Φυσική Κατεύθυνσης Β' Λυκείου -1

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο νόµοι αερίων - κινητική

θεωρία πρέπει να γνωρίζει:

Ποιο είναι το θερµοδυναµικό σύστηµα που µελετάµε και ποιο είναι τοπεριβάλλον.

Ποιο µέγεθος ονοµάζουµε πίεση και ποια είναι η µονάδα µέτρησήςτης.

Ποια κατάσταση είναι η µικροσκοπική και ποια η µακροσκοπική.

Τι δεδοµένα κρύβουν οι λέξεις “ακλόνητα ή ανένδοτα τοιχώµατα”,“αγώγιµα”, “αδιαβατικά ή µονωτικά”.

Τι είναι το γραµµοµόριο (mol), η γραµµοµοριακή µάζα (Μ), ο αριθµός

Avogadro ( )ΑΝ .

Tη σχέση κλίµακας Kelvin και κλίµακας Kελσίου.

Τους νόµους των αερίων και τις χρήσιµες σχέσεις που προκύπτουναπ’ αυτούς.

Να σχεδιάζει τις µεταβολές των αερίων σε διαγράµµατα P -V, P-T, V-T.

Πώς πραγµατοποιείται κάθε µεταβολή (ισόχωρη, ισοβαρής, ισόθερ-µη).

Να γράφει την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων και να δια-

κρίνει πότε χρησιµοποιούµε την σταθερά L atm

R 0,082mol K

⋅=⋅

και πότε

JR 8,314

mol K=

⋅.

Ποιο αέριο θεωρούµε ιδανικό και τι ιδιότητες έχουν τα ιδανικά αέρια.

10. Nόµοι αερίων - κινητική θεωρία Τύποι - Βασικές έννοιες

Ότι η µέση κινητική ενέργεια των µορίων ενός αερίου, εξαρτάται µόνοαπό τη θερµοκρασία και όχι από το είδος του αερίου.

Να διακρίνει τη µεταβολή του αερίου και να εφαρµόζει τον αντίστοιχονόµο.

Ότι οι γραµµοµοριακές µάζες µετρούνται σε kg

mol.

Συνθήκες s.t.p. είναι: 52

NP 1atm 1,013 10

m= = ⋅ και T 273K= .

Όταν οι θερµοκρασίες πλησιάζουν το απόλυτο µηδέν δεν ισχύουν οινόµοι των αερίων.

Ισχύει η σχέση 2 2 2ΕΝ rmsυ υ υ= = .

Όγκος κυλίνδρου µε εµβαδόν βάσης Α και ύψος : KV A = ⋅ .

Τη µορφή που παίρνει η καταστατική εξίσωση σε συνδυασµό µε την

πυκνότητα p M ρ R T⋅ = ⋅ ⋅ .

Νόµοι αερίων - Κινητική θεωρία: Τύποι - Βασικές έννοιες

Σε ασκήσεις µε έµβολα που ισορροπούν να εφαρµόζει την εξίσωση

ΣF 0= . Αν η µάζα του αερίου αλλάξει, να εφαρµόζει πάντα καταστα-τική εξίσωση.

• Φυσικά µεγέθη, µονάδες µετρήσεως και µετατροπές

P: Η πίεση ενός αερίου σε 2N / m (5 21atm 1,013 10 N / m= ⋅ )

V: Ο όγκος του σε 3m (

3 6 3 3 31cm 10 m ,1L 10 m− −= = )

T: Η θερµοκρασία του σε βαθµούς Κέλβιν ( T θ 273= + )

ρ: Η πυκνότητα του αερίου σε 3kg/m (3 3 31g/cm =10 kg/m )

R: Παγκόσµια σταθερά των ιδανικών αερίων J

R 8,314mol grad

=⋅

στο S.I.

L atm0,082

mol grad

⋅= ⋅

11. Τύποι - Βασικές έννοιες Nόµοι αερίων - κινητική θεωρία

• Η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων

Καταστατική εξίσωση: PV nRT= , m

PV RTM

= , PΜ ρRT= (n ο αριθµός

των mol και Μ η γραµµοµοριακή µάζα του αερίου)

• Ισόχωρη µεταβολή

ΑΒ: Ισόχωρη θέρµανση και ΒΑ: Ισόχωρη ψύξη

Στις ισόχωρες µεταβολές ισχύει A A B BP / T P / T= ( nR / V= , νόµος Charles)

• Ισοβαρής µεταβολή

AB: Ισοβαρής θέρµανση (ή ισοβαρής εκτόνωση) και

ΒΑ: Ισοβαρής ψύξη (ή ισοβαρής συµπίεση).

Στις ισοβαρείς µεταβολές ισχύει A A B BV /T =V /T ( nR / P,= νόµος του Gay-

Lussac)

12. Nόµοι αερίων - κινητική θεωρία Τύποι - Βασικές έννοιες

• Ισόθερµη µεταβολή

ΑΒ: Ισόθερµη εκτόνωση και ΒΑ: Ισόθερµη συµπίεση.

