สถิติ ตอนที่1 070213a4%d9%e8%c1%d7… · - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - มัธยฐาน - ฐานนิยม - ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

ตอนท 63

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1)

โดย

ผชวยศาสตราจารย ดร.ณฐกาญจน ใจด

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ ปงบประมาณ 2555

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถต สอการสอน เรอง สถต มจ านวนตอนทงหมดรวม 19 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทน า (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการน าเสนอขอมล - การส ารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คาเฉลยฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ต าแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน


2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมการค านวณทางสถต 2 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

16. แบบฝกหดตอนท 1 แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1) - แบบฝกหดขนพนฐาน - แบบฝกหดขนสง - แบบทดสอบ



3



คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอน

ส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง สถต หมวด แบบฝกหด ตอนท 1 (1/4) หวขอยอย 1. แบบฝกหดขนพนฐาน 2. แบบฝกหดขนสง 3. แบบทดสอบ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนสามารถ

1. อธบายความหมายและค านวณคากลางของขอมลทไมแจกแจงความถได 2. อธบายความหมายและค านวณคากลางของขอมลทแจกแจงความถได 3. อธบายสมบตของคากลางของขอมลและน าไปประยกตใชได


5

1. แบบฝกหดขนพนฐาน

แบบฝกหดขนพนฐาน จะเปนขอสอบปรนยจ านวน 10 ขอ พรอมค าตอบ โดยเปนขอสอบเพอวดความเขาใจเบองตน โดยครอบคลมเนอหาตามจดประสงค ผจดท าไดออกแบบใหโปรแกรมท าการสมขอสอบไดแบบตาง ๆ ครงละ 10 ขอ จ านวนมากถง 103

แบบโดยไมซ ากน ผใชงานสามารถน าไปใหนกเรยนทดสอบไดโดยไมซ ากน


6

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : คาเฉลยเลขคณตของขอมลทไมแจกแจงความถ จดประสงคของโจทยขอ 1 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตของ

ขอมลทไมแจกแจงความถไดหรอไม 1.1 ก าหนดขอมล ดงน 3 7 2 5 1

แลวคาเฉลยเลขคณตมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1.6 2. 2.5

3. 3.6 4. 4.8

เฉลย 1

คาเฉลยเลขคณต 1 3 7 2 ( 5) 1 81.6

5 5

N

i

i

x

N

1.2 ก าหนดขอมล ดงน 8 7 3 2 4 10

แลวคาเฉลยเลขคณตมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 3

3. 5 4. 6

เฉลย 2

คาเฉลยเลขคณต 1 ( 8) 7 3 2 4 10 183

6 6

N

i

i

x

N

1.3 ก าหนดขอมล ดงน 11 2 3 6 6 4

แลวคาเฉลยเลขคณตมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 3

4 2.

3

4

3. 3 4. 4

เฉลย 2

คาเฉลยเลขคณต 1 11 2 3 ( 6) ( 6) 4 8 4

6 6 3

N

i

i

x

N


7

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : มธยฐานของขอมลทไมแจกแจงความถ จดประสงคของโจทยขอ 2 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหามธยฐานของขอมลท

ไมแจกแจงความถไดหรอไม

2.1 น าหนก (กโลกรม) ของนกเรยนกลมหนง เปนดงน 46 37 42 52 57

แลวมธยฐานของน าหนกของนกเรยนกลมนมคาเทาใด 1. 37 กโลกรม 2. 42 กโลกรม

3. 46 กโลกรม 4. 46.8 กโลกรม

เฉลย 3 น าขอมลมาเรยงจากนอยไปมากไดดงน 37 42 46 52 57

ต าแหนงของมธยฐาน คอ 1 5 13

2 2

N

ดงนน มธยฐาน คอ 46

2.2 อาย (ป) ของคนไขกลมหนง เปนดงน 23 23 27 21 42 29 24

แลวมธยฐานของอายของคนไขกลมนมคาเทาใด 1. 21 ป 2. 23 ป 3. 24 ป 4. 27 ป เฉลย 3 น าขอมลมาเรยงจากนอยไปมากไดดงน 21 23 23 24 27 29 42


2 2

N



8

2.3 สวนสง (เซนตเมตร) ของพนกงานกลมหนง เปนดงน 151 149 165 168 154

แลวมธยฐานของสวนสงของพนกงานกลมนเทากบขอใดตอไปน 1. 154 เซนตเมตร 2. 157 เซนตเมตร

3. 165 เซนตเมตร 4. 168 เซนตเมตร

เฉลย 1

น าขอมลมาเรยงจากนอยไปมากไดดงน 149 151 154 165 168


2 2

N



9

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : มธยฐานของขอมลทไมแจกแจงความถ จดประสงคของโจทยขอ 3 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหามธยฐานของขอมลท


3.1 น าหนกทารกแรกเกด (กรม) ณ โรงพยาบาลแหงหนง เปนดงน

3,220 2,950 2,760 2,840

แลวมธยฐานของน าหนกของทารกแรกเกดกลมนมคาเทาใด 1. 2,855 กรม 2. 2,895 กรม

3. 2,942.5 กรม 4. 2,950 กรม

เฉลย 2

น าขอมลมาเรยงจากนอยไปมากไดดงน 2760 2840 2950 3220

ต าแหนงของมธยฐาน คอ 1 4 12.5

2 2

N

ดงนน มธยฐาน คอ 2840 29502895

2

3.2 ก าหนดขอมล ดงน 21 18 18 23 25 26

แลวมธยฐานของขอมลชดนมคาเทาใด

1. 18 2. 20.5

3. 22 4. 23

เฉลย 3

น าขอมลมาเรยงจากนอยไปมากไดดงน 18 18 21 23 25 26


2 2

N

ดงนน มธยฐาน คอ 21 2322

2


10

3.3 น าหนกสม (กโลกรม) 6 กลอง เปนดงน 12.5 13.4 13.4 12.6 14.3 12.7

แลวมธยฐานของน าหนกสม 6 กลองนมคาเทาใด

1. 13 กโลกรม 2. 13.05 กโลกรม

3. 13.15 กโลกรม 4. 13.4 กโลกรม

เฉลย 2

น าขอมลมาเรยงจากนอยไปมากไดดงน 12.5 12.6 12.7 13.4 13.4 14.3


2 2

N

ดงนน มธยฐาน คอ 12.7 13.413.05

2


11

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : ฐานนยมของขอมลทไมแจกแจงความถ จดประสงคของโจทยขอ 4 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาฐานนยมของขอมลท


4.1 ก าหนดขอมลชดหนง ดงน 21 16 21 16 21 15 15

ฐานนยมของขอมลชดนเทากบเทาใด

1. 15 2. 16 3. 18 4. 21

เฉลย 4 ขอมลทมความถมากทสด คอ 21 ดงนน ฐานนยม คอ 21 4.2 เบอรรองเทาของนกเรยนกลมหนง เปนดงน 6 6 5 7 7 5 6

ฐานนยมของขอมลชดนเทากบเทาใด 1. 5 2. 6

3. 6.5 4. 7 เฉลย 2

ขอมลทมความถมากทสด คอ 6 ดงนน ฐานนยม คอ 6 4.3 ก าหนดขอมลชดหนง ดงน

5 8 8 8 7 8 8 3

ฐานนยมของขอมลชดนเทากบเทาใด 1. 8 2. 7 3. 8 4. 8.5 เฉลย 1 ขอมลทมความถมากทสด คอ 8 ดงนน ฐานนยม คอ 8


12

โจทยขอ 5 เนอหาหลก : คาเฉลยของขอมลทแจกแจงความถ จดประสงคของโจทยขอ 5 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาคาเฉลยของขอมลท

แจกแจงความถไดหรอไม

5.1 ตารางแสดงอาย (ป) ของผปวยเปนไขหวดใหญของโรงพยาบาลแหงหนง

อาย (ป) จ านวนผปวย

6 10 5

11 15 2

16 20 1

21 25 5

26 30 2

แลวอายเฉลยของผปวยเปนไขหวดใหญของโรงพยาบาลแหงนเทากบขอใดตอไปน 1. 17.0 ป 2. 17.5 ป 3. 18.0 ป 4. 18.5 ป เฉลย 1

