VILLAMOSSÁGTAN II. 1. RÉSZgfmj/Villamossagtan_II.pdfA vizsgárabocsátásfeltétele:az...

V I L L A M O S S Á G TA N I I .1 . R É S Z

S O M O G Y I N É D R . M O L N Á R J U D I T

ÜTEMTERVIsmétlés és a követelmények ismertetése

Háromfázisú rendszerek. Vonali és fázismennyiségek.

Feszültség, áram és teljesítményviszonyok szimmetrikus és aszimmetrikus

csillagkapcsolású háromfázisú fogyasztók esetén

Feszültség, áram és teljesítményviszonyok szimmetrikus és aszimmetrikus

deltakapcsolású háromfázisú fogyasztók esetén

Soros és párhuzamos rezgőkörök

Négypólusok fogalma, paraméterrendszerek, helyettesítő kapcsolások.

1. Zárthelyi (03.11.)

ÜTEMTERVNégypólusok összekapcsolása. Négypólus paraméterek közötti konverzió.

Átviteli függvény másik ábrázolási módszere: a Nyquist diagram.

2. Zárthelyi (04.01.)

A Bode diagram alapesetei: konstans, elsőfogú tagok szerkesztése. Eredő átviteli

függvény szerkesztése.

Oktatási szünet (10. hét)

A Bode diagram alapesetei: másodfokú tagok.

3. Zárthelyi (04.29.)

Pótzárthelyi (05.06.)

Oktatási szünet (14. hét)

A TÁRGY LEZÁRÁSÁNAK MÓDJA: AL ÁÍRÁS, KOLLOVIUM

Az aláírás megszerzésének feltétele:

A félév során megírandó 3 db zárthelyi dolgozat megírása (5-dik, 8-dik és 12-dik hét előadásán).

A zárthelyik elméleti kérdéseinek 40% alatti teljesítése esetén azárthelyi sikertelennek minősül!

Mindegyik zárthelyi 10 pontos, a félév során tehát 30 pontszerezhető. Az elégséges szint 60% (18 pont).

Akinek az összpontszáma 18 pont alatt van, az utolsó hétenmegírásra kerülő pótzárthelyin szerezheti meg az aláírást, ahola maximális 30 pontból szintén 18 pont a megfelelt eredmény.

Végleges aláírás-megtagadásban részesül az a hallgató,aki 2-nél kevesebb zárthelyit ír meg, vagy azösszpontszáma nem éri el a 9 pontot!

4

A Z AL ÁÍRÁS PÓTL ÁSA

5

A félév végéig meg nem szerzett aláírást a kar dékánjaáltal kijelölt időszakban, a tanulmányi ésvizsgaszabályzatban előírtak szerint lehet pótolni. Azaláíráspótló zárthelyi anyaga az évközi zárthelyikegyüttes anyagával egyezik meg.

Csak az jöhet pótolni, aki min. 2 zárthelyit megírtés az összpontszáma eléri a 9 pontot!

VIZSGA

6

A vizsgára bocsátás feltétele: az aláírás megszerzése.

A vizsga írásbeli, amely két részből áll (10 pont/feladat):

• egy elméleti tétel részletes kifejtése (a sikeres vizsga feltétele az elméleti tétel minimum 40%-os teljesítése!)

• 4 db számpélda.Pontszám Értékelés

0-29 1

30-34 2

35-39 3

40-44 4

45-50 5

VIZSGA MEGA JÁNL ÁSA

7

Azoknak a hallgatóknak, akik a zárthelyik alkalmávallegalább 80%-os átlageredményt értek el (azelégtelen eredmény miatti pótzárthelyire nemvonatkozik), vizsgajegyet ajánlok meg a következőkszerint:

• 80-90% közti átlageredményre 4-est,

• 90% feletti átlageredményre 5-öst.

A JÁNLOTT IRODALOM

8

• Demeter Károlyné - Dén Gábor: Villamosságtan

• Hollós Edit -Vágó István: Villamosságtan

• Demeter Károlyné: Villamosságtan II.

• Fodor György: Elméleti elektrotechnika I-II.

ISMÉTLÉS

UR

ISMÉTLÉS

REZGŐKÖRÖK

Az RLC elemekből kialakított négypólusok impedanciája erősen frekvenciafüggő, ezt a tulajdonságáthasználjuk ki a különböző szűrőkapcsolásoknál: sáváteresztő, sávzáró szűrők.

REZGŐKÖRÖK

➢ A rezgőköröket tehát a rezonancia frekvenciával megegyező frekvencia kiválasztására vagy

kiszűrésére használjuk:

– frekvencia kiválasztás: az áramkör bemenetére érkező sokféle frekvencia közül csak

egyet használunk fel, vagyis a kimeneten csak egyféle frekvenciájú jelenik meg

– frekvencia kiszűrés: az áramkör bemenetére érkező sokféle frekvencia közül a

rezonancia frekvencia kivételével mindet felhasználjuk, vagyis a kimeneten csak egyféle

frekvenciájú NEM jelenik meg.

➢ távközléstechnikában általában frekvencia-szelektív négypólusokat alakítanak ki

SOROS REZGŐKÖR - IDEÁLIS

XC XL

jXL -jXC

Rezonancia van, ha:

f0: rezonanciafrekvencia

REZONANCIAFREKVENCIÁN IDEÁLIS SOROS

REZGŐKÖR RÖVIDZÁRRAL HELYETTESÍTHETŐ!

SOROS REZGŐKÖR - IDEÁLISRezonancia esetén tehát: Z=0 I→∞ (lenne)

➢ ha ω=0 (DC): a kondenzátor miatt szakadás van (Z→∞)

➢ ha ω→∞: az induktivitás miatt van szakadás (Z→∞)

➢ ha Ф = 90°

Ф = -90°

XC XL

MIÉRT NEM IDEÁLIS INDUKTIVITÁS EGY TEKERCS?

