講義 1:素数と累積和

@kagamiz (Jayson Sho Toma)

素数とは？

• 1 とその数自身以外に約数を持たない数–ただし 1 は素数ではない–なぜか考えてみよう

• 素数ではない数を合成数という

素数判定

• 数 n が素数かどうか判定したい

• 試し割りをしていく方法– 最悪 n に比例する時間がかかる– n = 1 の処理に注意

• 素数の性質を使う方法

素数判定

• 数 n が素数かどうか判定したい

• 試し割りをしていく方法

• 素数の性質を使う方法– √n までの素数で試し割りを行う–最悪 √ n に比例する時間 ( さっきより速い )–何故これでいいのか？

√n までの試し割り：証明

• n が合成数であれば , 定義より n = a × b

と表せる . いま a ≧ b ⇒ a × b ≧ b × b = b^2.

よって n ≧ b^2, √n ≧ b となり , √n 以下の約数があることが証明された .//

実行時間とプログラムの計算量

• ループの回数が大体 10^8 (1 億 ) で 1 秒

• 10^9 回の処理は約 10 秒程度かかる !

• 10^8 回以下程度の処理を心がけよう–詳しい話は「計算量 オーダー記法」で　ググる or 先輩達に聞こう

素数の個数を数える

• 区間 [l, r] の素数の個数を数えよう !

• [l, r] の素数を試し割りで毎回数えると , √l + √(l + 1) + … + √r ≦ (r – l + 1)√r

• [1, 10^6] の素数を試し割りで数えると , 10^9 回くらいの計算に–実際はもっと速いため KCS でもこれで OK

素数の個数を数える

• 効率的に数える方法として , エラトステネスの篩が有名–詳しくは先輩たちに聞く or ググる

• 今回は , 複数の [l, r] のクエリに早く答える

方法を考えていこう .

高速化のアイディア 1 : 前計算

• エラトステネスの篩を用いれば勝手に　前計算がされている .

・試し割りをしている人は , 配列を用意して p が素数だったら 配列の p 番目の 要素を 1 にしよう

高速化のアイディア 2: 累積和

• 刮目せよ！！！• さっき作った配列を…

0 1 1 0 1 0

高速化のアイディア 2: 累積和

• 刮目せよ！！！• さっき作った配列を…

0 1 1 0 1 0

高速化のアイディア 2: 累積和

• 刮目せよ！！！• さっき作った配列を…

• 右に足していく

0 1 1 0 1 0

0 1 2 2 3 3

高速化のアイディア 2: 累積和

1 2 3 4 5 6

• この配列があると何が嬉しいか？–考えてみよう！

0 1 2 2 3 3