อาย (ป) จ านวนผปวย ( )if จดกงกลางอนตรภาคชน ( )ix i if x

6 10 5 8 40 11 15 2 13 26 16 20 1 18 18 21 25 5 23 115 26 30 2 28 56 รวม 15 255

คาเฉลยเลขคณต 1

1

25517

15

k

i i

i

k

i

i

f x

f


13

5.2 ตารางแสดงจ านวนบหร (มวน) ทผปวยโรคมะเรงปอดกลมหนงสบในแตละวน เปนดงน

จ านวนบหร (มวน) จ านวนผปวย

1 8 1

9 16 2

17 24 3

25 32 3

33 40 1

แลวผปวยกลมนสบบหรเฉลยวนละกมวน 1. 19.7 มวน 2. 20.5 มวน 3. 21.3 มวน 4. 23.1 มวน

เฉลย 3

จ านวนบหร (มวน) จ านวนผปวย ( )if จดกงกลางอนตรภาคชน ( )ix i if x

1 8 1 4.5 4.5 9 16 2 12.5 25 17 24 3 20.5 61.5 25 32 3 28.5 85.5 33 40 1 36.5 36.5 รวม 10 213


1

21321.3

10

k

i i

i

k

i

i

f x

f


14

5.3 ขอมลชดหนง ปรากฏดงน

คะแนน จ านวน

0 – 4 0

5 – 9 2

10 – 14 4

15 – 19 4

20 – 24 2

คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด

1. 29

3 2. 29

2

3. 87

8 4. 87

4

เฉลย 2

คะแนน จ านวนผปวย ( )if จดกงกลางอนตรภาคชน ( )ix i if x

0 – 4 0 2 0 5 – 9 2 7 14 10 – 14 4 12 48 15 – 19 4 17 68 20 – 24 2 22 44 รวม 12 174


1

174 29

12 2

k

i i

i

k

i

i

f x

f


15

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : หามธยฐานของขอมลทแจกแจงความถ จดประสงคของโจทยขอ 6 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหามธยฐานของขอมลท

แจกแจงความถไดหรอไม

6.1 ขอมลชดหนง เปนดงน

ขอมล จ านวน

21 – 30 7

31 – 40 5

41 – 50 8

51 – 60 3

61 – 70 7

แลวมธยฐานของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน 1. 43 2. 43.75 3. 44.25 4. 45 เฉลย 3

ขอมล จ านวน ความถสะสม 21 – 30 7 7

31 – 40 5 12

41 – 50 8 20

51 – 60 3 23

61 – 70 7 30

ต าแหนงของมธยฐาน คอ 3015

2 2

N

ดงนน มธยฐาน คอ ขอมลตวท 15 ซงอยในอนตรภาคชน 41 50 จากนนหาคาของมธยฐานโดยการเทยบบญญตไตรยางศหรอเทยบสดสวน จะไดวา ต าแหนงตางกน 8 ต าแหนง ขอมลตางกน 50.5 40.5 10

ต าแหนงตางกน 3 ต าแหนง ขอมลตางกน 103 3.75

8

ดงนน มธยฐาน 40.5 3.75 44.25


16

6.2 ขอมลแสดงปรมาณกาแฟ (แกว) ทพนกงานบรษทแหงหนงบรโภคใน 1 สปดาห

ปรมาณกาแฟ (แกว) จ านวนพนกงาน

1 – 5 2

6 – 10 5

11 – 15 10

16 – 20 3

แลวมธยฐานของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน 1. 11.5 แกว 2. 12.0 แกว 3. 12.5 แกว 4. 13.0 แกว เฉลย 2

ปรมาณกาแฟ (แกว) จ านวนพนกงาน ความถสะสม 1 – 5 2 2

6 – 10 5 7

11 – 15 10 17

16 – 20 3 20


2 2

N

ดงนน มธยฐาน คอ ขอมลตวท 10 ซงอยในอนตรภาคชน 11 15 จากนนหาคาของมธยฐานโดยการเทยบบญญตไตรยางศหรอเทยบสดสวน จะไดวา ต าแหนงตางกน 10 ต าแหนง ขอมลตางกน 15.5 10.5 5


10

ดงนน มธยฐาน 10.5 1.5 12


17

6.3 ก าหนดขอมลชดหนง ดงน

ขอมล ความถสะสม

0 – 9,999 29

10,000 – 19,999 43

20,000 – 29,999 63

30,000 – 39,999 72

40,000 – 49,999 90

แลวมธยฐานของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน 1. 20,999 2. 20,999.5 3. 21,999 4. 21,999.5 เฉลย 2

ขอมล ความถสะสม จ านวน 0 – 9,999 29 29

10,000 – 19,999 43 14

20,000 – 29,999 63 20

30,000 – 39,999 72 9

40,000 – 49,999 90 12


2 2

N

ดงนน มธยฐาน คอ ขอมลตวท 2 ซงอยในอนตรภาคชน 20,000 29,999 จากนนหาคาของมธยฐานโดยการเทยบบญญตไตรยางศหรอเทยบสดสวน จะไดวา ต าแหนงตางกน 20 ต าแหนง ขอมลตางกน 29,999.5 19,999.5 10,000

ต าแหนงตางกน 2 ต าแหนง ขอมลตางกน 10,0002 1,000

20

ดงนน มธยฐาน 19,999.5 1,000 20,999.5


18

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : ฐานนยมของขอมลทแจกแจงความถ จดประสงคของโจทยขอ 7 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาฐานนยมของขอมลท

แจกแจงความถไดหรอไม 7.1 ตารางแสดงน าหนก (กโลกรม) ของนกเรยนหญง 35 คน ดงน

น าหนก (กโลกรม) ความถสะสม

31 – 35 9

36 – 40 15

41 – 45 26

46 – 50 32

51 – 55 35

ฐานนยมของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน 1. 42.0 กโลกรม 2. 42.5 กโลกรม 3. 43.0 กโลกรม 4. 53.0 กโลกรม เฉลย 3

น าหนก (กโลกรม) ความถสะสม ความถ 31 – 35 9 9 36 – 40 15 6 41 – 45 26 11 46 – 50 32 6 51 – 55 35 3

อนตรภาคชนทมความถสงสด คอ 41 – 45

ดงนน ฐานนยม คอ จดกงกลางอนตรภาคชน 41 – 45 ซงเทากบ 45.5 40.543

2


19

7.2 ตารางแสดงจ านวนเงน (บาท) ทนกเรยนไดรบจากผปกครองในแตละวน เปนดงน

จ านวนเงน (บาท) ความถสะสม

1 – 10 3

11 – 20 8

21 – 30 16

31 – 40 21

41 – 50 25

แลวฐานนยมของจ านวนเงนทนกเรยนกลมนไดรบในแตละวนเทากบขอใดตอไปน 1. 25.5 บาท 2. 30.5 บาท 3. 40.5 บาท 4. 45.5 บาท เฉลย 1

จ านวนเงน (บาท) ความถสะสม ความถ 1 – 10 3 3 11 – 20 8 5 21 – 30 16 8 31 – 40 21 5 41 – 50 25 4

อนตรภาคชนทมความถสงสด คอ 21 – 30

ดงนน ฐานนยม คอ จดกงกลางอนตรภาคชน 21 – 30 ซงเทากบ 30.5 20.525.5

2


20

7.3 ตารางแสดงเงนเดอน (บาท) ของพนกงานในบรษทแหงหนง

เงนเดอน (บาท) ความถสะสม

0 – 9,999 6

10,000 – 19,999 11

20,000 – 29,999 21

30,000 – 39,999 26

40,000 – 49,999 30

แลวฐานนยมของเงนเดอนของพนกงานบรษทนเทากบขอใดตอไปน 1. 23,999.5 2. 24,000 3. 24,999.5 4. 25,000 เฉลย 3

เงนเดอน (บาท) ความถสะสม ความถ 0 – 9,999 6 6

10,000 – 19,999 11 5 20,000 – 29,999 21 10 30,000 – 39,999 26 5 40,000 – 49,999 30 4

อนตรภาคชนทมความถสงสด คอ 20,000 – 29,999 ดงนน ฐานนยม คอ จดกงกลางอนตรภาคชน 20,000 – 29,999

ซงเทากบ 19,999.5 29,999.524,999.5

2


21

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : สมบตของคาเฉลยเลขคณต

จดประสงคของโจทยขอ 8 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถประยกตใชสมบตของคาเฉลยเลขคณตไดหรอไม