Στις ισόθερµες µεταβολές ισχύει A A B BP V =P V ( nRT,= νόµος Boyle)

• Κινητική θεωρία των αερίων

Θα χρειαστούµε τα εξής µεγέθη:

Σύµβολο Επεξήγηση Μονάδες

P Η πίεση του αερίου 2N / m

V Ο όγκος του αερίου 3m

2υ

Ο µέσος όρος των τετραγώνων

µm Η µάζα ενός µορίου ΟΛ µ(m Nm )= kg

AN, N ,n

Αριθµός µορίων, αριθµός Avogadro,

αριθµός mol A(N nN )=

ρ Η πυκνότητα του αερίου 3kg/m

T Η θερµοκρασία του αερίου K

των ταχυτήτων των µορίων 2 2m / s

ΕΝυ ή rmsυ Η ενεργός ταχύτητα (Ορισµός: 2

rmsυ υ= ) m / s

Κ

Η κατά µέσον όρο κινητική ενέργεια κάθε

µορίου

k Σταθερά του Boltzmann A(k R / N )=

Ένα αέριο πυκνότητας ρ βρίσκεται µέσα σε ένα δοχείο έχοντας πίεση Ρ.

Αποδεικνύεται ότι ισχύουν:

21P ρυ

3=

2µ

1 3K= m υ = kT

2 2 ΕΝ

µ

3RT 3kTυ

M m= =

Joule

13.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ΘΕΩΡΙΑ 1 α. Μορφές καταστατικής εξίσωσης.

β. Σχέση απόλυτης θερµοκρασίας µε µέση κινητική

ενέργεια µορίων και πίεσης µε 2ENυ .

γ. Σχέση ενεργού ταχύτητας και γραµµοµοριακής

µάζας (Μ).

Απόδειξη

α. ΟΛ

mn

ΟΛΜm

P V n R T P V R ΤΜ

=⋅ = ⋅ ⋅ → ⋅ = ⋅

ΟΛm

ρV P M ρ R T

=→ ⋅ = ⋅ ⋅ . Επίσης είναι

A

Nn

N= εποµένως προκύπτει

A

RP V N Τ P V N k T

N⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ .

β. Είναι ( )2

µN m υ1P 1

3 V

⋅ ⋅= ⋅ ( µm : µάζα µορίου)

όµως µ ΟΛN m m⋅ = άρα

ΕΝ

2 21 1P ρυ ρ υ

3 3= ⋅ = ⋅ ⋅ .

Επίσης ( ) n R T 1 N 2K 3 n R1 K T

V 3 V 2 N

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

A

3 R 3K T K kT

2 N 2⇒ = ⋅ ⇒ =

γ. Είναι ΕΝ

2µ ΕΝ

µ

1 3 3kΤK m υ kΤ υ

2 2 m= ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ ΕΝ

A µ

3RΤ 3RΤυ

N m M= =

⋅

14. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ. 26: Ερωτήσεις 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.10, 1.11, 1.13

σ. 31: Προβλήµατα 1.30, 1.31, 1.32, 1.33, 1.34, 1.35

σ. 32: Πρόβληµα 1.36

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ.σ. 14 - 20: Τα παραδείγµατα 1.2, 1.3, 1.4,

1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10

σ.σ. 29 - 31: Τα παραδείγµατα 1.11, 1.12,

1.13, 1.15, 1.17

σ. 25: Ξεχωριστό θέµα 1

σ. 37: Ξεχωριστό θέµα 1

σ.σ. 23, 24: Ασκήσεις 1.3, 1.4, 1.9

σ.σ. 35 - 37: Ασκήσεις 1.11, 1.14, 1.17

15.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

1. ∆ίνεται η κυκλική µεταβολή ΑΒΓ∆Α.

α. Να βρείτε το είδος κάθε µεταβολής.

β. Να γράψετε τις εξισώσεις κάθε µεταβολής.

γ. Να κάνετε τα διαγράµµατα −P V και −P T .

Λύση:

α. ΑΒ: ισόχωρη θέρµανση

ΒΓ: ισοβαρής εκτόνωση (θέρµανση)

Γ∆: ισόθερµη εκτόνωση

∆Α: ισοβαρής συµπίεση (ψύξη)

β. ΑΒ: A B

A B

P P

T T=

ΒΓ: B Γ

B Γ

V V

T Τ=

Γ∆: Γ Γ ∆ ∆Ρ V Ρ V⋅ = ⋅

∆Α: ∆ Α

∆ Α

V V

T Τ=

γ.

16. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

2. Ιδανικό αέριο βρίσκεται σε κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο. Το δοχείο

κλείνεται στο πάνω µέρος του µε έµβολο που έχει βάρος 5Ν και εµβα-

δόν διατοµής 21cm που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή. Το αέριο

έχει αρχική θερµοκρασία = ο

1θ 27 C και το έµβολο ισορροπεί σε από-

σταση =1l 30cm από την βάση του κυλίνδρου. Η ατµοσφαιρική πίεση

είναι =ατµ

P 1atm .

α. Υπολογίστε την πίεση του αερίου.

β. Θερµαίνουµε αργά το αέριο µέχρι η θερµοκρασία του να γίνει

= ο

2θ 127 C . Πόση είναι η απόσταση 2l της νέας θέσης ισορροπίας

του εµβόλου από την βάση του δοχείου;

γ. Υπολογίστε την αρχική πίεση του αερίου.

i. Αν ο κύλινδρος είναι οριζόντιος.

ii. Αν ο κύλινδρος είναι κατακόρυφος µε το έµβολο από κάτω.

