Preliminary number theory

1

การห

าร

• การห

ารลงตว

•

การห

ารเหลอ

เศษ

• จานว

นค,จา

นวนค

การห

าห.ร.

ม.

• การห

าห.ร.

ม.โดยวธก

ารแยกต

วปร

ะกอบ

•

การห

าห.ร.

ม.โดยวธข

องยคลค

การห

าค.ร.

น.

• การห

าค.ร.

น.โดยวธก

ารแยกต

วปร

ะกอบ

•

การห

าค.ร.

น.โดยการใชห.ร.ม

.

การพ

สจนท

างทฤ

ษฎจานว

น โจทย

ปญหา

2

ทฤษฎจานวนเบองตน

1. การหาร กาหนดให a,b เปนจานวนเตม ( , )a b I∈ a หาร b ลงตว เราเขยนสญลกษณ |a b หมายความวา b เปนพหคณของ a หรอเขยนไดวา

a หาร b ไมลงตว เราเขยนสญลกษณ |a b/ หมายความวา b ไมเปนพหคณของ a หรอ a หาร b แลวเหลอเศษ r เขยนไดวา

เราเรยก a วาตวหาร b วาตวตง n วาผลหาร และ r วาเศษจากการหาร ( ) + ตวอยาง เชน

1. จงพจารณาการหารตอไปน 1.1) 3 หาร 7

|a b b an= เมอ n I∈

|a b/ b an r= + เมอ n I∈ และ 0 r a< <

ตวตง = ตวหาร × ผลหาร เศษ

3

ตวตง คอ 7 ตวหารคอ 3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน 3 หาร 7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ 2 และ เศษคอ 1 1.2) -3 หาร 7 ตวตง คอ 7 ตวหารคอ -3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน -3 หาร 7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ -2 และ เศษคอ 1 1.3) 3 หาร -7 ตวตง คอ -7 ตวหารคอ 3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน 3 หาร -7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ -3 และ เศษคอ 2 1.4) -3 หาร -7 ตวตง คอ -7 ตวหารคอ -3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน -3 หาร -7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ 3 และ เศษคอ 2

7=3(2)+1

7=-3(-2)+1

-7=3(-3)+2

-7=-3(3)+2

4

2. ให a,b และ c เปนจานวนเตม โดยท 0a ≠ และ 0b ≠ จงพสจนวา ถา |a b และ |b c และ |a c

วธทา 1. |a b b an⇒ = เมอ n I∈ 2. | ,b c c bm m I⇒ = ∈ 3. จาก (1) และ (2)

( )( ),

|

c an mc a nm nm I

a c

== ∈

∴

3. ให m และ n เปนจานวนเตมบวก ถา 5 หาร m เหลอเศษ 4 และ 5 หาร n เหลอเศษ 2 แลว 5 หาร m+n เหลอเศษเทาใด

วธทา 1) ตความหมายของ 5 หาร m เหลอเศษ 4

2) 5 หาร n เหลอเศษ 2

3) 1 2(5 4) (5 2)m n k k+ = + + +

1 2

1 2

1 2

5 5 65( ) 5 15( 1) 1

k kk kk k

= + + = + + + = + + +

4) 1 2 1 25( 1) 1, ( 1)m n k k k k I+ = + + + + + ∈

……………แสดงวา 5 หาร m+n เหลอเศษ 1

1 15 4,m k k I= + ∈

2 25 2,n k k I= + ∈

5

4. จงหาจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ทหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว วามกจานวน วธทา ใชเรองเซตมาอธบายวธทาขอน

1) ใหเซต A = เซตของจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ท หารดวย 3 ลงตว เซต B = เซตของจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ทหารดวย 5 ลงตว A B∪ = เซตของจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ทหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว

2) จาก ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩ {3,6,9,15,..., 498} ( ) 166{5,10,15,20,...,500} ( ) 100

{15,30,45,60,..., 495} ( ) 33( ) 166 100 33 233

A n AB n BA B n A B

n A B

= ⇒ == ⇒ =∩ = ⇒ ∩ =

∴ ∪ = + − =

5. ให A,B และ C เปนจานวนเตม จงแสดงวา ถา |a b และ |a c แลว | ( )a bm cn+ เมอ ,m n I∈ วธทา

