¤ 1 / ( , W ¦ , ° ! ( C U * , ( 4 - ( , À 6 & / W , Õ ( , B ¶ , / & C 4M.pdfРеч аутора Свеска припрема је скуп мојих припрема за час

[email protected]

Реч аутора

Свеска припрема је скуп мојих припрема за час коригованих примедбама рецензената. Не представља обавезујући документ већ сваки наставник треба да је прилагоди свом одељењу и својим склоностима.

Број часова који недостаје су часови предвиђени за контролне вежбе и остале писане провере знања. Њихов садржај зависи од одељења тако да свако треба да их прилагоди свом раду и одељењу. Сматрам да је потребно је да се поштује структура 2+3 (два лакша и три тежа задатка) или 2+2+1 (два из најлакше, два из средње и један из најтеже групе). Тежина задатка је одређена у збирци.

Фронтални рад значи само да сви ученици имају исте задатке или приступ истим информацијама. То никако не значи да све задатке ради професор, а да су ученици пасивни. На часу обраде, сматрам, да мора да се ради фронтално већи део часа како би сви ученици чули исти део градива. И тада, а поготово на часовима вежбања и утврђивања, задатке не ради професор, већ ученици. Док један ученик ради на табли, остали раде у свесци и међусобно сарађују.

Код поделе одељења на групе нема универзалног ни обавезујућег правила. Какве ће групе бити и колико ће их бити зависи од одељења и нивоа знања ученика, као и од опремљености школе. То треба да уради сваки наставник сам у зависности од нивоа знања и социјалне зрелости и способности за међусобну помоћ свог одељења. Да ли ће задаци бити приказани на рачунару, пројектору или подељене цедуље је нешто што не може бити обавезујуће за сваког наставника и свако одељење.

Дужина трајања појединих делова часа, број и структура група, примена рачунара,... зависе од темпа наставника, брзине напредовања одељења и опремљености школе. Завршни део часа је доста кратак зато што сматрам да треба да садржи питања ученика, домаће задатке, договор о даљем раду и сл. Остављам колегама да га допуне по сопственим потребама. Начин на који ће бити подељени домаћи задаци који нису из збирке није универзалан. Припреме не треба да буду нешто непроменљиво, већ да се прилагођавају сваком часу, професору и одељењу.

Нису написани резултати свих задатака, пошто сматрам да ће сваки колега пре часа урадити задатке и, евентуално, изменити њихов број или садржај.

Празан простор на крају припреме предвиђен је за коментаре сваког наставника, вредновање часа и сл.

Захваљујем свим рецензентима на уложеном времену, труду и знању. Трудила сам се да усвојим све њихове примедбе. Очекујем и примедбе и сугестије колега. У Београду, Вера Ивковић, проф мат. августа 2016. 8. београдске гимназије

Функције

1

Свеска припрема Математика за четврти разред гимназије

1. Функције

Допуна и систематизација знања о функцијама и њеним основним својствима. Преглед елементарних функција. Гранична вредност функције. Непрекидност функције.

Редни број теме

Наставна тема Број часова

Обрада Остало Укупно

1. Функције 12 16 28 2. Извод функције 11 18 29 3. Интеграл 11 13 24 4. Комбинаторика 5 7 12 5. Вероватноћа и статистика 13 10 23

Писмени задаци са исправком - 12 12 Укупно часова 52 76 128

Функције

2

Функције

3

Редни број часа ______________ Појам функције, основни појмови

Тип часа: понављање Облик рада: фронтални, индивидуални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање функције и основних појмова везаних за функције, разумевање трансформација графика функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање информатичке културе ученика Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање појма функције и основних особина функције, прецизност језика Кључне речи: функција, график Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, прецизно дефинисање појмова, цртање графика, уочавање последица трансформација Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика 4+, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Дефиниција: Релација , тј. пресликавање YXf : је функција уколико важи

xfyYyXx 1 . Подразумеваћемо , тј. реалне функције. Уочимо следећа пресликавања скупа YXf : : Прво пресликавање не представља, а следећа два представљају функцију. На графику је приказана крива која није функција. Скуп X се зове домен или област дефинисаности функције, а скуп Y кодомен или скуп вредности функције.

Xx је независно променљива или аргумент функције, а Yy зависно променљива или вредност функције.

1. 2 3

.6

.7

.8

.9

X Y X Y

1. 2 3.

.6

.7

.8

.9

1. 2. 3 4.

.6

.7

.8

.9

X Y

?1xf

1x

Функције

4

Главни део часа: Начини представљања функција: Веновим дијаграмом Таблично:

x 1 2 3 4 5 6 7 xf 0 3 8 15 24 35 48

Скупом уређених парова: 487356245154833201 ,,,,,,,,,,,,,f

483524158307654321

f

Формулом (аналитички): 12xxf Графички (слика горе десно) Две функције су једнаке уколико су им једнаки домени и кодомени. Дефиниција: Ако је 222111 :;: YXfYXf и уколико важи

xfxfXxYYXX 2112121 ; , кажемо да је функција 1f рестрикција (сужење) домена функције .f 2 Особине:

Дефиниција: Функција је сурјективна („на“) уколико важи

xfyXxYy Нпр. функција дата Веновим дијаграмом није сурјективна. Функција дата графиком није сурјективна, али њена рестрикција ,R:f 02 јесте. Дефиниција: Функција је инјективна („1-1“) уколико важи:

212121 xfxfxxXx,x Нпр. претходно дата функција није ни инјективна, а функција дата графиком није „1-1“ .

Функција 12xxf није сурјективна на скупу реалних бројева зато што нпр. не постоји реално x за које је 3xf .

Функција 12xxf није инјективна зато што из 22 не следи 22 ff Дефиниција: Функција која је и инјективна и сурјективна је бијективна (обострано једнозначно или биунивоко пресликавање). Функција дата графиком је бијективна.

1. 2 3

.6

.7

.8

.9

X Y

бијективна функција

Функције

5

Задаци: 1. Доказати да су реалне функције бијекције (на скупу на ком су дефинисане). Поделити

ученике на четири групе и свака нека уради по пример од прва два задатка и по један пример од следећа 4 задатка:

425;17 xxfxxf

2. Испитати да ли су функције бијективне 2;25;22 x

xxxfxxxf

3. Дате су функције xxxfxxfexfexf xx

2

42

32ln

1 ,,ln, . Тачан је исказ:

А) 4321 ffff B) међу функцијама нема једнаких C) 4321 ffff

D) 3241 ffff E) 3142 ffff

4. Дате су функције xxxf

xxfxxxf

x

xxfx 3 3

42

322

221 ,2log

,cossin, .

Тачан је исказ: А) све функције су међусобно једнаке B) међу датим функцијама нема једнаких C) 431 fff D) 14321 fffff E) 1432 ffff

5. Дате су функције xxxf

xxfctgxtgxxf

x

xxfx 3 3

43

3221 ,3log

,, . Тачан је

исказ: А) све функције су међусобно једнаке B) међу датим функцијама нема једнаких C) 4312 ffff D) 2432 ffff E) 4132 ffff

6. Дате су реалне функције

2log2,log2,log,log2 423

22221

xxfxxfxxfxxf , где је x реална

променљива. Тачан је следећи исказ: А) 32 ff B) 41 ff C) међу датим функцијама нема међусобно једнаких

D) 4321 ffff E) 21 ff

Завршни део часа:

Трансформације графика функције (Задати за домаћи задатак да у GeoGebri или неком сличном програму испитају како се понаша график при неким трансформацијама.): Нацртати график произвољне функције xfy , а затим графике функција )x(fy )( xfy

c)x(fy )cx(fy )x(fy . Описати трансформације графика функција.

Ако има времена поменути неке функције (или задати за домаћи задатак да ученици нацртају графике) које су помињали у настави информатике:

0,10,00,1

)sgn(xxx

xy xy највећи цео број мањи или једнак броју x .

Функције

6

Функције

7

Редни број часа ______________ Домен функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, рад у пару Методе рада: дијалошка, операцијска Циљ часа: способност закључивања, генерализације, способност математичке аргументације Образовни задатак: уочавање различитих класа функција и услова њихове дефинисаности, оспособљеност ученика да нађу домен функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, развијање способности повезивања различитих информација у систематизовану целину, налажење сличности и разлика домена различитих класа функција Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање графика функције, прецизност језика Кључне речи: домен, услов дефинисаности Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: уочавање домена функција, израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Поновити дефиницију функције, као и шта су домен и кодомен функције. Главни део часа:

Уколико област дефинисаности није задана унапред, онда области дефинисаности (домен) подразумева скуп свих реалних вредности аргумента x за које су дефинисане операције које се налазе у формули за функцију. Кодомен представља скуп вредности функције y .

Алгебарске функције Целе рационалне функције: Полиноми облика 132)( 23 xxxxf дефинисане су на целом пољу реалних бројева.

Рационалне разломљене функције: Функције облика xQxPxf , где су функције

xQ,xP целе рационалне функције дефинисане су за све x за које важи .xQ 0 Примери: Наћи домен следећих функција;

а) 5

2x

xy је дефинисана када је 505 xx .

б) xxxxy 2

2 3 је дефинисана за 100102 xxxxxx

Домен функције можемо записати као ,,,Df 0011 .

Функције

8

Ирационалне функције: Разликујемо два случаја )( Nn

а) gDxgRxDxgxf fn 0;2

б) gDDxgxf f

n ;12

Примери: а) 4xy је дефинисана када је 404 xx , тј. ,D f 4

б) 3 2 43xxy је дефинисана за свако реално x .

Задаци: Наћи област дефинисаности следећих функција (Пар ученика који седе у истој клупи бира једну функцију. Након завршетка рада урадити неколико задатака на табли.):

64)(

322)( 2

2

xxxxf

xxxf

251

23

2329

5432

2

2

22

3

xxxxf

xxxf

xxxfxxf

xxfxxfxxf

Експоненцијалне: Функције облика 1;0,, aaaxfexf xgxg gf DD

Логаритамске: Функције облика xgxfxgxf a ln;log (где је xx elogln

1,0 aa ) дефинисане су за gf DxgRxD 0: Примери:

а) 4log3 xy је дефинисана ако и само ако је 404 xx .

б) 2ln 2 xxy је дефинисана ако и само ако је ,12,022 xxx.

в) 2ln xy x је дефинисана акко је ,11,0x

Задаци: Наћи област дефинисаности следећих функција (Пар ученика који седе у истој клупи бира једну функцију. Након завршетка рада урадити неколико задатака на табли.):

23145lg

45log

24ln)3ln( 2

2

xxxxfxxxf

xxxfxxf

521

2 23424ln

12arccos 2 xxx xfexfxx

xxxf

xxxf

Тригонометријске: Функције )(cos)();(sin xgxfxgxf дефинисане су на домену

функције )x(g , а функције )ctg()();tg()( xxfxxf редом на kx;kx2

Инверзне тригонометријске (циклометријске): Функције xxfxxf arcctg;arctg дефинисане су на целом пољу реалних бројева, а функције

xxfxxf arccosarcsin на сегменту 11, .

Примери:

а) 2arcsin xy је дефинисана акко је 31121 xx , тј. област дефинисаности је 31,D f .

б) функција xy arctg је дефинисана за свако Rx .

Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци 20.в), 21.и), 22.в), 24.ђ), 27.а), г)

Функције

9

Редни број часа ______________ Домен функције – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални Методе рада: дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног и логичког мишљења, усвајање знања неопходних за наставак школовања Образовни задатак: увежбаност у налажењу домена и кодомена функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, развијање способности за повезивање различитих функција у исту класу Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање графика функције, прецизност у изражавању Кључне речи: домен, област дефинисаности, кодомен Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика. Извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика 4+, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа:

Користећи графике функција наћи скуп вредности (кодомен) функција 2xy , xey , 3xy . Задаци:

Наћи домен функција: 65

7)(.1 2

3

xxxxf Резултат: ,33,22,x

2. xexxxf1

31 Резултат: 3,00,1x

3.)1ln(

1x

xxf Резултат: 1,00,1x

4. Наћи област дефинисаности функције 1

32lg2

xxxxf (где је xx 10loglg ,

односно декадни логаритам). Резултат: ,21,1x

5. Област дефинисаности функције xxxf 21010 loglog је:

А) 10,1 B) 10,0 C) ,1 D) ,0 E) 10,2 Резултат: А

6.x

xxf2

2arccos Резултат: ,322,x

Функције

10

7. 24211arcsin xx

xxf Резултат: 2,032,2

Задаци: 26.г), 27.в), е.

Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци 21.з), 22.г), 24.в), 27.б)

Функције

11

Редни број часа ______________ Парност, непарност и периодичност функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, рад у пару Методе рада: дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења и способности визуелизације Образовни задатак: усвајање и примена дефиниција парности и периодичности функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, повезивање различитих функција у исту класу Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика за одређивање парности и периодичности функција аналитички и графички Кључне речи: парност и периодичност функције Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци, уочавање особина функција Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Ученици треба да нацртају неку од функција које су симетричне у односу на y осу и које су симетричне у односу на координатни почетак. Закључити када важи

xfxfxfxf , .

Главни део часа:

Дефиниција: Уколико за функцију важи

xfxfDx кажемо да је парна. Очигледно је да домен функције Dмора бити симетричан у односу на нулу. График парне функције је симетричан у односу на y -осу.

Дефиниција: Уколико за функцију важи xfxfDx , кажемо да је непарна. График непарне функције је симетричан у односу на координатни почетак. Велики број функција нису ни парне ни непарне, а једина функција која је у исто време и парна и непарна је константна функција једнака нули (тј. f(x) = 0 за свако x).

Примери:

Функције

12

1. 0,54

2

xx

xxf је парна функција зато што је

4

2

4

2 55x

xx

xxf

2. Функција 2,0,4

33

2

xxxx

xy је непарна функција зато што је

xfxx

xxx

xxx

xxf4

34

34

33

2

3

2

3

2

3. Функција xx

xxf 2 није ни парна ни непарна функција. Можемо то видети и без

провере пошто домен функције није симетричан. Задаци: 1. Испитати парност функција (сваки пар из клупе ради по један пример из првог задатка и по један задатак од следећа два):

46cos1sin2

11ln11

110

435

222

xxfxxxfxf

xxxfxxxxxf

xxxf

x


xpxx

xxf 221515

је парна ако је Rp једнако:

А) 10 B) 2 C) 5 D) -3 E) -1


xpxx

xxf 221515

је непарна ако је Rp једнако:

А) 10 B) 3 C) 5 D) -2 E) 1

Дефиниција: Функција дефинисана на скупу D је периодична са основним периодом уколико је најмањи број за који важи xfxfDx .

Најкарактеристичнији примери периодичних функција су тригонометријске функције :xyxyxyxy ctg;tg;cos;sin . Период прве две је 2 , а друге две .

Графици периодичних функција:

Пример: Наћи основни период функције .3

sin xxf

Решење: 662333

sin3

sin 0kkxxxx

Функције

13

Може се закључити да је основни период функција облика axyaxy cos;sin једнак

0;2 аa

.

Задаци: Наћи основни период следећих функција: (Поделити сваком пару у клупи по један задатак.)

xxf

xxf

xxf

xxf

xxf

4sin21

32

413sin

cos2

cos1

523cos

2

xxxf

xxf

xxfxxf

xxf

xxf

2cos32sin2)(2

3tg)(

sin3sin10

3cos62

cos

2

2


Ако функције 21, ff имају периоде редом 21, , онда је функција 21 fff периодична са

периодом 21,S . Урадити на примеру xxxf 3cos2sin

Домаћи задатак: Задаци 37, 38, 39.б), 40.ж), и)

Функције

14

Функције

15

Редни број часа ______________ Нуле и знак функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, групни Методе рада: дијалошка, операцијска , графичка, илустрација Циљ часа: развијање свести о потреби за повезивањем знања Образовни задатак: усвајање појмова нула и знак функције и њихових дефиниција, оспособљеност ученика да нађу нуле функције и одреде њен знак Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности и систематичности Резултат часа: оспособљеност ученика за налажење нула и знака функција аналитички и графички Кључне речи: нуле, знак функције Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, помоћ ученицима у извођењу закључака, израда задатака на табли Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Дата је функција 32xy . Скицирати њен график, наћи нулу и одредити знак функције.

Главни део часа: Нула функције је вредност независно променљиве x за коју је 0xf . Нула функције представља пресек графика функције са x -осом.

Нула 1x Нуле 1x и 1x (у тој тачки функција има и екстремну вредност):

Нула 0x (у истој тачки је и превој):

Функције

16

Функција је позитивна на интервалу b,a ако важи 0xfb,ax . Функција је негативна на интервалу b,a ако важи 0xfb,ax .

Задаци:

Наћи нуле и испитати знак функције:

1. 45

232 xx

xxf (ради професор, остале задатке раде ученици)

Решење: Наћи ћемо прво област дефинисаности функције 140452 xxxx . Нула функције је

230230

4523

2 xxxxx

Знак ћемо одредити таблично

1

23

4

x23 ++++++ ++++++ - - - - - - - - - - - -

452 xx ++++++ - - - - - - - - - - - - ++++++ y ++++++ - - - - - - ++++++ - - - - - -

0,423,1

04,231,

yx

yx

за

за

2. 2

2

92

xxxxf

Решење: Домен функције 33,\Rx . Нуле добијамо решавањем једначине

1;20209

221

22

2

xxxxxxx

.

Функције

17

-3 -2 1 3

22 xx ++++ ++++ - - - - ++++ ++++ 29 x - - - - - ++++ ++++ ++++ - - - -

y - - - - ++++ - - - - ++++ - - - -

Функција је позитивна када 3,12,3x , а негативна када ,,,x 3123

3. xxexf1

Решење: Функција је дефинисана за 0x . Због тога функција нема нуле.

Пошто је функција xey1

увек позитивна знак је

0

x - - - - ++++

xe1

++++ ++++

y - - - - ++++

Функција је позитивна када ,0x , а негативна када 0,x .

4. 2ln1

xxxf

Решење: Функција је дефинисана за 0x . Нуле функције добијамо решавањем једначине

exxxx

x 1ln0ln10ln12

0 e

xln1 ++++ - - - -

2x ++++ ++++ y ++++ - - - -

Функција је позитивна када ex ,0 , а негативна када ,ex .

Поделити ученике у групе и свакој дати по један задатак.


Наћи нуле функција:

xxf

xxxfxxxfexxf x 2

2ln114 2

22

Домаћи задатак: Задатак 41.

Функције

18

Функције

19

Редни број часа ______________ Нуле и знак функције – вежбање

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљеност за примену раније стечених знања Образовни задатак: оспособљавање ученика у решавању једначина и неједначина потребних за налажење нула и знака функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: способљеност ученика за налажење нула и знака функција аналитички и графички Кључне речи: нуле, знак функције Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, помоћ ученицима у решавању задатака, избор задатака Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Коментар домаћег задатка. Подела ученика у групе. Свака група бира по један пример из сваког задатка.


Наћи нуле и одредити знак функција:

1.

21617;

88;

1;

1;

43214

2

24

3

3

222

2

xxxy

xxy

xxy

xxy

xxxxy

2. 11

2 2;34 xx eyexxy

3. 75log;ln1ln1log;1log 2

33 xxyxxyxy

4. 3tg;1sin;21sin xyxyxy

5. 2

1;3

1;122

33 2

xxxy

xxxyxxy

6. 222

2arcsin;1

arctg24

2

2

2

xxxy

xxy

На табли урадити задатке у којима су ученици највише грешили.

Функције

20

Завршни део часа: Коментар најчешћих грешака и задавање неких од неурађених задатака за домаћи. Домаћи задатак: Задатак 33.

Функције

21

Редни број часа ______________ Сложена функција

Тип часа: понављање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину, развијање апстрактног мишљења Образовни задатак: понављање и продубљивање појма сложене функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да нађу сложену функцију за задате функције и обрнуто Кључне речи: сложена функција Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, израда задатака на табли Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика 4+, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Поновити:

Нека су дате функције 42;32 xxgxxf . Уочимо да је 21;11 gf тј.

211 gf . То можемо графички представити на следећи начин:

Главни део часа: Дефиниција: Ако су дате функције CBfBAg :;: онда је композиција тих функција (сложена функција) CAfgAx : xfgfg Треба уочити да не мора да важи fggf

Користи се и ознака fff 2

Функције

22

Задаци:

1. Ако је 11

xxxf онда је за

xffxx 1,0,1 једнако:

А) x1

B) x

f 1 C) xff D) x E) x

Решење:

xx

xxx

xxx

xxxx

xxf

xff

xx

xx

xx

x

xx

f22

111

111

111

111

111

11

1

1

11

111

2. Aкo je 1x

xxf , онда је xfff једнако:

A) x

x 45 B)

13xx

C) 12

xx

D) 2432

xx

E) 25

3x

x

3. Ако је xxgxxf sin,1 2 онда је 44

6 gfffg једнако:

А) 2

5 B)

27

C) 2

5 D)

27

E) 2

3

4. Ако је 321 2 xxxf онда је функција 1xf једнака:

А) 562 xx B) 562 xx C) 562 xx D) 62x E) 562 xx Решење:

5644121411

44322123121

11

222

2

222

xxxxxxxxf

xxxfttttttttf

txtx

5. Ако је 1\,3213 Rxx

xxf , онда је 5f једнако:

A) 2 B) 5 C) 1 D) 4 Е) 3 6. Ако је низ функција , дефинисан на следећи начин:

Nnxffxfx

xfx

xxf nnn ,,1

1,1 1221 , онда је 19921992f једнако:

A) -1991 B) 1991

1 C)

19921

D) 19921991

E) 19911992

Решење:

xfxx

xxfxfff

x

xxx

xfxfff

13234

2123

1111

11

1

11

11

У низу постоје три различите функције, што значи да је 1992.-га иста као и трећа (1992 је дељиво са 3), па је 19911992119921992f

Nnxfn ,

Функције

23

7. Ако је 0,13 2 xxx

fxf , израчунати 2f .

Решење:

32132

4123

21

21

421322

fffx

ffx

Завршни део часа: Домаћи задатак: (Поделити ученицима цедуље са задацима са пријемних испита на факултете)

1. Ако је 2212 x

xxxf , тада је xff једнако:

А) 12

xx

B) x1

C) 2x

D) 3

5x E) x

2. Ако је 14,1 xxgxxf онда је збир 45

45 fggf једнак:

А) 10 B) 52 C) 55 D) 55 E) 27

3. Ако је x

xxgx

xxf1

;1

, онда је 1;32 xxgfxfg једнако:

А) x5 B) x2 C) 1x

x D) x E)

1

2

xx

4. Одредити функцију xf из релације .12 xx

fxf

5. Нека је 2,35213 xx

xxf . Наћи 2f .

6. Ако је ,;;1

111 Nnxffxf

xxfxf nn да је вредност xf2005 за

2005x једнака: А) -1/2004 B) 2004 C) -1/2005 D) -2005/2004 E) 2005/2004

Функције

24

Функције

25

Редни број часа ______________ Сложена функција

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: развијање аналитичности и апстрактног мишљења, примена раније стечених знања Образовни задатак: увежбавање поступка налажења сложене функције из датих функција и обрнуто Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, самосталност ученика у решавању задатака Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање графика функције Кључне речи: сложена функција Активности наставника: подела задужења ученицима и праћење њиховог напредовања Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Подела задужења ученицима. Главни део часа: Ученици треба да самостално решавају задатке и процењују свој рад уз помоћ збирке задатака. Задаци број 56., 57.

Завршни део часа: Прокоментарисати на табли најкарактеристичније грешке. Домаћи задатак: Задаци 54, 55.

Функције

26

Функције

27

Редни број часа ______________ Инверзна функција

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину Образовни задатак: усвајање дефиниције и особина инверзних функција, цртање и читање њиховог графика и налажење њиховог аналитичког облика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљеност ученика за повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање информатичке писмености ученика Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања. Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова о инверзној функцији, разумевање графика функције Кључне речи: инверзна функција Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, извођење закључака уз помоћ ученика, израда задатака на табли Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Домаћи задатак: помоћу програма GeoGebra уз његово упутство нацртати график бар једне функције и њене инверзне функције Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити: Дефиниција: Уколико је функција RYXYXf ,;:

бијективна, онда има инверзну функцију XYf :1 такву да важи

xxffxff 11

Графици инверзних функција су симетрични у односу на праву xy . Главни део часа: Теорема: Инверзна функција је једнозначно одређена.

Квадратна функција 2xy није 1-1 функција на скупу R , па нема инверзну функцију. Због тога треба посматрати њену рестрикцију на интервалу ,0 где је 1-1, па има инверзну функцију.

Функције

28

Теорема: Ако је функција YX:f строго монотона и „на“ тада има инверзну функцију. Уколико има могућности уз помоћ неког програма нпр. Geogebra, нацртати графике функција

xyey x ln, .

Задаци:

1. Наћи инверзну функцију xf 1 функције 3,235 x

xxxf .

Решење: 1111

11 32652

35 xfxffx

ffxff , одакле добијамо

233633 111 xxfxxff . Коначно .3,3

231 xx

xf

2. Наћи инверзну функцију функције 2,2

31 xxxxf .

3. Од функција xxxh

xxxg

xxxf

23,

11,

5235

својој инверзној функцији једнаке

су: А) xf и xg B) све три C) ниједна D) само xf E) xf и xh

Задатак 62.а)Доказати да функција 2

xx eey има инверзну функцију и наћи њен

аналитички израз.

Функције

29

Решење:

12

442

012

212

22

2

1

1

11

1

1

11

xxxxe

xee

xe

e

xee

xxff

xf

xfxf

xfxf

xfxf

Једно решење као негативно не може бити прихваћено, па је

1ln

121

21

xxxf

xxe xf

Задатак 30.в) Наћи скуп вредности функције: 112

xxy Скуп вредности ове функције је домен

њене инверзне функције. Пошто је y

yx2

1, мора бити ,22,2 yy


Домаћи задатак: Задаци 58. и 59.

1. Наћи инверзне функције и нацртати њихове графике: а) x

y 11 б) xy 2

в) ),00,:(4 fxy г) )01(;1 2 xxy д) )10(;1 2 xxy

ђ)

xxx

xxy

x 4,241,

1,2

2. Наћи инверзне функције функција (када оне постоје):

52lg)(;1)(;1)(;32 3 32 xxfxxfxxfxxf

3. (62.б)Доказати да функција 2

xx eey нема инверзну функцију и наћи инверзну

функцију функције ,1,0,2

xx eey .

4. Одредити функцију која задовољава функционалну једначину:

1,1

111)

0,12)

xxx

fxfxб

xxx

fxfa

Функције

30

5. Одредити функције које задовољавају конјункцију:

xx

xgx

xfxxgxfб

xxgxfxxgxfа

11212212)

21212112) 2

6. Наћи скуп вредности функције: 23,

324 x

xxy .

Функције

31

Редни број часа ______________ Елементарне функције: линеарна, квадратна, степена – понављање

Тип часа: понављање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину, примена знања Образовни задатак: уочавање особина ових функција, оспособљавање ученика за цртање и читање графика функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљавање ученика за повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање информатичке писмености ученика Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова, разумевање графика функције Кључне речи: линеарна, квадратна функција, степена функција, график Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

У основне елементарне функције спадају константне функције Ra;ay , линеарна

(идентична) xy , експоненцијална xey и синусна xy sin . Елементарне функције су: -основне елементарне

-ако су g,f основне елементарне, онда су и 1f,gf,gf,fg,gf,gf елементарне

(уколико постоје) Применом коначног броја основних операција :,,, и коначно много композиција елементарних функција или формирањем инверзне функције, добијају се, такође, елементарне функције. Главни део часа: Алгебарске функције су функције које представљају композицију рационалних, степених са рационалним експонентом и четири основне рачунске операције. Трансцедентне функције су функције које нису рационалне. У трансцедентне функције спадају експоненцијална, логаритамска, тригонометријске,.... Функција nkxy зове се линеарна функција (Елементарна је xy ). k - коефицијент правца n -одсечак на y -оси

Функције

32

Задаци: Коришћењем графика линеарне функције решити: 1. Једначина Raax ,3 , има максималан број различитих реалних решења за све

вредности реалног параметра a које припадају: А) 3,0 B) 3,0 C) 0, D) ,3 E) 3,0

Функција облика cbxaxy 2 је квадратна функција. За 0a функција је конвексна, тј. има минимум, а за 0a функција је конкавна и има максимум.

Теме параболе израчунава се по формулама

abac

abT

44;

2);,(

2

.

Коришћењем графика функције решити задатке:

Задаци: 1. Наћи најмању вредност функције 64 2xxxf . Одговор: 2. (Пријемни за

Грађевински факултет 2012.)

2. Једначина Raaxx ,322 , има максималан број различитих реалних решења ако и

само ако вредности реалног параметра a припадају:

A) 4, B) 4,0 C) 0,4 D) , E) ,4

Функције

33

Степена функција је функција облика .; Qnxy n За 1n добија се линеарна, а за 2n квадратна функција. Слично и за остале парне n .

За 3n (и све непарне n ) 21n

1n


Домаћи задатак:

1. Колико решења има једначина 1123x . Одговор: 3.

2. Наћи број решења једначине .xxx 254 2 Одговор: 4.

3. Наћи број целобројних решења једначине 3132 xx . Одговор: 6.

Функције

34

Функције

35

Редни број часа ______________

Експоненцијална и логаритамска функција – понављање

Тип часа: понављање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину, оспособљавање ученика да уоче битне особине функција Образовни задатак: уочавање особина функција, цртање и читање њиховог графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљавање ученика за повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање информатичке културе ученика Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација појмова везаних за експоненцијалну и логаритамску функцију, разумевање графика функције Кључне речи: експоненцијална, логаритамска функција, график Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, израда задатака на табли Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла, рачунар Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Коментар домаћег задатка. Поновити дефиницију логаритма, домен и основне особине.

1,0,0;log aaxaxbx ba

Наћи домен функција xyxxyxy x 3log;6ln;32lg 2


Нацртати графике функција xyxyyyx

x

21log;ln;

21;2

Функције

36

Подсетити ученике да је

72,2;logln exx e Уочити инверзност логаритамске и експоненцијалне функције и симетричност њихових графика.

Задаци: 1. Број реалних решења једначине xxx 22 2 је:

A) 0 B) већи од 3 C) 1 D) 3 E) 2 2. У зависности од реалног параметра решити једначину ax24

3. Број решења једначине 9log10 xx је: А) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) већи од 3

Завршни део часа: Прокоментарисати и илустровати графиком функцију dcxbay Домаћи задатак: Задатак број 4. Помоћу програма GeoGebra, уз упутство, нацртати график бар једне од функција поновљених на часу.

Функције

37

Редни број часа ______________ Тригонометријске функције – понављање

Тип часа: понављање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину, развијање апстрактног мишљења Образовни задатак: уочавање особина функција, цртање и читање њиховог графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развој информатичке писмености ученика Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова. Разумевање графика функције Кључне речи: тригонометријска функција, график Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити које су основне тригонометријске функције.

xyxyxyxy ctg;tg;cos;sin Главни део часа: Нацртати графике функција и прокоментарисати особине, домен, парност, периодичност, нуле, знак, монотоност, ограниченост.

Функције

38

Задаци: Нацртати график и написати особине функције 3

3sin2 xy


Домаћи задатак: Задатак број 5.

Функције

39

Редни број часа ______________ Инверзне тригонометријске функције

Тип часа: понављање и продубљивање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијањеапстрактног мишљења, примена знања, оспособљавање за математичку аргументацију Образовни задатак: усвајање дефиниције и особина инверзних тригонометријских функција, оспособљавање ученика за цртање и читање њиховог графика, израчунавање вредности инверзних тригонометријских функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање информатичке писмености ученика Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање графика функције Кључне речи: аркус, инверзне тригонометријске функције Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, израда задатака и цртање графика функција на табли, извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Поновити: 62

1arcsin21

6sin

Главни део часа: Пошто тригонометријске функције 1,1: Rf xyxy cos;sin нису „1-1“, а ни „на“

посматрају се њихове рестрикције и то за xy sin на интервалу 1122

,,

(узима све вредности 11, ), за xy cos узима се рестрикција 110 ,, , за xy tg

рестрикција на интервалу ,2

,2

, а за xy ctg на интервалу

,,0 .

1,12

,2

arcsinsin yxyxxy

1,1)sin(arcsin2

,2

)arcsin(sin

yyy

xxx

Функције

40

Задаци:

1. Вредност израза 3arcctg3arctgsin је:

A) 0 B) 1 C) 3 D) 23

E) 21

2. Израчунати вредност израза 178arcsin

53arcsinsin .

3. Вредност израза 3arctg2arctg је једнака:

A) 4

B) 4

3 C)

4 D)

43

E) 0

4. Ако је x31arctg

21arctg онда је:

Функције

41

A) B) 46

x C) 3

x D) 34

x E) 23

x

5. Вредност израза 34arctg2

23sin је:

A) -7/25 B) 7/25 C) 3/5 D) 4/5 E) -9/25 6. Нацртати графике функција (најбоље би било користити рачунар)

)arcsin(sin);sin(arcsin xyxy .

Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци 6. и 7.

6x

Функције

42

Функције

43

Редни број часа ______________ Инверзне тригонометријске функције – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика да самостално изводе закључке, развијање логичког мишљења Образовни задатак: увежбаност у израчунавању вредности инверзних тригонометријских функција, оспособљавање ученика за цртање и читање њиховог графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијањеинформатичке писмености ученика Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање графика функције, прецизност језика Кључне речи: аркус, инверзне тригонометријске функције Активности наставника: постављање питања и извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Коментар домаћих задатака.


1. Израчунати:

33arcctg

33arctg;

23arccos

21arcsin;1arctg

;33arcctg;3arctg;1arctg;

21arccos;

21arcsin

2. Израчунати: 21sinarcsin;

21arcsinsin

3. Доказати да за 1xy важи xyyxyx

1arctgarctgarctg .

4. Израчунати )32tg(arcsin);3arcsin(sin

5. Наћи инверзну функцију функције 11lnarctg2

xxxf .

Завршни део часа: Питања ученика.

Функције

44

Функције

45


Монотоност и ограниченост функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, оспособљавање за примену знања Образовни задатак: оспособљавање ученика за правилно тумачење датих особина са графика функција и правилно дефинисање ових појмова Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности, схватање значаја повезивања знања Резултат часа: оспособљавање ученика за налажење нула и знака функција аналитички и графички Кључне речи: монотоност и ограниченост функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, увођење нових појмова и њихово дефинисање, израда цртежа на табли Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Монотонија –(грчки μονότονος) једноликост, једнообразност Које монотоно растуће функције ученици знају - експоненцијална, логаритамска,... Када је експоненцијална функција растућа, а када опадајућа? Које ограничене одоздо (одозго) функције су нам познате – експоненцијална, квадратна,... Навести у којим случајевима су функције ограничене одоздо (одозго). Уочити да је функција

xy sin ограничена (и одозго и одоздо).


Дефиниција: Функција је строго монотоно растућа на интервалу bа, уколико важи

212121 ,, xfxfxxbaxx

Функције

46

Дефиниција: Функција је строго монотоно опадајућа на интервалу bа, уколико важи


Функција која није монотона:

Дефиниција: Функција је монотоно растућа (неопадајућа) на интервалу bа, уколико важи


Дефиниција: Функција је монотоно опадајућа на интервалу bа, уколико важи

212121 ),(, xfxfxxbaxx

Задатак 44.в) Нека је 21 xx

0243

21

21212

22

2

1212

122112

22121

312

3212

xxxxx

xxxxxxxxxxxxyy

Значи, функција је строго растућа.

Функције

47

Дефиниција: Функција је ограничена одозго уколико важи MxfDxRM , где је D домен функције. Дефиниција: Функција је ограничена одоздо уколико важи mxfDxRm , где је D домен функције. Дефиниција: Функција је ограничена уколико важи MxfmDxRm,M .

Задатак 36.в) Функција је дефинисана за Rx 22

2

2

2

111

111

1 xxx

xxy , пошто је

11

10 2x, функција је ограничена тј. .10 y

Завршни део часа: Ученици треба да дефинишу монотоност и ограниченост функција. Домаћи задатак: Задаци 35.г), д) , 42.

Функције

48

Функције

49

Редни број часа ______________ Испитивање особина функција – вежбање, 2 часа

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални Методе рада: дијалошка, операцијска Циљ часа: усвајање знања потребних за наставак школовања, развијање апстрактног мишљења Образовни задатак: увежбаност у испитивању особина функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у дефинисању и изражавању, повезивање различитих функција по сличности особина Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности и систематичности Резултат часа: оспособљеност ученика за налажење особина функција аналитички и графички Кључне речи: домен, нуле, знак, парност, периодичност, монотоност, ограниченост функција Активности наставника: постављање питања која ће активирати раније стечена знања ученика, извођење закључака уз помоћ ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити дефиниције особина функције – домен, парност, периодичност, нуле, знак, ограниченост. Главни део часа: Првих осам задатака урадити на првом часу, а остале на другом. За домаћи поделити по три задатка по часу. 1. Заокружити тачна тврђења

А) xxRx 2cos1sin

B) xxx lnln,1

C) xx eеRx11

D) xxRx arctgarctg E) Ниједно од понуђених тврђења није тачно 2. Дате су функције xxyxyxyxyxyey x cos;sin;;1;; 2

653

42

321 А) Ограничене су следеће функције: B) Парне су следеће функције: C) Непарне су следеће функције: D) Периодичне су следеће функције: 3. Заокружити монотоно растуће функције на свом домену: А) xy 2sin

B) 32xy

Функције

50

C) xy arctg

D) x

y 1ln

E) xy31log

F) xy tg

4. Одредити највећу и најмању вредност функције 31xxf на сегменту 21, .

5. Наћи област дефинисаности функције 43ln

4 2

xxxf .

6. Дате су функције 22 ,100,05,0:;,,0: xxggxxfRf А) Да ли је функција f „1-1“ пресликавање? B) Да ли је функција g „1-1“ пресликавање? C) Да ли је функција g „на“ пресликавање? D) Да ли је функција f „на“ пресликавање? 7. Заокружити тачна тврђења:

А) 2

32

3sinarcsin

B) xxx 2,1

C) xxRx 3 3

D) xex xln,5 Е) Ниједно од претходних тврђења није тачно

8. Дата је функција 21log 2 x

xxxf

А) Одредити област дефинисаности функције. B) Решити једначину 1xf . C) Решити неједначину .xf 0 D) За које вредности параметра једначина има реална решења axxf 2log .

9. Скицирати графике функција:

)ln(2;3

2cos2;12;

log;sin23;1log;2sin

3,0,;0,;32

12

212

2

xyxyyxxy

xyxyxyxy

yxxyxxyxxy

x

x

10. Одредити област вредности следећих функција:

32;cossin;1

;112;cossin;arcsin

xxyxxy

xxy

xxyxxyxy

11. Нацртати графике функција xx eyey ln,ln и испитати да ли су једнаке. Завршни део часа: Коментар задатака. Домаћи задатак: Задаци 21. ж),22. б),26.е),36.а),39.г), 44.ђ)

Функције

51


Непрекидност функције (геометријски смисао). Гранична вредност функције.

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, способности генерализације, оспособљавање за математичку аргументацију Образовни задатак: усвајање дефиниције непрекидности функције Функционални задатак: развијање аналитичности, развијање информатичке културе ученика Васпитни задатак: развијање прецизности, систематичности и уредности Резултат часа: усвајање појма непрекидности функције Кључне речи: непрекидност, прекид Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, дефинисање појмова, цртање графика, испитивање последица трансформација Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа

Уводни део часа: Непрекидна функција се може нацртати једним потезом. Главни део часа: Вајерштрасова дефиниција непрекидности функције у тачки:

afxfaxAx00

Функције

52

Отклоњив прекид : Прекид прве врсте:

Прекид друге врсте (функција има вертикалну асимптоту):

Задаци: Поделити ученике на три групе. Свака група ради по два задатка.

1. Испитати непрекидност користећи график функција:

00

0,0,130,1

0,10,sin

2

2x

xxx

xfxxxx

xfxxxx

xf

2. Користећи график функције, одредити вредност параметра Ra , тако да функција буде непрекидна:

1311

1214

0230

2

2

2 x,axx,x

xfx,axx,xx

xfx,xxx,ax

xf


Поновити дефиницију непрекидности функције.

Функције

53

Редни број часа ______________ Гранична вредност функције. Лева и десна гранична вредност. Вертикална асимптота

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, развијање способности за употребу математичког језика, развијање способности за математичкуе аргументацију Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање граничне вредности функције, оспособљавање ученика да нађу вертикалне асимптоте Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности језика Васпитни задатак: схватање значаја правилне аргументације Резултат часа: разумевање појма вертикална асимптота, лева и десна гранична вредност и њихово налажење Кључне речи: лимес, вертикална асимптота, гранична вредност функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, прецизно дефинисање појмова, цртање графика, уочавање вертикалних асимптота Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Шта су непрекидне функције? Какве прекиде може имати функција? Главни део часа: Дефиниција: Ако је дата функција Ax,RA;RA:f 0 и ако важи

axfxxAx 0000

Кажемо да функција има граничну вредност (лимес) у тачки 0x и пишемо

axfxx 0

lim

Дефиниција: Број a је лева гранична вредност функције у тачки 0x , што пишемо

axfxx 0

lim , ако важи

axfxxxAx 0000

Дефиниција: Број a је десна гранична вредност функције у тачки 0x , што пишемо

axfxx 0

lim , ако важи

axfxxxAx 0000 Ако постоје и лева и десна гранична вредност функције у некој тачки и међусобно су једнаке, онда постоји и гранична вредност функције у тој тачки која је једнака тим граничним вредностима. Дефиниција: Нека је Ax,RA;RA:f 0 . Кажемо да је функција непрекидна у тачки

0x ако важи )()(lim 00

xfxfxx

.

Задатак:

Функције

54

Додефинисати )(af тако да функција буде непрекидна у тачки a .

3,13,5

,3.21,21,

,122

xxxx

xfaxxxx

xfa

Дефиниција: Ако је функција непрекидна за Ax , кажемо да је непрекидна на А. Дефиниција: Ако важи )()(lim 0

0

xfxfxx

, функција је непрекидна здесна.

Дефиниција: Ако важи )()(lim 00

xfxfxx

, функција је непрекидна слева.

Дефиниција: Права ax је вертикална асимптота функције xfy ако важи xfxf

axaxlimlim

Пример:

1. Функција x

y 1има вертикалну асимптоту .0x

2. Функција x

xxy 132 2 може имати вертикалну асимптоту

0x , пошто у тој тачки функција има прекид. Пошто је

01lim132lim;

01lim132lim

0

2

00

2

0 xxxx xxx

xxx

, закључујемо да је права

0x вертикална асимптота ове функције. Задаци: Одредити вертикалне асимптоте функција:

1. 6

22 xx

xf Решење: .2;3 xx

2. 12

3

xxxf Решење: Нема вертикалне асимптоте пошто је дефинисана Rx .

3. xxxf 3 Решење: Функција је дефинисана за ,10,1x , 0101 fff па функција нема вертикалне асимптоте.

4. 1

12

xxxf Решење: 1x

5.(89.б)xxxf

ln1ln1

Решење: Функција је дефинисана за ,11,0ee

x .

11

ln1

1ln1

limlim00

x

xxfxx

, па 0x није вертикална асимптота.

02lim;

02lim

11xfxf

ex

ex

Вертикална асимптота је .1e

x

Функције

55

Завршни део часа: Домаћи задатак: Одредити вертикалне асимптоте функција:

11;

28)(;

21;

1

23

2

3

2 xxxf

xxxf

xxxf

xxxf

Задатак 80.

Функције

56

Функције

57

Редни број часа ______________ Теореме о граничним вредностима функције. Гранична вредност рационалне

функције Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, оспособљавање за самостално закључивање Образовни задатак: усвајање особина граничних вредности и примена у задацима Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности и систематичности Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, разумевање особина граничних вредности функције Кључне речи: гранична вредност збира, разлике, производа, количника Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, прецизно дефинисање особина граничних вредности функција Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити дефиницију граничне вредности функције. Главни део часа: Ако постоје Rbabxgaxf

xxxx,;limlim

00

тада важи:

0;0;lim

limlim.3

limlimlim.2

limlimlim.1

0

0

0

000

000

bxgxg

xf

xgxf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

xx

xx

xx

xxxxxx

xxxxxx

важиако

Налажење граничних вредности:

Облик :

1.253632lim 2

2

xxxx

x

Решење: Скратићемо дати разломак са највећим степеном полинома из бројиоца и имениоца, а то је 2x (тј. упоредићемо све чланове са највећом бесконачношћу)

32

253

632lim

253632lim

2

2

2

2

xx

xxxxxx

xx, зато што је нпр. 03lim

xx

Функције

58

2. 1243

82lim 2 xxx

x Решење: 0

1243

82

lim1243

82lim

2

2

2

xx

xxxx

xxx

3. 93

542lim2

xxx

x Решење:

2

22

93

542lim

93542lim

xx

xxx

xxxx

4. xx

xxx 1

2lim 2

23

5. 4311532lim

xxxxx

x

Решење: Степен бројиоца је 4, па се разломак скраћује са 4x . У бројиоцу се свака заграда дели са x

32

3

11115132lim

311532lim 4

xxxxx

xxxxxx

Облик 00

:

1. 4

65lim 2

2

2 xxx

x

Решење: Задатак решавамо „отклањањем“ облика 00

, тј. скраћивањем разломка.

41

23lim

2223lim

465lim

222

2

2 xx

xxxx

xxx

xxx.

2. xx

xxx 2

2

1

12lim

Решење: 0

3. xx

xxx 3

2

1

12lim Решење: 0

4. 23

4lim2

2

2 xxx

x Решење: 6

5. xx

xxx 2

2

1 312lim Решење: 0

6. 2

42

lim2

2 xxx

x Решење: -4

Функције

59

7. 4

65lim 2

2

2 xxx

x Резултат:

41

Завршни део часа: Домаћи задатак:

;1

142lim.9;54

5322lim.8

;1

64lim.7;212132lim.6;

569lim.5

;6

364lim.4;4

37lim.3;15142lim.2;

562lim.1

2

3

2

3

2

2

2

2

23

2

2

2

2

xxx

xxxxx

xxxx

xxxx

xxx

xxxxx

xxx

xxxx

xx

xx

xxx

xxxx

;2

42

lim.15;11lim.14;

6324lim.13

;168

4lim.12;56

25lim.11;11lim.10

2

2

2

134

3

1

2

2

42

2

5

2

1

xxx

xx

xxxxx

xxxx

xxx

xx

xxx

xxx

Функције

60

Функције

61

Редни број часа ______________ Хоризонтална и коса асимптота функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, оспособљавање за примену знања, развијање способности за математичку аргументацију Образовни задатак: усвајање појмова хоризонталне и косе асимптоте, схватање обрасца за њихово налажење Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности Резултат часа: оспособљеност ученика за налажење хоризонталне и косе асимптоте Кључне речи: коса, хоризонтална асимптота Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и извођење обрасца за налажење хоризонталне и косе асимптоте Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поновити када функција има вертикалну асимптоту. Поновити да експоненцијална функција има хоризонталну асимптоту („леву“, односно у )

.0y Главни део часа: Дефиниција: Права by је хоризонтална асимптота функције xf ако важи

bxfbxfxxlimlim .

Пример:

Проверићемо да ли функција 82

522

2

xxxy има хоризонталне асимптоте.

21

82

521lim

8252lim

2

2

2

2

x

xxx

xxyxx

. Дакле права 21y је хоризонтална асимптота

функције.

Дефиниција: Права 0knkxy је коса асимптота функције xf ако важи

0lim nkxxfx

.

Функције

62

Теорема: Ако је 0knkxy коса асимптота функције xf , онда је

kxxfnxxfk

xxlim;lim .

Могуће је да функција има косу асимптоту само за x или x . Доказ: Пошто је, по дефиницији

0lim nkxxfx

xnk

xxfxnkxxf ~:/~

k

xxf

xnx

xlim0

Друга формула је такође директна последица дефиниције косе асимптоте.

Пример:

Наћи ћемо косу асимптоту функције 1

432

xxxy .

4144lim

143lim

143lim

111

431lim43lim1

43

lim

222

2

2

2

2

xx

xxxxxx

xxxn

x

xxxx

xxx

xxx

k

xxx

xxx

Дакле коса асимптота је права 4xy .

Задаци: Наћи хоризонталне и косе асимптоте функција:

11;

28)(;

21;

1

23

2

3

2 xxxf

xxxf

xxxf

xxxf

Завршни део часа: Закључити да рационална функција има хоризонталну асимптоту када је степен имениоца већи или једнак од степена бројиоца, а косу асимптоту када је степен бројиоца за један већи од степена имениоца. Домаћи задатак: Задатак 87. а), з), и), 88.г), 89.а)

функција која има косу асимптоту

Функције

63

Редни број часа ______________ Асимптоте функција – вежбање

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за процену сопственог знања и напредовања Образовни задатак: увежбаност у налажењу асимптота функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљавање за самостално решавање задатака Васпитни задатак: развијање способности за процену свог знања, развијање самопоуздања и жеље за напредовањем Резултат часа: увежбаност ученика у налажењу асимптота функција Кључне речи: функција, асимптота Активности наставника: вођење ученика кроз задатке и постепено повећавање захтева Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити када функција има вертикалну, хоризонталну и косу асимптоту. Поделити ученике у групе. Свака група налази асимптоте рационалне функције. Асимптоте експоненцијалне, ирационалне и логаритамске функције урадити на табли са целим одељењем. Главни део часа: Поделити ученике на три групе. Свака група ради по два задатка од првих 6. Након завршетка (око 15 минута) урадити један пример на табли. Остале задатке урадити фронтално. Наћи асимптоте функције:

1. x

xxy2

32

2. 12

432

xxxxf

3. 5112

432

2

xxxxxf

4. 252

32 xxxxf

5. 45

32 xx

xxf

6. 54

12 xx

y Резултат: 0y

7. Збирка 87.б) 3

34 12x

xxy Резултат: 12;0 xyx

Функције

64

9. Збирка 89.а)xe

xy 12

Резултат: 3;0 xyx

10. Збирка 90. xxxxy 22 1 Резултат: xy

xy;1

;;1

Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци: 88.г), и), 90.б)

Функције

65

Редни број часа ______________ Гранична вредност ирационалне функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења и способности генерализације, развијање аналитичности Образовни задатак: схватање поступка за налажење граничне вредности ирационалних функција (повезати са низовима) Функционални задатак: развијање аналитичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова, увежбаност у налажењу граничних вредности ирационалних функција Кључне речи: гранична вредност, ирационална функција Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, проналажење поступка за налажење граничних вредности ирационалних функција Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Задаци:

Облик :

1. 23lim

2

xxx

x Решење: 1

21

31lim

23lim

2

x

xx

xxxx

2. 121

31lim

21

31lim

23lim

2

xx

xx

xx

xx

xxx

xxx

3. 5

1lim2 xxx

x

Облик :

4. xxx

2lim Решење: Рационалисањем разломка добија се

Функције

66

0222lim

222lim

xxxx

xxxxxx

xx

5. xxx

22lim Решење: 0

6. xxx

2lim 2 Решење:

Решење: Треба обратити пажњу да x , па је у израз једнак

Облик 00

:

7. Збирка 67.е) xx

xx 2

2lim 22

Решење: Рационалисаћемо бројилац разломка

221

21lim

222lim

22

22lim

22lim

22222 xxxxxx

xx

xxx

xxx

xxxx

8. Збирка 67.з)27

225lim 33 xxx

x

Решење:

21081

2259333lim

225933225lim

225225

933225lim

27225lim

2323

2333

xxxxxx

xxxxxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xx

xx

9. Збирка 67.в) xx

x

11lim0

10. Збирка 67.ђ) 3

9lim9 x

xx


;234

9lim;11lim

;1lim;10lim;1lim

2

22323

222

xxxxxxxx

xxxxxxx

xx

xxx

;234

9lim;51lim;

22322lim;

11lim

2

23

3 33 32 xxxx

xx

xxxx

xxx

xxxx

Функције

67

Редни број часа ______________ Гранична вредност тригонометријских функција

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, индивидулани Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, примена раније стечених знања Образовни задатак: оспособљавање ученика за налажење граничних вредности тригонометријских функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљеност за повезивање градива различитих разреда Васпитни задатак: развијање аналитичности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: тригонометријске функције, лимес Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, помоћ ученицима при уочавању поступка за израчунавање граничних вредности тригонометријских функција Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Са слике се може закључити

1sincos

cos1

sin1

sin:/tgsin

xxx

xxx

xxxx

Пошто када 0x ,1cos x важи .1sinlim0 x

xx

Задаци:

1. Збирка 70.а) x

xx

3sinlim0

Решење: 33

3sinlim33

3sin3lim3sinlim000 x

xx

xx

xxxx

2. Збирка 70.г)

xx

x

tglim0

Решење: 1cos

1sinlimcossin

limtglim000 xx

xx

xx

xx

xxx

Функције

68

3.xx

x 4sin3sinlim

0

4. Збирка 70.ј) 20

cos1limx

xx

Решење:

21

2

2sin

lim21

44

2sin

lim22sin2

limcos1lim

2

02

2

02

2

020 x

x

x

x

x

x

xx

xxxx

5. Збирка 71.д)xxxx

x sincossincoslim

22

4

Решење:

6. Збирка 71.б)

xxx

x 2sin5sin7sinlim

0

Решење: 1cos

6coslimcossin2

257cos

257sin2

lim2sin

5sin7sinlim000 x

xxx

xxxx

xxx

xxxили

125

27...

2sin5sin

2sin7sinlim

0 xx

xx

x

Завршни део часа: Домаћи задатак: Задаци: 70.в), к), м), 71.в), з), и), г)

2sincoslimsincos

sincossincoslimsincossincoslim

44

22

4

xxxx

xxxxxxxx

xxx

Функције

69

Редни број часа ______________ Неке значајније граничне вредности ( број е )

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих разреда у јединствену целину Образовни задатак: повезивање граничне вредности низа са граничном вредности функције Функционални задатак: развијање аналитичности, повезивање градива различитих разреда Васпитни задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова Кључне речи: број e Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и повезивање са градивом трећег разреда (гранична вредност низа) Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћих задатака.

Поновити дефиницију броја e en

n

n

11lim


ex

x

x

11lim0

, или ex xx

11lim

Задаци: (Неодређеност облика 1 )

1. x

x x

231lim

Решење: 6

233

2

2

3

11lim

3

11lim31lim exxx

xx

x

x

x

x

x

x.

Задатак се може урадити и увођењем смене 3xt

2. 3

321lim

x

x x

3. x

x xx 2

23lim

Функције

70

Решење:

10210lim

22

55

2

222

52

11lim2

51lim2

52lim23lim

ee

xxxx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4. x

x xxxx

2312lim 2

2

5. Збирка 74.з) x

x xxxx

11lim 2

2

Граничне вредности које се своде на

0,11lim;1,0ln1lim

;11lim;11lnlim

00

00

kRkkxxaaa

xa

xe

xx

k

x

x

x

x

xx

1. Збирка 76.е) 1

lim1 x

eex

x

2. Збирка 76.ј) 20

coslim2

xxex

x

3. Збирка 76.м) 1lim1x

xex Решење: 1

11lim1lim

11

x

eexx

xx

x

4. xx

x

2ln2lnlim0


Домаћи задатак: Задаци: 73.д), з), 74.а),д), е), и), 76.з), н)

Функције

71

Редни број часа ______________ Граничне вредности – вежбање, 2 часа

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање градива, развијање аналитичког и логичког мишљења Образовни задатак: увежбаност у израчунавању граничне вредности функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање прецизности, схватање значаја повезивања раније стечених знања, развијање сарадње међу ученицима Резултат часа: разумевање и систематизација раније усвојених појмова Кључне речи: функција, гранична вредност функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, прецизно дефинисање појмова, цртање графика, уочавање последица трансформација. Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци. Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поделити ученике на групе. Свака група извлачи по један пример од сваког задатка. Главни део часа:

Први час:

Задаци: 1. 68.а), б), в), г) 2. 66.а), ђ), ж), л) 3. 67.а), б), д), ж) 4. 70.д), л), 71.а),б) 5. 74.б), в), г), ђ)

Други час:

У случају да ученици нису савладали граничне вредности, урадити неурађене примере у задацима 66.-76. Уколико је могуће урадити нешто захтевније примере:

1. 0

4 2limsin 5x

xx

2. x

e x

x

1lim2

0

3. x

ex

x sin1lim

0

Функције

72

4. 30

sin1tg1lim

xxx

x

5. 1

1sinlim1 x

xx

6. xx

x sin1

01lim

7. xxx ln

11

1lim1

8. xxxx

32lim

9. 1

2

22

11lim

x

x xx

10. x

xxx 2

5121lim0

11. xexx

11

1lim0

12. xxxx

x sintglim

0


Питања ученика и коментари грешака. Домаћи задатак: Задаци: 66.в),д), 67.г), и), 68.д), 69.а), д), 70.б) 71.е) 74.ж), 76.е)

Функције

73

Редни број часа ______________ Функције – систематизација

Тип часа: систематизација Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање знања из различитих у јединствену целину, оспособљавање ученика за процену сопственог знања и напредовања Образовни задатак: оспособљеност ученика за систематизацију појмова и поступака потребних за налажење граничне вредности функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљеност ученика за повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање сарадње међу ученицима, развијање свести о значају повезивања и систематизације знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова Кључне речи: гранична вредност, домен, парност Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, праћење напредовања ученика Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити особине функција, дефиницију граничне вредности функције. Поделити ученике на групе. Сви ученици раде прва три задатка и по два примера из 4. и 5. задатка. Главни део часа:

1. Ако је скуп функција f дефинисан на скупу реалних бројева R и

2/,2/,2sintg xxxf , онда је функција f : A) парна B) непарна C) ни парна ни непарна D) строго растућа E) строго опадајућа 2. Функција 76loglog 2

2562 xxxx је дефинисана за: A) 1x B) 21 x C) 42 x D) 54 x E) 3x

3. Целих бројева из интервала 20,20 за које је дефинисана функција

2343

12 xx

xxxf има: A) 36 B) 41 C) 32 D) 35 E) 37

4. Израчунати граничне вредности:

x

xx

x

xxx

xxx

xxxx

xx

xxxx

xxxxxx

xxxxx

7345lim;

7224210lim;

2432lim;

151410273lim

;sinsinlim;5353lim;34

93215lim

2

22

3

0

223

5. Наћи асимптоте функција:

Функције

74

;

41;

11;

sin1;

;114;1

;2

32

22

1

2

3

2

2

xxy

xxy

xyey

xxy

xxy

xxxxy

x

Завршни део часа: Оцењивање ученика. Домаћи задатак: Задаци: 8., 24.а), 26.ђ), 27.д), 30.г)36.ђ), 39.в), д),57.е), 66.з), 70.и)

Извод функције

75

2. Извод функције

Прираштај функције. Извод функције (проблем тангенте и брзине). Основне теореме о изводу, изводи елементарних функција.

Диференцијал и његова примена код апроксимација функција. Испитивање функција (уз примену извода); график функције.

Редни број часа ______________ Прираштај функције. Проблем тангенте и брзине. Дефиниција првог извода, леви и

десни извод

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: стицање знања неопходних за наставак школовања, примена знања Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање и разумевање првог извода функције Функционални задатак: развијање аналитичности и логичког мишљења Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања знања Резултат часа: разумевање појма првог извода функције и усвајања његове дефиниције Кључне речи: први извод функције Активности наставника: увођење новог појма уз помоћ графика функције, постављање питања ученицима и формулисање дефиниција и теорема Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Шта је средња брзина? Дефиниција: Израз 0xxx назива се прираштај независно променљиве у тачки 0x , а

00 xfxxfy се назива прираштај функције у тачки 0x . Уколико функција представља промену пута у функцији,

времена количник xy

представља средњу брзину кретања за

временски интервал x . Главни део часа: Дефиниција: Ако је xsy једначина пређеног пута неке тачке, онда је тренутна брзина једнака

xxsxxs

xvx

00

00 lim


76

Тангента криве:

Количник xy

, такође, представља коефицијент правца сечице АВ криве.

Уколико тачка В „клизи“ по кривој ка тачки А у граничном случају, сечица АВ постаће тангента криве у

тачки А. Количник x

xfxxfkx

00

0lim је коефицијент правца дате тангенте.

Једначина тангенте у тачки 00 y,xA је, дакле, 00 xxkyy .


Дефиниција: Нека је дата функција xfy дефинисана у некој околини тачке 0x . Ако постоји

xxfxxf

x

00

0lim , зове се први извод функције xfy у тачки 0x и означава 0xf ' . тј.

xxfxxf

xfx

def00

00' lim .

За функцију која има први извод у некој тачки, каже се да је диференцијабилна у тој тачки. За произвољну тачку x први извод је

xxfxxfxf

x 0

' lim .

Уколико не постоји дата гранична вредност, функција није диференцијабилна у тој тачки, али је могуће

да у тој тачки има леви x

xfxxfxf

x

00

0

' lim или десни x

xfxxfxf

x

00

0

' lim

извод. Функција са слике није диференцијабилна у тачки 0x , али у тој тачки има леви и десни извод. Уколико постоје леви и десни извод и међусобно су једнаки, тада постоји и извод у тој тачки

000 xfxfxf


77

Теорема: Ако је функција у некој тачки диференцијабилна, онда је у тој тачки непрекидна.

Обрнуто тврђење не важи. Нпр. функција xy је

непрекидна у тачки 0x , али у тој тачки није диференцијабилна.

Наћи ћемо изводе неких елементарних функција по дефиницији.

Задаци:

1. Наћи извод по дефиницији функције .constC;Cy

Решење: 0lim0 x

CCxfx

.

2. xxf

Решење:

1lim0 x

xxxxfx

.

3. 2xxf .

Решење:

xx

xxxx

xxxxxx

xxxxfxxx

22lim2limlim0

222

0

22

0

4. xexf .

Решење:

xxx

x

xxx

xe

xee

xeexf 1limlim

00

5. Одредити, по дефиницији, извод функције 53xxf .

Решење:

35353lim0 x

xxxxfx

.


Поновити дефиницију првог извода функције.

Домаћи задатак: 118.


78


79

Редни број часа ______________ Изводи по дефиницији

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, оспособљеност ученика за математичку аргументацију Образовни задатак: правилно дефинисање и употреба дефиниције првог извода функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности језика, неговање уредности Резултат часа: оспособљеност ученика да, користећи дефиницију, нађу први извод функције Кључне речи: први извод функције Активности наставника: избор задатака и помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа

Уводни део часа: Поновити дефиницију првог извода функције и њено значење. Поделити ученике у три групе. Свака група ради по четири задатка. Главни део часа: Наћи извод по дефиницији:

xyeyxyxyxyxxxf

xxxfxxf

xxf

xxxfx

xfxxfxxfxxf

x ;;ln;cos;sin

;323;1)(;42;

321

;532;1;12;;43

23

23


Урадити преостале задатке на табли. Уколико је потребно урадити и задатке у којима су ученици највише грешили.

Ученици треба да припреме списак елементарних функција чије изводе треба израчунати.


80


81

Редни број часа ______________ Таблица извода елементарних функција

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: систематизација усвојених појмова Образовни задатак: формирање таблице извода елементарних функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и систематизација раније усвојених појмова Кључне речи: први извод функције Активности наставника: помоћ ученицима у формирању таблице првог извода функције Активности ученика: формирање таблице првог извода Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Прављење списка елементарних функција. Главни део часа: Ученици треба да направе таблицу извода елементарних функција:

xf xf ' Домен

C 0 x 1

nx , Rn 1nnx

x x2

1 0x

xa , 1,0 aa aax ln Rx xe xe

xln x1

0x

xalog ax ln

1 1,0 aa ; 0x

xsin xcos xcos xsin

xtg x2cos

1 Zkkx ,

2

xctg x2sin

1 Zkkx ,


82


Уколико буде времена урадити неколико примера из збирке применом таблице и извода. Домаћи задатак: Ученици треба на хамеру да направе пано са таблицом извода.


83

Редни број часа ______________ Основне теореме о изводу и примена

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: усвајање градива неопходног за наставак школовања, оспособљавање за математичку аргументацију Образовни задатак: усвајање и доказ основних правила диференцирања и њихова примена Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање апстрактног мишљења Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности Резултат часа: усвајање правила диференцирања Кључне речи: правила диференцирања Активности наставника: формулисање правила и помоћ ученицима у њиховом доказивању Активности ученика: доказивање правила диференцирања и њихова примена на једноставнијим примерима Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа

Уводни део часа: Поновити таблицу првих извода функције. Главни део часа: Ако постоје xgxf , онда важи:

0;

.;

2 xgxg

xfxgxgxfxgxf

xfxgxgxfxgxf

constCxfCxCf

xgxfxgxf

Доказ (ученици):

xgxfx

xgxxgx

xfxxfx

xgxfxxgxxfxgxf

x

x

0

0

lim

...lim

xfCx

xfxxfCx

xCfxxCfxCfxx 00

limlim


84

Задаци: Наћи извод функције:

1. 0;3 xxxxy Решење: 3 232

35

61

2112

1

31

21

35

35 xxyxxxxxy

2. 0;23 2

3 xxxx

xy

3. 0;435 332 xxxx

xy

4. 0;52 343

xxxxxxy

5. xexxy 32

Решење: Извод ћемо наћи као извод производа

333233 2222 xxexxeexexxexxy xxxxx

6. Zkkxxxxy ,2

12;tg922

7. 0;ln43 23 xxxxy

8. xxxy sin723

9. Zkkxx

xy ,2;cos1

Решење: Извод ћемо наћи користећи формулу за извод количника

22 cos1sincos1

cos1cos1cos1

xxxx

xxxxxy

Наћи извод домен и први извод следећих функција у тачкама у којима постоји:

10.1

13

2

xxxy

11. 11

x

x

eey

12. xxy

tg1sin2


Означавање за извод које користимо је Лагранжово, а користи се и Лајбницово

xfdxdx

dxdf

dxdy );(;

Домаћи задатак: Задаци: 125, 128.


