Interes compuesto

RA INTERÉS COMPUESTO

Expositor: Daniel Robles Fabián

𝑴𝒐𝒏𝒕𝒐

=𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂

𝒍 (𝟏+𝑻𝒂𝒔𝒂𝒅

𝒆 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆

𝒔 )𝑻𝒊𝒆

𝒎𝒑𝒐

𝑺=𝑷(𝟏+𝒊)

RAINTERÉS COMPUESTO

Concepto.- Es un proceso donde un capital en una unidad de periodo, genera intereses y luego los suma para formar un nuevo capital, a este proceso se le llama capitalización.

Donde: P1 + I1 = S1 Pn + In = Sn

P1 P2S1= P3S2

P4S3PnSn-1 SnS4

I1 I2 I3 I4 In-1

0 1 2 3 4 n-1 n

RA P + I

Cuando se va acumulando intereses en varias

unidades de periodos consecutivos el capital

crece geométricamente.

Este proceso de capitalización

periódica es efecto de la tasa de

interés compuesto.

RA Un caso:

Si recibimos un préstamo de S/. 1000 a pagarse en 4 meses fijado a una tasa del 10% mensual.

P1=1000

S1=1100=P2

I1=1000x0.1

I1=100

I2=1100x0.1 I3=1210x0.1 I4=1331x0.1

I2=110 I3=121 I4=133.10

S2=1210=P2 S3=1331=P2 S4=1464.10

i = 10%(tasa de interés)

0 2 3 41

RATASAS DE INTERÉS COMPUESTO

1. Tasas Efectiva Periódica (i, if, ip).- Es aquella tasa que capitaliza una vez cada periodo definido.

Ejemplo:ia = tasa efectiva anual =TEA

is = tasa efectiva semestral =TES

it = tasa efectiva trimestral =TET

ib = tasa efectiva bimestral =TEB

im= tasa efectiva mensual =TEM

iq= tasa efectiva quincenal =TEQ

id = tasa efectiva diario =TED

RA 2. Tasa Nominal (J).- Es una tasa anual, pero capitaliza varias veces al año.

0n= 1 año

1 2 3 4

Si el número de capitalizaciones al año es 4, entonces es capitalización trimestral.

RATiempo(n) Capitalización # de Capitalizaciones

al año(m)1 año Anual 1

6 meses Semestral 2

3 meses Trimestral 4

2 meses Bimestral 6

1 mes Mensual 12

½ mes Quincenal 24

1 día Diaria 360

Periódo Sistema Financiero Calendarioaño 360 días 365 /366 según el añomes 30 días 28 /29/30/31 según el mes

RAMONTO A TASA EFECTIVA PERIÓDICA(S)

Es el Valor futuro o capital acumulado que se obtiene a partir de la capitalización que impone una tasa efectiva de un periodo determinado.

Periodo(n) Capital(P) Interés(I) Monto(S)1 P Pxi P+Pxi = P(1+i)

2 P(1+i) P(1+i)xi P(1+i)+P(1+i)xi = P(1+i)2

3 P(1+i)2 P(1+i)2xi P(1+i)2+P(1+i)2

xi = P(1+i)3

4 P(1+i)3 P(1+i)3xi P(1+i)3+P(1+i)3

xi = P(1+i)4

. . . .

. . . .n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1

xi P(1+i)n-1+P(1+i)n-1xi =P(1+i)n

RA Entonces para cualquier periodo “n” el valor futuro o monto se obtiene con la siguiente formula deducida:

Donde: S Valor futuro o montoP Valor presente o capital iniciali Tasa efectiva periódican Tiempo

Nota: Para aplicar correctamente la formula, la tasa de interés y el tiempo deben estar a la misma unidad de periodo.

RAEjemplo1:

Un crédito personal de S/.5000 debe ser cancelado a 1 año y 3 meses a una TEA=35,5%. Calcular el monto a pagarse en ese plazo indicado.Solución:

P=5000Ia = 0,355 anualn = 15/12 años

Por formula:𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑎)𝑛

Aplicando los datos tenemos:

𝑆=5000 (1+0,355)15 /12

𝑺=𝟕𝟑𝟎𝟗 ,𝟔𝟏

0 1 año 1 a y 3 m

RAEjemplo2:

Una cuenta a plazos de S/. 20000 debe permanecer en el banco por 8 meses ganando intereses a una TET=1,8%. Calcular el monto a retirarse al vencimiento del plazo.Solución:

P= 20000it = 0, 018 trimestraln = 8/3 trimestres

Por formula:𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑡)𝑛

𝑆=20000 (1+0,018)8/3

𝑺=𝟐𝟎𝟗𝟕𝟒 ,𝟒𝟔

0 1 t 2 t y 2 m2 t

RAMONTO A TASA NOMINAL ANUAL

Es el Valor futuro o capital acumulado que se obtiene a partir de una tasa nominal que capitaliza varias veces al año en un periodo determinado.Se calcula con la siguiente formula:

𝑺=𝑷 (𝟏+𝑱𝒎 )

