الإتصال وسلوك طرفي الدالة

االتصال البياني التمثيل طرفي وسلوك

والنهايات

3-1

المفرداتواآلن :

القلبنبضة الموجات المستعرضة

وموجات الضوء مثلالماء

الجسور

الدوال أنواع

معرفه

موجودة غير النهايةالنهايةموجودة

معرفه غير

Lim f(c) = f(c)

الدالة متصلة

Lim f(c) ≠ f(c)

نقطي اتصال عدم

من النهايةتساوي ال اليمين

من النهايةاليسار

قفزي اتصال عدم

غير النهايةموجودة

النهاية موجودة

عدم اتصال نقطي

اتصال عدمالنهائي

االتصال عدموعدم القفزي

االتصال الالنهائيقابل غير اتصال عدمالدالة قيم ألن لإلزالة

مختلفة قيم من تقتربعدم نقطة يمين إلى

أو ، يسارها وإلى االتصالتقترب ال الدالة قيم أن

هذه عند محددة قيمة منأو تزداد أي ، النقطة

حدود . بال تتناقص

االتصال عدمالنقطي

قابل اتصال عدمإعادة يمكن ألنه لإلزالة

لتصبح الدالة تعريفالنقطة تلك عند متصلة

.

اختباراالتصال

: مثالاالتصال شروط من تحقق

الثالثة

f(2) = 2(2)2 – 3(2) – 1 = 8 – 6 – 1

R ∍ = 1

معرفة الدالة أن أيx=2عند

21

أن و بما f(2) =1

أن نستنتج

عند متصلة الدالة x = 2إذن

صــــــ فهمك من ـــــــــ 29 تحقق(1A):

االتصال شروط من تحققالثالثة ؟ f(0)هل( 1 موجودة

f(0) = 03

= 0 ∍ R

معرفة الدالة أن أيx= 0عند

؟ موجودة 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

𝒇 (𝒙 هل(قيم يبين Iجدوال من 0من xتقترب عندما f(x)كون

واليمين 5. 0اليسار 0.05 0.005 0 -0.005 -0.05 -0 .5 x

0.125 0.000125 0.000000125 0 -0.000000125 -0.000125 -0 .125 f(x)

قيم تقترب عندما أنه الجدول قيمة , 0من xيبين فإن واليمين اليسار f(x)منمن أن , 0تقترب أي

(0,0)

أن و بما f(0) =0

أن نستنتج

عند متصلة الدالة x = 0إذن

3 )

من تحققبرر . 1Bفهمك عند متصلة التالية الدالة كانت إذا ما حدد

االتصال . اختبار باستعمال إجابتك

0x 𝒇 (𝒙 )={𝟏𝒙 , 𝒙<𝟎

𝒙 , 𝒙≥𝟎

الحلعند ( 1: معرفة الدالة أن أي

2 )0.1 0.01 0.001 0 -0.001 -0.01 -0.10.1 0.01 0.001 -1000 -100 -10

أن الجدول 𝑓يبين (𝑥 من ( تقترب 0تقترب اليمين xعندما جهة من الصفر منتقترب عندما حدود بال اليسار 0من xوتتناقص جهة من

موجودة : . غير أن أي0

lim ( )xf x

عند متصلة غير الدالة 0xإذن

عند الدالة اتصال عدم المجاور الشكل في الدالة منحنى ويوضح

معرفة الدالةتعني x=0عند

f(0)أن موجودة

مثال :

تحقق من شروط االتصال الثالثة

-3 3x - 22 - x

؟ f(-3)هل( 1 موجودة

f(-3) = 2 – (- 3) = 2 + 3

R ∍ = 5

أي أن الدالة معرفة عند x= -3

؟ موجودة 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟑

𝒇 (𝒙 هل(قيم يبين Iجدوال من 3من -xتقترب عندما f(x)كون

واليمين اليسار

-2.9 -2.99 -2.999 -3 -3.001 -3.01 -3.1 x

-10.7 -10.97 -10.997 5.001 5.01 5.1 f(x)

تقترب من قيمتين مختلفتين عندما f(x)وبما أن قيم 3 من -xتقترب

فإن النهاية غير موجودة

3x - 22 - x

𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟑

𝒇 (𝟑𝒙−𝟐 )=−𝟏𝟏𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟑

𝒇 (𝟐−𝒙 )=𝟓من النهاية

اليميناليسار من النهاية

من و إذا عدم اتصال f(x)فإن الدالة

x = -3قفزي عند

-3

صــــــ فهمك من (2A)ـــــــــ 30 تحقق(2B):

تحقق من شروط االتصال الثالثة ؟ f(0)هل( 1 موجودة

f(0) = معرفه غير

غير الدالة إذامتصلة

؟ موجودة 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

𝒇 (𝒙 هل(قيم يبين Iجدوال من 0من xتقترب عندما f(x)كون

واليمين اليسار

0.1 0.01 0.001 0 0.001- 0.01- -0.1 x

100 10000 1000000 1000000 10000 100 f(x)

