Upload
others
View
6
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
TERAPAN TURUNAN
Departemen MatematikaFMIPA IPB
Bogor, 2012
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61
Topik Bahasan
1 Nilai Maksimum dan Minimum
2 Teorema Nilai Rataan (TNR)
3 Turunan dan Bentuk GrafikKemonotonan FungsiKecekungan Fungsi
4 Asimtot
5 Sketsa Kurva
6 Masalah Pengoptimuman
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 2 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Beberapa Aplikasi Turunan
Ukuran kaleng yang meminimumkan biaya produksi
Formasi, lokasi, dan warna pelangi
Percepatan maksimum pesawat angkasa ulang-alik
Sudut optimal pencabangan pembuluh darah yang meminimumkanenergi dari jantung
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 3 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai Ekstrim Fungsi
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 4 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai Maksimum dan Minimum
Definisi (Maksimum Mutlak, Minimum Mutlak)
Misalkan fungsi f terdefinisi pada daerah asal Df .
f memiliki maksimum mutlak (global) di c ∈ Df jika
f (c) ≥ f (x) untuk setiap x ∈ Df
f (c) disebut nilai maksimum f pada Df .f memiliki minimum mutlak di c ∈ Df jika
f (c) ≤ f (x) untuk setiap x ∈ Df
f (c) disebut nilai minimum f pada Df .Nilai maksimum/minimum f disebut nilai ekstrim (mutlak) f .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 5 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Ilustrasi Nilai Ekstrim
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 6 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh (Ekstrim Mutlak)
1 f (x) = |x| memiliki nilai minimum mutlak f (0) = 0 karenaf (0) = 0 ≤ f (x) , x ∈ Df .
2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum mutlak cos (2nπ) = 1 untukbilangan bulat n karena f (2nπ) = 1 ≥ f (x) , x ∈ Df . Nilai minimummutlaknya adalah −1.
3 f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim mutlak. �
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 7 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 8 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Syarat Cukup Nilai Ekstrim
Teorema (Nilai Ekstrim)
Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b] , maka f mencapai nilaiminimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada [a, b] .
Jika f kontinu pada [a, b] , maka f memiliki minimum mutlak danmaksimum mutlak.
Jika f tidak kontinu pada [a, b] , maka tidak ada kesimpulan apakah fmemiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 9 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Ilustrasi Nilai Ekstrim pada Fungsi yang Kontinu
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 10 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Maksimum, Minimum Lokal
Definisi (Maksimum Lokal, Minimum Lokal)
Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal (maksimum relatif) dic ∈ Df jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehinggaf (c) ≥ f (x) untuk setiap x ∈ (a, b) ∩Df .
Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal (minimum relatif) dic ∈ Df jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehinggaf (c) ≤ f (x) untuk setiap x ∈ (a, b) ∩Df .
Nilai maksimum/nilai minimum lokal f disebut nilai ekstrim lokal f .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 11 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Ilustrasi Ekstrim Lokal
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 12 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh (Ekstrim Lokal)
1 f (x) = |x| memiliki nilai minimum lokal f (0) = 0 karena padainterval buka I yang memuat 0, f (0) ≤ f (x) , x ∈ I.
2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum lokal cos (2nπ) = 1 untukbilangan bulat n karena pada interval terbuka I yang memuat 2nπ,f (2nπ) ≥ f (x) , x ∈ I. Nilai minimum lokalnya adalahcos((2n+ 1)π) = −1.
3 f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim lokal. �
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 13 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Bilangan Kritis
Definisi (Bilangan Kritis)
Titik c ∈ Df sehingga f ′ (c) = 0 disebut titik stasioner.Titik c ∈ Df sehingga f ′ (c) tidak ada disebut titik singular.Titik c ∈ Df yang termasuk salah satu dari titik ujung, titik stasioner,dan titik singular disebut bilangan (titik) kritis fungsi f .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 14 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh
Tentukan bilangan kritis fungsi f berikut
1 f (x) =√
x (1− x) .
2 f (x) =
x2 , −1 ≤ x < 0
x2 − 2x , 0 ≤ x ≤ 2.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 15 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Soal (Bilangan Kritis)
Bila ada, tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi-fungsi berikut:
1 f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x+ 1 (jawab: tidak ada bil. kritis)
2 g (x) = |2x− 5| (x = 5/2)3 h (x) = x1/3 − x−2/3 (x = −2)4 f (x) = 3
√x2 − x (x = 0, 1/2, 1)
5 g (θ) = θ + sin (θ) (θ = (2n+ 1)π, n : bil. bulat)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 16 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Teorema (Teorema Fermat)
Jika f (c) merupakan nilai ekstrim lokal, maka c adalah bilangan kritis f .