8.1 ครอบครวหนงมสมาชก 6 คน ถาครอบครวนมอายเฉลย 27 ป แลวอก 4 ปขางหนาครอบครวนจะมอายเฉลยเทากบเทาใด 1. 27 ป 2. 29 ป 3. 31 ป 4. 33 ป เฉลย 3 วธท 1 ให 1 2 6, , ,x x x เปนอายของสมาชกครอบครวน ดงนนในอก 4 ปขางหนา อายของสมาชกครอบครว เปนดงน

1 2 64, 4, , 4x x x ซงมคาเฉลยเลขคณต คอ

1 2 6( 4) ( 4) ( 4)

6

x x x

1 2 6( ) 24

6

x x x 27 4 31

วธท 2 ใชสมบตของคาเฉลยเลขคณตทวา ส าหรบคาคงตว c ใด ๆ ถา 1 2, , , nx x x มคาเฉลยเลขคณต คอ แลว 1 2, , , nx c x c x c มคาเฉลยเลขคณต คอ c 8.2 ก าหนดขอมล 2 ชด ดงน ชดท 1 1 2 10: ... x x x ชดท 2 1 2 10: ... y y y โดยท +5i iy x ส าหรบ 1,2,...,10i ถาขอมลชดท 1 มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 12 แลวขอมลชดท 2 มคาเฉลยเลขคณตเทากบเทาใด 1. 7 2. 12 3. 17 4. 60 เฉลย 3 แสดงไดในท านองเดยวกบขอ 8.1


22

8.3 ก าหนดขอมล 2 ชด ดงน ชดท 1 1 2 20: ... x x x ชดท 2 1 2 20: 5 5 ... 5x x x ถาขอมลชดท 2 มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 4 แลวขอมลชดท 1 มคาเฉลยเลขคณตเทากบเทาใด 1. –9 2. –1 3. 4 4. 9 เฉลย 4 แสดงไดในท านองเดยวกบขอ 8.1


23

โจทยขอ 9 เนอหาหลก : หาคาเฉลยของขอมลทไมแจกแจงความถ จดประสงคของโจทยขอ 9 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาคาเฉลยของขอมลทไมแจกแจงความถไดหรอไม 9.1 ก าหนดขอมลชดหนง ดงน 3 4 2 x 5 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 4 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 4 3. 5 4. 6 เฉลย 4


N

i

i

x

N

3 4 2 54

5

x

20 14 x 6x 9.2 ก าหนดขอมลชดหนง ดงน

12 10 x y 5 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 6 แลว x y มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 18 3. 23 4. 28 เฉลย 3


N

i

i

x

N

12 ( 10) 56

5

30 7

23

x y

x y

x y


24


2 5 3 4 a

ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 2 แลว a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 14 2. 6 3. 6 4. 14 เฉลย 1


N

i

i

x

N

2 ( 5) 3 42

5

10 4

14

a

a

a


25

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : คาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถทไมเปนอนตรภาคชน

จดประสงคของโจทยขอ 10 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถทไมเปนอนตรภาคชนไดหรอไม 10.1 ผลการเรยนของนกเรยนคนหนง เปนดงน

วชา คณตศาสตร ภาษาไทย สงคมศกษา พลศกษา

จ านวนหนวยกต 3 3 3 1

เกรด 3.5 4 2.5 3

เกรดเฉลยของนกเรยนคนนเทากบขอใดตอไปน 1. 2.50 2. 2.75 3. 3.25 4. 3.30 เฉลย 4

คาเฉลยเลขคณต (3 3.5) (3 4) (3 2.5) (1 3) 333.3

3 3 3 1 10

10.2 น าหนกของนกเรยนหองหนง เปนดงน

น าหนก (กโลกรม) 40 44 45 50

จ านวนนกเรยน 1 5 2 2

น าหนกเฉลยของนกเรยนหองนเทากบขอใดตอไปน 1. 44.5 กโลกรม 2. 45 กโลกรม 3. 45.5 กโลกรม 4. 46 กโลกรม เฉลย 2

คาเฉลยเลขคณต (40 1) (44 5) (45 2) (50 2) 45045

1 5 2 2 10


26

10.3 สมศรซอผลไม ดงน

ผลไม เงาะ มงคด ทเรยน

ราคาตอกโลกรม 15 20 25

น าหนก (กโลกรม) 5 6 9

สมศรซอผลไมเฉลยกโลกรมละกบาท 1. 19 บาท 2. 20 บาท 3. 21 บาท 4. 22 บาท เฉลย 3

คาเฉลยเลขคณต (15 5) (20 6) (25 9) 42021

5 6 9 20


27

2. แบบฝกหดขนสง

แบบฝกหดขนสง จ านวน 10 ขอน จะเปนขอสอบระดบแขงขน โดยครอบคลมจดประสงคตามท

ก าหนด ผใชสอสามารถดเฉลย (เฉพาะขอทตองการด) ไดจากสอการสอน


28

เนอหาหลกของโจทยขอ 1 คอตองการทดสอบเรองการหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถทไมเปนอนตรภาคชนหรอขอมลทโดนถวงน าหนกนนเอง โดยคาเฉลยเลขคณตหาไดจาก

1

k

i i

i

f x

เมอ if คอความถของขอมล ix โดยโจทยก าหนดคาเฉลยเลขคณตของขอมลมาให และใหนกเรยนหาจ านวนขอมลทงหมด ซงในการท าโจทยขอนจะใชสตรของคาเฉลยเลขคณตและการแกสมการในการหาค าตอบ


29

เนอหาหลกของโจทยขอ 2 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหามธยฐานของขอมลทไมแจกแจงความถไดหรอไม ซงถานกเรยนรคา a และ b กจะหามธยฐานของขอมลชดนไดไมยาก ดงนนในการท าโจทยขอน นกเรยนตองใชความรเรองคาเฉลยเลขคณตชวยในการหาคา a และ b


30

เนอหาหลกของโจทยขอ 3 คอการทดสอบวานกเรยนมความเขาใจเรองสมบตของคาเฉลยเลขคณตและมธยฐานหรอไม โดยแนวคดหลกในการท าโจทยขอนคอนกเรยนตองทราบวา

2

1

( )n

i

i

x a

มคานอยสด เมอ a คอคาเฉลยเลขคณต และ

1

| |n

i

i

x b

มคานอยสด เมอ b คอมธยฐาน


31

เนอหาหลกของโจทยขอ 4 คอการทดสอบวานกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณตโดยอาศยการจด

รปไดหรอไม โดยนกเรยนตองใชความรเรองการกระจายก าลงสองสมบรณและสมบตของ จากนน

จงแกสมการเพอหาคาเฉลยเลขคณต นอกจากนนกเรยนยงตองทราบวา ถาขอมลทกตวมคานอยกวาศนย แลวจะไดวาคาเฉลยเลขคณตตองนอยกวาศนยดวย


32

เนอหาหลกของโจทยขอ 5 นนเปนการทดสอบวานกเรยนเขาใจเรองมธยฐานหรอไม ซงในการท าโจทยขอน นกเรยนตองหามธยฐานของขอมลชดท 2 ใหไดเสยกอน เพอน าไปสการทราบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 และหาคา x ตอไป ในการหามธยฐานของขอมลชดท 2 นน ถงแมวาจะไมทราบคา y เพยงแตอาศยบทนยามของมธย–

ฐาน ทวา “มธยฐานคอคาของขอมลตวทอยตรงกลาง” กจะสามารถหามธยฐานของขอมลชดนได โดยใน

สอการสอนจะแสดงใหเหนวานกเรยนสามารถหามธยฐานได โดยไมจ าเปนตองทราบคา y


33

เนอหาหลกของโจทยขอ 6 นนเปนการทดสอบวานกเรยนมความเขาใจเรองคาเฉลยเลขคณตของขอมล 2 ชดหรอไม ซงในการท าโจทยขอนใชเพยงบทนยามของคาเฉลยเลขคณตทวา “คาเฉลยเลขคณตคอผลรวมของขอมลทงหมดหารดวยจ านวนขอมล”


34

เนอหาหลกของโจทยขอ 7 เปนการทดสอบวานกเรยนเขาใจสมบตของคากลางของขอมลหรอไม โดยในสอการสอนไดแสดงการหาค าตอบโดยอาศยเพยงบทนยามของคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน กงกลางพสยและฐานนยมซงท าใหไดสมบตของคากลางดงกลาว นอกจากนในตอนทายของสอการสอน ผสอนไดสรปสมบตของคากลางดงกลาว ซงนกเรยนททราบสมบตของคากลางเหลานกจะสามารถท าขอนไดรวดเรวยงขน


