الرياضيات للصف الثالث متوسط

جمهورية العراق وزارة التربية

املديرية العامة للمناهج

للصف الثالث املتوسط

الدكتور طارق شعبان احلديثي محمد عبد الغفور اجلواهري

مــهـــــدي مــــال اهلل مـــكـــي منـــــــــعم حـــسيــــن علوان

الطبعة اخلامسة 1436هـ - 2015م

الرياضيات

املؤلفون

املشرف العلمي على الطبع :

د. طارق شعبان رجب

املشرف الفني على الطبع :

علي غازي جواد

املقدمة نظرا للتطور الكبير الحاصل في المواد الدراسية كافة والرياضيات خاصة تعنى وزارة التربية باعادة

النظر في الكتاب المدرسي وتنقيحه او اعادة تأليفه وفق لجان مختصة تؤلف لهذا الغرض وتلقى كتب

الرياضيات نصيبها الوافي من هذه العناية.

وهذا الكتاب الثالث من سلسلة كتب الرياضيات للمرحلة المتوسطة ، وقد رتبنا هذا الكتاب بعشرة

فصول، يبدأ الفصل االول بموضوع التطبيقات والفصل الثاني االعداد الحقيقية ، اما الفصل الثالث

الحدوديات ويتضمن الفصل الرابع المتباينات يتبعه في الفصل الخامس المثلثات اما موضوع الدائرة

فهو في الفصل السادس وعند الفصل السابع الهندسة االحداثية اما الفصل الثامن هندسة التحويالت

يتضمن الفصل التاسع حساب المثلثات وينتهي الكتاب بالفصل العاشر الذي اختص بدراسة موضوع

االحصاء .

لقد تم وضع هذا الكتاب وفقا للمنهج الدراسي المقرر وحاولنا ان نستخدم الطرق التربوية الحديثة

فقمنا بهذا المجهود واضعين نصب اعيننا توضيح المادة العلمية شرحا بقصد االفهام وتوخينا االكثار

من االمثلة المحلولة والتمارين العملية التي يصادفها الطالب في حياته ومتدرجة من السهل الى الصعب

وال يسعنا اال ان نثمن جهود الخبيرين العلميين الذين ساهما بانجاز هذا الكتاب وهم :

ماجد كامل حسن د. محمد نجم

يوافونا ان المدرسين اخواننا من نرجو و الطلبة ابنائنا لخدمة وفقنا قد نكون ان نرجو وختاما

بمالحظاتهم حول هذا الكتاب لكي نتالفى النقص فيه ، والكمال هلل وحده..

واهلل ولي التوفيق

المؤلفون

Mappings التطبيقات

]�-�[ التطبيق .]2-�[ نوع التطبيق .

]�-�[ املخطط البياني للتطبيق . ]4-�[ تركيب التطبيقات .

الفصل االول 1

المصطلح الرمز أو العالقة الرياضية

N األعداد الطبيعية

Z األعداد الصحيحة

Q األعداد النسبية

fog أو gof تركيب التطبيقين f , g

Mappings التطبيقات

مقدمة

A سبق وأن درست موضوع املجموعات والعمليات عليها وتعلمت أيضا العالقة من املجموعة .B الى A رمز للعالقة من r هي مجموعة من األزواج املرتبة. حيث أن B الى املجموعة

A × B مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي r وأن

ودرست أيضا خواص العالقة على املجموعة مثل :

. )Reflexive( اخلاصية األنعكاسية -

. )Symmetric( واخلاصية املتناظرة -

. )Transitive ( واخلاصية املتعدية -

- وكذلك خاصية التكافؤ )Equivalence( اذا حققت اخلواص الثالث السابقة .

)أنعكاسية، متناظرة، متعدية(.

)Mapping( في هذه املرحلة الدراسية، سنتعرف على مفهوم أخر هو التطبيق

الفصل

r A×B

لتكن r : A B وتقرأ )

= } a , b , c , d { و A = } � , 2 , � , 4 { ولتكن

r = } ) � , a ( , ) 2 , b ( , ) � , c ( , ) 4 , d ( {

الحظ أن كل عنصر في المجموعة A التي تسمى بالمجال يقترن بعنصر وحيد في المجموعة B التي

. r تسمى بالمجال المقابل كما في الشكل ]�-�[ الذي يمثل المخطط السهمي للعالقة

ومن خالل الشكل هناك سهم واحد فقط ينطلق من كل عنصر في المجموعة A ليرتبط مع عنصر واحد من

المجموعة B . يقال لهذه العالقة تطبيق وأن صور عناصر المجموعة A تحت تأثير )التطبيق ( يسمى

مدى )Range( التطبيق.

� - � )Mapping( التطبيق

بصورة عامة ]�-�[

التطبيق r : عالقة من املجموعة A حيث ∅ ≠ A الى املجموعة B حيث∅ ≠ B بحيث أن كل عنصرمن عناصر املجال يقترن أو يرتبط بعنصر واحد فقط من عناصر املجال املقابل

ضمن قاعدة األقتران أي: ) x , y ( ∈ r بحيث y ∈ B يوجد عنصر وحيد x ∈ A لكل

�2�4

الشكل ]�-�[

) B الى A عالقة من r

بالل

عبد اهلل

مثنى

أنكليزي

فرنسي

a b c d

B الى A معرفه من r مجموعة لغات. والعالقةB مجموعة طالب . ولتكن A الحظ الشكل :- لتكن

هي عالقة » يدرس «. فاذا كانت:

A = } بالل , عبد اهلل , مثنى {

B = } انكليزية , فرنسية {

وأن r : A B ، هل r تمثل تطبيقا ؟ مع ذكر السبب.

احلل/ r التمثل تطبيقا.

ألن بالل ينتمي الى المجال وقد أرتبط بلغتين في المجال المقابل

r : A B لتكن

A = } a , b , c , d {

B = } e , f , g {

r = } ) a , e ( , ) b , f ( , ) d , g ( {

�( هل r تمثل تطبيقا؟ مع ذكر السبب.

2( مثله بمخطط سهمي.

احلل/ �( التمثل تطبيقا.

B لم يرتبط بأي عنصر في المجال المقابل c ∈ A ألن

مثال ) � (

مثال ) 2 (

A = } � , 2 , -� { اذا كانت

B = } 2 , � , - 2 , -4 {

f : A B -:تطبيق معرف كاآلتي f

x x + � حيث

أوال: أكتب التطبيق f على شكل مجموعة من األزواج المرتبة

ثانيا: مثله بمخطط سهمي

f ثالثا: أوجد مدى التطبيق

احلل/

x x + �

� � + � = 2

2 2 + � = �

-� -� + � = -2

∴ f = } ) � , 2 ( , ) 2 , � ( , ) -� , -2 ( {

ثانيا: -المخطط السهمي

ثالثا:- مدى التطبيق =}2-, � , 2 {

مثال ) � (

اوال:-

في المثال )�( قاعدة األقتران

� + x x يمكن التعبيرعنها

f )x( = x + �

مالحظه )�(

يمكن التعبير عن التطبيق بأحد الحروف.. , r , f, g مالحظه )2( مع ذكر المجال والمجال المقابل وقاعدة األقتران.

مالحظه )�(

المخططات السهميه ممكن أن تكون على الصور التالية:

مالحظه )4( المدى هو مجموعة جزئية من المجال المقابل.

