5

У посібнику подано умови та розв’язки

рубрики «Задачі від Мудрої Сови», проведено класифікацію їх за способами розв’язку

Рекомендується вчителям математики та учням, які працюють у 5класі запідручником авторів А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір

« Математика 5 клас »

Схвалено радою методичного кабінету

відділу освіти виконкому Лебединської міської ради

Сумської області (протокол №2 від 05.10.2011р)

Задачі на спостережливість і вміння аналізувати

Комбінаторні задачі

Задачі на ділення

Задачі на застосування арифметичної і геометричної прогресій. Задача Гауса

Задачі на переріз та об'єднання множин

Логічні задачі. Які вони?

Задачі, які розв'язуються методом підбору і використання подільності чисел

Раціональність розв'язування практичних задач

Застосування рівнянь та нерівностей

Запишіть усі трицифрові числа, що складаються із цифр 3, 4, 7, причому в записі цих чисел кожна цифра має використовуватися один раз.

Складаємо “ дерево ” числа

Комбінаторні задачі

Перша можлива цифра 7

4 3

3 4

3

7 4

4 7

4

7 3

3 7

Друга можлива цифра

Третя можлива цифра

Відповідь: 743, 734, 473, 437, 374, 347

Розв’язання.

Діти в 5-6 класах люблять розв'язувати комбінаторні задачі,

які дозволяють «експериментувати», розвивають уяву,

тренують пошукові здібності.

В задачі № 18, щоб порахувати кількість способів, якими

можна розставити на полиці 5 різних книжок, можна це

підрахувати, розв'язуючи задачі, коли на полиці 1, 2, 3, 4 книги,

після чого використати метод підрахунку кількості способів

для даної задачі.

Якщо на полиці 1 книга, спосіб 1.

Якщо книг 2, то способів є 2 (1 • 2), якщо книг є 3, то способів є

6 (1 • 2 • 3). Якщо книг є 4, то є 24 способи (6 • 4). Аналогічно у

випадку 5-ти книг, способів розставити їх є 120 (24 • 5).

Отже, розв’язком задачі буде: 1×2×3×4×5= 120 (способів)

Скількома способамиможна розставити

на полиці 5різних книжок?

№18 с.8

До 5 різних замків є 5 ключів.Причому невідомо який ключ до якого замка підходить. Скільки спроб треба буде зробити в найгіршому випадку, щоб до кожного замка підібрати його ключ?

Розв’язання

Щоб знайти за скільки спроб в найгіршому випадку можна підібрати 5

ключів до 5 замків, слід розуміти, що ключ від одного замка можна знайти

за 5 спроб, від другого - за 4, від третього - за 3 спроби, і т.д. Всього спроб є

5×4×3 ×2= 120 (спроб)

№693 с168

№ 93 ст. 27

Розв’язання

Вивчаючи тему «Ряд натуральних чисел» в 5 класі, діти знайомляться з

властивістю ряду натуральних чисел, ряду парних і непарних

натуральних чисел, коли різниця наступних і попередніх чисел складає

1 чи 2. Цей підхід може бути використаний у задачі № 93, коли різниця

ряду чисел 3, 8, 15, 24, 35 складає 5, 7, 9, 11. Тому наступні дві різниці є

13, 15, а шукані числа 35 + 13 = 48, 48 + 15 = 63 відповідно.

№ 120 ст. 34

Розв’язання

Розв’язання

Тиждень – це 7 днів. 62:7 = 8 (остача 6). Якщо батько

святкував день народження у неділю, то мати святкуватиме

у понеділок, тому, що вона молодше його на 8 повних

тижнів і 6 днів

7 гномів зібрали разом 28 грибів. Причому, всі вонизібрали різну кількість грибів і у жодного не було порожнього кошика. Скільки грибів зібрав кожний гном?

№831 с 204

Василько розповів друзям, що позавчора йому було 10 років, а в наступному році йому виповниться 13 років. Як таке може бути?

Розв’язання

День народження Василька - 31 грудня. Тому 1 січня він розповідає

друзям: до 30 грудня йому було 10 років, 31 грудня – 11 років, 31 грудня

цього року – 12 років, а 31 грудня наступного року – 13 років.

№ 254 ст. 66

У скільки разів шлях по сходах з першого поверху на десятий довший за шлях з першого поверху на другий?

Відповідь: шлях по сходах з першого поверху на десятий

довший за шлях з першого на другий у 9 разів.4

12

3

56

78

9

№295 с.78

У трьох ящичках лежать кульки: у першому ящичку – дві білі, у другому – дві чорні, у третьому – біла і чорна. На ящички наклеєно етикетки ББ, ЧЧ і БЧ так, що вміст кожного з них не відповідає етикетці. Як, вийнявши одну кульку, дізнатися, що в якому ящичку лежить?