1) 1 1| ,a b b ak k I⇒ = ∈

2) 2 2| ,a c c ak k I⇒ = ∈

3) 1 2( ) ( )bm cn ak m ak n+ = +

1 2

1 2

( ) ( )( )k m a k n ak m k n a

= + = +

4) 1 2 1 2( ) ,bm cn k m k n a k m k n I+ = + + ∈ | ( )a bm cn∴ + ลงตว

6. จงพสจนวา ถา a เปนจานวนเตมแลว 22 | ( )a a−

วธทา 1) กรณท a เปนจานวนค 2 ,a n n I⇒ = ∈

2 2

2

2

2 2 2 2

(2 ) (2 )4 22(2 )

2(2 ), 2 2 | ( )

a a n nn n

n na a n n n n I a a

− = −

= −

= −

∴ − = − − ∈ ⇒ −

6

2) กรณท a เปนจานวนค 2 1,a n n I⇒ = + ∈ 2 2

2

2

2

2 2 2 2

(2 1) (2 1)4 4 1 2 14 22(2 )

2(2 ), 2 2 | ( )

a a n nn n nn n

n na a n n n n I a a

− = + − +

= + + − −

= +

= +

∴ − = + + ∈ ⇒ −

2. การหาตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.)

การหา ห.ร.ม. ของ a และ b เขยนแทนดวย (a,b) คอ การหาจานวนเตมทมากทสดท

สามารถหารจานวนเตม a และ b ลงตว เมอ , 0a b ≠ มวธการหา 2 วธคอ 2.1 การหา ห.ร.ม. โดยวธการแยกตวประกอบ คอ การนาจานวนเตม a และ b มาแยกตวประกอบเปนจานวนเฉพาะ แลวพจารณาวา มจานวนเฉพาะรวมกนใดบาง ตวอยาง เชน

1. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 168 วธทา

30 2 3 5168 2 3 = × ×

= × × 3 × 3 × 3

จะเหนวา ทง 30 และ 168 มตวประกอบเฉพาะรวมกน คอ 2 และ 3 ∴ห.ร.ม.ของ 30 และ 168 คอ 2 3× เทากบ 6

2. จงหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 180 วธทา

0 2 2 5180 2 4 = × 2 × ×

= × 2 × 3 × 3 × 5

∴ห.ร.ม.ของ 40 และ 180 คอ 2 2 5 20× × =

7

3. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 73 วธทา

0 2 573 1 73

3 = × 3 × = ×

ทง 30 และ 73 ไมมจานวนเฉพาะรวมกนเลย

∴ห.ร.ม.ของ 30 และ 73 คอ 1 ขอสงเกต จานวนเตม a และ b ทห.ร.ม.ของ a และ b เทากบ (a,b)=1 เราเรยกวา “จานวนเฉพาะสมพทธ”

4. ให a เปนจานวนเตมบวก ซง 2|a และ 5|a ถา a และ 7 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ แลว จงหา ห.ร.ม. ของ a และ 70

วธทา

1) 2|a a=2k1, 1k I∈

5|a a=5k2, 2k I∈

2) a และ 7 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ หมายความวา ห.ร.ม.ของ a และ 7 เทากบ 1 คอ a และ 7 ไมมจานวนเฉพาะทเปนตวประกอบรวมกน ซงกหมายความวา a ไมใชพหคณของ 7

3) 3 32 5 ,a k k= × × ไมใชพหคณของ 7

70 2 5 7= × × ∴ห.ร.ม. ของ a และ 70 คอ 2x5=10

2.2 การหา ห.ร.ม. โดยวธของยคลค คอการหา ห.ร.ม. โดยใชวธการหารเหลอเศษตอๆกนไปเรอยๆ ตวอยาง เชน

1. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 กบ 168 วธทา 168 30(5) 18= + ⇒

3 32 5 ,a k k I= × × ∈

30 18(1) 1218 12(1) 612 6(2)