اذا كانت g : A Q حيث Q مجموعة االعداد النسبية

A = } -� , � , 2 , -� {

g )x( = x2 - 4

�( أوجد مدى التطبيق

2( أرسم المخطط السهمي للتطبيق

�(أكتب التطبيق بذكر عناصره

احلل /

�( g )x( = x2- 4

g )-�( = )-�(2 - 4 = �- 4 = -�

g )�( = )�(2- 4 =�- 4 = -�

g )2( = )2(2- 4 = 4 - 4 = 0

g )-�(=)-�(2 - 4 = � - 4 = 5

∴ Range = }-�,0,5{ المدى

�( g = })-�,-�(, )�,-�(,)2,0(,)-�,5({

مثال ) 4 (

-��2

��

اذا كانت A مجموعة األعداد الطبيعية الموجبة األصغر من 5

وكانت f : A Z ، حيث Z مجموعة االعداد الصحيحة

f )x( = 2x - � جد مدى التطبيق اذا كان

احلل/

f )x( = 2 x - �

f )�( = )2()�( - � = -�

f )2( = )2()2( - � = �

f )�( = )2()�(- � = �

f )4 ( = )2() 4 ( - � = 5

∴ Range = }-� , � , � , 5 { المدى

g : Q Q مع العلم ان g )x( = �0 عندما x فجد قيمة g )x( = 4x - � اذا كان

حيث Q مجموعة االعداد النسبية .

∵ g )x( = 4 x - � /احلل

g )x( = �0

∴�0 = 4x - �

⇒ 4x = �0 + �

⇒ 4x = �� )4( بقسمة طرفي المعادلة على

⇒ x = ∈ Q

مثال ) 5 (

مثال ) � (

Qg(x) = 4x− 7g(x) = 10

∴10 = 4x− 7⇒ 4x = 10 + 7⇒ 4x = 17

⇒ x =174

∈ Q��4

A = } � , 2 , � , 4 {

� �

، A = } a , b , c { وكانت r : A B س�/ اذا كان

r = } ) a , 4 ( , ) b , � ( , ) c , � ( {

r = } ) a , � ( , ) b , � ( , ) c , � ( {

اوال: هل r تطبيقا ولماذا؟ ثانيا: ارسم المخطط السهمي

A س2/ اذا كانت

B وكانت

f)x( = x + � حيث B الى A عالقة من f

أوال: ارسم المخطط السهمي ثانيا: f يمثل تطبيقا ، لماذا ؟

g : A Z وكان A = } � , 2 , -2 , -� { س�/اذا كانت

. g )x( = 5x - � جد مدى التطبيق اذا كان

س4/ لتكن A مجموعة المناطق االثرية في العراق. حيث }باب عشتار ، الحضر ، الملوية{ = A ولتكن

. B = } كركوك ، الموصل ، البصرة ، ذي قار ، صالح الدين ، بابل ، بغداد {

وان r : A B انسب المناطق االثرية لكل محافظة عراقية بمخطط سهمي تختاره.

B = } � , 4 , 5 , � , �{

مجموعة األعداد الطبيعية الزوجية األصغر من �

مجموعة األعداد الطبيعية الفردية األصغر من �

��

f )x ( = 2 x + � حيث f : N Q س5/ اذا كان

اوال: اكتب مدى التطبيق .

. x فجد قيمة f ) x ( = �� ثانيا: اذا كان

ثالثا: اكتب مجموعة االزواج المرتبة التي تمثل التطبيق.

r = } ) � , a ( , ) 2 , b ( , )� , c( , ) 4 , d ( , ) 5 , a ({ س� /اذا كانت

r : A B حيث

. B , A جد كال من )�

2( أكتب مدى التطبيق.

�( ارسم المخطط السهمي.

f ) x ( = 2x 2 - x + � حيث f : A Q س� / اذا كان

A = } � , -� , 0 { وإن

�( اكتب المدى.

2( اكتب مجموعة األزواج المرتبة التي تمثل التطبيق.

�( ارسم المخطط السهمي.

نوع التطبيق 2 - �

r : A B تكون تطبيقا شامال اذا حقق :

A هو صورة لعنصر واحد أو اكثر من عناصر المجموعة B كل عنصر من عناصر المجموعة

اي ان : المدى = المجال المقابل

الحظ الشكل المجاور .

تطبيق شامل

)Surjective Mapping( اوال:التطبيق الشامل

A••••

••••

يكون التطبيق غير شامل اذا وجد عنصر

من عناصر المجال المقابل ليس صورة الي عنصر من

عناصر المجال. كما في الشكل المجاور .

تطبيق غير شامل

مالحظه

مثال ) � (

حدد ايا من المخططات السهمية االتية تمثل تطبيقا شامال؟

B = } 4 , � , � , �0 { , A = } � , 5 , � , � , �� { حيث f : A B ليكن

وان } ) f = } ) � , 4 ( , ) 5 , � ( , ) � , � ( , ) � , �0 ( , ) �� , 4 ، هل f تطبيقا شامال؟

احلل/ المدى } �0 , � , � , 4{

B بما ان المدى = المجال المقابل

∴ f يمثل تطبيقا شامال .

-�25

-�0�4

) 2(ال يمثل تطبيقا شامال الن 4 ليست

صورة لعنصر في المجال

� 2 �

2 � 4 )�(

تطبيقا ليس شامال

مثال ) 2 (

)�(تطبيقا شامال

��

f : A N حيث} x x2 + � , A = } -� , -2 , � , 2 ، هل f تطبيق شامل؟

احلل/

f)-�( = )-�( 2 + � = 2

f )-2( = )-2( 2 + � = 5

f )�( = )�( 2 + � =2

f)2( = )2(2 + � = 5

Range = } 2 , 5 { المدى

N المدى ≠ المجال المقابل

f تطبيق غير شامل

f : N N , f )x( = �x + 2 بين هل التطبيق f شامل؟

احلل/

f)0( =� )0( + 2 = 2

f )�( = �)�( + 2 = 5

f )2( = �)2( + 2 = �

f)�( = �)�( + 2 = ��

Range = } 2 , 5 , � , �� , ....{ المدى

f ليس شامال

N الن المدى ≠ المجال المقابل

مثال ) 4 (

مثال ) � (

f )x( = �x + 2

��

لتكن A مجموعة الدول العربية المتمثلة بـ } العراق ، سوريا ، مصر ، االردن { ولتكن B مجموعة عواصم

هذه الدول المتمثلة بـ } بغداد ، دمشق ، القاهرة ، عمان { والعالقة مبينة كما في المخطط السهمي :

الحظ ان كل دولة عربية في المجموعة A أرتبطت بمدينة واحدة في المجموعة B والتي تمثل عاصمتها

كما في الشكل اعاله ان مثل هذا التطبيق يسمى تطبيقا متباينا ، اذن يكون التطبيق متباينا اذا تحقق:

أي أن: ألي عنصرين مختلفين في المجال لهما صورتان مختلفتان في المجال المقابل .

أي أن:

Injective Mapping ثانيا : التطبيق المتباين

1) ∀x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 ⇒ R x1( ) ≠ R x2( )2) ∀x1, x2 ∈ A , R x1( ) = R x2( ) ⇒ x1 = x2

يكون التطبيق غير متباين اذا وجد عنصران مختلفان من عناصر المجال

لهما نفس الصورة في المجال المقابل .