Fellépő veszteségek:

– RÉZVESZTESÉG: a felcsévélt huzalnak ellenállása van: 𝑅 = 𝜌𝑙

𝐴A huzalon átfolyó áram hatására a

tekercs melegszik.

– ÖRVÉNYÁRAMÚ VESZTESÉG: vasmagos tekercs esetében a vasmagban örvényáramok folynak,

amelyek a vasmagot melegítik.

– HISZTERÉZIS VESZTESÉG: a vasmag váltakozó irányú átmágnesezéséhez energia szükséges, ez is a

vasmagot melegíti.

A tekercs veszteségeit egy olyan nagyságú ohmos ellenállással modellezzük, amely a veszteségi

teljesítménnyel azonos teljesítményt disszipál.

SOROS ÉS PÁRHUZAMOS HELYETTESÍTŐ KÉP➢ A tekercs veszteségének mértékét a jósági tényező adja

meg, amely a meddő- és a veszteségi (hatásos) teljesítmény

hányadosa. (ált. Q=10-1000)

𝑄 =𝑃𝑚𝑃𝑣

=𝐼2𝑋𝐿𝐼2𝑟𝑣

=𝑋𝐿𝑟𝑣

𝑄 =𝑃𝑚𝑃𝑣

=

𝑈2

𝑋𝐿𝑈2

𝑅𝑣

=𝑅𝑣𝑋𝐿

➢ A veszteségi ellenállások értékei átszámíthatók a két

helyettesítő kép között, ha Q ismert.

➢ Pl. ha rv ismert, akkor 𝑅𝑣 = 𝑄2𝑟𝑣

MIÉRT NEM VISELKEDIK IDEÁLIS KAPACITÁSKÉNT EGY KONDENZÁTOR?

Az energiaátalakulás során:

➢ két fegyverzet között valamilyen szigetelőanyag van, amelynek az ellenállása nem végtelen

nagyságú.A szigetelőanyagon átfolyó áram melegíti a kondenzátort.

➢ ha a kondenzátorra váltakozó feszültséget kapcsolunk, akkor a váltakozó irányú villamos

erőtérben a szigetelőanyag elemi dipólusainak gyakori átrendeződéséhez (polarizálásához)

energia szükséges. Ez szintén melegíti a szigetelőanyagot.

A kondenzátor vesztesége azonban a jó minőségű szigetelőanyagoknak köszönhetően jóval

kisebb a tekercsénél, ezért általában elhanyagoljuk azokat.

SOROS REZGŐKÖR - VALÓSÁGOSRezonancia esetén: Z = min így I = max

így φ = 0°

(csak hatásos teljesítmény lesz!)

fordított arányosság rv és Q0 között!

➢ ekkor mérhető a tekercsen és a kondin is max. feszültség

➢ ha ω=0 (DC): a kondenzátor miatt szakadás van (Z→∞, I→0)

➢ ha ω→∞: az induktivitás miatt van szakadás (Z→∞, I→0)

➢ ha Ф = 90°

Ф = -90°

Nagy jósági tényezőjű tekercs esetén a generátor feszültsége nem lehet nagy, merta kondenzátorra jutó Q0-szoros feszültség átütéseket is okozhat!!!

Rezonancia esetén:

Azt a frekvenciát, amelynél az ohmos ellenállások

eredőjének nagysága megegyezik a reaktanciák

eredőjének nagyságával, határfrekvenciának nevezzük!

➢ f0 alatt: alsó határfreki! (fha)

➢ f0 felett: felső határfreki! (fhf)

➢ Sávszélesség:

XC dominál XL dominál

SOROS REZGŐKÖR - VALÓSÁGOS

A soros rezgőkör felhasználása frekvencia kiválasztására

𝑈𝑘𝑖 = 𝑈𝑏𝑒𝑅

𝑟+𝑅(rezonancián, r<<R)

Ha a bemeneti feszültség frekvenciája a rezgőkör rezonancia frekvenciájával megegyezik, akkor a rezgőkör

impedanciája minimális lesz (majdnem rövidzár). Így csak az f0 frekvenciájú feszültséget engedi a kimenetre.

Mi van, ha megfordítjuk az rLC és R ágakat? → rezonanciafrekvencián a kimeneten szinte rövidzár lesz → f0frekvenciájú feszültséget nem engedi a kimenetre → vagyis leszívja → szívókör ☺

PÁRHUZAMOS REZGŐKÖR - IDEÁLIS

Rezonancia van, ha:

REZONANCIAFREKVENCIÁN

IDEÁLIS PÁRHUZAMOS REZGŐKÖR

SZAKADÁSSAL HELYETTESÍTHETŐ!

PÁRHUZAMOS REZGŐKÖR - IDEÁLISRezonancia esetén tehát: Z→∞ I=0 (lenne, de a reaktanciákon folyik áram, melyek nagysága azonos, de

ellenfázisú, azaz csak a rezgőkörön belül folynak! A reaktanciák egymásnak periodikusan átadják az energiát).

➢ ha ω=0 (DC): az induktivitás miatt rövidzár van (Z=0)

➢ ha ω→∞: a kondenzátor miatt van rövidzár (Z=0)

➢ ha Ф = 90°

Ф = -90°

Ideális soros rezgőkörnél f0-án

Z=0 és I = max

FESZÜLTSÉGREZONANCIA

Ideális párhuzamos rezgőkörnél

f0-án Z = max és I = 0

ÁRAMREZONANCIA

PÁRHUZAMOS REZGŐKÖR - VALÓSÁGOSRezonancia esetén: Z = max így I = min

Zmax= így φ = 0°

(csak hatásos teljesítmény lesz!)

Imin

egyenes arányosság Rv és Q0 között!

