Паскаль ФермаНьютон

Лейбніц Ейлер

Найбільш важливими є ті методи науки, які дають

можливість розв’язати задачу, що є загальною для всієї практичної діяльності

людини:

як використовувати свої ресурси для досягнення, по можливості, найбільшої вигоди

Чебишев

• Зробити висновки з точки зору постановки задачі.

•а) зробити креслення досліджуваного об’єкта та ввести позначення; б) скласти функцію, для якої далі потрібно знайти найбільше чи найменше значення, використовуючи залежності даних вмісту задачі; •Знайти похідну функції;

•Знайти критичні точки, та дослідити ці точки на екстремум на області їх існування;

•Знайти значення функції в критичних точках (які входять в досліджуваний інтервал) та на кінцях вказаного інтервалу;

1. а) зробити креслення досліджуваного об’єкта та ввести позначення;

б) скласти функцію, для якої далі потрібно знайти найбільше чи найменше значення, використовуючи залежності даних вмісту задачі;

2. Знайти похідну функції;3. Знайти критичні точки, та дослідити ці

точки на екстремум на області їх існування;4. Знайти значення функції в критичних точках

(які входять в досліджуваний інтервал) та на кінцях вказаного інтервалу;

5. Зробити висновки з точки зору постановки задачі.

Дідона. Джон Аткінсон Грімшоу

Дідона, що будує Карфаген, або початок Карфагенської імперії. Джозеф Малорд Уільям Тернер

l – 2xx Нехай ВС = х, тоді АВ = l-2x, де

АД + ДС + ВС = l

S = x(l – 2x), при x є [0; l/2}]

S´ = (lx – 2x2)´ = l– 4xS´ = 0; l – 4x = 0

4x = l x = l/4

при x =l/4 функція має максимум (+; – )

Отже, при х =l/4; та АВ = l – 2·l/4 =l – l/2 = l/2 прямокутник набуває найбільшої площі

–x

0 l/4

Нехай берег моря прямолінійний, а ділянка землі мала прямокутну форму. Тоді треба знайти прямокутник найбільшої площі, обмежений з одного боку морем, а з трьох інших сторін – ременем із бичачої шкіри(довжиною l).

На прямокутному березі річки треба відгородити прямокутну ділянку з трьох боків, площею 20 000м2. Яких розмірів повинна бути ділянка, щоб на огорожу було витрачено як найменше матеріалу. Нехай х – ширина, а у – довжина

прямокутної ділянки;S = xy; xy = 20000; y = 20000/x;Р = 2х + у; Р = 2х + 20000/х; х>0

Р´ = (2х + 20000/х) ´ = 2 – 20000/х2;

Р´ = 0; 2 – 20000/х2 = 0; 20000/х2 = 2; х2 = 20000/2; х2 = 10000; х = 10000; х = 100; х = – 100<0

-x

0 100х = 100 – т. min ( – ; + )

Отже, при х = 100м, та у = 20000/100 = 200м на огорожу буде витрачено найменше матеріалу.

xу

1.Серед усіх прямокутників з заданим периметром квадрат має найбільшу площу ( доведено Евклідом, давньогрецьким математиком).2. Серед усіх прямокутників з заданою площею квадрат має найменший периметр ( доведено Евклідом, давньогрецьким математиком).

1.З усіх многокутників з рівним периметром та рівною кількістю сторін найбільшу площу має правильний многокутник

(доведено Зенодором ІІ-Іст. до н.е.)2. З двох правильних многокутників з рівним периметром більшу

площу має той у якого більше кутів (доведено Зенодором ІІ-Іст. до н.е.)

3. З усіх плоских фігур з рівним периметром найбільшу площу має круг (доведено в ХІХ ст. Ейлером)

Основним елементом будь-якої будівельної конструкції є балки. Міцність балки залежить від того, яку форму має

поперечний переріз. До того ж висота перерізу грає більшу роль ніж її ширина. Лінійку важче зігнути, якщо поставити її

на ребро, ніж лінійку, яка лежить ширшою стороною до столу. Міцність балки можна розрахувати за формулою kbh², k – коефіцієнт пропорційності, який залежить від

довжини балки, матеріалу, з якої вона зроблена.

Похідна в будівництві

Задача.З круглої колоди, яка має радіус R, зробити балку

найбільшої міцності.

Розглянемо малюнок з поперечним перерізом колоди. Міцність балки залежить від ширини, якщо ширину взяти майже рівну діаметру, то міцність балки буде мала. Якщо зробити її вузенькою, то міцність також буде малою.

Дерев'яні звично витесують із круглих колод.

Отже, виникає задача.

R

Виконаємо підстановку в формулу міцностіy=kbh²; y=kx(4R²-x²); xє[0;R].y´=(kx(4R²-x²))´=(4kR²x-kx³)´=4kR²-3kx².y´=0; 4kR²-3kx²=0 k(4R²-3x²)=0 4R²-3x²=0; x²=4R²/3;x=±2R/√3 – не задовольняє умові задачі.

