第三章静态电磁场及其边值问题（1 3course.sdu.edu.cn/Download2/47d87073-21f8-4cc6-b77f-9514f84374ca.pdf电磁场与电磁波第3章 1 第三章静态电磁场及其边值问题（1）

第3章电磁场与电磁波 1

第三章静态电磁场及其边值问题（1）

§ 3.1 静电场分析

§ 3.2 导电媒质中的恒定电场分析

教师姓名：宗福建

单位：山东大学微电子学院

2019年3月21日

第3章电磁场与电磁波

MAXWELL方程组

0

0

t

t

BE

EB J

E

B

0 0 0

2

2


MAXWELL方程组

0

0

l s

l

s V

s S

d dt

d I dt

Qd Q dV

d I d

BE l S

EB l S

E S

B S J S

0 0 0

s

3

3


介质中的麦克斯韦方程组为介质方程为：

0

t

t

BE

DH J

DB

D EB HJ E

4


积分形式：

0

l S

l S

S S

S V

dd ddt

dd I ddt

d Q I d

d Q dV

E l B S

H l D S

D S J S

B S

　　＝

　　＝

D EB HJ E

5


法向分量的跃变

1 2

1 2

0 1 2( )

n n f

n n P

n n f P

D DP P

E E

nn BB 12

6


切向分量的跃变

1 2

1 2

1 2 0

1 2

( ) /

t t f

t t M

t t f M

t t

H HM MB B

E E

7


矢量形式

1 2

1 2

1 2

1 2

( ) 0( )

( )( ) 0

n E En H H αn D Dn B B

8


本章内容

3.1 静电场分析

3.2 导电媒质中的恒定电场分析

3.3 恒定磁场分析

3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理

3.5 镜像法

3.6 分离变量法

3.7 有限差分法

• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括：

静电场、恒定电场和恒定磁场

• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场

• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立

9


3.1 静电场分析

学习内容

3.1.1 静电场的基本方程和边界条件

3.1.2 电位函数

3.1.3 导体系统的电容与部分电容

3.1.4 静电场的能量

3.1.5 静电力

10


2. 边界条件

0

D

E

微分形式：

D E

本构关系：

1. 基本方程

1 2

1 2

( )

( ) 0n S

n

e

e

D D

E E

d

d 0S

C

Q

D S

E l

积分形式：

1 2

1 2

( ) 0

( ) 0n

n

e

e

D D

E E

1 2

1 2 0n n S

t t

D DE E

或

若分界面上不存在面电荷，即ρS＝0，则

1 2

1 2

n n

t t

D DE E

或

3.1.1 静电场的基本方程和边界条件

11


介质2

介质1

21

2

1

2E

1E

ne

1 1 1 11 1

2 2 2 2 2 2

/ /tantan / /

t n n

t n n

E E DE E D

在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的

边界条件为

0n S

n

e

e

D

E

0

n S

t

DE

或

场矢量的折射关系

导体表面的边界条件

导体

介质11

11E

ne

12


0E

由

即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数称为静

电场的标量电位或简称电位。

1. 电位函数的定义

E

3.1.2 电位函数

13


静电场的标势

静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可

以引入一个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守

力场的方法一样。

无旋性的积分形式是电场沿任意闭合回路的环量等于零，

0d E l14

14


静电场的标势

设C1和C2为由P1点到P2点的任意两条不同路径。

C1与−C2合成闭合回路，因此

1 2

1 2

1 2

0

0

C C

C C

C C

d d

d d

d d

E l E l

E l E l

E l E l 15

15


静电场的标势

因此，电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的功与具体路径

无关,只和两端点有关。

单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所作的功为

2

1

P

PW d E l

16

16


静电场的标势

将此功定义为P1点和P2点的电势差。

若电场对电荷作了正功，则电势下降。由此，

1 2

2 12 1( ) ( )

P P

P PP P d d E El l

17

17


静电场的标势

由定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是

没有物理意义的。

因此，电场强度E 等于电势的负梯度

E18

18


2. 电位的表达式

对于连续的体分布电荷，由

面电荷的电位：

1 ( )( ) d4 V

rr V CR

故得

点电荷的电位： ( )4

qr CR

( )1( ) d4

SS

rr S CR

( )1( ) d4

lC

rr l CR

3

1 ( ) 1 1( ) d ( ) ( )d4 4

1 1[ ( )( )d ]4

V V

V

r RE r V r VR R

r VR

3

1( ) RR R

线电荷的电位：

R r r

19


3. 电位差

两端点乘，则有dl

E

将

d d ( d d d ) dE l l x y yx y y

上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得

关于电位差的说明

P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；

电位差也称为电压，可用U 表示；

电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。

d d ( ) ( )Q Q

P PE l P Q

P、Q 两点间的电位差

电场力做

的功

20


静电位不惟一，可以相差一个常数，即

' ' ( )C C

选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)

