Matematiniai metodai vadyboje

Trečiadienis, 8-10; 10-12 (2 sav.)

210/204 a.

Priėmimo valandos: treč., 12-14, 603k.

• Kurso turinio apibūdinimas: teorinis, su praktika (užduotys su Internetu, su kompiuteriu: Excel programa),

• Reikalavimai: lankomumas: privalomas; nuotolinė dalis – savarankiškai.

Panašūs kursai

• Operacijų tyrimas

• Optimizavimo metodai

• Vadybos mokslas (management science)• Kursai pagal atskiras temas, pvz., tiesinis

programavimas, lošimų teorija, sprendimų teorija, masinio aptarnavimo sistemos (eilių teorija), imitacinis modeliavimas, statistika ir kt.

Egzaminui

• Lankomumas

• Dalyvavimo seminaruose aktyvumas

• Seminarų užduočių atlikimas• Rašto darbas

• Testas

Skaitiniai

• Puškorius, Stasys. Matematiniai metodai vadyboje. Vilnius, 2001. 386 p. [yra f-teto bibliotekoje]

• Attaran, Mohsen. Management Science Information Systems (MSIS). 1992. 260 p.

• Nuotolinis kursas Internete (bus patikslinta vėliau).

• Interneto medžiaga (bus patikslinta vėliau).

Seminaro užduotis

• Pagal temas: 1) MMV, 2) Operacijų tyrimas, surasti internete ir parengti medžiagos kompiliaciją apie šių temų turinį (kas įeina, kokie metodai, kokios priemonės, programos naudojamos šioje srityje). Nurodyti tiksliai šaltinį (autorius, universitetas arba kita institucija, jei kursas, kam dėstomas ir pan.)

•

II paskaita

• Kurso turinio apžvalga pagal S. Puškoriaus knygą; MSIS

Įvadas į MMV: pagrindinės sąvokos

• Pagal S. Puškoriaus knygą (15 p.) • Operacija - tai kokia nors veiksmų sistema,

naudojama tam tikram tikslui pasiekti)• Sprendimas – tai konkretus pasirinkimas

• Optimalus sprendimas – toks, kuris pasirnktų rodiklių (kriterijų) atžvilgiu yra geriausias

• Operacijų tyrimo uždavinys – pagrįsti optimalius sprendimus

Kriterijų matavimas

• Matavimo teorija

• Matavimo skalės

Tiesinis programavimas

• Tiesinis programavimas – matematinio programavimo atvejis.

• Programavimas = planavimas. • Matematinio programavimo uždavinio

formulavimas: tikslo funkcija, apribojimai, optimizavimas.

Matematinis programavimas

• Tiesinis

• Netiesinis (kvadratinis, …

• Diskretusis (sveikaskaitinis)• Dinaminis

Matematinio programavimo uždaviniai

• Produktų mišinio sudarymas

• Transporto (paskirstymo, krovinių gabenimo)

• Prekybos agento (komivojažieriaus), kt.

Dinaminis programavimas

Programos Excel naudojimas

• Formulių skaičiavimas

• Funkcijos

• Diagramos• Priedai (Add-Inns): duomenų analizė,

spręstuvas

Tinklinis planavimas

• Projektų rengimo uždaviniai:

• Kritinio kelio metodas (CPM)

• PERT metodas

Eilių (masinio aptarnavimo) teorija

Lošimų teorija

Imitacinis modeliavimas

Sprendimų teorija

Prognozavimo metodai

Seminaro užduotis

• (pirmoje paskaitos dalyje).

• Pagal vieną iš paskirtų kurso temų surasti internete ir parengti medžiagos kompiliaciją (kas įeina, kokie metodai, kokios priemonės, programos naudojamos šioje srityje). Nurodyti tiksliai šaltinį (autorius, universitetas arba kita institucija, jei kursas, kam dėstomas ir pan.)

III paskaita:

• Pagrindinės sąvokos

• Rodikliai, kriterijai

• Rodiklių matavimas• Matavimo teorija

Pagrindinės operacijų tyrimo sąvokos

• Pagal S. Puškoriaus knygą (15 p.) • Operacija - tai kokia nors veiksmų sistema,

naudojama tam tikram tikslui pasiekti)• Sprendimas – tai konkretus pasirinkimas

• Optimalus sprendimas – toks, kuris pasirnktų rodiklių (kriterijų) atžvilgiu yra geriausias

• Operacijų tyrimo uždavinys – pagrįsti optimalius sprendimus

Operacijų vertinimas, efektyvumas

• Operacijos efektyvumas nusako kiek yra pasiektas operacijos tikslas. Vertinamas pagal rodiklius ir kriterijus.

