Прогнозирование и оптимизация

Теория принятия решений

Владимир Мельников

Оптимизация и прогнозирование

Маржинальная прибыль и CVP-анализ

x

––/

–++

/

+

x

/ +

/ x –

x

x

Рентаб. активов

Плечо фин. рыч.

ß

Кредиты и займы

1

Пост. затраты

Марж. прибыль

1 – НалогПриб. до нал. и %

Приб. до нал. и %

Собст. капитал

Приб. до нал. и %

Выручка

Активы

Выручка

Обор. активы

Краткоср. задолж.

Оборот. капитал

Внеоб. активыКраткоср. задолж.

Чистые активы

Выручка

Перем. затраты

Цена товара

Объем продаж

Обор-ть активов

Рентаб. продаж

Долгоср. задолж.

Краткоср. задолж.

Чистая прибыль

Прибыль до налог.

Кредиты и займы

Рент. собс. кап.

i

x +

Краткоср. задолж.

Долгоср. задолж.

xСт-сть сырья

Объем сырья

Активы

Кредиты и займы

–

S P

V

S

S

VCFC

L

L

L

EBIT

EBIT

EBIT

EBT

i

1–Tax

NI

CL

LTL

CL

LTLA

A

CL CL

ß

LR

1 FA

ROE

M

E

ROA ATO

ROS

CACWNA

N

С

Расширенная модель

Du

Pont

ROA ⋅FL ⋅ β → max;

ROA = EBITCA + FA

,

FL = 1+ CL + LTLE

,

β = (EBIT − (CL + LTL) ⋅ i)(1− Tax)EBIT

,

EBIT = V ⋅P − N ⋅C − FC,N = f (V ), i = const , Tax = const,FC > FCmin , V >Vmin , P > Pmin , N > Nmin , C > Cmin , CA > CAmin , CL > CLmin , FA > FAmin , E > Emin , LTL > LTLmin ,P < Pmax , V <Vmax .

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

V = Vmax ,

P = Pmax ,

N = f (Vmax ),

C=Cmin , FC=FCmin ,CA=CAmin , FA = FAmin ,CL=CLmin , LTL = LTLmin ,E = Emin , i = const , Tax = const.

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

Задача линейного программирования

б) Реальная функция спросаa) Теоретическая функция спроса

V

0 P

V

0 P

1

2

3

Зависимость объема продаж от цены

Прогнозирование

Классификация прогнозов

‣ Генетический (поисковый) прогноз

‣ Телеологический (нормативный) прогноз

Классификация прогнозов

‣экстраполяция тенденций в будущее;

‣определение экстрем развития (верхняя экстрема отсекает область абсолютно нереальных значений, нижняя — абсолютной невозможности функционирования, т.е. область катастроф);

‣определение наиболее вероятных значений развития с учетом значений прогнозного фона.

Наиболее распространенные методы поискового прогноза:

Классификация прогнозов

Нормативный прогноз — определение путей и сроков достижения возможных состояний явления, принимаемых в качестве целей.

(Прогнозирование достижения желаемых состояний на основе заранее заданных норм и целей. Такой прогноз отвечает на вопрос, какими путями достичь желаемого желаемого.)

Процесс прогнозирования

‣ Построение модели исследуемого явления

‣ Оценка основных характеристик (параметров) модели по базовым данным и получение оценки прогноза

Методы прогнозирования

Метод прогнозирования — это способ исследования объекта с целью получения прогнозной информации.

‣ Интуитивные

‣ Формализованные

‣ Комбинированные

Методы прогнозирования

‣ Методы анализа и прогноза временных рядов (методы сглаживания рядов)

‣ Методы прогнозирования на основе факторных регрессионных моделей(методы отражения принципа максимального правдоподобия)

‣ Прогнозирование на основе эконометрических методов и моделей (методы решения систем одновременных уравнений)

Представление информации

‣ Временные ряды (time-series data)

‣ Пространственные данные (cross-section data)

‣ Данные панельных исследований (panel data)

Представление информации

x1(1)(t) x1(2)(t) … x1(m)(t)

x2(1)(t) x2(2)(t) … x2(m)(t)

… … … …

xn(1)(t) xn(2)(t) … xn(m)(t)

X =

Объект

Показатель

Представление информации

‣ xi(j)(t), xi(j)(t), …, xi(j)(t) X = x(t)

‣ X(t) = (x(1)(t), x(2)(t), …, x(p)(t))

‣ X = (xi(j))

Особенности прогнозирования социально–экономических систем

Синергетика — междисциплинарная, наука изучающая особенности развития больших систем.

Особенности прогнозирования социально–экономических систем

‣ Анализ иследуемой системы и построение математической модели ее развития

‣ Исследование устойчивых состояний и траекторий развития

‣ Выявление диапазона и возможных траекторий развития системы в стадии нестационарной структуры.

Прогноз временных рядов

Прогноз временных рядов

yt = a(t) + et

Систематическая составляющая

Случайная составляющая

Прогноз временных рядов

yt = ƒ(t) + s(t) + c(t) + e(t)

Циклическая составляющая

Белый шумСезонная составляющая

Вековая составляющая

Прогноз временных рядов

‣ Присутствует ли вековая тенденция?

‣ Если она присутствует, то какой характер несет?

