Задворный б.в. (минск) от идеи к исследованию

LOGO

Заместитель декана ФПМИ БГУ по

профориентации и дополнительному образованию,

директор конкурса БелЮниор

Б.В. Задворный

Система поиска и дополнительного образования будущих ученых и ее реализация в системе интеллектуальных мероприятий:

От идеи к исследованиюОт идеи к исследованию

5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс 1 курс

2 курс

3 курс

4 курс

Постоянно действую-щие

мероприя-тия

Школы юных математиков и информатиков: Очная форма обученияи школа юного ученого Постоянно действующие сборы !!! Очно-заочная форма обучения и дистанционное обучение

Дополнительные спецкурсы, семинары для студентов

Научный (проблемный) семинар школьников ← педагогический практикум на учебных сборах и пр.

Дополнительная работа с одаренными школьниками по подготовке к различным этапам республиканских и международных турниров и конференций

С участием студентов

Работа с учителями и преподавателями вузов (научно-исследовательский и методический семинар для учителей математики, организация семинаров, курсов совместно с МГИРО, АПО и т.д.)

Педагогическая практика студентов

Договора и сотрудничество с учреждениями образования Министерства образования, другими учреждениями (более 40 договоров о сотрудничестве, в том числе международных)

Участие студентов в

Циклическая системаосновныхинтеллек-ту-альныхмероприятий

Дополнительные интеллектуальные мероприятия и сроки их проведения

Октябрь и

февраль-март

Международный математический Турнир городов(совместно с Комитетом по образованию Мингорисполкома)

← в работе жюри Турнира городов

Декабрь→ XII открытый республиканский турнир юных математиков

6-11 декабря 2010 г.

← в составлении задач, работе жюри, подготовке

команд

Конец февраля

→

Республиканская научная конференция школьников и конкурс БелЮниор (25-27 февраля 2011 г.)

← в руководстве докладами и в жюри конференции

Примечание. По существу мы участвуем и на этапе Минская городская конференции и др. -- « » --

Февраль – апрель

XX (юбилейная) олимпиада ФПМИ (творческая (научно-исследовательская) олимпиада по математике для учащихся 7-10 классов)

← в составлении задач и работе жюри

Апрель – май III международный турнир юных математиков

(предварительные сроки 30 июня – 6 июля 2011 г.)

← в работе жюри

Июль XVI республиканская летняя научно-исследовательская школа (предварительные сроки 13 – 30 июля 2011 г.)

← участие студентов в летней школе как научных

руководителей

РеспубликанскРеспубликанскиеие и международные и международные научные научные конференциконференциии учащихсяучащихся

Путь от идеи к исследованию

ЭТАПЫ:1. Исходная (начальная) постановка задачи

1.1. Общая постановка (идеи, развивающие исходную задачу)

1.2. Возможные модели (математические и другие описакния,

переформулировки, понятия, …) 2.1. Возможные методы исследования 2.2. Литература

3. Собственно процесс исследования

4. Представление результатов (защита, приложения)

Исследовательская работапо теме:

«Переливания 1. Классическая задача о переливаниях»

Работу выполнил:Розенберг Максим

Ученик 8 «Д» классаСредней школы № 41

г. Минска

«СОК Бригантина-2010»

Введение Исходная постановка: даны

сосуды объемом 3 и 5 литров. Можно ли при помощи этих сосудов набрать 4 литра воды?

А 2 литра? 1 литр?

Общая постановка: 1) даны сосуды объемом а и b литров. Найти все значения с литров, которые можно налить при помощи этих сосудов (т.е. найти множество {c таких, что …}).

3 50303110303220300

0033501144502250

Введение Общая постановка: 2) как

получить заданное значение с литров (алгоритм)?

3) как быстрее получить заданное значение с литров (оптимальность)?

3 50303110303220300

0033501144502250

Основные понятия, определения и обозначения

• Система сосудов [a;b]• Состояние системы (l;m)• Элементарная операция• Цикл• Длина цикла• Миницикл• Длина миницикла• Структура цикла

5 70505330511050544

0055703370116670

05220500

44702270

Основные методы исследования

• Табличный• Геометрический

(графический)• Теория чисел (диофантовы

уравнения, числовые функции)

• Алгебра (кольцо целых чисел)

5 70505330511050544

0055703370116670

05220500

44702270

Основные методы исследования

• Табличный• Геометрический

(графический)• Теория чисел

(диофантовы уравнения, числовые функции)

• Алгебра (кольцо целых чисел)

(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0)

(0,1)

(0,2)

(0,3)

(0,4)

(0,5)

0,0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

1. Как переливать! При переливаниях с сосудами a и

b имеют смысл лишь постоянные последовательные переливания из сосуда a в сосуд b, а не «комбинированные» переливания, т.е. такие, когда несколько раз переливаем из одного сосуда во второй, а потом из второго в первый - смысла не имеют.