∆ίνεται: 52

N1atm 10

m= .

Λύση:

α. Στο έµβολο ασκούνται το βάρος, η

ατµF λόγω της ατµοσφαιρικής πίεσης

και αερF λόγω της πίεσης του αερίου.

Είναι: ατµ αερΣF 0 W F F= ⇒ + = ⇒

5ατµ 2

W NΡ Ρ 1,5 10

A m= + = ⋅

β. Η µεταβολή είναι ισοβαρής:

1 2 1 2 22 1

1 2 1 2 1

V V A A T40cm

T Τ T T T

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = =

γ.i. Αν είναι οριζόντιος: 5atm 2

NP P 10

m= =

ii. Είναι ΣF 0= ⇒ 5ατµ 2

W NΡ P 0,5 10

A m= − = ⋅


3. Ποσότητα 2g He βρίσκεται σε κατακόρυφο δοχείο που κλείνεται στο

πάνω µέρος του µε οριζόντιο έµβολο το οποίο µπορεί να κινείται χω-

ρίς τριβές. Η πίεση του αερίου είναι =1P 0,82atm και ο όγκος 1V 20L= .

α. Να υπολογίσετε την απόλυτη θερµοκρασία 1T του αερίου.

β. Εισάγουµε στο δοχείο ορισµένη ποσότητα Ηe και παρατηρούµε ότι

ο όγκος του αερίου διπλασιάστηκε, η πίεση παρέµεινε σταθερή, ενώ

η απόλυτη θερµοκρασία έγινε =2 1

5T T

4. Υπολογίστε την µάζα του

He που εισάγαµε στο δοχείο.

γ. Στη συνέχεια το He που είναι µέσα στο δοχείο υποβάλλεται σε ισό-

χωρη µεταβολή µέχρι να αποκτήσει την αρχική του θερµοκρασία.

Να υπολογίσετε την τελική πίεση του αερίου.

∆ίνονται: RL atm

R 0,082mol K

⋅=⋅

, He

gM 4

mol= και 5 21atm 10 N / m= .

Λύση:

mn 0,5mol

M= =

α. 1 11 1 1 1

P V 0,82atm 20LP V nRT T 400K

L atmnR 0,082 0,5molmol K

⋅ ⋅⋅ = ⇒ = = =⋅ ⋅⋅

β. 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 12 1

P V n RT P V n RT5P V n RT P 2V n R T4

⋅ = ⋅⇒ = ⇒⋅ = ⋅ ⋅

12 1

2

4n1 8n n 0,8mol

2 5n 5⇒ = ⇒ = =

Άρα εισάγαµε 0,3mol He δηλ. 1,2g He

γ. Ισόχωρη: 3 323 3

2 1 11

P PP 0,82atm 4P 0,82atm P 0,656atm

5T T T 5T4

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =


4. ∆ύο οριζόντια κυλινδρικά δοχεία, περιέχουν το ίδιο ιδανικό αέριο και

επικοινωνούν µεταξύ τους µε ένα πολύ λεπτό σωλήνα, που κλείνει µε

στρόφιγγα. Στο δοχείο Α που έχει όγκο −= ⋅ 3 3

AV 3 10 m υπάρχουν 2

molR

αερίου υπό πίεση = ⋅ 5A 2

NP 2 10

m. Στο δοχείο Β που έχει όγκο

−= ⋅ 3 3BV 4 10 m υπάρχουν

3mol

R αερίου υπό πίεση = ⋅ 5

B 2

NP 3 10

m.

α. Υπολογίστε τις αρχικές θερµοκρασίες σε κάθε δοχείο.

β. Ανοίγουµε την στρόφιγγα και µετά την αποκατάσταση της θερµικής

ισορροπίας η τελική πίεση του αερίου είναι = ⋅ 52

NP 2,25 10

m. Υπο-

λογίστε την τελική θερµοκρασία του αερίου.

∆ίνεται: R 8,314= στο S.I.

Λύση:

α. Στο δοχείο Α: A AA A A A A

A

P VP V n RT T 300K

n R

⋅⋅ = ⇒ = =

Στο δοχείο Β: B BB B B B B

B

P VP V n RT T 400K

n R

⋅⋅ = ⇒ = =

β. Όταν ανοίξουµε την στρόφιγγα έχουµε µετακίνηση µορίων από το ένα δο-

χείο στο άλλο, αλλά ο συνολικός τους αριθµός παραµένει σταθερός, δηλ.

' ' A BA B A B A B

P V P Vn n n n n n

R T R T

⋅ ⋅+ = + ⇒ + = + ⇒⋅ ⋅

( )( )

A B

A B

P V VT 315K

R n n

+= =

+

5. Στο δοχείο του σχήµατος περιέχεται ποσότητα 4mol αερίου υπό πίεση

0P και θερµοκρασία 0T . Το στόµιο του δοχείου φέρει βαλβίδα η οποία

ανοίγει όταν η πίεση του αερίου γίνει ίση µε 02P . Θερµαίνουµε το αέ-

ριο σε θερµοκρασία 04T οπότε η βαλβίδα ανοίγει, διαφεύγει ποσότητα

αερίου και στη συνέχεια η βαλβίδα κλείνει διατηρώντας το υπόλοιπο

αέριο που έµεινε στη φιάλη στην θερµοκρασία 04T .