35

เนอหาหลกของโจทยขอ 8 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถประยกตเรองคาเฉลยเลขคณตไดหรอไม โดยแนวคดหลกในการท าโจทยขอนคอนกเรยนตองน าขอมลทอานผดทงไปและเพมเขาดวยขอมลทถกตองเพอค านวณหาคาเฉลยเลขคณตทแทจรง


36

เนอหาหลกของโจทยขอ 9 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมของขอมลทแจกแจงความถไดหรอไม

โดยคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถหาไดจาก

1

k

i i

i

f x

เมอ ix และ if คอจดกงกลางอนตรภาคชนท i และความถของขอมลในอนตรภาคชนท i ตามล าดบ

ในการหาคามธยฐาน นกเรยนตองหาต าแหนงของมธยฐานใหไดเสยกอน ซงหาไดจาก 2

N เมอ

N คอจ านวนขอมลทงหมด ส าหรบฐานนยมของขอมลทแจกแจงความถคอจดกงกลางอนตรภาคชนของอนตรภาคชนทมความถสงสดนนเอง


37

เนอหาหลกของโจทยขอ 10 คอตองการทดสอบวานกเรยนสามารถประยกตเรองคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถไดหรอไม โดยคาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถหาไดจาก

1

k

i i

i

f x

เมอ ix และ if คอจดกงกลางอนตรภาคชนท i และความถของขอมลในอนตรภาคชนท i ตามล าดบ โดยโจทยก าหนดคาเฉลยเลขคณตของขอมลมาให และใหนกเรยนหาจ านวนขอมลทงหมด ซงใน

การท าโจทยขอนจะใชสตรของคาเฉลยเลขคณตและการแกสมการในการหาค าตอบ


38

3. แบบทดสอบ

แบบทดสอบ จะเปนขอสอบปรนยจ านวน 10 ขอ พรอมค าตอบ โดยเปนขอสอบเพอวดความเขาใจเบองตน โดยครอบคลมเนอหาตามจดประสงค ผจดท าไดออกแบบใหโปรแกรมท าการสมขอสอบไดแบบตาง ๆ ครงละ 10 ขอ จ านวนมากถง 103

แบบโดยไมซ ากน ผใชงานสามารถน าไปใหนกเรยนทดสอบไดโดยไมซ ากน


39

ตอนท 1 ชดท 3 โจทยขอ 1 เนอหาหลก : คาเฉลยของขอมลทแจกแจงความถทไมเปนอนตรภาคชน

1.1 น าหนก (กโลกรม) ของนกเรยนหองหนง เปนดงน

น าหนก (กโลกรม) 23 26 28 30 32

จ านวนนกเรยน 4 6 5 a 1

ถาคาเฉลยเลขคณตของน าหนกของนกเรยนหองนเทากบ 27.5 กโลกรม แลวหองนมนกเรยนทงหมด กคน 1. 24 คน 2. 28 คน 3. 50 คน 4. 66 คน เฉลย 1

คาเฉลยเลขคณต (23 4) (26 6) (28 5) (30 ) (32 1)

4 6 5 1

a

a

420 3027.5

16

a

a

27.5(16 ) 420 30a a

8a ดงนน นกเรยนหองนมทงหมด 16 16 8 24a คน 1.2 น าหนก (กโลกรม) ของนกเรยนหองหนง เปนดงน

น าหนก (กโลกรม) 40 44 45 48 50 53

จ านวนนกเรยน 1 5 a 5 3 5

ถาน าหนกเฉลยของนกเรยนหองนเทากบ 48 กโลกรม แลวนกเรยนหองนมทงหมดกคน 1. 20 คน 2. 22 คน 3. 24 คน 4. 26 คน เฉลย 1

คาเฉลยเลขคณต (40 1) (44 5) (45 ) (48 5) (50 3) (53 5)

1 5 5 3 5

a

a

915 4548

19

a

a

48(19 ) 915 45a a

1a ดงนน นกเรยนหองนมทงหมด 196 19 1 20a คน


40

1.3 ผลการเรยนของนกเรยนคนหนง เปนดงน

วชา คณตศาสตร ภาษาไทย สงคมศกษา พลศกษา

จ านวนหนวยกต 4 3 2 1

เกรด 3.0 2.5 a 4.0

ถาเกรดเฉลยของนกเรยนคนนเทากบ 3.05 แลวนกเรยนคนนไดเกรดวชาสงคมศกษาเทาใด 1. 2.5 2. 3.0 3. 3.5 4. 4.0 เฉลย 3

คาเฉลยเลขคณต (4 3.0) (3 2.5) (2 ) (1 4.0)

4 3 2 1

a

23.5 23.05

10

a

30.5 23.5 2a 3.5a ดงนน นกเรยนคนนไดเกรดวชาสงคมศกษาเทากบ 3.5


41

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : การประยกตคาเฉลยเลขคณต 2.1 ในการค านวณคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดหนง ปรากฏวาคาเฉลยเลขคณตเทากบ 30 ตอมาพบวา บนทกขอมลผดไป 2 จ านวน คอ บนทก 21 เปน 27 และบนทก 19 เปน 9 เมอท าการค านวณคาเฉลย เลขคณตใหม พบวาคาเฉลยเลขคณตทถกตองคอ 30.5 แลวขอมลชดนมทงหมดกจ านวน 1. 4 จ านวน 2. 6 จ านวน 3. 8 จ านวน 4. 10 จ านวน เฉลย 3 ใหขอมลชดนมทงหมด N จ านวน

ขอมลผด ขอมลถกตอง

ขอมล 3 427, 9, , , , Nx x x 3 421, 19, , , , Nx x x

คาเฉลยเลขคณต 30 30.5 ผลรวมของขอมลทงหมด 30 N 30 N (21 19) – (27 – 9)

ดงนน คาเฉลยเลขคณตทถกตอง 30.5

30 (21 19) (27 9)N

N

ท าใหไดวา 30.5 30 4N N

8N 2.2 ก าหนดขอมล 2 ชด ดงน

ชดท 1 -3 5 x3 x4 x5 x6

ชดท 2 3 8 x3 x4 x5 x6

ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 เทากบ 5 แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2 เทากบขอใด ตอไปน 1. 5 2. 5.8 3. 6.2 4. 6.5 เฉลย 4 ให 1 และ 2 คอคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 และขอมลชดท 2 ตามล าดบ

ขอมลชดท 1 : 3 4 5 61

3 5

6

x x x x

3 4 5 625

6

x x x x


42

ดงนน 3 4 5 6 30 2 28x x x x

ขอมลชดท 2 : 3 4 5 62

3 8 3 8 28 396.5

6 6 6

x x x x

2.3 ก าหนดขอมล 2 ชด ดงน ชดท 1 : 1 2 15x x x ชดท 2 : 1 2 15 16x x x x ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 เทากบ 5.2 และคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2 เทากบ 4.5 แลว 16x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –6 2. –4 3. 4 4. 6 เฉลย 1 ให 1 และ 2 คอคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 และขอมลชดท 2 ตามล าดบ

ขอมลชดท 1 : จาก 1 2 151

15

x x x

ดงนน 1 2 15 115 15 5.2 78x x x

ขอมลชดท 2 : 1 2 15 162

16

x x x x

16784.5

16

x

ดงนน 16 (4.5 16) 78 6x


43

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : การประยกตคาเฉลยเลขคณต 3.1 ขอมลชดหนงม 15 จ านวน หาคาเฉลยเลขคณตไดเทากบ 5 ตอมาพบวาแทจรงแลวขอมลชดนม ทงหมด 16 จ านวน และหาคาเฉลยเลขคณตใหมไดเทากบ 5.1 แลวจ านวนทหายไปตอนแรกมคาเทากบ ขอใดตอไปน 1. 1.6 2. 5.6 3. 6.6 4. 10.1 เฉลย 3 สมมตใหขอมลจ านวน 15 จ านวน คอ 1 2 15, , ,x x x และขอมลทหายไป คอ 16x

