คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

1

887110 Introduction to discrete

structureบทท�� 5 ทฤษฎี�จำ�นวนNumber Theory

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

2

ทฤษฎี�จำ�นวน (Number Theory)

• เป็�นสาขาหน��งในวิ�ชาคณ�ตศาสตร� ท��ศ�กษาเก��ยวิก!บูค"ณสมบู!ต�ของจำ%านวินเต&ม

• ม�บูทบูาทส%าค!ญในข!(นตอนวิ�ธี�ต*างๆ เช*น– Hash function : ใช,ในการตรวิจำสอบูข,อม�ล หร.อ การ

เข,ารห!ส– Cryptography : การแป็ลงข,อควิามป็กต�ให,กลายเป็�น

ข,อควิามล!บูท��ม�แต*ค�*สนทนาเท*าน!(นท��เข,าใจำ เช*น การเข,ารห!สข,อควิาม HELLO จำะถู�กแป็ลงให,เป็�นค%าวิ*า JGNNQ

– Digital signatures : ลายเซ็&นต�อ�เล&กทรอน�กส�

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

3

ภ�พรวมของเน��อห�1 .การหาร– การหารลงต!วิ– การหารแบูบูม�เศษ

2. จำ%านวินเฉพาะ (prime numbers)3. ต!วิหารร*วิมมาก (ห.ร.ม.)4. Euclid’s Algorithm 5. Modulus6. จำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี� (Relative Primality)

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

4

ภ�พรวมของเน��อห� 27. Pairwise relatively prime8. ต!วิค�ณร*วิมน,อย (ค.ร.น.)9. Modular Congruence10.Hashing Function11.Pseudo-random Numbers1 2 .การเข,ารห!ส/การถูอดรห!ส13.RSA encryption

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

5

ก�รห�ร (Division)

• ก%าหนดให, a และ b เป็�นจำ%านวินเต&ม – a หาร b ลงต!วิ เม.�อ b = am โดยท�� m เป็�น

จำ%านวินเต&มจำ%านวินหน��ง แทนด,วิยส!ญล!กษณ� a | b– กรณ�ท�� a หาร b ไม*ลงต!วิ หมายควิามวิ*า b = am +

r โดยท�� r เป็�นเศษของการหาร (0 < r < a) แทนด,วิยส!ญล!กษณ� a b• เร�ยก a วิ*า ต!วิหาร (divisor) • เร�ยก b วิ*า ต!วิต!(ง (dividend)• เร�ยก m วิ*า ผลหาร (quotient)• เร�ยก r วิ*า เศษ (remainder)

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

6

ตั�วอย่��งก�รห�รย่�ว

311731

24

93

m the quotie

nt

r the remainde

r

a the divisor

b the dividen

d

411312

m the quotien

t

r the remainde

r

a the diviso

rb the

dividend 1

117 = 31·3 + 24b = am + r

-11 = 3·(-4) +1 ข,อส!งเกต: เศษจำะเป็�นจำ%านวินลบู

ไม*ได,b = am + r

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

7

ก�จำกรรมท�� 1• จำงพ�จำารณาวิ*าข,อต*อไป็น�(เป็�นจำร�งหร.อไม*

1. 77 | 72. 7 | 773. 24 | 244. 0 | 245. 24 | 0

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

8

จำ�นวนเฉพ�ะ (prime number)

• จำ%านวินเต&มบูวิก p ท��ม�ค*ามากกวิ*า 1 เป็�นจำ%านวินเฉพาะก&ต*อเม.�อ ม�แต* 1 และ p เท*าน!(นท��หาร p ลงต!วิ เช*น 2, 3, 5, 7

• จำ%านวินเต&มท��ม�ค*ามากกวิ*า 1 ท��ไม*ใช*จำ%านวินเฉพาะ เราจำะเร�ยกวิ*า จำ%านวินป็ระกอบู (composite number) เพราะจำ%านวินด!งกล*าวิเก�ดจำากการค�ณก!นของจำ%านวินเต&มท��มากกวิ*า 1 สองจำ%านวิน เช*น – 4 = 2 . 2– 6 = 2 . 3– 8 = 2 . 4

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

9

ก�รทดสอบก�รเป็$นจำ�นวนเฉพ�ะ• วิ�ธี�การทดสอบูวิ*าจำ%านวินเต&ม p เป็�นจำ%านวินเฉพาะหร.อไม*แบูบู