𝒏 𝒙𝒎

Donde: S Valor futuro o montoP Valor presente o capital inicialJ Tasa Nominal Anualm Número de capitalizaciones al añon Tiempo en años

RAEjemplo3:Un bono hipotecario adquirido a S/. 9000 con un plazo de vencimiento de 1 año y 6 meses debe pagar intereses a una J=25,2%. Capitalizable semestralmente. Calcular el monto a cancelarse.Solución:

P= 9000J = 0, 252m= 2 (cap. Semestral)n = 1,5 año

Por formula:

𝑆=𝑃 (1+ 𝐽𝑚 )

𝑛𝑥𝑚

𝑆=9000(1+ 0,2522

)1 , 5𝑥 2

𝑺=𝟐𝟎𝟗𝟕𝟒 ,𝟒𝟔P S

0 1 s 3s2 s

𝒊𝒂=(𝟏+𝑱𝒎 )

𝒎−𝟏

𝑱=𝒎(𝒎√𝟏+𝒊𝒂−𝟏)

TEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASASDE INTERÉS COMPUESTO

Caso 1: Conversión de Tasa Efectiva Anual a Tasa Nominal Anual

Si: 𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑎)𝑛=𝑃 (1+ 𝐽𝑚 )

𝑛 𝑥𝑚

1+𝑖𝑎=(1+ 𝐽𝑚 )

Despejando tenemos:

Tasa Efectiva Anual (ia)

Tasa Nominal Anual(J)

RA Ejemplo: A que tasa efectiva anual será equivalente la tasa nominal del 21% capitalizable mensualmente.

Solución:

Datos:

ia= ?J = 0,21m=12 (cap. mensualmente)

Remplazando tenemos:

𝒊𝒂=(𝟏+𝑱𝒎 )

𝒎−𝟏

𝒊𝒂=(𝟏+𝟎 ,𝟐𝟏𝟏𝟐 )

𝟏𝟐−𝟏

RA Ejemplo: A que tasa nominal que sea capitalizable trimestralmente será equivalente a la tasa efectiva anual del 24;6%

Solución:

Datos:

J = ?m = 4 (cap. trimestralmente)ia= 0,246

Remplazando tenemos:

𝑱=𝒎(𝒎√𝟏+𝒊𝒂−𝟏)

RATEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASAS

DE INTERÉS COMPUESTO Caso 2: Conversión de Tasa Nominal Anual a Tasa Efectiva

Periódica

𝒊𝒙=𝑱𝒎 Donde “x” depende de m

Ejemplo1:

J=20%m= 4 (cap. trim.)

Ejemplo2:

J=18,6%m= 24 (cap. quinc.)

0,775%

RATEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASAS

DE INTERÉS COMPUESTO

Caso 3: Conversión de Tasas Efectivas Periódicas

Si: 𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑎)𝑛=𝑃 (1+ 𝐽𝑚 )

𝑛 𝑥𝑚

𝟏+𝒊𝒂=(𝟏+𝑱𝒎 )

Analógicamente:

𝟏+𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓=(𝟏+𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓)𝒎

Despejando se deduce:Tasa Efectiva Mayor:

Tasa Efectiva Menor:

𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓=(𝟏+𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 )𝒎−𝟏

𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓=𝒎√𝟏+𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓−𝟏

RAEjemplo1: A que tasa efectiva semestral equivale la tasa efectiva bimestral del 4,52%.

Solución:Datos:iS = ? (mayor)Ib = 0,0452m = 3

𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓=(𝟏+𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 )𝒎−𝟏

𝒊𝒔=(𝟏+𝟎 ,𝟎𝟒𝟓𝟐 )𝟑−𝟏𝒊𝒔=𝟏𝟒 ,𝟏𝟖%

Ejemplo2: A que tasa efectiva mensual equivale la tasa efectiva anual del 18,15%.Solución:Datos:im = ? (menor)Ia = 0,1815m = 12

𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓=𝒎√𝟏+𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓−𝟏

𝒊𝒎=𝟏𝟐√𝟏+𝟎 .𝟏𝟖𝟏𝟓−𝟏𝒊𝒎=𝟏 ,𝟒𝟎%

RAFORMULAS DERIVADAS DEL MONTO

A partir de: 𝑷 (𝟏+𝒊𝒑)𝒏=𝑺 Despejando tenemos:

1. Valor Actual o Capital (P) 𝑷=𝑺

(𝟏+𝒊𝒑)𝒏

2. Tasa Efectiva Periódica (ip) 𝒊𝒑=𝒏√ 𝑺𝑷 −𝟏3. Tiempo(n)

𝒏=𝑳𝒐𝒈 (

𝑺𝑷 )

𝑳𝒐𝒈 (𝟏+𝒊𝒑)

RAProblema 1: ¿Qué préstamo debe realizarse a 6 meses y 18 días para poder cobrar las suma de S/.12640 fijado a una TEM=4,5%.Solución:

Datos:

P = ?n = 6 m y 18 dim=0,045S = 12640 𝑃=

𝑆(1+𝑖𝑚)𝑛

Sabemos que:

Remplazando:

𝑃=12640

(1+0,045)6,6

18 días convertir a meses mediante el método de la unidad.