مالحظه

العراقسوريامصراالردن

بغداددمشقالقاهرةعمان

1) ∀x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 ⇒ R x1( ) ≠ R x2( )2) ∀x1, x2 ∈ A , R x1( ) = R x2( ) ⇒ x1 = x2

��

بين أي التطبيقات االتية متباينة ثم ارسم المخطط السهمي لها .

f : A B واذا كان B = } � , 4 , � , �� { و A= } � , 2 , � , 4 { اذا كانت )�

. f)x( = x2 حيث

احلل/

f)x( = x 2

f )�( = )�( 2 = �

f )2( = )2( 2 = 4

f)�( = )�(2 = �

f)4( = )4(2 = ��

∴ f = } ) � , � ( , ) 2 , 4 ( , ) � , � ( , ) 4 , �� ( {

∴ f متباين النه لكل عنصرين مختلفين من المجال لهما صورتان مختلفتان في المجال المقابل.

2( اذا كانت } A = } � , 2 , � , 4 , 5 وكان g : A A تطبيقا معرفا كاالتي

g = } ) � , 4 ( , ) 2 , 2 ( , ) � , � ( , ) 4 , 2 ( , ) 5 , 4 ( { احلل/

2 بينما g )2( = g )4( = 2 وكذلك ≠ 4 التطبيق غير متباين الن

g )�( = g )5( = 4 5 ≠ � بينما

f)x( = �x حيث ان f : N+ N اذا كان )�

احلل/

مثال ) 5 (

�4�

��

�2�4

�2�45

f)x( = �x

f )�( = �

f )2( = �

f)�( = �

� , 2 , � , 4 .....

0 , � , 2 , � , 4 , 5 , � , � , � , � , ....

املجال

املجال املقابل

��

مثال ) � (

Bijective Mapping ثالثا : التطبيق تقابل

مثال ) � (

التطبيق متباين الن كل عنصرين مختلفين في المجال لهما صورتان مختلفتان في المجال المقابل.

الحظ ان المجال والمجال المقابل مجموعتان غير منتهيتين .

f : A B وكان B = }2 , 5 , �0 { و A = } -� , 2 , � , � { اذا كانت

� + f)x( = x 2 . هل متباين؟

f )�( = f ) -� ( = 2 احلل / التطبيق غير متباين ألن �- ≠ � بينما

يكون التطبيق تقابال اذا حقق الشرطين اآلتيين :-

�( التطبيق شامال .

2( التطبيق متباينا .

B = } 0 , 2 , � , � { , A = } � , 2 , � { اذا كانت

f جد �( المدى , 2( اذكر نوع التطبيق f )x( = x 2 - � بحيث f : A B

�( ارسم المخطط السهمي للتطبيق

f)x( = x 2 - � )� /احلل

f )�( = )�(2 - � = 0

f )2( = )2(2 - � = �

f)�( = )�(2 - � = �

∴ Range = } 0 , � , � { المدى

2( التطبيق غير شامل الن 2 ليس صورة لعنصر في المجال او المدى ≠ المجال المقابل التطبيق متباينا ، ليس تقابال النه ليس شامال .

�( المخطط السهمي

اذا كانت f : Z Z ، حيث � - f )x( = 2 x2 بين نوع التطبيق f حيث Z مجموعة االعداد الصحيحة .

f)x( =2 x 2 -� /احلل

f )-2( = 2 )-2( 2 -� = � - � = 5

f )-�( = 2 )-�( 2 -� = 2 - � = -�

f)0( = 2)0(2 - � = -�

f)�( = 2)�(2 - � = 2 -� = -�

f)2( = 2)2(2 - � = � -� = 5

اوال : التطبيق ليس شامال الن المدى ≠ المجال المقابل

ثانيا : التطبيق ليس متباينا الن �- = )�f )-�( = f ) بينما �≠ �-

ثالثا: التطبيق ليس تقابال.

مثال ) � (

02��

�2�

اليمكن رسم مخطط كامل لهذا التطبيق الن Z مجموعة مالحظةغير منتهية

Z ... , -� , -2 , -� , 0 ,� , 2 , � , 4 , 5 , ....

... , -2 , -� , 0 , � , 2 , .....

املخطط البياني للتطبيق � - �

في االمثلة السابقة مثلنا التطبيقات على شكل مخططات سهمية .

مثال عندما كان r : A B تطبيقا

A = } �, 2 , � , 4 {

B = } 2 , � 4 , 5 {

r = } ) � , 2 ( , ) 2 , � ( , ) � , 4 ( , ) 4 , 5 ( { حيث

فأن المخطط السهمي للعالقة r هو

ويمكن ايضا تمثيل العالقة r من خالل االزواج المرتبة بمخطط بياني كما في الشكل .

2�45

�2�4

� 2 � 4 5 �0x

A = } �, 2 , � { اذا كان

B = } � , 5 , 2 {

r : A B

r = } ) � , � ( , ) 2 , 5 ( , ) � , 2 ( { حيث

�( إرسم المخطط السهمي للتطبيق.

2( إرسم المخطط البياني للتطبيق .

�( بين نوع التطبيق .

احلل/ )�( بمخطط سهمي

)2( المخطط البياني

)�( التطبيق )شامل، متباين ، تقابل (

مثال ) � (

�2�

� 2 � 4 5 �0X

f : A B اذا كان

A = } -� , 2 , -2 {

B = } � , 4 {

f ) x ( = x 2 وكانت

أرسم المخطط البياني للتطبيق وبين نوعه

احلل /

f)x( = x 2

∴ f )-�( = )-�( 2 = �

f )2( = )2( 2 = 4

f)-2( = )-2(2 = 4

f = })-� , �( , ) 2 , 4 ( , ) -2 , 4 ( {

المدى = } 4 , � {

التطبيق شامل الن المدى = المجال المقابل

التطبيق ليس متباينا ألن

2 ≠ -2 ⇒ f)2( = f)-2(

التطبيق ليس تقابال النه ليس متباينا

� 2 � 4 5 �0-�-2

مثال ) 2 (

اذا كان }�� , � , r : A } 2 , 5 ممثلة بالمخطط البياني:

�( r , A 2( المدى �( بين نوع التطبيق .