БББЧ ЧЧ

Розв’язання.

Спочатку треба вийняти кульку з ящичка БЧ. Якщо вона біла, то там

дві білих, у ящичку ББ – дві чорних, у ящичку ЧЧ – біла і чорна. Якщо

вона чорна, то і друга там чорна, у ящичку ЧЧ – дві білих, у ящичку

ББ – біла і чорна.

№ 280 с. 72

Кабінки розважального атракціону «Колесо» послідовно пронумеровані числами 1, 2, 3 і т. д. Скільки всього є кабінок, якщо відомо, що коли кабінка 24 займає найвищу позицію, то кабінка 10 -найнижчу?

Розв’язання

Оскільки кабінки атракціону розміщені по колу і кабінка 24 займає

найвищу позицію, а кабінка 10 - найнижчу, то від 10-ої до 24-аї кабінки

міститься 13 кабінок і стільки ж від 24-аї до 10-ої, але в іншому

напрямку. Отже, 13 + 13 = 26 , і ще дві кабінки: 10-а і 24-а. Тоді всіх

кабінок на колесі 28.

Приклад

24 2322

21

20

19

18

17

16

15

1413

1211109

87

6

5

4

3

2

1

28

2726

25

Схематично розв'язання задачі №28 можна показати так:

Розв’язання

Щоб розділити 7 яблук між 12 друзями, потрібно спочатку спробувати

розрізати кожне яблуко на 12 рівних частин, тоді кожен учень одержить

по 1/12 кожного з 7 яблук, тобто по 7/12 яблука.

За умовою задачі кожне яблуко можна розрізати не більше, ніж на 4

частини, тому 7/12 розкладемо на доданки 3/12 і 4/12, кожен з яких

дорівнює 1/4 і 1/3 відповідно.

Отже, кожен учень одержить 1/3 і 1/4 яблука, то кожне з 4 яблук слід

розрізати на 3 рівні частини, а кожне з трьох - на 4.

№791 с. 195

Як розділити порівну 7 яблук між 12 друзями, якщо кожне

яблуко можна розрізати не більше ніж на 4 частини?

Задачі на застосування арифметичної і геометричної прогресій. Задача Гауса

В іст орії мат ематики відомий такий випадок. Одного разу, а було це в Німеччині, в кінці 18 в., для т ого щоб змусити учнів попрацювати, учит ель дав їм завдання підрахувати суму всіх нат уральних чисел від 1 до 100. Яке ж було його здивування,коли вже через кілька хвилин один учень сказав йому відповідь: шукана сума дорівнює 5050! Цей учень, Карл Фрідріх Гаус, а йому було т оді 10 років, ст ав одним з великих мат ематиків світ у.

Розв'язання.1+2+3+…+98+99+100=(1+100)50. Відповідь: (1+100)50=5050

Розв'язати задачу застосовуючи метод Гауса.

Є 9 гир вагою 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Чи можна розкласти на три купки рівною вагою?

Розв'язання. Сума мас всіх гирьок: (1+9)*4+5 =45(г).Значить, в одній купці будуть гирі вагою 15г.Спробуємо це зробити:1г +9 г +5 г , 2г +6 г +7 г, 3г +4 г +8 г.Тут можливі інші результати, наприклад:1г +8 г +6 г , 3г +5 г +7 г, 2г +4 г +9 г.

№ 310 с. 83

На озері почали розпускатися лілії. Кожного дня кількість лілій збільшувалася удвічі. На двадцятий день ліліями заросла вся поверхня озера. На який день половина озера була вкрита ліліями?

Розв’язання

На 20-й день ліліями заросла вся поверхня озер, тоді на кінець 19

дня - у двічі менша величина, тобто половина озера, тому що

кожного дня кількість лілій збільшувалась удвічі.

Відповідь: на 19-й день.

Задача Гауса є такою, що розв'язати її може майже кожний п'ятикласник, але зробити це раціональним шляхом, витративши мінімум часу, може далеко не кожний. Метод підрахунку суми чисел, використаний в даній задачі, може бути використаний при знаходженні суми чисел, кратних іншим числам. Це є задачі на знаходження суми арифметичної прогресії, але не менш цікавими є задачі на знаходження члена геометричної прогресії (задача № 310 )

№ 394 ст. 105

Кожен учень гімназії вивчає принаймні одну двох іноземних мов. Англійську мову вивчає 328 учні, французьку мову - 246 учнів, англійську і французьку одночасно - 109 учнів. Скільки всього учнів навчається в гімназії?