α. Nα υπολογίσετε τον αριθµό των mol που παρα-

µένουν στο δοχείο µετά τη θέρµανση στη θερµο-

κρασία 04T .

β. Αν η ποσότητα του αερίου που διέφυγε από τη

φιάλη κατά τη θέρµανση συλλεχθεί κατάλληλα

πόσα δοχεία όγκου = 01

VV

10 µπορεί να γεµίσει σε

συνθήκες = 0P P και = 0T T ;

Λύση:

α. Πριν ανοίξει η βαλβίδα εφαρµόζουµε καταστατική εξίσωση ( )0 0 0P V 4RT 1=µετά το άνοιγµα της βαλβίδας και την διαφυγή x mol αερίου παραµένουν

στη φιάλη ( )x΄ 4 x mol= − σε συνθήκες 02P , 0V , 04T και ισχύει:

( ) ( )0 0 02P V 4 x R4T 2= −∆ιαιρούµε κατά µέλη τις (1), (2)

( )0 0 0

0 0 0

P V 4RT

2P V 4 x R4T=

−

1 4 1 42 x 2

2 4 x 4 4 x = ⇒ = ⇒ = − −

Εποµένως παραµένουν x΄ 4 2 2mol αερίου= − =

β. Αφού κάθε δοχείο όγκου 0V

10 θα περιέχει τον ίδιο αριθµό mol 1n θα ισχύει:

1y n 2mol⋅ = 1

2n

y⇒ = όπου (y) ο αριθµός των δοχείων όγκου 0V

10. Γράφου-

µε την καταστατική εξίσωση για κάθε δοχείο: ( )00 1 0

VP n RT 4

10= ⋅

∆ιαιρώ κατά µέλη τις (1) και (5)

0

00

1

0 0 0

VP n RT10P V 4RT

=0

0

2RT

1 2 4yy 5δοχεία

10 4RT y 10⇒ = ⇒ = ⇒ =


6. ∆ιαθέτουµε ποσότητα αερίου Ν µορίων σε δοχείο όγκου −= 5 3V 10 m . Η

συνολική κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου στο δοχείο είναι

ΟΛK 10J= και η πυκνότητά του

3ρ 0,5kg /m= .

α. Να υπολογίσετε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου.

β. Το αέριο εκτονώνεται ισοβαρώς µέχρι την κατάσταση εκείνη στην

οποία η ενεργός ταχύτητά του γίνεται 34 10 m/ s⋅ και στην συνέχεια

ψύχεται ισόχωρα µέχρι να υποδιπλασιασθεί η πίεσή του. Να βρεθεί

η τελική τιµή της θερµοκρασίας του αερίου καθώς και η τελική

τιµή του όγκου του αερίου.

∆ίνονται: R 8,3J / mol Κ= ⋅ και η γραµµοµοριακή µάζα του αερίου

4g /mol .

Λύση:

α. 2 22ΟΛ

ΟΛ

ΟΛ

1 1K ΝΚ Ν mυ Ν mυK υ V2 2N mm N m ρ 2

ρVV V

= = = = ⋅⋅ = =

2ΟΛ2Kυ

ρV= 2ΟΛ

εν

2Kυ υ

ρV⇒ = =

εν 5

2 10υ m / s

0,5 10−

⋅=⋅

6εν

υ 4 10 m/s⇒ = ⋅ ⇒ ( )3ενυ 2 10 m / s 1= ⋅

β. Κατά την ισοβαρή εκτόνωση διπλασιάζεται η ενεργός ταχύτητα: εν εν

υ΄ 2υ=

r r

3RT΄ 3RT2

Μ M= ⇒ ( )T΄ 4T 2= όπου Τ η αρχική θερµοκρασία του αερίου.

Ακόµη βάσει νόµου Gay - Lussac ( )V΄ 4V 2α= . Κατά την ισόχωρη ψύξη

υποδιπλασιάζεται η πίεση άρα σύµφωνα µε τον Νόµο του Charles υποδιπλα-

σιάζεται και η απόλυτη θερµοκρασία. Ισχύει λοιπόν:

Τ΄ 4ΤΤ΄ 2Τ

2 2= = = και V΄΄ V΄ 4V= =

Εποµένως ο τελικός όγκος του αερίου είναι τετραπλάσιος του αρχικού ενώ η

τελική απόλυτη θερµοκρασία είναι διπλάσια της αρχικής.


Υπολογίζουµε την αρχική θερµοκρασία του αερίου:

3εν

r

3RTυ 2 10 m/s

M= ⋅ = ⇒ ( )6

r

3RT4 10 S.I.