85

Редни број часа ______________ Извод елементарних функција – вежбање, 2 часа

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: увежбаност ученика у примени знања Образовни задатак: оспособљеност ученика да самостално нађу први извод функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да нађу први извод функције Кључне речи: први извод функције Активности наставника: избор задатака и помоћ ученицима у њиховом решавању, подела ученика на групе и координација рада Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа

Уводни део часа: Поновити таблицу извода и правила диференцирања. Подела ученика у групе. Свака група бира по један задатак из сваке од шест група (редова)из првог задатка и по још два од преосталих задатака. Другог часа урадити на табли задатке на којима су ученици најчешће грешили. Главни део часа: Задаци :

Наћи извод функције:

;1ln1ln.25;

cossincossin.24;1.23;

41.22;

1.21

;1

.20;arctg1.19;sin.18;ln.17;.16

;1253.15;arccosarcsin.14;arctg.13;ln32.12

;log.11;ln5.10;sinln2.9;cos3sin2.8

;ln2124.7;ln26.6;.5;3.4

;123252.3;6124

71.2;53

21.1

2

2

2

3

223

2222

3523 2

2455724

xxy

xxxxy

xxy

xxy

xxy

xxyxxyxeyxxyexy

xxxyxxyxxyxyexyexyxxyxxy

xxxyxxyxxyxy

xxxyxxxyxxy

xx

x

xx


86

2. Израчунати: 10 f,f ако је 11 22 xxxxxf .

3. Израчунати 220 fff ако је .xxxf

12

4. Доказати да је 011xx

fxfxf ако је .ln xxf

5. Доказати да је 1002 ffxfxf ако је .exf x

6. Доказати да је 6

2063

2 xffxfxf ако је .cos xxf

7. Решити неједначину xgxf ако је

а) 23;2 23 xxxgxxxf

б) .2ln2

;322

3423 xxxgxxxf

в) .1ln;5ln xxgxxxf


Коментар најкарактеристичнијих и најчешћих грешака. Домаћи задатак: Задаци 126. и 129.


87

Редни број часа ______________ Извод инверзне функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, усвајање знања неопходних за наставак школовања Образовни задатак: усвајање правила за извод инверзне функције и њихова примена Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности Резултат часа: разумевање и примена извода инверзне функције Кључне речи: извод инверзне функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, формулација и доказ теорема Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Јован Д. Кечкић: Математика са збирком задатака за IV разред гимназије Уводни део часа: Поновити дефиницију првог извода функције. Шта је инверзна функција? xxff 1 Главни део часа: Теорема: Нека је xf 1 инверзна функција функције xf . Ако је функција xf диференцијабилна

у тачки xf 1 и ако важи 01 xff , тада је функција xf 1 диференцијабилна у тачки x и важи једнакост

xffxf 1

1 1.

Доказ: За инверзну функцију важи xxff 1 , односно xxxxff 1

xffxfxxf

xffxxffxfxxf

xxx

xxxxfxxf

xxfxxfxf

xx

xx

1

11

110

11

0

11

0

11

0

1

1))(())((

1lim1lim

limlim

.

Пример: 1. xxfxxf arctg)(;tg 1

x

x

x arctgcos

arctgcos11arctg 2

2

yy

yxxy

2tg11cos

tgarctg


88

222

11

arctgtg11arctgcos

xxx

2. xxfxxf arcsin)(;sin 1

22 11

arcsinsin1

1arcsincos

1

arcsinsin

1arcsinxxxx

x

xarctg 21

1x

Rx

xarcctg 21

1x

Rx

xarcsin 21

1

x 1x

xarccos 21

1

x 1x

Задатак 131.


Питања ученика.


89

Редни број часа ______________ Извод сложене функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, развијање способности математичке аргументације Образовни задатак: усвајање извода сложене функције и примена на задатке Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности Резултат часа: разумевање извода сложене функције и оспособљеност за примену Кључне речи: извод сложене функције Активности наставника: формулација и доказ теореме, избор задатака Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци. Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Направити разлику између елементарних и сложених функција xxyxy 2sin,sin 2 . Главни део часа:

Теорема: Нека су дате функције xg,xf и нека постоје функције xgxf ',' . Ако је xgfxF сложена функција, тада важи

xgxgfxF ''' .

Доказ: По дефиницији извода

xgxgfx

xgxxgxgxxg

xgfxxgfx

xgfxxgfx

xFxxFxF

x

xx

0

00

lim

limlim

У Лајбницовој нотацији dxdu

dudy

dxdy

.

Задаци:

Наћи извод сложене функције на њеној области дефинисаности:

1. 1,1;11ln x

xxxf .

Решење:


90

12

12

111

11

11111

11

11

11

1

22

2

2

xx

xxx

xx

xxxxx

xx

xx

xx

xf

2. xxy

11ln

3. xy 2sin

4. 62 32xy

5. xxxy coslntg21tg

41 24

6. 2

2

11

xxy

Решење:

42222

2

22

22

2

2

22

2222

2

2

2

2

2

2

11

21

411

21

11212

11

21

11111

11

21

11

112

1'

xxx

xx

xx

xxxxx

xx

xxxxx

xx

xx

xx

y

7. 232

4 xxexf

9. Ако је 1ln 2xxxf израчунати 3'f


Домаћи задатак: Задаци: 132, 147, 148. и 153.


91

Редни број часа ______________ Извод сложене функције – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: увежбаност ученика у примени стечених знања Образовни задатак: оспособљеност ученика за налажење извода сложене функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање апстрактног мишљења Васпитни задатак: схватање значаја примене раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да самостално нађу извод сложене функције Кључне речи: извод сложене функције Активности наставника: избор задатака и помоћ ученицима у њиховој изради, подела ученика на групе и координација међу њима Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити како се налази извод сложене функције.

xgxgfxF ''' Подела ученика на групе. Поделити ученике на три групе (нпр.по редовима). Свака група изабере по три задатка (од сваког по један). Главни део часа: Задаци: Наћи извод сложене функције на њеној области дефинисаности:

22arcsin.11;arcsin1.10;

sin1sin1ln.9;sin.8

;2

12ln.7;2

12ln.6);4ln(.5

;11ln.4;

11ln.3;

11.2;

23.1

22

222

2

2

2

2

2

2

2

xyxxyxxyxy

xxy

xxyxxy

xxxxy

xxy

xxxxy

xxy


Урадити по један задатак из сваке групе на табли. Домаћи задатак: Задаци: 133, 139, 145, 154. и 155.


92


93

Редни број часа ______________ Логаритамски извод и извод имплицитно задате функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: схватање поступка за налажење извода имплицитно задате функције и логаритамског извода Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да нађу извод имплицитно задате функције и да примене логаритам за налажење извода функције Кључне речи: имплицитно задата функција, логаритамски извод Активности наставника: израда примера на табли, избор задатака и помоћ ученицима при њиховој изради Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Функција може бити задата експлицитно, тј. у облику xfy или имплицитно, тј. у облику 0, yxf .

Пример:

xxy 22 је пример експлицитно задате функције, а 053xy је имплицитно задата функција.


Извод имплицитно задате функције

Задаци: Наћи извод имплицитно задатих кривих:

1. 422 yx Решење: 0;'0'22 yyxyyyx

2. 0,0;22 xppxy Решење: 0;'2'2 xxpypyy

3. 62 22 yx Решење: 0;2'0'24 yyxyyyx

4. 142 xy

5. 7294 22 yx


94

Задатак: Којом брзином ће опадати ниво течности у вертикалном цилиндричном резервоару ако течност истиче брзином од 3000 литара у минути?

Решење: Полупречник резервоара је константан. Запремина течности једнака је hrV 2 . Пошто и запремина и висина течности ( h ) зависе од протеклог времена, можемо записати thrtV 2 . Користећи дефиницију извода функције запремине као однос промене запремине и промене времена, можемо записати 3000tV (негативан извод, пошто се запремина смањује).

30002 thrV , па је однос промене висине и промене времена 2

3000r

th .

Уколико је могуће искористити запис dtdhr

dtdV 2

Логаритамски извод

Ако је скуп вредности функције xfy скуп позитивних реалних бројева, тада је, по дефиницији

логаритма, xfey ln

Уколико нађемо извод функције у овом облику добијамо '''ln' lnln xfxfxfxfexf xf

Некада је лакше наћи извод 'ln xf него извод функције.

Задаци:

Наћи извод функције:

1. xxy

Решење: xxyxy x lnlnlnln . Диференцирањем ове једнакости добијамо

xxxyxyxyy

ln1ln11ln1.

2. 2xxy

3. 22 xy

4. xxy cossin

5. xxy ln

6. xxy sin

Решење: xxxy x lnsinlnln sin . Диференцирањем ове једнакости добијамо

x

xxxxyx

xxxyy

x 1sinlncos1sinlncos1 sin


Домаћи задатак: Задаци: 165.б), г)


95

Редни број часа ______________ Други извод; изводи вишег реда

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: усвајање знања неопходних за наставак школовања, повезивање знања Образовни задатак: оспобљеност ученика да нађу други, трећи,... извод функције Функционални задатак: развијање свести о значају примене знања Васпитни задатак: развијање самопоуздања и мотивације ученика Резултат часа: разумевање и успешно налажење извода вишег реда Кључне речи: други извод, изводи вишег реда Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, избор задатака и помоћ ученицима у њиховом решавању Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа

Уводни део часа: Анализа домаћег задатка и, уколико има потребе, израда задатак који нису решени на претходном часу. Главни део часа:

Дефиниција: Други извод функције xf , у ознаци xf '' је '''' xfxf (први извод првог

извода).

Уопштено n извод функције је 'nn xfxf 1

Ознаке за изводе у Лагранжовој нотацији су ,...,,, 4fffff IV

У Лајбницовој нотацији ознаке за други извод је dxdy

dxd

dxyd2

2

Задаци:

1. Наћи други извод функције:

а) 2xxey

б) xy 2sin

в) 311x

y

г) xxy ln1 2


96

д) 622 xxy

ђ) x

xxy2

2 11ln1

2. (Задатак 170.а))Доказати да функција xey x sin задовољава једначину

022 yyy

3. (Задатак 170.б))Доказати да функција 22 xxy задовољава једначину .yy 013

4. Наћи трећи извод функције:

а) 683 2 xxy

б) xxy ln3

5. Наћи n ти извод функција: xyx

yey x ln).172;1

1);) 2 fba

Решење:

xnnnxxxx eyeyeyeyeya 22222 21...8;4;2)

6. Наћи други извод имплицитно задате криве .yx 122

Решење: 0222;022 yyyyyyx


За домаћи задатак дати задатке који нису урађени на часу.


97

Редни број часа ______________ Изводи вишег реда – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког и апстрактног мишљења, оспособљавање ученика за самосталан рад Образовни задатак: увежбаност у налажењу извода вишег реда функције Функционални задатак: развијање аналитичности, развијање концентрације Васпитни задатак: развијање прецизности и уредности Резултат часа: разумевање и налажење другог и виших извода функције Кључне речи: други извод, изводи вишег реда Активности наставника: избор задатака и помоћ при њиховом решавању Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: 1. Доказати да функција xey x cos задовољава једначину 044 yy . 2. Наћи трећи извод функција:

2

;ln;16;135 3423 xeyxxyxxyxxxy

3. Наћи n ти извод функције: xnxn exyeyxyx

yxy ;;2ln;1

1, 2

4. Наћи 0000 f,f,f,f ако је:

А) xexf x sin

Б) 204122424 432 xxxxexf x

5. Дате су функције xxxxgxxxf 42

33

;3

2 232

3

. Одредити све реалне вредности

x за које је тачна неједнакост .1xgxf

6. Дата је функција Rb,a,bxaxxxf 123 .

а) Одредити реалне бројеве b,a тако да важи 41121 ff

б) За добијене вредности b,a одредити .1

lim1 x

xfx

в) Решити систем неједначина .xfxf0


Домаћи задатак: Задаци: 167. б), в), д), л), 168., 170.в), 172.ђ)

За наредни час ученици морају да имају калкулатор.


98


99

Редни број часа ______________ Диференцијал и његова примена код апроксимације функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: прихватање математике као корисног алата, оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: разумевање и усвајање појма диференцијала и његова примена на апроксимације функција Функционални задатак: развијање аналитичности Васпитни задатак: схватање значаја изучавања и примене математике Резултат часа: оспособљеност ученика да примене диференцијал за апроксимацију функције у једноставнијим примерима Кључне речи: диференцијал, апроксимација функције Активности наставника: увођење појма диференцијала, исписивање теорема и цртање слика на табли, избор задатака и помоћ у њиховом решавању Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла, калкулатор Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити дефиницију првог извода на графику функције. Главни део часа: Дефиниција: Ако функција xfy у некој тачки x има први извод, онда израз f x x зовемо

диференцијал дате функције у тачки x . Диференцијал функције се означава са dy , па можемо написати:

xxfdy '

Ако је xy , добијамо да је dxx , па дата формула постаје dxxfdy ' . Одавде следи да је

xfdxdy ' (Лајбницова ознака за извод функције).

Геометријска интерпретација диференцијала:

ydy

x


100

За довољно мало x важи да је dyy . Пошто је dx линеаран (види слику), лакше је радити са њим. Теорема:

dxxfxfgxdfxfgdzxfgz

gg

dgfgdfgfd

dgfgdffgddgdfgfd

''

2

.4

0;.3

.2.1

Уочити да су правила за диференцијал последица правила за извод.

Може се узети да је dyy (видети слику, када 0x )

y f x x f x f x x

Ова формула се користи за апроксимацију (приближно израчунавање) функције.

Користићемо је у облику xxfxfxxf .

Задаци:

Коришћењем dyy израчунати:

1. 003,1arctg

Решење:

xx

xxxxx

xxx 22 11arctgarctg

11arctgarctg

како је 00301 ,x;x , добијамо 787,0003,021

4003,1arctg

2. 61sin

3. 31cos

4. 3 031,

5. 0021,

6. 120;5;3,27;02,4 3

7. Ако 0x доказати да важи Nnnxxxxxx n ,11;arctg;sin


Домаћи задатак: Задатак 284.


101

Редни број часа ______________ Тангента и нормала у датој тачки криве

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање способности закључивања и способности сачињавања математичког модела Образовни задатак: оспособљеност ученика да нађу једначину тангенте и нормале криве у датој тачки применом ранијих знања о изводу Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих знања Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања, схватање значаја могућности примене знања Резултат часа: оспособљеност ученика да самостално нађу тангенту и нормалу криве за различите функције. Кључне речи: тангента криве, нормала криве Активности наставника: извођење једначина тангенте и нормале, цртање графика, избор задатака и помоћ при њиховом решавању Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити једначину праве кроз једну или две дате тачке, као и услов паралелности и нормалности правих. Поновити дефиницију извода криве у тачки. Поновити формулу за угао између две праве. Главни део часа: Тангента криве

Количник xy

представља коефицијент правца

сечице криве АВ. Уколико тачка В „клизи“ по кривој ка тачки А у граничном случају, сечица АВ постаће тангента криве у тачки А. Количник

xxfxxfk

x

00

0lim је коефицијент

правца дате тангенте.

Једначина тангенте криве у тачки 00 y,xA је, дакле,

000 xxxfyy .


102

Уколико се искористи услов нормалности две праве )1(1

2 kk , добија се једначина нормале криве у

датој тачки:

00

01 xxxf

yy

Задаци: Написати једначину тангенте и нормале на криву у датој тачки:

1. )11,3(;542 2 Axxy

2. )4,2(;1

62 A

xxy

3. )43,

3(;sin 2 Axy

4. Одредити тачке у којима је тангента криве 4123 xxy паралелна са x осом. Угао под којим се секу криве

Угао између две криве је угао између њихових тангенти у пресечној тачки те две криве. Пример: Наћи угао под којим се секу криве 32 76; xyxy . Решење: Пресечна тачка кривих је тачка (1,1), а тангенте кривих у тој тачки су редом

23

21;12 xyxy . Пошто праве испуњавају услов нормалности криве се секу под

углом од 90°.

Задаци: Наћи угао под којим се секу криве: 1. 124;8 22 yxxy

2. 12;6 2 yxxy


Домаћи задатак: Задаци: 175.г), ж), 181, 183, 184.


103

Редни број часа ______________ Тангента и нормала криве – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: примена стечених знања о тангенти и нормали криве у различитим примерима Функционални задатак: оспособљеност за процену сопственог знања и напредовања Васпитни задатак: развијање способности самопроцене, вршњачка помоћ у учењу Резултат часа: оспособљеност ученика да самостално примене знања о тангенти и нормали Кључне речи: тангента, нормала криве Активности наставника: избор задатака, подела ученика на групе и координација рада у групи и између група Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити једначину тангенте и нормале криве. Подела ученика у три групе. Главни део часа: Прва група:

1. Одредити једначину тангенте криве 232 2 xxy у тачки ).,2( yA

2. Одредити тангенте криве 22 23 xxxy које су паралелне са правом 02847 yx .

3. Одредити једначину тангенте параболе 742 xxy која је нормална на праву одређену координатним почетком и теменом дате параболе.

4. Наћи угао под којим се секу криве .; 22 xyxy Скицирати график.

5. Наћи угао под којим се секу крива xey и права .xy 1 Друга група:

1. Одредити једначину тангенте криве 232 xxy у тачки ).2,0(xA

2. Одредити тангенте криве 53 23 xxy које су нормалне на праву 0162 yx .

3. Одредити тачке у којима је тангента криве 13 23 xxy паралелна са апсцисном осом. 4. Под којим углом крива xy ln сече x осу?

5. Наћи угао под којим се секу криве x

yxy 1; . Скицирати график.


104

Трећа група:

1. Одредити једначину тангенте криве 232 2 xxy у тачки ).,2( yA

2. У којој тачки параболе 372 xxy је тангента паралелна са правом ?xy 25

3. Одредити тачке у којима је тангента криве 12 23 xxy паралелна са x осом.

4. Наћи оштар угао под којим се секу криве x

yxy 1; . Скицирати график.

5. Одредити вредност параметра a , тако да график функције 4

3xaxxf сече x осу под

углом од 45°.


Прокоментарисати задатке и најчешће грешке. За домаћи задатак ученици треба да ураде задатке које нису урадили на часу. Бонус задатак: (Задатак са матурског испита у Русији):На цртежу је приказан график функције

xf . На основу података са слике наћи вредност извода функције за .3x


105

Редни број часа ______________ Ролова , Лагранжева (геометријско тумачење) и Лопиталова теорема

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, развијање способности математичке аргументације Образовни задатак: схватање Ролове, Лагранжове и Лопиталове теореме и уочавање могућности њихове примене Функционални задатак: развијање аналитичности Васпитни задатак: развијање жеље за проширивањем знања Резултат часа: разумевање теорема Кључне речи: извод Активности наставника: формулација и објашњење теорема Активности ученика: праћење доказа теорема, израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Миодраг Петковић, Љиљана Петковић: Математички времеплов Уводни део часа: Поновити шта значи да је функција диференцијабилна. Шта је коефицијент правца тангенте у некој тачки функције? Када је тангента паралелна са неком правом (х-осом)?

Главни део часа: Ролова теорема: Ако је f реална функција, непрекидна на затвореном интервалу [a, b], диференцијабилна на отвореном интервалу (a, b), и ако је f(a) = f(b), тада постоји тачка c из отвореног интервала (a, b), таква да је f′(c) = 0. Први познати формални доказ понудио је Михаел Рол (француски математичар) 1691.

График функције представља горњи полукруг са центром у координатном почетку. Постоји тачка где је извод нула.

bfaf

bca


106

Ако посматрамо функцију 11,x;xxf . На њу се не може применити Ролова теорема пошто функција није диференцијабилна у нули. Овде се може генерализовати теорема са левим и десним изводом. (није неопходно)

Лагранжова теорема ( Joseph-Louis Lagrange ( 1736 – 1813), француско- пруски математичар и астроном) (теорема о средњој вредности): Ако је функција f непрекидна на затвореном интервалу [a, b], и на отвореном интервалу (a, b),

онда постоји тачка c, из отвореног интервала (a, b), таква да је:

cf

abafbf

Теорема (Лопиталова): Нека су функције 0,, xgxgxf диференцијабилне у некој околини тачкеa , осим, можда, у самој тачки a . Ако је 0limlim xgxf

axax или xgxf

axaxlimlim и

ако постоји xgxf

axlim , тада

xgxf

xgxf

axaxlimlim (у некој околини тачке a ).

a може бити једнако Лопиталова теорема се често користи приликом одређивања неких граничних вредности функције.

L’Hospital, Guillaume Francois Antoine de (1661.-1704.), француски математичар. Интересантно је да је овај резултат Лопиталу продао Јохан Бернули. Верује се да је правило дело Јохана Бернулија, пошто је Лопитал, који је био племић плаћао Бернулију 300 франака годишње, да га обавештава о открићима на пољу анализе, и да му помогне у решавању проблема. Међу овим проблемима је био лимес неодређених облика. Када је Лопитал објавио књигу, дао је заслуге Бернулију, и не желећи да преузме заслуге за било шта у књизи, рад је објавио анонимно. Бернули, који је био врло љубоморан, је тврдио да је он стваралац целокупног дела, и до скора се веровало да је тако. Па ипак, правило је названо по Лопиталу, који никад није ни тврдио да га је измислио.

Задаци:

Испитати да ли су испуњени услови и применом Лопиталове теореме, наћи следеће граничне вредности функције:

1. (192.в)11lim 34

23

1 xxxxxx

x

Решење:

061226lim

134123lim

11lim 2123

2

134

23

1 xxx

xxxx

xxxxxx

xxx

2. 11lim 3

2

1 xx

x

а bc

xfy


107

3. 30

sinlimx

xxx

4. 20

cos1limx

xx

5. 30

arctglimx

xxx

6. xx ex

3

3

lim

7. 30

sinlimx

xxx

8. xxx

lnlim0

Решење: Дату граничну вредност написаћемо у облику


Домаћи задатак: Задаци: 192, 193, 195.

0lim1

1

lim1

lnlim0

2

00x

x

x

x

xxxx


108


109

Редни број часа ______________ Интервали монотоности и екстремне вредности функције (применом извода)

Тип часа: oбрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: оспособљавање ученика за разумевање и примену поступка за налажење интервала монотоности и екстремних вредности функције Функционални задатак: развијање способности за примену знања и схватање значаја примене стечених знања Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања раније стечених знања, развијање свести о могућностима примене стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да разумеју поступак испитивања монотоности функције Кључне речи: монотоност, екстремне вредности функције Активности наставника: формулација теорема, избор примера, постављање питања ученицима Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити Ролову теорему. Ако постоји тангента која је паралелна са x -осом онда функција може да има екстремну вредност – закључити. Главни део часа:

Дефиниција: Нека је дата функција xf која је дефинисана на сегменту b,a . Тачка 0x је локални

максимум функције ако важи 0 , тако да је 0xfxf за 00 x,xx .

Дефиниција: Нека је дата функција xf која је дефинисана на сегменту b,a . Тачка 0x је локални

минимум функције ако важи 0 , тако да је 0xfxf за 00 x,xx .

Локални максимум и минимум функције зову се локалне екстремне вредности функције.

Теорема: Ако је 0x екстремна вредност функције xf и ако је xf диференцијабилна функција у

тачки 0x , тада важи .xf 00

Важно је приметити да услов 00xf није довољан, већ само потребан за постојање екстремума функције.

Пример:

Функција 3xy има први извод 23xy који је једнак нули, када је 0x , али у тој тачки нема екстремну вредност.

Тачке у којима је 0f x називају се стационарним тачкама.


110

Теорема: Нека је дата функција xfy која је диференцијабилна у тачки 0x и нека је испуњен услов

.xf 00 Ако је 00xf функција у тој тачки има максимум, а уколико је 00xf функција има минимум у тој тачки.

Услов 00xf повлачи услов да xf мења знак у тачки 0x .

Екстремне вредности су тзв. локалне екстремне вредности, тј. екстремне вредности у некој околини тачке 0x , што не мора да значи да су апсолутне екстремне вредности, тј. екстремне вредности на читавом домену функције. Због тога неки локални минимум може имати вредност која је већа од локалног максимума, као што је то случај код функције приказане на слици.

Теорема: Нека је xf непрекидна функција на сегменту b,a и диференцијабилна на интервалу b,a . Ако је b,ax,xf 0 тада је функција xf монотоно растућа функција на сегменту b,a . Ако је b,ax,xf 0 тада је функција xf монотоно опадајућа функција на сегменту b,a .

Теорема: Ако је 0xf за b,ax , тада је функција xf константна на том интервалу.

Задаци:

Наћи екстремне вредности и одредити интервале монотоности функције:

1. 232 23 xxy

Функција има две екстремне вредности 2,0;1,1 minmax yxyx . Када 1,x

или ,0x функција је монотоно растућа, а ако је 01,x функција је монотоно опадајућа.

2. 2752

xxxy

Решење: Функција је дефинисана за 2x .

2

2

2

2

2

22

234

275252

2275275

xxx

xxxxx

xxxxxxxy

Да бисмо одредили интервале монотоности функције треба да одредимо знак њеног првог извода.

1 0

xxy 66 2 ++++ ----- +++++

y


111

Функција је растућа за ,31, xx , а опадајућа за 3,22,1 xx . У тачки 1x има максимум 3maxy , зато што у тој тачки први извод мења знак, а у тачки 3x минимум 1miny .

3. Дата је функција 23ln

xxxf

а) Одредити нуле и домен дате функције б) Испитати монотоност и одредити екстремне вредности

4. Испитати монотоност и наћи екстремне вредности функције .1xxey

5. Испитати монотоност и наћи екстремне вредности функције 1

22x

xy .

Завршни део часа: Домаћи задатак: Задатак 197. г), е), з) и), к) Бонус задатак: Функција xf је представљена графиком десно. Познато је да један од понуђених графика представља функцију xf . Који? Образложити одговор.

1 2 3 342 xx ++++ - - - - - - - - ++++

22x ++++ ++++ ++++ ++++

y ++++ - - - - - - - - ++++ y


112


113

Редни број часа ______________ Екстремне вредности функције – вежбање

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљеност за примену знања о изводима, развијање способности за прављење математичког модела Образовни задатак: налажење екстремних вредности и интервала монотоности функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развој апстрактног мишљења Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, способност самопроцене Резултат часа: оспособљеност ученика да нађу екстремне вредности и интервале монотоности функција Кључне речи: минимум, максимум, монотоност функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво , избор задатака и помоћ ученицима у њиховом решавању Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Задаци: 1. Наћи екстремне вредности функције 84 24 xxxf .

2. Наћи екстремне вредности функције 11 22 xxxxxf .

3. Наћи екстремне вредности функције 1cossin 2 xxxf

4. Наћи екстремне вредности xxxf 222 на сегменту 2,0 . Задатак 198.а), б), д), ж)


Домаћи задатак: Задаци: 197.ж), 198.ђ), е), з) Бонус задатак: (Задатак са матурског испита у Израелу): Површина сваке странице брошуре за козметику треба да буде 600cm2.(види слику) a) Изразити помоћу x дужине страница. б) Изразити преко x површину осенченог дела на слици. в) Наћи x тако да површина осенченог дела буде максимална.

3

8

8

3

х


114


115

Редни број часа ______________ Екстремне вредности функције – проблеми

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљеност за примену знања, развијање способности за прављење математичког модела Образовни задатак: налажење екстремних вредности у практичним ситуацијама, усвајање знања потребних за наставак школовања Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање научног погледа на свет Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја изучавања математике и широке могућности њене примене Резултат часа: оспособљеност ученика да направе математички модел и примене знање о изводима Кључне речи: минимум, максимум функције Активности наставника: вођење ученика кроз градиво и, у сарадњи са њима, прецизно дефинисање појмова, цртање графика, уочавање последица трансформација Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика 4+, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа: Задаци са пријемних испита: 1. Дужина странице квадрата ABCD је cma 1 . Нека су E и F тачке, редом, на страницама AD и

AB такве да је АFАЕ и да је површина четвороугла CDEF максимална. Наћи површину.

(Резултат: 21

).

2. У фигуру ограничену контуром криве 124 2 yx и осом Ox уписан је правоугаоник тако да су му два суседна темена на оси Ox . Колика је максимална површина таквог правоугаоника? ( Резултат: 16).

3. Око сфере полупречника 10 cm описана је права кружна купа најмање запремине. Наћи висину добијене купе. ( Резултат: 40 cm ).

4. У сферу полупречника дужине 6 cm уписана је правилна тространа призма највеће запремине. Израчунати висину добијене призме. ( Резултат: 216)

5. У праву купу висине H и полупречника основе R уписан је ваљак максималне површине

омотача. Колики су полупречник основе r и висина h тога ваљка? ( Резултат:

HhRr21,

21

).

6. Дате су тачке А(1,1) и В(3,4). На y оси наћи тачку С тако да израз АС2+ВС2 има најмању вредност. А) С(0,3/2) B) С(0,1) C) С(0,5/2) D) С(0,3/2) E) С(0,-1/2)


116


1. Обим правоугаоника је 24 cm . Колико износи максимална површина таквог правоугаоника? 2. У троугао ABC је уписан паралелограм максималне површине тако да му две странице припадају

страницама AB и AC датог троугла. Ако је 30,, AbACcAB , колика је површина паралелограма?

3. Максимална површина правоугаоника уписаног у параболички одсечак ограничен параболом 21 xy и правом 0y , тако да му једна страница припада x оси, јесте:

A) 391

B) 394

C) 398

D) 3 E) 2 3

4. У сферу полупречника дужине 9 уписати праву кружну купу највеће запремине. Колика је запремина добијене купе?

5. У сферу полупречника cmR 6 уписан је ваљак максималне запремине. Израчунај полупречник основе тог ваљка.

6. Однос полупречника основе и висине правог ваљка који, при датој запремини , има најмању површину, је:

А) 1:4 B) 1:2 C) 1: 3 2 D) 1:1 E) 2: 7. Дате су тачке aA ,0 и babB 0,,0 . Ако се из тачке 0,0, xxC , дуж види под

максималним углом, тада је x једнако:

A) ab B) 2

ba C) aba D) abb E) ab


117

Редни број часа ______________ Конвексност, конкавност и превојне тачке функције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: примена знања Образовни задатак: оспособљавање ученика за примену другог извода на испитивање конвексности функције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање знања Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да испитају конвексност функције и нађу њене превојне тачке Кључне речи: други извод, конвексност, превојне тачке функције Активности наставника: формулација теорема, мотивисање ученика да повезују знање, избор задатака и помоћ ученицима у њиховој изради Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: цртежи, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа:

Теорема: Ако функција xfy има други извод у интервалу ba, и ако је 0xf , тада је функција конвексна на интервалу ba, .

Теорема: Ако функција xfy има други извод у интервалу ba, и ако је 0xf , тада је функција конкавна на интервалу ba, .

Дефиниција: Тачка у којој функција мења конвексност зове се превојна тачка функције.

Задаци:

Испитати конвексност и наћи превојне тачке функција:

1. xxy 431 3

Решење: Функција је дефинисана на целом скупу реалних бројева.

xy;xy 242

Значи да је функција конкавна за 0,x , а конвексна за ,x 0 . У тачки 0x функција има превојну тачку.

- - - ++++ 0

Превојна тачка функције


118

2. 233 xxy

3. 1

3

xxy

Решење: Функција је дефинисана за 1x . 3

3

2

23

12;

132

xxy

xxxy

Знак другог извода ћемо одредити таблично.

0 1 32x - - - - + + + + + + + +

31x - - - - - - - - - + + + +

y + + + + - - - - + + + +

y

Функција је конвексна за ,10, xx , конкавна за 1,0x и има превојну тачку у 0x .

4. 2

3

3 xxy

5. xexxy 342

Решење: Функција је дефинисана за свако реално x .

32212

12344222

22

xexexxey

xxexxeexyxxx

xxx

3 3

xe ++++ ++++ ++++

32x ++++ - - - - ++++

y ++++ - - - - ++++

y

+++ ++ - - - -

3 3


119

Функција је конвексна за ,33, xx , конкавна за 33,x и има превојне

тачке у 3x и 3x .

6. xxy ln

7. xxy ln2

Решење: Функција је дефинисана за 0x .

3ln2112ln2

ln21ln2 2

xx

xxy

xxxx

xxxy

Функција има превојну тачку за 323

23e

yex


Домаћи задатак: Задатак 205, 206.