ขอมล คาเฉลยเลขคณต ผลรวมของขอมล

ขอมลเดม 1 2 15, , ,x x x 5

15

1

15 5 75i

i

x

ขอมลใหม 1 2 15 16, , , ,x x x x 5.1

16

1

16 5.1 81.6i

i

x

ดงนน 16 15

16

1 1

81.6 75 6.6i i

i i

x x x

3.2 นกเรยนหอง ก ม 25 คน นกเรยนหอง ข ม 30 คน ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยน หอง ก เทากบ 12 คะแนน และคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนทงสองหองเทากบ 9 คะแนน แลวคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบนกเรยนหอง ข เทากบเทาใด 1. 5.5 คะแนน 2. 6.5 คะแนน 3. 9.5 คะแนน 4. 10.5 คะแนน เฉลย 2 ให 1 2 25, , ,x x x คอ คะแนนสอบของนกเรยนหอง ก และ 1 2 30, , ,y y y คอ คะแนนสอบของนกเรยนหอง ข เนองจากคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนหอง ก เทากบ 12 คะแนน

ดงนน

25

11225

i

i

x

นนคอ 25

1

12 25 300i

i

x

เนองจากคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนทงสองหองเทากบ 9 คะแนน

ดงนน

25 30 30

1 1 1

300

925 30 55

i i i

i i i

x y y

นนคอ

30

1

(9 55) 300 495 300 195i

i

y

ท าใหไดวา คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนหอง ข 1956.5

30 คะแนน


44

3.3 นกเรยนหองหนงม 50 คนเปนนกเรยนชาย 20 คน และนกเรยนหญง 30 คน ถาสวนสงเฉลยของ นกเรยนชายเทากบ 165 เซนตเมตรและสวนสงเฉลยของนกเรยนหญงเทากบ 160 เซนตเมตร แลว สวนสงเฉลยของนกเรยนหองนเทากบเทาใด 1. 158 เซนตเมตร 2. 158.5 เซนตเมตร 3. 162 เซนตเมตร 4. 162.5 เซนตเมตร เฉลย 3 ให 1 2 20, , ,x x x คอ สวนสงของนกเรยนชาย และ 1 2 30, , ,y y y คอ สวนสงของนกเรยนหญง เนองจากสวนสงเฉลยของนกเรยนชายเทากบ 165 เซนตเมตร

ดงนน

20

116520

i

i

x

นนคอ 20

1

165 20 3300i

i

x

เนองจากสวนสงเฉลยของนกเรยนหญงเทากบ 160 เซนตเมตร

ดงนน

30

116030

i

i

y

นนคอ 30

1

160 30 4800i

i

y

ท าใหไดวา สวนสงเฉลยของนกเรยนหองน

20 30

1 1 3300 4800162

20 30 50

i i

i i

x y

เซนตเมตร


45

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : การประยกตคาเฉลยเลขคณต

4.1 นกเรยนหองหนงม 40 คน คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนทงหองเทากบ 43 คะแนน ถาคาเฉลยของคะแนนสอบของนกเรยนชายและนกเรยนหญงเทากบ 40 และ 45 คะแนน ตามล าดบ แลวจ านวนนกเรยนชายตางจากจ านวนนกเรยนหญงกคน 1. 2 คน 2. 4 คน 3. 6 คน 4. 8 คน เฉลย 4 ให n แทนจ านวนนกเรยนชาย เนองจากนกเรยนหองนมทงหมด 40 คน ดงนน จ านวนนกเรยนหญงเทากบ 40 n คน คะแนนรวมของนกเรยนทงหอง คะแนนรวมของนกเรยนชาย คะแนนรวมของนกเรยนหญง 43 40 40 45(40 )n n

16n ดงนน นกเรยนหองนเปนนกเรยนชาย 16 คน และเปนนกเรยนหญง 40 16 24 คน ท าใหไดวา จ านวนนกเรยนชายตางจากจ านวนนกเรยนหญง 24 16 8 คน 4.2 อายเฉลยของพนกงานบรษทแหงหนงเทากบ 34 ป โดยอายเฉลยของพนกงานหญงเทากบ 31 ป อายเฉลยของพนกงานชายเทากบ 36 ป แลวบรษทนมจ านวนพนกงานชายคดเปนรอยละเทาใด ของพนกงานทงหมด 1. รอยละ 33.33 2. รอยละ 40 3. รอยละ 60 4. รอยละ 66.67 เฉลย 3 ให 1n และ 2n เปนจ านวนพนกงานชายและจ านวนพนกงานหญงของบรษทแหงน ตามล าดบ 1 และ 2 เปนอายเฉลยของพนกงานชายและอายเฉลยของพนกงานหญง ตามล าดบ

ดงนน อายเฉลยของพนกงานทงบรษท 1 1 2 2

1 2

n n

n n

1 2

1 2

36 3134

n n

n n

1 2 1 234 34 36 31n n n n 1

2

3

2

n

n

ดงนน จ านวนพนกงานชายคดเปนรอยละ 60 ของพนกงานทงหมด


46

4.3 ถาน าหนกเฉลยของนกเรยนหอง ก เทากบ 42 กโลกรม น าหนกเฉลยของนกเรยนหอง ข เทากบ 45 กโลกรม และน าหนกเฉลยของนกเรยนทงสองหองเทากบ 43.4 กโลกรม แลวอตราสวนของจ านวน นกเรยนหอง ก ตอจ านวนนกเรยนหอง ข เทากบขอใดตอไปน 1. 5 : 6 2. 6 : 5 3. 7 : 8 4. 8 : 7 เฉลย 4 ให 1n และ 2n เปนจ านวนนกเรยนหอง ก และจ านวนนกเรยนหอง ข ตามล าดบ 1 และ 2 เปนน าหนกเฉลยของนกเรยนหอง ก และจ านวนนกเรยนหอง ข ตามล าดบ

ดงนน น าหนกเฉลยของนกเรยนทงสองหอง 1 1 2 2

1 2

n n

n n

1 2

1 2

42 4543.4

n n

n n

1 2 1 243.4 43.4 42 45n n n n 1

2

8

7

n

n

ดงนน อตราสวนของจ านวนนกเรยนหอง ก ตอจ านวนนกเรยนหอง ข เทากบ 8 : 7


47

โจทยขอ 5 จดประสงค : มธยฐานและคาเฉลยเลขคณต 5.1 ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 4 คน มมธยฐานเทากบ 22 คะแนนและคากงกลางพสย เทากบ 26 คะแนน แลวคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยน 4 คนนมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 22 คะแนน 2. 24 คะแนน 3. 26 คะแนน 4. 28 คะแนน เฉลย 2 ใหคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 4 คน เรยงจากนอยไปมาก คอ

1x 2x 3x 4x มธยฐาน 22


2 2

N

ดงนน 22 มธยฐาน 2 3

2

x x ท าใหไดวา 2 3 44x x -----(1)

คากงกลางพสย 26

26 คากงกลางพสย max min 4 1

2 2

x x x x ท าใหไดวา 1 4 52x x -----(2)

จาก (1) และ (2) จะไดวา

คาเฉลยเลขคณต 1 2 3 4 1 4 2 3( ) ( ) 52 4424

4 4 4

x x x x x x x x


48

5.2 ถาคะแนนสอบของนกเรยน 4 คน มมธยฐานเทากบ 15 คะแนน และคาเฉลยเลขคณตเทากบ 14 คะแนน แลวคากงกลางพสยของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน 1. 13 คะแนน 2. 15 คะแนน 3. 18 คะแนน 4. 21 คะแนน เฉลย 1 ใหคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 4 คน เรยงจากนอยไปมาก คอ

1x 2x 3x 4x มธยฐาน 15


2 2

N


2

x x ท าใหไดวา 2 3 30x x -----(1)


14 คาเฉลยเลขคณต 1 2 3 4

4

x x x x ท าใหไดวา 1 2 3 4 14 4 56x x x x -----(2)

จาก (1) และ (2) จะไดวา 1 4 56 30 26x x

ดงนน คากงกลางพสย max min 4 1 132 2

x x x x คะแนน


49

5.3 ครอบครวหนงมบตร 4 คน ถาอายเฉลยและคากงกลางพสยของบตร 4 คนนเทากบ 6 ป และ 6.5 ป ตามล าดบ แลวมธยฐานของอายของบตร 4 คนนเทากบขอใดตอไปน 1. 5.5 ป 2. 6 ป 3. 6.5 ป 4. 7 ป เฉลย 1 ใหอายของบตร 4 คน เรยงจากนอยไปมาก คอ