ง*ายค.อ ลองหาร p ด,วิยจำ%านวินเฉพาะท��ม�ค*าน,อยกวิ*า p – วิ�ธี�น�(อาจำใช,เวิลานานหากจำ%านวินเต&ม p ม�ค*ามากๆ

• เราสามารถูลดภาระของการลองหารได,จำากทฤษฎี�บูท – ทฤษฎี�บูท : ถู,า p เป็�นจำ%านวินป็ระกอบูแล,วิ p ต,องม�ต!วิป็ระกอบู

เฉพาะต!วิหน��งท��ม�ค*าไม*มากกวิ*า • จำากทฤษฎี�บูท เราสามารถูทดสอบูการเป็�นจำ%านวินเฉพาะโดย

การลองหารด,วิยจำ%านวินเฉพาะท��ไม*เก�น น!�นค.อ ถู,า p ไม*ม�ต!วิหารท��เป็�นจำ%านวินเฉพาะท�� จำะสร"ป็วิ*า p เป็�นจำ%านวินเฉพาะ

p

p

p

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

10

ตั�วอย่��งจำ%านวินต*อไป็น�( 0 , 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

จำ%านวินใดเป็�นจำ%านวินเฉพาะว�ธี�ท�– 0 และ 1 ไม*ใช*จำ%านวินเฉพาะ เพราะจำ%านวินเฉพาะ

เป็�นจำ%านวินท��มากกวิ*า 1– 2, 3, 5, 7 เป็�นจำ%านวินเฉพาะ เพราะม�แค* 1 และต!วิม!น

เองท��หารลงต!วิ– 4, 6, 8, 9, 10 ไม*ใช*จำ%านวินเฉพาะ เพราะหารด,วิย 2

หร.อ 3 ลงต!วิ

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

11

ก�จำกรรมท�� 2• จำงทดสอบูวิ*า 139 และ 143 เป็�นจำ%านวินเฉพาะหร.อ

ไม*• ข,อแนะน%า : เข�ยนจำ%านวินเฉพาะท��ม�ค*าน,อยกวิ*าหร.อ

เท*าก!บู และจำากน!(นน%าจำ%านวินเฉพาะด!งกล*าวิไป็หารก!บูจำ%านวินท��

ก%าหนด – ถู,าม�จำ%านวินเฉพาะต!วิใดต!วิหน��งหารลงต!วิ แสดงวิ*าจำ%านวิน

น!(นไม*ใช*จำ%านวินเฉพาะ– ถู,าไม*ม�จำ%านวินเฉพาะใดท��หารลงต!วิ สร"ป็วิ*า จำ%านวินน!(นเป็�น

จำ%านวินเฉพาะ

139 143

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

12

ก�จำกรรมท�� 2• จำงทดสอบูวิ*า 139 และ 143 เป็�นจำ%านวินเฉพาะหร.อ

ไม*≈ 11

ลองทดสอบูน%าจำ%านวินเฉพาะท��น,อยกวิ*าหร.อเท*าก!บู 11 ไป็ทดสอบู น!�นค.อ2, 3, 5 , 7 , 11 พบูวิ*า ไม*ม�ต!วิเลขใดท��หาร 139 ลงต!วิ ด!งน!(น 139 เป็�นจำ%านวินเฉพาะ

≈ 11ลองทดสอบูน%าจำ%านวินเฉพาะท��น,อยกวิ*าหร.อเท*าก!บู 11 ไป็ทดสอบู น!�นค.อ2, 3, 5 , 7 , 11 พบูวิ*า 11|143 ด!งน!(น 143 ไม*เป็�นจำ%านวินเฉพาะ

139

143

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

13

ตั�วห�รร�วมม�ก (ห.ร.ม.)

• เราเร�ยกวิ*า a เป็�นต!วิหารร*วิมของ b และ c เม.�อ a | b และ a | c

• กรณ�ท�� a เป็�นต!วิหารร*วิมท��ม�ค*ามากท��ส"ด เราเร�ยก a วิ*าเป็�นต!วิหารร*วิมมากของจำ%านวินเต&ม b และ c เข�ยนแทนด,วิย gcd(b,c)

• ต!วิอย*าง – gcd(20 , 15) = 5– gcd(13 , 31) = 1– gcd(420, 21) = 21– gcd(0 , n) = n เม.�อ n> 0 (จำ%านวินเต&มบูวิกใดๆก&

หาร 0 ได,)