➢ ekkor mérhető a tekercsen és a kondin is max. áram

➢ ha ω=0 (DC): az induktivitás miatt rövidzár van (Z→0, I→∞)

➢ ha ω→∞: a kondenzátor miatt van rövidzár (Z→0, I→∞)

➢ ha Ф = 90°

Ф = -90°

Rezonancia esetén:

➢ f0 alatt és felett: alsó (fha) és felső (fhf) határfrekik

➢ Sávszélesség:induktív kapacitív

Rv

PÁRHUZAMOS REZGŐKÖR -VALÓSÁGOS

fordított arányosság

van a sávszélesség

(B) és a jósági

tényező (Q) között

PÁRHUZAMOS REZGŐKÖR -VALÓSÁGOS

A párhuzamos rezgőkör felhasználása frekvencia kiszűrésére

𝑈𝑘𝑖 = 𝑈𝑏𝑒𝑅1

𝑅1+𝑅(rezonancián, R>>𝑅1)

Ha a bemeneti feszültség frekvenciája a rezgőkör rezonancia frekvenciájával egyezik meg, akkor a rezgőkör

impedanciája maximális lesz (majdnem szakadás). Így lezárja a bemeneti jel útját, ezért az f0 frekvenciájú

feszültséget nem engedi a kimenetre. Emiatt a záróhatás miatt ezt az áramköri megoldást zárókörnek nevezzük.

Ha megfordítjuk → az f0 frekvenciájú bemeneti feszültség megjelenik a kimeneten! Alkalmazás például a rádió- és

a televízió vevőkészülékek hangoló áramkörében, amellyel az antennáról beérkező többféle frekvenciájú jel közül

a nekünk megfelelőt tudjuk kiválasztani!

NÉGYPÓLUSOK

NÉGYPÓLUSOK➢ A négypólus pozitív, vagy szabványos mérőirányai:

➢ Ha hálózatból a gerjesztő jelet adó forrást és a vizsgált ágat elhagyjuk, egy kétkapu marad

vissza:

NÉGYPÓLUSOK

➢ A négypólusok csoportosítása:

– Aktív négypólusok: legalább egy aktív áramköri elemet tartalmaznak

– Passzív négypólusok: csak passzív áramköri elemeket tartalmaznak

– Lineáris négypólusok: minden áramköri elemük lineáris

– Nemlineáris négypólusok: tartalmaznak nemlineáris áramköri elemeket is

karakterisztika

NÉGYPÓLUSOK➢ A négypólusok csoportosítása:

– Szimmetrikus négypólusok: kimenetük és bemenetük minden következmény nélkül

felcserélhető (pl.T, π tag)

– Földszimmetrikus négypólusok: bemeneti ezzel egyidejűleg kimeneti kapcsaik minden

következmény nélkül felcserélhetők (pl. trafó)

NÉGYPÓLUSOK➢ A négypólust akkor tekintjük ismertnek, ha a kapcsokon mérhető négy villamos jellemző - két

kapocsfeszültség (U1, U2) , két áram (I1, I2) - közötti összefüggéseket ismerjük

➢ Az összefüggések megadhatók:

➢ algebrai alakban paraméteres egyenletrendszerrel (SZÁMÍTÁS)

➢ grafikusan karakterisztikákkal (MÉRÉSI SOROZAT)

- bemeneti karakterisztika mérése:

Ig2=0 → Ig1 változtat → u1-i1 kapcsolat (+u2 feljegyzése)

Ig2=fix érték → Ig1 változtat → u1-i1 kapcsolat

Ig2 növelése másik fix értékre →…

- kimeneti karakterisztika mérése:

Ig1=0 → Ig2 változtat → u2-i2 kapcsolat (+u1 feljegyzése)

Ig1=fix érték → Ig2 változtat → u2-i2 kapcsolat

Ig1 növelése másik fix értékre →…

kétpólusnál

négypólusnál

NÉGYPÓLUSOK

➢ A négypólusok paraméterei olyan állandók, amelyek segítségével a kimeneti és a bemeneti

jellemzők közötti függvényrendszerek felírhatók. Ezek az egyenletrendszerek a négypólus

karakterisztikus egyenletei.

➢ Egy kétpólushoz hány egyenlet kellett?

➢ Akkor négypólushoz?

➢ Összesen?

➢ A meghatározás első lépése, a négypólus négy jellemzőjéből a két független változó kiválasztása.

Négy jellemzőből kettő kiválasztására hányféle lehetőség adódik???

egy kis valószínűségszámítás

NÉGYPÓLUSOK PARAMÉTEREI

lánc (A)

inverz lánc (B)

/(K)

NÉGYPÓLUSOK PARAMÉTEREINEK MEGHATÁROZÁSA

➢ A meghatározás második lépése a független (I1, I2) és a függő (U1, U2) változók közötti

kapcsolat számítása

➢ Egy négypólust négy paraméterrel illetve négy karakterisztikával lehet megadni.

➢ A paraméterek egyezményes indexelése: mátrix szorzás!!!

➢ bemeneti / bemeneti között 11 index

➢ bemeneti / kimeneti között 12 index

➢ kimeneti / bemeneti között 21 index

➢ kimeneti / kimeneti között 22 index.

NÉGYPÓLUSOK PARAMÉTEREINEK MEGHATÁROZÁSA

➢ Mivel a függő változók (U1, U2), mindkét független változóval (I1, I2) kapcsolatban állnak, ezért

egyidejűleg csak az egyik független változó és a két függő változó kapcsolatát lehet

megállapítani, míg a másik független változót hatástalannak kell tekinteni → Melyik tétel ez???

IMPEDANCIA PARAMÉTEREK MEGHATÁROZÁSA

➢ Az impedancia paraméteres egyenletrendszer segítségével a négypólus be- és kimeneti

feszültségei számíthatók ki, ha ismertek a be- és kimeneti áramok.