= 0,6 m

𝑃=9453,22

RAProblema 2: ¿ A qué tasa efectiva bimestral debe otorgarse un crédito de S/.6800 para cobrara la suma de S/.9120 en el plazo de 1 año, 5 meses y 3 días.

Solución:

Datos:

ib=0,045P = 6800S = 9120n = 1a,5m y 3d

𝑖𝑏=8 , 55√ 91206800−1

𝑖𝑏=0,034929 𝑥100%

𝑖𝑏=3,49%

Convirtiendo el tiempo en bimestres

n = 1a, 5m y 3d = 513 d (

RAProblema 3: Durante que plazo debe depositarse una cuanta de ahorros de S/.4910 a una TET=1,89% para tener un saldo de S/.7084.

Solución:

Datos:

n = ?P = 4910it = 0,0189S = 7084

𝑛=𝐿𝑜𝑔(

𝑆𝑃 )

𝐿𝑜𝑔(1+𝑖𝑝)Sabemos que:

𝑛=𝐿𝑜𝑔(

70844910 )

𝐿𝑜𝑔 (1+0,0189)

Remplazando:

𝑛=19,57767225 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠( 90 𝑑1 𝑡 )𝑛=1761𝑑 í 𝑎𝑠𝑛=4 𝑎 ,10𝑚𝑦 21𝑑

RA4. Interés(I)

Problema 4: Calcular los interés a pagarse en una deuda de S/. 7500 fijado a una TEQ = 2% y un plazo de 10 meses y 10 días.Datos:

I= ? P = 7500iq = 0,02n = 10 m y 10 d

𝐼=𝑆−𝑃𝐼=𝑃 ¿𝑰=𝑷 ¿

𝑛=10𝑚𝑦 10𝑑=310𝑑 ( 1𝑞15𝑑 )=20,666….Aplicando :𝐼=𝑃 ¿

𝐼=7500 ¿𝐼=3792,71𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 .

RADESCUENTO A INTERES COMPUESTO

1. DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO(DRC).- Es un descuento matemático exacto establecido a partir de la tasa efectiva periódica por el pago anticipado de una deuda.

Donde:DRC = Descuento Racional Compueston = tiempo de descuentoVa = Valor ActualVn = Valor Nominal

P Va Vn

n0 n1 n2

𝑫𝑹𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏+𝒊𝒑)−𝒏 ]𝑽 𝑨=𝑽 𝑵−𝑫𝑹𝑪

RAProblema: Un préstamo se acordó pagar a 8 meses y 24 días la suma de S/. 18400 pero transcurrido 6 meses y 27 días de su aceptación se decide cancelar. Calcular el descuento racional que debe realizarse y el valor de pago si la operación se lleva a la TEM=1,6%.

Datos:

DRC = ? Vn = 18400im = 0.016n1 = 8 m y 24 dn2 = 6 m y 27 d

Solución: P Va=? Vn=18400

n=1m y 27d0 n1 n2

im=1,6%

n = 1,9 mAplicando:

𝑫𝑹𝑪=𝟓𝟒𝟔 ,𝟔𝟓

𝑫𝑹𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏+𝒊𝒑)−𝒏 ]𝑫𝑹𝑪=𝟏𝟖𝟒𝟎𝟎 [𝟏−(𝟏+𝟎 ,𝟎𝟏𝟔 )−𝟏 ,𝟗 ]

𝑽 𝑨=𝟏𝟖𝟒𝟎𝟎−𝟓𝟒𝟔 ,𝟔𝟓𝑽 𝑨=𝟏𝟕𝟖𝟓𝟑 ,𝟑𝟓

RADESCUENTO A INTERES COMPUESTO

2. DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO(DBC).- Es un descuento comercial establecido a partir de la tasa adelantada periódica por el pago anticipado de una deuda.

Donde:DBC = Descuento Bancario Compueston = tiempo de descuentoVa = Valor ActualVn = Valor Nominal

P Va Vn

n0 n1 n2

𝑫𝑩𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏−𝒅)𝒏 ]𝑽 𝑨=𝑽 𝑵−𝑫𝑩𝑪

𝒅=𝒊

𝟏+𝒊

RAProblema: Una letra de cambio se acepto pagar a 90 días el valor de S/.12300 pero faltando 24 días para el vencimiento se decide cancelar. Calcular el valor de pago si la operación se lleva a una tasa de descuento bimestral del 3,2%

Datos:

DBC = ? Vn = 12300db = 0,032n = 24 d

Solución:P Va=? Vn=12300

n=24 d0 n1 n2

db=3,2%

n = 0,4 bim

𝑫𝑩𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏−𝒅)𝒏 ]Aplicando:

𝑫𝑩𝑪=𝟏𝟐𝟑𝟎𝟎 [𝟏−(𝟏−𝟎 ,𝟎𝟏𝟑)𝟎,𝟒 ]𝑫𝑩𝑪=𝟔𝟒 ,𝟐𝟏𝑽 𝑨=𝟏𝟐𝟐𝟑𝟓 ,𝟕𝟗

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