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考 点 聚 焦. 考 点 聚 焦. 归 类 探 究. 归 类 探 究. 第 24 课时 解直角三角形的应用. 回 归 教 材. 回 归 教 材. 第 24 课时 ┃ 考点聚焦. 考 点 聚 焦. 考点 解直角三角形的应用常用知识. h∶l. 越陡. 回归教材. 考点聚焦. 归类探究. 第 24 课时 ┃ 考点聚焦. 回归教材. 考点聚焦. 归类探究. - PowerPoint PPT Presentation
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第 24课时 解直角三角形的应用
考 点 聚 焦
考 点 聚 焦
归 类 探 究归 类 探 究
回 归 教 材
回 归 教 材
第 24课时┃考点聚焦
考 点 聚 焦
考点 解直角三角形的应用常用知识
考点聚焦 归类探究 回归教材
仰角和俯角
仰角俯角
在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角
坡度和坡角
坡度 坡面的铅直高度 h和水平宽度 l的比叫做坡面的坡度 (或坡比 ),记作 i= ________
坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 α.i= tanα,坡度越大, α角越大,坡面 ________
h l∶
越陡
第 24课时┃考点聚焦
方向角(或方位角 )
定义 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角
图例
考点聚焦 归类探究 回归教材
命题角度:1 .计算某些建筑物的高度 ( 或宽度 ) ;2 .将实际问题转化为直角三角形问题.
探究一、利用直角三角形解决和高度 ( 或宽度 ) 有关的问题
归 类 探 究
第 24课时┃归类探究
例 1. [2013• 徐州 ] 如图 24- 1 所示,为了测量某风景区内一座塔 AB 的高度,小明分别在塔的对面一楼房 CD 的楼底 C ,楼顶 D 处,测得塔顶 A 的仰角为 45°和 30° ,已知楼高 CD为 10 m ,求塔的高度 ( 结果精确到 0.1 m) .(参考数据: 2≈ 1.41, 3≈ 1.73)
图 24- 1
考点聚焦 归类探究 回归教材
第 24课时┃归类探究
解 析 构造直角三角形,利用三角函数的知识表示出相关线段.
解:过点D作DE⊥AB于点 E,得矩形 DEBC,
设塔高 AB=x m,则 AE=(x-10)m,
在 Rt△ ADE中 ∠, ADE=30° ,
则 DE= 3(x-10)米,
在 Rt△ ABC中 ∠, ACB=45° ,
则 BC=AB=x,
由题意得, 3(x-10)=x,
解得:x=15+5 3≈23.7.即 AB≈23.7米.
答:塔的高度为 23.7米. 考点聚焦 归类探究 回归教材
第 24课时┃归类探究
方法点析 在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合视角知识构造直角三角形,利用三角函数或相似三角形来解决问题.常见的构造的基本图形有如下几种:
①不同地点看同一点(如图24-2); ②同一地点看不同点(如图24-3);
图24-2 图24-3
③利用反射构造相似(如图24-4).
图24-4
考点聚焦 归类探究 回归教材
命题角度:1 .利用直角三角形解决方位角问题;2 .将实际问题转化为直角三角形问题.
探究二、利用直角三角形解决航海问题
第 24课时┃归类探究
例 2. [2013• 广州 ] 如图 24- 5 所示,在东西方向的海岸线MN 上有 A、 B 两艘船,均收到已触礁搁浅的船 P 的求救信号,已知船 P 在船 A 的北偏东 58° 方向,船 P 在船 B 的北偏西 35°
方向, AP 的距离为 30 海里.(1) 求船 P 到海岸线 MN 的距离 ( 精确到 0.1 海里 ) ;
考点聚焦 归类探究 回归教材
第 24课时┃归类探究
解 析 △ ABP 不是直角三角形,可过点 P作 PD BC⊥ 于点 D ,构造 Rt APD△ 和 Rt PBD.△ 然后分别解 Rt APD△ 和 Rt PBD△ ,即可求得答案.
(2)若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往救援,试通过计算判断哪艘船先到达船P处.
图24-5
考点聚焦 归类探究 回归教材
第 2课时┃归类探究
解 析 (1)如图,过点 P作 PD⊥AB于点 D,
由题意,得∠PAB=90° -58° =32° ,
∠PBD=90° -35° =55° ,AP=30,
在 Rt△ ADP中,sin∠PAD=PDAP,
得 PD=AP· sin∠PAD,即 PD=30· sin32° ≈ 15.9.
答:船 P到海岸线MN的距离约为 15.9海里.
考点聚焦 归类探究 回归教材
第 2课时┃归类探究
解 析 (2)在 Rt△ BDP 中,sin∠PBD=
PDBP,PD=
BP· sin∠PBD,即 15.9≈PD· sin55° ,PD≈ 19.4,
因为3020>
17.915 ,所以船 B先到达 P处.
