Coniche st

BREVE STORIA DELLE CONICHE

PROPRIETA’:

Circonferenza Ellisse

Parabola Iperbole

LA COSTRUZIONE DELLE CONICHE

Circonferenza ellisse

Parabola iperbole

Coniche Classificazione

Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.Indichiamo con l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con l’angolo formato dall’asse con la retta generatrice del cono.Se:

>

= 90°

=

<

L’equazione generale di una conica è: axax22+by+by22+cxy+dx+ey+f=+cxy+dx+ey+f=0 a , b , c , d , e , f R

Ellisse

Circonferenza

Parabola

Iperbole

Coniche Classificazione

Circonferenza

Ellisse

Parabola

Iperbole

circonferenza ellisse

parabolaiperbole

Coniche Classificazione

LA CIRCONFERENZA DA UNA SEZIONE CONICA

• La circonferenza si ottiene sezionando un cono con un piano perpendicolare

all’asse di rotazione del cono .

Coniche Classificazione

Definizione

Equazione

Casi particolari

Formule

Coniche Classificazione

Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r.

Coniche Classificazione

xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0a , b , c R

Coniche Classificazione

xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0 a, b, c a, b, c R R

centro: centro: C (a/2 C (a/2 b/2) b/2) raggio: raggio: r =r =

Coniche Classificazione

x2 + y2 = r2

C(

O

x2 + y2 + ax + by = 0

. C(

x2 + y2 + ax + ay+c = 0

O

Coniche Classificazione

L’ ELLISSE DA UNA SEZIONE CONICA

• L’ellisse si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo maggiore di

quello della retta generatrice del cono.

Coniche Classificazione

Definizione

Equazione

Grafici

Formule

Ellisse traslata

Coniche Classificazione

Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.

PF1+ PF2= k k R R++

y

x

Coniche Classificazione

xx22 y y22

+ = 1+ = 1aa22 b b22

aa: semiasse maggiore

bb: semiasse minore

cc:: F1F2 / 2

Caso in cui l’asse focale è l’asse x:y

x

Coniche Classificazione

Equazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V(; ).

(x - )2 (y - )2

a2 b2

vettore V (; ) centro C (; )

vertici: A’(a ; ) B’( ; b)

fuochi:

a>b F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2

a<b F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2

+ =1y

x

Coniche Classificazione

C(0;0) a>bC(0;0) b>a

y

x

y

x

Coniche Classificazione

L’eccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore.

0<e<1 ellisse

a2 = b2 + c2

Fuochi:a>b F1(-a2-b2 ; 0) F2(a2-b2 ; 0) eccentricità: c/aa<b F1(0 ; -b2-a2) F2(0 ; b2-a2) eccentricità: c/b

Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b)

Coniche Classificazione

LA PARABOLA DA UNA SEZIONE CONICA

• La parabola si ottiene sezionando un cono con un

piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo

uguale a quello della retta generatrice del cono.

Coniche Classificazione

Definizione

Equazione

Formule

Casi particolari

concavità

Coniche Classificazione

Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d.

d

F

x

y

Coniche Classificazione

y=ax2+bx+c

x=ay2+by+c

x

y

x

y

Coniche Classificazione

y=ax2+bx+c x=ay2+by+c

vertice V(-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a)

fuoco F(-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a)

direttrice dy=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a)

equazione assex=-b/(2a) y=-b/(2a)

Coniche Classificazione

Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura.

Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura

.

b=0 y=ax2+c c=0 y=ax2+bx

c=0 e b=0 y=ax2

x

y

y

x

x

y

Coniche Classificazione

a>0 a<0

x

y y

x

x

y y

x

Coniche Classificazione

L’ IPERBOLE DA UNA SEZIONE CONICA

• L’iperbole si ottiene sezionando un cono con un

piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del

cono di un angolo minore di quello della retta

generatrice del cono.

Sezione iperbole

Coniche Classificazione

Definizione

Equazione

I. Equilatera

Formule

I. Traslata

Coniche Classificazione

Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.

PF1- PF2 = k k R R++

Coniche Classificazione

xx22 y y22

- = +1- = +1aa22 b b22

c = semidistanza F1 -F2

asse focale: 2c

I caso

II caso

xx22 y y22

- = -1- = -1aa22 b b22

Coniche Classificazione

I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: (a2+b2 ; 0)

II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a2+b2)

asintoti: y= (b/a) x

eccentricità e = c/a

e =0 circonferenza0<e<1 ellissee>1 iperbole

Coniche Classificazione

Iperbole equilatera: a=bIperbole equilatera: a=b xx22 - y - y2 2 = -a= -a2 2 o xo x2 2 - y- y2 2 =a=a22

asintoti:asintoti: y = y = x x

c = a2

e = 2

Coniche Classificazione

Iperbole traslataIperbole traslataTraslazione di vettore: v ( ; )

I caso: vertici: ( a ; ) fuochi: ( c ; ) e = c/aII caso: vertici: ( ; b ) fuochi: ( ; c) e = c/b

asintoti: y - = (b/a) (x- )

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

Quadro riassuntivo

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

PARABOLAy=ax2+bx+c x=ay2+by+c

vertice V

(-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a)

fuoco F

(-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a)

direttrice d

y=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a)

equazione asse

x=-b/(2a) y=-b/(2a)

CIRCONFERENZAxx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0 + ax + by + c = 0 a, b, c a, b, c R R

Centro:Centro: C (a/2 C (a/2 b/2) b/2)

raggio: raggio: r =r =

ELLISSEa2 = b2 + c2; Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b)

vertici

(-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b),

fuochi F

a>b a<b

(- a a22 - b - b22 ; ;0), (+ a a22 - b - b22 ; ;0) (0;- b b22 - a - a22 ), (0;+ a a22 - b - b22 )

Eccentricità 0<e<1

e=c/a e= c/b

IPERBOLEa2 +b2= c2;

a>b a<b

vertici

(-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b),

fuochi F

(- a a22 + b + b22 ; ;0), (+ a a22 + b + b22 ; ;0) (0;- b b22 + a + a22 ), (0;+ a a22 + b + b22)

Eccentricità e>1

e=c/a e= c/b

asintoti: y= (b/a) x

c - (b/2) - (a/2) 22