Bemeneti impedancia nyitott kimenet esetén [Ω]

Átviteli (transzfer) impedancia nyitott kimenet esetén [Ω]

Átviteli (transzfer) impedancia nyitott bemenet esetén [Ω]

Kimeneti impedancia nyitott bemenet esetén [Ω]

2221212

2121111

IZIZU

IZIZU

+=

+=

=

2

1

2

1

I

IZ

U

U

021

111

==

II

UZ

021

221

==

II

UZ

012

112

==

II

UZ

012

222

==

II

UZ

IMPEDANCIA PARAMÉTEREK MEGHATÁROZÁSA

➢ Ha a négypólus szimmetrikus (kimenete és bemenete felcserélhető):

a négypólus-paraméterek nem változnak, azaz

és

Tehát a szimmetrikus négypólusok jellemzésére két paraméter is elegendő!

2221212

2121111

IZIZU

IZIZU

+=

+=

2221212

2121111

IZIZU

IZIZU

+=

+=

IMPEDANCIA PARAMÉTEREK MEGHATÁROZÁSA

➢ Ha hálózat reciprok, a Generátor és aVoltmérő felcserélhető.

➢ Tehát három paraméter is elegendő! Z12=Z21

2221212

2121111

IZIZU

IZIZU

+=

+=

012

112

==

II

UZ

021

221

==

II

UZ

ADMITTANCIA PARAMÉTEREK MEGHATÁROZÁSA

➢ Az admittancia paraméteres egyenletrendszer segítségével a négypólus be- és kimeneti áramai

számíthatók ki, ha ismertek a be- és kimeneti feszültségek.

Bemeneti admittancia rövidrezárt kimenet esetén [S]

Átviteli (transzfer) admittancia rövidrezárt kimenet esetén [S]

Átviteli (transzfer) admittancia rövidrezárt bemenet esetén [S]

Kimeneti admittancia rövidrezárt bemenet esetén [S]

=

2

1

2

1

U

UY

I

I

HIBRID PARAMÉTEREK MEGHATÁROZÁSA

➢ A hibrid paraméteres egyenletrendszer a négypólus U1 bemeneti feszültségének és I2 kimeneti

áramának meghatározását teszi lehetővé.

Bemeneti impedancia rövidrezárt kimenet esetén [Ω]

Áramerősítési tényező rövidrezárt kimenet esetén [-]

Feszültség visszahatás nyitott bemenet esetén [-]

Kimeneti admittancia nyitott bemenet esetén [S]

=

2

1

2

1

U

IH

I

U

INVERZ HIBRID PARAMÉTEREK MEGHATÁROZÁSA

➢ Az inverz hibrid paraméteres egyenletrendszer a négypólus I1 bemeneti áramának és U2 kimeneti

feszültségének meghatározását teszi lehetővé.

Bemeneti admittancia üresjárási kimenet esetén [S]

Feszültségerősítési tényező üresjárási kimenet esetén [-]

Áramvisszahatás rövidrezárt bemenet esetén [-]

Kimeneti impedancia rövidrezárt bemenet esetén [Ω]

=

2

1

2

1

I

UD

U

I

LÁNCPARAMÉTEREK MEGHATÁROZÁSA

➢ A láncparaméteres egyenletrendszer segítségével a négypólus bemeneti feszültsége és árama

számítható ki, ha ismert a kimeneti feszültség és áram.

A NÉGYPÓLUSOK ÁTVITELE

➢ A négypólusok átvitele valamilyen kimeneti és bemeneti mennyiség viszonyát jellemzi.

➢ Az átvitel azt mutatja, hogy a négypólus hogyan módosítja a bemenetére adott jel értékét.

➢ A bemeneti jel amplitúdó változását a négypólus erősítése határozza meg. A feszültségerősítés (Au) a

kimeneti feszültség és a bemeneti feszültség hányadosa:

➢ Ha a feszültségerősítés egységnyinél kisebb, akkor csillapításról van szó → ez a feszültségcsillapítás:

➢ Az áramerősítés a bemeneti és kimeneti áram nagysága közötti összefüggés:

1

2

u

uAu =

2

11

u

u

Au

=

1

2

i

iAi =

A NÉGYPÓLUSOK ÁTVITELE➢ A feszültség és áramerősítés együttes hatását, a négypólus teljesítményerősítése fejezi ki. A

teljesítményerősítés a kimenő teljesítmény és a bemenő teljesítmény hányadosa:

➢ A műszaki gyakorlatban ezeknek a viszonyszámoknak a logaritmizált értékét használják (ezért fontos,hogy dimenziótlanok!):

➢ az átvitelek természetes alapú logaritmusát alkalmazva az átvitel értéket neper (Np)-ben adja,

➢ tízes alapú logaritmust alkalmazva bel (B)-ben adódik. Mivel azonban a bel túl nagy egység, ezértkényelmesebb tizedrészének használata. Így az átvitelt decibel (dB)-ben számoljuk.

Au Ai

𝐴𝑝 =𝑃2𝑃1

=𝑈2 ⋅ 𝐼2𝑈1 ⋅ 𝐼1

=𝑈2𝑈1

⋅𝐼2𝐼1= 𝐴𝑢 ∗ 𝐴𝑖

A NÉGYPÓLUSOK ÁTVITELE

Feszültségerősítés Au Feszültségcsillapítás 1/Au

Lineáris Logaritmikus Lineáris Logaritmikus

1 0 dB

√2 = 1,41 3 dB 1/√2 = 0,7 -3 dB

2 6 dB 1/2 -6 dB

3,16 10 dB 1/3,16 -10 dB

10 20 dB 1/10 -20dB

31,6 30 dB 1/31,6 -30 dB

100 40 dB 1/100 -40 dB

1000 60 dB 1/1000 -60 dB

8 dB hány szoros erősítést jelent???

A NÉGYPÓLUSOK ÁTVITELE

Határozzuk meg az alábbi négypólus feszültségátvitelét dB-ben!