A

B C

Dx

h2R

x0 2R/

√3

+ -

Отже, при ширині балки x=2R/√3 та висоті h=2R√6/3, балка має найбільшу міцність.Якщо знайти відношення: h/x=2R√6•√3/3•2R=√6/√3=√2≈1,4≈7/5.

x=2R/√3 – точка максимуму(+;-)

Нехай x – ширина балки, тоді з прямокутного трикутника ACD, за теоремою Піфагора висота балки h=√(2R)²-x²=√4R²-x².

Таке співвідношення передбачається правилами

виробництва при витесуванні балок для будівництва.

h/x=√2≈1,4≈7/5

Нехай фірма продає костюми для лижного спорту. Доход в тисячах гривень за тиждень від продажу цих костюмів протягом t тижнів, починаючи з 1 січня, задано функцією:R(t) = 1,55 + 1,45 cos t/26; 0 t

104.Визначити, на які саме тижні припадає максимальний доход, і на які – мінімальний.

R´(t) = − 1,45/26 sin t/26; R´(t) = 0;− 1,45/26 sin t/26 = 0, 0 t 104; sin t/26 = 0;Оскільки, 0 t 104, то 0 t/26 4. t/26 = , 2, 3, 4 t = 26, 52, 78, 104.(26) = 0,1 тисяч гривень, (52) = 3 тисячі гривень, (78) = 0,1 тисяч

гривень, (104) = 3 тисячі гривень. Таким чином, максимальний доход фірма отримає на 52 та 104 тижні, а мінімальний на 26 та 78 тижні.

Пункт B знаходиться на відстані 60 кмвід прямолінійної залізниці. Відстаньзалізницею від пункту A до найближчоїточки C дорівнює 285 км.

На якій відстані від точки C потрібнопобудувати в станцію D, щоб під часруху шляхом ADB був найменшим,якщо швидкість руху залізницеюдорівнює 52 км/год, а ґрунтовоюдорогою – 20 км/год.

A

B

C D

60

285

Розв’язання.

x

Розглянемо малюнок задачі(B, A – населені пункти, D – станція).Оскільки BC – найкоротша відстань від B до AC, то BC┴AC,BC=60 км. Нехай CD=x, з ∆BCD(∟C=90°) за теоремою Піфагора,BD=√60+x2=√3600+x2 км.Шлях BD(рух ґрунтовою дорогою) проїжджають за t1= (год.)√3600+x2

20Шлях AD – рух ґрунтовою дорогою, де 285-x, AD=285-x (км), тодіt2 – час, який витрачається на рух залізницею :

t2= (год.)285-x 52

1.а)

( )´

T=t1+t2; t=ƒ(x), тоді : ƒ(x)= √3600+x2 285-x 20 52

ƒ’(x) =

xє[0; 285]

√3600+x2 285-x 20 52

2x _ 20•2√3600+x2

_1_ 52

x _ 20•√3600+x2

_1_ 52

-

-= =

=

+

+

б)

2)

ƒ’(x) = 0;3). x _ 20•√3600+x2 = 0_1_

52-

x _ 20•√3600+x2 = _1_

13

13x = 5√3600+x2

169x2 = 25x2+90000144x2 = 90000

x2 = 90000 144

x=± 300 12

=±25

x=-25є[0; 285]

ƒ(25) =

ƒ(0) =

ƒ(285) =

√3600+625 285-625 20 52√3600+0 285-0 20 52√3600+285 285-285 20 52

+

+

+

=

=

=

8

8

14,25

142552

год.

год.

год.

4).

B

60

285

x AC D

Отже при t=8¼ найменша затрата часу на станцію D потрібно будувати на відстані 25 км від точки C.

Звертаємо увагу, що при x=285, станцію будувати немає сенсу, треба вести дорогу

прямо на станцію.

Умова задачіПункти А і В розташовані на

різних берегах річки. Відстань АА1 (від А до

берега) дорівнює а, відстань ВВ1 (від В до берега)

дорівнює b, ширина річки дорівнює h, ВС = с. На якій відстані від точки А, треба

вибрати місце для побудови моста через річку, щоб

довжина дороги між пунктами А і В була найменшою?

Розв’язання1.Знаходимо цільову функцію:а) Нехай дорога від А до майбутнього моста дорівнює АМ, а від В до нього ж дорівнює ВК; МК=h – ширина річки; АА1=а; ВВ1=b (за умовою); S – шлях. ВС=В1С1. Нехай А1М=х=С1К, тоді В1К=С1В1–С1К=с-x.б) Розглянемо ∆ АА1М. Так як АА1 перпендикуляр (кут АА1М=90º), то ∆ АА1М прямокутний. За теоремою Піфагора знайдемо АМ: аналогічно знаходимо BK:

в)

2.2.Знаходимо похідну:Знаходимо похідну:

3.3.Знаходимо критичні точки:Знаходимо критичні точки:

4. За методом інтервалів визначаємо точки екстремуму4. За методом інтервалів визначаємо точки екстремуму::

- сторонній корінь (є можливість отримати від’ємний результат, а відстань не буває від’ємна)

Відповідь:Відповідь:

Так як похідна змінює знак з – на +, точка є мінімумом.