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课程指导课五第 16 章 电磁场§1 法拉第电磁感应定律§2 动生电动势§3 感生电动势§4 自感和互感§5 磁场的能量§6 位移电流§7 麦克斯韦方程组§8 电磁波

教师：郑采星大学物理

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基本要求

教学基本内容、基本公式

第 16 章 电磁场掌握法拉第电磁感应定律，楞次定律，电磁感应现象与能量守恒定律的关系。动生电动势，用电子理论解释动生电动势。理解感生电动势，涡旋电场，涡电流。理解自感与互感。能进行有关计算。理解位移电流，麦克斯韦电磁场理论，麦克斯韦方程组织分形式及其物理意义。了解振荡电路。电磁振荡。电磁波的产生和传播。了解电磁波的基本性质，电磁波的能流密度，电磁波谱。 1 法拉第电磁感应定律

dd t

导体回路中的感应电动势 的大小与穿过导体回路的磁通量的变化率成正比。导体运动切割磁力线，将产生动生电动势；而仅由磁场随时间变化产生的电动势则称为感生电动势。这是感应电动势的两种类型。电动势 lEk

d lEL k

d

2 动生电动势 Li lB d)(v 3 感生电动势

SL r S

tBlE

dd

3

4 自感和互感电流强度变化率为一个单位时，在这个线圈中产生的感应电动势等于该线圈的自感系数 L 。

ddL

iLt

互感系数 M 表示两线圈之间产生互感能力的物理量 . tiM

dd

互感取决于两个回路的几何形状，相对位置、两线圈的匝数以及它们周围的磁介质的分布。5 磁场的能量自感磁能 : 2

21 LIWm 互感磁能 12 12 1 2W M I I

磁场能量的一般公式

VVBHVW d

21d 磁场能量密度： BH

21

6 位移电流为了使安培环路定理具有更普遍的意义 , 麦克斯韦提出位移电流假设。

4

7 麦克斯韦方程组

StBlE

SL

dd)3(

　 　

S SL

StDSlH

ddd)4( 　 　

VS

VqSD dd)1( 　　 0d)2(

SSB　 　

麦克斯韦电磁理论的基本思想有两点：除静止电荷产生无旋电场外，变化的磁场产生涡旋电场；除传导电流激发磁场外，变化的电场（位移电流）也激发涡旋磁场。8 电磁波变化的电场、变化的磁场相互激发，相互转化；以一定的速度由近及远地向周围空间传播电磁波。

E

天线

i

E

HH

H

能源

CL

L’

天线

5

1. 如图所示，在磁感应强度 B=7.610-4T 的均匀磁场中，放置一个线圈。此线圈由两个半径均为 3.7cm 且相互垂直的半圆构成，磁感应强度的方向与两半圆平面的夹角分别为 620 和 280 。若在 4.510-3S 的时间内磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？ 解：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由法拉第电磁感应定律求解，即

S

SBtt

d

dd

dd

但在求解时应注意下列几个问题： 1 ．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。 2 ．应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由

S

SB

d 计算。对于均匀磁场则有 cosd BSSBS

其中 SS cos 为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。

6

对于本题， 2211 coscos BSBSΦ

1 和 2 为两半圆形平面法线与 B 之间的夹角。 为方便起见，所取回路的正向（顺时针或逆时针）应与穿过回路的 B 的方向满足右螺旋关系，此时恒为正值，这对符号确定较为有利。 迎着 B 的方向，取逆时针为线圈回路的正向。由法拉第电磁感应定律，有

，说明感应电动势方向与回路正向一致。 0

)coscos(dd

dd

2211 BSBStt

)coscos(dd

2211 SStB

VSStB 4

2211 1091.4)coscos(

3 ．感应电动势的方向可由 -d/dt 来判定，

7

2. 如图所示，真空中一长直导线通有电流 I(t) = I0 e -t ，式中为 t 时

间， I0 、为正常量；另一长为 l1 、宽为 l2 的矩形导线框与长直导线平行共面。设时刻 t 二者相距为 a ，矩形框正以速率 v 向右运动，求此时刻线框内的感应电动势。解 : 取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线框的磁通量（由长直电流所提供）为

其中 x 随时间变化的，而且

d

参考：习题 16.10

2 dx l

xB S

0 2

1( ) ln

2I t x ll

x

0 1 2 2d d ( ) dln ( ) lnd 2 d dx a x a

l x l x lI t I tt t x x

)(

ln2

)(

2

2210

laal

alatIl v

teItI 0)(

av1l

2ldd x a

xt

v 设 t 时，二者相距为 x.

x

2 01

( ) d2

x l

x

I tl r

r

8

由法拉第电磁感应定律得

显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内取顺时针方向，可以通过楞次定律进行验证。通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应电动势，得出的是整个回路的总感应电动势，它可能是动生与感生电动势的总和。