‣ Какие дополнительные закономерности прослеживаются в исследуемом ряду?

Наивные модели

y(t + 1) = y(t)

Наивные модели

y(t + 1) = y(t) + [y(t) – y(t – 1)]

y(t + 1) = y(t)•[y(t) ÷ y(t – 1)]

Методы сглаживания

e = y – y(xp)) )

Ошибка прогноза

M[e] = M[y – y(xp)] = 0) )D[e] = D[y – y(xp)] = Dƒ + De

) )

Прогноз

Среднее значение

Дисперсия ряда Дисперсия сглаживающей модели

Дисперсия случайной по ряду

Методы сглаживания

Методы скользящего среднего — общая идея этих методов заключается в том, что в выбранном интервале сглаживания по заданному алгоритму расчитывается усредененное значение показателя для этого интервала.

Простое скользящее среднее

MA = ∑yi(t)

ni =1

n

Simple Moving Average

Взвешанное скользящее среднее

Weighted Moving Average

i =1WMA = ∑yi(t)•wi

∑wi

n

i =1

n

Методы сглаживания

Экспоненциальное сглаживание — для расчета сглаженного значения текущего уровня необходимо знать предыдущее сглаженное значение и фактическое значение временного ряда.

Экспоненциальное скользящее среднее

Exponential Moving Average

EMAi = EMAi –1 + (K•[yi(t) – EMAi –1])

K = 2n + 1

Пример 1. Построение прогноза продаж

№ месяца Объем продаж, у.е. № месяца Объем продаж,

у.е.

1 800 11 3000

2 1700 12 2200

3 2300 13 1600

4 2600 14 3100

5 2800 15 3900

6 3330 16 4500

7 3300 17 4600

8 3500 18 5050

9 3300 19 5000

10 3200 – –

Пример 1. Построение прогноза продаж

0

1,500

3,000

4,500

6,000

Объем продаж в месяц

Пример 1. Построение прогноза продаж

Модели временного ряда:

Аддитивная модель

y(t) = ƒ(t) + s(t) + e(t) y(t) = ƒ(t)•s(t)•e(t)

Мультипликативная модель

Пример 1. Определение тренда

MA(t) = 1/12•(y(t) + y(t–1) + … + y(t–11))

MA(12) = 1/12•(800 + 1700 + 2300 + 2600 + 2800 + 3330 + 3300 + + 3500 + 3300 + 3200 + 3000 + 2200) = 2669

Пример 1. Построение прогноза продаж

Вводим значения

Пример 1. Построение прогноза продаж

Строим график

Пример 1. Построение прогноза продаж

Строим линию тренда (правая клавиша мыши на графике, меню)

Пример 1. Построение прогноза продаж

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

12)

Пример 1. Построение прогноза продаж

Линейная функция: y = a + b•t

Логарифмическая функция: y = a + b•ln(t)

Полином втрой степени: y = a + b•t + c•t2

Степенная функция: y = a•tb

Экспоненциальная функция: y = a•eb•t

Пример 1. Построение прогноза продаж

Продление тренда

Пример 1. Построение прогноза продаж

y = 135.26x + 2478.6

R2 = 0.9922

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

12 13 14 15 16 17 18 19

y = a + b•t

3120 3029262422 27 28252321

Пример 1. Построение прогноза продаж

y = 440.12Ln(x) + 2503.9

R2 = 0.8663

2000

2400

2800

3200

3600

4000

12 13 14 15 16 17 18 19

y = a + b•ln(t)

3120 3029262422 27 28252321

Пример 1. Построение прогноза продаж

y = 4.8909x2 + 91.24x + 2552

R2 = 0.9974

2000

2600

3200

3800

4400

5000

5600

6200

6800

12 13 14 15 16 17 18 19

y = a + b•t + c•t^2

3120 3029262422 27 28252321

Пример 1. Построение прогноза продаж

y = 0.0369x5 - 0.6257x4 + 1.4353x3 + 25.35x2 - 9.3868x + 2652.1

R2 = 1

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

12 13 14 15 16 17 18 19 3120 3029262422 27 28252321

Пример 1. Построение прогноза продаж

y =

2537.9x0.144

R2 = 0.888

2000

2400

2800

3200

3600

4000

4400

12 13 14 15 16 17 18 19

y = a•t^b

3120 3029262422 27 28252321

Пример 1. Построение прогноза продаж

y =

2522.3e0.0438x

R2 = 0.9957

2000

2400

2800

3200

3600

4000

4400

4800

5200

5600

6000

6400

12 13 14 15 16 17 18 19

y = a•e^(bt)

3120 3029262422 27 28252321

Пример 1. Построение прогноза продаж

y = 4.8909•t2 + 91.24•t + 2552

Обратите внимание, что значения t для прогноза начинаются со значения 9. Поскольку первое значение тренда было получено для 12–го месяца — этот месяц и стал первым в ряду для построения прогноза.

**

Пример 1. Построение прогноза продаж

MA(t) = 1/12•(y(t) + y(t–1) + … + y(t–11))

y(t) = 12•MA(t) – y(t–1) – … – y(t–11)

Пример 1. Построение прогноза продаж

0

2,250

4,500

6,750

9,000

Объем продаж в месяц126 18 24 30

Владимир Мельниковbobmevish@gmail.com

icq 248-200-650

www.mevish.ru