• Efektyvumo rodiklis apibūdina operaciją kokiu nors vienu aspektu arba įvertiina kokią nors jos dalį. Pvz.: kaina, laiko sąnaudos, etc.

• Efektyvumo kriterijus (vertinimo pagrindas, matas). Platesnė už rodiklį sąvoka. Turi aprėpti visus pagrindinius veiksnius, nuo kurių priklauso tikslo pasiekimas.

Kriterijų jungimo (agregavimo) problema

• Sudėtingų uždavinių sprendime tenka įvertinti daugiau nei vieną kriterijų.

• Vienas iš tokios situacijos nagrinėjimo būdų – sujungti kriterijus, sudaryti bendrą kriterijų

• Yra keletas kriterijų jungimo būdų; vienas iš paprasčiausių – sumavimas (adityvusis kriterijus). Dažnai dar įvertinami ir komponentų svoriai.

• Paprasčiausias - trupmeninis kriterijus

Bendro kriterijaus gavimas (1)

nk W

W

W

WW

k

...

...

1

1

+=

Adityvusis kriterijus (2)

i

n

i

iWaW ∑=

=1

Rodiklių matavimas

• Matavimo teorija

• Du požiūriai:

• S.Stevens: • / Rasch

Matavimo lygiai (skalės) pagal S.Stevens

• Nominalinė (vardų)

• Tvarkos (angl. ordinal; balų, rangų)

• Intervalų• Santykių (angl. ratio; proporcijų)

• Absoliutinė• S.Stevenso tipologijos kritika: Paul Velleman Leland

Wilkinson. Nominal, Ordinal, Interval, and Ratio Typologies are misleading.

Seminaro užduotis

• Surasti internete ir parengti medžiagos kompiliaciją: matavimų teorija (measurement theory, measurement scale)

• Nurodyti tiksliai šaltinį (autorius, universitetas arba kita institucija, jei kursas, kam dėstomas ir pan.)

IV paskaita. Tiesinių lygčių sistemos. Excel naudojimas

• Tiesinių lygčių sistemos

• Excel naudojimas

• Excel Spręstuvas• Lygčių sistemų sprendimas su Spręstuvu

• Pavyzdžiai

Programos Excel naudojimas

• Formulių skaičiavimas

• Funkcijos

• Diagramos• Priedai (Add-Inns): duomenų analizė,

spręstuvas (Solver)

Spręstuvas (Solver)

• Solver Add-In Calculates solutions to what-if scenarios based on adjustable cells and constraint cells.

• Plačiau: www.solver.com

Spręstuvo (Solver) naudojimas• Instaliavimas (Tools - Add-Inns- Solver)• About Solver (Excel Help)• Solver is part of a suite of commands sometimes called

what-if analysis tools. With Solver, you can find an optimal value for a formula in one cell— called the target cell— on a worksheet. Solver works with a group of cells that are related, either directly or indirectly, to the formula in the target cell. Solver adjusts the values in the changing cells you specify— called the adjustable cells— to produce the result you specify from the target cell formula. You can apply constraints to restrict the values Solver can use in the model, and the constraints can refer to other cells that affect the target cell formula.

• Use Solver to determine the maximum or minimum value of one cell by changing other cells— for example, you can change the amount of your projected advertising budget and see the affect on your projected profit amount.

Apie Excel spręstuvą skaitykite:

• The Solver Add-in for Excel . http://www.add-ins.com/solver.htm

• Solving a Linear Program Using the Excel Solver . http://www-math.cudenver.edu/~billups/courses/ma3300/excel/Excel-solver.html

• LINEAR OPTIMIZATION PROBLEMS USING EXCEL SOLVER. [su pavyzdžiais] http://faculty.babson.edu/aieta/exclcmpn/AppndxB/appndixb.htm#Appendix B

Tiesinių lygčių sistemos bendras pavidalas

a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm

m – lygčių skaičius,n – kintamųjų skaičius.

Tiesinių lygčių sistemos pavyzdys

x-y+5z=-6 3x+3y-z=10 x+3y+2z=5

• Parinkti b, kad lygčių sistema turėtų sprendinį. Pradžioje imti b=3

• Parinkti b, kad lygčių sistema turėtų sprendinį. Pradžioje imti b=3

• Parinkti b, kad lygčių sistema turėtų sprendinį. Pradžioje imti b=3

Namų darbas

• Įsisavinti lygčių sistemų sprendimą naudojantis Excel spręstuvu.