R1 = 100 ΩR2 = 200 ΩR3 = 300 ΩR4 = 400 Ω

𝐴𝑢 =𝑈𝑘𝑖𝑈𝑏𝑒

PARAMÉTEREK ÁTSZÁMÍTÁSAKarakterisztika P1 P2 P3 P4 P5 P6

Impedancia, Z 1 Z11 Z12 Z21 Z22 ΔZ

Admittancia, Y ΔY Y22 -Y12 -Y21 Y11 1

Hibrid, H H22 ΔH H12 -H21 1 H11

Inverz hibrid, D D11 1 -D12 D21 ΔD D22

Lánc, A A21 A11 ±ΔA 1 ±A22 ±A12

Inverz lánc, B ±B21 ±B22 1 ±ΔB B11 -B12

➢ Pl. H paraméterek ismertek és a Z paraméterek a keresettek:

➢ A keresett paraméternél (Z) megnézem melyik oszlopában van 1, (P1)

➢ Megnézem a P1 oszlopban az ismert paraméternél melyik paraméter van (H22), ez lesz az osztó.

➢ Megnézem, hogy Z11 oszlopában milyen H paraméter van (ΔH), ez lesz az osztandó.

22

22

22

21

21

22

1212

22

11

1,,,

HZ

H

HZ

H

HZ

H

HZ =

−==

=

PARAMÉTEREK ÁTSZÁMÍTÁSA

KIS BETŰ, NAGY BETŰ?➢ A paramétereket jelölhetjük kis és nagy betűvel. Pl.: h → H Miért?

➢ Ha KLI hálózat van → H

➢ Ha nemlineáris→ h

➢ Az U-I karakterisztika nem egyenes → tetszőlegesen kiválasztható egy munkapont.Az U0/I0 hányados azt az R ellenállást határozza meg, mellyel a nemlineáris kétpólusabban a munkapontban egyenáramúlag helyettesíthető (statikus ellenállás)

➢ A független változó a munkapont környezetében történő kicsiny ingadozását afüggő változó a munkaponthoz húzott r érintő mentén követi.

➢ A ΔU/ΔI hányados a kétpólus váltakozó áramú, vagy más néven dinamikusellenállása (r). A Δ változások olyan kicsik, hogy a karakterisztika ebben a rövidszakaszban egyenesnek tekinthető.

➢ A nemlineáris kétpólus egy adott munkapont környezetében, kis változásokravonatkozóan, lineárisnak tekinthető→ lineáris összefüggésekkel számítható.

➢ A nemlineáris kétpólus tehát egy munkaponttal és két adattal, azegyenáramú (R) és a váltakozó áramú (r) ellenállásával adható meg.

NEMLINEÁRIS KÉTKAPU PARAMÉTEREINEK MEGHATÁROZÁSA MÉRÉSSEL

➢ Nemlineáris négypólus esetén a karakterisztikák valamilyen

görbesereget alkotnak

➢ A paraméterek egy kiválasztott munkapontban a görbékhez húzott

érintők meredekségei, azaz a függő és független változók kis

változásra vonatkozó hányadosai.

➢ A paramétereket ebben az esetben kisbetűvel jelöljük.

A nemlineáris négypólus, egy

kiválasztott munkapontban

kisjelű, váltakozó áramú

helyettesítőképpel számítható!

MunkapontMunkapont

NONLINEÁRIS KÉTKAPUK

➢ Az elektronikus hálózatokban gyakori a nonlineáris kétkapu → u1 , i1 , u2 , i2

mennyiségei között a kapcsolatot nonlineáris egyenletek adják meg.

a kétkapu modellezhető ún. vezérelt generátorokkal!

➢ Vezérelt forrás az olyan veszteségmentes kétkapu, amelynek szekunder oldali

feszültsége, ill. árama kizárólag a primer oldal feszültségétől, vagy áramától függ.

➢ A vezérelt források négy típusa:

➢ áramvezérelt feszültségforrás,

➢ feszültségvezérelt áramforrás,

➢ áramvezérelt áramforrás

➢ feszültségvezérelt feszültségforrás

A 21 indexű kivételével valamennyi tag

nulla lesz (U2/I2 csak a primer oldali

feszültségtől/áramtól függ)!

VEZÉRELT FORRÁSOK

VEZÉRELT GENERÁTOROK➢ A vezérelt generátorok olyan Thevenin, vagy Norton generátorok, amelyek forrása

vezérelt forrás impedancia, admittancia, hibrid vagy inverz hibrid paraméterek

írják le, amelyekben az 12 indexű elem azonosan zérus (11 index is lehet 0)

NÉGYPÓLUSOK HELYETTESÍTŐ KÉPEI

Kirchhoff huroktörvény (Ue=U1+U2)! → soros kapcsolás!

Kirchhoff csomóponti törvény (Ie=I1+I2)! → párhuzamos kapcsolás!

Bemeneti feszültség = Valami * bemeneti áram

Ohm törvény (U1=R I1)

ebből a tagból ellenállás kerül az áramkörbe (h11)

Bemeneti feszültség = Valami * kimeneti feszültség

feszültségvezérelt feszültséggenerátor

kerül az áramkörbe (h12U2)

Kimeneti áram = Valami * bemeneti áram

áramvezérelt áramgenerátor

kerül az áramkörbe (h21I1)

Kimeneti áram = Valami * kimeneti feszültség

Ohm törvény (I2=U2/R), így

ebből a tagból ellenállás kerül az áramkörbe (1/h22)

NÉGYPÓLUSOK HELYETTESÍTŐ KÉPEIAz előző gondolatmenetet kell követni!

➢ Ha a kétkapu reciprok (paraméterei teljesítik ennek feltételit), akkor kizárólag passzív

lineáris kétpólusokkal is helyettesíthető (pl.T-tag, π-tag)

➢ Ha a kétkapu NEM reciprok, akkor olyan helyettesítő kapcsolással adható meg, amely

vezérelt forrásokat, vezérelt generátorokat tartalmaz.