Задачі на переріз та об'єднання множин

Розв’язання

Використовуючи круги Ейлера можна

схематично зобразити учнів школи.

Дивлячись на малюнок, знайти кількість

учнів, що вивчають французьку і

англійську мову (328 + 246 = 574) і від

даної суми відняти 109 учнів, які

вивчають одночасно 2 мови (574 — 109 =

465). Можна застосувати інший спосіб

розв'язання.

Відповідь: 465 учнів всього навчається в

гімназії

Англійська

328

Французька

246

109

У школі в 5-х класах навчаються 100 учнів. З них 75 учнів вивчають німецьку мову, 85 учнів - французьку, а 10 учнів не вивчають жодної з цих мов. Скільки учнів вивчають тільки французьку, а скільки - тільки німецьку мову?

№ 927 ст. 222

Розв'язання.

1) 100 – 10 = 90 (учн) –

вивчають дві мови: німецьку

і французьку.

2) 90 – 75 = 15 (учн.) –

вивчають тільки

французьку.

3) 90 – 85 = 5 (учн.) – вивчають

тільки німецьку.

Відповідь: 15учнів вивчають

тільки французьку, 5учнів –

тільки німецьку

Всього – 100 учнів, не вивчають жодної – 10 учнів

Французька мова,

15учнів

Німецька мова,

5 учнів

70

учнів

Теми логічних задач – самі різні, з усіх областей цікавої математики: задачі про брехунів, на проміжки, математичні ребуси, текстові задачі.Можна виділити шість простих кроків на шляху пошуку розв'язку логічної задачі:

Завжди робіть

таблицю, у ній

враховуйте всі ймовірні

варіанти Уважно читайте кожне

твердження

Намагайтесь відшукати

головне твердження

Викресліть ті, безглуздість яких видно

Порівняйте, визначте зв'язки та

протиріччя

Методом послідовних виключень знаходимо розв'язок

Логічні задачі. Які вони?

Частина арифметичних і алгебраїчних задач розв'язуються складанням таблиць. Умови таких задач є громіздкими.

Тому дані умови (об'єкти) розміщують по горизонталі, а їх характеристики – по вертикалі. Слід пам'ятати, що на

перетині горизонтальної та вертикальних ліній лише одне твердження є правильним.

№ 927 ст. 222

У п’ятому класі вчаться троє друзів: Михайлик, Дмитрик та Сашко. Один ходить у футбольну секцію, другий - у басейн, а третій – у секцію боксу. У футболіста немає ні брата, ні сестри, він наймолодший з друзів. Михайлик старший за боксера і товаришує із сестрою Дмитрика. Яким видом спорту займається кожний з друзів?

Михайлик Дмитрик Сашко

Футбол - - +

Басейн + - -

Бокс - + -

Складаємо таблицю:

З речень «У футболіста немає ні брата, ні сестри, він наймолодший з друзів. Михайлик старший за боксера…» робимо висновок, що Михайлик і Дмитрик не можуть бути футболістами. Отже, футболіст – Сашко (заповнився перший рядок таблиці). Якщо Сашко –футболіст, то він не може ходити у басейн і занімитися боксом (заповнився третій стовпчик). З речення « Михайлик старший за боксера» робимо висновок, що Михайлик не може бути боксером. Значить, він – ходить у басейн (заповнюється перший стовпчик таблиці) Після цього другий стовпчик заповнюється автоматично. Відповідь: Михайлик ходить у басейн, Дмитрик знімається боксом, Сашко – футболіст.

Розв’язання

•З речення «Марійка купила квиток раніше, ніж Мишко, але пізніше за Наталку»

випливає такий порядок у черзі:Наталка, Марійка, Мишко

•З речення «Дмитрик не був поруч ні з Наталкою, ні з Марійкою» має такий порядок:

Наталка, Марійка, Мишко, Дмитрик

•И остаточно маємо:Наталка, Марійка,Петрик, Мишко, Дмитрик

№ 576 ст. 143

У черзі за квитками в цирк стояли Мишко, Наталка, Петрик, Дмитрик і Марійка. Марійка купила квиток раніше, ніж Мишко, але пізніше за Наталку, Петрик Наталка не стояли поруч, а Дмитрик не був поруч ні з Наталкою, ні з Марійкою, ні з Петриком. Хто за ким стояв у черзі?

