsen festgelegt: X = (x1, x2, x3). Verwendet mankeine Indexschreibweise, so bezeichnet man die Koordinaten ublicherweisemit (x , y , z) und die Zahlenachsen als x-, y - und z-Achse.Analog definiert man ein ebenenes kartesisches Koordinatensystem.

Beispiel:

Grafik-Fenster:Objekte in Pixel-Koordinaten, meist bezogen auf die linke obere Bildecke

20 40 60 80 100 120

(30, 80)

(85, 69)

(74, 8)

Kugelkoordinaten

Ein Punkt P = (x , y , z) kann durch seinen Abstand r = |OP| zumUrsprung, den Winkel ϑ ∈ [0, π] zwischen OP und der z-Achse und denWinkel ϕ zwischen der x-Achse und der Projektion von OP auf diexy -Ebene dargestellt werden. Der Winkel ϕ ist nur bis auf ein Vielfachesvon 2π bestimmt. Als Standardbereich wird meist ϕ ∈ (−π, π] vereinbart.

x-Achse y-Achse

z-Achse

Koordinaten Kugelkoordinaten 1-1

Es giltx = r sinϑ cosϕ, y = r sinϑ sinϕ, z = r cosϑ

r =√

x2 + y2 + z2, ϑ = arccos(z/√x2 + y2 + z2), ϕ = arctan(y/x) ,

wobei je nach Vorzeichen von x und y ein geeigneter Zweig desArcustangens zu wahlen ist. Mit dem Hauptzweig-WinkelϕH = arctan(y/x) ∈ (−π/2, π/2) gilt bei Wahl des Standardbereichs fur ϕ

ϕH , fur x > 0 ∧ y 6= 0,

sign(y)π/2, fur x = 0,

ϕH + π, fur x < 0 ∧ y ≥ 0,

ϕH − π, fur x < 0 ∧ y < 0 .

Fur x = y = 0 (Punkt auf der z-Achse) ist ϕ beliebig und, falls ebenfallsz = 0, so auch ϑ. In diesen Fallen kann Null als kanonischer Wert gewahltwerden.

Beispiel:

regelmaßiges Tetraeder mit Kantenlange 2√

2 und Schwerpunkt O

P1 = (1, 1, 1), P2 = (1,−1,−1), P3 = (−1, 1,−1), P4 = (−1,−1, 1)

Eckpunkte in Kugelkoordinaten (r , ϑ, ϕ)

P1 = (1, 1, 1) → (√

3, ψ, π/4)

P2 = (1,−1,−1) → (√

3, π − ψ,−π/4)

P3 = (−1, 1,−1) → (√

3, π − ψ, 3π/4)

P4 = (−1,−1, 1) → (√

3, ψ,−3π/4)

ψ = arccos(1/√

3), π − ψ = arccos(−1/√

Beispiel:

Langen- und Breitengrade auf der Erdkugel:Kugelkoordinaten mit anderen Winkelbereichen

Stuttgart

ostliche Lange 0◦ – 180◦ ϕ = 0 . . . π

westliche Lange 0◦ – 180◦ ϕ = 0 . . .−πnordliche Breite 0◦ – 90◦ ϑ = π/2 . . . 0

sudliche Breite 0◦ – 90◦ ϑ = π/2 . . . π

Stuttgart

Aquator (Breite 0◦) und nullter Langenkreis fettNordpol: 90◦ n. Br., Sudpol: 90◦ s. Br.Langen- und Breitenkreise fur Stuttgart (blau): 9◦ o. L., 49◦ n. Br.ϕ = 1

20π (ostliche Halbkugel) oder ϕ = −1920π (westliche Halbkugel)

ϑ = 90−49180 π = 41

Zylinderkoordinaten

Ein Punkt P = (x , y , z) kann durch den Winkel ϕ zwischen der x-Achseund der Projektion von OP auf die xy -Ebene, die Lange % der Projektionund die z-Koordinate dargestellt werden. Der Winkel ϕ ist nur bis auf einVielfaches von 2π bestimmt. Als Standardbereich wird meist ϕ ∈ (−π, π]vereinbart.

x-Achse y-Achse

z-Achse

Koordinaten Zylinderkoordinaten 1-1

Es giltx = % cosϕ, y = % sinϕ, z = z

bzw.% =

√x2 + y2, ϕ = arctan(y/x), z = z ,

wobei je nach Vorzeichen von x und y ein geeigneter Zweig desArcustangens zu wahlen ist. Mit dem Hauptzweig-WinkelϕH = arctan(y/x) ∈ (−π/2, π/2) gilt bei Wahl des Standardbereichs fur ϕ

ϕH , fur x > 0 ∧ y 6= 0,

sign(y)π/2, fur x = 0,

ϕH + π, fur x < 0 ∧ y ≥ 0,

ϕH − π, fur x < 0 ∧ y < 0.

Fur x = y = 0 ist ϕ beliebig. Als kanonischer Wert ist, entsprechend derKonvention sign(0) = 0, ϕ = 0 gewahlt worden.

Beispiel:

Zylinder- und Kugelkoordinaten, (%, ϕ, z) bzw. (r , ϑ, ϕ),von (x , y , z) = (−1,

√3, 2)

Abstande vom Ursprung:

% =√x2 + y2 =

√1 + 3 = 2, r =

√x2 + y2 + z2 =

√1 + 3 + 4 = 2

Winkel mit der x-Achse:

ϕ = arctan(y/x) + π = arctan(−√

3) + π = −π3

+ π =2

(Addition von π wegen x < 0 und y > 0)Winkel mit der z-Achse:

ϑ = arccos(z/r) = arccos(1/√

2) =π

alternativ:(x , 0, 0),O,Q bilden die Halfte eines gleichseitigen Dreiecks;(0, 0, z),O,P bilden ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck

Translation eines kartesischen Koordinatensystems

Bei einer Verschiebung des Ursprungs O nach O ′ = (p1, p2, p3) andernsich bei gleichbleibender Richtung der Achsen die Koordinaten einesPunktes X = (x1, x2, x3) gemaß

X ′ = (x1 − p1, x2 − p2, x3 − p3) .

X=X ′

p2x′1

Koordinaten Translation 1-1

Beispiel:

ebene gleichformige Bewegung

(x(t), y(t)) = (p + αt, q + βt), t ≥ 0 ,

betrachtet aus einem in x-Richtung mit Geschwindigkeit v fahrenden ZugAnderung der Koordinaten:

x ′ = x − vt, y ′ = y

andere beobachtete Geschwindigkeit

PSfrag repla ements

11 vtt = 0t = 1t = 0

t = 1x0

y011t = 0

t = 1t = 0

t = 1transformierte Koordinaten eines Objekts, das sich in einer Zeiteinheit vonP = (1, 1) nach Q = (4, 3) bewegt (roter Pfeil) fur v = 2:

P ′ = (1, 1), Q ′ = (4− 2, 3− 0) = (2, 3)

tatsachliche und beobachtete Geschwindigkeit:

vt =√

(4− 1)2 + (3− 1)2 =√

13, vb =√

Rotation eines kartesischen Koordinatensystems

Bei einer Drehung der xy -Ebene um die z-Achse mit dem Winkel αtransformieren sich die Koordinaten eines Punktes P = (p1, p2, p3) gemaß

p′1 = cosα p1 + sinα p2, p′2 = − sinα p1 + cosα p2, p′3 = p3 .

