Желтуха Тетяна Валентинівна,вчитель математики Криворізького Жовтневого ліцею

Урок алгебри та початків аналізу в 11 класі.Тема уроку: „Застосування визначеного інтегралу до розв’язування

задач геометричного, фізичного та економічного змісту”.

Дидактична мета: Поглибити й розширити знання учнів про визначений інтеграл; закріпити навички знаходити визначений інтеграл, показати його місце і значення при розв’язуванні задач фізичного, економічного, геометричного змісту; учити бачити єдину математичну модель у різних ситуаціях, складати її в нестандартних умовах; вчити учнів досліджувати й оцінювати соціальні явища засобами математики; бачити необхідність планування майбутнього; допомогти сформувати особисте ставлення до діяльності, яка вимагає математичних знань.

Розвиваюча мета: формувати вміння виступати перед аудиторією, чітко формулювати і відстоювати свою думку; розвивати спостережливість, логічне мислення, інтелектуальні здібності учнів; сприяти розширенню їх кругозору; розвивати фізико-математичну мову учнів.

Виховна мета: виховувати патріотичні почуття, інтерес до науки шляхом звернення до історичних джерел, вміння раціонально використовувати робочий час.

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації навчального матеріалу.Обладнання: робочі зошити з друкованою основою, таблиці, комп’ютер,

комп’ютерні програми: Master function 2.0, Solver 1.1; картки.ХІД УРОКУ:І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

Дорогі діти!За вікном сьогодні чудова погода, блакитне чисте небо, сонячно. І така

сама тепла атмосфера і у нас в класі.

ІІ. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ,

Один учень за власним вибором розв’язує рівняння з домашньої роботи.

= 3cos 2x,

– = (cos2x + 1),

– cos2x + = cos2x + ,– 2cos 2x = 1,

cos 2x = – ,

2x = ,

x = .

Відповідь. .

ІІІ. МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ. Ми з вами сьогодні спробуємо за допомогою математики розв’язати

проблеми, що виникають на уроках фізики та економіки.

................, процитуйте нам, будь-ласка. Вислів відомого італійського вченого Галілео Галілея.

1

(„Філософія написана в тій книзі, яка завжди відкрита в нас перед очима (я маю на увазі Всесвіт), але яку неможливо зрозуміти, якщо заздалегідь не вивчити її мову”.)

Її мова – це мова математики. Математика здавна має репутацію найточнішої галузі знань і є надійним знаряддям розкриття таємниць природи.

А що з цього приводу говорив знаменитий Альберт Ейнштейн? („Наш досвід переконує нас, що природа – це реалізація найпростіших математичних ідей”.)

А як відзначував відомий вам Рене Декарт?(„Той, хто серйозно прямує до пізнання істини, не повинен займатися якоюсь однією наукою, бо всі вони взаємозв’язані”)

ІV. ПОВІДОМЛЕННЯ ТЕМИ ТА МЕТИ УРОКУ

Будемо сподіватися, що за допомогою слів великих вчених, вислови яких ми цитували, ми переконались в доцільності проведення сьогоднішнього уроку, тема якого: „Застосування визначеного інтегралу до розв’язування задач геометричного, фізичного та економічного змісту”.

До речі, задача (англ. problem) означає „проблема”. Проблема розв’язування задач ускладнюється в тому випадку, якщо вміння побачити єдину математичну модель у різних ситуаціях недостатньо розвинене. Але ж ще Анрі Пуанкаре, французький математик, слова якого ми взяли як епіграф до нашого уроку, сказав: „Математика є спосіб називати різні речі одним ім’ям”. Можливість розвивати ці уміння ви й матимете сьогодні, розв’язуючи задачі, пов’язані з геометрією, фізичними явищами, економічними процесами. І ви матимете чудову нагоду закріпити і розвинути навички знаходити визначений інтеграл, застосовувати його при розв’язуванні практичних задач.

V. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ УЧНІВ.