Lygčių sistemų pavyzdžiai

• Parinkti b, kad lygčių sistema turėtų sprendinį. Pradžioje imti b=3

V paskaita. Matematinis programavimas

• Tiesinis

• Netiesinis (kvadratinis, …

• Diskretusis (sveikaskaitinis)• Dinaminis

Matematinio programavimo uždaviniai

• Produktų mišinio sudarymas

• Transporto (paskirstymo, krovinių gabenimo)

• Prekybos agento (komivojažieriaus), kt.

Tiesinis programavimas

• Tiesinis programavimas – matematinio programavimo atvejis.

• Programavimas = planavimas. • Matematinio programavimo uždavinio

formulavimas: tikslo funkcija, apribojimai, optimizavimas.

Tiesinis programavimas svarbus, nes:

• Daug praktinių uždavinių gali būti formuluojami kaip tiesinio programavimo atvejai

• Egzistuoja algoritmas (Simplekso metodas) tokiems uždaviniams spręsti. Sukūrė Dantzig, 1949 m.

Tiesinio programavimo uždavinio ypatumai

• Yra tik vienas kriterijus (jį nustato tikslo funkcija);

• Kriterijus priklauso tik nuo pirmojo laipsnio kintamųjų x,y,z,...;

• Apribojimai yra lygybės arba nelygybės, kurių kintamieji x,y,z, ..., yra pirmojo laipsnio

• Visi kintamieji x,y,z, ..., yra neneigiami

Tiesinio programavimo uždavinio formulavimas

• The basic problem of linear programming is to minimize a linear objective function of continuous real variables, subject to linear constraints. For purposes of describing and analyzing algorithms, the problem is often stated in the standard form

Tiesinio programavimo uždavinio formulavimas:

• minimizuoti (maksimizuoti) tiesinę realių tolydžių kintamųjų tikslo funkciją atsižvelgiant į tiesinius apribojimus. For purposes of describing and analyzing algorithms, the problem is often stated in the standard form

• A Linear Program (LP) is a problem that can be expressed as follows (the so-called Standard Form):

• minimize cx subject to Ax = b x >= 0where x is the vector of variables to be solved for, A is a matrix of known coefficients, and c and b are vectors of known coefficients. The expression "cx" is called the objective function, and the equations "Ax=b" are called the constraints. All these entities must have consistent dimensions, of course, and you can add "transpose" symbols to taste. The matrix A is generally not square, hence you don't solve an LP by just inverting A. Usually A has more columns than rows, and Ax=b is therefore quite likely to be under-determined, leaving great latitude in the choice of x with which to minimize cx.

Tikslo funkcija

• Tiesiniame programavime tikslo funkcija yra tiesinė, realių tolydžių kintamųjų

• F(x)=c1x1+ c2x2+…+ cnxn

• Tkslo funkcija minimizuojama arba maksimizuojama:– F(x) max– F(x) min

Apribojimai: tiesinių nelygybių sistema; bendras pavidalas

a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn>=b1

a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn>=b2

…am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn>=bm

m – lygčių skaičius,n – kintamųjų skaičius.

Tiesinio programavimo uždavinio matematinis formulavimas, matricų pavidalu

• minimizuoti cx atžvilgiu apribojimų Ax=b, x >=0 kur x nežinomų kintamųjų vektorius, A yra žinomų koeficientų matrica o c ir b yra žinomų koeficientų vektoriai. Išraiška "cx" vadinama tikslo funkcija, o lygtys "Ax=b" vadinamos apribojimais.

Simplekso metodas

• Sukūrė Dantzig, George B., 1949 m.

• Solution of Linear Programs by the Simplex Method . http://mat.gsia.cmu.edu/QUANT/NOTES/chap7/node4.html#SECTION00220000000000000000

Simplekso geometrinė interpretacija

A series of linear inequalities defines a polytope as a feasible region. The simplex algorithm begins at a starting vertex and moves along the edges of the polytope until it reaches the vertex of the optimum solution.