غير x = 0بما أن الدالة عند معرفه

والنهاية غير موجودةإذا عدم اتصال النهائي

𝒍𝒊𝒎𝒙→ 0   +  

𝒇 (𝒙 )=∞من النهاية

اليميناليسار من النهاية

𝒍𝒊𝒎𝒙→0   −  

𝒇 (𝒙 )=∞

∞

تحقق من شروط االتصال الثالثة

2 5x + 42 - x

؟ f(2)هل( 1 موجودة

f(2) = 2 – (2) = 0

أي أن الدالة معرفة عند x= 2

؟ موجودة 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐

𝒇 (𝒙 هل(قيم يبين Iجدوال من 2من xتقترب عندما f(x)كون

واليمين اليسار

2.1 2.01 2.001 2 1.999 1.99 1.9 x

14.5 14.05 14.005 0.001 0.01 0.1 f(x)

تقترب من قيمتين مختلفتين f(x)وبما أن قيم 2 من xعندما تقترب

فإن النهاية غيرموجودة

5x + 42 - x

𝐥𝐢𝐦𝒙→ 2+  

𝒇 (𝟓 𝒙+𝟒 )=𝟏𝟒𝐥𝐢𝐦𝒙→ 2−  

𝒇 (𝟐−𝒙 )=𝟎من النهاية

اليميناليسار من النهاية

من و إذا عدم اتصال f(x)فإن الدالة

x = 2قفزي عند

2

- [3- , 2]

[0 , 1] [1 , 2]

صــــــ فهمك من : (3A)ـــــــــ 31 تحقق

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x

67 24 3 -2 3 12 19 18 3 -32

-93

f(x)

- [5- , 4]

[0 , 1] [1 , 2]

مثال :

صــــــ فهمك من (5A)ـــــــــ 32 تحقق(5B):

𝒍𝒊𝒎𝒙→∞

𝒇 (𝒙 )=∞𝒍𝒊𝒎𝒙→−∞

𝒇 (𝒙 )=−∞

𝒍𝒊𝒎𝒙→∞

𝒇 (𝒙 )=−∞𝒍𝒊𝒎𝒙→−∞

𝒇 (𝒙 )=∞

كانت إذاكسرية الدالة

درجة البسط من أكبر

درجة المقامالنهاية تساوي

ما النهاية

درجة البسط أصغر من

درجة المقامالنهاية تساوي

صفر

درجة البسط تساوي درجة المقامالنهاية تساويمعامل البسط على

معامل المقام

مثال :

صــــــ فهمك من (6A)ـــــــــ 33 تحقق(6B):

𝒍𝒊𝒎𝒙→∞

𝒇 (𝒙 )=𝟑𝒍𝒊𝒎𝒙→−∞

𝒇 (𝒙 )=𝟑

𝒍𝒊𝒎𝒙→∞

𝒇 (𝒙 )=−𝟑𝒍𝒊𝒎𝒙→−∞

𝒇 (𝒙 )=−𝟑

االتصال عدم نقاط تمرين تعيين5 :

𝒉 (𝒙 )= 𝒙−𝟒𝒙𝟐−𝟓 𝒙+𝟒 عند𝒙=𝟒 ,𝒙=𝟏

الح𝒉( 1ل: (𝟒 )=𝟎𝟎،𝒉 (𝟏 معرفتين 𝟑𝟎−=( غير القيمتان

أن أي ،,𝒉 (𝟒 )𝒉 (𝟏 غير (

موجودتين متصلة غير تكون وعليهعند

𝒉 (𝒙 )𝒙=𝟒 ,𝒙=𝟏االتصال( :2 عدم نوع لتحديد

4.1 4.01 4.001 4 3.999 3.99 3.90.322581 0.332226 0.333222 0.333444 0.334448 0.344828

من تقترب الدالة قيم أن الجدول من 0.333يظهر تقترب عندماأن : 4 أي ، الجهتين من

𝒉 (𝒙 )𝒙𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒

𝒉 (𝒙 )≈𝟎 .𝟑𝟑𝟑≈ 𝟏𝟑عدم فإن ، موجودة ، عند متصلة غير أن حيث

عند لإلزالة قابل االتصال𝒉 (𝒙 )𝒙=𝟒𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟒𝒉 (𝒙 )

𝒙=𝟒

𝒙 من • تقترب عندما الدالة قيم في 4ابحث

𝒙 من • تقترب عندما الدالة قيم في 1ابحث1.1 1.01 1.001 1 0.999 0.99 0.910 100 1000 -1000 -100 -10

حدود بال حدود تتزايد بال تتناقصمن تقترب عندما حدود بال تتزايد قيم أن الجدول من 1يظهر

من تقترب عندما حدود بال وتتناقص ، لذلك 1اليمين ، اليسار منعند . نهائي ال اتصال عدم للدالة فإن

𝒉 (𝒙 )𝒙=𝟏

𝒙𝒙