Давайте пригадаємо, з яким поняттям нерозривно пов’язане поняття визначеного інтегралу? (Площа)

А зараз, відповідаючи на питання вікторини „Що? Де? Як? Чому?”, ми налаштуємося на розгляд більш складних проблем.1. Що таке первісна?

(Функція називається первісною функції на деякому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку виконується рівність )

2. Назвіть, будь ласка, формулу Ньютона – Лейбніца.

3. Яка головна відмінність визначеного інтегралу від невизначеного?

2

(Невизначений інтеграл – це функція, а визначений – число)

VІ. САМОСТІЙНА РОБОТА. (5 хвилин)

А зараз ми ще раз звернемося до визначених інтегралів й перевіримо, як ви вмієте їх знаходити.

Вставте пропущені символи, щоб рівність була правильною.

І варіант

1. = ........... + ... .

2. = + ... .

3. = ........... t + С.

4. = – + ... .

5. = + С.

6. = – sin х + С.7. = 4х + С.

8. = ... + С.

9. = + ... .

10. = + С.

11. = = ... .

12. = – = ... .

ІІ варіант.

1. = ........... + ... .

2. = + ... .

3. = ........... t + С.

4. = – + ... .

5. = + С.

6. = соs х + С.7. = 8х + С.

8. = ... + С.

9. = + ... .

10. = + С.

11. = = ... .

12. = – = ... .

Після виконання самостійної роботи учні перевіряють правильність виконання самостійної роботи, звіряючи написане в зошиті з правильними відповідями, що вкладені в заклеєний конверт, який лежить в кожному зошиті:

І варіант.1.

2.

3.

4.

5.

6.7.

8.

3

9.

10.

11.

12.

ІІ варіант 1.

2.

3.

4.

5.

6.7.

8.

9.

10.

11.

12.

VІІ. УЗАГАЛЬНЕННЯ ТА СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ЗНАНЬ, ВМІНЬ ТА НАВИЧОК.

Поняття інтеграла – важливе як у шкільному курсі математики, так і в курсі вищої математики, що розгалужується на низку цікавих, хоч і складних, математичних дисциплін. Назву вам лише кілька з них: - математичний аналіз, - функціональний аналіз,- теорія функції комплексної змінної, - диференціальні рівняння, - теорія ймовірностей,- теорія оптимізації математичних процесів.

Окрім математичних, є науки, що широко використовують математичний апарат і нині дуже популярні, оскільки необхідні для ведення різноманітних справ, для гармонійного розвитку галузей виробництва, тощо. У цих науках також використовується поняття інтеграла. Серед них такі як

- економіка виробництва, -фінансова справа, -електроніка, -програмування,

-фізика, -хімія, -радіофізика, тощо.

Давайте з'ясуємо, як саме ми можемо застосувати визначений інтеграл в таких науках, як геометрія, фізика, економіка. Підкажіть, де саме визначений інтеграл застосовується в геометрії?

Обчислення площі криволінійної трапеції- Поставте правильно напрямок від фігури до формули, завдяки якій можна обчислити її площу.

4

Обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо вісі Ох:

V = .

Обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо вісі Оу:

V = .

А де саме визначений інтеграл застосовується у фізиці?

А = Швидкість тіла

А = Заряд

х = Роботу при прямолінійному русі

5

v = Кількість теплоти

т = Робота при змінній потужності

q (t) = Координата тіла

Q = Маса стержня

Давайте розглянемо, коли нам може знадобитися визначений інтеграл при розв’язуванні задач з економіки?

Творча група учнів підготувала нам використання визначеного інтегралу в економіці.

Учні доповідають:Якщо f(t) – продуктивність праці в момент t, то = – обсяг

продукції, яка випускається за проміжок часу [0; T].

Приклад. (задача 3.1., стор. 10 в робочому зошиті)Продуктивність праці робітника протягом дня задається функцією z(t) = – 0,00645t2 + 0,05t + 0,5 (грош. од./год), де t – час в годинах від початку роботи, 0 ≤ t ≤ 8. Знайти функцію яка показує обсяг продукції (у вартісному виразі) та його величину за робочий день.

