Vetores

Vetores Reta Orientada:

Possui Percurso

Segmento Orientado

Ponto Origem

Ponto Extremidade

Vetores Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados

de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.

Um segmento orientado é um conjunto de pontos.

Um vetor um conjunto de segmentos orientados.

Cada segmento orientado de um vetor é chamado de imagem geométrica ou representante de um vetor.

Os segmentos orientados de um vetor também são conhecidos como representantes.

Vetores

Emprega-se a palavra vetor em vez de imagem geométrica do vetor.

A palavra vetor significa transportado, ou seja, um ponto A é transportado até o ponto B.

Vetores Vetor é uma tripla constituída de uma direção, um

sentido e um módulo.

O Módulo é um número não negativo que indica o comprimento do vetor. Ex:

Vetores O Versor de um vetor v é o vetor unitário que tem a

mesma direção e sentido de v.

Vetores Vetor Oposto

Vetores Vetores colineares possuem a mesma direção, ou seja,

são paralelos ou pertencem à mesma reta.

Vetores equiversos possuem o mesmo sentido. Caso contrário, são contraversos.

Vetores Multiplicação de um vetor por um escalar k

Se k >0 , o vetor e o produto são equiversos

Vetores Se k< 0, os vetores são contraversos

Vetores coplanares possuem representantes no mesmo plano

Vetores Adição de Vetores

A soma de n vetores é feita considerando imagens geométricas dos vetores de modo que a extremidade de cada valor coincida com a origem do seguinte

O vetor soma é o vetor que fecha a poligonal.

Ex: Se B = A+u, e C = B + v, então u = B-A e v = C-B.

Vetores Propriedades:

Sob forma de tripla:

Vetores Subtração de Vetores

Na diferença entre dois vetores, eles possuem a mesma origem

A diferença não é comutativa:

Vetores

Exercícios

Exercícios

Exercícios

Exercícios

Vetores Dois vetores não colineares são sempre coplanares

O vetor está está sempre no mesmo plano que v1 e v2

Vetores Se v1 e v2 estão em um plano e v3 em outro, a soma do

vetor com o vetor será um vetor no espaço.

Vetores

Vetores

Vetores

Vetores Ângulo

Exercícios

Vetores no R² e no R³ Vetores relacionados com os sistemas de eixos

cartesianos do plano e do espaço.

Dados dois vetores não colineares, qualquer vetor coplanar v pode ser decomposto segundo a direção desses dois.

Vetores no R² e no R³ Quando o vetor v estiver representado por:

dizemos que v é a combinação linear de v1 e v2, e que v é coplanar de v1 e v2.

Os vetores v,v1 e v2 estão no plano

Os números a1 e a2 são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base {v1,v2}

É possível afirmar que o vetor a1v1 é chamado projeção de v sobre v1 segundo a direção de v2, e vice-versa

Bases ortonormais: os vetores são ortogonais e unitários, isto é:

Vetores no R² e no R³ Na figura abaixo, v = 3e1 + 2e2

Vetores no R² e no R³ Base canônica: possui segmentos orientados com

origem em O e extremidade nos pontos (1,0) e (0,1).

Vetores no R² e no R³ Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números

reais e representados pela expressão analítica:

O componente x é a abcissa e y a ordenada.

Dois vetores são iguais se x1=x2, e y1=y2.

Sendo dois vetores , defini-se:

Vetores no R² e no R³ Exemplo de três pontos no plano

Vetores no R² e no R³ Exemplos

2) Encontrar os números a1 e a2 tais que:

W = a1U + a2V, sendo U=(1,2), V=(4,-2) e W = (-1,8)

Vetores no R² e no R³ O vetor tem origem no ponto A(x1,y1) e

extremidade em B(x2,y2), ou seja:

Ex: Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), determinar D(x,y) de modo que:

BA

)12,12( yyxxBA ABBA

BADC

2

1

Vetores no R² e no R³

Exercícios Determinar a extremidade do segmento que

representa o vetor (2,-5), sabendo que sua origem é o ponto A(-1,3).

Dados os vetores = (3,1) e =(-1,2), determinar o vetor tal que:

Dados os vetores u=(2,-4) e v=(-5,1) e w=(-12,6), determinar k1 e k2 tal que

v

u

v w

)34(2)2(3)

23

1)(4)

uwuvwb

wuwvua

vkukw

21

Vetores no R² e no R³ No espaço, qualquer conjunto de 3 vetores não coplanares é

uma base.

Assim como no plano, um vetor no espaço é combinação linear dos vetores da base:

Base ortonormal no espaço: os três vetores são unitários, e ortogonais dois-a-dois.

Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: xy, xz e yz.

Cada ponto no espaço vai corresponder uma terna (a,b,c), chamadas coordenadas e denominadas, abcissa, ordenada e cota, respectivamente.

Vetores no R² e no R³ Três vetores no espaço

Vetores no R² e no R³ Combinação Linear no espaço

Vetores no R² e no R³

Vetores no R² e no R³ É possível afirmar que este espaço tem três dimensões

porque qualquer uma de suas bases tem três vetores.

Logo, o plano é bidimensional.

O conjunto formado pelo ponto O e pela base {i,j,k} é chamado referencial ortonormal da origem O, ou sistema cartesiano ortonormal.

O produto cartesiano R² é representado geometricamente no plano cartesiano

O produto cartesiano R³ é representado geometricamente no espaço cartesiano

Exemplos

Dados os pontos P(1,2,4), Q(2,3,2) e R(2,1,-1), determinar as coordenadas de um ponto S tal que P,Q,R e S sejam vértices de um paralelogramo.

Vetores no R² e no R³ Paralelismo entre Dois Vetores no Plano

Vetores no R² e no R³ Paralelismo de Dois Vetores no Espaço

Vetores no R² e no R³ Exemplo

Vetores no R² e no R³ Paralelismo entre três vetores no espaço:

Ex: Verificar se são colineares os pontos:

A(-1,-5,0), B(2,1,3) e C(-2,-7,-1)

Exemplos Determinar os valores de m e n para que sejam

paralelos os vetores u=(m+1,3,1) e v=(4,2,2n-1).

Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento da reta de extremidades A(x1,y1) e B(x2,y2)

Exercícios

Exercícios

Vetores no R² e no R³ Coplanaridade de vetores no espaço

Vetores no R² e no R³ Lembrete:

O determinante de uma Matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária.

Exercícios