احلل / )�(

r من المخطط البياني نجد العالقة

≠ المجال المقابل )�( التطبيق ليس شامال الن المدى

التطبيق متباين

التطبيق ليس تقابال النه ليس شامال

مثال ) � (

� 2 � 40

��

المدى = } �� , 5 , �{

A = 1,2,3{ }

r = 1,5( ) , 2,8( ) , 3,11( ){ }

تعريف/

تركيب التطبيقات:تعرفنا في هذا الفصل على تعريف التطبيق وانواعه وكيفية إيجاد صور عناصر المجال بتأثير قاعدة

f فأن . x( ) = x2 +1 f:Q حيث → Q اإلقتران، مثال : إذا كانت

واآلن سوف نتعرف على نوع آخر من التطبيقات ناتج من تركيب تطبيقين معلومين، g ، f نوضحه

بالتعريف اآلتي:

g وأن صورة x( ) ليكن كل من g ، f تطبيقا ، x عنصرا في مجال g فأن صورة x بتأثير التطبيق g هي

f يسمى هذا التطبيق الجديد )) تركيب g x( )( ) g بتأثير التطبيق f هي x( ) االعنصر الجديد

االتطبيقين f ، g (( ويوضحه المخطط التالي :

)fog( بالرمز f g x( )( ) سوف نرمز لـ

. g تركيب f هي )fog( وأن قراءة fog( ) x( ) = f g x( )( ) أي أن:

: f تركيب g فأنه يقرأ )gof( عند إيجاد التركيب اآلخر

اي ان :

تركيب التطبيقات 4 - �

Composition of Mappings

x g)x( f)g)x((

gof( ) x( ) = g f x( )( )

⎝⎜

⎠⎟ = 1

4 + 1 = 5

f g x( )( ) كيف نجد . g x( ) * نجد أوال صورة x في قاعدة إقتران التطبيق g أي

. f g x( )( ) g في قاعدة إقتران التطبيق f أي x( ) * ثم نجد صورة

أمثلة محلولة:

g : N N وان f )x( = 4 x + � حيث f : } � , 2 , � { N ليكن

. gof والمطلوب ايجاد مدى g)x( = x + � حيث

الحظ المخطط :

} � , �2 , �� { = ) gof ( مدى ∴

مثال ) � (

f )�( = 4 )�( + � = �5 x = � g )�5( = �5 + � =�� g)f)�(( = ��

f )2( = 4 )2( + � = �� x = 2 g )��( = �� + � =�2 g)f)2(( = �2

f )�( = 4 )�( + � = � x = � f)�(=� g )�( = � + � = � g)f)�(( = �

f)2(=��

f)�(=�5

f : N N , f )x( = 2x + � اذا كان

g : N N , g )x( = x 2

f)�( , g )�( :جد اوال

ثانيا : )�( )gof()�( , )fog( ماذا تالحظ ؟

احلل/

f )x( = 2 x + � ⇒ f)�( = 2)�( +� : اوال

f)�( = �

g )x( = x 2 ⇒ g)�( = )�(2

g)�( = �

ثانيا : لنجد

A = } � , 2 , � { اذا كانت

f : A A وكان

f = }) � , � ( , ) � , � ( , ) 2 , � ( {

g = } ) � , � ( , ) � , 2 ( , ) 2 , � ( { gof , fog جد

مثال ) � (

مثال ) 2 (

)gof( )�(

)gof( )�( = g ) f )�((

= g )2)�(+�(

= g)� (

=)�(2

= 4�

)fog( )�(

)fog( )�( = f )g )�((

= f )�2(

= f)� (

=2)�( + �

=��

)fog( )�( ≠ )gof( )�( الحظ ان

g : A A

احلل/

fog اوال / نجد

) fog( )�( = f)g)�(( = f )2( = �

) fog( )2( = f)g)2(( = f )�( = �

) fog( )�( = f)g)�(( = f )�( = �

∴ fog = } )� , � ( , ) 2 , � ( , ) � , �({

gof ثانيا / نجد

) gof( )�( = g)f)�(( = g )�( = �

) gof( )2( = g)f)2(( = g )�( = �

) gof( )�( = g)f)�(( = g )�( = �

∴ gof = } ) � , � ( , ) 2 , � ( , ) � , �({

ماذا تالحظ ؟

f : Z Z , x ∈ Z , x �x + �

g :Z Z , x ∈ Z , x 2x + 5

) fog ( )x( = 2� اذا كان x جد قيمة

) fog( )x( = f)g)x(( = f )2x + 5( /احلل

= � ) 2x + 5 ( + �

= �x + �5 + �

= �x + ��

∵ )fog( )x( = 2�

∴ �x + �� = 2�

�x = 2� -��

�x = �2 ⇒ x = 2

مثال ) 4 (

g )x( = x2 + � حيث g : Z N س�/ اذا كان

* اكتب g بذكر عناصرها على شكل ازواج مرتبة .

* اكتب المدى.

* بين نوع التطبيق.

f )x( = 5x + 2 حيث f : N N س2/ اذا كان

g )x( = x + � حيث g : N N

* اكتب fog بذكر االزواج المرتبة .

. fog مدى *

.fog بين نوع التطبيق *

f )x( = �x - � حيث f : Q Q س�/اذا كان

g )x( = x2 + � حيث g : Q Q

. ) fog ( )x( = �� اذا علمت ان x جد قيمة

f )x( = x � حيث f : Z Z س 4/ اذا كان

g )x( = � حيث g : Z Z

فأن: ∗ )�-()fog( يساوي : � ، �- ، ��4 ، �4-

∗ يساوي : � ، �- ، �- ، �

f )x( = �x + 4 حيث f : Q Q س 5/ اذا كان

g )x( = �-2 x حيث g : Q Q

, )fog( )�( جد ∗

. x اذا كان فجد قيمة ∗

f )x( = 4 x -� حيث f : } � , 2 , � ,.... { Z س �/ اذا كان

�( اكتب مدى التطبيق .

2( بيان التطبيق f بذكر عناصره .

�( نوع التطبيق.

. x جد قيمة f)x( = 5� اذا كان )4

. x جد قيمة)f of( )x( = � اذا كان )5

)gog()x(

)gof()-�(

)gof()x(=-4�

��

]� - 2 [ احلاجة الى املزيد من االعداد. ]2 - 2 [ خواص االعداد احلقيقية .

]� - 2 [ اجلذور التربيعية . ]4 - 2 [ اجلذور التكعيبية .

األعداد احلقيقية Real Numbers

املصطلح الرمز او العالقة الرياضية

R االعداد احلقيقية

Q االعداد النسبية

H االعداد غير النسبية

اجلذر التربيعي

اجلذر التكعيبي

الفصل الثاني2

تعرفنا في مراحل سابقة من دراستنا على مجموعات اساسية هي :

. N = } 0 , � , 2 , � , 4 , ....{ )Natural Numbers ( مجموعة االعداد الطبيعية . �

2. مجموعة االعداد الصحيحة) ( }... , �+ , 2+ , �+ , 0 , �- , 2- , �- , ...{

Q = } ab

: a , b ∈ Z , b ≠ 0 { ) ( مجموعة االعداد النسبية . �

والحظنا ان كل مجموعة منها تحوي المجموعة التي قبلها وقد مكننا ذلك من حل بعض المعادالت

والمسائل فمثال المعادلة ) x + 2 = 0 ( ليست لها حل في )N( الن قيمة )x=-2(حيث

لذلك وسعت )N( لتصبح Z قادرة على حل هذه المعادلة وامثالها النها تحوي اعدادا سالبة .

� هكذا 2

∌ Z ، y = �2

كذلك المعادلة ) 2y - � = 0 ( ليست لها حل في Z الن قيمة

اوجدت المجموعة )Q( لتوفر حال الية معادلة بالصورة ) ax + b = 0 , a ≠ 0 ( حيث مجموعة

.} - ba

الحل}

لكن هناك العديد من المعادالت والمسائل ال تستطيع حلها في Q مثال المعادلة ) � = x 2 ( النه

اليوجد عدد نسبي مربعه )�( . لذلك دعت الحاجة الى مجموعة جديدة من االعداد سميت )مجموعة

االعداد الحقيقية Real Numbers( ويرمز لها )R( لنستطيع من خاللها حل الكثير من المعادالت

والمسائل.