M= ⋅

6r4 10 M

T3 8,3

⋅ ⋅= ⇒⋅

6 34 10 4 10T K

24,9

−⋅ ⋅ ⋅=

316 10T K

24,9

⋅= ⇒ T 642,5K= οπότε T΄΄ 2Τ 1285Κ= =

7. Σε δοχείο όγκου =V 1L περιέχεται ορισµένη ποσότητα Ηe υπό πίεση

= 62

NP 10

m. Αν η ενεργός ταχύτητα των µορίων του αερίου είναι

= ⋅ 3εν

mυ 2 10

s να βρείτε:

α. την πυκνότητα του αερίου

β. τον αριθµό των mol του αερίου µέσα στο δοχείο

γ. την συνολική κινητική ενέργεια λόγω µεταφορικής κίνησης του

αερίου

δ. θερµαίνουµε το αέριο και παρατηρούµε ότι η ενεργός ταχύτητα των

µορίων διπλασιάζεται. Να βρείτε τον λόγο της τελικής προς την

αρχική θερµοκρασία του αερίου.

∆ίνεται ότι 3

He

kgM 4 10

mol−= ⋅ και το He συµπεριφέρεται ως ιδανικό

αέριο.

Λύση:

α.

( )6

2 2 3εν 22 3

εν

1 1 3P 3 10P ρ υ P ρ υ ρ ρ kg /m

3 3 υ 2 10

⋅= ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⇒ =⋅

63

6 3

3 10 kgρ kg / m ρ 0,75

4 10 m

⋅⇒ = ⇒ =⋅

β. 3 5ΟΛΟΛ ΟΛ ΟΛ

mρ m ρ V m 0,75 1 10 kg m 75 10 kg

V− −= ⇔ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅


52ΟΛ

3r

m 75 10n n n 18,75 10 mol

M 4 10

−−

−

⋅= ⇒ = ⇒ = ⋅⋅

γ. ολ

A A

3 3 R 3 N 3 3K Ν Κ Ν k Τ Ν T R T nRT P V

2 2 N 2 N 2 2= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ =

6 3 33 310 1 10 J 10 J 1500J

2 2−= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

δ.

( )

'εν '

r rεν εν r

εν εν r

ενrr

3RΤ΄ 3RΤ΄υ

Μ Μυ 2υ 3RΤ ' Μ 2 Τ΄ Τ΄ 4:

υ υ 3RΤ Μ 1 Τ Τ 13RΤ3RΤυ

ΜΜ

=

⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅=

8. Ποσότητα = 3n mol

R ιδανικού αερίου

(όπου R η παγκόσµια σταθερά των

ιδανικών αερίων) υποβάλλεται στη

µεταβολή που φαίνεται στο διπλανό

διάγραµµα.

α. Να χαρακτηρίσετε το είδος της µε-

ταβολής στην οποία υπόκειται το

αέριο και να δικαιολογήσετε την

απάντησή σας.

β. Να υπολογίσετε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου στην

κατάσταση Β

γ. Να υπολογίσετε τον όγκο του αερίου στην κατάσταση Α.

δ. Να υπολογίσετε τον λόγο της µέσης κινητικής ενέργειας των µο-

ρίων του αερίου στην κατάσταση Β προς την µέση κινητική ενέρ-

γεια των µορίων του αερίου στην κατάσταση Α.

∆ίνονται: = ⋅⋅

25 JR

3 mol K και η γραµµοµοριακή µάζα του αερίου

= gM 2

mol.


Λύση:

α. Στο διάγραµµα έχουµε την µεταβολή της πίεσης ιδανικού αερίου σε συνάρ-

τηση µε την µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυτήτων των µορίων του.

Γνωρίζουµε ότι 2 2ΟΛm1 1P ρ υ P υ

3 3 V= ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ . Επειδή η γραφική παράσταση

είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων συµπεραίνουµε ότι η

συνάρτηση που την παριστάνει είναι της µορφής y α x= ⋅ µε α σταθ.= Στην

περίπτωσή µας ΟΛm1α

3 V= ⋅ άρα ΟΛm1

σταθ.3 V

⋅ = και επειδή ΟΛ

m σταθ.= συ-

µπεραίνουµε ότι και V σταθ.= Εποµένως η µεταβολή είναι ισόχωρη. Επειδή

παρατηρούµε ότι η 2

υ αυξάνεται, συµπεραίνουµε ότι η θερµοκρασία του

αερίου αυξάνεται άρα τελικά πρόκειται για ισόχωρη θέρµανση.

β. Επειδή η κλίση είναι σταθερή θα ισχύει:

5 52 6 2 2 2 6A ΒΒ Β62 2 2

Α Β Β

P Ρ 10 4 10υ 4 10 m /s υ 4 10 m /s

10υ υ υ

⋅= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

( )3

εν Β

mυ 2 10

s= ⋅

γ. 5

2 3AA A Α Α Α Α6 32

Α

3P1 3 10 kgP ρ υ ρ ρ kg /m ρ 0,3

3 10 mυ

⋅= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

3 3ΟΛ

ΟΛ ΟΛ ΟΛ

m 3 3n m n M m 2 10 kg m 2 10 kg

25M R3

− −= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

3 3OΛ OΛ

18m 10 kg m 0,72 10 kg

25− −⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

33 3 3ΟΛ ΟΛ

A A A AA A

m m 0,72 10ρ V V m V 2,4 10 m

V ρ 0,3

−−⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

ή AV 2,4L=

Προφανώς επειδή η µεταβολή ΑΒ είναι ισόχωρη ισχύει B AV V 2,4L= =


δ.