Analoge Formeln erhalt man fur Drehungen der yz- und zx-Ebene.

Koordinaten Rotation 1-1

Beweis:

^(S ,P,Q) = α =⇒4(S ,O,R) ∼ 4(S ,P,Q)

Sp′1

erstes Dreieck:|OS | = p1/ cosα, |RS | = p1 tanα

zweites Dreieck:

p′2 = cosα |PS | = cosα (p2 − |RS |) = cosα p2 − sinα p1

p′1 = |OS |+ |SQ| = p1/ cosα + sinα (p2 − |RS |)

=1− sin2 α

cosαp1 + sinα p2 = cosα p1 + sinα p2

Beispiel:

Bahnkurven von geradlinigen und kreisformigen Bewegungen (links)

G : (x , y) = (1, 2 + t/(2π)),K : (x , y) = (1 + cos(t), 2− sin(t))

beobachtet in einem mit Winkelgeschwindigkeit ω = 1 rotierendenBezugssystem (rechts)

PSfrag repla ements !t xy

12 x0y0

12Koordinaten Rotation 3-1

Transformationx ′ = cx + sy , y ′ = −sx + cy

mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)geradlinige Bewegung Spirale:

x ′ = c + s(2 + t/(2π)), y ′ = −s + c(2 + t/(2π))

kreisformige Bewegung:

x ′ = c(1 + c) + s(2− s), y ′ = −s(1 + c) + c(2− s)

(c = cos t, s = sin t)abrupte Richtungsanderung moglich

Vektoren

Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke:

~a =−→PQ

bezeichnet den Vektor vom Punkt P zum Punkt Q. Alternativ kann einVektor als Parallel-Verschiebung des Raumes interpretiert und mit einemPfeil identifiziert werden.

Vektoren Vektoren 1-1

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, stellen gleichlange Pfeile mit gleicher

Richtung den gleichen Vektor dar,−−−→P1Q1 =

−−−→P2Q2. Die spezielle Darstellung

bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems wird als Ortsvektorbezeichnet und definiert die Koordinaten des Vektors:

−→OA =

a1a2a3

Die Koordinaten von ~a lassen sich ebenfalls als Differenz der Koordinatender Punkte Q und P berechnen. Schließlich wird mit

−→OO =

−→PP = ~0

der Nullvektor bezeichnet.

Vektoren Vektoren 1-2

Addition von Vektoren

Die Summe von zwei Vektoren entspricht der Hintereinanderschaltungzweier Verschiebungen, −→

PR =−→PQ +

−→QR .

Vektoren Addition von Vektoren 1-1

Fur die Koordinaten gilt entsprechend

~c = ~a + ~b =

a1a2a3

b1b2b3

a1 + b1a2 + b2a3 + b3

Mit −→QP = −−→PQ

wird die zu ~a =−→PQ entgegengesetzte Verschiebung −~a bezeichnet.

Insbesondere gilt~a + (−~a) = ~0, ~a +~0 = ~a .

Beispiel:

berechne

−→PR =

−→PQ +

−→QR,

−→RP =

−→RQ +

−→QP = −−→PQ +

(−−→QR

PSfrag repla ementsP RQ

~a ~b~ �~b �~a

Koordinaten:

P = (1, 1, 1), Q = (4, 2, 7), R = (1, 4, 3)

~a =−→PQ, ~b =

−→QR, ~c =

−→PR

~c = ~a + ~b =

4− 12− 17− 1

1− 44− 23− 7

−32−4

−~b + (−~a) =

4− 12− 47− 3

1− 41− 21− 7

3−24

−3−1−6

0−3−2

= −~c

Beispiel:

Zerlegung der Gewichtskraft ~fG fur eine schiefe Ebene mit Hilfe desKrafteparallelogramms:

~fG = ~fN︸︷︷︸Normalkraft

+ ~fH︸︷︷︸Hangabtriebskraft

Skalarmultiplikation

Der Vektor s~a entspricht einer s-fachen Verschiebung, d.h.

a1a2a3

sa1sa2sa3

Speziell ist 0~a = ~0.

a1 sa1

Vektoren Skalarmultiplikation 1-1

Beispiel:

Schnittpunkt S (Schwerpunkt) der Seitenhalbierenden in einem Dreieck:

(~a + ~b + ~c

Darstellung der Punkte auf der Seitenhalbierenden AMa:

~p = ~a + t( ~ma − ~a) = ~a + t

2~c − ~a

), t ∈ [0, 1]

t = 2/3 =⇒ ~p = ~s =⇒ S teilt AMa im Verhaltnis 2 : 1analoges Argument fur BMb und CMc

S gemeinsamer Punkt der 3 SeitenhalbierendenVektoren Skalarmultiplikation 2-1

Betrag eines Vektors

Der Betrag von ~a =−→PQ ist die Lange des Pfeils von P nach Q bzw. von O

nach A, d.h.

|~a| =√

a21 + a22 + a23 .

Insbesondere ist |s~a| = |s||~a|.Ein Vektor mit Betrag bzw. Lange 1 wird als Einheitsvektor bezeichnetund man benutzt die Schreibweise

~v0 = ~v/|~v |

fur einen solchen normierten Vektor.

Vektoren Betrag eines Vektors 1-1

Beispiel:

4−18

Betrag:|~a| =

√16 + 1 + 64 = 9

normierter Vektor:

4−18

4/9−1/98/9

Vektoren Betrag eines Vektors 2-1

Dreiecksungleichung

Fur eine Summe zweier Vektoren gilt

|~a + ~b| ≤ |~a|+ |~b|

mit Gleichheit genau dann, wenn ~a und ~b parallel sind, d.h. ~a = s~b.

~a+~bVektoren Dreiecksungleichung 1-1

Rechenregeln fur Vektoren

Fur Vektoren gelten die folgenden Rechenregeln.

Kommutativgesetz:~a + ~b = ~b + ~a

Assoziativgesetz:~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c

Distributivgesetz:s(~a + ~b) = s~a + s~b

Vektoren Rechenregeln 1-1

Beispiel:

Flug nach Osten mit 800km/h, Windgeschwindigkeit 50km/h aus WSW

PSfrag repla ementsO ~x + ~p~x ~x + ~y ~p ~d~y

Geschwindigkeitsvektor des Flugzeugs

Vektor der Windgeschwindigkeit

(50 cos(π/8)50 sin(π/8)

Position nach einer Stunde

~x + ~y =

(800 + 50 cos(π/8)

50 sin(π/8)

846.1919.13

~p orthogonale Projektion von ~y auf die Gerade in Richtung von ~xGeschwindigkeitskomponente nach Osten

~x + ~p =

(800 + 50 cos(π/8)

846.190

Drift nach Norden

~d = ~x + ~y − (~x + ~p) =

50 sin(π/8)

019.13

Gesamtgeschwindigkeit ~vgesamt = ~x + ~p + ~d

Winkel zwischen zwei Vektoren

Fur ~a, ~b 6= ~0 bezeichnet man mit ^(~a, ~b) ∈ [0, π] den kleineren der beidenWinkel, den die mit den Vektoren assoziierten Pfeile in einemgemeinsamen Scheitelpunkt bilden.