1x 2x 3x 4x คาเฉลยเลขคณต 6

6 คาเฉลยเลขคณต 1 2 3 4

4

x x x x ท าใหไดวา 1 2 3 4 6 4 24x x x x -----(1)

คากงกลางพสย 6.5

6.5 คากงกลางพสย max min 4 1

2 2

x x x x ท าใหไดวา 1 4 6.5 2 13x x -----(2)

จาก (1) และ (2) จะไดวา 2 3 24 13 11x x

เนองจากต าแหนงของมธยฐาน คอ 1 4 12.5

2 2

N

ดงนน มธยฐาน 2 3 115.5

2 2

x x ป


50

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : สมบตของคาเฉลยเลขคณตและมธยฐาน 6.1 คะแนนสอบวชาคณตศาสตร ( ix ) และคะแนนสอบวชาภาษาไทย ( iy ) ของนกเรยนหองหนง ม ความสมพนธโดย 2 4i ix y พจารณาขอความตอไปน

ก. ถาคะแนนเฉลยวชาคณตศาสตรเทากบ 12 คะแนน แลวคะแนนเฉลยวชาภาษาไทย เทากบ 10 คะแนน ข. ถามธยฐานของคะแนนวชาคณตศาสตรเทากบ 10 คะแนน แลวมธยฐานของคะแนนสอบ วชาภาษาไทยเทากบ 7 คะแนน

ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ขอ ก ถกและขอ ข ถก 2. ขอ ก ถกและขอ ข ผด 3. ขอ ก ผดและขอ ข ถก 4. ขอ ก ผดและขอ ข ผด เฉลย 3 ทฤษฎบท ถาขอมล 1x , 2x , , Nx มคาเฉลยเลขคณตเทากบ และมธยฐานเทากบ Me แลว จะไดวา ส าหรบคาคงตว a และ b ใด ๆ ขอมล 1ax b , 2ax b , , Nax b จะมคาเฉลย เลขคณตเทากบ a b และมธยฐานเทากบ aMe b

เนองจาก 2 4i ix y ดงนน 42

2 2

i ii

x xy

พจารณาขอ ก ถาคาเฉลยเลขคณตของวชาคณตศาสตรเทากบ 12 คะแนน โดยทฤษฎบท

ขางตน จะไดวา คาเฉลยเลขคณตของวชาภาษาไทยเทากบ 12 48

2

คะแนน ดงนน ขอ ก ผด

พจารณาขอ ข ถามธยฐานของวชาคณตศาสตรเทากบ 10 คะแนน โดยทฤษฎบท

ขางตน จะไดวา มธยฐานของวชาภาษาไทยเทากบ 10 47

2

คะแนน ดงนน ขอ ข ถก


51

6.2 ก าหนดขอมล 2 ชด ดงน ชดท 1 : 1x 2x 8x ชดท 2 : 1y 2y 8y โดยท 2 5i iy x และ 0ix เมอ 1 8i พจารณาขอความตอไปน

ก. ถามธยฐานของขอมลชดท 2 เทากบ –8 แลวมธยฐานของขอมลชดท 1 เทากบ –1.5 ข. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2 มากกวาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1

ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ขอ ก ถกและขอ ข ถก 2. ขอ ก ถกและขอ ข ผด 3. ขอ ก ผดและขอ ข ถก 4. ขอ ก ผดและขอ ข ผด เฉลย 2

เนองจาก 2 5i iy x ดงนน 52.5

2 2

i ii

y yx

พจารณาขอ ก ถามธยฐานของขอมลชดท 2 เทากบ –8 โดยทฤษฎบทในขอ 8.1 จะไดวา

มธยฐานของขอมลชดท 1 เทากบ 8 51.5

2

ดงนน ขอ ก ถก

พจารณาขอ ข ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 เทากบ โดยทฤษฎบทในขอ 8.1 จะไดวา คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2 เทากบ 2 5 เนองจาก 0ix ทก 1 8i ดงนน 0 ท าใหไดวา 2 5 ดงนน ขอ ข ผด 6.3 ก าหนดขอมล 2 ชด ดงน ชดท 1 : 1x 2x 10x ชดท 2 : 1y 2y 10y โดยท i ix ay เมอ 0a และ 0iy ทก 1 10i พจารณาขอความตอไปน

ก. มธยฐานของขอมลชดท 1 นอยกวามธยฐานของขอมลชดท 2 ข. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 นอยกวาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2

ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ขอ ก ถกและขอ ข ถก 2. ขอ ก ถกและขอ ข ผด 3. ขอ ก ผดและขอ ข ถก 4. ขอ ก ผดและขอ ข ผด เฉลย 4


52

เนองจาก i ix ay เมอ 0a และ 0iy ทก 1 10i ดงนน 0ix ทก 1 10i ท าใหไดวา มธยฐานและคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 มคามากกวา 0 แตมธยฐานและ คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2 มคานอยกวา 0 ดงนน ขอ ก ผดและขอ ข ผด


53

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : มโนทศนของคากลางของขอมลทไมแจกแจงความถ 7.1 ขอมลชดหนงม 4 จ านวน โดยทฐานนยมเทากบ 18 มธยฐานเทากบพสยเทากบ 14 แลวคาเฉลยเลขคณต ของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน 1. 9 2. 12.5 3. 17.5 4. 16

เฉลย 2 ใหขอมล 4 จ านวน เรยงจากนอยไปมาก คอ

1x 2x 3x 4x

มธยฐาน 14


2 2

N


2

x x ท าใหไดวา 2 3 28x x -----(1)

พสย 14

พสย max min 4 1x x x x ดงนน 4 1 14x x -----(2) ฐานนยม 18

เนองจากฐานนยม 18 ดงนนมขอมลอยางนอย 2 จ านวนทมคาเทากบ 18 นนคอ 1 2 18x x หรอ 2 3 18x x หรอ 3 4 18x x แตเนองจากขอมลเรยงจากนอยไปมาก

และ 2 3 28x x

1x 2x 3x 4x

28 28

ดงนน 3 4 18x x

จาก (1) และ (2) ไดวา 1 4x และ 2 10x

ดงนน คาเฉลยเลขคณต 1 2 3 4 4 10 18 1812.5

4 4

x x x x


54

7.2 ขอมลชดหนงม 4 จ านวน โดยทฐานนยมเทากบ 18 คามธยฐานเทากบ 15 และคาเฉลยเลขคณตเทากบ 10.5 แลวพสยของขอมลชดนเทากบเทาใด 1. 6 2. 12 3. 18 4. 24 เฉลย 4 ใหขอมล 4 จ านวน เรยงจากนอยไปมาก คอ

1x 2x 3x 4x ฐานนยม 18

เนองจากฐานนยม 18 ดงนนมขอมลอยางนอย 2 จ านวนทมคาเทากบ 18



2 2

N


2

x x ท าใหไดวา 2 3 30x x -----(*)


และ 2 3 30x x

1x 2x 3x 4x

30 30 ดงนน 3 4 18x x

จาก (*) จะไดวา 2 12x

คาเฉลยเลขคณต 10.5

ดงนน 1 2 3 4 10.5 4 42x x x x 1 12 18 18 42x

ดงนน 1 42 48 6x

ดงนน พสยของขอมลชดน 4 1 18 ( 6) 24x x


55

7.3 ขอมลชดหนงม 4 จ านวน โดยทมธยฐานเทากบพสยเทากบ 25 และฐานนยมเทากบ 28 แลวคาเฉลย เลขคณตของขอมลชดนเทากบเทาใด 1. 20.25 2. 23.5 3. 26.75 4. 27.5 เฉลย 1 ใหขอมล 4 จ านวน เรยงจากนอยไปมาก คอ

1x 2x 3x 4x



2 2

N


2

x x ท าใหไดวา 2 3 50x x -----(1)

พสย 25

พสย max min 4 1x x x x ดงนน 4 1 25x x -----(2) ฐานนยม 28


และ 2 3 30x x

1x 2x 3x 4x

50 50

ดงนน 3 4 28x x

จาก (1) และ (2) ไดวา 1 3x และ 2 22x

ดงนน คาเฉลยเลขคณต 1 2 3 4 3 22 28 2820.25

4 4

x x x x


56

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : สมบตของคาเฉลยเลขคณตและมธยฐาน