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

14

ว�ธี�ก�รห� ห.ร.ม โดย่ก�รแย่กตั�วป็ระกอบ

• การหา gcd (m,n) ท%าได,โดยแยกต!วิป็ระกอบูของจำ%านวินเต&ม m และ n จำากน!(นเลื�อกจำ�นวนเฉพ�ะท��ป็ร�กฎีอย่)�ในท��ง m แลืะ n ม�เป็$นคำ�ตัอบ

• ต!วิอย*าง จำงหา gcd(84 , 96)– 84 = 2 . 2 . 3 . 7 = 22 . 31 . 71

– 96 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 = 25 . 31 . 70

– ด!งน!(น gcd(84 , 96) = 22 . 31 . 70

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

15

ก�จำกรรมท�� 3จำงหา ห.ร.ม หร.อ gcd ต*อไป็น�(1. gcd(48 , 72)2. gcd(11 , 77)3. gcd(33 , 77)4. gcd(24 , 36)

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

16

ก�รห� ห.ร.ม ด,วย่ข��นตัอนว�ธี�แบบย่-คำลื�คำ

• วิ�ธี�การหา ห.ร.ม. ของ gcd (a,b) ด,วิยวิ�ธี�ย"คล�ค ม�ข! (นตอนด!งน�(procedure gcd(a, b: positive

integers)while b 0

beginr ≔ a mod b; a ≔ b; b

≔ r; end

return a

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

17

มอด-โลื (Modulus)

• มอด"โล หร.อเร�ยกย*อๆวิ*า mod เป็�นการด%าเน�นการก!บูจำ%านวินเต&มเพ.�อหาเศษท��เหล.อจำากการหาร

• ตั�วอย่��ง113 mod 24 = 17 -29 mod 7 = 64

11324

17

96

5297

356

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

18

ตั�วอย่��ง1 : ก�รห� ห.ร.ม ด,วย่ข��นตัอนว�ธี�แบบย่-คำลื�คำ

gcd (44 , 32)

ด!งน!(น gcd (44 , 32) = 4

a b b = 0 ? r = a mod b44 32 N 44 mod 32 = 1232 12 N 32 mod 12 = 812 8 N 12 mod 8 = 48 4 N 8 mod 4 = 04 0 Y

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

19

ตั�วอย่��ง2 : ก�รห� ห.ร.ม ด,วย่ข��นตัอนว�ธี�แบบย่-คำลื�คำ

a b r = a % b bgcd (44,32) = gcd (44 mod 32, 32)

= gcd (32, 12) a = b , b = r= gcd (32 mod 12 , 12)= gcd (12, 8) a = b , b = r= gcd (12 mod 8 , 8)= gcd (8 , 4) a = b , b = r= gcd (8 mod 4 , 4)= gcd (0 , 4) a = b , b = r

ด!งน!(น gcd (44,32) = 4

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

20

ก�จำกรรมท�� 4

• จำงหา gcd โดยใช, Euclid ‘s Algorithm1. gcd (372 , 164)2. gcd (299 , 26)3. gcd (414 , 662)4. gcd (1740 , 1120)5. gcd (1246 , 132)

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

21

จำ�นวนเฉพ�ะส�มพ�ทธี. (relatively prime)

• ในกรณ�ท�� gcd(m , n) = 1 หมายควิามวิ*า m และ n ไม*ม�ต!วิหารท��มากกวิ*า 1 ร*วิมก!นเลย เราเร�ยก m และ n วิ*าเป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�

• ต!วิอย*างเช*น 84 ก!บู 125 เป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�เพราะ – 84 = 2.2.3.7– 125 = 5.5.5จำะเห&นวิ*าจำ%านวินท!(งสองไม*ม�ต!วิป็ระกอบูร*วิมก!นท��มากกวิ*า

1ด!งน!(น gcd ของจำ%านวินท!(งสองเท*าก!บู 1สร"ป็ได,วิ*า 84 ก!บู 125 เป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

22

ก�จำกรรมท�� 4

• จำงพ�จำารณาวิ*า ข,อใดต*อไป็น�(เป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�

1. 19 และ 722. 24 และ 253. 15 และ 284. 55 และ 285. 35 และ 28

gcd(19,72) = 1 ด!งน!(น 19 และ 72 เป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�gcd(24,25) = 1 ด!งน!(น 24 และ 25 เป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�gcd(15,28) = 1 ด!งน!(น 15 และ 28 เป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�gcd(55,28) = 1 ด!งน!(น 15 และ 28 เป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�gcd(35,28) = 7 ด!งน!(น 35 และ 28 ไม�เป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