واضح ان :

Ingteres

Rational Numbers

-2 ∉ N

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

احلاجة الى مزيد من االعداد الفصل

2 2 - �

)H) Irrational Numbers 4. االعداد غير النسبية

من كل ما سبق توضحت الحاجة الى اعداد ليست على الشكل }14 . 4 , 7 , , -{

. ) b ≠ 0 ، اعداد صحيحة a , b اي ال يمكن وضعها بالصورة حيث)

وفي المرحلة السابقة تعرفنا مفصال على اعداد نسبية سميت مربعات كاملة ( اي انها مربعات االعداد

. B ∈ Q حيث ) B 2 ) نسبية( وصورتها

مثال: 22 = 4 , 52 = 25 .

49 .. الخ.64

, 25 = 5, 4 = 2 والجذور التربيعية لهذه االعداد هي اعداد نسبية

اما االعداد النسبية التي ليست مربعات كاملة مثال 2 ، 3 ، 5 تكون جذورها التربيعية اعدادا ليست

...)كذلك االعداد النسبية (المكعبات الكاملة ( كاالعداد 8 ، 27 ، 1000 5, 3, 2 ) نسبية

تكون جذورها التكعيبية اعداد نسبية .

واالعداد االخرى مثال : تكون جذورها التكعيبية ليست نسبية وان اتحاد

. R يمثل مجموعة األعداد الحقيقية ” H واالعداد غير النسبية Q المجموعتين “االعداد النسبية

مستقيم االعداد

اعداد موجبة اعداد سالبة

R = Q ∪ H

10003 = 10 , 273 = 3 , 83 = 2

53 , 33 , 23

-3 -2 -1 1 2 3

(... 5, 3, 2 )12

خواص االعداد احلقيقية 2 - 2

اوال

تعتبر هذه الخاصية من الخواص المهمة لمجموعة االعداد الحقيقية وتتضمن ما يلي :

�. اذا كان a ∈ R فان واحدة فقط من الحاالت االتية صائبة :

a > 0 , a = 0 )عدد موجب( يقع على يمين الصفر على خط االعداد

a < 0 )عدد سالب( يقع على يسار الصفر على خط االعداد

2. اذا كان a , b ∈ R فان واحدة فقط من هذه العالقات تتحقق :

a = b , a > b , a < b

a , b , c ∈ R الجمع والضرب لكل

0 سالبموجبa=0 a>0a<0

Property اخلاصيةAddition اجلمع Multiplication الضربclousre االنغالق a +b ∈ R a . b ∈ R

Commutativity االبدالية a + b = b + a a. b = b . aAssociativity التجميعية) a +b ( + c = a +) b + c() a . b (.c = a . )b . c(

العنصر احملايدIdetity Element

a + 0 = 0 + a = aالعنصر احملايد هو 0

a.� = �.a =aالعنصر احملايد هو �

Inverse النظير اجلمعيالنظيرAdditive Inverse

a + )-a ( = ) -a( +a =0

النظير الضربي Multiplicative

Inverse a النظير الضربي للعدد

, a ≠ 0 حيث

�هو

a . ) ( = ) (. a = ��a

Order Property 2 - 2[ خاصية الترتيب - �[

]2 - 2 - 2[ خواص بعض العمليات على االعداد الحقيقية

الطرح والقسمة

الطرح: يعرف بالشكل االتي : ) a - b = a + )-b اي طرح b من a يعني . جمع a مع النظير

.b الجمعي للعدد

القسمة: تعرف بالشكل االتي : a ÷ b = a . , b ≠ 0 اي قسمة a على b تعني حاصل ضرب

b ≠ 0 شرط ان b في النظير الضربي للعدد a العدد

توزيع عملية الضرب على الجمع والطرح

a , b , c ∈ R لكل

a . ) b + c ( = ) a . b ( + ) a . c (

a . ) b - c ( = ) a . b ( - ) a . c (

تطبيق قواعد ضرب االشارات نفسها كما درستها سابقا اي:

�( - ) - a ( = a

2( a ) - b ( = - ) ab(

� ( ) -a ( ) -b ( = ab

= , = , a , b , c ∈ R

b ≠ 0 , c ≠ 0

اذا كان:

ثانيا

ثالثا

رابعا

خامسا ab

a . c b . c

a ÷ c b ÷ c

سادسا

Distributive property

Zero Factor Property)خاصية العامل الصفري(a . b = 0 فان a = 0 او b = 0 او كالهما

لكل

��

سبق ان تعلمت بانه اذا كانت )a( عددا حقيقيا ليس سالبا ) a ≥ 0 ( فاي عدد مربعه )a( يسمى جذرا

. a ويرمز له )a( تربيعيا للعدد

,22 = 4 ) الن 4 = 2)4 مثال /العدد 2 جذرا تربيعيا للعدد

حيث .

تعريف )�-2(

.b2 = a أي ان a عددا حقيقيا ليس سالبا مربعه b حيث a = b فان a ≥ 0 , a ∈ R لتكن

a فان a : كذلك ، a = �2 = � فان a مثال : اذا كانت

ومن خواص الجذور :

b ≥ 0 , a ≥ � - اذا كانت a , b ∈ R فان : ab = a . b والعكس صحيح حيث 0

مثال / كذلك :

≤ b > 0 , a و والعكس صحيح مثال 0 - 2

10 = 10. 10 , 8. 8 = 8 ≤ a والعكس صحيح 0 , a . a = a - �

اجلذور التربيعية � - 2

⎝⎜⎞

⎠⎟

= 3=34

3 . 5 = 15 21 = 7. 3

جذرا تربيعيا للعدد

⎝⎜

⎠⎟

وكذلك49

��

ضع في ابسط صورة :

)c( مباشرة كما في الفرع )f( ميكن حل

مثال ) � (

3 5 + 2 5 − 6 5 = 5 3+ 2 − 6( ) = 5 −1( ) = − 5

4 3 +1( )+ 3 3 −1( )= 4 3 + 4 + 3 3 − 3 = 7 3 +1

+ ( ), ≥ 0 , ≥ 0a b a b

2 2 + 5( ) − 2 1− 3 2( )= 2. 2 + 5 2 − 2 + 6 2

= 2 + 5 2 − 2 + 6 2

= 2 − 2( )+ 5 + 6( ) 2 = 0 +11 2

= 11 2

7 + 2( ) 3+ 7( )= 3 7 + 7. 7 + 6 + 2 7

= 3 7 + 7 + 6 + 2 7

= 3+ 2( ) 7 +13 = 5 7 +13

5 − 2( )2

= 5 − 2( ) 5 − 2( )= 5. 5( ) − 5. 2( ) − 2. 5( )+ 2. 2( )= 5 − 5 × 2 − 2 × 5 + 2

= 5 − 10 − 10 + 2 = 7 − 2 10

= ( )2

+ 2 + ( )2 = + 2 +a a b b a ab b.