∢(~a,~b)

Die beiden Vektoren sind orthogonal, ~a ⊥ ~b, wenn der Winkel gleich π/2ist. Dabei vereinbart man, dass der Nullvektor auf jedem Vektor senkrechtsteht.

Skalarprodukt Winkel 1-1

Beispiel:

Winkel zwischen Vektoren

PSfrag repla ements ~a ~b^(~a;~b) = 0 PSfrag repla ements ~a ~b^(~a;~b) = �~a

∢(~a,~b) = π2

PSfrag repla ements~a ~b^(~a;~b) = �4

Skalarprodukt Winkel 2-1

Kosinussatz

In einem Dreieck gilt fur den der Seite AB gegenuberliegenden Winkel γ

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .

Als Spezialfall erhalt man fur γ = π/2 den Satz des Pythagoras:

c2 = a2 + b2 .

Skalarprodukt Kosinussatz 1-1

Beweis:

Satz des Pythagoras =⇒

c2 = h2 + q2, h2 = a2 − p2

mit q = b − p, p = a cos γEinsetzen

c2 = (a2 − p2) + (b − p)2

= a2 − p2 + b2 − 2b(a cos γ) + p2

= a2 + b2 − 2ab cos γ

Skalarprodukt Kosinussatz 2-1

Sinussatz

In einem Dreieck

verhalten sich die Langen der Seiten wie die Sinuswerte dergegenuberliegenden Winkel:

sin γ

bzw. sinα : sinβ : sin γ = a : b : c .

Skalarprodukt Sinussatz 1-1

Beweis:

betrachte die durch eine Hohe begrenzten rechtwinkligen Teildreiecke

bα β

sinα =h

b, sinβ =

sinα : sinβ =h

a= a : b

Beispiel:

Entfernung d zweier schwer zuganglicher Punkte P und Q

30◦30◦

c = 100

^(APB) = 90◦ − 60◦ = 30◦

a = 100/ sin 30◦ = 200

Winkelsumme gleich 180◦

α = 15◦

Sinussatz =⇒ b : 100 = sin 135◦ : sin 15◦, d.h.

b ≈ 100 · 0.7071/0.2588 = 273.2

Kosinussatz =⇒ d2 = a2 + b2 − 2ab cos 30◦, d.h.

d ≈ (40000 + 74640− 2 · 54640 · 0.8660)1/2 = 141.4

exakte algebraische Rechnung:Additionstheorem =⇒

1/2 = sin(30◦) = 2s√

1− s2︸︷︷︸cos(15◦)

, s = sin(15◦)

d.h.(1/4)2 = s2(1− s2)

und s =√

2−√

3/2 (Losung in (0, 1/2))

Skalierung der Langen mit dem Faktor 1/100, cos(30◦) =√

b =1√2

2√2−√

d2 = 4 +4

2(2−√

3)− 2 · 2 · 2

√2√

2−√

3·√

( dunskaliert = 100√

2)Skalarprodukt Sinussatz 3-2

Beweis der letzten Gleichheit durch Umformung

2−√

1/(2−√

3) = 2 +√

3 und Quadrieren

36 + 24√

3 + 12 =48

2(2−√

Ubereinstimmung nach Erweitern der rechten Seite mit 2 +√

Skalarprodukt von Vektoren im Raum

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist durch

~a · ~b = |~a||~b| cos^(~a, ~b) = a1b1 + a2b2 + a3b3

definiert. Insbesondere ist~a · ~a = |~a|2

und~a · ~b = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b .

Aus der Koordinatendarstellung des Skalarproduktes folgt

~a · ~b = ~b · ~a

sowie (s~a + r~b

)· ~c = s~a · ~c + r~b · ~c ,

d.h. es gelten die fur Produkte ublichen Rechenregeln.Skalarprodukt Skalarprodukt 1-1

Beweis:

Kosinussatz:

|~c|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2|~a||~b| cos γ

PSfrag repla ements ~b~a ~

Umformung

2|~a||~b| cos γ = (a21 + a22 + a23) + (b21 + b22 + b23)− (c21 + c22 + c23 )

Substitution c2i = (bi − ai )2 Vereinfachung der rechten Seite zu

2a1b1 + 2a2b2 + 2a3b3

Skalarprodukt Skalarprodukt 2-1

Beispiel:

Dreieck mit A = (6, 0), B = (4, 4), C = (0, 0)

~a =−→CB =

), ~b =

−→CA =

), ~c =

−→BA =

(2−4

Winkelberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes:

cos γ =

∣∣∣∣(

)∣∣∣∣∣∣∣∣(

)∣∣∣∣=

24√32 · 6

=1√2

=⇒ γ =π

Illustration des Kosinussatzes:~a = (4, 4)t , ~b = (6, 0)t , ~c = (2,−4)t , γ = π/4

|~c |2 − |~a|2 − |~b|2 = 20− 32− 36 = −48

und−2|~a||~b| cos γ = −2 (4

√2) 6/

√2 = −48 X

Orthogonale Basis

Eine Orthogonalbasis im Raum besteht aus drei paarweise orthogonalenVektoren ~u, ~v , ~w , jeweils ungleich ~0.

Skalarprodukt Orthogonale Basis 1-1

Wie in der Abbildung illustriert ist, lasst sich jeder Vektor ~a alsLinearkombination

~a =~a · ~u|~u|2

~u +~a · ~v|~v |2

~v +~a · ~w|~w |2

darstellen. Die Summanden sind die Projektionen ~au, ~av , ~aw , auf die durchdie Basisvektoren erzeugten Achsen, und fur die Koeffizienten gilt

|~a · ~u|2

|~u|2+|~a · ~v |2

|~v |2+|~a · ~w |2

|~w |2= |~a|2 .

Sind die Vektoren ~u, ~v , ~w normiert (|~u| = |~v | = |~w | = 1), so spricht manvon einer Orthonormalbasis.

Speziell ist

a1a2a3

= a1~ex + a2~ey + a3~ez

fur die kanonische Orthonormalbasis

, ~ey =

, ~ez =

des kartesischen Koordinatensystems.

Beweis:

(i) Berechnung der Basis-Koeffizienten:Bilden des Skalarproduktes von

~a = α~u + β~v + γ ~w

mit den Basisvektoren~u · ~u = |~u|2, ~v · ~u = ~w · ~u = 0 =⇒

~a · ~u = (α~u + β~v + γ ~w) · ~u = α|~u|2

und somit α = ~a · ~u/|~u|2analoge Berechnung von β und γ

(ii) Formel fur die Quadratsumme:

|~a|2 = (α~u + β~v + γ ~w) · (α~u + β~v + γ ~w)

Ausmultiplizieren

|~a|2 = α2|~u|2 + β2|~v |2 + γ2|~w |2

wegen Orthogonalitat der Basisvektoren

(iii) Differenzvektoren zu den Projektionen:

~a− α~u, ~a− β~v , ~a− γ ~wsenkrecht auf den entsprechenden Basisvektoren, z.B.