Результаты

5 70505330511050544

0055703370116670

05220500

44702270

НОД(a; b) = 1

Иначе, если a = sd и b = fd,

то с обязательно кратно d

Результаты

2. Какие объемы сосудов имеет

смысл рассматривать?

Если НОД(a; b) = 1, то можно получить

любое значение с литров, где 0 < с < b.

Примечание. Случаи с = 0, с = а, с = b, очевидны и здесь не рассматриваются.

Идея: При любых с, существуют такие x и y, что ax-by=с

Результаты

3. Какое кол-во литров можно

получить при данных 2-ух объемах?

2(a+b)-1 - число состояний

2(a+b)-2 - число элементарных операций (переливаний)

5. Как определить кол-во минициклов?

b и a

Результаты

4. Какова длина всего цикла?5 70505330511050544

0055703370116670

05220500

44702270

6. Как определить точное минимальное кол-во операций до искомого кол-ва литров?

Гипотеза: использовать структуру цикла

Структура цикла:А В: [2, 4, 4, 2, 4, 4, 2]

В А: [4, 4, 6, 4, 4]

(Как получить и как использовать?)

Результаты

5 70505330511050544

0055703370116670

05220500

44702270

6. Как определить точное минимальное кол-во операций до искомого кол-ва литров?

1) ax-by=c 2) 2(x+y)+1 c>a «сверху»

2(x+y)-1 c<a «сверху»

2(a+b-x-y)-1 «снизу»

Результаты5 70505330511050544

0055703370116670

05220500

44702270

РезультатыТаблица. Точное минимальное кол-во операций до искомого кол-ва литров?

С А В В А SНомер

состоянияЧисло

перели-ваний

Через решения уравнения ax – by = c

c < a2(x + y)– 1

a < c < b2(x + y)+ 1

c < a2(x + y)– 2a < c < b2(x + y)

c a2(a + b – x – y) – 1

номер состояния

2(a + b – x – y) – 2число переливаний

2(a + b) – 2

2(a + b) – 4

Через решения уравнения bt – as = c

2(t [b/a]+ s) – 1 2(t [b/a]+ s) – 2

7. Какова структура цикла?• А В

K = 1,2,…,b: 2([ak/b]-[a(k-1)/b])+2, т.е. [2, 4, 4, 2, 4, 4, 2]

• В А

K = 1,2,…,a: 2([bk/a]-[b(k-1)/a])+2,

т.е. [4, 4, 6, 4, 4]

Результаты

Итоги

Полностью исследован случай двух сосудов

Дальнейшие задачи Исследовать замкнутую систему 3-ех

сосудов Исследовать не замкнутую систему 3-ех

сосудов Исследовать n-мерную систему сосудов

Дальнейшие задачи

Исследовать замкнутую систему 3-ех сосудов

Цикл (5, 7, 11)

0,0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

•

•••

••

5 70504220500

0055702270

99440077224

Цикл (5, 7, 9)

••

• •

•

•• • •

?? ?

?

?

? ?

?

?

Дальнейшие задачи Исследовать замкнутую систему 3-ех

cосудов

Цикл (5, 7, 8)

5 705031105021

00557011667

883300772200

Дальнейшие задачи Исследовать замкнутую систему 3-ех

сосудов

23

«Разрезания фигур на различные прямоугольники»

Выполняли: Тропников Юрий, СШ №41 г. Минска,

Ярошевич Яна, СШ №41 г. Минска,

Тумилович Анастасия, гимназия г. Марьина Горка,

Хмарук Елена, СШ №1 г. Несвижа,

Кусок Екатерина, Лицей БГУ,

Карачун Анастасия, гимназия г. Несвижа.

Руководители: Задворный Борис Валентинович,

Мурашко Егор Сергеевич

1.Условие задачи (начальное)Можно ли целиком разрезать доску 10х10 на

прямоугольники 1х4?

Условие задачи (исследовательское)

1.В зависимости от размера произвольной прямоугольной доски m x n найти возможные остатки разрезания ее на «доминошки»: а) 1*5; б) 1*l, где l – произвольное число;

2.Ввести понятие эквивалентности для разрезания различных досок; исследовать классы эквивалентности; найти минимальные представители классов и способ их разрезания

24

2.1. Решение начальной задачиВ данном случае мы разрезаем доску размерами

10х10 на доминошки размерами 1х4. - 26 шт.