Teorema Fermat menyatakan bahwa syarat perlu agar f (c) merupakannilai ekstrim lokal adalah c merupakan bilangan kritis dari fungsi f .Untuk memperoleh nilai ekstrim lokal f (c), terlebih dahulu tentukanbilangan kritis c karena jika c bukan bilangan kritis, maka f (c) bukannilai ekstrim lokal.
Perhatikan bahwa jika c bilangan kritis, belum tentu f (c) merupakannilai ekstrim lokal.
Berdasarkan definisi, ekstrim lokal terjadi pada titik ujung, titikstasioner, atau titik singular.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 17 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh
1 f (x) = x2 ⇒ f (0) nilai minimum lokal,f ′ (x) = 2x⇒ f ′ (0) = 0⇒ 0 adalah bilangan kritis.
2 f (x) = |x| ⇒ f (0) nilai minimum lokal, f ′ (0) tidak ada ⇒ 0 adalahbilangan kritis.
3 f (x) = x3 ⇒ f ′ (0) = 0⇒ 0 adalah bilangan kritis, tetapi f (0)bukanlah ekstrim lokal. �
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 18 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Di mana Ekstrim Mutlak Terjadi?
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 19 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Menentukan Ekstrim MutlakMetode Selang Tutup
Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] . Nilai maksimum/minimummutlak fungsi f dapat ditentukan dengan cara:
Tetapkan bilangan-bilangan kritis f pada [a, b] (titik ujung, titikstasioner, titik singular)
Evaluasi f pada setiap bilangan kritis. Nilai terbesar merupakan nilaimaksimum mutlak, nilai terkecil merupakan nilai minimum mutlakfungsi f .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 20 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Soal (Ekstrim Mutlak)
Tentukan nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak fungsi f padaselang yang diberikan.
1 f (x) = x3 − 3x+ 1, [0, 3](jawab: f (1) = −1 min, f (3) = 19 maks)
2 f (x) =x
x+ 1, [1, 2] (f (1) = 1/2 min, f (2) = 2/3 maks)
3 f (x) =
−1− 2x ; −2 ≤ x < −1
x2 ; −1 ≤ x ≤ 1
x ; 1 < x ≤ 3
(f (−2) = f (3) = 3 maks, f (0) = 0 min)4 f (x) = sin x+ cos x, [0, π/3](
f (0) = 1 min, f (π/4) =√
2 maks)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 21 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum
Identifikasi Nilai Ekstrim
Soal (Identifikasi Nilai Ekstrim)
Berdasarkan grafik fungsi f berikut, tentukanlah: i) titik ujung, ii) titikstasioner, iii) titik singular, iv) nilai maksimum/minimum mutlak, v) nilaimaksimum/minimum lokal.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 22 / 61
Teorema Nilai Rataan (TNR)
Teorema (Teorema Nilai Rataan)
Misalkan fungsi f memenuhi hipotesis berikut: i) kontinu pada intervaltertutup [a, b] , ii) terturunkan pada interval terbuka (a, b) , maka adasedikitnya satu bilangan c ∈ (a, b) sehingga
f ′ (c) =f (b)− f (a)
b− a(1)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 23 / 61
Teorema Nilai Rataan (TNR)
Contoh (TNR)
Periksa apakah TNR dapat diterapkan untuk fungsi f (x) = x3 + x− 1pada selang [0, 2] . Jika ya, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 24 / 61
Teorema Nilai Rataan (TNR)
Soal (Teorema Nilai Rataan 1)
1 Diberikan f (x) = x1/3. Tunjukkan bahwa fungsi f memenuhi hipotesis TNRpada interval [0, 1], kemudian tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).(jawab: c =
√3
9
)2 Diketahui fungsi f dengan f (x) =
√|x|. Periksa apakah fungsi f memenuhi
hipotesis TNR pada interval i) [0, 4], ii) [−1, 4]. Jika memenuhi, tentukannilai c yang dimaksud pada (1).
3 Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 156 kmselama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sampai di gerbangtol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatanyang diizinkan di jalan tol (maksimum 100 km/jam). Gunakan TNR untukmenunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam.