��

مثال ) 2 (

مثال ) � (

ضع في ابسط صورة كال مماياتي :a( 3 8 + 2 50 − 32

b( 125 − 20 − 4 45 )a(/احلل

)b(/ احلل

− بحيث يكون المقام عددا نسبيا . 45

اكتب االعداد

بضرب البسط والمقام في

3 8 + 2 50 − 32

= 3 4 × 2 + 2 25 × 2 − 16 × 2

= 3 4. 2 + 2 25. 2 − 16. 2

= 3× 2 2 + 2 × 5 2 − 4 2

= 6 2 +10 2 − 4 2 = 12 2

125 − 20 − 4 45

= 25( ) 5( ) − 4( ) 5( ) − 4 9( ) 5( )= 25. 5 − 4. 5 − 4 9. 5

= 5 5 − 2 5 −12 5

= −9 5

−4 55

��

مثال ) 5 (

مثال ) 4 (

اختصر في ابسط صورة

:B مثلث قائم الزاوية في A B C :في الشكل المجاور

. AC جد طول BC = cm , AB = cm

وما مساحة المثلث ؟ احلل /

مبرهنة فيثاغورس

AC(2 = ) AB (2 + ) BC( 2( مساحة المثلث

∴)AC(2

× AB × BC

× 3 2 × 6

2 × 6

4 × 3

A = 3 3

× AB × BC

× 3 2 × 6

2 × 6

4 × 3

A = 3 3

AC( )2= AB( )2

+ BC( )2

= 3 2( )2

+ 6( )2

= 9 × 2 + 6

AC( )2= 24

∴ AC = 24 = 2 6AC

−2512

4( ) 3( )

2 3. 3

−5 3

3 3 + 2 − 5 36

=2 − 2 3

=1− 3

3 3 − 5 3=

5 3 − 5 36

3 ∴المساحة = 2 3

× AB × BC

× 3 2 × 6

2 × 6

4 × 3

A = 3 3

)AB()BC(

3 2( ) 6( )

3 2cmcm

a( :س� / ضع كال مما يأتي في ابسط صورة

س2 /ضع كال مما يأتي في ابسط صورة:

س� / بين صحة او خطأ العبارات االتية:

س4 / جد a2 , حيث , b ≠ 0 في كل مما يأتي بحيث يكون المقام عددا نسبيا :

7 - 32

5 + 34 7

2 3 − 5 2 + 3 − 4 2

3 2(4 2 − 3)

(2 3 + 5)(3 3 − 2 5)

(4 6 − 3)2 , (1− 2)3 , ( 3 + 2)2 ( 3 − 2)

(4 6 − 3)2 , (1− 2)3 , ( 3 + 2)2 ( 3 − 2) 1- 2( )3

= 2 2 , = 3

= 2 - 2 , = 3

= - 4 3 , = - 2

3 + 3 = 6

8 + 2 = 3 2

12 = 2 6

2 3 × 3 3 = 6 33 3( )2 3( )

a( -: س5 / اختصر المقادير االتية

س� /a ( جد قيمة المقدار االتي : 4x2 - 2x + 5 اذا كانت قيمة x هي :

�4 cm2 تساوي ABCD في الشكل المجاور اذا كانت مساحة المستطيل x جد قيمة )b

ABC جد مساحة المثلث )c

48 - 3 75 - 2 12

20 - 12 5 - 5 1

10 - 2 5

6 - 15

5 , 1 - 2 , 1

2 ( 2 - 3 )

- 2( )

+ 2( )x

5 - 2CB

x > 2 حيث

2 63 - 7 2

7 - 3 282 1

7 2 63 - 7 2

7 - 3 28

. a يسمى جذرا تكعيبيا للعدد )a( فان اي عدد مكعبه العدد a a ∈ R R اذا كان

تعريف )2-2(

a هو العدد الحقيقي الوحيد الذي مكعبه b حيث a = b فان a R اذا كان

b� = a : اي ان

يالحظ ان لكل عدد حقيقي جذر تكعيبي وحيد فمثال :

( 273 = 3) )�( هو الجذر التكعيبي للعدد )�2(اي ان

( −643 = −4) )4-( هو الجذر التكعيبي للعدد )�4-( اي ان

8 اي ان 125

, 8125

( هو الجذر التكعيبي للعدد 25

اجلذور التكعيبية 4 - 2

a ∈ R

, 8125

نستنتج مما سبق انه :

)*( اذا كان a 0 فان b 0 )سالب(

)*( اذا كان a 0 فان b 0)موجب(

b = 0 فان a = 0 اذا كان )*(

a < 0a < 0

a > 0 a > 0

مالحظة

∋a , b a,b فان : R R اذا كان

a . b = a . b

a . a = a� = a

a . a = a2 ≠ a

543 − 3 163 − 4 1283 بسط المقدار التالي :

احلل /

نحلل االعداد 54 ، �� ، ��2 الى عاملين احدهما مكعب كامل على االقل

مثال ) � (

, b ≠ 0ab

� � �

��

�( والعكس صحيح

والعكس صحيح

والعكس صحيح 3

3 3 � � �2

4( 3 3

3 � � � الحظ ان

من خواص الجذور التكعيبية :

= 33 2 − 3 × 23 2 - 4 × 43 2

3 54 =3 27 . 2 = 3 27 . 3 2 = 33 2

163 = 83 . 23 = 2 23

1283 = 643 . 23 = 4 23

= −19 23

∴ 543 − 3 163 − 4 1283 � �

3 -a = 3 a

3 − 323 − 3 −12

3 بسط المقدار التالي :

احلل /

مالحظة : a a فان : > اذا كانت 0 0

= 5 116

3 − 8 × 43 + 3 12

= 5 464

3 − 2 43 + 3 48

4− 2 43 +

=5 43 − 8 43 + 6 43

مكعب طول ضلعه جد حجمه ومساحته اجلانبية.

.A ومساحته الجانبية v احلل / نفرض حجم المكعب

× مساحة وجه واحد حجم املكعب = �)طول الضلع( املساحة اجلانبية للمكعب = 4

مثال ) 2 (

�� −

مثال )� (

= 3 43( )2

= 43 . 43( ) × 4

= 163( ) × 4

= 23 . 83( ) × 4

= 23 × 2 × 4

=8 23 cm2

= 3 43 .3 43( )× 4

= 9 163( )× 4

= 9 23 . 83( )× 4

= 9 23 × 2× 4

= 72 23 cm2

= 3 43( )3

=33. 43 . 43 . 43

=27. 643

= 27( ) . 4( )=108 cm3

حجم املكعب

3 23 cm

Aمربع

ربعم

مربع

= 3 43( )3

=33. 43 . 43 . 43

=27. 643

= 27( ) . 4( )=108 cm3

س� / اختصر املقادير التالية:

23 +1( ) 43 - 23 +1( ) س2 / جد ناجت

س� / في الشكل املجاور : مكعب طول ضلعه cm جد حجمه ومساحته الكلية .

6 وحدة طول 33

س4 / متوازي سطوح مستطيلة ابعاده :

جد حجمه في ابسط صورة.