NÉGYPÓLUSOK HELYETTESÍTŐ KÉPEI

V I L L A M O S S Á G TA N I I .2 . R É S Z

S O M O G Y I N É D R . M O L N Á R J U D I T

NÉGYPÓLUSOK ÁTVITELI FÜGGVÉNYE➢ A feszültségerősítés (Au) a kimeneti feszültség és a bemeneti feszültség hányadosa.

➢ A szinuszos áramú hálózatok vizsgálatánál gyakran alkalmazunk különböző komplex átviteli

függvényeket, mert

➢ a gerjesztés szinuszos és 𝒁𝑳 = 𝒋𝝎𝑳, 𝒁𝑪 =𝟏

𝒋𝝎𝑪frekvenciafüggő lesz az átviteli függvény

➢ Feszültségátviteli függvény: 𝑾(𝒋𝝎) =𝑼𝟐

𝑼𝟏a változónk a 𝒋𝝎 lesz!!!

1

2

u

uAu =

NÉGYPÓLUSOK ÁTVITELI FÜGGVÉNYE

➢ Ebből mit látunk? Mit csinál az áramkör, hogy viselkedik?

Nyquist diagram

➢ Ábrázoljuk!

Bode diagram

𝑾 𝒋𝝎 =𝑼𝟐

𝑼𝟏=

𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎

𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎=

𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒋𝝎 𝟏 + 𝒂𝟐 𝒋𝝎 𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏 𝒋𝝎 𝒏

𝒃𝟎 + 𝒃𝟏 𝒋𝝎 𝟏 + 𝒃𝟐 𝒋𝝎 𝟐 + ⋯ + 𝒃𝒎 𝒋𝝎 𝒎

NYQUIST DIAGRAM – SOROS RL➢ Ábrázoljuk az impedanicát a komplex számsíkon!

➢ A fazorábrán a vektor végpontja a körfreki függvényében a

képzetes tengellyel párhuzamos félegyenesen mozog

lineáris skála

készíthető

ҧ𝑍(𝑗𝜔) = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿

NYQUIST DIAGRAM –SOROS RL➢ A feszültségátviteli függvényt is a komplex síkon ábrázoljuk!

➢ Megrajzolása pontonkénti ábrázolás útján oldható meg.

➢ Egyenáram esetén (𝝎 = 𝟎)

➢ Ha 𝝎 = ∞

➢ Ha 𝝎 = 𝝎𝟎 =𝑹

𝑳

0+0j

1+0j

0,5+0,5j

NYQUIST DIAGRAM – SOROS RL➢ Megrajzolása:

𝝎 = 𝟎 0+0j

𝝎 = ∞ 1+0j

𝝎 = 𝝎𝟎 0,5+0,5j

Ki- és bemeneti feszültség megegyezik.Teljes átvitel van!Φ = 0°

A kimeneti feszültség nagysága csökken, ha a frekvencia csökken.Csillapítás van ésΦ→ 90°

A kimeneti feszültség nulla, a kimeneten semmi sem jelenik meg (mindent csillapít a kapcsolás)

fázistolás szöge

NYQUIST DIAGRAM – SOROS RLC

NYQUIST DIAGRAM –SOROS RC➢ Megrajzolása pontonként:

➢ Egyenáram esetén (𝝎 = 𝟎)

➢ Ha 𝝎 = ∞

➢ Ha 𝝎 = 𝝎𝟎 =𝟏

𝑪𝑹

1+0j

0+0j

0,5-0,5j

NYQUIST DIAGRAM – SOROS RC➢ Megrajzolása:

𝝎 = 𝟎 1+0j

𝝎 = ∞ 0+0j

𝝎 = 𝝎𝟎 0,5-0,5j

Nehézkes a leolvasás! Paraméterskála kell hozzá.Bonyolultabb függvények esetén a helygörbét már nem ilyen egyszerű ábrázolni!Az amplitúdót és fázisszöget célszerű lenne külön diagramban ábrázolni!

Ki- és bemeneti feszültség megegyezik.Teljes átvitel van!Φ = 0°

A kimeneti feszültség nagysága csökken, ha a frekvencia nő.Csillapítás van ésΦ→ - 90° !

A kimeneti feszültség nulla, a kimeneten semmi sem jelenik meg (mindent csillapít a kapcsolás)

kimeneti feszültség nagysága = amplitúdó

fázistolás szöge

BODE DIAGRAM

𝑾 𝒋𝝎 =𝑼𝟐

𝑼𝟏=

𝑼𝟐 𝒆𝒋𝝋𝟐

𝑼𝟏 𝒆𝒋𝝋𝟏=

𝑼𝟐

𝑼𝟏𝒆𝒋(𝝋𝟐−𝝋𝟏)

𝑾 𝒋𝝎 = 𝑾𝒆𝒋𝝋

Kimenő jel hányszorosa a bemenő

jelnek, azaz mennyit erősít/csillapít

Kimenő jel fázisa hányszorosa a

bemenő jelnek, azaz mennyi a

fázistolás

2 része lesz:➢ amplitúdó diagram➢ fázisdiagram

➢ Ezt hogyan ábrázoljuk?

➢ Emlékeztetőül: 𝟐𝟎 𝐥𝐠 𝑾 ábrázolása a cél!