(~a− α~u) · ~u = (β~v + γ ~w) · ~u = 0

Beispiel:

Bzgl. der orthogonalen Basis

~u = (1, 1, 0)t , ~v = (1,−1, 1)t , ~w = (−1, 1, 2)t

besitzt der Vektor

~a = (1, 2, 4)t = ~ex + 2~ey + 4~ez

die Koeffizienten

α =~a · ~u|~u|2 =

β =~a · ~v|~v |2 =

1−11

γ =~a · ~w|~w |2 =

−112

Basisdarstellung

+ 1 ·

1−11

−112

Quadrat des Betrags|~a|2 = 1 + 4 + 16 = 21

Quadratsumme der Koeffizienten

α2|~u|2 + β2|~v |2 + γ2|~w |2 =9

4· 2 + 1 · 3 +

4· 6 = 21

Satz des Pythagoras

Fur orthogonale Vektoren ~u und ~v gilt

|~u + ~v |2 = |~u|2 + |~v |2 .

Der Satz ist heute als Satz des Pythagoras (569-475 v. Chr.) bekannt,obwohl ihn bereits die Babylonier 1000 Jahre fruher kannten.Moglicherweise war aber Pythagoras der erste, der ihn bewiesen hat.

Skalarprodukt Satz des Pythagoras 1-1

Beweis:

Linearitat des Skalarprodukts =⇒

|~u + ~v |2 = (~u + ~v) · (~u + ~v)

= ~u · ~u + ~u · ~v + ~v · ~u︸︷︷︸=0, da ~u⊥~v

+~v · ~v

= |~u|2 + |~v |2

Beispiel:

Pythagoraisches Tripel:

`,m, n ∈ N : `2 + m2 = n2 ,

d.h. ganzzahlige Seitenlangen fur rechtwinklige Dreiecke

Anwendung durch die Agypter: Konstruktion rechter Winkel via Erganzungungerader Zahlen ` durch m = (`2 − 1)/2 und n = (`2 + 1)/2 zu einemPythagoraischen Tripel:

`2 +`4 − 2`2 + 1

4=`4 + 2`2 + 1

(`2 + 1

Multiplikation der Tripel mit 2 Tripel fur jede gerade Zahl ` ≥ 6

allgemeineres Konstruktionsprinzip mit Hilfe der dritten BinomischenFormel

c2 − b2 = (c − b)(c + b) = a2

ganzzahlige Losung, wenn a2 in zwei unterschiedliche Faktorenzerlegbar ist, die eine gerade Differenz (= 2b) aufweisen

Fur ungerades a = ` gilt dies fur die Aufteilung a2 = a2 · 1 mit

b =a2 − 1

2, c =

a2 + 1

obiger Spezialfall

Vektorprodukt

Der Vektor~c = ~a× ~b

ist zu ~a und ~b orthogonal, gemaß der”Rechten-Hand-Regel“ orientiert und

hat die Lange ∣∣~c∣∣ =

∣∣~a∣∣∣∣~b∣∣ sin(^(~a, ~b)) ,

die dem Flacheninhalt des von den Vektoren ~a und ~b aufgespanntenParallelogramms entspricht.

Daumen

Zeigefinger

Mittelfinger

∢(~a,~b)

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 1-1

Insbesondere gilt

~a× ~b = ~0 fur ~a‖~b;∣∣~a× ~b∣∣ =

∣∣~a∣∣∣∣~b∣∣ fur ~a⊥~b.

Alternativ lasst sich das Vektorprodukt durch

~a× ~b =

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

definieren.

Beweis:

(i) Linearitat der geometrischen Definition:Multiplikation mit Skalaren XInvarianz unter Drehungen ~a = ~ezadditiv bzgl. des zweiten Arguments, da

~c = ~ez × (b1, b2, b3)t = (−b2, b1, 0)t

Begrundung:

~c ⊥ ~ez , ~b

b3 irrelevant fur den Flacheninhalt (Scherung) o.B.d.A. b3 = 0^(~ez , ~b) = π/2, |~ez | = 1 |~c| Xrichtige Orientierung (prufe alle Vorzeichenkombinationen der bk mitder

”rechten Hand Regel“)

(ii) Ubereinstimmung mit der analytischen Definition:bereits gezeigt fur ~a = ~ez , ~ex , ~ey analogAntisymmetrie richtig fur ~a = ~ex , ~ey , ~ezLinearitat allgemeiner Fall(iii) Flacheninhalt A des Parallelogramms:A = |~b| h mit der Hohe

h = |~a| sin^(~a, ~b)

Beispiel:

Vektorprodukt ~c der Vektoren

~a = (2, 1, 2)t, ~b = (3, 3, 0)t

~c ⊥ ~a, ~b ~c = λ(−1, 1, 1/2)t

Rechte-Hand-Regel =⇒ λ > 0Winkel

cos^(~a, ~b) =~a · ~b|~a| |~b|

3 · 3√

=⇒ ^(~a, ~b) = π/4Flache des aufgespannten Parallelogramms

|~c| = |~a| |~b| sin^(~a, ~b) = 3 · 3√

2 · 1√2

~c = λ(−1, 1, 1/2)t = (−6, 6, 3)t

analytische Definition

1 · 0− 2 · 32 · 3− 2 · 02 · 3− 1 · 3

−663

Beispiel:

Vektorprodukte der kanonischen Basisvektoren:

~ex × ~ey = ~ez , ~ey × ~ez = ~ex , ~ez × ~ex = ~ey~ex × ~ex = ~0, ~ey × ~ey = ~0, ~ez × ~ez = ~0

entsprechende Formeln fur eine beliebige, gemaß der Rechten-Hand-Regelorientierte Orthonormalbasis

Beispiel:

Lorentzkraft fur ein Elektron mit Ladung −e und Geschwindigkeit ~v ineinem Magnetfeld ~b:

~f = e ~b × ~v Auslenkung des stromdurchflossenen Leiters in Richtung ~f

Regeln fur Vektorprodukte

Fur Vektorprodukte gelten die folgenden Rechenregeln:

Antisymmetrie~a× ~b = −

(~b × ~a

Linearitat

(α1~a1 + α2~a2

)×(β1~b1 + β2~b2

α1β1(~a1 × ~b1

)+ α1β2

(~a1 × ~b2

)+ α2β1

(~a2 × ~b1

)+ α2β2

(~a2 × ~b2

Grassmann-Identitat

(~a× ~b)× ~c = (~a · ~c) ~b − (~b · ~c) ~a

Lagrange-Identitat

(~a× ~b) · (~c × ~d) = (~a · ~c)(~b · ~d)− (~a · ~d)(~b · ~c)

Beweis:

(i) Antisymmetrie und Linearitat: X(ii) Grassmann- und Lagrange-Identitat:Linearitat o.B.d.A. ~a, ~b kanonische Basisvektoren~a = ~ex = ~b: beide Seiten der Identitaten Null~a = ~ex , ~b = ~ey :linke Seite der Grassmann-Identitat

(~ex × ~ey )× ~c =

c1c2c3

−c2c10

Ubereinstimmung mit rechter Seite c1~ey − c2~ex

Lagrange-Identitat im betrachteten Spezialfall

· · ·· · ·

c1d2 − c2d1

= c1d2 − d1c2

analoge Argumentation fur andere Kombinationen von BasisvektorenVektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 7-1

Beispiel:

(i) Linearitat vorteilhaft bei parallelen Vektoren:

= (6− 1)

0− 21− 00− 0

(ii) Vektorprodukte einfacher berechenbare Skalarprodukte:

Grassmann-Identitat: (~a× ~b)× ~c = (~a · ~c) ~b − (~b · ~c) ~a

−210

−1−2−3

Lagrange-Identitat: (~a×~b) · (~c × ~d) = (~a ·~c)(~b · ~d)− (~a · ~d)(~b ·~c)

−210

= 0 · 6− 12 · 1 = −12

Epsilon-Tensor

Der ε-Tensorεi ,j ,k ∈ {−1, 0, 1}, i , j , k ∈ {1, 2, 3} ,

ist Null bei zwei gleichen Indizes und hat fur paarweise verschiedeneIndizes die Werte

ε1,2,3 = ε2,3,1 = ε3,1,2 = 1 ,ε1,3,2 = ε2,1,3 = ε3,2,1 = −1 .