Мишко Наталка Петрик Дмитрик Марійка

1 +

2 +

3 +

4 +

5 +

№ 769 ст. 189

Учні Федоренко, Дмитренко, і Петренко входили до збірної школи з шахів. Імена Цих учнів були: Федір, Дмитро і Петро. Відомо, що прізвище Федора не Петренко, волосся Дмитра рудого кольору і вчиться він у шостому класі, Петренко вчиться в 7 класі, а волосся Федоренко чорного кольору. Вкажіть прізвища та ім'я кожного

хлопчика.

Розв’язання

•З « прізвище Федора не Петренко, волосся Дмитра рудого кольору і вчиться він у шостому класі,

Петренко вчиться в 7 класі» заповнюється третій стовпчик.

•Після цього автоматично заповнюється третій рядок.

•З того, що Дмитро рудий, а Федоренко чорний заповнюється таблиця. Відповідь: Федор

Федоренко, Дмитро Дмитренко, Петро Петренко.

Федоренко Дмитренко Петренко (7кл)

Федір + - -

Дмитро(рудий,6клас)

- + -

Петро - - +

Дітям 5 і 6 класів важко зрозуміти, що задачі не завжди мають єдиний розв'язок, а можуть зовсім не мати розв'язку або мати більше одного. Якщо задача не має розв'язку або має їх безліч, то учень повинен це довести. А якщо розв'язків декілька, то всі їх треба знайти. Саме такими є задачі, які розв'язуються методом підбору і використання подільності чисел.

Задачі, які розв'язуються методом підбору і використання подільності чисел

Розв’язання

1) 70 – 45 = 25(б.) – з'їли Вінні-Пух і П'ятачок разом.

2) Кролик та Іа з'їли разом 45 бананів за умовою. Якщо ж вони

з'їли майже порівну (22б, 23Б), то Вінні з'їв більше, тобто - 24б.

Отже, П'ятачку залишається тільки один банан.

Вінні-Пух – 24б. 25 б.

П’ятачок – 1б.

Іа – 70 бананів

Кролик - 45 б.

Відповідь: П’ятачок з’їв1банан.

Розв’язання

Нехай купили n лимонів. За умовою задачі 2< n < 7, n – натуральне

число і 850 г (загальна маса) повинна ділитися на нього. Отже, n =

5.

№ 356 ст. 96

Лимони однакової маси продають поштучно. Купили більше двох, але менше 7 лимонів. Маса всієї покупки становить 850 г. Яка маса одного лимона?

№ 717 ст. 176

Вінні-Пух, П'ятачок, Іа та Кролик з'їли разом 70 бананів, при чому кожний з них з'їв хоча б 1 банан. Вінні-Пух з'їв більше за кожного з них, Кролик та Іа з'їли разом 45 бананів, Скільки бананів з'їв П'ятачок?

Розв’язання

1) 280 : 2 = 140 (місць) – половина.

2) 100% - 47% = 53% - учні інших шкіл.

3) 47% та 53% повинні бути цілим числом. Це

може бути тільки у випадку, коли 1% - ціле число.

Це може бути,

якщо 1% - 1 учень, тоді 47 + 53 = 100 <141,

якщо 1% - 2 учня, тоді 94 + 106 = 200 >141,

задовольняє умову,

якщо 1% - 3 учня, тоді 141 + 159 = 300 >280, не

задовольняє умову.

Відповідь: 200 глядачів.

№ 1099

ст. 253

Для перегляду кінофільму в залі для глядачів зібрались учні кількох шкіл. Виявилось, що учні однієї з шкіл становлять 47 % кількості глядачів. Скільки всього глядачів було в залі, якщо в ньому 280 місць і понад половину місць було зайнято?

Математичні задачі розв'язуються, як правило, не одним, а декількома способами.

Ряд практичних задач передбачає раціональний підхід у складанні алгоритму

розв'язування.

Розв’язання

Наливаємо у 5-літровий бідон воду та наповнюємо з нього 3-

литрову банку. У бідоні залишається 2л. Виливаємо воду з

банки на землю, а в банку переливаємо 2л з бідону. Знову

наповнюємо 5-літровий бідон водою, відливаємо з нього у 3-

літрову банку 1л (2л там вже є). Отже, в бідоні

залишається 4л.

№ 996 ст. 234

Як за допомогою 5-літрового бідону і 3-літрової банки набрати на березі річки 4 л води?

Раціональність розв'язування практичних задач

№ 1019 ст. 238

Одночасно на сковороду можна покласти 2 карася. Щоб підсмажити карася з одного боку, потрібно 1 хв. Чи можна за 3 хвпідсмажити з двох боків 3 карасів?