BODE DIAGRAM

➢ 𝟐𝟎 𝐥𝐠 𝑾 = 𝟐𝟎𝒍𝒈𝑼𝟐

𝑼𝟏

W

W

W

W

BODE DIAGRAM

➢ 𝟐𝟎 𝐥𝐠 𝑾 logaritmikus lépték lesz!

előnye: nagy, több nagyságrendet átfogó

tartományok ábrázolását teszi lehetővé

A három pont az lg tengelyen egységnyi távolságra van DEKÁD (*10 ; /10)

BODE DIAGRAM SKÁLÁZÁSAA [dB]

φ[fok]

lgω [rad/s]

lgω [rad/s]

100 101 102 103 104

amplitúdó diagram

fázisdiagram

10 egész kitevőjű hatványai

10 egész kitevőjű hatványai

100 101 102 103 104

BODE DIAGRAM

𝑷 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒙𝒏 =

𝒊=𝟎

𝒏

𝒂𝒊𝒙𝒊 = 𝒂𝒏 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟐 … 𝒙 − 𝒙𝒏

= 𝒂𝒏 ෑ

𝒋=𝟏

𝒏

𝒙 − 𝒙𝒋 𝒂𝒉𝒐𝒍 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 𝒂 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎 𝒈𝒚ö𝒌𝒆𝒊

➢ logaritmikus lépték másik előnye:

𝑾 𝒋𝝎 =𝑼𝟐

𝑼𝟏=

𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎

𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎=

𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒋𝝎 𝟏 + 𝒂𝟐 𝒋𝝎 𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏 𝒋𝝎 𝒏

𝒃 + 𝒃𝟏 𝒋𝝎 𝟏 + 𝒃𝟐 𝒋𝝎 𝟐 + ⋯ + 𝒃𝒎 𝒋𝝎 𝒎=

𝑷 𝒋𝝎

𝑸 𝒋𝝎

gyöktényezős alak

➢ A logaritmus függvény mit csinál a szorzásból és osztásból?

A vizsgált függvény több függvény szorzataként állítható elő!

BODE DIAGRAM – ALAPESETEK➢ Négy alapesete lesz:

➢ Konstans (nem függ a frekvenciától) K

➢ Elsőfokú frekvencia-függvények

➢ Másodfokú frekvencia-függvény

𝑗𝜔

𝜔0

1 +𝑗𝜔

𝜔0

𝑗𝜔

𝜔0

2

+1

𝑄

𝑗𝜔

𝜔0+ 1

BODE DIAGRAM – SOROS RC

ഥ𝑊

20𝑙𝑔 ഥ𝑊 =

BODE DIAGRAM – SOROS RC (AMP.)

20𝑙𝑔 ഥ𝑊 =

➢ Ha 𝝎 ≪ 𝝎𝟎 − 10𝑙𝑔1 = 0 0 dB-es tengely

➢ Ha 𝝎 ≫ 𝝎𝟎 +1 𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎𝑔𝑜𝑙ℎ𝑎𝑡ó − 20𝑙𝑔𝜔

𝜔0= −𝟐𝟎𝒍𝒈𝝎 − 𝟐𝟎𝒍𝒈

𝟏

𝝎𝟎

-20 dB/dekád meredekségű egyenes

➢ Ha 𝝎 = 𝝎𝟎 az egyenes metszi a 0 dB-es tengelyt

≈m*x+b egyenes egyenlete

(𝝎 minden tízszeres értékére

az átvitel 20dB-el csökken)

BODE DIAGRAM – SOROS RC (AMP.)

20𝑙𝑔 ഥ𝑊 =

➢ ha 𝝎 = 𝝎𝟎 akkor -3 dB lesz!

W

,

Törtvonalas közelítés

Tényleges függvény

BODE DIAGRAM – SOROS RC (FÁZIS)

ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

➢ ha 𝝎 ≪ 𝝎𝟎 1+0j→ 0°

➢ ha 𝝎 = 𝝎𝟎 1+1j→ 45°

➢ ha 𝝎 ≫ 𝝎𝟎 1+(„sok”)j ~ („sok”)j → 90°

De itt a nevezőben van a függvény!→ (-1) HATVÁNY→ 0°; -45°,-90°

X

X

X

BODE DIAGRAM – SOROS RC (AMP.)➢ ha 𝝎 = 𝝎𝟎 → a függvénynek inflexiós pontja

van! → számítsuk ki az ehhez tartozó érintő

meredekségét → differenciálhányados

BODE DIAGRAM – SOROS RC (AMP.)

Törtvonalas közelítés

Tényleges függvény

A töréspontok a törésponti körfrekvenciára szimmetrikusan ±2/3 D távolságban helyezkednek el!

12,13°

-11,8°

BODE DIAGRAM- SOROS RC

BODE DIAGRAM

12,13°

-11,8°

Ha a normálalak:

BODE DIAGRAM – SOROS RL

Az ábrázolandó függvény 2 tagból áll!

BODE DIAGRAM – SOROS RL

ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

20𝑙𝑔 ഥ𝑊 = 20𝑙𝑔𝜔

𝜔0= 𝟐𝟎𝒍𝒈𝝎 + 𝟐𝟎𝒍𝒈

𝟏

𝝎𝟎

➢ ha 𝝎 = 𝝎𝟎 az egyenes metszi a 0 dB-es tengelyt

➢ A fázis pedig konstans +90° lesz!

20dB/D

meredekségű

egyenes

BODE DIAGRAM – SOROS RLഥ𝑊(𝑗𝜔)=

𝝎𝟎20𝑙𝑔 ഥ𝑊 = 20𝑙𝑔𝜔

𝜔0

𝑛= 20 ∗ 𝑛 𝑙𝑔

𝜔

𝜔0

BODE DIAGRAM – SOROS RL (AMP.)

BODE DIAGRAM – SOROS RL (FÁZIS)

BODE DIAGRAM➢ A legegyszerűbb tag a konstans lesz (nem függ a frekvenciától)

➢ Pl.𝑹𝟐

𝑹𝟏+𝑹𝟐ez egy konkrét érték!

➢ A fázis pedig konstans 0° lesz!