0 3

1e

3ln2 xy - - - - + + + +

y

- - - - + + + +

3

1e


120


121

Редни број часа ______________ Монотоност и конкавност функције – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: монотоност, конвексност, екстремна вредност, превојне тачке Активности наставника: избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: графици, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити основне теореме о примени првог и другог извода на испитивање особина функција. Подела ученика на групе. Свака група ради један пример задатка број један и још један задатак. Када заврше замене задатке... Главни део часа: 1. Одредити тачке минимума и максимума и интервале монотоности функција:

23

3

2

2

234

3)

;ln);1)

;2124)

;1

)

;384)

xxyђ

xxyдexyг

xxyв

xxyб

xxxyа

x

2. Одредити конвексност, конкавност и наћи превојне тачке функција: xyx

xy ln;1 2 .

3. Показати да функција 1063 23 xxxy нема екстремних вредности. 4. Доказати да је график функције xxy arctg свуда конвексан.

5. За које вредности реалног параметра a функција Rаxxaxaxf ;1213

1 232

расте за ?Rx 6. Наћи највећу запремину ваљка уписаног у сферу полупречника 6 cm . 7. Колика је максимална запремина праве купе уписане у лопту полупречника R ?


122

8. Израчунати збир најмање и највеће вредности функције 212

xxxf на сегменту 5,0

9. Наћи највећу вредност функције 1662 xxxf на сегменту 6,1 .

Завршни део часа: Питања ученика и коментари задатака. Задатке које су задавали највише проблема урадити на табли или прокоментарисати грешке и дати упутства.


123

Редни број часа ______________ Испитивање функција – целе функције

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција и цртању графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: функција, график Активности наставника: цртање графика функције, избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: испитивање особина функција и цртање графика Наставна средства: креде у боји Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити које особине функција ученици знају: Домен, парност, периодичност, асимптоте, нуле, знак, монотоност, екстремне вредности, конвексност, превојне тачке. Поделити ученике у групе. Свака група треба да испита једну или више особина функције. Након десетак минута представници групе исписују резултате на табли уз коментар свих ученика. Цео разред учествује у цртању графика. Прво у својим свескама, а затим и на табли уз разрешавање недоумица. Главни део часа: Испитати функцију и скицирати њен график 208. в) 1234 23 xxxy 1. Домен: функција је дефинисана над целим пољем реалних бројева. 2. Парност: 123412341234 232323 xxxxxxxxxxf . Функција није ни парна ни непарна. 3. Периодичност: Функција очигледно није периодична (ову особину нећемо испитивати код функција које је очигледно немају). 4. Асимптоте: Функције облика полинома немају асимптоте пошто су дефинисане и непрекидне на читавом скупу R . (Уколико је потребно испитати). 5. Нуле:

34034

3443412342

2223

xxxx

xxxxxxxx

Поновити Безуов став и наћи нуле функције и коришћењем Безуовог става. 6. Знак:

3 4 3

4x - - - - - - - - ++++ ++++

32x ++++ - - - - - - - - ++++ y - - - - ++++ - - - - ++++


124

+++ --- 4

8.Екстремне вредности: 63;271412

31

minmax yxyx

9. Конвексност:

10. Превојне тачке: 2773

34 yx

11. График:

Поделити ученике у групе и свака група нека ради неки од примера из задатка 208. Завршни део часа: Домаћи задатак: Завршити започете задатке. Уколико је све завршено на часу групе нека размене задатке и ураде по један код куће.

31

3

383 2 xx ++++ - - - - ++++

y ++++ - - - - ++++ y

34

86x - - - - + + + + y - - - - + + + +

y

+++ +++

--- 3 3+++ +++

--- 3 31


125

Редни број часа ______________ Испитивање функција – рационалне функције

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција и цртању графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: функција, график Активности наставника: цртање графика функције, избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: испитивање особина функција и цртање графика Наставна средства: креде у боји Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поделити ученике у групе. Свака група треба да испита једну или више особина функције. Након десетак минута представници групе исписују резултате на табли уз коментар свих ученика. Цео разред учествује у цртању графика. Прво у својим свескама, а затим и на табли уз коментар недоумица. Главни део часа:

Испитати функцију и скицирати њен график 12x

xy

1. Домен: Функција је дефинисана за 012x , тј. ,11,11,x .

2. Парност: xfx

xx

xxf11 22 . Функција је непарна.

3. Асимптоте: Вертикалне асимптоте су 11 xx

01

1lim

01

1lim

1

01

1lim

01

1lim

1

21

21

21

21

xx

xx

x

xx

xx

x

x

x

x

x

Хоризонталне: 011

1

lim1

limlim

2

2

x

xx

xxfyxxx

, значи 0y је хоризонтална асимптота.

4. Нуле: 0x

-1 1 ---++++++


126

----++++

0

5. Знак: 1 0

3 x - - - - - - - - ++++ ++++

12x ++++ - - - - - - - - ++++ y - - - - ++++ - - - - ++++

6. Монотоност: 22

2

11

xxy

8.Екстремне вредности: Функција нема екстремне вредности. 9. Конвексност:

32

2

132

xxxy

10. Превојне тачке:

00 yx 11. График:

Завршни део часа: Домаћи задатак: Задатак: 210. Сваки пар из клупе добија по један пример.

1 1 12x - - - - - - - - - - - - 22 1x ++++ ++++ ++++

y - - - - - - - - - - - - y

1 0 1 x2 - - - - - - - - ++++ ++++

32x ++++ ++++ ++++ ++++ 32 1x ++++ - - - - - - - - ++++

y - - - - ++++ - - - - ++++

y

++++ ++++ ----- 1 1

- - - - -


127

Редни број часа ______________ Испитивање функција – експоненцијална функција


Испитати функцију и скицирати њен график xxey1

1. Домен: Функција је дефинисана за 0x тј. ,00,x .

2. Парност: xxexf1

. Функција није ни парна ни непарна. Пошто је домен симетричан парност можемо проверити и заменом вредности

нпр. за eyx 22 , а за e

yx 22 , па функција није

ни парна ни непарна. 3. Асимптоте: Вертикалне: Треба уочити да је 0; ее

e

x

ex

x

exe

xe

x x

x

x

xx

x

xx

2

1

2

0

1

0

1

0

1

0

1

1

lim1

limlim

000lim

0

Десна гранична вредност је израчуната применом Лопиталове теореме. Функција има вертикалну асимптоту само „с десне стране“.


128

Косе:

11

1lim1limlimlim;1limlim

111

01

x

eexxxekxxfneexxfk

nkxy

x

xx

xx

xxx

xx

Коса асимптота је права .1xy 4. Нуле: Функција нема нуле. 5. Знак:

6. Монотоност: x

exyx1

1

7.Екстремне вредности:

eyx min1

8. Конвексност: xex

y1

3

1

9. Превојне тачке: нема 10. График:

Завршни део часа: Домаћи задатак: xxxx exyxeyeyxey 21

;;;2

0 x - - - - ++++

xе1

++++ ++++

y - - - - ++++ 0 1

1x - - - - - - - - ++++ x - - - - ++++ ++++

xе1

++++ ++++ ++++

y ++++ - - - - ++++ y

0

3

1x

- - - - + + + +

xе1

+ + + + + + + +

y - - - - + + + +

y


129

Редни број часа ______________ Испитивање функција – логаритамска функција

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција и цртању графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: функција, график Активности наставника: цртање графика функције, избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: испитивање особина функција и цртање графика Наставна средства: креде у боји Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поделити ученике у групе. Свака група треба да испита једну или више особина функције. Након десетак минута представници групе исписују резултате на табли уз коментар свих ученика. Цео разред учествује у цртању графика. Прво у својим свескама, а затим и на табли уз коментар недоумица. Главни део часа: Испитати функцију и скицирати њен график xxy ln 1. Домен: Функција је дефинисана за 0x , тј. ,0x . 2. Парност: Због несиметричности домена функција није ни парна ни непарна. 3. Асимптоте: Вертикална:

01

1

lim1

lnlimlnlim0

2

000

x

x

x

xxxxxxx

, па функција нема вертикалну асимптоту.

Коса:

xxxfk

nkxy

xxlnlimlim

Функција нема ни косу асимптоту (ни хоризонталну, пошто је коса за 0k хоризонтална.) 4. Нуле:

10ln00ln

0exxxxx


130

5. Знак:

0 1 x ++++ ++++ xln - - - - ++++

y - - - - ++++ 6. Монотоност: 1ln xy

7.Екстремне вредности: e

ye

x 11min

8. Конвексност: 9. Превојне тачке: нема 10. График:

Поделити ученике у групе и свака група нека ради неки од примера из задатка 208. Завршни део часа: Домаћи задатак: 224.а), б)

0

e1

1ln xy - - - - ++++ y

0

xy 1 + + + +

y


131


Испитивање функција – ирационалне функције


Испитати функцију и скицирати њен график 3

1xxy

1. Домен: Функција је дефинисана за 03x , тј. ,3x . 2. Парност: Због несиметричности домена функција није ни парна ни непарна. 3. Асимптоте:

02

31lim3

3 xxx

x

Коса:

Функција нема ни косу ни хоризонталну асимптоту. 3

1lim

031

11

lim3

1limlim

xxn

x

xxxxx

xxxfk

nkxy

x

xxx


132

4. Нуле: 103

1 xxx

5. Знак:

-3 -1 1x - - - - ++++

3x ++++ ++++ y - - - - ++++


5xx

xy

7.Екстремне вредности: нема

8. Конвексност: 23

32

9

x

xy

9. Превојне тачке: нема 10. График:

Завршни део часа: Домаћи задатак: 248.ђ), е)

-3 5x ++++ 3x ++++

32 x ++++

y ++++ y

-3

11x - - - - -

23

32 x

y + + + +

y


133

Редни број часа ______________ Испитивање функција

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспособљавање ученика за повезивање и примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у испитивању особина функција и цртању графика Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: развијање прецизности, уредности, схватање значаја повезивања и примене раније стечених знања Резултат часа: дубље разумевање и примена раније усвојених појмова Кључне речи: функција, график Активности наставника: цртање графика функције, избор задатака, подела на групе, координација између група, помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: испитивање особина функција и цртање графика Наставна средства: креде у боји Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: У договору са ученицима испитивати неку од функција. Главни део часа:

Испитати промене и нацртати график функције: 2

ln2

2 xxy

1. Домен: Функција је дефинисана за 002

xx , тј. ,0x .

2. Парност: Због несиметричности домена функција није ни парна ни непарна. 3. Асимптоте:

02

ln2

lim02

0

xxxx

, применити Лопиталову теорему нпр.

Коса:

Функција нема ни косу ни хоризонталну асимптоту.

4. Нуле: 02

ln2

2 xx, одакле је 0

2ln0 xx , пошто функција није дефинисана за 2x једина

нула функције је 22

02

ln 0 xexx

2ln

2lim

02

ln2

limlim

2 xxn

xxxxfk

nkxy

x

xx


134

5. Знак:

0 2

2

2x ++++ ++++

2

ln x - - - - ++++

y - - - - ++++


ln22

xxy

7.Екстремне вредности: за

21

2ex функција има минимум

ey 4

min

8. Конвексност:

23

2ln xy

9. Превојне тачке: Функција има превојну тачку за 3

2e

x

10. График: Завршни део часа: Питања ученика и предлог задатака за вежбање у зависности од знања ученика.

0

21

2е

2x

++++ ++++

12

ln2 x - - - - ++++

y

- - - - ++++ y

0 3

2e

23

2ln xy =

- - - -

+ + + +

y

Интеграл

135

3. Интеграл

Неодређени интеграл. Основна правила о интегралу; таблица основних интеграла; интеграли неких елементарних функција.

Метод замене, метод парцијалне интеграције. Одређени интеграл; Њутн-Лајбницова формула (без доказа).

Примене одређеног интеграла (ректификација, квадратура, кубатура).

Редни број часа ______________ Појам примитивне функције и неодређеног интеграла. Својства неодређеног интеграла

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења. Усвајање знања потребних за наставак школовања. Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање појма неодређеног интеграла и његових особина. Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за апстрактно мишљење Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: усвајање појма неодређеног интеграла Кључне речи: неодређени интеграл Активности наставника: увођење новог појма, активирање ученика у повезивању градива са изводом Активности ученика: учествовање у извођењу особина неодређеног интеграла. Израда једноставнијих задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа

Уводни део часа:

Поновити: Инверзне операција – множење, дељење; инверзне функције – степена, корен; експоненцијална, логаритамска,..., диференцијал функције. Главни део часа:

Дефиниција: Нека је функција xf дефинисана на интервалу b,a . Функција xF назива се примитивна функција дате функције у интервалу b,a уколико важи xfxFb,ax .

Пример:

Примитивна функција функције xxf 2 , која је дефинисана за Rx је функција 21 xxF , зато

што је xxRx 22 . Али и функције 28;3 23

22 xxFxxF су примитивне функције

функције xf . Дакле, примитивна функција није једнозначно одређена.

Интеграл

136

Теорема: Ако је xF примитивна функција функције xf на интервалу b,a , тада је и функција CxF , где је C произвољна константа, такође примитивна функција функције xf .

Доказ: xfxFCxFb,ax .

Теорема: Свака непрекидна функција xf на интервалу b,a има на том интервалу примитивну функцију.

Дефиниција: Скуп свих примитивних функција xF неке функције xf у интервалу b,a зове се неодређени интеграл функције xf и обележава се

dxxf . (Први је ознаку за интеграл увео Лајбниц.)

1. xfdxxf (Последица дефиниције неодређеног интеграла.)

2. Cxfdxxf

Задатак: Проверити да ли важи: Решење:

xxdx

Cxdxx

22

33

cos1

cos

xCx

xdx

Cxdxxdxx

22

332

3

cos1tg

cos

31

Може се закључити да не важи dxxfdxxf пошто нпр. за xxf важи

xCxxdx2

2

, али Cxdxdxx .

3. xfdxxfd

4. Cxfxfd

Теорема: dxxfCdxxfC

Теорема: Уколико постоје dxxgdxxf ; , важи dxxgdxxfdxxgxf

5. Из претходне две теореме може се закључити да важи: dxxgbdxxfadxxbgxaf , уколико постоје dxxgdxxf ; .

Пример: Cedxe xx , зато што је xx eCeRx

Задатак: 304.а), б), в), г), д),и), ј) Завршни део часа: Домаћи задатак: Аналогно таблици извода ученици треба да направе таблицу интеграла.

Интеграл

137

Редни број часа ______________ Основна правила интеграције. Таблица основних интеграла

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: уочавање везе између таблица извода и интеграла Образовни задатак: формирање и усвајање табличних интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање градива, развијање апстрактног мишљења, оспособљавање за коришћење аналогија Васпитни задатак: развијање позитивног става према настави математике, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: усвајање таблице неодређених интеграла Кључне речи: неодређени интеграл Активности наставника: вођење и мотивисање ученика за повезивању градива са изводом Активности ученика: израда таблице интеграла, израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поновити правила интеграције. Главни део часа:

ТАБЛИЦА НЕОДРЕЂЕНИХ ИНТЕГРАЛА

dx Cx Rx

dxxn Cxn

n 1

11

1nRn

xdx

Cxln 0x

dxax , 10 a,a

Ca

a x

ln

dxex Cex Rx

xdxsin Cxcos Rx xdxcos Cxsin Rx

xdx

2cos Cxtg Zkkx ;

2

xdx

2sin Cxctg Zkkx ;

21 x

dx Cxarcsin 1x

21 xdx

Cxarctg Rx

Интеграл

138

Исписати на једном делу табле таблицу интеграла коју ће ученици током часа користити при изради задатака.

Задаци: Израчунати интеграле:

1. (306.а) dxx

Решење: CxCxdxxdxx 3121

21

32

121

1

2. 3xdx

3. dxxx 523 2

Решење: Применом правила за налажење неодређеног интеграла добијамо

Cxxx

Cxxxdxxdxdxxdxxx

5

52

23

3523523

23

2322

4. dxx

x 152

5. dxx

x25

Решење:

Cx

x

Cxxdxxxdxx

dxxxdx

xx

5ln

15ln5ln55 1

2222

6. dxx

xx2

2 12

7. (306.ђ) dxxxx

8. (307.в) dxx

exx x

2

2

9. dxаxx

xsin2

10. (308.в) xdx2tg

11. (308.а) dxxx

x22 sincos

2cos

Решење: Cxxdxx

dxx

dxxxxxdx

xxx tgctg

cos1

sin1

sincossincos

sincos2cos

2222

22

22

Завршни део часа: Ученици треба на хамеру да направе таблицу интеграла. Домаћи задатак: Задаци: 304.ђ),ж), 305.д),е), 306.д),ј), 307.и)

Интеграл

139

Редни број часа ______________ Интеграли који се своде на табличне – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, рад у пару Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: увежбаност у примени стечених знања Образовни задатак: препознавање табличних интеграла и њихово решавање, оспособљеност за примену особина неодређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: употреба математичког језика, схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: способност ученика да израчунају интеграле који се своде на табличне Кључне речи: интеграл, таблица Активности наставника: вођење и активирање ученика у повезивању градива Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити таблицу интеграла. Нпр. сваки пар из клупе нека напише по један таблични интеграл на табли, као и правила интеграције. Главни део часа:

Задаци:

1. (304.е) dxxxx 122 23

2. (306.з) dxx 32 1

3. dxx

xx

23223.307 г

4. (306.ј) dxxxx2

2

331

5. (306.м) dxx

x3

1

6. (307.ж) dxxee

xx

21

7. (309.б) dxxx 22 1

11

3

8. (309.в) Cxxx

dxdxdxx

xdxx

x arctg11

111 22

2

2

2

Интеграл

140

9.xx

dx2sin2cos


Коментари задатака, питања ученика и сл. Домаћи задатак: Задаци: 304.г),з), 305.а),ђ), 306.в),ж),к), 307.а),з), 308.б),е), 309.д), е)

Интеграл

141


Метода замене код неодређеног интеграла

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, оспособљеност за коришћење математичког језика и аргументације Образовни задатак: оспособљеност ученика за правилну употребу замене код одређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: употреба математичког језика, развијање прецизности и уредности Резултат часа: способност ученика да препознају задатак који се ради методом замене и да је изврше Кључне речи: неодређени интеграл, метода замене Активности наставника: вођење и активирање ученика у повезивању градива Активности ученика: израда задатака на табли и у свесци Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Павле Миличић, Драган Бањевић, Драгољуб Аранђеловић, Зоран Ивковић: Математика са збирком задатака за IV разред Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Уочити да се нпр. интеграл xdx2sin не може израчунати само коришћењем таблице и правила интеграције. Главни део часа:

Примери: Констатовати, заједно са ученицима, да нису сви интеграли таблични (кроз примере):

1. (313.а) dxx 105

Решење: Уведимо смену tx 5 .

Диференцирањем ове једнакости добијамо dtdx . Заменом у интеграл добијамо

CxCtdtt 111110 5111

111

2. (313.ж) xdx3cos

Решење: уводимо смену dtdxdtdxtx3133 и добијамо

CxCttdt 3sin31sin

31cos

31

Може се закључити да важи 0;sin1cos аCaxa

axdx .

Интеграл

142

Теорема: Ако је функција tgx непрекидна на интервалу I , и функција xg диференцијабилна на интервалу IJ , тада важи

dttgtgfdxxf ' , dxxgdxtgx ,

Ову формулу користимо за интеграцију сложених функција.

Задаци:

1. dxe

ex

x 12

2. dxx 532

Решење: Смена dtdxdtdxtx31353 .

CxCtdtt

53ln32ln

32

32

3. dxxx

x6

122 Решење: Смена dtdxxtxx 1262

CxxCttdt 6lnln 2

4. 2925 xdx

5.0;arcsinarcsin

11

12222

аCaxCt

tdta

a

axa

dxxa

dx

Смена tax

. Ово се може записати и као

Cax

ax

axd

xadx arcsin

1222

6. (314.а) 24 xdx

Решење: 2

21

41

xdx

Смена dtdxtx 22

CxCtdttx

dx2

arctg21arctg

21

112

41

21

41

22

7. 22516 xdx

Интеграл

143

8. dxx

e x

Решење: Смена dtx

dxtx2

CeCedte xtt 222

9. (320.д) dxx

xln

10.xx

dxln1

Решење: Смена dtxdxtxln1

CxCttdt ln1lnln

Завршни део часа: Домаћи задатак: 313.б),ђ),ј), 314.г),315.а)б), 318.б),з), 319.а), 320.и)

Интеграл

144

Интеграл

145

Редни број часа ______________ Метода замене – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, усвајање знања потребних за наставак школовања Образовни задатак: увежбаност у одређивању интеграла методом замене Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за апстрактно мишљење Васпитни задатак: развијање сарадње међу ученицима, неговање тимског духа, вршњачка едукација Резултат часа: усвајање појма неодређеног интеграла Кључне речи: неодређени интеграл, метода замене Активности наставника: подела ученика на групе, избор задатака, координација између група Активности ученика: израда задатака, међусобна помоћ у изради задатака Наставна средства: креда, табла, листићи са задацима Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: На неком од примера и кроз коментар домаћег задатка поновити усвојено на претходном часу:

xdxtg Упутство: xdxtg = dxxx

cossin

. Смена txcos


1. (320.г) xdxxcossin3 Упутство: Смена txcos

2.xx

dxln1cos 2

3. xdx2sin Решење: Cxxxdxdxdxxxdx 2sin21

21

212cos

21

21

22cos1sin 2

4. (318.к)x

dxsin

Решење: Смена tx2

tg , 22

2

12sin

11cos

ttx

ttx

Диференцирањем ове једнакости добијамо

dtt

dxdtdxxdtdxx 2

2

2 12

2tg1

21

21

2cos

1

CxCt

tt

dtt

xdx

2tglnln

12

12

sin2

2

Интеграл

146

Други начин: Cxx

xd

xxdx

xxdx

xdx

2tgln

2tg

2tg

2cos

2tg2

1

2cos

2sin2sin 2

Задатке можемо урадити коришћењем различитих смена.

1.xx

dx1

може да се реши увођењем смене 2txtx одакле се добија

CxCttt

tdt arcsin2arcsin21

22

.

Задатак се може урадити и коришћењем смене xttxtx arcsinsinsin2 , па је дати

интеграл једнак CxCtdttttt arcsin22

cossincossin2

2. Слично се интеграл 21 xx

dx може решити коришћењем смена

tx 1

или tx tg

Задаци: 318.в),д),и), 319.в), 320.в),ј) Завршни део часа: Коментари и питања. Домаћи задатак: 319.е),л), 319.д), 320.е), 321.ж)

Интеграл

147

Редни број часа ______________ Метода замене – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, усвајање знања потребних за наставак школовања Образовни задатак: увежбаност у одређивању интеграла методом замене Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљеност за апстрактно мишљење Васпитни задатак: развијање сарадње међу ученицима, неговање тимског духа, вршњачка едукација Резултат часа: усвајање појма неодређеног интеграла Кључне речи: неодређени интеграл, метода замене Активности наставника: подела ученика на групе, избор задатака, координација између група Активности ученика: израда задатака, међусобна помоћ у изради задатака Наставна средства: креда, табла, листићи са задацима Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћих задатака. Подела ученика на групе и подела задатака. Главни део часа: Прва група:

Решења:

CxxCeCxxCbaxа

xx 3253 arcsin3212;;5105

32;ln1 2

Друга група:

Решења:

CxCeCxCx

x lnln;2;452;

423 35

dxx

xxdxxedxxxаdx

baxxx

2

5

1arcsin2;12;

50;1 2

dxxx

dxx

ex

dxxdxx

x

ln1;;

4;

426 3

5

4

2

Интеграл

148


2

22

2 1arctg;

111;1sin;

3662

xdxxdx

xxdxxxdx

xxx

Решења:

CxCxxCxCxx 33322 arctg31;11

31;1cos

21;36ln

Са целим одељењем урадити на табли: 312.б) Одреди xF ако је 10,43 2 FxxxF Завршни део часа: Домаћи задатак: 312.а), 313.г),е), 315.б),ж), 316.ђ), 318.а), 319.г)

Интеграл

149

Редни број часа ______________ Метода парцијалне интеграције

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, усвајање знања потребних за наставак школовања Образовни задатак: усвајање и примена парцијалне интеграције Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљеност за апстрактно мишљење Васпитни задатак: неговање прецизности и уредности Резултат часа: оспособљеност ученика да самостално реше задатак парцијалном интеграцијом Кључне речи: парцијална интеграција Активности наставника: увођење новог појма, мотивисање и активирање ученика да повезују градиво са изводом Активности ученика: уочавање особина неодређеног интеграла, израда једноставнијих задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити правило за извод производа. Главни део часа:

Теорема: Нека су xg,xf диференцијабилне функције. Ако постоји неодређени интеграл

dxxfxg , онда постоји и интеграл dxxgxf и важи једнакост

Ради лакшег памћења формуле може се написати dvdxxg;dudxxf , па формула добија облик:

Доказ: Интеграцијом формуле за извод производа добија се:

vduuvudv

udvvduuv

udxvvdxudxuv

uvvuuv

dxxfxgxgxfdxxgxf

vduuvudv

Интеграл

150

Задаци:

1. (322.ђ) xdxln

Решење: duxdxuxln (диференцирањем), 1; Cvxdvdxdvdx

(интеграљењем) Cxxxxdxxxxxdx lnlnln

2. (322.г) dxxe x

Решење: ,dudxux vedvdxe xx

3. xdxxsin

Решење: dudxux

vxdvxdx cossin , CxxxxdxxxxdxxI sincoscoscossin xdxxsin

4. (324.а) xdxex sin

Решење: dudxeue xx , vxdvxdx cossin Ову парцијалну интеграцију поновимо два пута.

Ixexe

xdxexexexdxexexdxeIxx

xxxxxx

sincos

sinsincoscoscossin

Уколико дату једнакост схватимо као једначину у којој је непознат интеграл,

добијамо CxexeIxexeI xxxx sincos21sincos2

5. (322.з) xdxarctg Резултат: Cxxarctgx 1ln21 2

6. (322.и)x

xdx2cos

Резултат: Cxxtgx cosln

Завршни део часа: Домаћи задатак: 322.б),и),ј),м), њ), 324.г)

Интеграл

151

Редни број часа ______________ Метода парцијалне интеграције – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, развој логичког мишљења, усвајање знања потребних за наставак школовања Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање појма неодређеног интеграла и његових особина Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за апстрактно мишљење Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања, вршњачка помоћ при учењу Резултат часа: развијање способности ученика да самостално ураде задатак применом парцијалне интеграције Кључне речи: парцијална интеграција Активности наставника: подела ученика на групе, избор задатака и координација међу групама, као и међу члановима група Активности ученика: израда задатака, помоћ другима у раду Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити поступак парцијалне интеграције: vduuvudv .

Подела ученика на групе. Главни део часа: Прва група:

Решења:

CxxxCxxeCxxeCxxx xx 1ln21arctg;cossin

21;22;cossin 22


Решења:

Cxxx

CxxxxCxxxxxCxе x

lncoslnsin2

;21

2arctg

2;cos52sin45;1

22 arctg

xdxxdxedxexxdxx xx arctg;cos;;cos 2

dxxxdxxxdxxxdxxe x lncos;arctg;cos65; 2

Интеграл

152


xdxxdxxxdxx

xdxx x ln;2ln84;cos

;3 2

Решења:

CxxxCxxCxxxCx xx

4ln

2;12ln22;coslntg;

3ln3

3ln3 22

22

Завршни део часа: Вредновање рада ученика.

Интеграл

153

Редни број часа ______________ Интеграција рационалних функција

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање апстрактног мишљења, усвајање знања потребних за наставак школовања, уочавање аналогија Образовни задатак: разумевање и усвајање интеграције рационалних функција Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљавање за апстрактно мишљење, развијање способности за уочавање и примену аналогија Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљавањеученика да израчунају интеграле рационалне функције Кључне речи: интеграл рационалне функције Активности наставника: систематизација интеграла рационалних функција Активности ученика: учествовање у налажењу неодређених интеграла рационалних функција коришћењем упутстава наставника Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Дефиниција: Функција облика 0,;,;......

001

01mnm

m

nn baNnm

bxbxbaxaxa

xf (која представља

количник два полинома) зове се рационална функција. Посматрајмо најпре случајеве када је степен бројиоца мањи од степена имениоца, тј. mn .

Пример: Поновити

1. 3x

dx решавамо сменом dtdxtx 3 . Дати интеграл се своди на

CxCttdt 3lnln


Интеграли са квадратним триномом у имениоцу: (Само овакве интеграле урадити) Идеја је трансформација квадратног тринома на канонски облик 22 xacbxax .

I случај: Квадратни трином нема реалне нуле. Интеграл облика dxcbxax

qpx2 , када је

а) 0m

(326.а) CxCtt

dtxdx

xdx

xxdx

21arctg

21arctg

21

12

41

211

41

4152 2222

Смена .tx2

1

б) 0m

Интеграл

154

(326.б)

Cxxxx

xdxxxxd

xxdxdx

xxxdx

xx

xdx

xxx

2arctg454ln23

1224

5454

23

544

5442

23

54

44223

5423

222

2

2222

II случај: Квадратни трином има реалне нуле.

а) Трином има двоструку нулу Cx

dxxx

dxxx

dx1

11112

222

б) Трином има два различита корена Cxxxdx

xdx

xxdxx 1ln

312ln

37

131

237

232

2

31

37

322

122

122

12232

2b

a

baba

xxbabax

xxbbxaax

xb

xa

xxx

III случај: Интеграл облика dxcbxaxrqxpx

2

2

се дељењем полинома своди на претходне случајеве.

Пример: Cxxdxx

xxdxx

x 1ln21

2112

2

22

3


Домаћи задатак: 326.б),327.б),328.а), б)

Интеграл

155

Редни број часа ______________ Одређени интеграл – дефиниција и особине

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: схватање могућности примене стечених знања Образовни задатак: усвајање и правилно дефинисање појма одређеног интеграла и његових особина Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за примену знања Васпитни задатак: схватање значаја изучавања математике, развијање интересовања за математику Резултат часа: усвајање појма одређеног интеграла и схватање његове примене Кључне речи: одређени интеграл, границе Активности наставника: увођење новог појма, мотивисање ученика у повезивању градива са неодређеним интегралом Активности ученика: учествовање у извођењу особина одређеног интеграла, Израда једноставнијих задатака Наставна средства: збирка, креда, табла, компјутер, видео бим Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Површине многоуглова, круга и сл. израчунавају се помоћу различитих формула. Међутим, уколико треба да израчунамо површину фигуре са слике не можемо употребити ниједну од до сада познатих формула.


Претпоставимо да је функција xf непрекидна и ненегативна на сегменту b,a .

Поделимо одсечак b,a на n делова тачкама bx,ax;x,...,x,x nn 0121 , при чему је

nx...xxx 210 . Уочимо правоугаонике уписане у овај криволинијски трапез. Основице

правоугаоника су дужи nn xx,...,xx,xx 12110 , што можемо означити са 110 nx,...,x,x ,а висине

трапеза су ординате тачака nm,...,m,m 10 , где смо са im означили mini fm на одсечку 1ii xx . Збир

површина свих правоугаоника је на тај начин 1

0111100

n

iiinn xmxm...xmxmm .

a b

Интеграл

156

Уколико са iM означимо maxf на одсечку 1ii xx збир површина свих ових правоугаоника је на тај начин

1

0111100

n

iiinn xMxM...xMxMM . Може се уочити да је MPm , где смо са P

означили површину криволинијског трапеза.

Уколико 0x збир површина уписаних и описаних правоугаоника ће се све више приближавати један другом, а самим тим и површини криволинијског трапеза.

Интеграл

157

Дефиниција: Нека је функција xf дефинисана и ограничена на сегменту b,a . Нека је дата подела сегмента b,a bxx...xxa nn 110 и нека је на сваком сегменту 1ii xx изабрана тачка

1210 n,...,,,i;i . Збир iii

n

iii xxx;xf 1

1

0 назива се интегрална сума функције која

одговара датој подели сегмента b,a и избору тачака 1210 n,...,,,i;i . Означимо са највећи

сегмент у подели iii xxx 1 , 1210 n,...,,,i . Нека дужине сегмената теже нули, односно 0

и уколико постоји гранична вредност интегралне суме Ilim0

независно од избора тачака i број

I се зове одређени интеграл функције xf на сегменту b,a и означава b

a

dxxf

Ако постоји претходна гранична вредност функција је интеграбилна на сегменту b,a . (Симбол за интеграл је стилизовано латинично слово S – сума)

Теорема: Ако је функција xf монотона и ограничена на b,a , тада је она интеграбилна на том одсечку.

Теорема: Ако је функција непрекидна на сегменту b,a , онда је и интеграбилна на том сегменту.

Особине одређеног интеграла:

Ако су функције xgxf , интеграбилне важи:

1. b

a

b

a

dxxfCdxxCf

2. b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf ;

3. Ако постоји b

a

dxxf и ако је c произвољна тачка bca , тада постоје интеграли

b

c

c

a

dxxfdxxf ; и важи једнакост b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf .

4. Ако је функција xf интеграбилна на сегменту b,a и 0xf за b,ax , тада је b

a

dxxf 0 .

5. Нека су xg,xf интеграбилне функције на сегменту b,a и нека је

b,ax;xgxf , тада важи неједнакост b

a

b

a

dxxgdxxf .