1 хвилина 2 хвилина 3 хвилина

Відповідь: можна (див. мал.)Позначимо карасів: 1, 2, 3 та їхні сторони А і Б

Розв’язання

Листоноші для того, щоб відкласти 850 конвертів з пачки, де їх є

1000, не обов'язково рахувати від 1 до 850 конвертів, а достатньо

відібрати 150 конвертів за 1,5 хв, щоб їх залишилось 1000 — 150 =

850.

Відповідь: 1хв 30с

№ 815 с 200

У пачці було 1000 конвертів. Скільки часу потрібно листоноші, щоб відкласти 850 конвертів, якщо за 1 хвилину він відраховує 100 конвертів?

Відомо, що мотузка згорає за 4 хв. і горить при цьому нерівномірно. Як за допомогою: 1) однієї мотузки відміряти 2 хв.; 2) двох таких мотузок відміряти 3 хв.?

№560с. 140

№ 431 с.114

1) Складіть із 10 сірників три квадрати.2) Складіть із 19 сірників шість квадратів3)Які чотири сірники треба забрати , щоб залишилися п’ять квадратів?

1)2) 3)

Розв’язання

•підпалити мотузку з двох кінців;

•підпалити одну мотузку з двох кінців, далі другу скласти удвічі і

теж підпалити з двох кінців.

№610 с. 149

Відстань між містами А і В дорівнює 30 км. Із міста А в місто В виїхав велосипедист, який рухався зі швидкістю 15км/год. Одночасно з ним з міста В у напрямку міста А вилетів птах зі швидкістю 30 км/год. Зустрівшись з велосипедистом, птах розвернувся і полетів назад. Прилетівши у місто В, він знову розвернувся і полетів назустріч велосипедисту. Зустрівшись з ним, птах розвернувся і полетів назад у місто В і т.д. Скільки кілометрів пролетів птах за той час, що велосипедист їхав з міста А у місто В?

Розв’язання

1) 30 : 15 = 2 (год) – час, за який велосипедист подолає

шлях з міста А до міста В.

2) Час, що рухався велосипедист дорівнює часу, що летів

птах. Тому, 30 × 2 = 60 (км) – пролетів птах.

Відповідь: 60км.

А В

№875 с 212

Чортеня запропонувало Петру Скупердяйку: «Кожного разу, коли ти перейдеш цей міст, який я зроблю чарівним, твої гроші подвояться. За це віддаватимеш мені кожного разу 24 гривні». Зробив Скупердяйко так три рази і залишився зовсім без грошей. Скільки грошей було в Петра до зустрічі з чортеням?

Розв’язання

Нехай х грн. було у Петра. Після першого проходу через міст у нього стало 2х

грн.. Він віддав 24 грн. Залишилися (2х – 24)грн. Після другого переходу подвоїлися:

(4х – 48)грн. Віддав 24 грн. і залишилося: (4х – 48 – 24)грн.. Після третього разу

маємо рівняння:

8х - 96 – 48 – 24 = 0 (Розв'язання цього рівняння 5-класникам можна пояснити за

допомогою шалькових терезів)

Звідси, х = 21

Відповідь: 21 гривня була у Петра.

Застосування рівнянь та нерівностей

№1081 с 250

Розв’язання

Нехай х грн. коштує 1кг цукерок. Тоді

X < 10/9, з одного боку, а з другого x > 11/9

10/9 = 1,111…, а 11/10 = 1,1

Отже, 1кг цукерок коштує 1грн 11коп.

Скільки коштує 1кг цукерок, якщо 9кг цих цукерок коштує менше

10 грн., а 10 кг – більше 11грн?

•А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір « Математика 5 клас »

•http://skazles.ru/files/img/0005.jpg

•http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQA4vf7kOJcHSlr24ZIJOC

ewBcVLmUv_BHPitCJNGWOqM16fzlQQA

•http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQzoaYEJ5q9fT7jpSIjjFGj

OHzFu6CUsQyqxpRa7SbCkBnQuXoVUg

•http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSJrOYWimdzG_iEjylKw0i

DowZsRxQnMSvXVX_KF7SNpDX6mLB7

•http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTxLfBSusezky3lHYDN9ya

pHquTFMHe4hz0HRtjxApkMiBmwlNAkw

•http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcT-

BERSliFid39b5QetDMwyckhwKG6ttT3OmhnPLa7Ylb_4QRTP

•http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQJRDJyz9uyeIqG7pbU96

5IlXvJxGTaQSGPY2EekojQogiDP4pC

•http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcR23ZtcHC5OBMsz6_gbU

VLcODXUeqoWnc3h3R8wdfFkP7OjwWOyjA