4 Jika f (0) = 5 dan f ′ (x) ≥ 3 untuk x ∈ [0, 2] , seberapa kecilkah nilai f (2)yang mungkin? (jawab: 11)
5 Perlihatkan bahwa bila f (x) = px2 + qx+ r, p 6= 0, maka ada bilanganc ∈ [a, b] dari TNR yang selalu merupakan titik tengah dari interval [a, b].
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 25 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi
Fungsi Naik dan Turun
Definisi
Andaikan f terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau taksatupun).
f naik pada I, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) , ∀x1, x2 ∈ If turun pada I, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) , ∀x1, x2 ∈ I
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 26 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi
Turunan I dan Fungsi Naik/Turun
Teorema (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)
Andaikan f kontinu pada interval I dan terturunkan pada setiaptitik-dalam dari I.
Jika f ′ (x) > 0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f naik pada I.Jika f ′ (x) < 0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f turun pada I.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 27 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi
Soal (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)
1 Tentukan interval-interval di mana f naik/turun bagi fungsi:i) f (x) = x3 ii) f (x) = x2/3 iii) f (x) = x1/3 (x− 4)
2 Gunakan Teorema Nilai Rataan untuk membuktikan teorema tentangturunan I dan fungsi naik/turun.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 28 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi
Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal
Teorema (Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal)
Misalkan c adalah bilangan kritis fungsi kontinu f , dan f terturunkan padasetiap titik pada interval yang memuat c, kecuali mungkin di c. Bergerakmelewati c dari kiri ke kanan:
1 Jika f ′ berubah tanda dari negatif ke positif, maka f (c) merupakannilai minimum lokal.
2 Jika f ′ berubah tanda dari positif ke negatif, maka f (c) merupakannilai maksimum lokal.
3 Jika f ′ tidak berubah tanda, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 29 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi
Ilustrasi Geometris Ekstrim Lokal dgn Uji Turunan I
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 30 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi
Contoh
Gunakan uji turunan I untuk menentukan ekstrim lokal fungsi f denganf (x) = x1/3 (x− 4) .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 31 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi
Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal
Teorema (Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal)
Andaikan fungsi f ′′ kontinu pada interval terbuka yang memuat c.
1 Jika f ′ (c) = 0 dan f ′′ (c) > 0, maka f (c) merupakan nilai minimumlokal.
2 Jika f ′ (c) = 0 dan f ′′ (c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimumlokal.
3 Jika f ′ (c) = 0 dan f ′′ (c) = 0, uji turunan II gagal. Fungsi fmungkin memiliki ekstrim lokal, mungkin tidak.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 32 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi
Ilustrasi Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 33 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi
Ilustrasi Kecekungan Fungsi
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 34 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi
Kecekungan Fungsi
Definisi (Kecekungan)
Fungsi f dikatakan
cekung ke atas pada interval I jika grafik f terletak di atas garissinggung pada interval I,cekung ke bawah pada interval I jika grafik f terletak di bawah garissinggung pada interval I.
Cara lain melihat kecekungan:
cekung ke atas pada interval terbuka I jika f ′ naik pada I,cekung ke bawah pada interval terbuka I jika f ′ turun pada I.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 35 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi
Uji Turunan II Bagi Kecekungan
Teorema (Uji Turunan II bagi Kecekungan)
Misalkan fungsi f memiliki turunan kedua pada interval terbuka I.
Jika f ′′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ I, maka f ′ naik pada I dan f cekungke atas pada I,Jika f ′′ (x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka f ′ turun pada I dan fcekung ke bawah pada I.
Definisi (Titik Belok)
Titik P (c, f (c)) disebut titik belok jika f kontinu di x = c, dan fmengalami perubahan kecekungan di P.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 36 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi
Teorema (Titik Belok)
Jika titik (c, f (c)) merupakan titik belok, maka
f ′′ (c) = 0 ataukah f ′′ (c) tidak ada
Menentukan Titik BelokUntuk menentukan titik belok pada kurva y = f (x),
hitung f ′′ (x) ,cari bilangan c sehingga f ′′ (c) = 0 atau f ′′ (c) tidak ada,selidiki perubahan tanda f ′′ (x) di c. Titik (c, f (c)) merupakan titikbelok jika dan hanya jika terjadi perubahan tanda f ′′ (x) di c.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 37 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi
Contoh
1 Diberikan fungsi f dengan f (x) = x4 − 4x3 + 10. Tentukan: i)interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titikbelok fungsi f .