答:船 B先到达船 P处.
考点聚焦 归类探究 回归教材
命题角度:1 .利用直角三角形解决方位角问题;2 .将实际问题转化为直角三角形问题.
探究三、利用直角三角形解决坡度问题
第 2课时┃归类探究
例 3. [2013• 安徽 ] 如图 24- 6
所示,防洪大堤的横截面是梯形ABCD ,其中 AD BC∥ ,坡角 α=60° ,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角 β= 45°. 若原坡长 AB= 20 m ,求改造后的坡长 AE.( 结果保留根号 )
图 24- 6
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第 2课时┃归类探究
解 析 过点 A作 AF⊥CE于点 F,在 Rt△ ABF中,AB=
20,运用三角函数关系可求 AF,同样在 Rt△ AEF中,也可
求 AE.
解:过点 A作 AF⊥CE于点 F,在 Rt△ ABF中,AB=20,
∵ sinα =AFAB,∴ AF=20×
32 =10 3.在 Rt△ AEF中,∵
sinβ=AFAE,∴ AE=
10 32
2
=10 6(m).
考点聚焦 归类探究 回归教材
教材母题
测气球高度
第 24课时┃回归教材
为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上某点处观测气球,测得仰角为 27° ,然后他向气球方向前进了 50 m ,此时观测气球,测得仰角为 40°. 若小明的眼睛离地面 1.6 m ,小明如何计算气球的高度呢 ( 精确到 0.1 m)?
回 归 教 材
考点聚焦 归类探究 回归教材
第 24课时┃回归教材
解 析 如图 24- 7 ,点 C 表示气球的位置,点 A、 B 表示小明两次观测气球的位置,点 A、 B、 D 在一条直线上 .
CD AD⊥ , CD 的长与小明的眼睛离地面的高度的和即为所求的气球的高度.
要计算 CD ,可以利用 Rt ACD△ 及 Rt BCD△ ,先找出 BD、 CD
与已知量的数量关系,再计算 CD.
图 24 - 7
考点聚焦 归类探究 回归教材
第 24课时┃回归教材
解 析 如图24-7所示,由题意知 ∠, CAD=27° ∠, CBD=40
° ,AB=50 m,点A、B、D在一条直线上,CD⊥AD.设BD=x m,CD
=h m,
在Rt△ ACD中,
tan27° =h
50+x,
h=(50+x)· tan 27° .①
在Rt△ BCD中,tan 40° =hx,h=xtan 40° .②
根据①和②,得(50+x)· tan27° =xtan40° .
考点聚焦 归类探究 回归教材
第 24课时┃回归教材
解 析 所以x=50tan27°
tan40° -tan27° ,
h=50tan27°
tan40° -tan27° ×tan40° .
利用计算器计算,得h≈64.9(m).
64.9+1.6=66.5(m).
答:气球的高度约为66.5 m.
点 析 通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题,然后利用解直角三角形的知识来解决,这是解此类问题的常规思路.
考点聚焦 归类探究 回归教材
第 24课时┃回归教材
中考预测
天塔是天津市的标志性的建筑之一.某校数学兴趣小组要测量天塔的高度.如图 24 - 8 所示,他们在点 A 处测得天塔的最高点 C 的仰角为 45° ,再往天塔方向前进至点 B 处测得天塔的高点 C 的仰角为 54° , AB = 112 m .根据这个兴趣小组测得的数据,计算天塔的高度CD.(tan36°≈0.73 ,结果保留整数 )
图 24- 8
考点聚焦 归类探究 回归教材
第 24课时┃回归教材
解 析 先在 Rt ACD△ 中推导 AD与 CD 的关系,并用 CD 表示 BD 的长;再在 Rt BCD△ 中,求∠ BCD ,利用三角函数及 CD
表示 BD 的长;根据 BD 的长度相等列方程求解.
解 析 如图,根据题意,有∠CAD=45° ∠, CBD=54° ,AB=112.
考点聚焦 归类探究 回归教材
第 24课时┃回归教材
解 析 ∵ 在 Rt△ ACD 中,∠ACD=∠CAD=45° ,有AD=CD. 又 AD=AB+BD, ∴ BD=AD-AB=CD-112.
∵在 Rt△ BCD 中,tan∠BCD=BDCD,∠BCD=90° -∠CBD
=36° .
∴ tan36° =BDCD,得 BD=CD· tan36° .于是,CD· tan36°
=CD-112,
∴ CD=112
1-tan36° ≈112
1-0.73≈ 415.
即天塔的高度 CD约为 415 m.