Er ist also invariant unter zyklischer Permutation und andert beiVertauschung von Indizes das Vorzeichen.

Vektor- und Spatprodukt Epsilon-Tensor 1-1

Beispiel:

Vektorprodukt

~c = ~a× ~b =

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

Darstellung mit Hilfe des ε-Tensors

ci =3∑

j ,k=1

εi ,j ,kajbk

z.B.c1 = ε1,2,3︸︷︷︸

a2b3 + ε1,3,2︸︷︷︸−1

c2, c3 durch zyklische Indexverschiebung

Vektor- und Spatprodukt Epsilon-Tensor 2-1

Spatprodukt

Das Spatprodukt

[~a, ~b, ~c

]= ~a · (~b × ~c) =

a1(b2c3 − b3c2) + a2(b3c1 − b1c3) + a3(b1c2 − b2c1)

stimmt bis auf Vorzeichen mit dem Volumen des von den drei Vektoren ~a,~b, ~c aufgespannten Spats uberein. Es ist positiv, wenn die Vektoren ~a, ~b, ~cgemaß der Rechten-Hand-Regel orientiert sind.

~b× ~c

Vektor- und Spatprodukt Spatprodukt 1-1

Mit Hilfe des ε-Tensors lasst sich das Spatprodukt auch in der Form

[~a, ~b, ~c

i ,j ,k=1

εi ,j ,kaibjck

schreiben.

Beweis:

Normale des von ~b, ~c aufgespannten Parallelogramms

~d =~b × ~c|~b × ~c |

Hohe des Spats (Lange der Projektion von ~a auf ~d)

h = |~a|∣∣∣cos^(~a, ~d)

∣∣∣ = |~a · ~d | ,

da |~d | = 1Volumen (Produkt aus Hohe und Flacheninhalt des Parallelogramms)

∣∣∣∣∣~a ·(~b × ~c|~b × ~c|

)∣∣∣∣∣ |~b × ~c | = |[~a, ~b, ~c]|

Beispiel:

Oberflache und Volumen des von den Vektoren

, ~b =

, ~c =

aufgespannten Spats:

(i) Oberflache:~a ⊥ ~b Rechteck Fab = 1 ·

√22 + 32 =

Permutation und Scherung Fac = Fab

∣∣∣∣∣∣

−352

∣∣∣∣∣∣

9 + 25 + 4 =√

Oberflache: 2Fab + 2Fac + 2Fbc = 4√

13 + 2√

38 ≈ 26.75

(ii) Volumen: |[~a, ~b, ~c]| = |~a · (~b × ~c)| =

∣∣∣∣∣∣

−352

∣∣∣∣∣∣

Eigenschaften des Spatprodukts

Das Spatprodukt ist linear in jedem Argument und besitzt daruber hinausdie folgenden weiteren Eigenschaften.

zyklische Vertauschung:

[~a, ~b, ~c] = [~b, ~c , ~a] = [~c , ~a, ~b]

lineare Abhangigkeit:

[~a, ~b, ~c] = 0 ⇔ ~0 = α~a + β~b + γ~c

mit mindestens einem der Skalare α, β, γ ungleich 0.

Orientierung:[~a, ~b, ~c] > 0

fur jedes Rechtssystem.Vektor- und Spatprodukt Spatprodukt 4-1

Volumen eines Tetraeders

Das Volumen V eines Tetraeders, der von den Vektoren ~a, ~b und ~caufgespannt wird, lasst sich mit Hilfe des Spatproduktes berechnen:

6|[~a, ~b, ~c]| .

PSfrag repla ements ~b ~ ~aVektor- und Spatprodukt Volumen eines Tetraeders 1-1

Beweis:

Volumen eines Tetraeders:

mit h der Hohe und G dem Inhalt der Grundflache des von den Vektoren~b, ~c aufgespannten DreiecksG : halbe Parallelogrammflache

G = GSpat/2

6GSpath =

6VSpat =

6|[~a, ~b, ~c]|

mit dem Spatvolumen VSpat

Vektor- und Spatprodukt Volumen eines Tetraeders 2-1

Beispiel:

Volumen eines von den Vektoren

, ~b =

, ~c =

aufgespannten Tetraeders:

6|[~a, ~b, ~c]|

∣∣∣∣∣∣

Vektor- und Spatprodukt Volumen eines Tetraeders 3-1

Berechnung von Koordinaten mit Hilfe des Spatproduktes

Spannen die Vektoren ~u, ~v und ~w ein echtes Spat auf, so lasst sich einbeliebiger Vektor ~x als Linearkombination

~x = α~u + β~v + γ ~w

darstellen mit den Koeffizienten

α =[~x , ~v , ~w ]

[~u, ~v , ~w ], β =

[~x , ~w , ~u]

[~v , ~w , ~u], γ =

[~x , ~u, ~v ]

[~w , ~u, ~v ].

Vektor- und Spatprodukt Berechnung von Koordinaten 1-1

Beweis:

~x = α~u + β~v + γ ~w

Skalarprodukt mit ~v × ~w

~x · (~v × ~w) = α ~u · (~v × ~w)

denn ~v · (~v × ~w) = 0 = ~w · (~v × ~w)[~u, ~v , ~w ] 6= 0 =⇒

α =[~x , ~v , ~w ]

[~u, ~v , ~w ]

analoge Berechnung von β und γ

Beispiel:

Darstellung des Vektors

−282

als Linearkombination der Basisvektoren

, ~v =

, ~w =

Spatprodukte

[~u, ~v , ~w ] = [~v , ~w , ~u] = [~w , ~u, ~v ] =

0−11

[~x , ~v , ~w ] =

−282

0−11

= −6

analog

[~x , ~w , ~u] = 8, [~x , ~u, ~v ] = 8

Quotienten Koeffizienten und

~x = −6

2~w = −3

Punkt-Richtungs-Form

Die Punkte X auf einer Geraden durch P mit Richtung ~u lassen sich inparametrischer Form durch

−→PX = t~u, t ∈ R

darstellen.

Entsprechend giltxi = pi + tui , i = 1, 2, 3 ,

fur die Koordinaten des Ortsvektors ~x = ~p + t~u.

Geraden Punkt-Richtungs-Form 1-1

Beispiel:

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

g : ~x =

(2−1

), t ∈ R

32~u =

−1.5

−1 0 1 2 3 4 5 60

X : Parameterwert t = 3/2

Geraden Punkt-Richtungs-Form 2-1

Zwei-Punkte-Form

Die Punkte X auf einer Geraden durch zwei Punkte P 6= Q lassen sich inder Form −→

PX = t−→PQ, t ∈ R ,

darstellen. Die Parameterwerte t ∈ [0, 1] entsprechen der Strecke PQ.