7 543 − −163 + 4 −1283

813 − −243 − 3 =−19

3813 − −243 − 3 =−19

323 + 2 12

3 − (-2)23

احلدودياتPolynomials

]�-�[ مراجعة]2-�[ حتليل الفرق بني مكعبني

]�-�[ حتليل مجموع مكعبني]4-�[ حتليل احلدوديات الثالثية

]5-�[ حتليل املربع الكامل]�-�[ العامل املشترك األكبر واملضاعف املشترك األصغر

]�-�[ إستخدام التحليل في تبسيط املقادير اجلبرية

العامل املشترك األكبر

املضاعف املشترك األصغر

الفصل الثالث3

اوال

من المفيد مراجعة ما درست سابقا في موضوع الحدوديات. وقبل ذلك سوف نوضح الفرق بين:

. ) x2(� , 4x , x4

x4 = x . x . x. x في نفسه 4 مرات x أي ضرب

4x = x + x + x +x اربعة مرات x أي جمع

)x2(� = )x2( )x2( )x2(

∴ )x2(� = )x( )x( )x( )x( )x( )x( = x� = x)2()�(

ضرب حدانية في حدانية أخرى:

) 2x - �( ) x + �( نحاول ان نتذكر كيفية إيجاد ناتج

) 2x - � ( ) x + � ( = 2x )x(+ 2x )�( - � )x( - � )�(

= 2x2 + �x - x - �

= 2x2 + 5x - �

2x2 + 5x-� 2 ( هوx - � ( ) x + �( أي أن ناتج حاصل ضرب

مربع حدانية

) x + 5(2 تأمل خطوات إيجاد ناتج

) هندسيا ( ) جبريا (

)x + 5 (2 = ) x + 5 ( ) x + 5(

= x)x( + x )5( + 5 )x( + 5 ) 5(

= x2 + �0x + 25

ثانيا

الفصل مراجعة � - �

حتليل حدودية بإيجاد العامل املشترك األكبر

)G.C.F( لنحاول ان نحلل الحدودية اآلتية بإستخراج العامل المشترك اآلكبر

�x� y2 + �2 x y�

�x� y2 = )2( )�( )x( )x( )x( )y( ) y(

�2x y� = )2( )2( )�( )x( )y( )y( )y(

)2( )�( )x( )y( )y(

اذا العامل المشترك األكبر هو: x y2 � لذا سيكون التحليل

�x�y2 + �2x y� = ) �x y2 ( ] x2 + 2y[

تحليل الفرق بين مربعين

�x2 - �� = )�x( 2 - )4(2 � x 2 - �� فمثال: حلل

= ) �x - 4 ( ) �x +4(

بعد هذه المراجعة المختصرة سنتطرق في البنود الالحقة ألكمال طرق التحليل األخرى.

وبصورة عامة

) a + b ( 2 = a 2 + 2ab + b2--

ثالثا

رابعا

∗ ∗∗

∗ ∗∗ ∗

a2 - b2 = )a - b()a + b(

تعلمت سابقا كيفية فك األقواس بطريقة التوزيع.

فمثال لو ضربنا )a -b( في ) a2 + ab + b2 ( ماذا ينتج؟

) a - b ( )a 2 + ab + b2(

= a ) a2 ( + a)ab( + a)b2 ( - b)a2( - b)ab( - b)b2 (

= a � + a2 b + ab2 - b a2 - ab2 - b�

= a � - b�

ان الصورة: �a�-b تسمى الفرق بني مكعبني

حتليل الفرق بني مكعبني 2 - �

) �a تقرأ a تكعيب(

) a� - b� ( = ) a - b ()a2 +ab +b2 (

ويالحظ /a� هو اجلذر التكعيبي لـ a

b� هواجلذر التكعيبي لـ b

العامل )a2+ab+b2( ال يتحلل في R .مالحظة /

حلل كال مما يأتي:

�( x�-2� 2( �x�-�25y� �( -

4( a�-b�

احلل/

�( x� - 2�= )x-�()x2+�x+�(

)x(� )�(�

2( �x� - �25y� = )2x-5y())2x(2+)2x()5y(+)5y(2(

)2x(� )5y(�

4( a� - b� = )a2-b2())a2(2+)a2()b2(+)b2(2(

)a2(� )b2(� = )a2-b2()a4+a2b2+b4(

مثال

Qg(x) = 4x− 7g(x) = 10

∴10 = 4x− 7⇒ 4x = 10 + 7⇒ 4x = 17

⇒ x =174

∈ Q�a�

Qg(x) = 4x− 7g(x) = 10

∴10 = 4x− 7⇒ 4x = 10 + 7⇒ 4x = 17

⇒ x =174

∈ Q�4b�

1a3 - 64

b3 = 1a

⎝⎜

⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟+ 4

⎝⎜

⎠⎟

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

⎝⎜

⎠⎟

3 64b3

⎝⎜

⎠⎟ = 1

⎝⎜

⎠⎟

1a2 + 4

⎝⎜

⎠⎟

)a-b()a+b( هو فرق بين مربعين وتحليله هو a2 - b2 وكما تالحظ ومما تعلمته سابقا بأن

في هذه الحالة سيكون التحليل بالشكل اآلتي:

a�-b�=)a-b()a+b()a4+a2b2+b4(

أو بالطريقة اآلتية : a� - b� = ) a�(2 - ) b�(2 ونكمل التحليل

= 2x-5y( ) 4x2 +10xy+25y2( )= )2x-5y(( )

a�+b� بنفس السياق واالسلوب المتبع في تحليل فرق بين مكعبين يمكن وضع الصورة العامة لتحليل

حيث:

حلل كال مما يأتي:

�( �4x�+� 2( 27a3 +8b3 �( 0.�25x�+y�

4( x2y5+y2x5 5( 12

احلل/ �( �4x� + � = )4x + �())4x(2 - 4x)�( + )�(2(

)4x(� )�(� = )4x+�()��x2-4x+�(

2( 27a3 +8b3 = 3

⎝⎜

⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟ 2b( )+(2b)2

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

⎝⎜

⎠⎟

2b( )3 = 3a

+2b⎛

⎝⎜

⎠⎟

9a2 - 6b

a+4b2⎛

⎝⎜

⎠⎟

حتليل مجموع مكعبني � - �

a�+b�=)a+b()a2-ab+b2(

مثال

�( 0.�25x� + y� = )0.5x+y2())0.5x(2-)0.5x()y2(+)y2(2(

)0.5x(� )y2(� = )0.5x+y2()0.25x2 - 0.5xy2+y4(

4( x2y5+y2x5 x2y2)y�+x�(

= x2y2)y+x()y2-xy+x2(

h3 +4= 12

h3 +8( )

نستخرج عامل مشترك

h+2( ) h2 -2h+4( )

h3+4= h3+82

(h3+8)�

��

h+2( ) h2 -2h+4( )

بإستخراج العامل املشترك

أو بتوحيد املقامات

س�/ حلل كال مما يأتي في ابسط صورة :

�( x� - �25 2( � + 2�y� �( a� - �4b�

4( �x� + ��y� 5( 2xy4 + ��x4y �(

�( �( �000a� -b� �( x� + y�

�0( ��( x� + x� �2(

��( x4 - x �4( 0.0�4 x� - 0.02�y�

س2/ لكل سؤال مما يأتي أربع إجابات واحدة فقط صحيحة:

احد عوامل المقدار � + �x هو: )�

a( x - 2 b( x2 - 4 x + 4 c( x2 - 2x + 4 d( x2 + 2x + 4

2( ) x - y ( ) x2 + xy + y 2 ( - ) x + y ( ) x2 - xy + y2 ( =

a( -2y� b( 2y� c( -2x� d( 2x�

a( �2 b( -2 c( �5 d( 2

4( � - x� =

a( ) � - x () � + x + x2 ( b( ) � - x ( ) � - x - x 2 ( c( ) � + x ( )� - x + x2 ( d( ) x + � ( ) � + x + x2 (

� �

a3 - 115

+ 25z3

32 - 12

a3 3x3 + 19

x� +y� = فأن x2 - xy + y2 = � وان ) x + y ( = 5 اذا كان

لنحاول تحليل الحدوديات اآلتية:

a( x2 + �x + �2

في التحليل بالتجربة :-

الحظ اننا اوجدناحاصل ضرب الطرفين والوسطين

وقمنا بايجاد المجموع الجبري لهما والذي يمثل الحد

االوسط في الحدودية الثالثية .

