Vektorrechnung in Octave - FH-SWF Home · PDF fileDipl.-Ing. M. Birkhölzer Folie 3 (07/2011) Vektorrechnung Erzeugung von Vektoren Definition von Vektoren: Ein Vektor v ist eine ein-dimensionale

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Vektorrechnungin

Octave

Dipl.-Ing. M. BirkhölzerFolie 2 (07/2011)

Inhalt

• Erzeugung von Vektoren• Zugriff auf Vektorelemente• Addition und Subtraktion von Vektoren• Betrag eines Vektors• Berechnung des Einheitsvektors• Berechnung des Richtungskosinus• Skalarprodukt• Vektorprodukt• Spatprodukt


VektorrechnungErzeugung von Vektoren

Definition von Vektoren:Ein Vektor v ist eine ein-dimensionale Struktur bestehend aus n Skalaren. Es gibtZeilenvektoren (eine Zeile, n Spalten) und Spaltenvektoren (n Zeilen, eine Spalte).• Erzeugung von Zeilenvektoren:

Es gibt 3 Möglichkeiten Zeilenvektoren zu erzeugen.

1)a=[1 2 3 4]Eingabe mit Leerstellen zwischenden Werten als Trennzeichen

2)b=[1,2,3,4]Komma als Trennzeichenzwischen den Werten

3)c=1:4(siehe hierzu auch Bereichsvariablenin der Octave-Einführung)

• Alle 3 Möglichkeiten erzeugen den gleichen Vektor.



• Erzeugung von Spaltenvektoren:Zur Erzeugung von Spaltenvektoren gibt es nur eine Möglichkeit:

a=[1;2;3;4]

• Es können aber Zeilenvektoren in Spaltenvektoren und Spaltenvektoren in Zeilenvektoren umgewandelt (transponiert) werden. Dies geschieht durch die Verwendung des Hochkommas ‘ .



• Ein neuer Zeilenvektor kann auch dadurch erzeugt werden, dass man zwei Vektoren hintereinander hängt:

• Dies funktioniert natürlich auch mit einem Spaltenvektor:


Übungsaufgaben Vektorerzeugung

Erzeugen Sie die Zeilenvektoren a =(1 3 5 7) und b=(2 4 6 8),sowie die Spaltenvektoren c=(1 3 6 10) und d=(9 7 5 3).a) Transponieren Sie den Vektor ab) Wandeln Sie den Vektor c in einen Zeilenvektor umc) Erzeugen Sie den Zeilenvektor e aus a und bd) Erzeugen Sie den Spaltenvektor f aus c und de) Erzeugen Sie einen Zeilenvektor g aus b und cf) Erzeugen Sie einen Spaltenvektor h aus d und a


VektorrechnungZugriff auf Vektorelemente

• Ist die Länge eines Vektors nicht bekannt, so kann diese mit Hilfe des Befehls length(Vektorname) ermittelt werden.

• Einzelne Elemente eines Vektors können mit Vektorname(Position)ausgegeben werden. Als Sonderform gilt hier Vektorname(end), der befehl gibt das letzte Element des Vektors aus.



• Man kann auch auf Teilbereiche eines Vektors zugreifen, dies geschieht durch Vektorname(a:c:b) wobei a die Anfangsposition des Bereiches, b die Endposition des Bereiches und c die Schrittweite darstellt. Wird der Parameter c weg gelassen, wird automatisch eine Schrittweite von 1 gewählt. Für den Parameter b kann man auch end eingeben.



• Natürlich können auch einzelne Elemente eines Vektors verändert werden. Dies geschieht durch einfache Neuzuweisung Vektorname(a:c:b)=Wert.


Vektorrechnung

Für die weiteren Themen generieren wir uns nun ein paar Vektoren, welche in dennächsten Beispielen Anwendung finden:• Spaltenvektoren: as=[2;0;-3]

bs=[3;-4;2]cs=[1;5;7]ds=[1;4;2;-3]

• Zeilenvektoren: az=[2 0 -3]bz=[3 -4 2]cz=[1,5,7]dz=[1,4,2,-3]


VektorrechnungAddition und Subtraktion von Vektoren

• Vektoren können einfach addiert und subtrahiert werden. Dabei ist es aber wichtig, das die Vektoren die gleiche Länge haben und das es sich um 2 Spalten- bzw. Zeilenvektoren handelt (siehe Markierung im Bild)

• Die Addition von Zeilen-und Spaltenvektorführt zu einer Warn-meldung und erzeugteine Matrix.Hier müsste einVektor ersttransponiert werden.


