第 21课时　直角三角形与勾股定理

考 点 聚 焦

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回 归 教 材

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考 点 聚 焦

考点 1 　直角三角形的概念、性质与判定

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定义 有一个角是________的三角形叫做直角三角形

(1)直角三角形的两个锐角互余

(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于

_________________ 性质

(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于___________________

(1)两个内角互余的三角形是直角三角形 判定

(2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形

拓展 (1)SRt△ ABC＝

12ch＝1

2ab，其中 a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；(2)Rt

△ ABC内切圆半径 r＝a＋b－c

2 ，外接圆半径 R＝c2，即等于斜边的一半

直角

斜边的一半斜边的一半

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考点 2 　勾股定理及逆定理

勾股定理

直角三角形两直角边 a、 b的平方和，等于斜边 c的平方．即 ____________

勾股定理的逆定理

逆定理 如果三角形的三边长 a、 b、 c 有关系： __________ ，那么这个三角形是直角三角形

用途 (1)判断某三角形是否为直角三角形； (2)证明两条线段垂直； (3)解决生活实际问题

勾股数 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数

a2 ＋ b2 ＝ c2 　

a2 ＋ b2 ＝ c2

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考点 3 　互逆命题、互逆定理

互逆命题

如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫做 __

________，那么另一个叫做它的 ___________

互逆定理

若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的 ____________，称这两个定理为互逆定理

原命题 逆命题

逆定理

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考点 4 　命题、定义、定理、公理

定义 在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义

命题

定义 判断一件事情的句子叫做命题

分类正确的命题称为 ________

错误的命题称为 ________

组成 每个命题都由 ______和 ______两个部分组成公理 公认的真命题称为 ________

定理除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为 ________．经过证明的真命题称为 ______

__

真命题　假命题　

条件 结论公理

证明 定理

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命题角度：1 ．利用勾股定理求线段的长度；2 ．利用勾股定理解决折叠问题．

探究一、利用勾股定理求线段的长度

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例 1 ． [2013• 威海 ] 如图 21 －1 所示， AC CD⊥ ，垂足为点 C ，BD CD⊥ ，垂足为点 D ， AB 与CD 交于点 O. 若 AC ＝ 1 ， BD

＝ 2 ， CD ＝ 4 ，则 AB ＝ ____

____.图 21－ 1

5

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第 21课时┃归类探究

方法点析　　勾股定理的作用： (1) 已知直角三角形的两边求第三边； (2) 已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3) 用于证明平方关系的问题．

解 析　　过点 B 作 BM AC⊥ 交 AC 的延长线于点 M ，所以四边形 BDCM 是矩形， CM ＝ BD ＝ 2 ， BM ＝ CD ＝ 4 ， AM ＝ 3 ，从而求得 AB ＝ 5.

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命题角度：1 ．求最短路线问题；2 ．求有关长度问题．

探究二、实际问题中勾股定理的应用

第 21课时┃归类探究

例 2 ．如图 21 － 2 所示，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m 处，发现此时绳子末端距离地面 2 m ，则旗杆的高度 ( 滑轮上方的部分忽略不计 ) 为 ( 　　 )

A ． 12 m B ． 13 m

C ． 16 m D ． 17 m图 21－ 2

D

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第 21课时┃归类探究

解 析　　如图所示，作 BC AE⊥ 于点 C ，则 BC ＝ DE ＝ 8 ，设 AE ＝ x ，则 AB ＝ x ， AC ＝ x － 2 ，在 Rt ABC△ 中， AC2

＋ BC2 ＝ AB2 ，即 (x － 2)2 ＋ 82 ＝ x2 ，解得 x ＝ 17.

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命题角度：勾股定理逆定理．

探究三、勾股定理逆定理的应用

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例 3、[2012·广西] 已知三组数据：① 2、3、4；②3、4、5；③ 1、 3、2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，

能构成直角三角形的有( ) A ②． B ① ②． C ①③． D ② ③．

D

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解 析　　根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．

①∵22 ＋ 32 ＝ 13≠42 ，

∴ 以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；

②∵32 ＋ 42 ＝ 52 ，

∴ 以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；

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方法点析　　判断是否能构成直角三角形的三边的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．

解 析 ③∵ 12＋( 3)2＝22，

∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．

故能构成直角三角形的有②③.

故选D.

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命题角度：1 ．定义、命题、公理、定理的含义；2 ．区分命题的条件 ( 题设 ) 和结论；3 ．逆命题的概念，识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立．

探究四、定义、命题、定理、反证法

第 21课时┃归类探究

例 4 ． [2013• 泰州 ] 命题“相等的角是对顶角”是 ________

命题 ( 填“真”或“假” ) ．假

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第 21课时┃归类探究

方法点析　　只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假 ( 正误 ) 判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真假．

解 析　　对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．

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教材母题

巧用勾股定理探求面积关系

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如图 21 － 3 所示，以 Rt ABC△的三边为直径的 3 个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．

图 21－ 3

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解 析 记直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3的关系是 S1＋S2＝S3.理由如下：

S1＝12π (

BC2 )2＝

18π BC2；

S2＝12π (

AB2 )2＝

18π AB2；

S3＝12π (

AC2 )2＝

18π AC2.

由勾股定理，得 AB2＋BC2＝AC2，于是可得 S1＋S2＝S3.

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中考预测

如图 21 － 4 ，已知等腰 Rt ABC△ 的直角边长为 1 ，以 Rt ABC△ 的斜边 AC

为直角边，画第二个等腰 Rt ACD△ ，再以 Rt ACD△ 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt ADE△ ，……依此类推直到第五个等腰 Rt AFG△ ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ________ ．

图 21－ 4

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第 21课时┃回归教材

解 析第 1个三角形的面积为

12，第 2个三角形的面积为

12×( 2)2＝1，第 3个三角形的面积为

12×22＝2，第 4个三

角形的面积为12×( 8)2＝4，第 5个三角形的面积为

12× 42＝

8，故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为12＋1＋2

＋4＋8＝312 .

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