�x+ حاصل ضرب الطرفين .

2x+ حاصل ضرب الوسطين .

�x+ الحد االوسط .

x2+ �x + �2 = ) x + 2 ( ) x + � (

b( x2 - �x + ��

�x- حاصل ضرب الوسطين .

�x- حاصل ضرب الطرفين.

�x- الحد االوسط .

x2 - �x +�� = ) x - � ( ) x - � (

حتليل احلدوديات الثالثية 4 - �

من نوع x2 + bx + c اوال

مثال ) � (

جمع العواملعوامل العدد �2

)�( )�2(�+�2 = ��

)2()�(2+�=�

)�()4(�+4=�

جمع العوامل من عوامل العدد ��

�+ �� = �� )�( )��(

2 + � = �� )2()�(

� + � = � )�()�(

-� + - � = - � )-�()-�( ✓

c( x2 + �x - 2�

جمع العوامل عوامل العدد �2-

�-2�=-2� )�()-2�(

2�-�=2� )2�()-�(

�-�=-� )�()-�(

�-�=� )�()-�(

x2 + �x -2� = ) x + � ( ) x - � (

d( x2 - �x -�� جمع العوامل عوامل العدد ��-

�-��=-�� )�()-��(

��-�=�� )��()-�(

2-�=-� )2()-�(

�-2=� )�()-2(

�-�=-� )�()-�(

�-�=� )-�()�(

x2 - �x -�� = ) x -� ( ) x + � (

e( x2- 4xy - ��y2

جمع العوامل عوامل العدد ��-

�-��=-�� )�()-��(

��-�=�� )-�()��(

��-�=4 )-�()��(

�-��=-4 )�()-��(

x2- 4xy - ��y2 = ) x - ��y ( ) x + �y (

لنحاول تحليل الحدودية

a( �x2 + ��x + � )�()�( = � )�()�( العدد � = )2( )�(

)�()�( )�()�( ⇒ )�()�( + )�()�( = 4�

)�()�( + )�()�( = ��

)2( )�( )�()�( )2()�( + )�()�( = 2�

)2()�( + )�()�( = ��

∴ 6x2 + 17x + 7 = ( 2x + 1) ( 3x + 7 )

من نوع ، ax2 + bx + cثانيا

مثال ) 2 (

⎤⎦

العدد

a ≠ 0

b( �x2 - 2�x - � )�()�( = � )�()�( = � )2( )4(

)�()�( - )�()�( = -55

)�()�( - )�()�( = -�

)2()�( - )4()�( = -2�

)2()�( - )4()�( = �0

∴ 7x2 - 26x - 8 = ( 7x + 2) ( x- 4 )

c( �x2 - ��x + �0 )�()�0( = �0 )�()�( = � )2( )5(

)�()�( + )�0()�( = ��

)2()�( + )5()�( = ��

∴ 3x2 - 17x + 10 = ( 3x - 2) ( x- 5)

⎤⎦

-�5 وبصورة عامة ax2 + bx + c

) + ( ) + (

. = a . = c . + . = b

⎤⎦

العدد العدد

نحاول ان نحلل:

a( x2 - �x + �� )x(2 )4( 2

اي مربع كامل

∴ x2 - �x + �� = )x - 4(2

b( �x2 + �2x + 4 )�x(2 )2( 2

اي مربع كامل

∴ �x2 + �2x + 4 = )�x + 2(2

c( 25 - 25x + 4x2 )5(2 )2x( 2

ليس مربعا كامال

5 - � حتليل املربع الكامل

مثال ) � (

-2 (x) (4) = -8x

2 (3x) (2) = 12x

-2 (2x) (5) = -20x ≠ -25x-2 (2x) (5) = -20x ≠ -25x-2 (2x) (5) = -20x ≠ -25x-2 (2x) (5) = -20x ≠ -25x

وبصورة عامة تكون الحدودية ax2 + bx + c مربعا كامال

+ كان _

2 (ax2 ) (c) = bx

+ 2 (ax2 ) (c) = +2 (x2 )(25) = 10x = bx

- 2 (ax2 ) (c) = -2 (9x2 )(4) = -12x = bx

- 2 (ax2 ) (c) = -2 (16x2 )(1) = -8x = bx

اذا

اي الحدوديات تمثل مربعا كامال ؟

a( x2 + �0x + 25

b( �x2 - ��x + 4

c( ��x2 - �x + �

d( �x2 - 20x - �

e( 25x2 + ��x + �

احلل /

a( مربعا كامال

b( ليس مربعا كامال

c( مربعا كامال

d( �x2 - 20x - � ليس مربعا كامال ألن الحد االخير سالبا

e( 25x2 + ��x + � ليس مربعا كامال ألن � ليست مربعا كامال

مثال ) 2 (

2 (ax2 ) (c) = bx+_

2 (ax2 ) (c) = bx

الحدودية الثالثية بشكل عام هي بصورة ax2 + bx + c ويمكن ايجاد الحد المفقود باستخدام

القانون االتي :

25x2 - ...... + 4� جد الحد المفقود في الحدودية

لتصبح مربعا كامال

احلل/

x2 + ...... + �00y2 جد الحد المفقود في الحدودية

احلل/

جد الحد المفقود في الحدودية ��+ �x +.... لتصبح مربعا كامال

احلل/

]� - 5 - �[ ايجاد الحد المفقود في الحدودية الثالثية لتصبح مربعا كامال : -

bx = _

+ 2 (ax2 )(c)

مثال ) � (

bx = 2 (ax2 )(c) = 2 (ax2 )(100y2 ) = 2x(10y) = 20xy ∴ x2 +20xy +100y2 = (x +10y)2

مثال ) 4 (

bx = 2 (ax2 )(c)

bx = 2 (25x2 )(49) = 2(5x)(7) = 70x25x2 - 70x + 49 = (5x -7 )2

مثال ) 5 (

bx = 2 (ax2 ) (c)

8x = 2 (ax2 ) (16)64x2 = 4 × 16 × ax2

64 = ax2 ⇒ ax2 = x2

∴ x2 + 8x + 16 = ( x + 4 )2

��

جدالحد المفقود في الحدودية 20x + 25- .... لتصبح مربعا كامال

احلل/

جدالحد المفقود في الحدودية .... + x2 + �4x لتصبح مربعا كامال

احلل/

�x2 - �0x + .... جد الحد المفقود في الحدودية

احلل/

مثال ) � (

مثال ) �(

bx = 2 (ax2 ) (c)

14x = 2 (x2 ) (c)196x2 = 4 × x2 × c

4x2 = c ⇒ c = 49

∴ x2 + 14x + 49 = ( x + 7 )2

bx = 2 (ax2 ) (c)

20x = 2 (ax2 ) (25)

400x2 = 4 × 25 × ax2

ax2 = 400x2

100 ⇒ ax2 = 4x2