РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ

ГАУССАВыполнил ст-т гр СС15-12

Кононова Екатерина

Метод ГауссаМетод Гаусса является одним из самых наглядных и простых способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): как однородных, так и неоднородных. Коротко говоря, суть данного метода состоит в последовательном исключении неизвестных.

Пример СЛАУx2 + 2x3 - x4 + x5 = 4x1 - 2x2 + 2x3 + x5 = 3-2x1 + 3x3 4x4 + x5 =5x1 + x2 + 3x3 3x4 + 2x5 = 1-3x1 + x2 - x3 - 2x4 = 3

Ход решения Нужно написать нашу СЛАУ в матричном виде Коэффициенты стоящие перед Х1, Х2, Х3, Х4,Х5 и будут составлять нашу матрицу :

а11 а12 а13 а14 а15 а21 а22 а23 а24 а25а31 а32 а33 а34 а35а41 а42 а43 а44 а45а51 а52 а53 а54 а55

Как на рисунке #Если в какое-то строчке нет какого-либо Х, как, например, в первой строчке нет Х1, от коэффициент его равен нулю и элемент а11 будет равен 0

x2 + 2x3 - x4 + x5 = 4x1 - 2x2 + 2x3 + x5 = 3-2x1 + 3x3 4x4 + x5 =5x1 + x2 + 3x3 3x4 + 2x5 = 1-3x1 + x2 - x3 - 2x4 = 3

2

К нашей матрице нужно справа приписать еще одну дополнительную, которая будет состоять из значений функций . Такая матрица будет называться расширенной b1b2b3b4b5

x2 + 2x3 - x4 + x5 = 4x1 - 2x2 + 2x3 + x5 = 3-2x1 + 3x3 4x4 + x5 =5x1 + x2 + 3x3 3x4 + 2x5 = 1-3x1 + x2 - x3 - 2x4 = 3

4

Из системы уравнений

Мы получили матрицу

x2 + 2x3 - x4 + x5 = 4x1 - 2x2 + 2x3 + x5 = 3-2x1 + 3x3 4x4 + x5 =5x1 + x2 + 3x3 3x4 + 2x5 = 1-3x1 + x2 - x3 - 2x4 = 3

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом ГауссаПоменяем 1-ую строку и 2-ую строку местами

К 3 строке добавляем 1 строку, умноженную на 2; от 4 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1; к 5 строке добавляем 1 строку, умноженную на 3

Ход решенияМеняем местами

к 1 строке добавляем 2 строку, умноженную на 2; к 3 строке добавляем 2 строку, умноженную на 4; от 4 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 3; к 5 строке добавляем 2 строку, умноженную на 5

3-ую строку делим на 15

от 1 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 6; от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 2; к 4 строке добавляем 3 строку, умноженную на 5; от 5 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 15

4-ую строку делим на -8/3

от 1 строки отнимаем 4 строку, умноженную на 1.2; от 2 строки отнимаем 4 строку, умноженную на 1/15; к 3 строке добавляем 4 строку, умноженную на 8/15; от 5 строки отнимаем 4 строку, умноженную на 1

5-ую строку делим на 1.125

Мы привели матрицу к треугольному виду, теперь можно найти корни

Теперь значения а11…а55 мы ставим как коэффициенты перед Иксами, а b1…b2 будут новыми значениями функции :

Х1 + 0,35*Х5 = -2,05Х2 + 0,075*Х5 = 0,275Х3 + 0,4*Х5 = 2,8Х4 – 0,125*Х5 = 1,875Х5 = 25/9

Решая систему, получаем корни

РЕШЕНИЕ СЛАУ В ЕXСEL:

Находим коэффициент для зануления элементов матрицы

ЗАНУЛЯЕМ ПЕРВЫЙ СТОЛБЕЦ МАТРИЦЫ:

ЗАНУЛЯЕМ ВТОРОЙ СТОЛБЕЦ МАТРИЦЫ:

ПОСЛЕ ЗАНУЛЕНИЯ МАТРИЦЫ НАХОДИМ Х:

ПРОВЕРЯЕМ Х С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!