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統計学

12/13 （木）

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講義全体の流れ

第１部　記述統計：データの特性を記述第２部　確率論：推測統計への橋渡し第３部　推測統計：データから全体像を

推測　・推測統計とは　・母集団平均の区間推定　・母集団平均の検定　 ←今日はここ！

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前回までの内容①

• 推測統計の四つのキーワード　　母集団　⇔　標本（サンプル）　　母集団特性値　⇔　標本統計量⇒ 母集団の特徴を数値化したものを、デー

タ（標本）から計算した統計量で推測する。

• 推測統計の二本柱：区間推定と検定⇒ 実はこの二つは表裏一体。

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前回までの内容②

• （母集団平均 μ の）区間推定μ の値は未知。

⇒ μ の値を推定するには誤差がつきもの⇒ 誤差を含めて、 μ の値が（例えば９

５％の確率で）どれくらいの範囲に収まるかをデータから推定。

⇒ 方法：中心極限定理の応用

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前回の復習：区間推定

　

.

95

-1.

)1,0(

21,025.0

21,025.0

12

22

2

2

nstXnstX

tntns

Xt

s

Nn

XZ

nn

n

％の信頼区間はの信頼係数

分布の自由度　～

を代入。散は未知なので、標本分

～中心極限定理より、

分散。は母集団平均と母集団と

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今日やること：（仮説の）検定

• 母集団平均 μ の値に関して仮説を立てる（例： μ= ３）。

• その仮説を受け容れるべきか却下すべきか「検定」する。（例： μ= ３ or μ≠ ３？）

重要ポイント① 再び「中心極限定理」を使う② 区間推定と検定は表裏一体（次頁参照）

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考え方：区間推定から検定へ

前回例：某工場製の電球の平均寿命 μ

Ｑ：「電球の平均寿命 μ が 2500 時間である」という仮説は受け容れられるか否か？

⇒ 信頼係数９５％で区間推定をやると2537.78 時間≦ μ 2648.62≦ 時間。

⇒ 2500 時間かもしれないが、その可能性は５％以下。よって、仮説は却下してよい。

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検定における慣例：背理法

重要：二つの仮説（ H0 と H1 ）を立てる。① 主張したいことは、 H1 （対立仮説）に。② その反対の内容を H0 （帰無仮説）に。

H0 のもとで議論を展開して矛盾を導く。⇒ 矛盾があれば、 H0 を棄却。 H1 受け容れ。注：いつも矛盾が見つかるとは限らない。

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検定の手順：中心極限定理

例： H0 ： μ ＝３、 H1 ： μ≠ ３

を受け容れる。却下し、を「有意水準５％で」③最初に想定した

ので、矛盾といえる。確率でしか起こらないなら僅か５％の、或いは②もし

～を計算：３の下で①

3:H1

3:H0

96.196.1

).1,0(3

:0H2

ZZ

Nn

XZZ

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検定の修正

母集団分散 σ2 の値は未知←要推定

う。分布（前回参照）に従の自由度

～～

を再計算。　 これを代用して

-1

)1,0(

1

)(

122

1

2

2

tn

tns

XtN

n

XZ

Zn

XX

s

nXX

n

ii

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仮説検定の例

• 某工場で製造中の電球の平均寿命を推定• １０個の電球を標本調査。• 標本の平均は 2,593.2 時間、標準偏差は

77.48 。• t‐ 分布表より、自由度９（＝１０－１）

の時、 2.5 ％の臨界値は 2.262 。⇒Q ：平均寿命は 2700 時間といえるか？

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仮説検定の例（続）

　

時間といえない。結論：電球の寿命がを採択。を却下。有意水準５％で

という値が変。矛盾。最初に想定した可能性は５％未満。検定量がこの値を取る

：　 　：

2700

H1H0

2700

-

262.2)9(359.41048.77

27002.2693

2700H12700,H0

025.0

t

tt

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付論①：有意水準について

• 有意水準５％で H0 を棄却する意味• H0 が正しい可能性は５％以下なので、 H0

を棄却し、 H1 を受け容れる。⇒ しかし、 H0 が正しい可能性も５％残る。⇒ 用語：第１種の誤りH0 が本当は正しいのに、誤って棄却するこ

と⇒ 第１種の誤りが起こる確率＝有意水準

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第１種の誤りの特性

• 小標本（ｔ - 分布から境界値）なのに大標本法を採る（正規分布から境界値）と、第１種の誤り（正しい H0 を否定）の確率が高い。

例：自由度 10 で t = 2.0 。 H0 は正しいとする有意水準５％の境界値はそれぞれ　ｔ - 分布： 2.228 　→　 H0 を棄却できない　正規分布： 1.96 　→　 H0 を棄却できる

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第２種の誤り

• 第２種の誤りとは「本当は誤っている H0 を棄却できないこ

と」。

　第１種の誤りの可能性を小さくするには、有意水準を下げる（例：５％→１％）こと。

→ その場合、第２種の誤りの可能性が高くなる（棄却域が狭くなってしまうから）。

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第１種の誤りと第２種の誤り

　　　 H0 を採択 H0 を棄却

H0 は正しい

○ 第１種誤り

H0 は誤り 第２種誤り ○

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付論②：両側検定と片側検定

（例） H0 ： μ ＝３のとき、

両側検定H1 ： μ≠ ３　←等号の両側を考慮

片側検定　↓等号の片側だけを考慮H1 ： μ ＞３　（あるいは、 H1 ： μ ＜３）

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片側検定のための境界値

• 有意水準５％で検定をするならば、境界値として、

　　 小標本：ｔ 0.05 （≠ｔ 0.025 ）

大標本： 1.645 （≠ 1.96 ）

↑ なぜそうなるのかは確率分布図を描いて理解せよ。