23

Pairwise relatively prime

• ถู,าเราม�เซ็ตของจำ%านวินเต&ม {a1, a2, a3, … an} เราจำะกล*าวิวิ*าม!นเป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�เป็�นค�* (Pairwise relatively prime) ถู,า(ai, aj) ท"กค�*เป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี�

• ตั�วอย่��ง จำงพ�จำารณาวิ*าแต*ละข,อต*อไป็น�(เป็�น Pairwise relatively prime หร.อไม*– {15, 17, 27} ไม*เป็�น เพราะ gcd (15, 27) = 3 – {15, 17, 28} เป็�น เพราะ

• gcd (15, 17) = 1• gcd (15, 28) = 1• gcd (17, 28) = 1

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

24

ตั�วคำ)ณร�วมน,อย่ (คำ.ร.น)

• ก%าหนด a และ b เป็�นจำ%านวินเต&มท��ไม*ใช*ศ�นย� เร�ยกจำ%านวินเต&มบูวิก c ท��ม�ค*าน,อยท��ส"ด ซ็��ง a | c และ b | c วิ*าเป็�น "ต!วิค�ณร*วิมน,อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เข�ยนแทนด,วิย lcm(a, b)

• ถู,า ต!วิป็ระกอบูเฉพาะของจำ%านวินเต&มสองจำ%านวินแทนด,วิย– –

nan

aa pppa 2121

nbn

bb pppb 2121

),max(),max(2

),max(1

2211),(lcm nn ban

baba pppba

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

25

ตั�วอย่��งจำงหา lcm (60 , 54)ว�ธี�ท�

60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 21 . 31 . 51

54 = 2 . 3 . 3 . 3 = 21 . 33 . 50

ด!งน!(น lcm(60 , 54) = 22 . 33 . 51

= 4 . 27 . 5= 540

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

26

ก�จำกรรมท�� 5จำงหา ค.ร.น หร.อ lcm ต*อไป็น�(

1. lcm(10,100)2. lcm(7,5)3. lcm(9,21)4. lcm(3,7)5. lcm(4,6)

lcm(10 , 100)=22 . 52

lcm(7 , 5) =71 . 51

lcm(9 , 21) =32 . 71

lcm(3 , 7) =31 . 71

lcm(4 , 6) =22 . 31

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

28

Modular Congruence

• ก%าหนดให, a,b Z และ m Z+

• a คอนกร�เอนซ็�ก!บู b มอด"โล m เข�ยนแทนด,วิย a b (mod m) หมายควิามวิ*า m | a – b ( m หาร a ลบู b ลงต!วิ)

• ข,อส!งเกต– a b (mod m) ก&ต*อเม.�อ a mod m = b mod

m– a b (mod m) ก&ต*อเม.�อ ม�จำ%านวินเต&ม k ซ็��งท%าให, a

= b + km

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

29

ตั�วอย่��ง• จำงพ�จำารณาวิ*า ข,อใดต*อไป็น�(เป็�นจำร�ง

1. 3 3 (mod 17)

2. 3 -3 (mod 17)

3. 172 177 (mod 5)

4. -13 13 (mod 26)

จำร�ง เพราะ จำ%านวินใดๆ congruence ก!บูต!วิเองเสมอ 3 – 3 = 0 หารได,ลงต!วิท"กจำ%านวิน

เท&จำ เพราะ 3 – (-3) = 6 ไม*สามารถูหารได,ลงต!วิด,วิย 17

จำร�ง เพราะ 172 – 177 = -5 หารได,ลงต!วิด,วิย 5

จำร�ง เพราะเพราะ -13 – 13 = -26 หารได,ลงต!วิด,วิย 26

a b (mod m) เม.�อ m | a – b

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

30

Congruence Theorem

ก%าหนดให, a,b,c,d Z และ m , n Z+

1 .ถู,า a b (mod m) และ c d (mod m) ด!งน!(น– a + c b + d (mod m) และ– ac bd (mod m)

2. ถู,า a b (mod m) และ b c (mod m) ด!งน!(น– a c (mod m)

3. ถู,า a b (mod m) ด!งน!(น an bn (mod m)

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

31

ตั�วอย่��ง• จำงหาค%าตอบูของโจำทย�ต*อไป็น�(

1. 3071001 mod 102 2. (-45 · 77) mod 173.