8.1 ก าหนดขอมล 1 2 8, , ,x x x เรยงจากนอยไปมาก ดงน a 3 3 5 7 10 10 12

ถาคากงกลางพสยของขอมลชดนเทากบ 5 และให b และ c เปนจ านวนทท าให

8

1

2)(i

i bx มคา

นอยสด และ8

1

i

i

x c

มคานอยสด ตามล าดบ แลว a b c มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 10 2. 10.5 3. 14 4. 14.5 เฉลย 1

กงกลางพสย max min

2

x x

125

2

a

ดงนน 2a

เนองจาก b และ c เปนจ านวนทท าให

8

1

2)(i

i bx มคานอยสด และ8

1

i

i

x c

มคานอยสด

ดงนน b คอ คาเฉลยเลขคณต และ c คอ มธยฐาน


2 2

N

ดงนน c มธยฐาน 4 5 5 76

2 2

x x

b คาเฉลยเลขคณต 2 3 3 5 7 10 10 126

8

ท าใหไดวา 2 6 6 10a b c 8.2 ก าหนดขอมล 1 2 6, , ,x x x เรยงจากนอยไปมาก ดงน –3 2 5 5 8 a

ให b และ c เปนจ านวนทท าให

6

1

2)(i


1

i

i

x c

มคานอยสด ตามล าดบ

ถากงกลางพสยของขอมลชดนเทากบ 5 แลว | |b c มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 3 3. 5 4. 8 เฉลย 1

กงกลางพสย max min

2

x x

( 3)5

2

a

ดงนน 13a


57


8

1

2)(i


1

i

i

x c




2 2

N


2 2

x x

b คาเฉลยเลขคณต 3 2 5 5 8 135

6

ท าใหไดวา | | 5 5 0b c

8.3 ก าหนดขอมล 1 2 6, , ,x x x ดงน 3 5 – 8 5 –6 a

โดยท 0a ให b และ c เปนจ านวนจรงซงท าให

6

1

2)(i


1

i

i

x c

มคา

นอยสด ตามล าดบ ถาพสยของขอมลชดนเทากบ 15 แลว abc มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 26 2. 28 3. 30 4. 33 เฉลย 2 น าขอมล(ยกเวน a ) มาเรยงจากนอยไปมาก ไดดงน – 8 –6 3 5 5 เนองจากพสยของขอมลชดนเทากบ 15 ดงนน 5a ท าใหไดวา 15 พสย max min ( 8) 8x x a a ดงนน 7a


8

1

2)(i


1

i

i

x c




2 2

N


2 2

x x

b คาเฉลยเลขคณต 3 5 ( 8) 5 ( 6) 71

6

ท าใหไดวา 7 4 1 28abc


58

โจทยขอ 9 เนอหาหลก : คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานของขอมลทแจกแจงความถ


คะแนน จ านวน

1 – 15 2

16 – 30 a

31 – 45 5

46 – 60 3

ถามธยฐานของขอมลชดนเทากบ 30.5 แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนมคาอยในชวงใดตอไปน 1. (29, 30] 2. (30, 31] 3. (31, 32] 4. (32, 33] เฉลย 3 เนองจากมธยฐานเทากบ 30.5 ซงตรงกบขอบบนของอนตรภาคชน 16–30 ดงนน ต าแหนงของมธยฐาน คอ 2 a

ท าใหไดวา ต าแหนงของมธยฐาน 2

N

2 5 32

2

aa

6a ดงนน

คะแนน จ านวน ( if ) จดกงกลางอนตรภาคชน ( )ix i if x

1 – 15 2 8 16 16 – 30 6 23 138 31 – 45 5 38 190 46 – 60 3 53 159 รวม 16 503


1

50331.44

16

k

i i

i

k

i

i

f x

f


59

9.2 ขอมลแสดงจ านวนเงน (บาท) ทลกคารานสะดวกซอแหงหนงใชซอสนคาในราน เปนดงน

จ านวนเงน (บาท) จ านวนลกคา

1 – 20 5

21 – 40 8

41 – 60 2

61 – 80 a

81 – 100 5

ถามธยฐานของขอมลชดนเทากบ 60.5 บาท แลวคาเฉลยเลขคณตของจ านวนเงนทลกคาใชซอสนคา มคาอยในชวงใดตอไปน 1. (45, 50] 2. (50, 55] 3. (55, 60] 4. (60, 65] เฉลย 2 เนองจากมธยฐานเทากบ 60.5 ซงตรงกบขอบบนของอนตรภาคชน 41– 60 ดงนน ต าแหนงของมธยฐาน คอ 5 8 2 15


N

5 8 2 515

2

a

10a ดงนน

จ านวนเงน จ านวน ( if ) จดกงกลางอนตรภาคชน ( )ix i if x

1 – 20 5 10.5 52.5 21 – 40 8 30.5 244 41 – 60 2 50.5 101 61 – 80 10 70.5 705

81 – 100 5 90.5 452.5 รวม 30 1555


1

155551.83

30

k

i i

i

k

i

i

f x

f


60

9.3 ขอมลแสดงอาย (ป) ของเดกอายไมเกน 12 ป ทมาเทยวสวนสตวแหงหนง เปนดงน

อาย (ป) จ านวน

1 – 3 a

4 – 6 10

7 – 9 6

10 – 12 3

ถามธยฐานของอายเดกกลมนเทากบ 5 ป แลวคาเฉลยเลขคณตของอายของเดกกลมน มคาอย ในชวงใดตอไปน 1. [4.5, 5.0) 2. [5.0, 5.5) 3. [5.5, 6.0) 4. [6.0, 6.5) เฉลย 2 เนองจากมธยฐานเทากบ 5 ซงตรงกบจดกงกลางอนตรภาคชน 4 – 6

ดงนน ต าแหนงของมธยฐาน คอ 105

2a a


N

10 6 35

2

aa

9a ดงนน

อาย จ านวน ( if ) จดกงกลางอนตรภาคชน ( )ix i if x

1 – 3 9 2 18 4 – 6 10 5 50 7 – 9 6 8 48 10 – 12 3 11 33 รวม 28 149


1

1495.32

28

k

i i

i

k

i

i

f x

f


61

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : มธยฐานและฐานนยมของขอมลทแจกแจงความถ

10.1 ตารางแสดงคะแนนสอบของนกเรยนหองหนง เปนดงน

คะแนน ความถสะสม

1 – 5 3

6 – 10 10

11 – 15 18

16 – 20 25

21 – 25 28

26 – 30 30

แลวมธยฐานและฐานนยมของขอมลชดนมคาตางกนเทาใด 1. 0.625 คะแนน 2. 0.975 คะแนน 3. 1.125 คะแนน 4. 3.125 คะแนน เฉลย 1

คะแนน ความถสะสม ความถ 1 – 5 3 3 6 – 10 10 7 11 – 15 18 8 16 – 20 25 7 21 – 25 28 3 26 – 30 30 2

ฐานนยม อนตรภาคชนทมความถสงสด คอ อนตรภาคชน 11 – 15 ดงนน ฐานนยม จดกงกลางอนตรภาคชน 11 – 15

15.5 10.5

2

13


62

มธยฐาน


2 2

N

ดงนน มธยฐาน คอ ขอมลตวท 15 ซงอยในอนตรภาคชน 11 – 15 จากนนหาคาของมธยฐานโดยการเทยบบญญตไตรยางศหรอเทยบสดสวน จะไดวา ต าแหนงตางกน 8 ต าแหนง ขอมลตางกน 15.5 10.5 5


8

ดงนน มธยฐาน 10.5 3.125 13.625 ดงนน มธยฐานและฐานนยมของขอมลชดนตางกน |13 13.625 | 0.625 คะแนน 10.2 ตารางแสดงระดบคลอเรสเตอรอล (mg/dl) ของผปวยกลมหนง เปนดงน

แลวมธยฐานและฐานนยมของขอมลชดนมคาตางกนเทาใด 1. 12 mg/dl 2. 12.5 mg/dl 3. 17.5 mg/dl 4. 18 mg/dl เฉลย 4

ระดบคลอเรสเตอรอล (mg/dl) จ านวน

161 – 180 4

181 – 200 8

201 – 220 10

221 – 240 5

241 – 260 18

261 – 280 5


63

ระดบคลอเรสเตอรอล (mg/dl) จ านวน ความถสะสม

161 – 180 4 4 181 – 200 8 12 201 – 220 10 22 221 – 240 5 27 241 – 260 18 45 261 – 280 5 50


