1. Realiza un trabajo de investigacin sobre las ecuaciones especiales de Bernoulli y de Ricatti. Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Son aquellas de la forma, o que pueden, mediante manipulaciones algebraicas pertinentes, llevarse a escribir como:

Es de notar que si n = 0 si n=1, entonces la ecuacin mencionada es lineal y se resuelve hallando el factor integrante. Ahora bien si n (0,1), se trata de una ecuacin diferencial no-lineal; sin embargo es posible reducirla a una ecuacin lineal mediante la sustitucin v= y1-n.

Las ecuaciones diferenciales de Ricatti. Jacobo Francesco Ricatti , matemtico y filsofo, naci en Italia en 1676 conocido como conde y muere en 1754. Fue el principal responsable de la introduccin de las ideas de Newton en Italia. En cierto momento, le ofrecieron la presidencia de la Academia de Ciencias de San Petersburgo; pero prefiri las comodidades y los lujos de su vida aristocrtica de Italia a las responsabilidades administrativas en Rusia. Aunque fue muy conocido en los crculos cientficos de su tiempo, en la actualidad slo sobrevive por medio de la ecuacin diferencial que lleva su nombre. Incluso esto fue un accidente de la historia, ya que Ricatti se limit a estudiar casos especiales de esta ecuacin, sin ofrecer soluciones y la mayora de estos casos especiales los trataron con xito alguno de los miembros de la familia Bernoulli.

La ecuacin de Ricatti es una ecuacin no lineal, de la forma

Muchos casos dependiendo de lo que sea P(x), Q(x) y R(x), esta frmula fue creado con el objetivo de facilitar el desarrollo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

2. Hacer una apunte escrito sobre las ecuaciones mencionadas. Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli. La receta para el resto de los casos es convertirla a lineal con el cambio.

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Las ecuaciones diferenciales de Ricatti. La receta para este tipo de ecuacin es casi el mismo que las anteriores: Para resolverla se tiene que encontrar la solucin particular Ya conocida la solucin particular se realiza la siguiente solucin:

Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales se tienes que convertir a ecuaciones diferenciales de Bernoulli, luego se convierte a ecuaciones diferenciales lineales y por ultimo se resuelve.

3. Anexar al apunte 5 ejemplos de tales ecuaciones y su solucin determinando la solucin particular con condiciones iniciales dadas.

Ecuaciones de Ricatti

Ecuaciones de Bernoulli