0 1 0 2 2

2

d lnd 2 ( )

tl I a l l et a a a l

v

0 1 2 2

2

( )d lnd 2 ( )

l I t a l lt a a a l

vteItI 0)(

av1l

2l

( ) dB l v 1 1 2 1 1 1 2( )B l B l l B B v v v

)11(2

)(

2

021 ala

tIBB

teala

lI

)(2 2

200

0 0 1 2

22 ( )tI l l e

a l a

v

tea

lalnlI

21

00

2

在中固定 a ，仅对 t 求导数得感生电动势 alalnlI 2100

2

感生

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3. 在垂直图面的圆柱形空间内有一随时间变化的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直图面向里。在图面内有两条相交于 O 点的夹角为 600 的直导线 Oa和 Ob ，而 O 点则是圆柱形空间与图面的交点。此外，在图面内另有一半径为 r 半圆环形导线在上述两条直线上以速度匀速滑动。的方向与∠ aOb的平分线一致，并指向 O 点 ( 如图 ) 。在时刻 t ，半圆环的圆心正好与 O 点重合。此时磁感应强度大小为B 。磁感应强度大小随时间的变化率为 k(k 为正数 ) 。求此时半圆环的导线与两条直线围成的闭合回路 CODC 中的感应电动势。

S

ddd

dd SB

ttΦ

ktB 2

61 rS ？

注意下列几个问题： 1 ．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。 2 ．应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。

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21 1 由涡旋电场所形成，它相当于半圆导线处于 t 时刻所在位置静止不动时，回路 CODC 中的感生电动势，所以

解：顺时钟为绕行方向。回路中感应电动势由感生电动势 1 和动生电动势 2 两部分叠加而成

6/ddd 2

srkSB

t

CD 弧上的动生电动势相当于 CD 弦上的动生电动势，所以2 ( ) d

cdB l BrBCD

v v v

2 / 6 6( - / )Br r k r B rk v v

若 vB ＞ rk/6 则 的方向与所设正向一致，即顺时钟方向； vB ＜ rk/6 ，则 的方向与所设正向相反，即逆时钟方向。

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4. 在半径为 R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场， B 的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为 l 的金属棒放在磁场中，设 B 随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为 2

2

22dd

lRltB

dkE l

dkL

E l

P Q

B

oR

l证 1 ：取 闭合回路 OPQ 由法拉第电磁感应定律，有

P Q

B

oR

l

d dkL S

BE l St

OP 、 QO 段，因为 Ek （涡旋电场）的方向与径向垂直，与 dl 矢量点积为 0 。PQ

22

22dd

dd

dd

lRltB

tBS

t

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4. 在半径为 R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场， B 的方向与柱的轴线平行。如图所示，有一长为 l 的金属棒放在磁场中，设 B 随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为 2

2

22dd

lRltB dkE l

证 2 ：在 r ＜ R 区域，感生电场强度的大小 tBrEk d2

d

设 PQ 上线元 dx 处， Ek 的方向如图所示，则金属杆 PQ 上的电动势为P Q

B

oR

l

xo xd

kE

r

L L

KKPQ xExEE dcosd

xr

lRtBrl

d)2/(

dd

2

22

0

22 )2/(

2dd lRl

tB

rlR 22 )2/(

cos

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D[ ]A B

(A) 电动势只在导线 AB 中产生。　　　

5. 在圆柱空间内有一磁感应强度为 B 的均匀磁场，如图所示。B 的大小以速度 dB/dt 变化。在磁场中有 A 、 B 两点，其间可放直导线 AB 和弯曲的导线 AB ，则(B) 电动势只在 AB 导线中产生。　(C) 电动势在 AB 和 AB 中都产生，且两者的大小相等。(D)AB 导线中的电动势小于 AB 导线中的电 动势。

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连接 AO 与 OB 分别与 AB 、 AB 组成闭合回路 L 。

A B

S

L r StBlE

dd

包含 AB 的闭合回路 L 扇形面积 S1

1

dddS

AB rL r StBlElE

包含 AB 的闭合回路 L 三角形面积 S2

2

dddS

AB rL r StBlElE

B/t 一致，且 S1 > S2

AB 导线中的电动势小于 AB 线中的电动势。

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6. 如图所示，一长为，质量为 m 的导体棒 CD ，其电阻为 R ，沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面成 角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度 B 的方向为竖直向上。求：（ 1 ）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（ 2 ）导体棒 CD 的最大速度 vm 。

参考：习题 16.4

感应电流所受安培力的方向？

v

B

BlI

d

Bv

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导体棒沿轨道方向的动力学方程为

将式（ l ）代入式（ 2 ），并令 则有 分离变量并两边积分

mRlBH 222 cos

2 2

cos (1)AB lF BIl Bl

R R 　 　v

dsin cos (2)dAmg F ma m

t 　 　v

dsind

g Ht

vv

如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力 P 和导轨支持力 FN外，还受到一个与下滑速度有关的安培力 FA ，这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为