( )2 2

B 2 6B BB B622A2

ΑA ΑΑ

1 1K m υ m υυK 4 102 2: 4

11 10K υm υK m υ22

= ⋅ ⋅ ⋅ = = = = ⋅= ⋅

9. Ορισµένη ποσότητα αερίου βρίσκεται σε µία κατάσταση θερµοδυνα-

µικής ισορροπίας Α µε =AP 8atm , =AV 3L και =AT 300K . Το αέριο

υφίσταται τις παρακάτω διαδοχικές αντιστρεπτές µεταβολές:

α. µεταβολή ΑΒ κατά την διάρκεια της οποίας η δύναµη που ασκεί το

αέριο στα τοιχώµατα του δοχείου που το περιέχει ανά µονάδα επι-

φανείας παραµένει σταθερή και στο τέλος αυτής η µέση κινητική

ενέργεια των µορίων του αερίου έχει διπλασιασθεί

β. µεταβολή ΒΓ κατά την διάρκεια της οποίας η µέση κινητική ενέρ-

γεια των µορίων του αερίου παραµένει σταθερή και η πυκνότητα

του αερίου στο τέλος αυτής υποδιπλασιάζεται

γ. µεταβολή Γ∆ κατά την διάρκεια της οποίας η πυκνότητα του αερί-

ου παραµένει σταθερή και στο τέλος αυτής η ενεργός ταχύτητα των

µορίων του αερίου υποδιπλασιάζεται.

i. Να χαρακτηρίσετε το είδος των µεταβολών και να βρείτε τα P, V,

T στις καταστάσεις Β, Γ και ∆.

ii. Να σχεδιάσετε τις µεταβολές αυτές σε άξονες −P V , −P T και

−V T βαθµολογηµένους.

Λύση:

i. ΑΒ: Επειδή η δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας είναι η πίεση, η πίεση παρα-

µένει σταθερή και επειδή 3

K kT2

= για να αυξηθεί η K πρέπει ν’ αυξηθεί η

Τ, η µεταβολή ΑΒ είναι ισοβαρής θέρµανση (εκτόνωση)

ΒΓ: Επειδή 3

K kT2

= για να παραµένει η K σταθερή πρέπει T σταθ= και

επειδή OΛmρ

V= και

ΟΛm σταθ= για να υποδιπλασιαστεί η Ρ πρέπει να δι-

πλασιασθεί ο όγκος, η µεταβολή ΒΓ είναι ισόθερµη εκτόνωση.

Γ∆: Επειδή ΟΛmρ

V= και

ΟΛm σταθ= για να παραµένει η ρ σταθερή πρέπει


V σταθ= και επειδή εν

r

3RTυ

M= για να υποδιπλασιασθεί η

ενυ πρέπει η Τ

να ελαττωθεί, η µεταβολή Γ∆ είναι ισόχωρη ψύξη

Α: AP 8atm= , AV 3L= , AT 300K=

ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση: B AP P 8atm= =

( )B B BB A B

BA A

A AA

3 3K k T k T TK 2K2 2: T 2 300K 600K33 300K Kk TK k T22

= ⋅ ⋅ = = = ⇒ = ⋅ = ⋅= ⋅

A B BB

A B

V V V3LV 6L

T T 300 600= ⇒ = ⇒ =

Β: BP 8atm= , BV 6L= , BT 600K=

ΒΓ: ισόθερµη εκτόνωση: Γ B

T T 600K= =

OΛ

Β

Β

ΟΛ ΟΛ ΟΛ

Γ Γ B

Γ Β Γ B Γ

B Γ

mρ

V

m m m 1 2ρ 2 V 2V 2 6L 12L

V V V V V

ρ 2ρ

=

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⋅ ==

Νόµος Boyle

B B Γ Γ Γ Γ Γ

48P V P V 8 6atm P 12 P atm P 4atm

12⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Γ: Γ

P 4atm= , Γ

V 12L= , Γ

T 600K=

Γ∆: ισόχωρη ψύξη: ∆ Γ

V V 12L= =

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Γ Γ

εν Γ

r εν Γ εν Γr Γ r

εν Γ ∆ r ∆εν ∆ ∆∆

εν ∆

rr

3RΤ 3RΤυ

υ υΜ Μ 3RΤ Μ 600: 2

υυ 3RΤ Μ Τ3RΤ3RΤυ

Μ 2Μ

=

⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅=


∆ ∆

∆

600 6004 Τ K Τ 150Κ

Τ 4= ⇒ = ⇒ =

Γ ∆ ∆∆ ∆

Γ ∆

Ρ Ρ Ρ4atm 600Ρ atm Ρ 1atm

Τ Τ 600 150 600= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

∆: ∆

P 1atm= , ∆

V 12L= , ∆

T 150K=

ii.

27.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

1. 4

n molR

= ιδανικού αερίου βρίσκονται σε δοχείο όγκου 2L υπό πίεση

5 218 10 N /m⋅ . Το αέριο υφίσταται τις εξής διαδοχικές µεταβολές: εκ-

τονώνεται ισόθερµα µέχρι να εξαπλασιαστεί ο όγκος του, ψύχε-

ται ισοβαρώς µέχρι να υποτριπλασιαστεί η θερµοκρασία του, συµπιέ-

ζεται ισόθερµα και επιστρέφει µε ισόχωρη θέρµανση στο αρχικό σηµείο.