260.5 240.5

2

250.5 มธยฐาน


2 2

N

ดงนน มธยฐาน คอ ขอมลตวท 25 ซงอยในอนตรภาคชน 221 – 240 จากนนหาคาของมธยฐานโดยการเทยบบญญตไตรยางศหรอเทยบสดสวน จะไดวา ต าแหนงตางกน 5 ต าแหนง ขอมลตางกน 240.5 220.5 20

ต าแหนงตางกน 3 ต าแหนง ขอมลตางกน 203 12

5

ดงนน มธยฐาน 220.5 12 232.5 ดงนน มธยฐานและฐานนยมของขอมลชดนตางกน | 250.5 232.5 | 18 mg/dl


64

10.3 ตารางแสดงอาย (ป) ของผปวยโรคปวดศรษะไมเกรนกลมหนง ดงน

อาย (ป) จ านวน

16 – 25 8

26 – 35 12

36 – 45 20

46 – 55 12

56 – 65 6

แลวมธยฐานและฐานนยมของขอมลชดนมคาตางกนเทาใด 1. 0 ป 2. 0.5 ป 3. 1 ป 4. 1.5 ป เฉลย 2

อาย (ป) จ านวน ความถสะสม 16 – 25 8 8 26 – 35 12 20 36 – 45 20 40 46 – 55 12 52 56 – 65 6 58


45.5 35.5

2

40.5 มธยฐาน


2 2

N

ดงนน มธยฐาน คอ ขอมลตวท 29 ซงอยในอนตรภาคชน 36 – 45


65

จากนนหาคาของมธยฐานโดยการเทยบบญญตไตรยางศหรอเทยบสดสวน จะไดวา ต าแหนงตางกน 20 ต าแหนง ขอมลตางกน 45.5 35.5 10


20

ดงนน มธยฐาน 35.5 4.5 40 ดงนน มธยฐานและฐานนยมของขอมลชดนตางกน | 40.5 40 | 0.5 ป

ผ-1

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน

ประจาปงบประมาณ 2555

ผ-2

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน (ประจาปงบประมาณ 2555)

เรอง ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ บทนาเรองคณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2) เซต แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3) ทฤษฎจานวน แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) จานวนจรง แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 5) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 6) เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย บทนาเรองเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จดและสวนของเสนตรง ความชนและเสนตรง ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย ความสมพนธและฟงกชน แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) เมทรกซ บทนาเรองเมทรกซ ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซขนาด 2x2 ดเทอรมแนนต อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

ผ-3

เรอง ตอน เวกเตอร บทนาเรองเวกเตอร เวกเตอรในเชงเรขาคณต

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

การคณเวกเตอรเชงสเกลาร

การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร จานวนเชงซอน บทนาเรองจานวนเชงซอน จานวนเชงซอน

สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน

พกดเชงขว

รากของจานวนเชงซอน ตรโกณมต แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 3)



แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6) คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน ภาษและเครดต ดอกเบยและคางวด

ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน ลาดบและอนกรม แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) แคลคลส บทนาเรองแคลคลส ลมต

ความตอเนอง

อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ

อนพนธ

คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

การประยกตคาสดขด

ปรพนธ 1

ปรพนธ 2 หลกคณตศาสตร หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

ผ-4

เรอง ตอน สถต แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 2)



ผ-5


ปงบประมาณ 2554-2555

ผ-6


คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง บทนา คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ แบบฝกหด ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2)

เซต บทนา เซต การใหเหตผลและตรรกศาสตร เนอหา ความหมายของเซต บทนา การใหเหตผลและตรรกศาสตร เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต เนอหา การใหเหตผล เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและ ประพจนและการสมมล แผนภาพเวนน-ออยเลอร สจนรนดรและการอางเหตผล แบบฝกหด เซต (ตอนท 1) ประโยคเปดและวลบงปรมาณ เซต (ตอนท 2) แบบฝกหด การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) สอปฏสมพนธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3)

จานวนจรง สอปฏสมพนธ หอคอยฮานอย บทนา จานวนจรง ตารางคาความจรง เนอหา สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฎจานวนเบองตน ทฤษฎบทตวประกอบ บทนา ทฤษฎจานวนเบองตน สมการพหนาม เนอหา การหารลงตวและจานวนเฉพาะ อสมการ ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย เทคนคการแกอสมการ แบบฝกหด ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) คาสมบรณ ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย แบบฝกหด จานวนจรง (ตอนท 1) บทนา เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จานวนจรง (ตอนท 2) เนอห จดและสวนของเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 3) ความขนและเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 4) ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 5) วงกลม จานวนจรง (ตอนท 6) พาราโบลา สอปฏสมพนธ ชวงบนเสนจานวน วงร สมการและอสมการพหนาม ไฮเพอรโบลา กราฟคาสมบรณ การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย

ผ-7

ความสมพนธและฟงกชน ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม บทนา ความสมพนธและฟงกชน บทนา ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม เนอหา ความสมพนธ เนอหา เลขยกกาลง โดเมนและเรนจ ฟงกชนเลขชกาลง อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของ ฟงกชนลอการทม ฟงกชน อสมการเลขชกาลง ฟงกชนเบองตน อสมการลอการทม พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ตรโกณมต ฟงกชนประกอบ บทนา ตรโกณมต แบบฝกหด ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) เนอหา อตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) และวงกลมหนงหนวย ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) ฟงกชนตรโกณมต 1 ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3

เมทรกซ กฎของไซนและโคไซน บทนา เมทรกซ กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ฟงกชนตรโกณมตผกผน การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซ แบบฝกหด ตรโกณมต (ตอนท 1) ขนาด 2×2 ตรโกณมต (ตอนท 2) ดเทอรมแนนต ตรโกณมต (ตอนท 3) อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว ตรโกณมต (ตอนท 4) การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน ตรโกณมต (ตอนท 5) ตรโกณมต (ตอนท 6)

เวกเตอร สอปฏสมพนธ มมบนวงกลมหนงหนวย บทนา เวกเตอร กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา เวกเตอรในเชงเรขาคณต กฎของไซนและกฎของโคไซน เวกเตอรในระบบพกดฉาก การคณเวกเตอรเชงสเกลาร กาหนดการเชงเสน การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร บทนา กาหนดการเชงเสน เนอหา การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร

จานวนเชงซอน การหาคาสดขด บทนา จานวนเชงซอน เนอหา จานวนเชงซอน คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน สารคด ภาษและเครดต พกดเชงขว ดอกเบยและคางวด รากของจานวนเชงซอน ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน

ผ-8

ลาดบและอนกรม สถตและการวเคราะหขอมล บทนา ลาดบและอนกรม บทนา สถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ลาดบ เนอหา บทนา เนอหา การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 ลมตของลาดบ แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 ผลบวกยอย แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 อนกรม การกระจายของขอมล ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม การกระจายสมบรณ 1 แบบฝกหด ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) การกระจายสมบรณ 2 ลาดบและอนกรม (ตอนท 2) การกระจายสมบรณ 3 ลาดบและอนกรม (ตอนท 3) การกระจายสมพทธ ลาดบและอนกรม (ตอนท 4) คะแนนมาตรฐาน ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2

แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 บทนา แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 เนอหา ลมต แบบฝกหด สถต (ตอนท 1) ความตอเนอง สถต (ตอนท 2) อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ สถต (ตอนท 3) อนพนธ สถต (ตอนท 4) คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ การประยกตคาสดขด แบบจาลองทางคณตศาสตร ปรพนธ 1 สารคด แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ปรพนธ 2 ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

การนบและความนาจะเปน โครงงานทางคณตศาสตร บทนา การนบและความนาจะเปน วจย การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย เนอหา การนบเบองตน ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การเรยงสบเปลยน การถอดรากทสาม การจดหม เสนตรงลอมเสนโคง ทฤษฎบททวนาม กระเบองทยดหดได การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

หลกคณตศาสตร เนอหา หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร

Documents

สถิติ ตอนที่1 070213a4%d9%e8%c1%d7… · - ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - มัธยฐาน - ฐานนิยม - ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต