第七章第 1 课时：

锐角三角函数的概念

要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练

要点、考点聚焦

2 ．四个三角函数的概念及锐角三角函数的变化规律 .

① 如图 7-1-1 所示，∠ C=90° ， sin A= ， cos A=

， tan A= ， cot A= .

② 若 α为锐角，则 sin α， tan α随 α的增大而增大 .cos α， cot α随 α的增大而减小 .

b

a

c

b

b

a

a

b

1 ．本课时重点是三角函数的概念及锐角三角函数关系 .

图 7-1-1

0 ＜ sin α ＜ 1 ， 0 ＜ cos α ＜ 1 ， tan α ＞0， cot α＞ 03．同角三角函数关系sin2α+cos2α=1 ， tan α·cot α=1 ， tan α=sin αcos α， cot α=cos αsin α.4．互余两角三角函数关系sin α=cos (90°-α)， cos α=sin (90°-α)tan α=cot (90°-α)， cot α=tan (90°-α)

5 ．特殊角的三角函数值 .

2

1

2

3

3

332

2

2

22

32

13

3

3

α Sinα cosα tanα cotα

0° 0 1 0 不存在

30°

45° 1 1

60°

90° 1 0 不存在 0

课前热身

1 ． Rt△ABC中， a=2， c=5，则 cos A=( )

A ． 5

2B. 2

5

C.

29

5

5

21或 D.

29

2

2

21或

C

2. 比较 sin 25° ， cos 26° ， tan 62° 的大小为( )A.sin 25°＜ cos 26°＜ tan 62°B.cos 26°＜ tan 62°＜ sin 25°C.sin 25°＜ tan 62°＜ cos 26°D.tan 62°＜ tan 62°＜ cos 26° 3. 已知 α是锐角，且 sin α= 2

3，则 α=( )

A.30° B.４５ °C.６０ ° D.９０ °

A

C

5.(2003 年·北京市 )△ABC中，∠ C=90°，如果 tan A=512，那么 sin B的值等于 ( )

A. B.

C. D.

13

5

13

12

12

5

5

12

4. 如果直角三角形的两直角边长分别是方程 x 王 2-7x+12=0的两根，则较小锐角的正弦值为 ( )

A. 5

3B. 5

4

C. 4

3 D.

5

2

B

A

典型例题解析【例 1】 (2003 年·广州市 )已知△ ABC中，∠ C=Rt∠， AC=m ∠， BAC=α，如图 7-1-2 所示，求△ ABC的面积及斜边上的高 ( 用 α的三角函数及 m 表示 ).

图 7-1-2

【解析】要求△ ABC的面积，必须还要知道 BC边，已知∠ A

及邻边，求 BC·AB， BC=mtan α， AB= cos

m

∴ S△ABC= BC·AC= m2tan α 求 CD用面积

S△ABC= 2

1

2

1

2

1

AB·CD即 2

1

cos

m· CD=

2

1m2tanαCD=m·tan αcoa·α

CD=msin α

【例 2】 (2002 年·江苏盐城 )计算 32

1

+4cos 60°·sin 45°- 2)260(tan

【解析】含有特殊角的三角函数的代数式的求值，是中考的命题热点，在这类题目中，时常渗透分母有理化和算术平方根等，难度一般不大，但必须熟练掌握特殊角的各三角函数值，此题中要注意 (tan 60°-2)的正负 .

解：原式 =-( 23 +4×

2

1× 2

2 - 2)23( = 32223 =-2

【例 3】△ ABC中， tan A， tan B是方程 3x 王 2-tx+3=0两根，且 sin A、 sin B是方程 x2-2x-k=0的两根，求∠ A ∠， B 的度数及 k 的值 .

解：由 tan A·tan B=1知 tan A=cot B A+B=90°.即△ ABC为 Rt△ ∠， C=90°∴sin B=cos A∴sin 2A+sin 2B=1∴(sin A+sin B)2-2sin Asin B=1

即 ( )2 -2k=1 k=- 2 2

1

∴ x2- 2x+ =0得 sin A=sin B= . 即∠ A=2

12

2

∠B=45°

方法小结：

要求一个锐角的三角函数值，这个角一定要是某个直角三角形的一个锐角，再根据定义求 . 还是熟记特殊角的三角函数值及同名三角函数公式 .

课时训练

一、课堂反馈

1.(2003 年·北京 )在△ ABC中，∠ C=90°， sin A=513，那么 tan Ａ =( )

A. B.

C. D.

13

1212

5

5

12

13

5

B

2.(2003 年·北京海淀区 )在△ ABC中，∠ C=90° ∠， B=2∠A，则 cos A等于 ( )

A. B.

C. D. 2

32

1

33

3

3. 若 3tan (α+10°)=1，则锐角α的度数是 ( )A.20° B.３０ °C.４０ ° D.５０ °

4. 已知 cos α＜ 12，则锐角α的取值范围是 ( )A.60°＜ α＜９０ °B.０ °＜ α＜６０ °C.３０ °＜ α＜９０ °D.０ °＜ α＜３０ °

A

A

A

5. 计算 cos 245°+tan 60°·cos 30°-(sin 20°-1)° 解：原式 =12+

2

33 -1=1

6. 已知 α是锐角，且 sin α=4041，求 cos α， tan α的值 .

解： cos α= 2sin1 = 41

9

41

401

2

tan α= 9

40

41

941

40

cos

sin

本课时到此结束