Интеграл

158

6. Ако је xf интеграбилна на сегменту b,a , тада је и функција xf

интеграбилна на том сегменту и важи неједнакост b

a

b

a

dxxfdxxf .

7. a

b

b

a

dxxfdxxf , последица дефиниције интеграла.

Завршни део часа: Уколико постоје могућности у програму GeoGebra или неком сличном приказати доњу и горњу суму и како се оне мењају кад се број деоних тачака повећава. Домаћи задатак: Неко од ученика нека припреми причу о математичком сукобу Њутна и Лајбница.

Интеграл

159

Редни број часа ______________ Њутн-Лајбницова формула

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, схватање значаја улоге математике кроз историју Образовни задатак: оспособљеност ученика да примене Њутн-Лајбницову формулу Функционални задатак: развијање радозналости и интересовања ученика за математику, развијање способности самосталног краћег излагања Васпитни задатак: схватање важности изучавања математике кроз историју, развијање позитивног става према математици Резултат часа: оспособљеност ученика да израчунају одређени интеграл Кључне речи: одређени интеграл, границе интеграла, Њутн-Лајбницова формула Активности наставника: помоћ ученицима у приказу историјског сукоба Њутна и Лајбница, увођење Њутн-Лајбницове формуле Активности ученика: прича о математичком сукобу Њутна и Лајбница, израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа; National Geographic Srbija; Лајбницова инфинитезимална метода- Димитрије Нешић, Архимедес, Београд,1996 Уводни део часа: Прокоментарисати домаћи задатак. У складу са могућностима приказати неку анимацију са горњом и доњом сумом. Главни део часа:

Теорема (Њутн-Лајбницова): Ако је xf дефинисана и непрекидна функција на сегменту b,a и ако је xF било која њена примитивна функција, тада важи формула

aFbFdxxfb

a

.

Доказ: Извршимо поделу сегмента b,a bxx...xxa nn 110 . Примитивна функција

функције xf је xF и важи .xfxF

0122110 ... xFxFxFxFxFxFxFxFxFaFbF nnnnnx

На основу Лагранжове теореме о средњој вредности важи kkk

kk Fxx

xFxF

1

1 . Одавде

добијамо 111 kkkkkkkk xxfxxFxFxF . Ако са означимо дужину најдужег

сегмента kk xx ,1 , важи:

Интеграл

160

110

lim ii

n

ii xxfaFbF

Како је 110

lim ii

n

ii

b

a

xxfdxxf , следи aFbFdxxfb

a

.

Пример: 2ln1ln2lnln1 2

1

2

1xdx

x

Задаци:

Применом Њутн-Лајбницове формуле израчунати одређене интеграле:

1. 3

1

3dxx Решење: 2041

481

4

3

1

43

1

3 xdxx .

2. dxx8

1

3 2 3. 2

6

cos xdx 4. 3

4

2sin xdx

5. 1

0 2xdx

6. 0

1

1dxx

x Решење:

3420

320

21

23

11

0

1

21

0

1

0

1

23

210

1

0

1

0

1

210

1

xxdxxdxxdxx

dxx

xdxx

x

7. 1

0

3 dxe x 8. 1

021 x

dx

9. 1

121 x

dx Решење:

2441arctg1arctgarctg

11

1

1

12 x

xdx


Домаћи задатак: Задатак: 332.

Интеграл

161

Редни број часа ______________ Њутн-Лајбницова формула - вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање за примену знања, схватање значаја и могућности примене математике Образовни задатак: увежбаност ученика у израчунавању одређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања, вршњачка едукација Резултат часа: оспособљеност ученика за налажење одређеног интеграла Кључне речи: интеграл, границе, Њутн-Лајбницова формула Активности наставника: подела ученика на групе, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити Њутн-Лајбницову формулу. Неко од ученика: Спор Њутна и Лајбница око тога ко је први дошао до формуле претворио се у опште ривалство енглеске и континенталне школе математике. Континенталну школу су заступали математичари Француске, Швајцарске и Немачке. Њутнова „победа“ допринела је стагнирању енглеске школе и стварању преимућства пре свега француске школе. Док се Њутнов приступ базирао на кинетици, Лајбницов је био више геометријски и значајније је утицао на развој математике, нарочито на Декарта и Паскала. Овај проналазак данас припада обојици, великим математичарима не само 17-ог века већ једних од највећих умова свих времена. Подела ученика на групе. Главни део часа:

Прва група: (332.а) dxx

xdxxxdxx

dxx

dxе x9

1

2

1

231

02

4

02

1

0

2521

1cos

1

Друга група: (332.б)2

6

2

2

1

223

02

1

0

2

0

2

sin1852

15

32 dx

xdxxx

xdxdxdxx

x

Трећа група: (332.в) 2

0

4

1

8

13

10311sin dxdx

xx

xdxx

xdxxdx x

e

Интеграл

162

Четврта група: (332.ж) dxxdxx

xdxxdxedxxx x1

0

3 21

02

22

0

1

0

3

0

3

1cos4272

Кад нека група заврши рад, дати јој задатке неке од преосталих група. Завршни део часа: Израда најкарактеристичнијих примера на табли. Размена задатака између група за домаћи задатак.

Интеграл

163

Редни број часа ______________ Метода замене код одређеног интеграла

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену стеченог знања Образовни задатак: схватање примене методе замене код одређеног интеграла Функционални задатак: развијање свести о значају примене стечених знања Васпитни задатак: схватање значаја изучавања математике и могућности њене примене, неговање прецизности и уредности Резултат часа: оспособљеност ученика да реше одређени интеграл методом замене Кључне речи: одређени интеграл, границе, метода замене Активности наставника: формулисање теореме, израда и избор задатака Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити методу замене код неодређеног интеграла на неком једноставнијем примеру. Нпр.

Cee

dxe x

x

x

arcsin...1 2


Теорема: Нека је функција xf дефинисана и непрекидна на сегменту b,a . Нека је функција tg дефинисана и непрекидна на сегменту , и batgt ,, . Ако је bg,af и

tgt , који је непрекидан, тада важи формула

dttgxgfdxxfb

a

Задаци:

Важно је уочити да се приликом замене променљиве, морају заменити и границе интеграла.

1. 1

0

243 12 dxxx

Решење: Смена dtdxxdtdxxtx61612 223 , за 0x је 1t , а за 1x је 3t

15121

30242

301

30243

561

6112

3

1

3

1

54

1

0

243 tdttdxxx

2. 2

024 x

dx

Интеграл

164

3. 1

03

2

1 xdxx

4. 33

31

294 x

dx

5. 2ln

0

1dxex

Решење: Смена 1

2121

122 ttdtdxdt

edxe

tete

x

x

x

x

22

422arctg22

1112

121 1

0

1

0

1

02

1

02

22ln

0

xtdttt

dttdxe x

6. 2

0

2 cossin xdxx


Домаћи задатак: 337.

Интеграл

165

Редни број часа ______________ Метода замене код одређеног интеграла – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за самостално решавање проблема Образовни задатак: увежбаност ученика у израчунавању одређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање способности процене сопственог нивоа знања. Неговање упорности и систематичности, развијање способности за процену сопственог знања Резултат часа: увежбаност ученика у решавању одређених интеграла Кључне речи: интеграл, границе, замена Активности наставника: вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Уочити да је 0cos xdxx због тога што је функција чији се интеграл израчунава непарна, а границе

симетричне. Ту особину можемо искористити у решавању неких задатака нпр. 1

0

22

2

2 2 dxxdxx

Главни део часа: Исписати све задатке на табли (или само 5-6 задатака) и оставити ученицима да сами бирају задатак који су способни да ураде. Након 5-6 минута бирати ученике (или задатке) и радити их на табли.

Интеграл

166

Задаци:

2

0

1

22

2

2

1

4

4

2

0

3

2

12

11

02

1

03

22

02

cos11

lntgsin

914

xdxdx

xx

xxdxxdxxdx

dxxе

xdx

xdxx

xdx

e

x

Завршни део часа: Оцењивање ученика и коментарисање проблема који су настали током израде задатака.

Интеграл

167

Редни број часа ______________ Метода парцијалне интеграције код одређеног интеграла

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика да направе аналогију међу проблемима Образовни задатак: оспособљеност ученика да изврше парцијалну интеграцију одређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих знања Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања Резултат часа: оспособљеност ученика да самостално изврше парцијалну интеграцију одређеног интеграла Кључне речи: парцијална интеграција Активности наставника: израда и избор задатака и помоћ ученицима у изради задатака Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити парцијалну интеграцију код неодређеног интеграла нпр. .dxxe x Главни део часа:

Теорема: Нека су функције xv,xu непрекидне на сегменту b,a и нека имају непрекидне изводе

xv,xu за b,ax , тада важи формула b

a

ba

b

a

dxxuxvxvxudxxvxu

Задаци:

1. (338.а)2

0cos xdxx Решење: dudxux ,

vxdvxdx sincos

12

cos02

sinsincos 20

2

0

20

2

0xxdxxxxdxx

2. e

xdxx1

2 ln

3. 1

0

2 22 dxexx x

4. 1

0

dxxe x

Интеграл

168

Завршни део часа: Домаћи задатак: 338.в),д),ж),з),и)

5. (338.б)1

01ln

e

dxx

Интеграл

169

Редни број часа ______________ Метода парцијалне интеграције код одређеног интеграла – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, рад у пару Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у израчунавању одређеног интеграла парцијалном интеграцијом Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања, развијање способности за процену сопственог напредовања, мотивисање ученика за рад Резултат часа: разумевање методе парцијалне интеграције и оспособљеност ученика да је примене на израчунавање одређеног интеграла Кључне речи: парцијална интеграција Активности наставника: избор задатака, подела ученика на групе и координација између група Активности ученика: израда задатака, помоћ другима у решавању задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поделити сваком пару у клупи по један задатак. Главни део часа: Након 6-7 минута пар који је први урадио задатак ради га на табли и након тога бира нови пар који ради задатак...

2

0

31

012

1

21

0

2

3

3

3

8

3

21

02

2

0 2

1

022

cossin;;ln11;ln;arctg

;cos2

sin;costg;

1;

41;

41;

1

xdxxdxxedxxxx

xdxxdx

dxx

xx

xdxxxdx

xdxdx

xxxdx

xee

Завршни део часа: Коментар задатака и грешака које су се појављивале током рада.

Интеграл

170

Редни број часа ______________ Примена одређеног интеграла на израчунавање површине равне фигуре

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, схватање могућности примене интеграла Образовни задатак: разумевање поступка за израчунавање површина помоћу одређеног интеграла Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: схватање значаја повезивања раније стечених знања. Схватање широких могућности примене математике Резултат часа: оспособљеност ученика да израчунају површину равне фигуре применом одређеног интеграла Кључне речи: график, површина, одређени интеграл Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, израда цртежа и задатака на табли, избор задатака Активности ученика: уочавање случајева, који зависе од особина функције, који могу да се појаве при израчунавању површине фигура, израда задатака Наставна средства: креда, табла, цртеж Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити дефиницију одређеног интеграла. Приказати цртеж или га нацртати, у зависности од опремљености. Главни део часа: У складу са дефиницијом можемо формулисати следеће тврђење:

Теорема: Нека је функција xf дефинисана и непрекидна на сегменту b,a и нека је 0xf за b,ax (Слика 1). Тада је површина криволинијског трапеза ограниченог x осом кривом xfy

и правама bxax једнака

b

a

dxxfP

Размотрићемо неке случајеве који могу наступити у зависности од типа функције.

Слика 2: Функција xf је на сегменту b,a непрекидна, али је 0xf за b,ax . Површина криволинијског трапеза је онда

b

a

dxxfP

Интеграл

171

Слика 3: Ако су дате непрекидне функције xg,xf чији се графици секу у тачкама чије су апсцисе baba ;, и ако је xgxf за b,ax , онда је површина равне фигуре ограничене овим

функцијама на интервалу bа, једнака:

b

a

dxxgxfP

Слика 4:b

d

d

c

c

a

dxxfdxxfdxxfP

Пример: Израчунати површину фигуре ограничене параболом 2xy , x осом и правама 21 x,x .

Решење:

37

31

38

3

2

1

32

1

2x

x

xdxxP

Задаци:

1. Израчунати површину фигуре ограничене кривом

xxy 22 и правом 0y .

b b a a c d

a

a

b

b

xfy xfy

xfy

xfy xgy

Интеграл

172

2. Израчунати површину фигуре ограничене кривом xxy 22 и правом xy .

Напомена: Површина се може израчунати одједном пошто је интеграл између праве и х-осе негативан његовим одузимањем површине се сабирају. Уколико је потребно урадити на оба начина са ученицима.

3. Израчунати 2

2

2 .1ln dxxx Вредност интеграла се добија парцијалном интеграцијом

vxdvdxduxdxuxx ;

11ln

2

2 , па се интеграл даље решава сменом

tx 12

Уколико се израчунава површина ограничена кривом и x -осом на истом интервалу, треба уочити да је функција непарна, па се интеграл рачуна

552ln4

52ln421052ln22

121ln21ln2

50

5

0

2

0

2

02

20

22

tt

dtxxdxxxxxxP

Завршни део часа: Домаћи задатак: 340.а),в), 341.б),д),ј),њ)

045ln22152ln252ln2

11ln

2

2

5

52

22

2

tdt

xxdxxxxI

Интеграл

173

Редни број часа ______________ Израчунавање површина помоћу одређеног интеграла – вежбање, 2 часа

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање способности за примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у израчунавању површина, повезивање раније стечених знања о кривама Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности,оспособљеност за повезивање различитих информација Васпитни задатак: схватање значаја и могућности примене математике, процена нивоа сопственог знања, вршњачка едукација Резултат часа: правилно цртање слике и израчунавање површине Кључне речи: одређени интеграл, границе, површина, график Активности наставника: подела ученика на групе, избор задатака, координација између група Активности ученика: израда задатака, помоћ другим ученицима Наставна средства: креда, табла, листићи са задацима Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа

Први час: Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Подела ученика на групе и подела задужења. Главни део часа:

Прва група:

1. Израчунати површину фигуре ограничене кривом 16102 xxy и правом 2xy .

2. У тачки са апсцисом 2 конструисана је тангента криве 29 xy . Наћи једначину ове тангенте и површину фигуре ограничене тангентом, y осом и параболом.

3. Израчунати површину фигуре ограничене кривим линијама

3

32 xyxy .

Интеграл

174


1. Израчунати површину фигуре ограничене кривом xxy 241 2 и правом 064yx .

2. Израчунати површину фигуре ограничене параболама .62 22 xxyxxy

3. Израчунати површину фигуре ограничене кривим xyxy 2 .


1. Израчунати површину фигуре ограничене параболом 22 xy и правом xy .

2. Израчунати површину фигуре ограничене параболама 182188 22 xyxxy .

3. Израчунати површину фигуре ограничене кривим линијама xyxy 22 .

Завршни део часа: Урадити задатке који су задавали највише проблема. Остале задатке ученици нека размене за домаћи задатак.

Интеграл

175

Други час:

Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа:

Прва група: 1. У ком односу парабола xy 22 дели површину круга 822 yx ?

2. Израчунати површину фигуре ограничене луком криве 345 44 xxxy и одсечком х-осе између две узастопне нуле.

3. Израчунати површину дела равни ограничену кривим линијама .xy,x

y 22 2

11

1


1. Наћи површину елипсе .by

ax 12

2

2

2

2. Израчунати површину ограничену кривом 232 23 xxy x осом и ординатама минимума и максимума. 3. Израчунати површину фигуре ограничене линијама 2;0,, xxeyey xx

Интеграл

176


1. Израчунати површину дела равни ограничену кривим линијама 634,1616 222 xyyx .

2. Израчунати површину фигуре ограничене линијама 1,022 xxeyxy x .

3. Израчунати површину фигуре ограничене кривим линијама xyxy 3 .

Завршни део часа: Урадити задатке који су задавали највише проблема. Остале задатке ученици нека размене за домаћи задатак.

Интеграл

177


Израчунавање запремине обртних тела применом одређеног интеграла

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за израчунавање запремине помоћу одређеног интеграла Образовни задатак: развијање способности за примену стечених знања о одређеном интегралу на израчунавање запремине обртних тела Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање способности за визуелну представу објеката Васпитни задатак: употреба математичког језика у решавању практичних проблема, схватање значаја повезивања раније стечених знања, неговање уредности и прецизности Резултат часа: правилно цртање слике и израчунавање запремине Кључне речи: одређени интеграл, границе, запремина, график Активности наставника: вођење ученика кроз градиво, избор и израда задатака Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити основне формуле за израчунавање запремине кроз примере ротационих тела: Правоугаоник ротира око једне своје странице, правоугли трапез ротира око краћег крака,... Главни део часа: Уз помоћ ученика формулисати: Ако крива xfy , која је непрекидна на сегменту b,a ротира око x осе добијамо тело чија се запремина добија као

b

a

dxxfV 2)( .

Примери:

1. Израчунати запремину тела које се добија ротацијом око x осе криве xy 162 , ако је

а) 10 x б) .x 125

Интеграл

178

2. Израчунати запремину тела које се добија ротацијом око x осе дела равни ограниченог кривим .063 222 xyxxy

3. Израчунати запремину тела које се добија ротацијом око x осе дела равни ограниченог кривим

.034 222 xyyx

4. Израчунати запремину која се добија ротацијом дела равни ограниченог кривим

0,0,2, yxxey x око x осе

Завршни део часа: Домаћи задатак: 342.а),б),в),г),д)

Интеграл

179


Израчунавање запремина – вежбање Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: оспосољавање ученика за примену знања, схватање великих могућности примена математике Образовни задатак: оспособљеност за примену стечених знања о одређеном интегралу на израчунавање запремине обртних тела Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за визуелну представу објеката Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, схватање значаја повезивања раније стечених знања, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљеност ученика за правилно цртање слике и израчунавање запремине Кључне речи: одређени интеграл, границе, запремина, график Активности наставника: избор задатака, давање упутстава ученицима Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поновити формуле за израчунавање запремине обртних тела. Главни део часа:

1. Израчунати запремину тела које се добија ротацијом око x осе дела равни ограниченог кривим .223 xyxy

2. Израчунати запремину тела које се добија ротацијом око x осе дела равни ограниченог кривим .034 222 xyyx

Интеграл

180

3. Израчунати површину и запремину тела које се добија ротацијом око x осе дела равни

ограниченог кривом .11 xx

y

Овако добијено тело назива се Торичелијева (Евангелиста Торичели, италијански математичар 17. века, Галилејев ученик, направио први барометар) или Габријелова труба ( арханђел Гаврило-Габријел трубом означава судњи дан). Површина трубе је бесконачна, а запремина коначна! Овакав интеграл (где је једна граница бесконачна или тачка у којој функција није дефинисана) назива се несвојствени интеграл. 4. Израчунати површину и запремину

тела које се добија ротацијом око y осе дела равни ограниченог кривом

.0;1;1;1

12 yxx

xy

5. Израчунати површину и запремину тела које се добија ротацијом око x осе дела равни ограниченог кривом

.312 xxyx

y

Завршни део часа: Домаћи задатак: 345.а),б), 342.а),в),г)

a

a aadx

xV

12

11lim111

aadxx

dxx

xPa

a a

ln2limln212

112

1 1

4

Интеграл

181


Израчунавање дужине лука криве Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: развијање способности за примену знања Образовни задатак: оспособљеност ученика за примену стечених знања о одређеном интегралу на израчунавање дужине лука криве Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за визуелну представу објеката Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, схватање значаја повезивања раније стечених знања, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљеност ученика за правилно цртање слике и израчунавање дужина лука криве Кључне речи: одређени интеграл, границе, дужина лука, график Активности наставника: краће излагање, избор задатака, израда примера Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа:

Теорема: Дужина l лука криве xfy између тачака чије су апсцисе babxax ;; износи

b

a

dxyl 2'1

Задаци:

1. Израчунати дужину лука параболе 2

21 xy између тачака

23,3,0,0 AO .

2. Израчунати дужину криве 21ln xy у интервалу 21,0 .

3. Израчунати дужину лука криве xy 2 од 0x до .1x

a b

l

Интеграл

182

4. Одредити дужину лука криве xy ln у границама .8,3 21 xx


Интеграл

183

Редни број часа ______________ Интеграл – систематизација теме

Тип часа: систематизација Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка Циљ часа: систематизације градива о интегралима Образовни задатак: систематизација стечених знања о одређеном интегралу Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину, развијање способности за визуелну представу објеката Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљеност ученика за правилно цртање слике и израчунавање површине и запремине Кључне речи: одређени интеграл, границе, график Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа

Уводни део часа: Поновити формуле за израчунавање површине геометријских фигура, запремине обртних тела и дужине лука криве. Главни део часа:

1. Израчунати површину дела равни ограниченог

400tg xyxy .

2. Израчунати површину дела равни ограничену кривим линијама

043 xyxx

y .

Интеграл

184

3. Израчунати површину дела равни ограничену кривим линијама .23 xyxyxy

4. Израчунати дужину лука параболе 24 xy између пресечних тачака са апсцисном осом.

Завршни део часа: Коментар задатака и презентација решења.

Комбинаторика

185

4. Комбинаторика Основна правила. Варијације, пермутације, комбинације (без понављања). Биномни образац.


Увод у комбинаторику. Правило збира и производа. Примена основних правила на решавање задатака

Тип часа: понављање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: понављање правила збира и производа и њихова примена приликом решавања задатака Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање логичког мишљења Васпитни задатак: употреба математичког језика, неговање уредности и прецизности, повећање интересовања за математику и њене примене Резултат часа: оспособљеност ученика да правилно употребе правило збира и производа Кључне речи: кардинални број скупа Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Комбинаторика је област математике која се бави проблемима избора и распореда елемената неког скупа у складу са датим правилима. Настала је радовима Паскала и Ферме посвећеним теорији хазардних игара. Израз комбинаторика увео је Лајбниц, који је са Ј. Бернулијем и оформио као самосталну математичку дисциплину. Велики допринос развоју комбинаторике дао је и Леонард Ојлер. Главни део часа:

Дефиниција: Број елемената неког скупа зовемо кардинални број скупа и означавамо cardA .

Дефиниција: За скупове B,A кажемо да су дисјунктни уколико је BA .

Теорема: Уколико су скупови B,A дисјунктни, онда важи

BABA cardcardcard . Правило збира: Ако је скуп А унија n међусобно дисјунктних подскупова таквих да важи:

AAAAjiAА nji ...;; 21 , онда је cardcard...cardcard 21 AAAA n

Пример: Баца се коцка за игру. На колико начина може пасти број 2 или број већи од 4?

Блез Паскал (1623-1662), француски математичар, физичар и филозоф


186

Решење: На 1+2=3 начина.

Дефиниција: Декартов производ скупова је скуп уређених парова BbAab,aBA .

Специјално пишемо 2AAA .

Елементе скупа kпутаk

k a,...,a,aA...AAA 21 зовемо уређене k торке, Nk .

Правило производа: Ако су nААА ,...,, 21 , Nn непразни скупови онда важи

Пример: Из Београда до Смедерева може се стићи на два начина, а из Смедерева до Тополе на 3 начина. На колико начина се може стићи од Београда до Тополе?

Решење: 632

Дефиниција: 12...21! nnnn (чита се n факторијел)

1. Колико парних четвороцифрених бројева се може написати цифрама 1,2,3,4,5,6 и 7 ако се цифре

не могу поновити? Решење: Број ће бити паран уколико му је последња цифра 2, 4 или 6, тј.постоје три могућности за цифру. Пошто се цифре не могу поновити за сваку следећу цифру, остаје прво 6 могућности, а затим по једна цифра мање .3604563 Могуће је и раздвојити случајеве и искористити и правило збира и правило производа: Бројева који се завршавају цифром 2 има 120456 . Толико има и бројева који се завршавају цифром 4 и бројева који се завршавају цифром 6. Стога је укупан број 120+120+120=360.

2. Колико парних четвороцифрених бројева се може написати помоћу цифара 1,2,3,4,5,6? А непарних? Решење: Нагласити да, уколико није изричито написано у задатку, цифре могу да се понове.

3666 парних и исто толико непарних.

3. Колико парних четвороцифрених бројева се може написати помоћу цифара 0,1,2,3,4,5,6? А непарних? Решење: 88247767776;11764776 или 8823776

4. Колико се седмоцифрених бројева дељивих са 4 може написати помоћу цифара 0,1,2,3,4,5 и 6 ако се цифре не могу поновити у једном броју? Решење: Број се мора завршавати на 04,12,16,20,24,32,36,40,52,56,60 или 64. Посебно се рачунају бројеви који имају нулу међу последње две цифре (4 случаја), пошто се онда нула не може поновити на првом месту. 1248768480123448123454

5. На жребању за светско првенство Србија се налази у четвртом шеширу, од могућих пет. Од екипа се формирају групе у које иде по једна екипа из сваког шешира. Ако у сваком шеширу има шест екипа у колико се различитих група може бити; у колико различитих група се може наћи Србија? Решење: 6666;66666

6. Колико се шифри од 5 слова може написати помоћу слова наше азбуке ако се слова у речи могу понављати. (Није битно да ли написана реч има смисла или не.) Решење: .3030303030

Београд Смедерево Топола

nn AAAAAA card...cardcard...card 2121


187

7. Колико седмоцифрених телефонских бројева почиње цифрама 32, а завршава се на 6? Решење: 410

8. У фудбалском првенству Енглеске учествује 12 клубова. Колико је различитих табела могуће на крају првенства? Решење: 12!

9. Колико има петоцифрених бројева са различитим цифрама чије су цифре једнаке парности? Решење: 2161234512344

10. а) Колико се различитих регистарских таблица може направити од два латинична слова (српска латиница) и осмоцифреног броја? (сви бројеви су могући од 00000000 до 99999999) Слова се налазе на почетку таблице. Решење: 82 1030

б) Колико се таблица може направити уколико су слова једно до другог али на било ком месту у таблици?

Решење: 91030 82


Домаћи задатак: 421, 422, 423, 424, 427.


188


189

Редни број часа ______________ Варијације и пермутације без понављања

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појмова варијација и пермутација Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повећање интересовања за предмет математике Васпитни задатак: оспособљавање ученика за коришћење математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да разумеју текст и правилно примене усвојене формуле Кључне речи: варијације, пермутације без понављања Активности наставника: увођење појмова варијације и пермутације, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Поновити правило збира и производа. Главни део часа: Варијације:

Дефиниција: Ако претпоставимо да је nk , варијација без понављања k те класе од n елемената скупа A је k торка различитих елемената скупа A .

Пример :

Написати све варијације треће класе без понављања скупа r,e,v,aA .

Решење: аve vae eav rav avr var ear rae aev vea eva rva aer ver evr rve arv vra era rea are vre erv rev

Треба напоменути да је обичај да се варијације пишу по азбучном редоследу, ако су елементи скупа слова, односно по величини, уколико су елементи скупа бројеви. Пребројати колико има варијација и, уз помоћ ученика, доћи до:

Теорема: Нека је NnNknk ,, 0 . Број варијација без понављања k те класе од n елемената скупа A једнак је


190

!!1...21kn

nknnnnV kn

Задаци :

1. Од 24 девојке треба изабрати мис, прву и другу пратиљу. На колико начина је могуће начинити избор?

Решење: 222324324V

2. Од 256 чланова скупштине треба изабрати председникa и потпредседника. На колико начина је могуће начинити избор?

Решење: 2552562256V

3. На кросу учествује 123 такмичара. На колико начина је могуће доделити златну, сребрну и бронзану медаљу?

Решење: 1211221233123V

4. На шаховском турниру учествује 30 играча. Турнир се игра двокружно тј. сваки играч одигра по 2 партије са сваким противником. Колико је партија одиграно?

Решење: 229302230V

5. Решити једначину: а) 3802xV

Пермутације:

Дефиниција: Пермутације скупа A од n , Nn елемената су уређене n торке скупа A .

Пример:

50401234567!7

Задаци:

Израчунати: а) !6!5 б) !50!53

в) !1

!n

n

Теорема: Број пермутација скупа A од n , Nn елемената једнак је !nnP

Задаци:

1. Написати све пермутације скупа 4321 ,,,A .

Решење: 1234 2134 3124 4123 1243 2143 3142 4132 1314 2314 3214 4213 1341 2341 3241 4231 1423 2413 3412 4312 1432 2431 3421 4321

2. На колико начина се може распоредити 8 особа на 8 различитих места? Решење: 8! 3. На семинару учествује 15 предавача. На колико начина је могуће направити редослед предавања?


191

Решење: 15! 4. Која је по реду пермутација БЕОГРАД од почетне АБГДЕОР? Решење: 1163. 5. Која је 81. пермутација од почетне АИЛМН? Решење: МИЛАН Завршни део часа: Домаћи задатак: 439, 440, 443, 444, 448, 450.


192


193

Редни број часа ______________ Варијације и пермутације без понављања – вежбање

Тип часа: вежбање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења, оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: оспособљавање ученика да правилно протумаче текст и употребе одговарајућу формулу (или задатак реше без формуле) Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање језичке културе Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: увежбаност ученика у примени варијација и пермутација у задацима Кључне речи: варијације, пермутације без понављања Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика 4+, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Поновити формуле за пермутације и варијације. Главни део часа:

1. Решити једначину: NnV

VV

x

xx ,895

57

Решење:

.15406011

894321

1654321

894321

4321654321

212 xxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

Пошто се ради о природним бројевима, одговара само друго решење.

2. Наћи n : NknknPV

P

knk

n

n ,,;24033

5 .

Решење: .1102209...240!1...23

12...45 2 nnnknknnn

nn

Може се уочити да важи Nknkn

PV nk

n ,,!

3. Решити неједначину: NnPP

V

nn

n ,04143

12

42


194

Решење:

36,...,3,2

0!14

14344

0!14

143!112

112

nn

nnnnnn

nnnn

4. Колико има пермутација цифара 1,2,3...,9 у којима није 1 испред 2?

Решење: !.921

5. Колико има петоцифрених бројева са различитим цифрама, дељивих са 5, чије цифре су из скупа 5,3,2,1,0 ?

А) 46 B) 40 C) 42 D) 48 E) 44 Решење: Број може да се заврши са 0 или 5, али не сме да почне нулом: 12331234

6. Од цифара 1,2,3,4,5,6,7,8,9 формирани су сви могући троцифрени природни бројеви са различитим цифрама. Збир свих тих бројева је једнак:

А) 11520 B) 559440 C) 404595 D) 359640 E) 279720 Решење: Бројева има .504789 Свака цифра се на свакој позицији појављује 56 пута. Збир је

900...2001005690...2010569...32156

7. На шест нумерисаних седишта на једној клупи распоредити три девојке и три младића тако да никоје две особе истог пола не седе једна до друге. То се може учинити на следећи број начина: А) 72 B) 6 C) 36 D) 720 E) 118 Решење: Може на првом седишту да буде младић или девојка !3!32

8. Колико има четвороцифрених бројева чије су цифре различите и код којих је збир последње две цифре једнак 5? А) 336 B) 154 C) 168 D) 486 E) 308 Решење: Збир је 5 у следећим случајевима 0+5, 1+4, 2+3, а сваки има два могућа редоследа

7722782 9. У равни је дато 20 тачака. Колико вектора одређују ове тачке?

Решење: 1920

10. На колико начина се може 14 људи поделити у парове?

Решење: 135791113

Завршни део часа: Бонус задатак: У одељењу је 35 ученика. Миша каже: „Свако од нас има тачно 11 пријатеља.“ „Немогуће!“, каже Предраг. Зашто? Решење: Ако су пријатељи повезани кончићима свако би требало да у руци има 11 крајева што је укупно 3853511 крајева што је немогуће.

Домаћи задатак: 442, 445, 447, 449, 451, 470, 472.


195

Редни број часа ______________ Варијације са понављањем

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења, оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: усвајање формуле за варијације са понављањем и њена примена у задацима Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за правилно тумачење текста задатка Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: развијање способности ученика да разумеју текст и препознају варијације са понављањем Кључне речи: варијације са понављањем Активности наставника: увођење новог појма, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Коментар домаћег задатка. Поновити дефиниције и формуле за варијације без понављања и пермутације.


Нека је дат скуп A чији је кардинални број једнак n , Nn . Дефиниција: Варијација са понављањем k те класе од n елемената скупа A је уређена k торка елемената скупа A .

Пример:

Нека је 321 ,,A написати све варијације друге класе скупа A .

Решење: 11 21 31 12 22 32 13 23 33

Теорема: Број варијација k те класе од n елемената скупа A је једнак kn .

Ово записујемо формулом kkn nV . (Црта изнад ознаке за варијације означаваће могућност да се

елементи понављају.)

Примери:

1. Написати све варијације са понављањем треће класе скупа r,e,v,aA .