11mod1023

4

i

i

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

32

ว�ธี�ท� 11 . หา 3071001 mod 102 โดยใช,กฎีการยกก%าล!ง (กฎี

ข,อท�� 3)กฎี : a b (mod m) ด!งน!(น an bn (mod m)

ว�ธี�ท� เราต,องหาค*า b ก*อน m | a - b น!�นค.อ 1 เพราะ 102 | 307 - 1

จำากกฎี 307n1n (mod 102) ถู,า 3071 (mod 102) ด!งน!(น :

3071001 11001 (mod 102) 1 (mod 102)

ด!งน!(น, 3071001 mod 102 = 1

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

33

ว�ธี�ท� 22 . หา (-45 · 77) mod 17 โดยใช,กฎีการค�ณ กฎี : ถู,า ab (mod m) และ cd (mod m), ด!งน!(น ac

bd (mod m)ว�ธี�ท� เราต,องหา b และ d

หา b ได,จำาก -45 b (mod 17) แสดงว�� 17 | -45 - ? ด�งน��น b คำ�อ 6 เพร�ะ 17 | -

51 หา d ได,จำาก 77 d (mod 17)แสดงว�� 17 | 77 - ? ด�งน��น d คำ�อ 9 เพร�ะ 17 | 68

น%า b และ d ท��หาได,ไป็แทนค*า จำะได,(-45 . 77) (6.9) (mod m)

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

34

ว�ธี�ท� 22 . หา (-45 · 77) mod 17 โดยใช,กฎีการค�ณ กฎี : ถู,า ab (mod m) และ cd (mod m), ด!งน!(น ac

bd (mod m)ว�ธี�ท� (-45·77) (6·9) (mod 17)

54 (mod 17)

3

ด!งน!(น (-45·77) mod 17 = 3

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

36

Hashing Function

• แฮชช��งฟั=งก�ช!น h เป็�นการก%าหนดต%าแหน*งของหน*วิยควิามจำ%า h(k) ให,ก!บูเรคอร�ดข,อม�ล

• เรคอร�ดข,อม�ลแต*ละเรคอร�ดระบู"ได,โดยการใช,ค�ย� ซ็��งค*าของค�ย�ต,องไม*ซ็%(าก!น

• น!�นค.อ h(k) = k mod m

โดยท�� m เป็�นขนาดของหน*วิยควิามจำ%าท��สามารถูใช,งานได,

37

ตั�วอย่��ง• ก%าหนดให, m = 111 เรคอร�ด จำงหาวิ*า น!กเร�ยนท��ม�รห!ส

ต*อไป็น�( จำะถู�กเก&บูอย�*ในต%าแหน*งท��เท*าไหร*ของหน*วิยควิามจำ%า – รห!ส 64212848 h (64212848) = 64212848 mod 111

= 14– รห!ส 37149212 h (37149212 ) = 37149212 mod 111

= 65– รห!ส 24666707h (24666707) = 24666707 mod 111

= 65ส!งเกตเห&นวิ*าต%าแหน*งของ 2 รห!สส"ดท,ายเก�ดการชนก!น

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

38

Pseudo-random Numbers

• การสร,างต!วิเลขส"*มแบูบูเท�ยมโดยใช,คอนกร�เอนซ็�• เร��มด,วิยการเล.อกจำ%านวินเต&มบูวิก 4 จำ%านวิน ได,แก*– มอด"โล (m)– พห"ค�ณ (a)– ค*าท��เพ��มข�(น (c)– ค*าเร��มต,น x0

โดยท�� 2 a < m , 0 c < m , 0 x0 < m

• เพ.�อท%าการสร,างล%าด!บูเลขส"*มเท�ยม xn ซ็��ง 0 xn < m โดยใช,เง.�อนไข

xn+1 = (axn + c) mod m

• การสร,างช"ดเลขส"*มเท�ยมท��ด�น�ยมเล.อกค*า a,c,m เป็�นจำ%านวินเฉพาะ หร.อเป็�นจำ%านวินเฉพาะส!มพ!ทธี� (relatively prime)

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

39

ตั�วอย่��ง• ก%าหนดมอด"โล (m) = 1000 เพ.�อสร,างช"ดเลข

ส"*มเท�ยมท��ม�ค*า 0 – 999 จำากน!(นก%าหนดค*าต!วิแป็รต*างๆ ด!งน�(– ค*าท��เพ��มข�(น c = 467 , ค*าพห"ค�ณ a = 293 , ค*า