两点间电位差有定值选择电位参考点的原则

应使电位表达式有意义；

应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无

限远作电位参考点；

同一个问题只能有一个参考点。

4. 电位参考点

　为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考

点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确

定值，所以该点的电位也就具有确定值，即

21


在均匀介质中，有

5. 电位的微分方程

2

在无源区域， 0

D E

E

2 0

标量泊松方程

拉普拉斯方程

22


静电势的微分方程

可以验证，电势

是泊松（Poisson）方程

的一个特解。

2

0

1 ( )( )4

dVr

。

xx

23

23



在静电问题上中，常常有一些导体存在，由于导体的特殊性质，在

导体表面上的边值关系有它的特点。

导体内部有自由电子，在电场作用下这些电子就会运动。因此，在

静电情况下，导体内部电场必须为零，而且导体表面上的电场亦不能有

切向分量，否则电子将沿表面运动。即整个导体必须是一个等电势体。

导体内部没有电场的必要条件是导体内部不带电，导体所带电荷只

能分布于外表面上。

24

24



因此，导体的静电条件归结为：

（1）导体内部不带电，电荷只能分布于导体外表面上；

（2）导体内部电场为零；

（3）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。

整个导体的电势相等。

25

25



设导体表面所带电荷面密度为σ ，设它外面的介质电容率为ε ，得导

体表面的边界条件：

n

常数

26

26


标势的边值关系

在两介质界面上，电势必须满足边值关系。

我们需要把电场的边值关系化为电势的边

值关系。

2 1

2 1

( ) 0( )

n E En D D

27



如图所示，考虑介质1和介质

2分界面两侧相邻的两点P1

和P2 。由于电场强度有限，

而P1P2 →0，把电荷由P1移

至P2所作的功亦趋于零，因

此界面两侧的电势相等，

即在界面上，电势

是连续的。

28



另一边值关系式表出为

即，

2 12 1n n

1 2

2 12 1n n

29



两绝缘介质之间：

即， 1 2

1 21 2n n

0

30



两导电介质之间：

即， 1 2

1 21 2n n

1 2n nJ J J E

31



金属表面：

即，

0

n

常数

32



带电金属物体表面：

即，

0

ds Qn

常数

33



一边是导电介质、一边是绝缘介质：

即， 1 2

1 220

n n

1 0nJ

34


6. 静电位的边界条件

设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分

别为1和2。当两点间距离⊿l→0时

• 若介质分界面上无自由电荷，即

• 导体表面上电位的边界条件：

2

11 2 0

lim d 0P

PlE

l

1 2( ) Se n D D D

由和

12

媒质2

媒质1

2

1l

2P

1P

0S 2 12 1n n

常数， Sn

1 2

2 12 1 Sn n

35


例 3.1.1 求电偶极子的电位.

解在球坐标系中

2 1

0 1 2 0 1 2

1 1( ) ( )4 4

r rq qrr r r r

2 21

2 22

( / 2) cos

( / 2) cos

r r d rd

r r d rd

2 cos2dr r 用二项式展开，由于　　　，得r d

1 cos ,2dr r

2 2 30 0 0

cos( )4 4 4

rqd rrr r r

p e p

代入上式，得

表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。qdp

+q

电偶极子

z

od－q

2r

1rr

),,( rP

36


d d

r

r rE E

21 sinr C

将　和　代入上式，解得E线方程为E rE

由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度

30

( 2 cos sin )4 r

qr

e e

1 1( ) ( )sinrr

r r r

E e e e

2 'cosr C 20

cos4p C

r

等位线电场线

电偶极子的场图

　电场线微分方程：

　等位线方程：

37


解选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为r，则

0 0 0( ) ( ) d dP

P o

oP o E l E r E r

rr r rr rg g g

若选择点o为电位参考点，即，则( ) 0o

0( )P E r r rg

0 0 0( ) coszP E r e r E E r r r r rg g

在球坐标系中，取极轴与的方向一

致，即，则有0 0zE e E 0E

0E

x

zo

Pr

例3.1.2 求均匀电场的电位分布。

38


如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过

程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能

量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。

　静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量

　静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。

任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终

电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服

电荷之间的相互作用力而作功。

3.1.4 静电场的能量

39


1. 静电场的能量

设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为。充电过程中某一时刻的电荷量为αq、电位为α 。 (0≤α≤1) 当α增加为(α+ dα)时，外电源做功为:α (q dα)。对α从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为