2 Perlihatkan bahwa jika f (x) = x4, maka f ′′ (0) = 0, tetapi (0, 0)bukan titik belok dari grafik f .
3 Perlihatkan bahwa fungsi g dengan g (x) = x |x| mempunyai titikbelok pada (0, 0) tetapi g′′ (0) tidak ada.
4 Andaikan fungsi f dan g keduanya cekung ke atas pada R. Berikansyarat bagi f , agar fungsi komposit h (x) = f (g (x)) cekung ke atas.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 38 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi
Soal
Jika ada, tentukan: i) interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii)kecekungan, iv) titik belok fungsi f ,
1 f (x) = (x− 1)3
2 f (x) = x1/3 + 1
3 f (x) = x/ (1+ x)2
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 39 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi
Pengaruh Turunan terhadap Bentuk Grafik
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 40 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi
Soal
Berdasarkan grafik f ′ berikut, tentukanlah
1 interval f naik/turun dan ekstrim lokal,
2 interval f cekung ke atas/bawah dan titik belok.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 41 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi
Nilai Ekstrim vs Bilangan Kritis vs Titik Belok
Untuk fungsi f dengan y = f (x) :
Nilai ekstrim (mutlak/lokal) f : f (a)→ordinat yBilangan kritis f : x = b→ absis xTitik belok f : (c, f (c))→ koordinat (x, y)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 42 / 61
Asimtot
Jenis Asimtot
1 Asimtot tegak
2 Asimtot datar
3 Asimtot miring
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 43 / 61
Asimtot
Definisi (Asimtot Tegak)
Garis x = a disebut asimtot tegak bagi kurva y = f (x) jika
limx→a±
f (x) = ±∞ (2)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 44 / 61
Asimtot
Definisi (Asimtot Datar)
Garis y = L disebut asimtot datar bagi kurva y = f (x) jika
limx→±∞
f (x) = L (3)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 45 / 61
Asimtot
Definisi (Asimtot Miring)
Garis y = mx+ b disebut asimtot miring bagi kurva y = f (x) jika
limx→±∞
[f (x)− (mx+ b)] = 0 (4)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 46 / 61
Asimtot
TeoremaMisalkan r > 0 adalah bilangan rasional, maka
limx→±∞
1xr = 0 (5)
asalkan xr terdefinisi.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 47 / 61
Asimtot
Penentuan Asimtot Fungsi Rasional
Diberikan fungsi rasional
r (x) =p1 (x)p2 (x)
=cnxn + cn−1xn−1 + · · ·+ c0
kmxm + km−1xm−1 + · · ·+ k0
1 Garis x = a dengan p2 (a) = 0 dan p1 (a) 6= 0 merupakan asimtottegak.
2 Kasus n < m⇒ garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot datar.3 Kasus n = m⇒ garis y = cn/km merupakan asimtot datar.4 Kasus n = m+ 1⇒ r (x) = (mx+ b) + sisa. Garis y = mx+ bmerupakan asimtot miring.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 48 / 61
Asimtot
Soal (Asimtot)
Tentukan asimtot (tegak, datar, atau miring) bagi fungsi-fungsi (1− 3)berikut:
1 f (x) =2x+ 3x− 1
2 f (x) =2x3 − x
x2 − x− 6
3 f (x) =√
4x2 − 1x− 2
4 Carilah rumus bagi fungsi f yang memiliki asimtot tegak x = −1 danx = 2, serta asimtot datar y = 3.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 49 / 61
Sketsa Kurva
Sketsa Kurva
Langkah-langkah sketsa kurva fungsi y = f (x)