= + ⇒= + ⇒= ⇒

30 หาร 168 ไมลงตว18 หาร 30 ไมลงตว18 หาร 30 ไมลงตว

12 หาร 18 ไมลงตว

6 หาร 12 ลงตว

เปน ห.ร.ม.ของ 30 กบ 168

8

มเทคนคในการหา ห.ร.ม. โดยวธของยคลคดงน

2. จงหา ห.ร.ม.ของ 85 และ 20 วธทา 4 85 20 4 80 20 5 0

3. จงหา ห.ร.ม.ของ 85 และ -20 วธทา ให หา ห.ร.ม. ของ จานวนบวกคอ 85 และ 20 ซงกคอ 5 ∴ห.ร.ม.ของ 85 และ -20 กคอ 5

4. ถงใบหนงมสมอย 126 ผล และถงอกใบหนงมมงคด 198 ผล ถาตองการแบงผลไมเปนกองๆ โดยทแตละกองตองเปนผลไมชนดเดยวกน และแตละกองตองมจานวนเทากน อยากทราบวาแตละกองจะมผลไมไดมากทสดกผลและจะแบงไดกกอง

วธทา ทาไดโดยการหา ห.ร.ม. ของผลไมทง 2 ชนด⇒ ซงกคอ การหาห.ร.ม.ของ 126 กบ 198 ซงในทนจะใชวธของยคลค

30 16818 15012 12

1812

0 6

5

1

1

คอ ห.ร.ม.ของ 30 กบ 168

คอ ห.ร.ม.ของ 85 กบ 20

9

1 126 198 1 72 126 3 54 72 1 54 54 0 18 ∴จะแบงผลไมไดมากทสดกองละ 18 ผล และแบงไดสม 7 กอง และแบงไดมงคด 11 กอง

3. การหาตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) การหา ค.ร.น. สามารถทาได 2 วธ

3.1) การหา ค.ร.น. โดยวธการแยกตวประกอบ การแยกตวประกอบทาเหมอนการหา ห.ร.ม. โดยมตวอยางดงน

1) จงหา ค.ร.น.ของ 30 กบ 50 วธทา แยกตวประกอบของ 30 และ 50 ไดดงน

30 2 3 550 2

= × × = × 5 × 5

∴ ตวประกอบทซากนเอามาแคตวเดยว⇒ ค.ร.น.ของ 30 และ 50 คอ 2 5 3 5× × ×

การแยกตวประกอบ ค.ร.น.

ห.ร.ม.

วธการแยกตวประกอบ

วธการของยคลค

ตวซา

10

2) จงหา ค.ร.น.ของ 100 กบ 150 วธทา

0 2 5 550 2

10 = × 2 × × 1 = × 3 × 5 × 5

∴ ตวประกอบทซากนเอามาแคตวเดยว⇒ ค.ร.น.ของ 100 และ 150 คอ

2 5 5 2 3× × × × 3.2) การหา ค.ร.น. โดยวธการหาห.ร.ม.กอน ใชหลกการทวาการใชวธการหา ห.ร.ม.กอน โดยอาจใชวธของยคลค แลวใชกฎทวา ผลคณของเลข 2 จานวน เทากบ ห.ร.ม.ของ เลข 2 จานวนนน× ค.ร.น.ของเลข 2 จานวนนน ตวอยาง เชน

1. จงหา ค.ร.น.ของ 12 และ 20 วธทา

1) หาห.ร.ม. ของ 12 และ 20 กอน โดยใชวธของยคลค 1 12 20 1 8 12 4 8 2

8 0

2) ผลคณของเลข 2 จานวน = ห.ร.ม. x ค.ร.น.

12x20 = 4 x ค.ร.น. 240 = 4 x ค.ร.น.

