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BREVE STORIA DELLE CONICHE
PROPRIETA’:
Circonferenza Ellisse
Parabola Iperbole
LA COSTRUZIONE DELLE CONICHE
Circonferenza ellisse
Parabola iperbole
Coniche Classificazione
Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.Indichiamo con l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con l’angolo formato dall’asse con la retta generatrice del cono.Se:
>
= 90°
=
<
L’equazione generale di una conica è: axax22+by+by22+cxy+dx+ey+f=+cxy+dx+ey+f=0 a , b , c , d , e , f R
Ellisse
Circonferenza
Parabola
Iperbole
Coniche Classificazione
Circonferenza
Ellisse
Parabola
Iperbole
circonferenza ellisse
parabolaiperbole
Coniche Classificazione
LA CIRCONFERENZA DA UNA SEZIONE CONICA
• La circonferenza si ottiene sezionando un cono con un piano perpendicolare
all’asse di rotazione del cono .
Coniche Classificazione
Definizione
Equazione
Casi particolari
Formule
Coniche Classificazione
Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r.
Coniche Classificazione
xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0a , b , c R
Coniche Classificazione
xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0 a, b, c a, b, c R R
centro: centro: C (a/2 C (a/2 b/2) b/2) raggio: raggio: r =r =
Coniche Classificazione
x2 + y2 = r2
C(
O
x2 + y2 + ax + by = 0
. C(
x2 + y2 + ax + ay+c = 0
O
Coniche Classificazione
L’ ELLISSE DA UNA SEZIONE CONICA
• L’ellisse si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo maggiore di
quello della retta generatrice del cono.
Coniche Classificazione
Definizione
Equazione
Grafici
Formule
Ellisse traslata
Coniche Classificazione
Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.
PF1+ PF2= k k R R++
y
x
Coniche Classificazione
xx22 y y22
+ = 1+ = 1aa22 b b22
aa: semiasse maggiore
bb: semiasse minore
cc:: F1F2 / 2
Caso in cui l’asse focale è l’asse x:y
x
Coniche Classificazione
Equazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V(; ).
(x - )2 (y - )2
a2 b2
vettore V (; ) centro C (; )
vertici: A’(a ; ) B’( ; b)
fuochi:
a>b F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2
a<b F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2
+ =1y
x
Coniche Classificazione
C(0;0) a>bC(0;0) b>a
y
x
y
x
Coniche Classificazione
L’eccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore.
0<e<1 ellisse
a2 = b2 + c2
Fuochi:a>b F1(-a2-b2 ; 0) F2(a2-b2 ; 0) eccentricità: c/aa<b F1(0 ; -b2-a2) F2(0 ; b2-a2) eccentricità: c/b
Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b)
Coniche Classificazione
LA PARABOLA DA UNA SEZIONE CONICA
• La parabola si ottiene sezionando un cono con un
piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo
uguale a quello della retta generatrice del cono.
Coniche Classificazione
Definizione
Equazione
Formule
Casi particolari
concavità
Coniche Classificazione
Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d.
d
F
x
y
Coniche Classificazione
y=ax2+bx+c
x=ay2+by+c
x
y
x
y
Coniche Classificazione
y=ax2+bx+c x=ay2+by+c
vertice V(-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a)
fuoco F(-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a)
direttrice dy=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a)
equazione assex=-b/(2a) y=-b/(2a)
Coniche Classificazione
Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura.
Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura
.
b=0 y=ax2+c c=0 y=ax2+bx
c=0 e b=0 y=ax2
x
y
y
x
x
y
Coniche Classificazione
a>0 a<0
x
y y
x
x
y y
x
Coniche Classificazione
L’ IPERBOLE DA UNA SEZIONE CONICA
• L’iperbole si ottiene sezionando un cono con un
piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del
cono di un angolo minore di quello della retta
generatrice del cono.
Sezione iperbole
Coniche Classificazione
Definizione
Equazione
I. Equilatera
Formule
I. Traslata
Coniche Classificazione
Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.
PF1- PF2 = k k R R++
Coniche Classificazione
xx22 y y22
- = +1- = +1aa22 b b22
c = semidistanza F1 -F2
asse focale: 2c
I caso
II caso
xx22 y y22
- = -1- = -1aa22 b b22
Coniche Classificazione
I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: (a2+b2 ; 0)
II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a2+b2)
asintoti: y= (b/a) x
eccentricità e = c/a
e =0 circonferenza0<e<1 ellissee>1 iperbole
Coniche Classificazione
Iperbole equilatera: a=bIperbole equilatera: a=b xx22 - y - y2 2 = -a= -a2 2 o xo x2 2 - y- y2 2 =a=a22
asintoti:asintoti: y = y = x x
c = a2
e = 2
Coniche Classificazione
Iperbole traslataIperbole traslataTraslazione di vettore: v ( ; )
I caso: vertici: ( a ; ) fuochi: ( c ; ) e = c/aII caso: vertici: ( ; b ) fuochi: ( ; c) e = c/b
asintoti: y - = (b/a) (x- )
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
Quadro riassuntivo
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
PARABOLAy=ax2+bx+c x=ay2+by+c
vertice V
(-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a)
fuoco F
(-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a)
direttrice d
y=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a)
equazione asse
x=-b/(2a) y=-b/(2a)
CIRCONFERENZAxx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0 + ax + by + c = 0 a, b, c a, b, c R R
Centro:Centro: C (a/2 C (a/2 b/2) b/2)
raggio: raggio: r =r =
ELLISSEa2 = b2 + c2; Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b)
vertici
(-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b),
fuochi F
a>b a<b
(- a a22 - b - b22 ; ;0), (+ a a22 - b - b22 ; ;0) (0;- b b22 - a - a22 ), (0;+ a a22 - b - b22 )
Eccentricità 0<e<1
e=c/a e= c/b
IPERBOLEa2 +b2= c2;
a>b a<b
vertici
(-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b),
fuochi F
(- a a22 + b + b22 ; ;0), (+ a a22 + b + b22 ; ;0) (0;- b b22 + a + a22 ), (0;+ a a22 + b + b22)
Eccentricità e>1
e=c/a e= c/b
asintoti: y= (b/a) x
c - (b/2) - (a/2) 22