Optimalaus mišinio uždavinys; pavyzdys (pagal MSIS, 4.6)

• UAB “Baldai” gamina kėdes, stalus ir spintas.• Pardavimo kainos:

– Kėdė: 25 Lt– Stalas: 40 Lt– Spintelė: 45 Lt

• Gamybos laikas:– Kėdė: 3 val.– Stalas: 3,5 val.– Spintelė: 3,8 val.

• Surinkimo laikas:– Kėdė: 1,5 val.– Stalas: 1,7 val.– Spintelė: 1,9 val.

• Iš viso skirta laiko:– Pagaminimui: ne daugiau kaip 600 val.– Surinkimui: ne daugiau kaip 450 val.

• Tikslas: pasiekti didžiausią pelną.

Optimalus mišinys: matematinė formuluotė

• Nežinomieji (kiekiai): kiek pagaminti: – Kėdė: x1– Stalas: x2– Spintelė: x3

• Apribojimai:– 3x1+3,5x2+3,8x3 <=600 (val., gamybos laikas)– 1,5x1+1,7x2+1,9x3 <= 450 (val., surinkimo laikas)

• Tikslo funkcija:– F(x)=25x1+40x2+45x3max

Optimalus mišinys: Excel Solver naudojimas

• Nežinomieji (kiekiai): kiek pagaminti: – Kėdė: x1– Stalas: x2– Spintelė: x3

• Apribojimai:– 3x1+3,5x2+3,8x3 <=600 (val., gamybos laikas)– 1,5x1+1,7x2+1,9x3 <= 450 (val., surinkimo laikas)

• Tikslo funkcija:– F(x)=25x1+40x2+45x3max

Namų darbas

Su Excel spręstuvu išspręsti (pakartoti) paskaitoje nagrinėtą optimalaus mišinio uždavinį. Pademonstruoti sprendimo kelią su EXCEL (turėti Excel failą). Uždavinys:

• Nežinomieji (kiekiai): kiek pagaminti: – Kėdė: x1– Stalas: x2– Spintelė: x3

• Apribojimai:– 3x1+3,5x2+3,8x3 <=600 (val., gamybos laikas)– 1,5x1+1,7x2+1,9x3 <= 450 (val., surinkimo laikas)

• Tikslo funkcija:– F(x)=25x1+40x2+45x3max

Namų darbo užduotis: 2

• F(X)=X1+2X2+3X3 max

• X1+X2+X3<=130

• X1-2X2+2X3<=120• X1,X2,X3>=0

• Ats. X1=0, X2=35, X3=95, Z=355

Skaitiniai apie tiesinį programavimą

• Dantzig, George B., Linear Programming and Extensions, Princeton University Press, 1963.. The most widely cited early textbook in the field.

• Robert E. Bixby. Solving Real-World Linear Programs: A Decade and More of Progress // Operations Research. Published by the Institute of Operations Research and Management Science (INFORMS).

• Kas yra tiesinis programavimas. Uždavinio matematinė formuluotė. Linear Programming. Frequently Asked Questions. Optimization Technology Center of Northwestern University and Argonne National Laboratory. http://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.html#Q1

• OR/MS Today, the bimonthly newsletter of INFORMS, includes case studies, software reviews, and software surveys relevant to linear programming. It also has the most extensive collection of advertisements for commercial linear programming (and other optimization) software packages

• Solution of Linear Programs by the Simplex Method . http://mat.gsia.cmu.edu/QUANT/NOTES/chap7/node4.html#SECTION00220000000000000000

•

VI paskaita. Optimalaus mišinio uždavinys. Dietos sudarymas.

• Uždavinio formulavimas (pavyzdys):• Duota:

– maisto produktų sąrašas– produktų vieneto kainos– produktų kaloringumas

• Duoti apribojimai:– valgiaraščio sudėčiai (baltymų, riebalų,

angliavandenių kiekiui);– produktų kiekiams

• Sudaryti pigiausią dietą.

Dietos sudarymas

• Uždavinio formulavimas (pavyzdys):• Duota:

– maisto produktų sąrašas: – produktų vieneto kainos– produktų kaloringumas

• Duoti apribojimai:– valgiaraščio sudėčiai (baltymų, riebalų,

angliavandenių kiekiui);– produktų kiekiams

• Sudaryti pigiausią dietą.

Hamburger Fries

Fat (g) 10 18

Protein (g) 15 3

Carbohydrate (g) 32 32

Calories (kcal) 220 396

How many servings of hamburger and fries would Julia need to eat to satisfy her daily diet requirements?

