ECUACIONES DIFERENCIALES CON BERNOULLI

Capítulo IICapítulo II

ECUACIONES DIFERENCIALES BERNOULLI

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE

MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA IVMATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA IV

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 2

E. D. DE BERNOULLI

A. DEFINICION:

También se conoce con el nombre de BERNQULLI y está representada por la

siguiente ecuación:

B. SOLUCIÓN:

Para resolver este tipo de ecuaciones (1), primero se transforma a una ecuación

diferencial lineal, mediante el procedimiento siguiente :

1º A la ecuación (1) se le multiplica por , quedando de la siguiente forma:

2º A la ecuación (2) multiplicar por , quedando de la siguiente forma:

𝒅𝒚𝒅𝒙

+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸 (𝒙 ) 𝒚𝒏 ;𝒏≠𝟏………………(𝟏)

𝒚−𝒏𝒅𝒚𝒅𝒙

+𝑷 (𝒙 ) 𝒚𝟏−𝒏=𝑸 (𝒙 )……………(𝟐)

(𝟏−𝒏 )𝒚 −𝒏 𝒅𝒚𝒅𝒙

+ (𝟏−𝒏 )𝑷 (𝒙 ) 𝒚𝟏−𝒏=(𝟏−𝒏 )𝑸 (𝒙 )……(𝟑)

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 3

E. D. DE BERNOULLI

3º Realizar el siguiente cambio de variable en la ecuación (3):

4º Reemplazar la ecuación (4) en (3):

5º Resolver la ecuación diferencial aplicando la fórmula adecuada de E. D. Lineal de 1er Orden:

𝒛=𝒚𝟏−𝒏⇨𝒅 𝒛𝒅𝒙

=(𝟏−𝒏 ) 𝒚−𝒏 𝒅𝒚𝒅𝒙

……….…… (𝟒)

𝒅 𝒛𝒅𝒙

+ (𝟏−𝒏) 𝑷 (𝒙 ) 𝒛= (𝟏−𝒏 )𝑸 (𝒙 )……(𝟑)

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E. D. DE BERNOULLI

C. EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

SOLUCION

1º Expresar/adecuar a una E.D. de Bernoulli

P(x) Q(x)

𝒅𝒚𝒅𝒙

+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸 (𝒙 ) 𝒚𝒏

n=3

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E. D. DE BERNOULLI

2º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:

3º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:

4º Cambiando variable :

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E. D. DE BERNOULLI

5º Reemplazando (2) en (1):

P(x) Q(X)6º Aplicando la fórmula adecuada, se tiene:

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E. D. DE BERNOULLI

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E. D. DE BERNOULLI

SOLUCION

1º Expresar/adecuar a una E.D. de Bernoulli

P(x) Q(x)

𝒅𝒚𝒅𝒙

+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸 (𝒙 ) 𝒚𝒏

n=-3

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 9

E. D. DE BERNOULLI

2º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:

3º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:

4º Cambiando variable :

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 10

E. D. DE BERNOULLI

5º Reemplazando (2) en (1):

P(x) Q(X)6º Aplicando la fórmula adecuada, se tiene:

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E. D. DE BERNOULLI

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº 2

Resuelva las siguientes E. D.: (Pág. 52-Pág. 57)