196

Решење:

aaa vaa eaa raa aav vav eav rav aae vae eae rae aar var ear rar ava vva eva rva avv vvv evv rvv ave vve eve rve avr vvr evr rvr aea vea eea rea aev vev eev rev aee vee eee ree aer ver eer rer ara vra era rra arv vra erv rrv are vre ere rre arr vrr erv rrr

2. Колико се петоцифрених бројева може написати од цифара 0,1,...,9 тако да се цифре: (а) могу понављати (б) не могу понављати? Решење: а) 4109 б) 67899

3. Новчић се баца три пута. Колико различитих исхода има? Решење: 2228

4. На листићу спортске прогнозе налази се 5 парова. За сваки пар могуће је „одиграти“ 1, х или 2. На колико начина је могуће попунити листић? Решење: 35=243

5. Нека је zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaE ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, скуп од 26 слова енглеске абецеде. Колико различитих речи дужине 5 се може саставити од ових 26 слова ако се захтева да прво и пето слово буду различити самогласници uoiea ,,,, , док су остала три слова било који ( не нужно различити) сугласници? Решење: 185220=5.4.213

6. Телефонски број у Новом Саду може бити петоцифрен или шестоцифрен и не сме почети цифрама 0,1,9. Колико различитих телефонских бројева може бити у Новом Саду? Решење: 7.104+7.105

7. Колико има природних бројева 1000010, nn у чијем декадном запису никоје две суседне цифре нису једнаке? Решење: Двоцифрених: 9.9=81, троцифрених 9.9.9=729, четвороцифрених: 9.9.9.9=6561 Укупно 81+729+6561=7371.

8. Kолико редова има истинитосна таблица са 4 исказна слова? Решење: 24=16

9. На колико начина је од 52 карте могуће изабрати 4 тако да од сваког знака буде по једна карта? Решење: 13131313

Завршни део часа: Домаћи задатак: 473, 474, 476, 477, 478.


197

Редни број часа ______________ Варијације са понављањем

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења, развијање способности примене знања Образовни задатак: примена варијација у решавању комбинаторних проблема Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање способности за правилно тумачење текста задатка Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљеност ученика да разумеју текст и препознају варијације са понављањем Кључне речи: варијације са понављањем Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака. Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика 4+, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа: Коментар домаћег задатка. Главни део часа:

1. Колико има троцифрених бројева који се могу записати помоћу цифара 1,2,3,4,5?

Решење: 12553

2. Колико се речи дужине четири слова може написати помоћу слова наше азбике уколико није битно да ли речи имају смисла?

Решење: 430

3. Колико различитих седмоцифрених шифри за сеф (од 0000000 до 9999999) постоји?

Решење: 710

4. Регистарске таблице састоје се од два слова која означавају подручје, укупно 79 могућих ознака и, иза њих, четвороцифреног броја (од 0000 до 9999) иза којих су два слова (од азбуке од 30 слова). Колико различитих регистарских таблица је могуће направити?

Решење: 24 301079

5. Колико се четвороцифрених бројева може написати помоћу цифара 0,1,2,3,4,5?

Решење: Пошто број не може почети нулом, од укупног броја варијација одузимамо оне које

почињу нулом тј. 3436

46 66VV

6. Колико се седмоцифрених бројева може записати у бројевном систему са основом 4?


198

( У бројевном систему са основом 4 цифре су 0,1,2,3) ? Решење: 643

7. Колико различитих могућности постоји у игри „Скочко“ (Слагалица, 6 симбола се распоређује у четири поља)?

Решење: 64 8. Дата су три различита производа фабрике А, четири различита производа фабрике В и пет

различитих производа фабрике С. На колико различитих начина се сви производи могу поређати у низ уз следеће услове производи фабрике В су један поред другог, производи фабрике С су један поред другог, никоја два производа фабрике А нису један поред другог?

А) 5! B) !5!4 C) !5!4!3 D) !5!4!3!2 E) !312 Решење: Производи фабрике А налазе се између производа В и С 3! могућности, 4! за производе из В, а 5! за производе из С. В и С могу да се распореде на 2 начина.

9. На колико различитих начина 10 особа може да формира ред пред благајном у биоскопу, али тако да две уочене особе стоје једна до друге? Решење: !92 , постоје 2 распореда те две уочене особе. Две уочене особе могу да стоје на 9 места, а број распореда осталих особа је 8!



199

Редни број часа ______________ Пермутације са понављањем

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање језичке културе, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појма пермутације са понављањем Функционални задатак: развијање аналитичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да препознају проблем где ће употребити пермутације са понављањем Кључне речи: пермутације са понављањем Активности наставника: увођење новог појма, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака и учешће у увођењу појма пермутација са понављањем Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Понављање пермутација без понављања. Задатак: На колико начина је могуће на шаховску таблу поставити 8 топова да не нападају један другог? Решење: 8!


Пример: Колико пермутација од слова речи МАМА постоји? Уочити да замена места два иста слова не мења пермутацију. Исписати све пермутације и доћи до формуле:

Теорема: Број пермутација скупа na,...,a,aA 21 у којима се елементи понављају редом

Nkkk n,...,, 21 , nkkk n...21 , Nn пута једнак је

!...!!!

21, ,, 21

nkkk kkk

nnPn

Задаци:

1. Колико пермутација од слова речи МАТЕМАТИКА постоји?

Решење: !3!2!2

!10103,2,2P пошто се слова М и Т појављују два пута, а слово А три пута. Остала

слова се појављују само једанпут, па 1! не морамо писати. 2. Колико бројева се може написати помоћу цифара 1,2,2,2,3,3,3,3,4,4?

Решење: !4!2!3

!10102,4,3P


200

3. Приликом 12 бацања новчића 5 пута је пало писмо, а 7 пута грб. На колико различитих начина је могуће да се ово деси?

Решење:!7!5!12127,5P

4. Пуж се креће по решетки из тачке А у тачку Б тако што може да иде само десно и горе. На колико различитих начина може да преће пут?

Решење: Пуж треба да направи осам „потеза“ горе и осам десно.

!8!8!16

5. Колико се анаграма може направити од слова речи: а) Весна; б) Звезда; в) Партизан; г) абракадабра; д) комбинаторика?

а) 5!; б) 6!/2; в) 8!/2!; г) 11!/(5! . 2! . 2!); д) 13!/(2!)4. 6. На колико начина се могу распоредити три иста речника енглеског, 2 иста речника француског и 5

истих речника немачког језика на полици? Решење:

.2520!3!2!5

!325


Питања ученика. Домаћи задатак: 475, 479, 480, 483, 485, 487, 488.

Б

А


201

Редни број часа ______________ Комбинације

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: неговање прецизности у изражавању, развијање логичког мишљења, развијање способности примене знања Образовни задатак: овладавање пребројавањем неуређених скупова Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да разумеју проблем и примене одговарајућу формулу Активности наставника: увођење појма комбинација, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака, учешће у увођењу новог појма Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа


Пример: На колико начина је могуће изабрати три ученика за ђачки парламент од 30 ученика из одељења? Решење: Треба уочити да су изабрани ученици равноправни, тј.није битан редослед којим су изабрани. Три ученика могу бити изабрана на 3! начина. (АБВ,АВБ,БAВ, БВA,ВAБ,ВБA.)

4060!3

282930

У случају када пребројавамо неуређен скуп кажемо да су у питању комбинације. Нагласити разлику у говорном језику када се и варијације некада називају комбинацијама.


Дефиниција: !!

!knk

nkn

(чита се „ n над k “), 0, NkNn

Дефиниција: 10 n

nn

Дефиниција: Комбинације k те класе елемената скупа A који има n елемената представљају сви подскупови скупа A од k елемената.

Теорема: Број комбинација k те класе од n елемената једнак је knkn

C kn ; .

Задаци:

1. Решити систем једначина: NyxC

CC

x

yx

yx ,

662

2

Решење: 11120132662

1662

66 2122 xxxxxxx

Cx


202

Пошто се ради о природним бројевима oдговара само прво решење. Из друге једначине следи

5...21

112121...2

121221212 y

yyyy

yyCC yy

2. У игри ЛОТО извлачи се 7 од 39 бројева. На колико начина је могуће извући добитну комбинацију?

153809371234567

33343536373839

3. Од 12 учесника такмичења треба изабрати троје који ће ићи у финале. На колико начина је могуће извршити избор?

Решење: !9!3!123

12C

4. Од 256 чланова парламента треба изабрати осморо за административни одбор. На колико начина је могуће извршити избор?

Решење: !248!8

!2568256C

5. Од 50 испитних питања студент извлачи три питања. Колико различитих цедуља је могуће сачинити?

Решење: !47!3

!50350C

6. У школи има 240 ученика првог, 232 ученика другог и по 210 ученика трећег и четвртог разреда. За школски кошаркашки тим треба изабрати 12 играча тако да их буде по 5 из трећег и четвртог разреда и по један из првог и другог. На колико начина је могуће начинити избор? Решење: 1

2321240

5210

5210 CCCC

7. На колико начина се од 52 карте може изабрати 6 карата тако да буде тачно једна дама?

Решење: 548

14

8. На колико начина се од 52 карте може изабрати 6 карата тако да међу њима буде бар једна дама?

Решење: 248

44

348

34

448

24

548

14

или 648

652

9. Речник садржи све речи од пет слова које се могу образовати од три различита слова скупа FEDCBA ,,,,, . Ако је n број речи у том речнику, онда је:

A) 20001500 n B) 40003500 n C) 25002000 n D) 35003000 n E) 30002500 n

Решење: .30003!1!2!2

!53!1!1!3

!5123456

Комбинације са понављањем (није предвиђено програмом)

Теорема: Број комбинација k те класе од n елемената скупа A са понављањем код којих се један елемент може понављати до k пута. Nknkn ,0 рачуна се по формули


203

kkn

Ckn

1

Примери:

1. На колико начина 12 људи може купити три кошуље? (могу бити и исте)

Решење: 3

14

2. На колико се начина 5 бомбона може поделити на четворо деце. При томе неко дете може добити и више бомбона, а неко ниједну.

Решење: Први начин: 565

154; други начин: Разликујемо 5 ситуација: 1. Једно дете добије

5, а друга деца ниједну бомбону 4 могућности, 2. Једно дете добије 4, једно 1, а остала деца

ниједну бомбону 12!2!4

могућности, 3. Једно дете добије 3, једно 2, а остали ниједну бомбону 12

као у претходном случају 12 могућности, 4. Два детета добију по 2, једно 1, а једно ниједу бомбону 12 = могућности, 5. Два детета добију по једну, а једно 3 бомбоне, поново 12 могућности и 6. Три детета добију по једну бомбону, а једно 2 12 могућности. Укупно 4+12+12+12+12+4=56 могућности.

3. На колико начина је могуће од ружа, каранфила и љиљана направити букет од 9 цветова?

Решење: .559

19339C

4. У ресторану се могу изабрати два јела. А) на колико начина 5 особа може да наручи храну? Решење: .3225 Б) На колико начина је могуће извршити наруџбину 5 јела за понети?

Решење: .65

152


Домаћи задатак: 489, 492, 493, 494, 495, 500.


204


205

Редни број часа ______________ Комбинације без понављања – вежбање

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења, процена нивоа напредовања ученика Образовни задатак: оспособљеност ученика за правилно тумачење текста проблема и примена формуле за комбинације Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање прецизности у изражавању, развијање способности представљања свог рада Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности, развијање сарадње међу ученицима Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно протумаче текст и примене одговарајућу формулу. Кључне речи: комбинације без понављања Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке, подела ученика на групе и координација међу ученицима Активности ученика: израда задатака, међусобна подршка и помоћ Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика 4+, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији


Подела ученика на групе и подела задатака.



1. Од три математичара и пет инжењера треба формирати експертски тим од шест чланова у којем

ће бити бар два математичара. То се може учинити на: A) 25 начина B) 15 начина C) 10 начина D) 8 начина E) 7 начина

Решење: 35

33

45

23

2. Колики је број тимова од 11 играча (1 голман) ако на располагању имамо 16 играча од којих су 2 голмани, а остали играчи не могу бити голмани?

A) 1116

B) 1016

2 C) !10!2

!16 D) !14!2 E)

1014

2

Решење: Бирамо посебно голмана, а посебно играче. 3. Број пресечних тачки свих дијагонала унутар конвексног седмоугла ABCDEFG код којег се

никоје три дијагонала не секу у једној унутрашњој тачки тог седмоугла је једнак: A) 21 B) 28 C) 35 D) 42 E) 45


206

Решење: Да би се добила пресечна тачка потребне су две дијагонале, тј. четири тачке. 47


1. Број начина на који се може формирати петочлана екипа од 2 математичара и 8 физичара, тако да је у њој бар један математичар износи:

А) 132 B) 196 C) 212 D) 314 E) 422

Решење: 38

22

48

12

2. Ако је Р скуп свих петоцифрених бројева у којима се цифра 7 појављује тачно два пута и чије су преостале три цифре различити елементи скупа 6,5,4,3,2,1 , број елемената скупа Р је:

А)360 B) 400 C) 1200 D) 1440 E) 1360

Решење: Бирамо прво места за седмице. 45625

3. Колико има правоугаоника на шаховској табли који се састоје од целих поља шаховске табле?

Решење: Треба изабрати по две тачке на свакој страни табле. 129629

29


1. У разреду има 20 девојака и 10 дечака. На колико различитих начина се може одабрати 8 ученика, тако да међу њима буде 5 девојчица и 3 дечака?

Решење: 3

10520

2. Дате су две паралелне праве. На једној од њих је 10, а на другој 12 различитих тачака. Број троуглова које одређују ове тачке је:

A) 2

121

101

122

10 B)

222

322

C) 2

121

10 D) 1112910 E)

112

210

Решење: Треба изабрати две тачке са једне и једну са друге праве.

3. Од десет ученика треба изабрати екипу од шест ученика, при чему међу тих 10 кандидата постоје

два који не могу бити заједно у екипи. Број начина на који се то може учинити је: А) 84 B) 112 C) 210 D) 105 E) 140

Решење: У екипи може бити један или ниједан од те двојице. 68

58

12

. Задатак се може

решити и тако што се од укупног броја екипа одузме број екипа у којима су кандидати који не

могу бити заједно .48

610


Урадити неке задатке на табли и заједнички урадити бонус задатак: Од 30 задатака Јована зна да уради 24. На писменом испиту добиће пет задатака и положити испит уколико тачно уради бар три задатка. Колико је „повољних“ могућности? Решење: 5

24424

25

324 5 CCCC


207


Биномна формула; Паскалов троугао

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: схватање значаја проучавања математике кроз историју, повезивање и развијање способности примене знања Образовни задатак: усвајање Њутнове биномне формуле Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: развијање позитивног става према математици Резултат часа: оспособљавање ученика за примену биномне формуле Кључне речи: биномна формула, Паскалов троугао Активности наставника: кратак увод кроз историју математике, приказ биномне формуле и њених особина, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: повезивање претходно стечених знања, израда задатака Наставна средства: креда, табла, лаптоп, видео бим Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, В.А Успенски: Троугао Паскала Уводни део часа: Блез Паскал: Рођен у Клермону у Француској 19. јуна 1623. Умро 19. августа 1662. Поновити:

32233

222

1

0

33

2

1

yxyyxxyx

yxyxyx

yxyx

yx

Главни део часа: Теорема (Њутнова биномна формула):

.,;...10 0

1

0NkNny

nn

xyn

yn

yxkn

yx nnnn

k

knkn

Коефицијенте nn

,...,n

,n

10 зовемо биномни коефицијенти.

Општи члан у развоју бинома је облика kknk yx

kn

T 1

Пример:

„Развићемо“ бином


208

243810108072024032

355

3245

3235

3225

3215

205

32

2345

5432

23455

xxxxx

xx

xxxx

Уколико дефинишемо 100

биномни коефицијенти се могу одредити из тзв. Паскаловог троугла

(аритметички троугао). То је троугао састављен од бројева тако да су у свакој врсти први и последњи члан једнаки 1, а сваки други је једнак збиру два суседна броја из претходне врсте.

...............44

34

24

14

04

33

23

13

03

22

12

02

11

01

00

Особине биномних коефицијената (Уколико постоји могућност приказати кратку презентацију о особинама биномних коефицијената)

1. n

nn

...nn

210

(Збир коефицијената у свакој врсти једнак је степену броја 2, нпр. збир коефицијената у шестој врсти је 62 )

2. По дефиницији је 10 n

nn

(Први и последњи члан реда у Паскаловом троуглу једнаки су 1).

3. nkkn

nkn

0

(Паскалов троугао је симетричан тј. нпр. у петој врсти је други коефицијент с леве стране једнак другом коефицијенту с десне стране.)

4. nkkn

kn

kn

1111

(Сваки елемент, осим првог и последњег у врсти, једнак је збиру два суседна елемента из предходне врсте.)


209

5. Степени броја 11:

6. „Палица за хокеј“: 1+6+21+56=84 1+7+28+84+210+462+924=1716 1+12=13 n

i ki

kn

011

Задаци:

1. Наћи пети члан у развоју бинома 931 x .

Решење: 44514 1020631

49

xxT

2. Наћи коефицијент уз 8a у развоју бинома 12

3

1 aa

.

Решење: Општи члан у развоју бинома једнак је

98123112

12

31

1 kkkaak

T kk

k , па је коефицијент

.2209

12 Уочити да је биномни коефицијент 220

912

, а коефицијент .2209

12

3. Израчунати збир биномних коефицијената

77

67

57

47

37

27

17

07

.

Решење: 12827

4. У биномном развоју 81

xx наћи члан који не садржи x .

Ред 0: 110 = 1

Ред 1: 111 = 1 1

Ред 2: 112 = 1 2 1

Ред 3: 113 = 1 3 3 1

Ред 4: 114 =1 4 6 4 1


210

Решење: Општи члан развоја је облика k

kk x

xk

T 18 81 . Члан неће садржати x уколико

је степен броја x једнак нули, односно .408 kkk Члан је 48

.

5. Наћи Nn , тако да је збир коефицијената другог и трећег члана у развоју n

xx

65 2 1

једнак

153. За такво n одредити члан који не садржи .x Решење:

17180306

1532

115321

212 nnnn

nnnnn

Пошто је n природан број може бити само 17, па је тражени члан .5

17

Завршни део часа: Мала математичка шала: Expand (a+b)2

(a+b)2

( a + b )2

( a + b )2

( a + b )2

( a + b )2

( a + b )2

Неком од ученика дати да за домаћи задатак припреми кратак приказ из живота Блеза Паскала, а другиОМ ученикУ историјат Паскаловог троугла. За све ученике: 517.а), 520, 522, 524, 531.


211

Редни број часа ______________ Биномна формула – вежбање

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: развијање логичког мишљења, оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: увежбаност ученика у примени биномне формуле и особинама биномних коефицијената Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности, развијање сарадње међу ученицима Резултат часа: оспособљавање за примену биномне формуле Кључне речи: биномна формула Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака, међусобна помоћ и сарадња Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Приказ домаћих задатака о Блезу Паскалу и историјату Паскаловог троугла.



1. У развоју бинома 81

xx члан који не садржи x је:

A) други B) трећи C) четврти D) пети

2. Коефицијент уз 8a у развоју бинома 12

3

1 aa

је:

A) 0 B) 456 C) 220 D) 70 E) 70

3. Број ирационалних чланова у развоју степена бинома 1004 32 једнак је:

A) 74 B) 75 C) 26 D) 101 E) 25 4. Сума биномних коефицијената чланова на непарним местима у разлагању бинома

n

a

baa7 3

53

једнака је 2048. Члан који садржи 3a је:

A) - 73264 ba B) 73264 ba C) 73132 ba D) 73132 ba Е) 93256 ba Решења: Захтевати комплетан поступак: DСBA


212


1. У развоју степена бинома 12

3 1x

x , x не садржи:

A) пети члан B) седми члан C) десети члан D) једанаести члан


3

1x

x један члан је .6/1xa Тада је a једнако:

A) 0 B) 56 C) 56 D) 70 E) 70

3. Број рационалних чланова у развоју степена бинома 19943 36 је:

A) 333 B) 334 C) 330 D) 331 E) 332

4. Збир свих биномних коефицијената у развоју бинома n

xxx 3

1 једнак је 256 за неко

Nn . Средњи члан у том развоју је:

A) 70 B) 5 C) 3 2470 xx D) 3370 xx Е) 3 2256 x

Решења: CСAC



31x

x сабирак који не садржи x једнак је:

A) 495 B) 792 C) -792 D) 924 E) такав сабирак не постоји

2. Један члан у развоју степена бинома 7

3 2

1 xx

је облика 2Cx .Тада C износи:

A) 35 B) 21 C) 7 D) 1 3. Збир биномних коефицијената трећег од почетка и трећег од краја члана развоја бинома

Nnn

,43 34 једнак је 2450. Број рационалних чланова у том развоју једнак је: A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

4. Пети, шести и седми коефицијент у развоју степена бинома nba су три узастопна члана растуће аритметичке прогресије. Степен n је тада:

A) прост број B) непаран број C) број мањи од 10 D) број већи од 12 E) не постоји такав број Решења: EАDD

Завршни део часа: Коментар задатака.


213

Редни број часа ______________ Комбинаторика – систематизација теме

Тип часа: систематизација Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: систематизација градива, оспособљавање ученика за примену знања Образовни задатак: систематизација стечених знања из комбинаторике Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, повезивање различитих информација у систематизовану целину Васпитни задатак: оспособљавање за употреба математичког језика, неговање уредности и прецизности, оспособљавање за процену свог знања Резултат часа: оспособљавање ученика да примене знање у задацима из комбинаторике Кључне речи: варијације, пермутације, комбинације Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Ђорђе Кртинић: Математика 4+, Решени задаци са пријемних испита на универзитетима у Србији Уводни део часа:

Поновити дефиниције и формуле за варијације, пермутације и комбинације. Ученици извлаче задатак. Након тога бирају да ли желе да га ураде на табли или проследе неком другом. Други ученик нема право да проследи задатак даље. Уколико ниједан од два ученика не уме да уради задатак на табли га ради неко од ученика (ако се јави) или професор.


1. На колико различитих начина се могу од првих 18 природних бројева одабрати три броја тако да

им збир буде дељив са 3? Решење: Збир је дељив са 3 уколико су сва три броја дељива са 3 или сва три имају остатак 1 или један је дељив са 3, а остала два дају остатке 1 и 2 или сва три дају остатак 2.

.27636

66636

36

2. Срећке су нумерисане шестоцифреним бројевима од 000001 до 999999. Срећка се сматра срећном ако су прве три цифре непарне и различите, а друге три цифре (четвртa, петa, шеста) парне, при чему цифре 7 и 8 не могу стајати једна поред друге. Колико има свега срећних срећака? Решење: Треба уочити да се парне цифре могу поновити. 72005534555345

3. Колико има четвороцифрених бројева који се у броjном систему са основом 10 записују помоћу највише две цифре? А) 9000 B) 576 C) 6480 D) 437 E) 583 Решење: Бројева који се записују само са једном цифром је 9, а код оних са две цифре треба разликовати случај када је једна од њих нула (осталих може бити 9) и када није (од 9 које нису

нуле изабране су 2). 33192!3!4

!2!2!4

29

9


214

4. Природних бројева који имају бар две цифре и код којих је свака цифра мања од предходне има: А) 1023 B) 1013 C) 9! D) 1024 E) 9!-10 Решење: Посматрамо опадајући низ 9876543210 из кога избацујемо по 1, 2,3,...,9 цифара (водећи рачуна да не може остати нула пошто није природан број). Искористити особину биномних

коефицијената. 11219

102

810

410

310

210

91 1010...

5. Број начина на које могу да се изаберу два двоцифрена несуседна броја је: А) 3826 B) 3827 C) 3916 D) 3915 E) 3960 Решење: Уочити да бројеви 99 и 10 имају само по један несуседни број, а остали бројеви по 2

суседна броја. 28788

2882

или 892

90

6. Свих шестоцифрених бројева који имају три парне и три непарне цифре мање од 4101a , а

више од 410a , где је: A) 25a B) 26a C) 27a D) 28a E) 29a Решење: Сви шестоцифрени бројеви који имају по 3 парне и 3 непарне цифре добију се када се изабере 3 од 6 места за парне цифре. За свако место конкурише по 5 парних тј. непарних цифара.

Треба одузети оне који почињу нулом 2812505525

5536 3233

7. Коцка за игру чије су стране нумерисане бројевима 1,2,3,4,5,6 баца се до појаве броја 6, а највише три пута. Резултат експеримента је број записан редом цифрама које су тако регистроване. Колико различитих бројева се може добити? А) 156 B) 186 C) 131 D) 31 E) 150 Решење: Једноцифрени 1, двоцифрених 5 . 1=5, троцифрених 5 . 5 . 6=150

8. Шифра на сефу одређена је низом од пет декадних цифара. Колико има шифара чије цифре чине строго опадајући низ? А) 30240 B) 15120 C) 7560 D) 1890 E) 252 Решење: Шифра се добија уколико се прецрта 5 цифара опадајућег низа 9876543210, а то се може

учинити на 2525

10 начина.

9. Нека је n број свих пермутација цифара 1,2,3,4,5,6,7,8 у којима су на непарним местима непарне, а на парним местима парне цифре. Тада је:

A) !4!8n B) 2!4n C) !42n D) 2!8n E) !44n

Упутство: схватимо као два четвороцифрена броја са парним, односно непарним цифрама. 10. Број начина на које четири особе могу да поделе пет различитих књига, тако да свака особа добије

бар једну књигу и да све књиге буду подељене, је: A) 45 B) !54 C) 54 D) !44 E) !52

Решење: !514

21

11. Коефицијент уз 8a у развоју бинома 11

231 aa

је:

A) 462 B) 165 C) 330 D) 462 E) 8

12. У развоју бинома 0,0;113

52

4 2 xaax

xa члан који не садржи x гласи:


215

A) 1287 3a B) 41024a C) 2390a D) a156 E) 552a

13. Наћи Nn , тако да је збир коефицијената другог и трећег члана у развоју n

xx

65 2 1

једнак

153. За такво n одредити члан који не садржи .x

Решење: 1317

;17 13Tn

14. Средњи члан у развоју степена бинома 141 x

x по биномној формулу је:

A) 2402 2/7x B) -2432 2/7x C) 3432 2/5x D) 2402 2/7x E) 3432 2/7x Завршни део часа:

Коментар задатака.


216

Вероватноћа и статистика

217

5. Вероватноћа и статистика

Случајни догађаји. Вероватноћа. Условна вероватноћа и независност. Случајне величине. Биномна, Пуасонова и нормална расподела. Средња вредност и дисперзија. Популација,

обележје и узорак. Прикупљање, сређивање и приказивање података. Појам оцене параметара. Оцене вероватноће, средње вредности и дисперзије. Интервалне оцене за вероватноћу и

средњу вредност. Редни број часа ______________

Опити и исходи опита, догађаји, случајан догађај, релације између догађајима

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: схватање значаја историје математике и могућности њене примене Образовни задатак: усвајање основних појмова везаних за вероватноћу: експеримент, случајан догађај, исход Функционални задатак: стварање основе за наставак учења Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, развијање радозналости и потребе за учењем Резултат часа: оспособљавање ученика да формирају простор елементарних исхода за једноставније случајне догађаје Кључне речи: случајни догађај, исход, експеримент Активности наставника: уводна прича о вероватноћи, увођење нових појмова Активности ученика: активно учешће у причи о настанку вероватноће Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Библија, Abrams, William, A Brief History of Probability

Уводни део часа: Реч шанса потиче од старофранцуске речи cheance што значи „на који начин нешто пада“. У почетку се начин на који пада коцкица приписивао вољи богова. Астрагаломантија је уметност општења са таквим боговима. Прорицање помоћу коцкица за игру приписује се Лидијцима из Мале Азије (6.век п.н.е.) или Пармениду који је ово увео у Атину у 4. веку пре нове ере. Али коцке направљене од костију животиња, астрагали, пронађени су у преко 40 000 година старим налазиштима у Африци! Модели коцкица за игру појављују се у обредима

афричких племена и народа Маја. Шива, хиндуистички бог са хиљаду имена, када не игра или не уништава, приказан је како бацањем коцкица одређује судбину човечанства. У старом Тибету изасланик Далај ламе редовно се коцкао са националном жртвом и увек побеђивао, јер је играо са намештеним коцкицама које су, због олова у себи, увек показивале шестицу.

астрагали


218

Постоји легенда по којој су хиндуистички бог Шива и Парвати, богиња моћи, редовно играли игру са коцкама. Једном је игра постала веома занимљива па су кренули да се кладе за време игре. Парвати је заложила свој накит, а Шива свој трозубац. Шива је изгубио. Да би повратио трозубац Шива залаже свету змију коју такође губи. Постиђен одлази у шуму. Бог Вишну се умешао и рекао Шиви да поново игра и поврати изгубљено. Шива игра поново и враћа све изгубљено. Парвати се осећа превареном и назива Шиву преварантом.

Поново се умешао бог Вишну и објавио да је он управљао коцком. Такође је рекао да је играње коцком непредвидљиво као сам живот и ван контроле, саветујући играчима да буду опрезни при клађењу.

Иако Библија не помиње експлицитно коцкање, она помиње догађаје "среће" или "шанса". У Причама Соломоновим 16:33 каже: „Ждријеб се баца у крило, али је од Господа све што излази.“


Вероватноћа је грана математике која се бави случајним догађајима и процесима, тј. догађајима чији се исход не може са сигурношћу предвидети. Експерименте који се могу понављати бесконачно много пута и који не доводе до једнозначно одређеног исхода зову се случајни експерименти (у даљем тексту само експерименти). Резултати експеримента зову се исходи. Скуп свих исхода означава се словом и зове простор елементарних догађаја.

Примери:

1. Посматрајмо експеримент бацања коцке. Могуће је да се појави један од бројева 1,2,3,4,5,6. 654321 ,,,,, .

2. У експерименту бацања новчића два пута ГГГППГПП ,,, .

3. Уколико коцку за игру бацамо два пута. Треба уочити да се рачунају нпр. исходи 13 и 31. У противном би збир 6 био једнаковероватан (интуитивно) као збир 7, што није тачно. Збир 6 може се добити као 15,(51),24,(42),33 а збир 7, као 16,(61),25,(52),34,(43).

6,6,5,6,4,6,3,6,2,6,1,6,6,5,5,5,4,5,3,5,2,5,1,5,6,4,5,4,4,4,3,4,2,4,1,4

,6,3,5,3,4,3,3,3,2,3,1,3,6,2,5,2,4,2,3,2,2,2,1,2

,6,1,5,1,4,1,3,1,2,1,1,1


219

Дефиниција: Нека је простор елементарних догађаја неког експеримента. Сваки подскуп скупа зове се случајан догађај. (у даљем тексту само догађај)

Пример: У експерименту бацања коцке догађај је „пао је паран број“. 642 ,,A

Догађај који се увек реализује зовемо сигуран догађај, а догађај који се никада не може реализовати зовемо немогућ догађај.

Пример: У експерименту бацања коцке сигуран догађај је нпр. „пао је број мањи од 10“, а немогућ догађај „пао је број 8“.

Ако је BA каже се да догађај A повлачи догађај B .

Ако је BA каже се да су догађаји еквивалентни.

Догађај BA (унија догађаја) се реализује ако се реализује бар један од догађаја A , B .

Пресек догађаја BA се реализује ако се реализују и догађај A и догађај B .

Пример: У експерименту бацања коцке догађај A је „пао је број мањи од 4“, тј. 321 ,,A , а догађај B „пао је паран број“, тј. 642 ,,B 264321 BA;,,,,BA

Унију ћемо записивати и са BA , а пресек AB .

Супротан догађај, у ознаци A је догађај A\ .

Пример: Ако је у експерименту бацања новчића догађај A „пао је грб“, онда је догађај A „пало је писмо“.

Догађаји су дисјунктни уколико је AB .

Задаци:

1. Одредити супротне догађаје датим догађајима: А) Појава два грба при бацању два новчића Б) Бар један погодак од 5 гађања В) Не више од 2 поготка од 5 гађања

2. Четири студента полажу испит. Нека су редом A,B,C,D догађаји да су положили. Приказати помоћу A,B,C,D следеће догађаје:

А) Ниједан студент није положио Б) Положио је само први студент В) Положио је тачно један студент.

Задаци: 608, 609, 610, 611.


Домаћи задатак: 612, 614.


220


221

Редни број часа ______________ Операције са случајним догађајима (збир и производ)

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: правилно извршавање операција над догађајима Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу употреба математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно протумаче текст и примене одговарајућу операцију Кључне речи: случајни догађај Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Поновити шта је случајни догађај и основне операције са скуповима.


1. Од слова речи МАТЕМАТИКА на случајан начин бира се једно слово. Написати простор

елементарних догађаја. Описати догађаје А – избор слова које се налази међу првих 15 у азбуци, В – избор једног од слова које се понављају С – избор самогласника. Наћи пресек догађаја В и С.

2. У кутији се налазе куглице нумерисане бројевима од 1 до 30. На случајан начин се бира једна куглица и посматра добијени број. Одредити простор елементарних догађаја. Одредити догађаје А- добијен је број дељив са 2, В – добијен је број дељив са 5. Који елементарни догађаји чине ове догађаје? Наћи пресек, унију и разлику ових догађаја.