ค.ร.น. = 2404

ค.ร.น. = 60

ตวซา

11

แบบฝกหด

1. จงใหเหตผลการหารลงตวและไมลงตวในแตละขอตอไปน 1.1) 4 | 20 1.2) 5 | 35 1.3) 7 | 49 1.4) 3 | 25/ 1.5) 8 | 52/ 1.6) 12 | 13/

12

2. ใหเตมผลหารและเศษเหลอตอไปน

2.1) 5 8(..........) 5= + 2.2) 28 4(..........) 0= + 2.3) 43 5(8) .............= + 2.4) 24 7( 4) .........− = − + 2.5) 75 9(..........) .........− = + 2.6) 33 5(..........) ...........− = + 2.7) 50 10(..........) .........= + 2.8) 39 40(..........) .........− = + 2.9) 66 3(..........) ..........= + 3. เมอหารจานวนเตมบวก x ดวย 5 มเศษเหลอเปน 3 จงหาเศษเหลอเมอหาร 3x ดวย 5

13

4. เมอหารจานวนเตมบวก x ดวย 9 มเศษเหลอเปน 5 จงหาเศษเหลอเมอหาร 7x ดวย 9 5. ให n เปนจานวนเตมบวก จงหาเศษเหลอเมอหาร n(n+1)(n+2) ดวย 3

14

6. เมอหารจานวนเตมบวก x ดวย 7 มเศษเหลอเปน 3 จงหาเศษเหลอเมอหาร 5x ดวย 7 7. จงแสดงวา “กาลงสองของจานวนคเปนจานวนค” 8. จงแสดงวา ถา a เปนจานวนเตมแลว 2a a− เปนจานวนค

15

9. จงแสดงวา ถา a เปนจานวนคแลว 24 | ( 1)a − 10. ให n เปนจานวนเตมบวก จงหาเศษเหลอเมอหาร n(n+1)(n+2) ดวย 3

16

11. จงหาจานวนเตมบวกทงหมดทหาร 406 และ 379 แลวมเศษเหลอเทากน 12. จงหาจานวนเตมบวกทงหมดทหาร 830 และ 1,118 แลวมเศษเหลอเทากน

17

13. จงหาห.ร.ม. ของ 3348 และ 2592 โดยใชขนตอนของยคลค 14. จงหาห.ร.ม. ของ 2244 และ 418 โดยใชขนตอนของยคลค

18

15. จงหาจานวนเตมทมคามากทสดทหาร 325 , 229 และ 157 แลวมเศษเหลอเทากน 16. จงหาจานวนเตมทมคามากทสดทหาร 2479 , 1998 และ 1073 แลวมเศษเหลอเทากน พรอมทงหาเศษเหลอ

19

17. จงหาจานวนเตมบวกทมคามากทสดทหาร 4770 แลวมเศษเหลอเปน 13 และหาร 3970 มเศษเหลอเปน 17 18. นกเรยนคนหนงมเหรยญบาท 198 เหรยญ เหรยญหาบาท 180 เหรยญ และเหรยญสบบาท 126 เหรยญ ตองการแบงเหรยญแตละชนดเปนกองใหมจานวนมากทสด จงหาวาจะไดเหรยญทงหมดกกองและกองละกเหรยญ

20

19. จงหาจานวนเตมบวกทมคานอยทสดทหารดวย 6,9 และ 10 มเศษเหลอเปน 1 20. จงหาจานวนเตมบวกทมคานอยทสดทหารดวย 26,36 และ 39 มเศษเหลอเปน 5

21

21. จงหาจานวนเตมบวกทมคานอยทสดทหารดวย 7,11 และ 13 แลวมเศษเหลอเปน 2,6 และ 8 ตามลาดบ 22. ทสถานรถโดยสารแหงหนง จะปลอยรถไปจงหวด A ทกๆ 15 นาท และปลอยรถไปจงหวด B ทกๆ 25 นาท ถาสถานนเรมปลอยรถไปจงหวด A และจงหวด B พรอมกน เมอเวลา 8.00 น. จงหาวาอกนานเทาไร สถานนจะปลอยรถไปสองจงหวดนพรอมกนอกครง

22

23. จงหาเศษทเหลอจากการหาร 102 ดวย 23 24. จงหาเศษทเหลอจากการหาร 305 ดวย 31

23

25. จงแสดงวา 103 9+ หารดวย 51 ลงตว 26. จงแสดงวา ถา (n,7)=1 แลว 6 1n − หารดวย 7 ลงตว