−→PQ

−−→PX

Entsprechend gilt

xi = pi + t(qi − pi ), i = 1, 2, 3 ,

fur die Koordinaten des Ortsvektors ~x = ~p + t(~q − ~p).

Geraden Zwei-Punkte-Form 1-1

Beispiel:

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

g : ~x =

(5− 11− 3

), t ∈ R

Q = (5, 1)

(5− 11− 3

0 1 2 3 4 5 60

X teilt PQ im Verhaltnis t : (1− t)t = 1/2 Mittelpunkt zwischen den Punkten P und Q

Geraden Zwei-Punkte-Form 2-1

Momentenform

Die Punkte X auf einer Geraden durch P mit Richtung ~u lassen sich durch

−→PX × ~u = ~0

beschreiben.

−−→PX

−→OP = ~p

~x =−−→OX

|~p× ~u| = |~c|

|~x× ~u| = |~c|

Entsprechend gilt fur den Ortsvektor ~x × ~u = ~c , ~c = ~p × ~u.

Geraden Momentenform 1-1

Beispiel:

Momentenform einer Geraden:X ∈ g ⇔ −→PX × ~u = ~0

)P = (1, 3)

X1 = (5, 1)

−−→PX1

X2 = (3.5, 1)

−−→PX2

|−−→PX2 × ~u|

−1 0 1 2 3 4 5 6 70

Geraden Momentenform 2-1

−−→PX1 × ~u =

4 · (−1)− (−2) · 2

=⇒ X1 ∈ g

−−→PX2 × ~u =

2.5−2

2.5 · (−1)− (−2) · 2

=⇒ X2 /∈ gGeraden Momentenform 2-2

Abstand Punkt-Gerade

Die Projektion X eines Punktes Q auf eine Gerade durch P mit Richtung~u erfullt

−→PX = t~u ⇔ ~x = ~p + t~u, t =

(~q − ~p) · ~u|~u|2 .

t~u =−−→PX

−→OP = ~p

−→OQ = ~q

−→PQ = ~q − ~p

|(~q − ~p)× ~u|

Geraden Abstand Punkt-Gerade 1-1

Der Abstand d = |−→XQ| lasst sich alternativ mit dem Vektorproduktberechnen:

d =|(~q − ~p)× ~u|

|~u| .

Beweis:

prufe die Orthogonalitat von−→XQ zu ~u (~x = ~p + t~u):

−→XQ · ~u =

(~q −

(~q − ~p) · ~u|~u|2 ~u

))· ~u

= (~q − ~p) · ~u − (~q − ~p) · ~u|~u|2 |~u|2 = 0

Definition des Vektorproduktes

|~a× ~b| = |~a| |~b| sin^(~a, ~b)

Formel fur den Abstand

d =∣∣∣−→XQ

∣∣∣ =∣∣∣−→PQ

∣∣∣ sin^(−→PQ, ~u) =

∣∣∣−→PQ∣∣∣ |~u| sin^(

−→PQ, ~u)

=|(~q − ~p)× ~u|

Beispiel:

Projektion von Q = (3, 3, 3) auf die Gerade

Punkt X mit dem Ortsvektor

~p +(~q − ~p) · ~u|~u|2 ~u =

12 + 12 + 12

1 · 1 + 2 · 1 + 0 · 13

Abstand

d =∣∣∣−→XQ

∣∣∣ =√

(3− 3)2 + (3− 2)2 + (3− 4)2 =√

alternative Abstandsberechnung:Anwendung der Formel

d =|(~q − ~p)× ~u|

|~u|~q − ~p = (3− 2, 3− 1, 3− 3)t = (1, 2, 0)t

∣∣∣∣∣∣

√(2− 0)2 + (0− 1)2 + (1− 2)2

Abstand zweier Geraden

Der Abstand zweier durch die Punkte P, Q und Richtungen ~u, ~vgegebener Geraden ist

d =|[−→PQ, ~u, ~v ]||~u × ~v | ,

falls ~u 6‖ ~v .

Q−→PQ

∣∣∣[−→PQ, ~u,~v

]∣∣∣

Geraden Abstand zweier Geraden 1-1

Fur parallele Geraden gilt

d =|−→PQ × ~u||~u| .

Man bezeichnet zwei Geraden als windschief, wenn sie nicht parallel sindund einen positiven Abstand haben.Die Punkte X , Y kurzesten Abstandes erhalt man aus denOrthogonalitatsbedingungen

~x − ~y ⊥ ~u, ~v , ~x = ~p + s~u, ~y = ~q + t~v

durch Losen des resultierenden linearen Gleichungssystems fur dieParameter s, t.

Beweis:

Ortsvektoren der Punkte kurzesten Abstandes

~x = ~p + s~u, ~y = ~q + t~v

Differenzvektor −→XY =

−→PQ + t~v − s~u

−→XY ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren, also parallel zu

~c = ~u × ~v .

berechne |−→XY | als Betrag des Skalarproduktes mit einem parallelenEinheitsvektor: ~c ⊥ ~u, ~v

d = |−→XY | =

∣∣∣∣(−→PQ + t~v − s~u) · ~c|~c|

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣−→PQ · ~c|~c |

∣∣∣∣

parallele Geraden: Formel fur den Abstand Punkt/GeradeGeraden Abstand zweier Geraden 2-1

Beispiel:

Geraden:

g : ~x = (1, 1, 3)t + s(1, 2, 1)t, h : ~y = (4, 1, 4)t + t(1,−2, 1)t

(i) Abstand:

∣∣∣[−→PQ, ~u, ~v

]∣∣∣|~u × ~v | =

∣∣∣∣∣∣

40−4

∣∣∣∣∣∣

√(2− (−2))2 + (1− 1)2 + ((−2)− 2)2

(ii) Punkte kurzesten Abstandes:~x − ~y ⊥ (1, 2, 1)t, (1,−2, 1)t ⇔ lineares Gleichungssystem

0 =((−3, 0,−1)t + s(1, 2, 1)t − t(1,−2, 1)t

)· (1, 2, 1)t

= −4 + 6s + 2t

0 =((−3, 0,−1)t + s(1, 2, 1)t − t(1,−2, 1)t

)· (1,−2, 1)t

= −4− 2s − 6t

Losung s = 1, t = −1

~x = (2, 3, 4)t, ~y = (3, 3, 3)t

Kontrolle:d = |~x − ~y | = |(−1, 0, 1)t| =

√2 X

Parametrische Darstellung einer Ebene

Punkte X auf einer Ebene durch P, die von zwei nicht parallelenRichtungen ~u und ~v aufgespannt wird, erfullen

−→PX = s~u + t~v , s, t ∈ R .

Ebenen Parameterdarstellung einer Ebene 1-1

Entsprechend gilt

xi = pi + sui + tvi , i = 1, 2, 3 .

fur die Koordinaten des Ortsvektors ~x = ~p + s~u + t~v .