- 25 шт.

- 24 шт.- 25 шт.

1.Чтобы целиком заполнить доску, нам бы понадобилось 25 полосок, но через раскраску мы доказали, что максимум доминошек будет 24, поскольку в каждой доминошке клетки должны быть разных цветов, а здесь видно, что количество синих клеток меньше, чем остальных. 25

2.1. Решение задачи2. А теперь мы

покажем, что указанное число 24 достигается

26

2.2 Исследование задачи

Для удобства введём следующие обозначения:

Прямоугольник - который нужно разрезать: П=(m,n) либо n*m.

Доминошки – прямоугольники размером L=(1,l) или 1*l, которыми заполняется таблица.

Мультидоминошки - прямоугольники размером M=(k,l) или k*l, которыми заполняется таблица.

27

28

Введём определения:

Минимальный остаток (m, n) –

минимальное количество клеток,

которое может остаться при разрезании

П=(m, n) на L=(1, l)

(количественная характеристика).

Правильный остаток (R(a, b),

где a и b - стороны прямоугольника)

для П=(m, n) и L=(1, l) –

минимальный остаток, клетки которого

расположены в виде прямоугольника.

Прямоугольники П1=(m1, n1) и П2 =(m2, n2) назовём эквивалентными при разрезании на мультидоминошки k*l, если существуют правильные разрезания этих прямоугольников, дающие одинаковые остатки.

Таким образом, мы ввели отношение эквивалентности на множестве прямоугольников.

Свойства отношения эквивалентности:

1.П~П;

2.П~ П1 П1~П;

3.П~ П1 и П1 ~ П2 П ~ П2.

29

Для каждого правильного остатка R=(a, b) всегда можно выделить множество эквивалентных между собой прямоугольников.

Класс эквивалентности – множество эквивалентных между собой прямоугольников, которые задаются правильным остатком.

Минимальный представитель класса эквивалентности – исходная таблица (m0,n0), где m0=l*1+r1, n0=l*1+r2, где r1, r2 < l, r1, r2 N

Класс эквивалентности при разрезании на «доминошки» L=(1*l) будем обозначать К(a, b).

30

Способ сведения к минимальному представителю класса эквивалентности и наоборот от минимального представителя к любому прямоугольнику, являющимся эквивалентным ему: к минимальному представителю класса эквивалентности прибавляем к его сторонам длиной m0 и(или) n0 прямоугольники (m0,l) или (n0,l) таким образом, чтобы образовывались новые прямоугольники, которые будут эквивалентными исходному (и между собой).

31

Разрезание прямоугольника П=(m, n) на L=(1, l), при котором получается правильный остаток, назовём правильным.

Утверждение. Для любого П=(m, n) всегда существует соответствующее правильное разрезание.

Правильное разрезание →

32

Варианты остатков при разрезании доски m*n на «доминошки» 1*5:

Квадрат 1х1; Прямоугольник 1х4;

Прямоугольник 1х2; Прямоугольник 2х4;

Прямоугольник 1х3;

Квадрат 2х2; Прямоугольник 3х4;

Прямоугольник 2х3;

Квадрат 3х3; Квадрат 4х4;

33

Минимальный остаток

Правильный остаток Размеры таблицы Минимальный представитель класса

Способ разрезания

0 R=(0,0) m=5p и (или) n=5q 1*5 «зонами»

1 R=(1,1) (5p+1)×(5q+1); p, q N0 6*6 «зонами»

(5p+4)×(5q+4); p, q N 9*9 «по кругу»

2 R=(1,2) (5p+1)×(5q+2); p, q N0 6*7 «зонами»

(5p+3)×(5q+4); p, q N 8*9 «по кругу»

3 R=(1,3) (5p+1)×(5q+3); p, q N0 6*8 «зонами»

(5p+2)×(5q+4); p, q N 7*9 «по кругу»

4 R=(1,4) (5p+1)×(5q+4); p, q N0 6*9 «зонами»«по кругу»

R=(2,2) (5p+2)×(5q+2); p, q N0 7*7 «зонами»

(5p+3)×(5q+3); p, q N 8*8 «по кругу»