3. Одредити простор елементарних догађаја у игри ЛОТО. 4. Новчић се баца 3 пута. Одреди простор елементарних догађаја. Описати догађаје А – резултати

првог и другог бацања су различити, В – добијена су тачно два писма, С-добијена су бар два писма. Наћи пресек ових догађаја. Описати догађаје .,,, BAСABABA

5. Ако су А,В,С догађаји из истог простора елементарних догађаја проверити преко Венових дијаграма тачност следећих тврђења:

.;

;;

BABABABA

CACACBACBCACBACBACBACBACBA


222

6. На датој мапи је дозвољено кретање само удесно и на горе. Описати простор елементарних исхода, ако се пут бира на случајан начин. Описати догађај да случајно изабрани пут иде од А, преко В, до С.

7. Четири српска клуба играју међународне утакмице. Ако са A, B, C, D означимо њихове успехе,

изразити следеће догађаје А) ниједан није победио Одговор: DCBA Б) победио је само први клуб Одговор: DCBA В) победио је само један клуб Одговор: DCBADCBADCBADCBA Г) победио је макар један клуб Одговор: DCBADCBA Д) победила су два клуба Ђ) победила су највише два клуба Е) победила су најмање три клуба Ж) победила су највише три клуба

Завршни део часа: Домаћи задатак: Неколико ученика нека припреми причу о настанку вероватноће, пар речи о математичарима који су за то заслужни: Кардано, Блез Паскал, Пјер Ферма, Јакоб Бернули, Абрахам де Муавр, Лаплас, Колмогоров.

С

В

А


223


Статистичка дефиниција вероватноће. Класична дефиниција вероватноће. Основна својства вероватноће

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења, оспособљавање ученика за примену знања, схватање значаја историје математике Образовни задатак: усвајање дефиниције вероватноће и њених особина Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности, развијање радозналости и жеље за учењем Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно дефинишу и разумеју вероватноћу Кључне речи: вероватноћа, особине вероватноће Активности наставника: помоћ ученицима приликом излагања, приказ дефиниције и особина вероватноће, избор задатака Активности ученика: приказ настанка вероватноће и математичара који су томе допринели, израда задатака Наставна средства: креда, табла, слике Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Вукомановић: Вероватноћа и статистика, Петковић, Петковић: Математички времеплов Уводни део часа: Ученици представљају домаћи задатак: Како настаје вероватноћа:

Иако већ у 14. веку ничу прва осигуравајућа друштва у Италији и Холандији у којима су израчунаване шансе ризика сматра се да вероватноћа настаје у 17. веку (1654. године) при покушају разматрања исхода игара на срећу. Игра се прекида пре краја. Поставља се питање како поделити улог. Преписка између Паскала и Ферме (1654. године) се узима као почетак развитка теорије вероватноће. Коцкар Шевалије де Мере поставља питања Паскалу у вези игре с коцком. Касније приказати проблем. Хајгенс такође има велику улогу у настанку теорије вероватноће. Јакоб Бернули (1654-1705.) пише „Трактат о науци предвиђања“ , који након његове смрти, објављује Никола Бернули 1713. год. У овој књизи прецизно је доказана прва гранична теорема. Закон великих бројева у своме најједноставнијем облику тврди да се релативна вероватноћа случајног догађаја приближава вероватноћи овог догађаја када се случајни експеримент понавља велики број пута. Теорема је више пута практично потврђивана. Буфон је бацио новчић 4040 пута и 1992 пута се појавио грб. Пирсон је најпре бацио новчић 12000 пута и добио 6019 пута грб, а касније се од 24000 бацања грб појавио 12012 пута. Фреквенције појаве грба су 0,4931, 0,5016, 0,5005. Вероватноћа да новчић покаже писмо или главу износи 1/2. Што се више пута понавља овај експеримент вероватније да ће број исхода када падне глава бити близак 1/2. Ово се погрешно тумачи да ће се исходи који се нису до сада понављали сада чешће појављивати. Вероватноћа да падне глава је 1/2 без обзира на исходе претходних експеримената.


224

У почетку су разматрани само случајеви који имају дискретне исходе и захтевају просту комбинаторику. Уочава се да се поједини догађаји реализују са релативно стабилном фреквенцијом. Нпр. бацање новчића. У 19. веку математичари на западу сматрају вероватноћу врстом математичке забаве и не придају јој значај. За разлику од њих вероватноћа се снажно развија у тадашњем СССР-у. Андреј Николајевич Колмогоров заснива аксиоматску теорију вероватноће. Њега следи доста математичара Марков, Чебишев,...

Математичари који су допринели настанку и развоју вероватноће: (Испричати нешто од овога)

Ђироламо Кардано (латински: Hijeronimus) (1501-1576), био је италијански математичар, филозоф и лекар. Отац му је био пријатељ Леонарда да Винчија и његов биограф. Био је ванбрачно дете и у биографији је тврдио да је мајка није хтела да га роди. Због тешке нарави, али и нелегитимног рођења, тешко је налазио посао након завршетка студија медицине. Живео је бурно. Често на ивици моралног и допустивог. Оба сина су му били ван закона. Старији је убијен од стране инквизиције због тога што је отровао жену, а млађи је, попут оца, био зависник од коцке и због дугова прибегавао

крађи. И Кардано је био у затвору инквизиције пошто је урадио хороскоп Исуса Христа, али је брзо ослобођен због добрих веза са с двором. Неки тврде да је починио самоубиство да би доказао своју

теорију о предвиђању сопствене смрти. Бавио се највише алгебром. За њега се везује решавање специјалног облика кубне једначине 023 cbxax . Био је у преписци са Тартаљом који га касније оптужује за крађу резултата. Схватао је постојање имагинарних бројева, али није знао њихову употребу. Увек је имао мало новца што је покушавао да надокна ди коцкањем и играњем шаха. Написао је „Књигу о играма и шанси“ у којој се први пут на систематичан начин говори о вероватноћи. Познат је по Кардановом вратилу (зглобна осовина), мада је вероватно проналазак нешто старији, као и по Кардановој

решетки, систему за скривено писање порука.

Блез Паскал (1623-1662), француски математичар, физичар и филозоф. У његовој кући су се састајали знаменити математичари и физичари, што касније прераста у Париску академију наука. Блезов отац, Етијен сам га је подучавао и сматрао да до 15.-те године не треба да се бави математиком. Настојао је да му син најпре научи латински и грчки. Али Блез је само још више развио своју радозналост и почео да ради геометрију већ у дванаестој години. Иако је био одушевљен његовим знањем, Блезов отац није одустајао од своје одлуке да сам подучава сина. У том раном периоду, међутим, за дечака су били значајни сусрети са Галилејем и Декартом, као и његово познанство са математичарем Фермаом, с којим ће створити темељ рачуна вероватноће.

Паскал се сматра једним од најзначајнијих аутора француског класичног периода, као и једним од великих мајстора француске прозе.

Карданово вратило (осовина)

Карданова решетка – тајне речи су саривене иза отвора на решетки


225

Пјер Ферма (1601-1665), француски (Баск по националности) правник и математичар. Његова преписка са Паскалом сматра се оснивањем теорије вероватноће. Де Ферма је познат по својој Великој Фермаовој теореми, која се још зове и Последња Фермаова теорема и каже: Једначина nnn zyx нема целобројних решења за 2n , осим тривијалних са 0 и 1. Када је преминуо, у његовој заоставштини је на маргини Диофантове књиге „Аритметика“ пронађен запис у коме Ферма тврди како је пронашао елегантан доказ за ово тврђење, али да су маргине дате књиге сувише мале да би доказ на њима извео. Наредних 300 година математичари широм света су покушавали да нађу овакав

доказ, и у томе су успели тек крајем 20. века.Фермаову теорему доказао је Ендру Вајлс 1993. године, међутим испоставило се да је доказ имао неколико слабости, па је Вајлс уз помоћ колеге Ричарда Тејлора те слабости отклонио и доказ је коначно објављен 1995. године. Ово је математичка теорема за чије решавање је додељена новчана награда.

Јакоб Бернули I (1654-1705), швајцарски математичар. Доказао је један специјалан случај Закона великих бројева, Бернулијева (биномна) шема. Ојлеров отац био му је ученик. Открио је константу е проучавајући сложени интересни рачун

n

n nе 11lim

Први је употребио реч интеграл. За надгробни споменик изабрао је логаритамску, али му је каменорезац урезао Архимедову спиралу и мото „Промењен, а ипак исти, ја ћу поново устати (уздићи се).“ . Логаритамску спиралу сматрао је као симбол да се и након свих промена, па чак и након смрти, вратити самом себи. Абрахам де Муавр (1667-1754), енглески математичар, рођен у Француској. Увео је случајног догађаја. Систематизовао и развио резултате Паскала, Ферме, Бернулија. За време владавине Луја 14. Нантским едиктом, као протестанти, породица је

протерана у Енглеску. У Енглеској није могао да предаје математику пошто је Француз. Био је лични Њутнов пријатељ, али је изјавио да би радије био Молијер него Њутн. Знао је сва Молијерова и Раблеова дела напамет. Никада се није женио. Као старији проценио је време своје смрти и одлучио да свакога дана спава 15 минута дуже док не преспава 24 сата. Тако је и било. Умро је у сну. Увео је појам математичког очекивања. Доказао је теорему коју називамо Муавр-Лапласова теорема. Написао је књигу „Аналитичка теорија вероватноће“. По њему је названа Муаврова формула за степеновање комплексних бројева. Пјер Симон Лаплас (1749-1827), француски математичар, физичар и астроном. Наполеон га, након узимања власти државним ударом 1799. именује за министра унутрашњих послова, али га Наполеонов брат смењује након само 6 недеља, када је учвршћена револуционарна власт. Кажу да је мењао своје политичке ставове према промени власти. Једном приликом, када је Наполеону приказано Лапласово дело Наполеон је рекао: „ Господине Лаплас кажу да сте написали ово велико дело о систему Универзума, а да ниједном нисте поменули његовог Творца.“ Лаплас: „Нисам имао потребу


226

за том хипотезом.“ Стивен Хокинг изјавио је 1999. „ Не мислим да је Лаплас тврдио да Бог не постоји, већ само да не интервенише, да не крши законе науке.“ Лапласова последња реченица наводно је била мисао: „Оно што знамо је мало, а оно што не знамо огромно.“ Сви ефекти природе су само математички резултати малог броја непроменљивин закона.“

Од Лапласа потиче узречица „Стога је јасно да...“ за нешто чему је доказ затурен или за неку истину коју је тешко доказати.

Андреј Николајевич Колмогоров (1903-1987.) руски математичар. Приписује му се изрека: „Сваки математичар верује да је изнад осталих. Разлог зашто то не кажу јавно је што су то паметни људи.“


Дефиниција (емпиријска, класична): Вероватноћа случајног догађаја A је nmAp , где је број

m број тзв. повољних исхода, тј. број елемената скупа A , а n укупан број догађаја, тј. број елемената скупа . Важе следеће теореме: Теорема: За сваки догађај А важи 0Ap .

Теорема: Вероватноћа сигурног догађаја једнака је 1. Теорема: Ако се догађај А може разложити на два дисјунктна догађаја важи

21 ApApAp .

Теорема: Вероватноћа супротног догађаја једнака је ApAp 1 .

Теорема: Вероватноћа немогућег догађаја једнака је 0.

Примери:

1. У експерименту бацања коцке догађај A је «пао је паран број». Вероватноћа догађаја је

21

63Ap .

2. Од 10000 производа 32 је неисправно. Колика је вероватноћа да ће случајно изабрани производ бити неисправан?

Решење: 0032,010000

32p

Особине вероватноће:

1. Ненегативност: 0Ap,A .

2. Нормираност: 1p .


227

3. p ( )=0

4. Адитивност: ако је B,A и AB онда је BpApBAp

5. ApAp 1

6. Ако је BA онда је BpAp

Задаци:

1. Одредити вероватноћу да коцка покаже на горњој страни број дељив са 3. 2. Одредити вероватноћу да коцка покаже на горњој страни број који није већи од 3. (Водити рачуна

да може бити једнак 3.) 3. Oдредити вероватноћу да две бачене коцке покажу бројеве чији је збир 8. 4. Међу 4000 природних бројева налази се 551 прост број. Одредити вероватноћу појаве простог

броја. 5. Неписмено дете слаже коцке на којима се налазе следећа слова А,А,А,Е,И,К,М,М,Т,Т. Колика је

вероватноћа да ће саставити реч МАТЕМАТИКА? 6. Од 10000 производа 32 је неисправно. Колика је вероватноћа да ће се при истовременом избору

два производа изабрати оба исправна?

Решење:

210000

29968

p .

7. У кутији се налази 5 црвених, 3 жуте и 7 белих куглица. Колика је вероватноћа да ћемо при истовременом извлачењу две куглице извући обе жуте куглице?

Решење:

21523

p .

8. У робно-новчаној лутрији од 1000 000 срећака 1000 су са новчаном наградом, а 100 са робном наградом. Колика је вероватноћа да ће једна купљена срећка донети добитак?

9. Исти текст као у претходном задатку. Колика је вероватноћа да ће од две купљене срећке бар једна бити добитна.

Решење:

21000000

21100

11100

1999900

p


228

Завршни део часа: За домаћи задатак урадити неурађене задатке са часа.

Парадокс де Мере-а: Шта је вероватније да у 4 бацања једне коцке бар једном падне 6 или да се у 24 бацања две коцке бар једном појаве две шестице?

215086,01

36351

21

1296671

651

24

4

4


229

Редни број часа ______________ Вероватноћа уније и пресека догађаја

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: разумевање поступка за израчунавање вероватноће пресека и уније догађаја и примена у задацима Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно реше задатак о налажењу вероватноће уније и пресека Кључне речи: вероватноћа уније, вероватноћа пресека догађаја Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: слике, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа, Петковић, Петковић: Математички времеплов Уводни део часа:

Поновити дефиницију пресека и уније догађаја и шта су дисјунктни скупови.


ABCpBCpACpABpCpBpApCBApABpBpApBAp

Примери:

1. Одредити вероватноћу да из шпила од 52 карте извучемо или краља или даму.

Решење: 1538460528

524

524 ,BpApBAp Уочити да је, због дисјунктности

скупова, .0BAp

2. Од 52 карте извлачимо једну карту. Одредити вероватноћу да ће извучена карта бити или дама или херц.

Решење: 3077,05216

521

5213

524ABpBpApBAp

3. Бацамо две коцке. Одредити вероватноћу да ће оне показати два једнака броја или два броја чији је збир 7 или два броја чији је збир 8.

Решење:

4444036160

3610

365

366

366 ,

ABCpBCpACpABpCpBpApCBAp

4. Колика је вероватноћа да од 32 карте за игру извучемо или краља или аса или слику.


230

Решење: 5,021

321600

3240

3212

324

324p

5. Из шпила од 52 карте на случајан начин се извлачи једна карта. Израчунати вероватноћи следећих

догађаја: А) Извучена карта је краљ херц. (1/52) Б) Извучена карта је херц (13/52) В) Извучена карта је кец пик или карта херц (7/26) Г) Извучена карта је пик или херц. (1/2)

6. Из скупа двоцифрених бројева бирамо један број. Колика је вероватноћа да он буде дељив са 3 или са 5?

7. Бацамо две коцке. Колика је вероватноћа да ће оне показати или два једнака броја, или два броја чији је збир 7 или два броја чији је збир 9?

8. Из шпила од 52 карте извучена је једна карта. Колика је вероватноћа да је извучен краљ или пик или карта мања од 10?

Дефиниција: За догађаје A и В кажемо да су независни уколико реализација једног догађаја нема утицаја на реализацију другог догађаја, тј. да важи BpApBAp .

Примери:

1. Правилни тетраедар има једну страну обојену у црвено, другу бело, трећу зелено, а четврта страна је тробојна бело-црвено-зелена. Пирамида се баца и бележе догађаји: А-на основи има беле боје , В-на основи има црвене боје , С- на основи има зелене боје. Испитати независност ових догађаја. Решење:

41

41

21

42 ABCp;ACpBCpABp;CpBpAp . Догађаји су независни у

паровима пошто је нпр. BpApABp , али нису укупно независни пошто CpBpApABCp

2. У кутији се налази 5 белих и 8 црних куглица. Извлачи се куглица, региструје њена боја и куглица врати у кутију, па се поново извлачи куглица. Колика је вероватноћа да ће два пута за редом бити извучена а) бела б) црна куглица в) куглице различите боје?

Решење: а) 135

135

б) 138

138

в) 135

138

138

135

или 138

138

135

1351

Задаци:

1. Претпоставимо да је појава било које тачке интервала (0,1) једнако вероватна. Ако су догађаји 50709060 ,xxC,,xxB,,x,xA . Израчунати вероватноћу догађаја

.CB,CB,BA,BA 2. Ако је

19,0,29,0,59,0 ABpBpAp

одредити BAp \ . 3. Из шпила од 52 карте извучена је једна карта, а затим враћена у шпил. Поново је извучена

једна карта. Израчунати вероватноћу да је оба пута извучена десетка. 4.

Одредити вероватноћу да из 32 карте извучемо или краља или аса? 5. У кутији се налази 7 белих и 3 црне куглице. Извлаче се три куглице без враћања. Колика је

вероватноћа да су све три куглице исте боје?


231

6. Између 4 кандидата и 3 кандидаткиње бира се одбор од 5 чланова. Наћи вероватноћу да ће

већину у одбору чинити кандидаткиње. 72

7. Лутрија има 100 срећки нумерисаних бројевима од 1 до 100 од којих су добитне оне чији су бројеви дељиви и са 4 и са 5. Наћи вероватноћу да се при куповини једне срећке добије? (0,05)


Анегдота 1: На аеродрому ухвате математичара са бомбом у торби. Када су га привели питају га шта ће пристојном човеку бомба у торби, а он одговори: „Вероватноћа да се у авиону нађе једна бомба је 1:1 000 000. Вероватноћа да се у авиону нађу истовремено две бомбе је 1:1 000 0002. Дакле, ако понесем бомбу, смањујем вероватноћу да је у авиону бомба.“

Анегдота 2: Док се враћао кући, професору математике падне саксија на главу. Посете га студенти у болници и он им објасни: „Видите, вероватноћа да саксија падне баш у тренутку када ја пролазим је 1:86 400 (број секунди у дану), веома мала, али и такви догађаји се дешавају.“ Првог дана по изласку из болнице поново му на истом месту падне саксија на главу. Он је објаснио студентима: „Вероватноћа да се овај догађај деси два пута за редом је 1: 86 4002, али и тако маловероватни догађаји се дешавају.“ Након изласка из болнице поново му падне саксија на главу. Он пита своје студенте: „Децо, да ли мене неко гађа?“

Домаћи задатак: 616, 619, 620, 623, 626, 629.


232


233

Редни број часа ______________ Задаци из вероватноће – 2 часа

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, индивидуални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: разумевање текста задатка и поступка за правилно израчунавање вероватноће Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно реше задатке из вероватноће Кључне речи: вероватноћа Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Анализа домаћег задатка. По могућству поделити текст задатака да би ученици могли да раде редоследом и брзином која им одговара.


1. Нека је вероватноћа догађаја А једнака 0,3, а вероватноћа догађаја В 0,4. Вероватноћа њихове уније је 0,6.

Одредити вероватноћу: а) да се реализују и А и В б) да се реализује А, али не В в) реализује или комплемент А или комплемент В г) да се реализује комплемент А или комплемент В д) да се реализује разлика догађаја А и В.

2. Колика је вероватноћа да добијем седмицу на ЛОТО-у, ако уплатим једну комбинацију? 3. У кутији се налази 6 белих, 7 црвених и 4 зелене куглице. Одредити вероватноћу: а) да ће се при истовременом извлачењу две куглице извући једна бела и једна зелена куглица. б) да се при истовременом извлачењу две куглице неће извући две црвене куглице. в) да ћемо четири пута узастопно извући црвену куглицу, уколико приликом извлачења враћамо извучену куглицу. г) да ћемо три пута за редом извући зелену куглицу уколико не враћамо извучену куглицу. д) да ћемо при извлачењу једне куглице извући или белу или црвену куглицу.

Решење: а)

217

14

16

p б)

21727

1p в) 4

177p

г) 152

163

174p д)

177

176p

4. Од 12 особа међу којима је 7 мушкараца могуће је унапредити 4 особе у више звање. Колика је

вероватноћа да ће бити унапређено: а) тачно 2 мушкарца и 2 жене, б) најмање 1 жена?


234

5. У предузећу је запослено 8 економиста и 11 правника. Насумично се бира тим од 5 чланова. Колика је вероватноћа да ће тиму да буду троје економиста и двоје правника?

Решење:

519

211

38

6. Цифре 0,1,...9 су поређане у низ на случајан начин. Колика је вероватноћа да 0 и 1 не буду суседне?

Решење: .54

!10!9211 ApAp

7. Никола је заборавио последње две цифре шестоцифреног броја телефона и једино се сећа да су биле различите. Колика је вероватноћа да ће у првом покушају погодити број?

8. Телефонски број се састоји од шестоцифреног броја између 000 000 и 999 999. Колика је вероватноћа да ће број имати све цифре различите?

9. Од 32 карте играч добије 10 карата. Одредити вероватноћу да ће добити 2 пика, 4 трефа, 1 каро и 3 срца.

10. Из шпила од 52 карте извуку се насумице три карте. Колика је вероватноћа да ће међу извученим картама бити тачно једна дама?

11. Међу 12 производа 4 су дефектна. Колика је вероватноћа да се међу 7 случајно изабраних налазе тачно 3 дефектна?

12. Коцка чије су све стране обојене расечена је на 1000 коцкица истих димензија. Добијене коцкице су стављене у кутију и измешане. Колика је вероватноћа да случајно изабрана коцкица има:

А) три обојене стране Б) две обојене стране В) једну обојену страну?

13. Шпил од 52 карте случајно се дели на два једнака дела (по 26 карата). Наћи вероватноћу да у оба

дела има једнак број црних и црвених карата.

2652

1326 2

14. Ако је вероватноћа рођења женског детета 0,52 одредити вероватноћу да ће у породици са четворо деце бити бар једна девојчица. 448,01

15. Направити скуп могућих исхода за истовремено бацање две коцке. Одредити вероватноћу да: А) збир на коцкицама буде 8 (5/36) Б) збир на коцкицама буде највише 5 (5/18) В) збир на коцкицама буде најмање 5 (5/6) Г) обе коцкице показују исти број (1/6) Д) прва коцкица показује мањи број од друге (5/12) Ђ) да су добијени бројеви узајамно прости (23/36)

16. Два стрелца истовремено гађају у циљ. Један има 92% шансе да погоди, а други 60%. Наћи вероватноћу да бар један погоди циљ.

17. У кутији се налази 12 црвених и 20 зелених куглица. Извлаче се, без враћања, једна по једна куглица. Израчунати вероватноћу да ће у три извлачења бити извучена бар једна зелена куглица.

18. Коцка се баца два пута. Одредити вероватноћу догађаја: А: Збир добијених бројева је једнак 9. В: Збир добијених бројева је већи од 5, а мањи од 10, С: Збир добијених бројева је паран број, D: Први добијени број је већи од другог, E: Већи од добијених бројева је мањи од 4, F: Бар један од добијених бројева је непаран, G: Збир квадрата добијених бројева је 25.


235

Решење: .362;

36271;

369;

3615;

21;

3620;

364 Fp


Парадокс рођендана: Који је минималан број људи на скупу да би вероватноћа да постоје две особе рођене истог датума била већа од 50%? Одговор: 23. Уколико сретнете некога на улици вероватноћа да је рођен истог датума као и ви је 1/365, тј. 0,27%. Уколико зауставите 20 људи вероватноћа је мало већа од 5% (20/365). Уколико су у соби 22 особе вероватноћа је 50%, а уколико је у соби 42 људи вероватноћа је чак 90%.

3651365

365363

3653641 n...p . Овај парадокс се користи у криптографији.

Парадокс бесконачног куцања на машини: Мајмун на случајан начин удара по тастатури. Колика је вероватноћа да ће у неком тренутку откуцати сабрана дела Виљема Шекспира? Одговор: 1.

“Сви смо чули да уколико милион мајмуна типка по милион тастатура постоји вероватноћа да ће откуцати комплетна дела Шекспира. Данас, захваљујући Интернету, ми знамо да то није истина.”

Роберт Силенски Домаћи задатак: Неурађени задаци са часа и 625, 627, 628.


236


237

Редни број часа ______________ Независност и зависност догађаја. Условна вероватноћа

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појма независности догађаја и условне вероватноће Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, оспособљавање за употребу математичког језика Васпитни задатак: неговање уредности и прецизности, развијање прецизности језика Резултат часа: оспособљавање ученика да уоче разлику између независних и зависних догађаја и израчунају условну вероватноћу догађаја Кључне речи: независни догађаји, условна вероватноћа Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: решавање задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити: Дефиниција: За догађаје B,A кажемо да су независни уколико реализација једног догађаја нема утицаја на реализацију другог догађаја.

За два независна догађаја важи BpApABp


Дефиниција: Условна вероватноћа догађаја B у односу на догађај A (вероватноћа да се десио догађај B под условом да је реализован догађај A ) је

ApABpABp .

Може се уочити да је, уколико су догађаји независни, ова формула еквивалентна са

BpApABp .

Примери:

1. Вероватноћа догађаја А једнака је 31

, а вероватноћа догађаја АВ је 51

. Догађаји А и В су независни.

Израчунати ABpBAp , .

2. У кутији се налази 6 плавих и 5 црвених куглица. Извлаче се три куглице одједном. Ако се зна да је извучена бар једна плава куглица израчунати вероватноћу да су извучене све три плаве куглице.

Решење: Нека је догађај А „извучена је бар једна плава куглица“, а догађај В „извучене су све три плаве куглице“. Из тога следи да је


238

314

3331334

334

31136

;3331

3321

31135

1Ap

ABpABpBpAp

3. Стрелци гађају два циља. Вероватноћа да ће бити погођен циљ А износи 0,98, а вероватноћа да ће бити погођен циљ В износи 0,75. Ако се зна да циљ А није погођен колика је вероватноћа да је погођен циљ В?

Решење: Нека је догађај А догађај „ погођен је циљ А“, а догађај В „погођен је циљ В“. Онда је

75,0

02,0015,0

015,075,002,0;75,0;02,098,01

ABp

BApBpAp

4. У кутији се налази 10 белих и 5 црвених куглица. Извлаче се једна по једна куглица, без враћања извучене куглице. Наћи вероватноћу да је друга извучена куглица црвена. Ако је прво извучена црвена куглица колика је вероватноћа да ће поново бити извучена црвена куглица?

Решење: Нека је А „у првом извлачењу је извучена црвена куглица“, а догађај В „у другом извлачењу је извучена црвена куглица“.

72

31212

212

21020

144

155;

31

21070

145

1510

144

155;

31

155

ABp

ABpBpAp

5. У продавници се налази 250 аутомобилских гума произведених у једној и 100 гума произведених у другој фабрици. Купац насумице купује гуме. Колика је вероватноћа да ће друга купљена гума бити из друге фабрике, ако је прва гума била из те фабрике?

Решење: Нека је догађај А „прва купљена гума је из прве фабрике“, а догађај В „друга купљена гума је из друге фабрике“.

350250

349249

350250

349249

350250;

350250 ABpABpAp .

6. У неком граду 40% становника има плаву косу, 25% има плаве очи, а 15% има плаву косу и плаве очи. Насумице је одабран један становник тога града. Одредити вероватноћу да: а) Ако има плаву косу да ће имати и плаве очи; б) Ако има плаве очи да неће имати плаву косу; в) Колика је вероватноћа да неће имати ни плаву косу ни плаве очи?

Решење: а) 83

4015

KpOKpKOp б)

52

5311 OKpOKp

в) 211

21

10015

10025

10040 KOpKOpOKpKpOpKOp

Завршни део часа: Домаћи задатак: 646, 647, 648, 649.


239

Редни број часа ______________ Тотална вероватноћа. Формула тоталне вероватноће

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање формуле тоталне вероватноће и њене примене приликом решавања задатака Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно употребе формулу тоталне вероватноће Кључне речи: формула тоталне вероватноће Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Посматрајмо следећи проблем: У просторији се налазе три једнаке кутије. У првој се налази 5 белих и 3 црне, у другој 6 белих и 10 црних, а у трећој 4 беле и 4 црне куглице. Насумице се из произвољне кутије извуче једна куглица. Одредити вероватноћу да ће извучена куглица бити бела.

Решење: Куглицу можемо изабрати из прве, друге или треће кутије. Са 1A означимо догађај да је изабрана прва, са 2A да је изабрана друга, а са 3A да је изабрана трећа кутија. Зваћемо их хипотезе.

31

321 ApApAp . Нека је догађај В „извучена је бела куглица“.

84;

166;

85

321 ABpABpABp .

21

84

31

166

31

85

31

332211 ABpApABpApABpApBp

Ова формула зове се формула тоталне вероватноће. Главни део часа:

Теорема (формула тоталне вероватноће): Нека су nA,...,A,A 21 међусобно дисјунктни догађаји. Ако је

nA...AAB 21 , тада је

Ω

А1А2

А3 А4

B


240

n

iiinn ABpApABpAp...ABpApABpApBp

12211

Задаци:

1. Три стрелца гађају циљ и погађају га редом са вероватноћама 8,0;95,0;7,0 321 ppp . Случајно се бира стрелац који гађа циљ. Колика је вероватноћа да је циљ погођен?

Решење: 8031950

3170

31 ,,,p

2. У рачуноводственој фирми ради 25 жена и 15 мушкараца. Вероватноћа да погреши код жена је 0,12; а код мушкараца 0,20. Случајно се бира један рачуновођа. Колика је вероватноћа да ће направити грешку?

Решење: 2004015120

4025 ,,p

3. У продавници се налази 100 производа из једне, 120 из друге и 30 из треће фабрике. Вероватноћа да производ буде неисправан је редом 0,10;0,32; 0,15 за сваку фабрику. Колика је вероватноћа да случајно изабрани производ буде исправан?

Решење: 85025030680

25012090

250100 ,,,p

4. На семинару учествује 10 Енглеза, 12 Француза и 10 Срба. Вероватноћа да учесници говоре руски језик је редом 0,01 за Енглезе, 0,02 за Французе и 0,4 за Србе. Колика је вероватноћа да случајно изабрани учесник говори руски?

Решење: .4,0321002,0

321201,0

3210p

5. Магационеру су враћене кутије са шкартом. Пошто је у кутији било и исправних производа, он их је разврстао на следећи начин: - 2 кутије са по три производа, од тога 1 шкарт - 1 кутију са 10 производа свих 10 шкарт - 3 кутије са по 4 производа од тога по један шкарт Контролор насумице узима једну кутију и, не гледајући, извлачи из ње производ. Колика је вероватноћа да је извучен исправан производ? (43/72)

6. Прва партија производа из једне фабрике упакована је у 15 кутија. У свакој кутији заједно са производима прве класе је и 1% производа друге класе. Друга партија производа упакована је у 25 кутија и у свакој од њих је 95% производа прве и 5% производа друге класе. Наћи вероватноћу да се из случајно изабране кутије извуче производ прве класе. (0,965)

7. Авион се гађа са три метка. Вероватноћа поготка првим метком је 0,5, другим 0,6 и трећим 0,8. Од једног поготка авион ће бити оборен са вероватноћом 0,3, од два поготка са вероватноћом 0,6 и од три поготка сигурно. Колика је вероватноћа да авион буде оборен? (0,594)

8. У корпи се налази 8 тениских лоптица, од којих су 4 нове. За први меч се на случајан начин бирају 3 лоптице, које се након меча враћају у корпу, па се за други меч поново узимају 3 лоптице. Која је вероватноћа да се друга партија игра само са новим лоптицама?(5/392)


Домаћи задатак: 656, 657, 658, 659.


241

Редни број часа ______________ Бајесова (Бејзова) формула

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање Бајесове формуле и њена примена приликом решавања задатака Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да правилно употребе Бајесову формулу Кључне речи: Бајесовава формула Активности наставника: увођење Бајесове формуле и израда примера, избор задатака и вођење ученика кроз задатке. Активности ученика: израда задатака. Наставна средства: слике, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Поновити формулу тоталне вероватноће.

Вратимо се на пример са претходног часа: У просторији се налазе три једнаке кутије. У првој се налази 5 белих и 3 црне, у другој 6 белих и 10 црних, а у трећој 4 беле и 4 црне куглице. Насумице се из произвољне кутије извуче једна куглица. Одредити вероватноћу да ће извучена куглица бити бела. Можемо ли наћи вероватноћу да је куглица узета из прве кутије уколико знамо да је извучена бела куглица?


Теорема (Бејзова формула): Нека су nA,...,A,A 21 међусобно дисјунктни догађаји. Ако је

nA...AAB 21 , тада је

BpABpAp

ABpAp

ABpApBAp ii

n

iii

iii

1

.