The Diet Problem

Julia wonders if she can keep the amount of fat in her diet down and

still get all the protein (45 g), carbohydrate (256 g), and calories (1,980

kcal) that she needs every day by eating fast food only. For other

nutrients, such as vitamins, iron, and calcium, she will depend on pills

(nutritionists would disapprove, but this example ought to be simple).

She chooses her favorite fast foods: hamburger and French fries. The

nutritive values per serving are given below.

constraints

that minimizes the total amount of fat

subject to the following minimum diet requirements

HB = the number of servings of Hamburger

FF = the number of servings of French Fries

15 HB + 3 FF >= 45 Protein constraint

Julia is looking for

objective function 10 HB + 18 FF

decision variables

nonnegativity constraints

32 HB + 32 FF >= 256 Carbohydrate constraint 220 HB + 396 FF >= 1980 Calories constraint

Formulate the Modelas a Linear Programming Problem

Of course HB >= 0 and FF >= 0

Dieta. Pavyzdžiai, skaitiniai

• Ziggy MacDonald. University of Leicester. Economic Optimisation: An Excel Alternative to Estelles et al's GAMS Approach. http://www.economicsnetwork.ac.uk/cheer/ch10_3/ch10_3p2.htm

• Linear Programming problem Diet Mix: Computer Exercise. http://www.umsl.edu/~rbanis/252/docs/b42lp252.htm

• [PPT] OPERATIONS MANAGEMENT http://www.admin.uottawa.ca/wojtek/mba/lp.ppt

Namų darbas. Užduotis

Su Excel spręstuvu išspręsti (pakartoti) paskaitoje nagrinėtą dietos uždavinį. Pademonstruoti sprendimo kelią su EXCEL (turėti Excel failą).

Grupinio darbo užduotisTiesinio programavimo uždavinys. Dietos

sudarymas• Uždavinys sprendžiamas vieno, dviejų, trijų studentų grupės.

Parengiamas aprašymas. Pridedamas Excel failas. – Aprašyme pateikiama: trumpas metodo aprašymas, duomenų

apibūdinimas, uždavinio formulavimas ir sprendimas.• Naudojant realius duomenis (10 ar daugiau produktų) sudaryti

optimalią dietą (arba valgiaraštį), tenkinačią pasirinktus apribojmus ir optimalumo kriterijų.

• Apribojimų pavyzdžiai: kaina, kaloringumas, sudėtis (baltymų, riebalų, angliavandenių, vitaminų ir pan.)

• Optimalumo kriterijaus pavyzdžiai: minimali kaina, minimalus riebalų kiekis, minimalus angliavandenių kiekis, maksimalus arba minimalus kaloringumas ir pan.

• Kitai savaitei: duomenis ir jų aprašymą, tiesinio programavimo uždavinio formulavimą. Per dvi savaites: pateikti uždavinio sprendimo Excel variantą. (Seminare).

Seminaro užduotis

• Surasti internete ir parengti medžiagos kompiliaciją: tiesinio programavimo istorija ir taikymai. Nurodyti tiksliai šaltinį (autorius, universitetas arba kita institucija, jei kursas, kam dėstomas ir pan.).

• Įsisavinti Excel Solver (spręstuvą) tiesinių lygčių sistemoms spręsti.

• Išspręsti duotas lygčių sistema su Excel Solver. Pristatyti auditorijoje (rekomenduočiau įsigyti USB raktą)

Seminaro užduotis

• surasti internete ir parengti medžiagos kompiliaciją

• Nurodyti tiksliai šaltinį (autorius, universitetas arba kita institucija, jei kursas, kam dėstomas ir pan.)

Skaitiniai, kursui

• Management Science. Athens University of Economics & Business. http://www.msl.aueb.gr/management_science/linear_prog.htm

Toliau- juodraštinės skaidrės

Produktų kainos ir kaloringumas

1801309710612090Kalorijų,

Cal

17.00.022.60.411.715.0Angliavan

denių, g

1.07.00.19.05.01.0Riebalų, g

9.28.01.37.08.04.0Baltymų, g

1.011.01.58.03.52.0Kaina, $

JogurtasŽuvisBulvėsSūrisPienasDuona

Tiesinio programavimo uždavinio matematinis formulavimas, matricų pavidalu

• Standard Form): • minimize cx subject to Ax = b

x >= 0 where x is the vector of variables to be solved for, A is a matrix of known coefficients, and c and b are vectors of known coefficients. The expression "cx" is called the objective function, and the equations "Ax=b" are called the constraints.