α. Να παρασταθεί η παραπάνω κυκλική µεταβολή σε διαγράµµατα

P V− , P T− και V T− .

β. Να δειχτεί ότι:

i. ∆ Α

Γ Β

P PΤ Τ

= ii. Γ Α Β ∆

V Τ V Τ⋅ = ⋅

∆ίνεται: R 8,314= στο S.I.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

2. Ένα δοχείο όγκου 1200mL περιέχει Ήλιο (He) σε θερµοκρασία ο123 C .

Η πίεση του αερίoυ είναι 10atm. Πόσα mol περιέχονται στο δοχείο;

Υπολογίστε την πυκνότητα του αερίου.

∆ίνονται: 5 21atm 1,013 10 N /m= ⋅ , R 8,314= (στο S.I.) και η γραµµο-

µοριακή µάζα του He 4g / mol= .

28. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

3. Κοίλο σφαιρικό δοχείο Β όγκου

22V V 10 m−= = συνδέεται µέσω

σωλήνα αµελητέου όγκου µε κυλιν-

δρικό κατακόρυφο δοχείο αρχικού

όγκου 2

1V 10 m−= . Το πάνω µέρος

του κυλίνδρου κλείνεται µε αερο-

στεγές έµβολο το οποίο έχει αµελη-

τέο βάρος και ισορροπεί. Η ενερ-

γός ταχύτητα των µορίων στο δοχείο (Α) και η ενεργός ταχύτητα των

µορίων στο δοχείο (Β) ικανοποιούν τη σχέση Β,εν Α,εν

υ 2υ= . Η ατµο-

σφαιρική πίεση είναι 5 2

ατµΡ 10 Ν /m= και το ύψος h 1m= . Κάθε δοχείο

περιέχει το ίδιο αριθµό mol 1 2

2n n

R= = όπου R η παγκόσµια σταθερά

των αερίων σε µονάδες S.I. Να υπολογισθούν:

α. η θερµοκρασία του αερίου στο δοχείο Α

β. η πίεση του αερίου στο δοχείο Β.

γ. Ανοίγουµε την στρόφιγγα και διαπιστώνουµε ότι µετά από κάποιο

χρονικό διάστηµα το έµβολο ισορροπεί σε µια νέα θέση ψηλότερα

από την αρχική και το αέριο έχει µια ενιαία θερµοκρασία T΄ 700Κ= .

i. πόσο µετακινήθηκε το έµβολο;

ii. πόσα mol αερίου µετακινήθηκαν από το ένα δοχείο στο άλλο;

(Η απάντηση στο (ii) ερώτηµα να δοθεί σε συνάρτηση µε την σταθερά R).

............................................................................................................................

............................................................................................................................


............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

4. Ιδανικό αέριο υφίσταται την κυκλική µεταβολή του σχήµατος.

α. Να χαρακτηρίσετε κάθε µεταβολή.

β. Να βρείτε τα BV , Γ

V , ∆

Ρ .

γ. Να γίνουν τα διαγράµµατα Ρ Τ− ,

V Τ− .

δ. Αν η πυκνότητα του αερίου στη κα-

τάσταση Α είναι 3

kg0,3

m, να υπολο-

γιστεί η ενεργός του ταχύτητα στην

κατάσταση αυτή.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

5. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου 4

n mol3

= βρίσκεται µέσα σε δοχείο

όγκου AV 6L= και πίεση 5A 2

NΡ 2 10

m= ⋅ . Θερµαίνουµε το αέριο ισο-

βαρώς µέχρι την θερµοκρασία BT 400K= , µετά ψύχουµε ισόχωρα µέ-

30. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

χρι την κατάσταση Γ και τέλος το επαναφέρουµε στην αρχική κατά-

σταση ισόθερµα.

α. Να βρείτε την AT , BV και Γ

Ρ .

β. Να γίνουν τα διαγράµµατα Ρ V− , Ρ Τ− , V Τ− .

γ. Να βρείτε το λόγο των ενεργών ταχυτήτων για τις καταστάσεις Β

και Γ. ∆ίνεται: J

R 8,31mol K

=⋅

.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. ∆οχείο όγκου V 2L= περιέχει ιδανικό αέριο He υπό πίεση 52

NP 2 10

m= ⋅

και πυκνότητα 3

kgρ 0,2

m= . Να βρείτε:

α. την θερµοκρασία του αερίου

β. την ενεργό ταχύτητα των µορίων του

γ. τη µέση κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου

δ. τη συνολική κινητική ενέργεια του αερίου.

∆ίνονται: J

R 8,31mol K

=⋅

, He

grM 4

mol= και

23A

µοριαN 6 10

mol= ⋅ .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


7. Ένας κύλινδρος µε ανένδοτα τοιχώµατα χω-

ρίζεται σε δύο τµήµατα Α και Β µε θερµοµο-

νωτικό έµβολο που µπορεί να κινείται χωρίς

τριβές. Στο τµήµα Α υπάρχουν 26g H ενώ στο

τµήµα Β υπάρχουν 21,5molO . Το έµβολο

ισορροπεί όταν τα αέρια βρίσκονται σε θερµοκρασία T 350K= .