K

BODE DIAGRAM - ÖSSZEFOGLALÁS

𝑗𝜔

𝜔0

𝐾

1

𝑗𝜔𝜔0

𝝎𝟎 𝝎𝟎

BODE DIAGRAM - ÖSSZEFOGLALÁS

1 +𝑗𝜔

𝜔0

1

1 +𝑗𝜔𝜔0

1 +𝑗𝜔

𝜔0

1

1 +𝑗𝜔𝜔0

𝝎𝟎 𝝎𝟎

20 dB/D

-20 dB/D

66°/D

-66°/D0,21ω0

0,21ω0

4,65ω0

4,65ω0

𝝎𝟎

𝝎𝟎X

X

X

X

X

X

BODE DIAGRAM – PÉLDA 1

ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

BODE DIAGRAM – PÉLDA 1

A legnagyobb fázistolás

a két töréspont között jön létre!

Törtvonalas közelítéssel

maximális fáziseltérés körfrekvenciája (𝝎𝒎 = 𝝎𝟏𝝎𝟐 )

X

X

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAG

➢ Mi van, ha két energiatároló elemet tartalmaz a kapcsolás?

➢ Az átviteli függvényben a körfrekvencia második hatványát tartalmazó kifejezés is

fellép!

ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

𝛼 =𝑅

2𝐿csillapítási tényező

𝜔0 =1

𝐿𝐶csillapítatlan körfrekvencia 𝛼

𝝎𝟎 =𝟏

𝑳𝑪

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAG

➢ Három eset lehetséges:

➢ 𝛼 > 𝜔0 két valós gyök lesz, a kifejezés felbontható elsőfokú kifejezések szorzatára

(D>0)

➢ 𝛼 = 𝜔0 egy valós, de kétszeres gyök lesz

(D=0)

➢ 𝛼 < 𝜔0 komplex konjugált gyökpár lesz, a kifejezés NEM felbontható elsőfokú

(D<0) kifejezések szorzatára

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAGELSŐ ESET (D>0)

ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

A két töréspont 𝝎𝟎-ra

szimmetrikusan helyezkedik el!

Ha 𝛼 >> 𝜔0 a két gyök távol van egymástól!

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAGELSŐ ESET (D>0)

A fázis karakterisztika 0° és -180° között változik!

𝜔 = 𝜔0 esetén a fázis -90° és -132°/D a meredekség!

𝑊

Két elsőfokú kifejezés összegzése!

ഥ𝑊(𝜔0)=

Ha 𝛼 >> 𝜔0 → 𝜔0-nál a meredekség nulla!

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAGMÁSODIK ESET (D=0)

A két gyök egybeesik!ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAGHARMADIK ESET (D<0)

relatív csillapítási tényező

ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

𝝎𝟎 =𝟏

𝑳𝑪

𝛼

ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAGHARMADIK ESET (D<0)

ഥ𝑊 𝑗𝜔 =1

𝑗𝜔𝜔0

2

+ 2𝜉𝑗𝜔𝜔0

+ 1

=1

𝑗𝜔𝜔0

2

+1𝑄

𝑗𝜔𝜔0

+ 1

2𝜉 =1

𝑄

𝑗𝜔 1,2 =

−1𝑄

±1

𝑄2 − 4

2𝐷 =

1

𝑄2− 4 < 0

1

𝑄<2

1

2<Q

Csak ebben az

esetben lesznek

komplex gyökök!

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAGHARMADIK ESET (D<0)

ഥ𝑊 𝑗𝜔 =1

𝑗𝜔𝜔0

2

+ 2𝜉𝑗𝜔𝜔0

+ 1

=1

𝑗𝜔𝜔0

2

+1𝑄

𝑗𝜔𝜔0

+ 1

➢ ha 𝝎 ≪ 𝝎𝟎 20lg1=0→ 0 dB-es tengely és 0°

➢ Ha 𝝎 = 𝝎𝟎 𝑗2 +1

𝑄𝑗 + 1 =

1

𝑄𝑗 ⟹ 20lg

1

Q= → amplitúdó limit: 20lg2=6 dB és 90°

➢ Ha 𝝎 ≫ 𝝎𝟎𝑗𝜔

𝜔0

2dominál → 40dB/D (𝝎𝟎-nál metszi a tengelyt) és 180°

2𝜉 =1

𝑄

1

𝑄<2

De itt a nevezőben van a függvény→ (-1) HATVÁNY→ tükrözés az 𝝎 tengelyre!

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAGHARMADIK ESET (D<0)

➢ Jelen esetben ha 𝝎 = 𝝎𝟎 → 20lg1

Q

−1= −20𝑙𝑔2𝜉 2𝜉 =

1

𝑄

1

𝑄<2

Az erősítés értéke 𝝎 = 𝝎𝟎 esetén függ a relatív csillapítási tényezőtől!

ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

ഥ𝑊(𝑗𝜔)=

Soros rezonancia van (kondi

kapcsain nagyobb U lép fel,

mint a bemeneti U).

Hogyan idézhető elő?

R csökkentésével (α↓ 𝝎𝟎 nem változik)

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAGHARMADIK ESET (D<0)

𝝎 = 𝝎𝟎 esetén az inflexiós ponthoz húzott érintő meredeksége függ a relatív csillapítástól

Meredeksége: −132

𝝃

𝒇𝒐𝒌

𝒅𝒆𝒌á𝒅

1

𝑄<2

𝜉 < 1

2𝜉 =1

𝑄

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAGHARMADIK ESET (D<0)

I

D

E

Á

L

I

S

E

S

E

T

B

E

N

∞

1

2<Q

BODE DIAGRAM – MÁSODFOKÚ TAGHARMADIK ESET (D<0)

R csökkentésével soros rezgőkör alakul ki!

BODE DIAGRAM – PÉLDA 2

ഥ𝑊 𝑗𝜔 =

BODE DIAGRAM – PÉLDA 2

sávszélességfha

fhf

45°

-45°

X

X

101 102 103 104 105

101 102 103 104 105