Розв’язання:

Відповідь: 4,5 грош. од. Для більш швидкого обчислення визначеного інтегралу ми можемо

використовувати багато комп’ютерних програм. При використанні програм Master Function 2.0 і Solver 1.1 було отримане таке ж значення.

6

Нехай відома функція t = t(х), яка описує зміни витрат часу t на виготовлення виробів в залежності від степеня засвоєння виробництва, де х – порядковий номер виробу в партії. Тоді середній час tсер, затрачений на виготовлення одного виробу в період засвоєння від х1 до х2 виробів, обчислюється за теоремою про середнє значення:

tсер= .

7

ПРИКЛАД. Знайти середній час, затрачений на засвоєння одного виробу в період засвоєння від х1=100 до х2=121 виробів, вважаючи в формулі t = ах-b, що а=600 хв., b=0,5.

Розв’язання.Використовуючи формулу середнього часу, отримуємо

tсер= = =

= 2 = 57,2 (хв).

Відповідь. 57,2 хв.

Якщо кількість товару, що надходить на склад в одиницю часу позначити через f(х), де х – час, який відлічується від початку надходження товару на склад, то від початку прийому на складі утвориться запас товару

.

Якщо навантаження на електростанцію задається функцією f(х) (в кВт·год, де х – кількість годин, яка відлічується від початку доби), то витрати електроенергії протягом доби складають

,

8

а протягом часу х витрати електроенергії складуть .

VІІІ. РОБОТА В ГРУПАХ

А зараз, панове, давайте перенесемося в майбутнє, років на 20 вперед. Ви – дорослі, солідні люди, знайшли своє місце в житті: конструктори, інженери, металурги, будівельники, економісти, плановики, вчені. І в процесі своєї роботи ви зустрічаєтеся з різними проблемами, які вам необхідно вирішити.

Розіб’ємо клас на 6 груп, кожна з яких отримує певне завдання і через 5 хвилин звітує про виконану роботу.

ФінансистиНа полі пшениці після приземлення космічного корабля залишився

слід, який нагадує фігуру, обмежену лініями у = │х2 – 2х - 8│ та у = 3 + │х - 1│. Необхідно визначити збитки, завдані агрокомплексом, якщо з 1 м2 отримують в середньому 3,8 кг пшениці, яка коштує 0,8 грн. / кг.

Розв’язання:

S = 2( + +

+ ) =

= 2( + + ) =

= 2( + + ) =

= 2(–9+4,5+18+ – –6+21 –8–24–9+4,5+18–41 +37,5+50+21 –24–40)=

= 2 = = 26 (м2)

9

В = 26 3,80,8 = 81,07 (грн).Відповідь. 81,07 грн.

АрхеологиНещодавно археологи при розкопуванні стародавніх поселень знайшли

жертовне місце, яке їх дуже зацікавило. Після досліджень було з’ясовано, що це тіло, утворене обертанням параболи у = – х2 + 2х + 3 навколо вісі Ох (х вчені вимірювали в метрах). Причому виготовлений він був з каменю густиною 2500 кг/м3. Яка масу каменя використали на виготовлення цього жертовника стародавні майстри?

Розв’язання.Побудуємо фігуру, обмеженою параболою у = – х2 + 2х + 3, вісями Оу та

Ох.

Об’єм тіла, яке утворюється внаслідок обертання графіка функції навколо вісі Ох обчислюється за формулою:

V = .

= =

10

= = 3,14(48,6 – 81 – 18 + 54 + 27) =

= 3,1430,6 = 96,084 (м3)

Відповідь. 240210 кг.

ФізикиДля кращого обслуговування заїзду гонок серії „Формула-1” майстри

визначили найкращий закон зміни швидкості руху автомобіля прямою трасою: v(t) = 2·(t+2)5/2. Який шлях проїде пілот цієї гонки за 7 с від початку руху? Який шлях він проїде за сьому секунду?

Розв’язання:

= = 1243 (м)

= = = 422 (м)

Відповідь 1243 м; 422 м.

Біологи Знайти площу пелюстка ромашки, який розміщено між дугами

парабол у=х2 та у= .