6 R=(2,3) (5p+2)×(5q+3); p, q N0 7*8 «зонами»«по кругу»

8 R=(2,4) (5p+2)×(5q+4); p=0 и (или) q=0 2*4 «зонами»

9 R= (3,3) (5p+3)×(5q+3); p=0 и (или) q=0 3*3 «зонами»

12 R=(3,4) (5p+3)×(5q+4); p=0 и (или) q=0 3*4 «зонами»

16 R=(4,4) (5p+4)×(5q+4); p=0 и (или) q=0 4*4 «зонами»

34

Минимальный остаток

Правильный остаток

Размеры таблицы Минимальный представитель

класса

Способ разрезани

я

0 R=(0,0) m=lp и (или) n=lq 1*l «зонами»

1 R=(1,1) (lp+1)×(lq+1); p, q N0 (l+1)*(l+1) «зонами»

(lp+(l-1))×(lq+(l-1)); p, q N (2l-1)*(2l-1) «по кругу»

2 R=(1,2) (lp+1)×(lq+2); p, q N0 (l+1)*(l+2) «зонами»

(lp+(l-1))×(lq+(l-2)); p, q N (2l-1)*(2l-2) «по кругу»

4 R=(1,4) … ... …

R=(2,2) (lp+2)×(lq+2); p, q N0 (l+2)*(l+2) «зонами»

(lp+(l-2))×(lq+(l-2)); p, q N (2l-2)*(2l-2) «по кругу»

… … ... … …

a*(l-a) R=(a,l-a) (lp+a)x(lp+l-a); p, q N0 (l+1)*(2l+1) «зонами»«по кругу»

l-1 R=(1,l-1) (lp+1)×(lq+(l-1)); p, q N0 (l+1)*(2l+1) «зонами»«по кругу»

2l-2 R=(2,l-1) (lp+2)×(lq+(l-1)); p=0 и (или) q=0 2*(l-1) «зонами»

… … … … …

(l-1)2 R=(l-1,l-1) (lp+(l-1))×(lq+(l-1)); p=0 и (или) q=0

(l-1)*(l-1) «зонами»

35

3. Перспективы исследования

1.Исследовать случаи 2*l, 3*l, 4*l, k*l;2.Ввести эквивалентность для разрезания

прямоугольников и разработать максимально оптимальный алгоритм для доски m*n и доминошки k*l;

3.Рассмотреть случаи для разрезания других фигур (не только прямоугольников) .

36

},...,3,2,1{ TNT

1sA 2

sA

...,,~ 21

sss AAA

Ts

3sA

Definitions and notations

1sA 2

sA

...,,~ 21

sss AAA

3sA

mAiaia

s

,...,min11

mAiaia

s

,...,min12

mAiaia

s

,...,min13

msAsA iaiaia ,...,,minmax21

~

2,5,4 mTs

Example

5,3,2,124 A

}5,4,3,2,1{5 N

4,3,2,114 A 5,4,2,13

4 A

5,4,3,144 A 5,4,3,25

4 A

54

44

34

24

144 ,,,,

~AAAAAA

2min211

4

iaiaA

4,minmax2144

~

iaiaAA

5,3,2,124 A 4,3,2,11

4 A 5,4,2,134 A

5,4,3,144 A 5,4,3,25

4 A

54

44

34

24

144 ,,,,

~AAAAAA

2min212

4

iaiaA

2min213

4

iaiaA

3min214

4

iaiaA

4min215

4

iaiaA

Theorem 1

Suppose Taaa s ...21 is a finite sequence

of positive integers. Then

1

46,min

21

Tiaia

sA .

(Here is: T = 2s, m = 2, s 4)

The generalization

If mCs , where mC is some constant

of the variable m, 2

Ts , then the following is realized:

1

22,...,1,222,...,1,12,...,,minmax

21~ mmm

Tmmmm

ia

ia

ia

mAA ss .

As the constant we can take

22,...,1,12 mmmmmC .

T4

Conclusions

The first problem has been fully solved for various s and for m = 2 also, it has been fully solved for any m and T = 2s for the second problem the interesting algorithm is obtained The received results have theoretical sense and can be applied to various problems of Number Theory. In particular they concern problems B24 and E2 from [2].

Bibliography

Collected Tasks of Mathematics from “American Mathematical Monthly”, edited by V.M. Alekseev, URSS, Moscow, 2004 (translated from “The Otto Dunkel Memorial Problem Book”, AMM, 64, № 7, part II, 1957).

Unsolved Problems in Number Theory, Richard K. Gay, Third Edition, Springer, 2004 (in Series “Problem Books in Mathematics”, edited by K.A. Bencsath, P.R. Halmos).

1

2

LOGO«ЮНИ-центр-XXI» (Центр профориентационной

работы и дополнительного образования)Комн. 259, ФПМИ, БГУ, пр. Независимости, 4,

220030, г. Минск, Телефон: (+375) (0) 17-209-50-70

Факс: (+375) (0) 17-209-54-05

uni-centre@bsu.byhttp://www.uni.bsu.by