α. Υπολογίστε το λόγο 1

2

.

β. Θερµαίνουµε το 2O µέχρι να αποκτήσει θερµοκρασία 2T 800K= και

το 2H µέχρι να αποκτήσει θερµοκρασία 1T οπότε το έµβολο ισορρο-

πεί στο µέσο του κυλίνδρου. Βρείτε την 1T .

γ. Υπολογίστε το λόγο των ενεργών ταχυτήτων των µορίων του 2H

και του 2O στην αρχική και στην νέα κατάσταση.

∆ίνονται: 2H

grM 2

mol= και

2O

grM 32

mol= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

32. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

Θέµα 1ο

Α.1. Ίσες ποσότητες οξυγόνου και υδρογόνου βρίσκονται στην ίδια θερµοκρα-

σία. Τότε έχουν τις ίδιες:

α. ενεργές ταχύτητες

β. πιέσεις

γ. µέσες κινητικές ενέργειες

δ. ίδιες επιταχύνσεις

2. Ποσότητα ιδανικού αερίου ψύχεται αλλά η πυκνότητα του παραµένει στα-

θερή. Η πίεση του αερίου:

α. αυξάνεται

β. µειώνεται

γ. µένει σταθερή

δ. δεν µπορούµε να γνωρίζουµε

3. Εάν τετραπλασιάσουµε την θερµοκρασία µιας ποσότητας ιδανικού αερίου

τότε η ενεργός ταχύτητα των µορίων του:

α. διπλασιάζεται

β. υποδιπλασιάζεται

γ. τετραπλασιάζεται

δ. δεν αλλάζει

4. Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα αναφέρεται σε τυχαία µεταβολή:

33.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τη γνώση µας

Β. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες:

α. Αν σε µια µεταβολή ΑΒ αερίου ισχύει A A B BP V P V⋅ = ⋅ τότε η µεταβολή

αυτή είναι οπωσδήποτε ισόθερµη.

β. Όταν έχουµε εκτόνωση αερίου τότε ο όγκος του αυξάνεται ενώ στην συ-

µπίεση ο όγκος του αερίου µειώνεται.

γ. Γραµµοµοριακή µάζα (Μ) είναι η µάζα του mol.

δ. Η καταστατική εξίσωση PV n R T= ⋅ ⋅ ισχύει για κάθε κατάσταση ισορ-

ροπίας του ιδανικού αερίου.

(Μονάδες 25)

Θέµα 20

1. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε δοχείο όγκου V ασκώντας

πίεση Ρ. Τοποθετούµε το αέριο σε δοχείο όγκου V

2 και τότε ασκεί πίεση 2Ρ.

Να βρείτε:

α. πόσο µεταβλήθηκε η θερµοκρασία του αερίου

β. πόσο µεταβλήθηκε η ενεργός ταχύτητα των µορίων του

2. Ιδανικό αέριο εκτονώνεται ισοβαρώς έτσι ώστε να διπλασιαστεί η ενεργός

ταχύτητα των µορίων του. Να βρείτε την µεταβολή του όγκου του αερίου.

3. Να παρασταθεί γραφικά σε διάγραµµα P V T⋅ − η καταστατική εξίσωση για

ποσότητα ιδανικού αερίου. Τι εκφράζει η κλίση της ευθείας;

(Μονάδες 25)

Θέµα 30

Ιδανικό αέριο βρίσκεται σε κατάσταση (Α) όπου η πίεση και η θερµοκρασία

του έχουν τις τιµές 5 2

AP 10 N / m= και AT 400K= . Αν η πυκνότητα του αερίου

είναι 3

kgρ 0,3

m= , να βρείτε:

α. την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου

β. τη µέση µεταφορική κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου

γ. τη θερµοκρασία στην οποία πρέπει να θερµανθεί το αέριο, ώστε να διπλα-

σιαστεί η µέση κινητική ενέργεια των µορίων του.

∆ίνεται η µάζα ενός µορίου του αερίου: 265m 10 kg

3−= ⋅ .

(Μονάδες 25)

34. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

Θέµα 40

Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται η κυκλική µεταβολή µιας ποσότητας ιδανι-

κού αερίου.

Αν η θερµοκρασία στην κατάσταση Α είναι AT 200K= και η ενεργός ταχύτητα

των µορίων του αερίου στην κατάσταση Γ είναι διπλάσια απ’ ότι στην κατά-

σταση Α,

α. να παραστήσετε ποιοτικά την παραπάνω κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα

P V− και V T−β. να βρείτε την θερµοκρασία στις καταστάσεις Β και Γ

γ. να βρείτε τον λόγο των µεταφορικών κινητικών ενεργειών στις καταστάσεις

Α και Β

δ. δείξτε ότι η πίεση στην κατάσταση Γ είναι τετραπλάσια της πίεσης στην

κατάσταση Α.

(Μονάδες 25)

Documents

Φυσική Κατεύθυνσης Β' Λυκείου -1