kalkulus I turunan

Kalkulus 1 : Turunan

Kelompok 9

Anggota : Reny Rosida 14.05.0.047Sri Utami 14.05.0.063Ikko Fuji Lestari 14.05.0.045Rosdi 14.05.0.044Marisa 14.05.0.069Azmi 14.05.0.056

Kelas : FKIP Matematika B Semester 1

Defenisi Turunan

• Turunan fungsi 𝒇 pada 𝒙 didefinisikan sebagai

𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎∆𝐱→𝟎

𝐟 𝐱 + ∆𝒙 − 𝐟(𝐱)

∆𝒙apabila limitnya ada. Untuk setiap 𝒙 sedemikiansehingga limitnya ada, 𝒇′ adalah fungsi terhadap𝒙.

Contoh :

Tentukan turunan dari 5𝑥 ?

𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

5 𝑥+∆𝑥 −5𝑥

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

5𝑥+5∆𝑥−5𝑥

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

5∆𝑥

∆𝑥

= 5

Aturan Pencarian Turunan

Teorema 1 (aturan fungsi konstanta)

Jika 𝒇(𝒙) = 𝒌 dengan k suatu konstanta makauntuk sembarang x, 𝒇′(𝒙) = 𝟎

Contoh :

• 𝑓 𝑥 = 2 maka 𝑓′ 𝑥 = 0

• 𝑓 𝑥 = 1000 maka 𝑓′ 𝑥 = 0

Teorema 2 (aturan fungsi identitas)

Jika 𝒇(𝒙) = 𝒙 maka 𝒇′(𝒙) = 𝟏

Pembuktian :

𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥

∆𝑥

𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0

∆𝑥

∆𝑥𝑓′ 𝑥 = 1

Teorema 3 (aturan pangkat)

Jika 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏, dengan n bilangan bulatpositif,maka 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏

Contoh :

• 𝑓 𝑥 = 𝑥10 maka 𝑓′ 𝑥 = 10𝑥10−1 = 10𝑥9

• 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 2 maka 𝑓′ 𝑥 =3

2𝑥 3 2−1 =

3

2𝑥 1 2

Teorema 4 (aturan kelipatan konstanta)

Jika 𝒌 suatu konstanta dan 𝒇 suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka 𝒌𝒇 ′(𝒙) = 𝒌 ∙ 𝒇′(𝒙)

Contoh :

• 𝑦 = 5𝑥5 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑦′ = 5 ∙ 5𝑥4 = 25𝑥4

• 𝑢 =1

2𝑥2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑢′ =

1

2∙ 2𝑥1 = 𝑥

Teorema 5 (aturan jumlah)

Jika 𝒇 dan 𝒈 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,maka

𝐟 + 𝒈 ′(𝐱) = 𝒇′(𝐱) + 𝒈′(𝐱)

Contoh :

• 𝑓 𝑥 = 5𝑥6 , 𝑓′ 𝑥 = 30𝑥5

𝑔 𝑥 = 6𝑥6 , 𝑔′ 𝑥 = 36𝑥5

Maka 𝑓 + 𝑔 ′ 𝑥 = 30𝑥5 + 36𝑥5 = 66𝑥5

Teorema 6 (aturan selisih)

Jika 𝒇 dan 𝒈 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,

Maka 𝒇 − 𝒈 ′𝒙 = 𝒇′ 𝒙 − 𝒈′(𝒙)

Contoh :

• 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 , 𝑓′ 𝑥 = 8𝑥3

𝑔 𝑥 = 4𝑥2 , 𝑔′ 𝑥 = 8𝑥

Maka 𝑓 − 𝑔 ′𝑥 = 8𝑥3 − 8𝑥

Teorema 7 (aturan hasil kali)

Jika 𝒇 dan 𝒈 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka

𝒇 ∙ 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝒈′ 𝒙 + 𝒈(𝒙) ∙ 𝒇′(𝒙)

Contoh :

• 𝑓 𝑥 = 4𝑥 , 𝑓′ 𝑥 = 4

• 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 , 𝑔′ 𝑥 = 4𝑥

Maka 𝑓 ∙ 𝑔 ′𝑥 = 4𝑥 ∙ 4𝑥 + 2𝑥2 ∙ 4 = 16𝑥2 +8𝑥2 = 24𝑥2

Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus turunan trigonometri

• 𝐟(𝐱) = 𝒔𝒊𝒏 𝐱 → 𝒇′(𝐱) = 𝒄𝒐𝒔𝒙

• 𝐟(𝐱) = 𝒄𝒐𝒔 𝐱 → 𝒇′(𝐱) = −𝒔𝒊𝒏𝒙

• 𝐟(𝐱) = 𝒕𝒂𝒏𝐱 → 𝒇′(𝐱) = 𝐬𝐞𝐜 𝟐x

• 𝐟(𝐱) = 𝒄𝒐𝒕 𝐱 → 𝒇′(𝐱) = −𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝐱

• 𝐟(𝐱) = 𝒔𝒆𝒄 𝐱 → 𝒇′(𝐱) = 𝒔𝒆𝒄 𝐱 ∙ 𝒕𝒂𝒏𝒙

• 𝐟 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝐱 → 𝒇′ 𝐱 = −𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒕 𝒙

• 𝐟 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝒃𝒙 + 𝒄 → 𝒇′ 𝒙 = 𝒂𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒙 + 𝒄)

• 𝐟 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒃𝒙 + 𝒄 → 𝒇′ 𝒙 = −𝒂𝒃 ∙ 𝒔𝒊𝒏(𝒃𝒙 + 𝒄)

Contoh :

• 𝑓 𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓′ 𝑥 = −3𝑠𝑖𝑛𝑥

• 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛5𝑥 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓′ 𝑥 = 10𝑐𝑜𝑠5𝑥

• 𝑓 𝑥 = 4 cos 3𝑥 + 𝜋 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑓′ 𝑥 = −3 ∙ 4 sin 3𝑥 + 𝜋

= −12sin(3𝑥 + 𝜋)

SEKIAN

DAN

TERIMAKASIH