VektorrechnungBetrag eines Vektors

• Der Betrag eines Vektors errechnet sich laut Studienbuch „Ingenieurmathematik 1“nach:

In Octave wird die Berechnung dann wie folgt durchgeführt:ra=sqrt(as(1)^2+as(2)^2+as(3)^2)

• Wie bereits in der Einführung erwähnt, gibt es Standardfunktionen und Funktionen welche durch Packages hinzugefügt werden können.Für die Berechnung des Betrages eines Vektors kann die Standardfunktion norm(Vektor) verwendet werden.

222zyx aaaa ++=


VektorrechnungBerechnung des Einheitsvektors

• Wird der Vektor durch seinen Betrag dividiert, so erhält man den Einheitsvektor.• Der Betrag dieses so entstandenen Vektors muss gleich „1“ sein. Dies kann mit norm(Vektor) kontrolliert werden.


VektorrechnungBerechnung des Richtungskosinus

Zur Berechnung des Richtungskosinus gibt es zwei Möglichkeiten• Möglichkeit 1:

Die einzelnen Werte des Vektors werden durch den Betrag Vektors dividiert.cosinusalpha=a(1)/betragcosinusbeta=a(2)/betragcosinusgamma=a(3)/betrag

• Möglichkeit 2:Die Werte des Einheitsvektors werden den Winkeln zugewiesen.


VektorrechnungSkalarprodukt

• Das Skalarprodukt kann in Octave durch die Summe der Produkte der entsprechenden Koordinaten berechnet werden.Skalarprodukt=a(x)*b(x)+a(y)*b(y)+a(z)*b(z)

• Das Skalarprodukt kann aber auch durch einfache Multiplikation der Vektoren gebildet werden. Dies funktioniert aber nur, wenn der erste Vektor ein Zeilenvektor und der zweite ein Spaltenvektor ist. Um die passenden Vorbedingungen zu schaffen, kann das Transponieren von Vektoren angewendet werden.


VektorrechnungSkalarprodukt

• Octave bietet aber auch eine Standardfunktion, mit der das Skalarprodukt berechnet werden kann.Skalarprodukt=dot(a,b)hierbei unterscheidet Octave aber nicht nach Zeilen- und Spaltenvektor.

• Achtung: Die Vektoren müssen dafür die gleiche Länge haben!!!! Octave gibt in diesem Fall bei dem befehl dot(a,b) keine Fehlermeldung aus!!


VektorrechnungVektorprodukt

• Die Berechnung des Vektorprodukts erfolgt laut Studienbuch „Ingenieurmathematik 1“über folgenden Lösungsweg.

• Auch hier bietet Octave durch den Befehl cross(a,b) eine Standardfunktion an.Hierbei ist es wie beim dot-Befehlegal, ob es sich um Zeilen- oderSpaltenvektoren handelt.


VektorrechnungVektorprodukt

• Achtung: Bei der Berechnung von Vektorprodukten ist darauf zu achten, dass es sich um dreidimensionale Vektoren vom gleichen Typ handelt.


VektorrechnungSpatprodukt

• Die Berechnung des Spatvolumens nach dem Studienbuch „Ingenieurmathematik 1“erfolgt über folgende Formel:s=as(1)*bs(2)*cs(3)+as(2)*bs(3)*cs(1)+as(3)*bs(1)*cs(2)-as(1)*bs(3)*cs(2)-as(2)*bs(1)*cs(3)-as(3)*bs(2)*cs(1)

• Die kann in Octave durch die beiden Standardbefehle dot und cross vereinfacht berechnet werden.

Achtung: Auch hier müssen die Punkte für die Verwendung von dot und crossbeachtet werden!!

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