Beispiel:

Ebene durch P = (1, 2, 3), aufgespannt von ~u = (2, 0, 0)t , ~v = (1, 1, 1)t

E : ~x =

, s, t ∈ R

X = (1, 1, 2) ∈ E , denn

−→PX =

0−1−1

2~u + (−1)~v

X = (0, 0, 0) /∈ E , denn

−→PX =

−1−2−3

fur alle s, t

Drei-Punkte-Form einer Ebene

Fur Punkte X auf einer Ebene durch drei Punkte P, Q, R, die ein echtesDreieck bilden, verschwindet das Spatprodukt:

[−→PX ,−→PQ,−→PR] = 0 .

PSfrag repla ements XP QR

Ebenen Drei-Punkte-Form einer Ebene 1-1

Mit Hilfe von Determinanten lasst sich die Ebenengleichung auch in derForm

p1 q1 r1 x1p2 q2 r2 x2 = 0p3 q3 r3 x31 1 1 1

schreiben.

Beispiel:

Ebene E durch P = (1, 2, 3), Q = (3, 2, 3), R = (2, 3, 4)

X = (1, 1, 2) ∈ E , denn

[−→PX ,−→PQ,−→PR] =

0−1−1

0−22

X = (0, 0, 0) /∈ E , denn

[−→PX ,−→PQ,−→PR] =

−1−2−3

0−22

= 4− 6 = −2 6= 0

Ebenengleichung

1 3 2 x12 2 3 x23 3 4 x31 1 1 1

=1 3 22 2 33 3 4

− x3

1 3 22 2 31 1 1

1 3 23 3 41 1 1

− x1

2 2 33 3 41 1 1

= 2− 2x3 + 2x2 − 0x1

d.h.E : x3 − x2 = 1

Hesse-Normalform einer Ebene

Der Ortsvektor ~x eines Punktes X auf einer Ebene durch P orthogonal zueinem Normalenvektor ~n erfullt

~x · ~n = d , d = ~p · ~n .

PSfrag repla ementsXP

~n; j~nj = 1 ~n

Ebenen Hesse-Normalform einer Ebene 1-1

Bei der Normalform wird dabei |~n| = 1 und d ≥ 0 angenommen. In diesemFall ist d der Abstand der Ebene zum Ursprung. Der Normalenvektor zeigtvom Ursprung in Richtung der Ebene.

Beispiel:

Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor ~n◦ = (2, 2, 1)t/3Normierung: ~n◦ = σ~n/|~n| = σ(2, 2, 1)t/3Wahl des Vorzeichens σ so, dass

0 ≤ d = |~p · ~n◦| =

· σ1

= σ · 3

d.h. σ = 1 und d = 3 Hesse-Normalform E : ~x · ~n◦ = d , d.h.

3x3 = 3

X = (4, 0, 1) ∈ E , denn ~x · ~n◦ = 13(8 + 0 + 1) = d

X = (0, 0, 0) /∈ E , denn ~x · ~n◦ = 0 6= d

Beispiel:

Umrechnen von Ebenendarstellungen:

(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht paralleleVektoren ~u, ~v :Parameterdarstellung

E : ~x = ~p + s~u + t~v , s, t ∈ R

weitere Punkte Q,R ∈ E : ~q = ~p + ~u, ~r = ~p + ~v Drei-Punkte-Form

E : [~x − ~p, ~q − ~p, ~r − ~p] = 0

normierter Normalenvektor

~n◦ = σ~u × ~v|~u × ~v |

mit σ ∈ {−1, 1} so gewahlt, dass d = ~p · ~n◦ ≥ 0 Hesse-Normalform E : ~x · ~n◦ = d

(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden:Drei-Punkte-Form

E :[~x − ~p, ~q − ~p, ~r − ~p

Vektoren, die E aufspannen

~u =−→PQ, ~v =

−→PR

Konstruktion der Hesse-Normalform wie in (i)

(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor ~n:Hesse-Normalform

E : ~x · ~n0 = d , d = ~p · ~n0 ≥ 0

mit ~n0 = σ · ~n/|~n| und σ ∈ {−1, 1}Vektoren, die E aufspannen

~u = ~n × ~x , ~v = ~n × ~u

mit ~x 6= λ~nKonstruktion der Drei-Punkte-Form wie in (i)

Beispiel:

Ebene durch die Punkte

P = (7, 2, 0), Q = (1,−6, 2), R = (−1,−8, 3)

Drei-Punkte-Form

~x −

1−62

−1−83

Differenzen der Ortsvektoren Richtungen, die die Ebeneaufspannen

~u =−→PQ =

−6−82

, ~v =

−→PR =

−8−10

Parameterdarstellung der Ebene

E : ~x =

−6−82

−8−10

, s, t ∈ R

Normalenvektor

~n = ~u × ~v =

−24 + 20−16 + 1860− 64

−42−4

Normierung:

~n0 =σ

−42−4

mit σ ∈ {−1, 1} so gewahlt, dass

0 ≤ d = ~p · ~n0 =

−2/31/3−2/3

= σ(−4)

d.h. σ = −1 und d = 4 Hesse-Normalform

3x1 −

3x3 = 4

Abstand Punkt-Ebene

Der Lotvektor eines Punktes Q auf eine Ebene E durch P mitNormalenvektor ~n ist

−→XQ =

−→PQ · ~n|~n|2 ~n .

−−→XQ

−→PQ

Ebenen Abstand Punkt-Ebene 1-1

Die Lange des Lotvektors,

d =|−→PQ · ~n||~n| ,

ist der Abstand der Ebene zu Q. Der Punkt X mit dem Ortsvektor

~x = ~q − (~q − ~p) · ~n|~n|2 ~n

wird als Projektion von Q auf E bezeichnet.

Beweis:

Projektion~x = ~q − λ~n

X ∈ E =⇒~x · ~n = ~q · ~n − λ|~n|2 = ~p · ~n

Auflosen nach λ Formel fur den Abstand

λ =(~q − ~p) · ~n|~n|2 , d = |λ~n|

Lotvektor~q − ~x = λ~n

Beispiel:

Ebene E durch den Punkt P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor ~n = (2, 1, 2)Berechnung des Abstands d von Q = (3, 2, 3) sowie der Projektion X aufE

−→PQ =

−→PQ · ~n = 4, |~n| = 3

Lotvektor und Abstand

−→XQ =

−→PQ · ~n|~n|2 ~n =

, d = |−→XQ| =

9· 3 =

Projektion

~x = ~q −−→XQ =

8/94/98/9

191419

Schnitt zweier Ebenen

Der kleinere der beiden Winkel ϕ ∈ [0, π/2] zwischen zwei Ebenen mitNormalenvektoren ~ni ist durch

cosϕ =|~n1 · ~n2||~n1||~n2|

eindeutig bestimmt. Die Schnittgeraden g hat die Richtung ~u = ~n1 × ~n2 .

�!n1 �!n2

Ebenen Schnitt zweier Ebenen 1-1

Einen Punkt P auf g kann man durch simultanes Einsetzen in beideEbenengleichungen bestimmen und mit einer Losung (p1, p2, p3)t desresultierenden unterbestimmten linearen Gleichungssystems erhalt man

g : ~x = ~p + t~u, t ∈ R

als Parameterdarstellung von g .