เร��มต,น x0 = 426

• จำาก xn+1 = (axn + c) mod m จำะได,ช"ดเลขส"*มเท�ยม 3 ล%าด!บูแรกด!งน�(– x1 = ((293 x 426) + 467) mod 1000 =

285– x2 = ((293 x 285) + 467) mod 1000 =

972– x3 = ((293 x 972) + 467) mod 1000 =

263

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

40

ก�รเข,�รห�ส ถอดรห�ส – : Caesar’s Cipher

• เป็�นการเข,ารห!สข,อควิามอย*างง*ายม�ข! (นตอน ด!งน�(1 .แป็ลงข,อควิามต!วิอ!กษรพ�มพ�ใหญ*เป็�นต!วิเลขระหวิ*าง

0 – 25 เช*น A เป็�น 0, B เป็�น 1, c เป็�น 2 เป็�นต,น2. น%าต!วิเลขท��ผ*านการแป็ลงแต*ละต!วิไป็ผ*านฟั=งก�ช!น

การเข,ารห!สท��ก%าหนด 3. แป็ลงต!วิเลขท��ได,จำากฟั=งก�ช!นการเข,ารห!สกล!บูเป็�นต!วิ

อ!กษร จำะได,ข,อควิามท��เข,ารห!ส

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

41

ตั�วอย่��ง• ก%าหนดฟั=งก�ช!นในการเข,ารห!สค.อ f(a) = (a + 3)

mod 26 จำงเข,ารห!สข,อควิาม “YESTERDAY”ว�ธี�ท� Y E S T E R

D A Y1 .แป็ลงจำากข,อควิามไป็เป็�นต!วิเลข 24 4 18 19

4 17 3 0 242. น%าต!วิเลขไป็ผ*านฟั=งก�ช!น 1 7 21 22

7 20 6 3 13. แป็ลงต!วิเลขกล!บูไป็เป็�นต!วิอ!กษร B H V W

H U G D Bด!งน!(น ข,อควิามท��เข,ารห!สค.อ “BHVWHUGDB”

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

42

ก�รถอดรห�ส• เป็�นการใช,ฟั=งก�ช!นผกผ!นของฟั=งก�ช!นท��ใช,ในการเข,ารห!ส

จำากน!(นท%าในท%านองเด�ยวิก!นก!บูการเข,ารห!ส• ต!วิอย*าง จำากฟั=งก�ช!นการเข,ารห!ส f(a) = (a + 3)

mod 26 จำงถูอดรห!ส “WHQ”ว�ธี�ท� หาฟั=งก�ช!นผกผ!น f-1(a) = (a - 3) mod 26 แป็ลงข,อควิามเป็�นต!วิเลข 22 7 16น%าต!วิเลขไป็ผ*านในฟั=งก�ช!น 19 4 13แป็ลงต!วิเลขกล!บูไป็เป็�นข,อควิาม T E Nด!งน!(น ข,อควิามท��ผ*านการถูอดรห!สแล,วิค.อ “TEN”

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

43

ก�รเข,�รห�สแบบ RSA

• RSA เป็�นมาตรฐานการเข,ารห!สข,อม�ลท��ค�ดค,นโดย Ron Rivest, Adi Shamir และ Leonard Adleman

• RSA อาศ!ยรห!สข,อม�ล 2 ต!วิค.อ Public key และ Private key เพ.�อใช,ในการเข,ารห!สและถูอดรห!สข,อม�ล และท!(ง 2 key จำะต,องเป็�นค�*ของม!นเองเท*าน!(น จำ�งสามารถูถูอดรห!สได,อย*างถู�กต,อง

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

44

ก�รเข,�รห�สแบบ RSA (ตั�อ)

•  การเข,ารห!สข,อม�ล  C = Pe mod m                

•  การถูอดรห!สข,อม�ล P = Cd mod mโดยท��– C เป็�นข,อม�ลท��ได,จำากการเข,ารห!ส– P เป็�นข,อม�ลท��ต,องการเข,ารห!ส– e เป็�น public key ใช,ในการเข,ารห!ส– d เป็�น private key ใช,ในการถูอดรห!ส

คณะวิ�ทยาการสารสนเทศ ม บู�รพา.

45

ก�รเข,�รห�สแบบ RSA (ตั�อ)