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得 由此得导体在 t 时刻的速度

由上式可知，当t

2 2 2

2 2 2

cossin

cos(1 )

B l tmRmgR

B le

v

0 0

d dsin

tt

g H

v v

v

1 sinlnsin

g H tH g

v

2 2 2

sincosm

mgRB l

v v

分离变量并两边积分 dsind

g Ht

vv

此即为导体棒下滑的稳定速度，也是导体棒能够达到的最大速度，其 v － t 图线如图所示。 1978 年全国高考物理试题

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7. 面积为 S和 2S的两圆线圈 1、 2如图放置，通有相同的电流 I．线圈 1的电流所产生的通过线圈 2的磁通用 21表示，线圈 2的电流所产生的通过线圈 1的磁通用 12表示，则 21和 12的大小关系为：

1 2S 2 S

I I

答案： (C)

电流 I1 产生的磁场在回路中 L2 引起的全磁通正比于电流 I1 ，即 12121 IM

电流 I2 产生的通过回路 L1 的全磁通也正比于电流 I2 ，即 12 12 2M I

对于给定的一对线圈回路，可以证明： MMM 1221

本题有 1 2I I 所有 21 12

21 12 21 12

21 12 21 12

(A) 2 . (B) .1(C) . (D) .2

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8. 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形线圈的边长分别为 a 、 b ，它到直导线的距离为 c （如图），当矩形线圈中通有电流 I = I0sint 时，求直导线中的感应电动势。 解 : 如果在直导线中通以稳恒电流 I ，在距离为 r处产生的磁感应强度为 B =0I/2r ．在矩形线圈中取一面积元 dS=bdr ，通过线圈的磁通量为

0 0dd ln

2 2

a c

S c

Ib r Ib a cB Sr c

互感系数为 0 ln2

b a cMI c

当线圈中通以交变电流 I = I0sint 时，直导线中的感应电动势大小为 tIM

dd

tIc

cab

cos)(In2 0

0

M12=M21=M

Ib

c

a

M= ？

参考：习题 16.17

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9. 两个线圈的自感分别为 L1 和 L2 ，它们之间的互感为 M ．(1) 将两个线圈顺串联，如图 a 所示，求 1 和 4 之间的自感；(2) 将两线圈反串联，如图 b 所示，求 1 和 3 之间的自感．

参考：习题 16.19

1 2 3 4(a)

2 3 4

(b)1

解：两个线圈串联时，通以电流 I 之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和磁场的能量为：

VHBWV

m d21

（ 16.16 ）21 BBB

VBBVBVB

VVV

dd2

d2

2122

21

VBBILILV

dcos21

21 212

22

1

21

VBBILILWV

m dcos21

21 212

22

1

1 2 3 4(a)

2 3 4

(b)1

222

21 2

121 MIILILWm

(1) 当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同， = 0 ，所以

（ 16.19 ）自感系数为 MLL

IWL m 22

212

(2) 当两个线圈反串时，两磁场的方向相反， = ，所以MLL

IWL m 22

212 自感系数为

22

10. 一根电缆由半径为 R1和 R2的两个薄圆筒形导体组成，在两圆筒中间填充磁导率为的均匀磁介质．电缆内层导体通电流 I，外层导体作为电流返回路径，如图所示．求长度为 l 的一段电缆内的磁场储存的能量．

I I

R1

R2

l

解： iIlH

d

1 22 ( )rH I R r R r

IH

2

rIHB

2

2

222

)2(22 rIBwm

lrrwVwW mmm d2dd rrlr

I d2)2(2 2

2

2

1

2

1

d4

d2 R

R

R

Rmm r

rlIWW

1

22

ln4 R

RlI

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11. 如图所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流 i(t) ，则 (A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场． (B) 任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零． (C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感强度的环流不为零． (D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零．

i(t)

答案： (B) 参考解答：麦克斯韦方程组：磁场的高斯定理和电场的高斯定理分别如下：(1) 磁场高斯定理：传导电流和位移电流都激发涡旋磁场，磁场是无源场，其磁感应线是连续的闭合曲线。则有：

0d SBS

即在任何磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量均等于零。(2) 电场高斯定理：电荷激发有源电场，设 D1 为电位移，则：

qSDS

d1

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变化的磁场激发的涡旋电场是无源场，电位移线是连续的闭合曲线，其电位移 D2 对于任意闭合曲面的电位移通量等于零，即

11. 如图所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流 i(t) ，则 (A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场． (B) 任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零． (C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感强度的环流不为零． (D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零．

i(t)

0d2 SDS

在一般情况下，电场由电荷和变化的磁场共同激发。设空间任一点总的电位移为 D ，则 D = D1 + D2 ，所以 qSDS

d

即在任何电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于闭合面内自由电荷的代数和。本题相当于通有变化电流的螺线管，管内无自由电荷，且沿轴线方向均匀地分布着变化磁场，当然有任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的电通量和磁通量均为零。

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