Дана фігура обмежена графіками двох функцій: у=х2 та у= . Шукана площа за допомогою інтеграла обчислюється так:

S = = = – = (кв. од.)

Відповідь. кв. од.

ЕнергетикиНавантаження на Криворізьку теплоелектростанцію задається функцією f(x) = 3x2 + 4x – 2. Визначити витрати електроенергії протягом доби.

Розв’язання:11

( кВт·год)

Відповідь: 14343 кВт·год.

Математика – потужна зброя в руках фізика, економіста. Адже багато наслідків можна одержати математично, використовуючи перевірені дослідом формули. Зараз ваші товариші покажуть, як використовуючи цю зброю, вони виконали своє завдання.

ІХ. ТЕСТУВАННЯ.

Розв’язування тестових завдань „Перевір себе”

1. За якою з наведенихформул визначається площа даної фігури?

у 1. S = .

f(x) 2. S = .

1 2 3 x 3. S = + .

4. S = – .

2. Знайдіть в яких записах є помилка.

5. 6.

7. 8. .

3. За якою з наведених формул обчислюється робота змінної сили, заданої формулою F(x)= 3x2–4x+8, вздовж відрізка довжиною 2 м?

9. А= 10. А= .

11. А=(3х2-4х+8)΄. 12. А= .

4. За якою з формул обчислюється обсяг виготовленої за 4 години продукції, якщо продуктивність праці задається формулою f(x)= 4x3?

13. . 14. . 15. (4х3)΄. 16. .

5. В якому випадку вірно обчислено навантаження електростанції за 3

години, якщо її витрати визначаються функцією f(x) = ?

17. 18.

19. 20.

12

6. В якому з наведених випадків вірно визначений середній час, витрачений на засвоєння одного виробу від 10 до 20 виробів, якщо функція t= 3х описує зміни витрат часу t на виготовлення виробів в залежності від степеня засвоєння виробництва.

21. 22.

23. 24.

Номера правильних відповідей закресліть у бланку відповідей.

1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24

Х. ПІДВЕДЕННЯ ПІДСУМКІВ УРОКУ.

Скажіть, будь ласка, що саме ми з вами робили сьогодні на уроці? (розв’язували задачі з геометрії, фізики, економіки, перекладали мовою математики проблеми, які стоять перед іншими науками.)

На сьогоднішньому уроці ми ще раз переконалися в тому, що математичні теорії є надійним знаряддям в розкритті таємниць природи, законів економічних процесів.

Звертаю вашу увагу, шановні добродії, на програмові вимоги та підборку завдань для підготовки до незалежного зовнішнього тестування, поміщену у вашому Кроці до майстерності з даної теми.

ХІ. ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ З ДАНОЇ ТЕМИ.

ХІІ. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ. Я хочу запропонувати вам декілька видів домашнього завдання, щоб ви

самі вибрали для себе те, що вам більш цікаво.1. Розв’язати 2 задачі на вибір з робочого зошита.2. Написати казку або твір про застосування визначеного інтегралу.3. Перевірити себе за допомогою тестів, розташованих на 15, 16 сторінках

робочого зошита.Орієнтовні теми для написання казок

1. Як я брав інтеграли. 2. Казка про те, як я стану студентом-математиком. 3. Як інтеграл с похідною сперечалися.4. Казка про лисицю економіста та ведмедя-програміста.

13

5. Як Незнайко „брав” інтеграли і що з того вийшло. Орієнтовна тема для написання твору:Чи є у математиці таке, що може перевернути все життя? Ми зійшли на вершину гори, долаючи труднощі, виявляючи нетерпіння,

наполегливість. На шляху нам зустрічалися явища, для розуміння і пояснення яких необхідні математичні знання. Прочитайте фразу, написану на плакаті: „Забути не можна пам’ятати!”

Від того, у якому місці ви поставите кому, матимете два варіанти: „Забути, не можна пам’ятати!” або „Забути не можна, пам’ятати!”

На якому варіанті ви зупинитесь? Чи потрібні вам знання з математики в майбутньому?

14