Значи да је одговор на постављено питање: Означимо са В догађај «извучена је бела куглица», следи да је

Thomas Bayes (1701 – 1761), енглески математичар


242

,125

21

85

31

1 BAp

Задаци:

1. Три стрелца гађају циљ истовремено. Вероватноће да погоде циљ су редом 8,0;4,0;2,0 321 ppp . Ако је циљ погођен једним метком колика је вероватноћа да га је

погодио први стрелац? Решење: Нека је В догађај «циљ је погођен једном». По формули тоталне вероватноће је

286,04667,0

4,031

4667,08,0314,0

312,0

31

1 BApBp

2. Узроци смрти пацијената су срчана обољења, карцином, остало, редом 0,42; 0,34; 0,24. Вероватноћа смрти за болесника оболелог од срчаног обољења је 0,23, за болесника од карцинома 0,65, а код осталих обољења 0,15. Ако је познато да је наступила смрт колика је вероватноћа да је у питању срчани болесник?

Решење:

27,0

3536,023,042,0

3536,015,024,065,034,023,042,0

1 BAp

Bp

3. У стоваришту се налази 300 производа из фабрике А, 220 из фабрике В и 400 из фабрике С. Вероватноћа да је производ исправан је редом 0,78; 0,56; 0,90 за сваку фабрику. Ако је случајно изабрани производ неисправан, израчунати вероватноћу да је из друге фабрике.

Решење:

4884,0225,0

46,0920220

225,01,092040046,0

92022022,0

920300

2 BAp

Bp

4. Два стрелца гађају у мету независно један од другог. Вероватноћа да ће погодити први је 0,8, а

други 0,4. Констатовано је да је мета погођена једанпут. Колика је вероватноћа да је погодио први, а колика вероватноћа да је погодио други стрелац?

Решење: А: Мета је погођена једанпут, Н1: Погодио је први стрелац, Н2: Погодио је други стрелац

14,056,008,0;86,0

56,048,0

56,0108,0148,0;08,04,02,0;48,06,08,0

222

111

221121

ApHApHp

AHpAp

HApHpAHp

HApHpHApHpApHpHp

5. У кутији А налази се 9 листића нумерисаних бројевима 1,2,...,9, а у кутији В 5 листића нумерисаних бројевима 1,2,3,4,5. Насумице бирамо кутију и извлачимо један листић. Ако је број на листићу паран одредити вероватноћу да је извучен из кутије А.

Решење: А: Извучен је паран број, Н1: Изабрана је прва кутија, Н2: Изабрана је друга кутија,


243

.53,0

42,052

21

94

21

;52;

94;

21

111

2211

2121

ApHApHp

AHp

HApHpHApHpAp

HApHApHpHp

6. Становништво се састоји од 40% мушкараца и 60% жена. 50% жена и 30% мушкараца пуши. Колика је вероватноћа да је насумице изабрани пушач мушкарац?

Решење: .,,,

,,,,,,

ZPpZpMPpMpMPpMp

PMp 290420120

506030403040

7. У предузећу ради 60% мушкараца и 40% жена. Факултетско образовање има 60% мушкараца и 55% жена. Случајно је изабрана једна факултетски образована особа. Колика је вероватноћа да је у питању жена?

Решење: .,,,

,,,,,,

ZFpZpMFpMpZFpZp

FZp 380580220

55040606055040

Монти Хол парадокс: Учесник сте у квизу у коме бирате између троје врата. Иза једних су кола, а иза преосталих двоје врата коза. Изабрали сте врата. Водитељ отвара једна од преосталих врата иза којих је коза. Водитељ Вас пита желите ли да промените своју одлуку. Да ли су Вам веће шансе уколико промените одлуку?

Завршни део часа: Домаћи задатак: 660., 661., 662.

Аутомобил се налази иза врата број 3



Играч прво бира врата број 1

Водитељ отвара врата број 2

Водитељ отвара врата

број 2

Водитељ отвара врата

број 3

Водитељ отвара врата број 3

Вероватноћа 1/3 Вероватноћа

1/6 Вероватноћа

1/6 Вероватноћа 1/3

Заменом побеђује Заменом губи Заменом губи Заменом побеђује

Променом одлуке удвостручује шансе. Променом одлуке удвостручује шансе.


244


245

Редни број часа ______________ Условна и тотална вероватноћа – вежбање

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање правила збира и производа и њихова примена приликом решавања задатака Функционални задатак: развијање аналитичности, систематичности и концизности и прецизности језика Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности, развијање интересовања за математику, вршњачка подршка Резултат часа: оспособљавање ученика да самостално или уз помоћ групе реше задатак из вероватноће Кључне речи: формула тоталне вероватноће, Бајесова формула Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:




1. У фабрици се 40% делова производи на стругу, 35% на брусилици, док се остали делови обрађују ручно и то са вероватноћом дефекта 0,03; 0,04 и 0,05, респективно. Израчунати вероватноћу да је дефектни артикл произведен ручно. (0,3247)

2. Постоје две серије истих артикала. У првој серији су сви артикли исправни, а у другој 1/4 од читаве серије су неисправни. На случајан начин је узет један артикал из случајно изабране серије и показало се да је исправан. Колика је вероватноћа да је узети артикал из прве, а колика да је извучена из друге серије? (0,5714; 0,42857)

3. У радионици се 25% артикала производи на машини А1, 35 % на машини А2, а остали на машини А3. Проценат неисправних производа произведених на машинама А1, А2 и А3 износи редом 5%, 4% и 2%. А) Израчунати вероватноћу да је случајно изабрани артикал неисправан. (0,439) B) Ако се зна да је случајно изабрани артикал неисправан, израчунати вероватноћу да је произведен на машини А1. (0,36)

4. У магацину се налазе сандуци са резервним деловима. У једном сандуку су сви делови исправни, а у другом је 25% неисправних. Одлучено је да се тај сандук врати произвођачу. Не знајући за договор, магационер насумице вади резервни део из једног сандука. Део је био исправан. Колика је вероватноћа да је магационер погрешио, тј. да је узео део из сандука који је предвиђен за враћање? (0,43)

5. Претпоставимо да је вероватноћа да понесем новчаник са собом 0,7. Ако је новчаник код мене, вероватноћа да је у једном од 5 џепова је подједнака. У аутобусу ми прилази џепарош,


246

претреса 3 џепа и не нашавши новчаник, одустаје. Колика је сада вероватноћа да је новчаник код мене? (0,48)


1. Три, на први поглед, исте кутије имају следеће садржаје: прва 5 белих и 5 црвених куглица, друга 4 беле и 8 црвених, а трећа 9 белих и 3 црвене куглице. А) Шта је вероватније: да ће из друге кутије бити извучена бела куглица, или да ће бела куглица бити извучена из случајно изабране кутије? (0,33 је мање од 0,5278) Б) Ако је извучена бела куглица, одредити вероватноћу да је она из друге кутије. ( 0,2105)

2. На територији неке општине, у популацији радно способних становника, налази се 50% са нижим, 42% са средњим и 8% са вишим и високим образовањем. Међу средње образованим налази се 6% незапослених, а међу радно способним са вишим и високим образовањем 3%. За оне са нижом стручном спремом се зна да је 10% незапослених. Ако се на случајан начин бира један радно способан житељ општине и констатује да је он запослен, колика је вероватноћа да је он: А) са нижим образовањем (0,488) Б) са средњим образовањем (0,428)

3. Професор математике зна из претходног искуства да студент који стално ради домаће задатке са вероватноћом 0,95 полаже испит, док за студента који не ради домаће задатке та вероватноћа иозноси 0,30. Познато је да 25% студената ради домаће задатке. А) Одредити вероватноћу да ће случајно изабрани студент положити испит. (0,4625) Б) Ако случајно изабрани студент положи испит, која је вероватноћа да је он стално радио домаће задатке? (0,5135)

4. У кутији се налази једна куглица која може бити бела или црна. У кутију се ставља једна бела куглица, па се из кутије на случајан начин бира куглица. Колика је вероватноћа да је у кутији већ била бела куглица ако је извучена бела куглица? (2/3)

5. Милош и Душан играју шах. Да би меч био занимљивији Милош баца коцкицу. Ако добије 5 или 6 Милош игра белим фигурама и побеђује са вероватноћом 0,6, уколико добије 1, 2, 3 или 4 Милош игра црним фигурама и побеђује са вероватноћом 0,45. Милош је добио партију. Колика је вероватноћа да је играо белим фигурама? (0,4)


1. У једној кутији се налази 8 белих и 6 црних куглица, а у другој 10 белих и 4 црне куглице. Случајно је изабрана кутија и куглица. Извучена је црна куглица. Одредити вероватноћу да је изабрана прва кутија. (0,6)

2. Тест крви за ретку болест која се појављује код 1 од 100 000 људи биће позитиван са вероватноћом од 0,95 код оболеле особе, а са вероватноћом 0,005 код особе која није оболела. Ако је тест позитиван, која је вероватноћа да је особа од које је узета крв оболела? (0,0002)

3. Вероватноћа да је случајно изабрани купац намештаја мушкарац је 0,65. Вероватноћа да је купац у браку је 0,75, а вероватноћа да је ожењени мушкарац је 0,5. Ако случајно бирамо једног купца, израчунати вероватноћу да је одабрано лице: А) женског пола (0,35) B) неудата жена (0,0875) C) особа која није у браку (0,25) D) удата жена (0,2625) E) ако је одабран купац мушког пола, одредити вероватноћу да је он у браку. (0,769)


247

4. Међу туристима у једном туристичком месту 65% су мушкарци. Поред тога, 75% жена и 60% мушкараца су домаћи туристи. Израчунати вероватноћу да ће случајно изабрана особа бити: А) држављанин наше земље (0,6525) B) страна туристкиња (0,0875) C) Ако је случајно изабран мушкарац, одредити вероватноћу да је он странац. (0,4)

5. У једној кутији се налази 5 белих и 7 црвених куглица, а у другој 3 беле и 4 црвене куглице. На случајан начин се из прве у другу кутију пребацују 3 куглице, а затим се из друге кутије извлачи једна куглица. А) Одредити вероватноћу да је извучена куглица беле боје. ( 0,4728) B) Ако је извучена бела куглица, одредити вероватноћу да су из прве у другу кутију пребачене једна бела и две црвене куглице. (0,449)


Парадокс медицинског теста: Посматрајмо случајну болест X која је релативно ретка и има је један човек од њих 10 000. Тест на дату болест има тачност 99%. (Ако пацијент болује од те болести резултат теста је позитиван у 99% случајева.) Ако пацијент који се тестира нема ту болест, вероватноћа да је тест позитиван је 0,05. Пацијент се тестирао и тест је позитиван. Колика је вероватноћа да има ову болест?

Решење: За очекивати је да је вероватноћа 5% , али она је знатно мања: Нека А буде догађај да пацијент има ретку болест, а В догађај да је тест позитиван.

Лечење ретких болести је веома скупо и због овако мале вероватноће се тестови раде више пута. Универзитет у Тексасу користи Бејзову формулу приликом прављења тестова за тестирање различитих болести.

00198,09999,005,00001,099,0

0001,099,0ApABpApABp

ApABpBAp


248


249

Редни број часа ______________ Задаци из вероватноће

Тип часа: утврђивање Облик рада: фронтални, групни Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, рад са текстом Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: оспособљавање ученика да реше једноставније задатке из вероватноће Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребуе математички језик, неговање уредности и прецизности, развијање међусобне сарадње Резултат часа: оспособљавање ученика да самостално или уз помоћ групе реше задатак из вероватноће Кључне речи: вероватноћа Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака, помоћ групи у изради задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:




1. Одредити вероватноћу: А) две петице у два бацања коцкице (1/36) Б) тројке на обе коцкице које се бацају истовремено (1/36) В) три дечака у породици са троје деце (0,125)

2. Телефонски број се састоји од 7 цифара. Ако се претпоставља да постоје сви телефонски бројеви од 0000000 до 9999999, колика је вероватноћа да у произвољно изабраном броју све цифре буду различите?

3. Од 30 одборника, међу којима се налази 12 жена и 18 мушкараца, бира се двочлана делегација. Колика је вероватноћа да се при случајном избору изаберу а) обе жене б) оба мушкарца в) један мушкарац и једна жена?

4. У једној кутији се налази 6 куглица од којих су 3 беле, а у другој 7 куглица од којих су две беле. Извлачи се једна куглица из прве кутије и ставља у другу кутију. Затим се извлачи једна куглица из друге кутије. а) Колика је вероватноћа да је из друге кутије извучена куглица беле боје? б) Ако је из друге кутије извучена бела куглица, колика је вероватноћа да је куглица извучена из прве кутије била бела?


250


1. У кутији се налази 5 лоптица црвене боје, 3 плаве и 2 зелене. Одредити вероватноћу: А) да се извуку две плаве куглице у два извлачења без враћања Б) три плаве куглице у три извлачења без враћања В) три плаве куглице у три извлачења са враћањем

2. Нека се у скупу од 50 професора очекује да 16% њих има здравствене тегобе. Ако се на случајан начин изабере 5 професора, колика је вероватноћа да међу њима има 3 са здравственим тегобама? (0,023)

3. Новчић се баца 10 пута. Колика је вероватноћа да се грб појави не мање од 3 пута и не више од 5 пута?

4. Имамо 4 кутије са куглицама. У првој кутији се налазе 1 бела и 1 црна куглица. У другој кутији се налазе 2 беле и 3 црне куглице. У трећој кутији су 3 беле и 5 црних, а у четвртој кутији 7 белих и 4 црне куглице. Догађај 4,3,2,1,iAi је избор i те кутије. Вероватноћа избора

кутије је 10iAp i . Случајно се бира једна кутија и из ње се на случајан начин извлачи

једна куглица. Колика је вероватноћа да је извучена куглица бела? Трећа група:

1. Два студента полажу један испит. Први има 70% шансе, а други 90% шансе да положи испит. Колика је вероватноћа да је бар један од њих положио испит?

2. Одредити вероватноћу да се из шпила од 52 карте, на случајан начин извуку: А) два кеца у два извлачења без враћања (0,0045) Б) Редом кец - пик и пик у два извлачења без враћања (0,00452) В) редом треф и кец пик у два извлачења без враћања (0,0049)

3. Наћи вероватноћу да случајно изабрани двоцифрени број буде дељив: А) са 2 и 5 истовремено (9/90) Б)са 2 или са 5 (3/5)

4. Баца се коцка. Ако се појави 1 или 6 узима се куглица из прве кутије, у супротном се узима куглица из друге кутије. Прва кутија садржи 8 белих и 3 црне, а друга 5 белих и 4 црне куглице. Колика је вероватноћа да извучена куглица буде бела?

Прокоментарисати задатке и са целим одељењем урадити задатак:

1. Из шпила од 52 карте одједном су извучене 4. Одредити вероватноћу: А: Извучене су све четири десетке, В: Извучена је бар једна десетка С: Све изабране карте су различитог знака, D: Све изабране карте су исте боје (црвена, црна)

Решење:

452426

2;

452

113

113

113

113

;

452448

1;

45244


Домаћи задатак: 622, 628, 644, 653.


251

Редни број часа ______________ Геометријска вероватноћа (није предвиђено програмом)

Тип часа: вежбање и проширивање Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: проширивање појма вероватноће Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика за употребу математичког језика, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да прошире знање о вероватноћи на проблеме из геометрије Кључне речи: геометријска вероватноћа Активности наставника: избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Коментар домаћег задатка.


1. (676.)У квадрат је уписан круг. Колика је вероватноћа да ће

случајно изабрана тачка бити у кругу?

Решење: .79,022

2

a

a

p

2. Средине страница квадрата чине нови квадрат.

Случајно се бира тачка из већег квадрата. Одредити вероватноћу да је и у мањем квадрату. Решење:

5,02

2

2

2

a

a

p

3. У дату коцку уписана је лопта. Одредити вероватноћу да је случајно изабрана тачка из коцке ван лопте.


252

Решење: .48,0234

3

33

a

aap

4. Две особе заказале су састанак у току једног сата, уз обавезу чекања од 20 минута. Одредити вероватноћу сусрета ако је долазак сваке од особа једнако вероватан у сваком тренутку тог сата.

Решење: Због договора око чекања мора да важи

31

31

31 xyyxyx , што је приказано

графички. .p95

1232

212

2

2

5. Бирају се, на случајан начин, два броја између 0 и 10. Колика је вероватноћа да њихов производ

буде мањи од 25?

Решење: Вероватноћа је једнака односу осенченог дела према површини квадрата странице 10. Површина се састоји од правоугаоника и дела ограниченог хиперболом и x -осом, па је тражена вероватноћа једнака

59657,0100

4ln125100

5,210ln2525

1005,2ln10ln2525

1010

25105,210

5,2

dxx

P


253

6. Буфонова игла: На столу су нацртане паралелне линије на међусобном растојању 2 cm. На сто се баца игла дужине 2cm. Колика је вероватноћа да ће игла пресећи линију?

Решење: Да ли ће игла пресећи линију зависи од растојања средишта игле (y) и угла који захвата у односу на паралелне линије. Очигледно је да важи

180010 ;y . Помоћу леве слике закључујемо

sin1

sin yyy. Стога је

тражена вероватноћа једнака односу површине дела равни ограниченог синусоидом и x -осом и површине правоугаоника.

2)0cos(cos1

sin0

xdxP

Завршни део часа: Питања ученика. Бонус задатак: На случајан начин се бирају бројеви cb, из интервала 1,0 . Наћи вероватноћу да ће

квадратна једначина 02 cbxx имати реална решења.

Решење: Да би једначина имала реална решења дискриминанта не сме бити негативна тј. cb, таквих да важи

1010, cbcb . Догађај А: „Решења једначине су реални бројеви“ је

4,

2bccbA 08,0121

41

1

0

2

1

0

2x

x

xdxx

AP


254

Бертранов (француски математичар 19.века) парадокс: У круг је уписан једнакостранични троугао. На случајан начин изабрана је тетива круга. Колика је вероватноћа да ће изабрана тетива бити дужа од странице троугла? Предложена су три решења. У првом случају један крај тетиве је теме троугла, а други крај случајно изабрана тачка кружног лука одређеног преосталим теменима троугла. У другом случају изабране су тетиве паралелне са страницом троугла, а у трећем случају тетиве садрже тачку уписаног круга једнакостраничног троугла.

31p

21p

41p

Парадокс је последица непрецизне формулације „произвољно изабрана тетива“.


255


Случајне променљиве. Закон расподеле случајне променљиве

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појма случајне променљиве Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности, развијање логичког мишљења Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребе математички језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да нађу закон расподеле случајне променљиве Кључне речи: случајна променљива, закон расподеле случајне променљиве Активности наставника: увођење новог појма, избор и решавање задатака Активности ученика: израда задатака Наставна средства: збирка, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

На примерима бацања коцке и новчића одредити скуп елементарних догађаја и њихове вероватноће.

Главни део часа: Функција која пресликава скуп елементарних догађаја у скуп реалних бројева назива се случајна променљива.

Примери:

1. У експерименту бацања новчића Г,П . Догађаји су једнаковероватни и уколико им

доделимо нпр. вредности 0 и 1 добијамо случајну променљиву .

21

21

10

:X

2. Бацају се две коцке истовремено и бележи збир добијених бројева. Може се писати нпр.

.Xpp36122 Расподела случајне променљиве је:

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

12111098765432

:X .


256

Расподела се може представити полигоном или хистограмом.

Очигледно је да важи:

Задаци:

1. Истраживање тврди да се 60% ученика плаши математике. Одабрана су два ученика на случајан начин. Ако X представља број ученика који се плаше математике наћи расподелу случајне променљиве X .

Решење:

2. У кутији се налазе три куглице означене бројем 1, четири означене бројем 2 и две означене бројем 3. Извлачи се једна куглица. Случајна променљива Х представља извучени број. Наћи расподелу случајне променљиве и израчунати вероватноћу А: Извучен је непаран број.

Решење:

92

94

93

321

:X 9531 XpXpAp

3. У кутији се налази 4 беле и 6 црних куглица. Извлачи се по једна куглица без враћања, док се не извуче црна куглица. Ако је Х случајна променљива која представља број извлачења наћи њену расподелу.

Решење: 1

71

82

93

104

76

82

93

104

86

93

104

96

104

106

54321

:X

4. У кутији се налази 5 црвених и 3 беле куглице. Извлаче се три куглице одједном. Случајна променљива представља број белих куглица. Наћи њену расподелу.

Решење:

3833

38

23

15

38

13

25

3835

3210

:X

36,048,016,0210

:6,06,02

;4,06,06,04,01;4,04,00

XXp

XpXp

1

10

1

n

ii

i

xp

xp


257

5. Динар се баца док се не појави грб, али највише 5 пута. Наћи закон расподеле случајне променљиве Х која представља број бацања.

Решење:

161

161

81

41

21

54321

:X

Завршни део часа: Домаћи задатак: 683, 685, 687, 688.


258


259


Биномна расподела. Пуасонова расподела

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање биномне и Пуасонове расподеле Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребе математички језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: усвајање и примена биномне и Пуасонове расподеле Кључне речи: биномна и Пуасонова расподела Активности наставника: увођење појма биномне расподеле, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: слике, креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа


Анализа домаћег задатка.

Главни део часа: Посматрајмо догађаје који имају само два исхода. (Нпр. бацање новчића или при бацању коцке посматрамо „Пао је паран број“ или „Пао је број 6“.)

Бацамо коцку. Нека је догађај А: „Пао је број 6“. Очигледно је да је 65

611;

61 ApAp .

Уколико експеримент поновимо 10 пута наћи вероватноћу да се број 6 појавио 4 пута. 64

65

61

410

p

410

због тога што 6 може да се појави у четири од 10 покушаја.

У општем случају нека је догађај А такав да је pAp , онда је qpAp 1 . Уколико експеримент поновимо n пута и посматрамо случајну променљиву која представља број

реализација догађаја А важи: knk qpkn

kXpkp . Оваква расподела зове се биномна

расподела или Бернулијева шема.


260

Задаци:

1. Стрелац погађа мету са вероватноћом 0,8. Колика је вероватноћа да ће у 10 покушаја погодити 7 пута?

Решење: 20133020807

10 37 ,,,

2. Међу производима једне фабрике налази се 6% неисправних производа. Ако узмемо узорак од 5 производа ( са враћањем) колика је вероватноћа да ће бити 4 лоша? Наћи расподелу случајне променљиве X која представља број неисправних производима међу изабраним.

Решење: 41 06094045

,,

000001000006100019090029901023422507339040543210

,,,,,,:X .

Због заокругљивања могуће је да се код збира вероватноћа појави број који мало одступа од 1, што зависи од тачности одређивања вероватноћа..

55

44

323

232

41

50

06,0;06,094,045

;06,094,035

;06,094,025

;06,094,015

;94,005

ppp

ppp

3. У банци ради 100 људи у тиму на заједничком пројекту. Вероватноћа да неко од чланова тима погреши је 0,02. Одредити вероватноћу да ће погрешити 4 члана тима.

Решење: 964 98,002,04

100)4(XP . Уочавамо да постоји проблем у раду са великим

бројевима као што је 4

100, као и малим 9698,0 . У таквим случајевима када је вероватноћа p

мала, а n велико, тако да је 10np користимо апроксимацију:

npkknk enpk

ppkn

!11

У нашем примеру добијамо 012,02!4

1)4( 44 eXP


Домаћи задатак: 667, 668, 669, 670.


261


Функција расподеле случајне променљиве и њена својства

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појма функције расподеле Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребе математички језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да одреде функцију расподеле Кључне речи: функција расподеле Активности наставника: увођење појма функције расподеле Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Анализа домаћег задатка.


Функција расподеле је функција у ознаци XF која за сваки реалан број x , одређује вероватноћу да

је случајна променљива X узела вредност мању од или једнаку x :

До сада смо помињали дискретне случајне променљиве. То су случајне променљиве које узимају вредности из пребројивог скупа (скупа чији је кардинални број, тј.број елемената скупа, једнак кардиналном броју неког подскупа природних бројева, односно скупа који је коначан).

xx xxii

i i

xpxXPxXP )()(

nxx

xxxxxx

xx

ppp

xF...

1...

0

32

21

1

21

1

Пример: У некој школи 35% ученика су ученици првог разреда, 30% ученици другог разреда, трећег 20%, а преостали ученици су ученици четвртог разреда. Наћи расподелу случајне променљиве X која представља разред који похађа случајно одабрани ученик. Наћи функцију расподеле и прикажи је графички.

xXPxFX


262

Решење: Расподела случајне променљиве је:

15,02,03,035,04321

:X , а функција расподеле:

4143;85,032;65,021;35,0

1;0

xxxx

x

xF

Задатак 686.



263


Гаусова (нормална) расподела Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска, графичка, илустрација Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења, развијање интересовања за математику Образовни задатак: усвајање Гаусове расподеле Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребе математичкоги језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да схвате и правилно примене нормалну расподелу Кључне речи: нормална расподела, Гаус Активности наставника: увођење појма нормалне расподеле, цртање графика или приказ на видео биму Активности ученика: постављање питања, уочавање и испитивање особина функције Наставна средства: збирка, креда, табла, видео бим, лаптоп Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа


Случајна променљива је непрекидна уколико узима вредности из скупа који се не може приказати као низ (пребројив скуп). Нпр. узима вредности из интервала 1,0 . Не може се за сваки појединачни број узети позитивна вероватноћа пошто би збир вероватноћа, уместо да буде једнак 1, био бесконачан. Због тога је вероватноћа сваког броја (тачке) једнака нули по дефиницији тј.

0)( xXP


Непрекидна функција је густина расподеле случајне променљиве уколико важи: 1. Rxxp ,0)(

2. 1)( dxxp

3.b

а

dxxpbXaP )(

За случајну променљиву кажемо да има нормалну (Гаусову) расподелу ако је њена густина вероватноће једнака

.0,2

1)( 2

2

2 Rexpx

где је математичко очекивање и стандардна девијација Неке особине ове функције су (уколико има времена ученици нека испитају функцију):

1. Функција је дефинисана за Rx . 2. Функција је позитивна за Rx .


3. Функција је симетрична у односу на праву x Стога важи xpxp 4. Функција има хоризонталну асимптоту .0y 5. Функција је растућа за x и опадајућа за x

6. Функција има максимум 2

1,

7. Функција има две превојне тачке. 8. График функције је:

За 10 имамо нормирану нормалну расподелу ,21)( 2

2x

exp чији је график приказан

зеленом бојом.

Вредности функције расподеле x t

dtex2

21

21

већ се одређују из таблице вредности или се

добијају са рачунара.

Завршни део часа: Галтонова кутија: Лоптица пада у кутију одбијајући се о клинове. Убачене лоптице образују Гаусову расподелу.


265

Редни број часа ______________ Математичко очекивање и дисперзија случајне променљиве дискретног типа

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање ученика за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појмова математичког очекивања и дисперзије Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребе математичкоги језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да израчунају математичко очекивање и дисперзију случајне променљиве Кључне речи: математичко очекивање, дисперзија, случајна променљива дискретног типа Активности наставника: увођење појмова математичког очекивања и дисперзије, избор задатака и вођење ученика кроз задатке Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа:

Пример: Истовремено се бацају две коцке за игру и региструје збир добијених бројева. Наћи расподелу случајне променљиве.

Решење:

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

12111098765432

:X

Колика ће бити просечна вредност уколико експеримент поновимо много пута?


Дефиниција: Нека је X дискретна случајна променљива са расподелом

n

n

ppppxxxx

X......

:321

321

Математичко очекивање случајне променљиве X се означава са XE (од енглеске речи expectation, што значи очекивање) једнако је

n

iiinn pxpxpxpxXE

12211 ...

За дати пример математичко очекивање је

736112

36211

36310

3649

3658

3667

3656

3645

3634

3623

3612XE


266

Дефиниција: Дисперзија (варијанса) (од латинске речи dispersio, што значи расипање)случајне променљиве се означава са XD једнака је

2XEXEXD Дисперзија се једноставније израчунава помоћу формуле

n

iipXExXEXEXD

1

222

Позитивна вредност квадратног корена из дисперзије назива се стандардна девијација

XDX У нашем примеру очекивање и дисперзија су:

42,2

83,5361712

362711

363710

36479

36578

36677

36576

36475

36374

36273

36172)(

22222

222222

X

XD

Задаци: За експеримент бацања једне коцке израчунати математичко очекивање и дисперзију. 689, 691, 695. Завршни део часа: Питања ученика.


267


Математичко очекивање случајне променљиве непрекидног типа

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљеност за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање појма математичког очекивања и дисперзије за непрекидне случајне променљиве Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребе математички језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: оспособљавање ученика да израчунају математичко очекивање и дисперзију случајне променљиве непрекидног типа Кључне речи: математичко очекивање, дисперзија, случајна променљива непрекидног типа Активности наставника: увођење нових појмова и избор задатака Активности ученика: израда задатака Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа Уводни део часа: Поновити појмове математичког очекивања и дисперзије код случајних променљивих дискретног типа. Главни део часа: Нека је X случајна променљива непрекидног типа са густином xp . Математичко очекивање случајне променљиве X једнако је

Дисперзија се одређује помоћу dxxpxEx 2 , а стандардна девијација XDX

Пример: Случајна променљива X има функцију (густину) расподеле вероватноће:

x

xxxpвредностиосталеза,0

20,121

31

Наћи математичко очекивање, дисперзију и стандардну девијацију.

dxxxpXE


268

Решење:

57,0

32,0121

910

31

910

32

94

61

181

21

31

2

2

0

2322

0

X

dxxxXD

xxdxxxdxxxpXEx

x

Задатак: Случајна променљива X има функцију (густину) расподеле вероватноће:

x

xxxxpвредностиосталеза,0

31,4583 2

Наћи математичко очекивање, дисперзију и стандардну девијацију.

Завршни део часа: Питања ученика. Домаћи задатак: Ученици треба да донесу неки статистички податак преузет из Републичког завода за статистику или новина.


269


Основни појмови статистике

Тип часа: обрада Облик рада: фронтални Методе рада: демонстрацијска, дијалошка, операцијска Циљ часа: оспособљавање за примену знања, развијање логичког мишљења Образовни задатак: усвајање основних појмова статистике Функционални задатак: развијање аналитичности и систематичности Васпитни задатак: оспособљавање ученика да правилно употребуе математички језик, неговање уредности и прецизности Резултат часа: усвајање основних појмова статистике: узорачка средина, мод, дисперзија, стандардно одступање, оспособљавање ученика да нађу средње вредности Кључне речи: мод, медијана, дисперзија, стандардно одступање Активности наставника: увођење основних појмова статистике Активности ученика: коментар донетих података Наставна средства: креда, табла Литература: Ивановић, Огњановић: Математика 4, Збирка задатака и тестова за четврти разред гимназија и техничких школа


Коментар неког од донетих статистичких података.


Статистички метод подразумева сакупљање података, обрада података и предвиђање. Нагласити значај предвиђања. Скуп на коме се врши испитивање називамо популација ( P ). Популација је простор исхода. Сваком елементу популације додељујемо са једнаком вероватноћом један реалан број, односно дефинишемо пресликавање RPX : . Пресликавање називамо обележје скупа P . Пошто је испитивање читавог скупа непотребно или немогуће, обележје испитујемо на његовом подскупу који називамо узорак. Избор узорка је један од најважнијих задатака статистике. На примерима које су донели ученици прокоментарисати начине на које могу бити представљени статистички подаци: табела, полигон, хистограм, „питице“,...

Средње вредности:

Аритметичка средина (узорачка средина):

Ако посматрано обележје X има појединачне вредности nxxx ,...,, 21 аритметичка средина се израчунава формулом

n

ii

n xnn

xxxx

1

21 1...

Мод у ознаци oM је вредност обележја која има највећу фреквенцију тј.која се најчешће јавља. Постоје обележја која немају мод, као и обележја која имају више од једног мода.


270

Ако вредности обележја поређамо по величини, медијана, у ознаци eM , је вредност обележја која се налази у средини. Уколико је број вредности непаран постоји једна медијана, а уколико је број вредности паран за медијану се може узети било која од две средње вредности, али се најчешће узима њихова аритметичка средина.

Узорачка дисперзија обележја је 22

2

2

1

2...1 xxxxxx

nS n

Узорачко стандардно одступање је .S

Пример:

Да би се испитало статистичко обележје X „висина ученика четвртог разреда“ извршено је мерењем висине 26 ученика и добијене су следеће вредности изражене у сантиметрима: 181, 198, 149, 165, 176, 180, 174, 168, 145, 166, 170, 198, 177, 156, 171, 161, 180, 165, 162, 190, 188, 159, 160, 186, 182, 180. Наћи, аритметичку средину, мод, медијану, узорачку средину и узорачко стандардно одступање. Представити узорак табелом, хистограмом и полигоном.

Решење:

Висина до 149 150-159 160-169 170-179 180-189 преко 190 Број

ученика 2 2 7 5 7 3

50,1332,1825,1721806,1722

SSMMx eo

Задаци: 704, 705, 706.


Documents

¤ 1 / ( , W ¦ , ° ! ( C U * , ( 4 - ( , À 6 & / W , Õ ( , B ¶ , / & C 4M.pdfРеч аутора Свеска припрема је скуп мојих припрема за час