1 Identifikasi daerah asal Df , titik potong sumbu, serta kesimetrianfungsi.
2 Identifikasi asimtot fungsi.
3 Tentukan f ′ (x)→Identifikasi bilangan kritis.Identifikasi interval fungsi naik/turun, ekstrim lokal.
4 Tentukan f ′′ (x)→Identifikasi interval kecekungan fungsi, titik belok.
5 Gambar sketsa grafik f .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 50 / 61
Sketsa Kurva
Contoh
Lakukan analisis sketsa grafik fungsi, lalu gambarkan grafik fungsi f
dengan f (x) =(x+ 1)2
1+ x2 .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 51 / 61
Sketsa Kurva
Soal (Sketsa Grafik Fungsi 1)
Lakukan tahapan-tahapan membuat sketsa grafik, lalu gambarkan grafikfungsi-fungsi berikut:
1 f (x) = x3 − 3x2 + 5, f ′(x) = 3x (x− 2) , f ′′(x) = 6 (x− 1)
2 f (x) = x1/3 (x− 4) , f ′(x) =4 (x− 1)
3x23
, f ′′(x) =4 (x+ 2)
9x53
3 f (x) =x
x2 − 4, f ′(x) =
6x2
(x3 + 1)2, f ′′(x) = −
12x(2x3 − 1
)(x3 + 1)3
4 f (x) =x3 − 1x3 + 1
, f ′(x) =6x2
(x3 + 1)2, f ′′(x) = −
12x(2x3 − 1
)(x3 + 1)3
5 xy = x2 + x+ 1
6 f (x) =x+ 1√x2 + 1
, f ′(x) = − x− 1
(x2 + 1)32
, f ′′(x) = −−2x2 + 3x+ 1
(x2 + 1)52
7 f (x) = sin x− x
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 52 / 61
Sketsa Kurva
Soal (Sketsa Grafik Fungsi 2)
Sketsa grafik fungsi g dengan sifat-sifat sebagai berikut:i) g kontinu pada R− {0}ii) g′′ (x) > 0 untuk x ∈ R− {0}iii) g (−2) = g (2) = 3iv) lim
x→∞g (x) = 2, lim
x→−∞[g (x)− x] = 0
v) limx→0+
g (x) = limx→0−
g (x) = ∞
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 53 / 61
Sketsa Kurva
Soal (Terapan Asimtot dan Sketsa Grafik)
Sebuah tangki berisi 5 000 liter air murni. Air asin yang mengandung 30gram garam tiap liter air dipompakan ke dalam tangki pada laju 25 liter /menit.(a) Tunjukkan bahwa konsentrasi garam setelah t menit adalah
C (t) =30t
t+ 200(gram / liter).
(b) Buat sketsa grafik fungsi konsentrasi garam.(c) Tentukan konsentrasi garam dalam jangka waktu yang panjang
(t→ ∞) .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 54 / 61
Masalah Pengoptimuman
Masalah Pengoptimuman
Membahas terapan turunan untuk menentukan solusi pemaksimumanatau peminimuman suatu permasalahan.
Langkah-langkah pemecahan masalah:
pahami permasalahan,formulasikan masalah yang yang akan dimaksimumkan/diminimumkanke dalam bentuk fungsi,tentukan lokasi fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum mutlak.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 55 / 61
Masalah Pengoptimuman
Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak
Dalam hal fungsi f hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f (c) ,dengan Uji Turunan I dapat disimpulkan bahwa f (c) juga merupakannilai ekstrim mutlak.Teorema berikut sangat bermanfaat dalam menyelesaikan masalahpengoptimuman.
Teorema
Andaikan c adalah bilangan kritis dari fungsi kontinu f yang terdefinisipada suatu interval.
1 Jika f ′ (x) > 0 untuk setiap x < c dan f ′ (x) < 0 untuk setiap x > c,maka f (c) adalah nilai maksimum mutlak f .
2 Jika f ′ (x) < 0 untuk setiap x < c dan f ′ (x) > 0 untuk setiap x > c,maka f (c) adalah nilai minimum mutlak f .
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 56 / 61
Masalah Pengoptimuman
Ilustrasi Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak/Lokal
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 57 / 61
Masalah Pengoptimuman
Soal (Disain Kotak Terbuka)
Jawab: x = tinggi = 2 cm, alas 8× 8 cm2.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 58 / 61
Masalah Pengoptimuman
Soal (Disain Kaleng Minuman)
Jawab: h = 2r
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 59 / 61
Masalah Pengoptimuman
Soal (Pembangunan Jalan Tol)
Pemerintah propinsi "Suka Makmur" merencanakan membangun jalan tolyang menghubungkan dua kota A dan B yang dipisahkan oleh daerahberawa. Jika biaya pembangunan jalan tol 1 milyar/km sepanjang daerahrawa, dan setengahnya pada lahan kering (OB), tentukan lokasi jalan tol diantara O-B yang meminimumkan biaya. (satuan jarak: km).
Jawab: C = 5/√
3 km dari O.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 60 / 61
Masalah Pengoptimuman
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)
Versi: 2012 (sejak 2009)
Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDF LATEX)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 61 / 61