Beispiel:

Schnitt von Ebenen durch die Punkte P1 = (1, 2, 0), P2 = (0, 1, 3) mitNormalenvektoren ~n1 = (1,−1, 0)t, ~n2 = (0,−1, 1)t

Schnittwinkel

cosϕ =|~n1 · ~n2||~n1||~n2|

=|1 · 0 + (−1)(−1) + 0 · 1|√

ϕ = π/3Richtung der Schnittgeraden g

~u = ~n1 × ~n2 =

−1−1−1

Punkt X auf g durch Losung der Ebenengleichungen ~x · ~nk = ~pk · ~nk :~p1 · ~n1 = 1− 2 + 0 = −1, ~p2 · ~n2 = 0− 1 + 3 = 2

E1 : x1 − x2 = −1, E2 : −x2 + x3 = 2

x2 = 0 x1 = −1 und x3 = 2Parameterdarstellung der Schnittgeraden

g : ~x =

−102

−1−1−1

, t ∈ R

Beispiel:

Winkel zwischen Flachen eines regelmaßigen Tetraederswahle

P1 = (1, 0, 0), P2 = (−1, 0, 0), P3 = (0, 1,√

2), P4 = (0,−1,√

und betrachte Ebenen durch P1, P2, P3 und P1, P2, P4

Normalenvektoren

~n1 =−−−→P1P2 ×

−−−→P1P3 =

−200

−11√2

~n2 =−−−→P1P2 ×

−−−→P1P4 =

−200

−1−1√

Schnittwinkel

cos(ϕ) =|~n1 · ~n2||~n1||~n2|

ϕ ≈ 70.53◦Ebenen Schnitt zweier Ebenen 3-1

Ellipse

Fur die Punkte P = (x , y) auf einer Ellipse ist die Summe der Abstande zuzwei Brennpunkten F± konstant:

|−−→PF−|+ |−−→PF+| = 2a

mit 2a > |−−−→F−F+|.

F− F+

Quadratische Kurven Ellipse 1-1

Ist F± = (±f , 0), so gilt fur die Koordinaten

b2= 1, b2 = a2 − f 2 ,

r2 =b2

1− (f /a)2 cos2 ϕ

fur die Polarkoordinaten der Punkte P.Eine Parametrisierung der Ellipse ist

x = a cos t, y = b sin t

mit t ∈ [0, 2π).

Beweis:

(i) Aquivalenz der Darstellungen:

|−−→PF−|+ |−−→PF+| = 2a ⇐⇒ x2

b2= 1, b2 = a2 − f 2

Quadrieren von

2a−√

(x + f )2 + y2︸︷︷︸

(x − f )2 + y2 = |−−→PF+|

aquivalente Form der linken Gleichung

4a2 + 4xf︸︷︷︸>0

= 4a√

(x + f )2 + y2

erneutes Quadrieren und Division durch (4a)2

a2 + 2xf +f 2

a2x2 = x2 + 2xf + f 2 + y2

Substitution von f 2 = a2 − b2, Division durch b2 KoordinatenformQuadratische Kurven Ellipse 2-1

(ii) Polarform:

r2 =b2

1− (f /a)2 cos2 ϕ

Multiplikation mit dem Nenner und Substitution von

r2 = x2 + y2, f 2 = a2 − b2, r2 cos2(ϕ) = x2

x2 + y2 − a2 − b2

a2x2 = b2

Koordinatenform nach Division durch b2

Beispiel:

Reflektion von Brennpunktstrahlen (F+P → PF−)

F− F+

Hilfspunkt Q 6= P auf der Tangente g außerhalb der Ellipse =⇒2a = |−−→PF−|+ |

−−→PF+| < |

−−→QF−|+ |

−−→QF+|

Ersetzen von PF+ durch das Spiegelbild PR an g |−−→QF+| = |−→QR|und

|−−→PF−|+ |−→PR| < |−−→QF−|+ |

−→QR| ∀Q ∈ g

=⇒ F−, P, R kollinear, bzw. ^(F−PQ) = αQuadratische Kurven Ellipse 3-1

Parabel

Die Punkte P = (x , y) auf einer Parabel haben von einem Brennpunkt Fund einer Leitgerade g den gleichen Abstand.

Quadratische Kurven Parabel 1-1

Ist F = (0, f ) und g : y = −f , so gilt fur die Koordinaten

4f y = x2

r =4f sinϕ

cos2 ϕ

fur die Polarkoordinaten der Punkte P.

Beweis:

(i) Aquivalenz der Darstellungen:Gleichsetzen der quadrierten Abstande

|−→PF |2 = x2 + (y − f )2 = (y + f )2 = (dist(P, g))2

Vereinfachung x2 = 4f y

(ii) Polarform:substituiere

x = r cosϕ, y = r sinϕ

r2 cos2 ϕ = 4f r sinϕ

Beispiel:

Bundelung senkrecht zur Leitgerade einfallender Strahlen im Brennpunkt

−→FP +

−→QP =

parallel zur Richtung (1, x/(2f ))t der Tangente im Punkt P (f = x2/(4y))

|−→FP| = |−→QP| (Definition der Parabel) =⇒ ^(F ,P,R) = α = ^(R,P,Q)Quadratische Kurven Parabel 3-1

Hyperbel

Fur die Punkte P = (x , y) auf einer Hyperbel ist die Differenz derAbstande zu zwei Brennpunkten F± konstant:

|−−→PF−| − |−−→PF+| = ±2a

mit 2a < |−−−→F−F+|.

F+F−

Quadratische Kurven Hyperbel 1-1

Ist F± = (±f , 0), so gilt fur die Koordinaten

a2− y2

b2= 1, b2 = f 2 − a2 ,

r2 = − b2

1− (f /a)2 cos2 ϕ

fur die Polarkoordinaten der Punkte P. Die Asymptoten haben dieSteigung ±b/a.Parametrisierungen der Hyperbelaste sind

x = ±a cosh t, y = b sinh t

mit t ∈ R.

Beweis:

(i) Aquivalenz der Darstellungen:

|−−→PF−| − |−−→PF+| = ±2a ⇐⇒ x2

a2− y2

b2= 1, b2 = f 2 − a2

Quadrieren von√(x + f )2 + y2 ∓ 2a

︸︷︷︸>0

(x − f )2 + y2 = |−−→PF+|

aquivalente Identitat zur linken Gleichung:

4a2 + 4xf = ±4a√

(x + f )2 + y2

erneutes Quadrieren und Division durch (4a)2

a2 + 2xf +f 2

a2x2 = x2 + 2xf + f 2 + y2

Substitution von f 2 = a2 + b2 und Division durch b2 Koordinatenform

(ii) Polarform:

r2 = − b2

1− (f /a)2 cos2 ϕ

Multiplikation mit dem Nenner unter Berucksichtigung von

r2 = x2 + y2, f 2 = a2 + b2, x = r cosϕ

x2 + y2 − a2 + b2

a2x2 = −b2

Division durch −b2 Koordinatenform

Beispiel:

Positionsbestimmung durch Zeitdifferenzen 2aj ,k synchroner Radiosignalevon Sendestationen Fi

Position P: Schnittpunkt von Hyperbeln

konkrete Daten

F1 = (−2, 0), F2 = (2, 0), F3 = (0,−3), F4 = (0, 3)

a1,2 = a3,4 = 1Hyperbelgleichungen

x2 − y2

3= 1, y2 − x2

(f 2 = a2 + b2 mit a = 1 und f = 2 bzw. f = 3)Koordinaten der moglichen 4 Schnittpunkte Si

x2 =32

23, y2 =

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