1

0

1d2

q q 根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电

场能量We ，即 12eW q

对于电荷体密度ρ为的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具有的电场能量为 1d d

2eW V

40


1 d2e V

W V 1 d2e SS

W S

故体分布电荷的电场能量为

对于面分布电荷，电场能量为

1 1 1d d2 2 2i i

i ie S i i S i iS S

i i iW S S q

对于多导体组成的带电系统，则有

iq —— 第i个导体所带的电荷

i —— 第i个导体的电位式中：

41


由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上

式中的积分区域扩大到整个场空间，结

果仍然成立。只要电荷分布在有限区域

内，当闭合面S无限扩大时，则有

2

1 1~ O( ~ O( )DR R

)、

2

1 1 1d ~ O( . d ) ~O( ) 0S S

D S SR R R

故

1 1d d2 2S V

D S E D V

推证： ( )D D D

( )d dV S

D V D S

E

D

R

ρ

ρ＝0S

1 1d d2 2e V V

W V D V

1 [ ( ) ]d2 V

D D V

42


例题求带电量Q 、半径为a的导体球的静电场总能量。

43

2

1 ( )4

0 ( )

r r ar

r a

eE

0

　　

　　

Q

43


例题因为球内电场为零，故只须对球外积分

22

2 2

2 2

20

2

0

42 (4 )

18 8

1 1 12 2 2 8

a

W r drr

Qdrr a

QW dV dVa

0

。

。

Q

Q

Q44

44


例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电

荷，总电荷量为Q，试求静电场能量。

2 62 22 2 2 5

2 40

0 200 0

4d 4 d )92 9 15

1 ( 4a

a ar r r rr

r a

10

( )3r

rE e r a

解：方法一，利用计算 1 d2e V

W D E V

根据高斯定理求得电场强度

3

2 20

( )3r

aE e r ar

故1 2

2 20 1 0 2

1 1 1d d d2 22 V Ve V

D E V E VW E V

45


3

1 1 2 20 0

22

0

d d d d3 3

( ) ( )2 3

a a

r a r a

r aE r E r r rr

ra r a

方法二：利用计算 1 d2e V

W V 先求出电位分布

故2 2

2 2 2 51 0

0 0

1 1 4d ( )4 d2 2 2 3 15

a

e V

rW V a r r a

23

0

4 33 20e

QQ a Wa

46


47

总静电能量为:

2

2

3 a20

a8

w

0

0

半径为的均匀介质球a

半径为的金属导体球a

Q

Q

47


例题设电子静止质量的50%来自于静电能，求电子的经典半径。

22

0

215

20

12 8

2.8 104

ee

ee

em cr

er mm c

48

48


近年来由高能物理学试验的结果，我们对有强相互作用（核

力作用）的粒子（质子、中子等）的电荷分布形状有一定的

了解。测定这些粒子电荷分布的均方根半径数量级为10−15m。对这些粒子来说，决定粒子大小的相互作用并不是电磁相互

作用，而是强相互作用。

49

49


对于象电子、μ子等没有强相互作用的粒子，目前实验还不能定出它

们的内部机构。现有实验表明，在直到~10−19m范围内，电子仍然象是一

个点粒子。虽然可以肯定电子内部是有结构的，但是目前实验还未深入

到揭示电子内部结构的限度之内。从这些实验事实看出，经典电子半径

re 根本不能正确反映电子内部结构的限度。虽然经典电动力学不能正确的描述电子的内部结构，但是电磁质量

的概念在量子理论中仍然是重要的。在电子质量中，很可能有不小的一

部分属于电磁质量。但是在目前量子理论仍然未能计算出电子电磁质量。

50

50


已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电

体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库

仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来

计算静电力。

虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移

dgi，则电场力做功dA＝Fidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据

能量守恒定律，该系统的功能关系为

d d dS i i eW F g W 其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。

具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电

导体的电荷不变。

3.1.5 静电力

51


1. 各带电导体的电位不变

此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统

提供的能量

1 1d d( ) d

N N

S i i i ii i

W q q

1 1

1 1d d( ) d2 2

N N

e i i i ii i

W q q

系统所改变的静电能量

即 d 2dS eW W

此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS＝0，因此

2. 各带电导体的电荷不变

d di i eF g W

式中的“－”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。

d di i eF g W ei

i

WFg

不变

ei

i

WFg

q不变

52


例3.1.8 有一平行金属板电容器，

极板面积为l×b，板间距离为d，用一块

介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数

为ε）部分填充在两极板之间，如图所示。

设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，

求介质片所受的静电力。

0( )l x b bxC

d d

所以电容器内的电场能量为2

2 00 0

1 [ ( ) ]2 2e

bUW CU l x xd

0

20 0( )

2e

x UW b UFx d

不变

由可求得介质片受到的静电力为e

ii

WFg

不变

解平行板电容器的电容为

部分填充介质的平行板电容器

db

U0

l

x

由于ε>ε0，所以介质片所

受到的力有将其拉

进电容器的趋势

53


2 2

02 2 [ ( ) ]eq dqWC b l x x

20

20

( )2 [ ( ) ]

ex q

W d qFx b l x x

不变

00 0[ ( ) ]bUq CU l x x

d

20 0( )

2xb UF

d

此题也可用式来计算ei

i

WFg

q不变

设极板上保持总电荷q不变，则

由此可得

由于

同样得到

54


3.2 导电媒质中的恒定电场分析

由J＝E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流

的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电

荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生

的电场称为恒定电场。

恒定电场与静电场重要区别：

（1）恒定电场可以存在导体内部。

（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电

流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。

恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。

55


J E

d 0

d 0S

C

J S

E l

0

0

JE

E

( ) 0

3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件

1. 基本方程

• 恒定电场的基本方程为

微分形式：积分形式：

0 J

( )rJ • 恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度 ( )E r

• 线性各向同性导电媒质的本构关系

( ) 0E E J 0E

• 恒定电场的电位函数

0 E

2 0 由

若媒质是均匀的，则

均匀导电媒质中

没有体分布电荷

56


2. 恒定电场的边界条件

d 0C

E l

d 0S

J S

媒质2

媒质1

21

2

1

2E

1E

ne

1 2( ) 0e n J J

1 2( ) 0e n E E

• 场矢量的边界条件

1 2n nJ J即

1 2t tE E即

• 导电媒质分界面上的电荷面密度

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )S ne e J

n nD D J J

场矢量的折射关系

1 1 1 11 1

2 2 2 2 2 2

/ /tantan / /

t n n

t n n

E E JE E J

57


• 电位的边界条件 1 21 2 1 2,

n n

恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场

既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因

而导体表面不是等位面；

ab1 1 、

说明：

58


媒质2

媒质1

21

22E

1E

)( 12

媒质2

媒质1

2

01

2E

ne

1E

)0( 1

如2>>σ1、且2≠90°，则1＝0，即电场线近似垂直于与良导体表面。

此时，良导体表面可近似地看作为

等位面；

若媒质1为理想介质，即1＝0，则

J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即导体中

的电流和电场与分界面平行。

59


3.2.2 恒定电场与静电场的比拟

如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界

形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这

两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就

可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场

的方法称为比拟法。

60


恒定电场与静电场的比拟

基本方程

D E

, E

J E

02 02

1 2 1 2 t t n nE E D D 1 2 1 2 t t n nE E J J

静电场（区域） 0

d 0, d 0S C

J S E l

0, 0 J E

, E

d 0, d 0S C

D S E l

0, 0D E

1 21 2 1 2,

n n

1 21 2 1 2,

n n

本构关系

位函数

边界条件

恒定电场（电源外）

对应物理量静电场

E

E D

J

qI恒定电场 G

C

61


例3.2.1　一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、

1和2、2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。

解：极板是理想导体，

为等位面，电流沿z方向。

1 21 2

1 1 2 2

,J JJ JE E

1 2 1 21 2 1 1 2 2

1 21 2

( ) ( )d d d dU U U E d E d J J U

1 2n n SD D 　由 1 21 2

1 2

,S SD J D J

下上

2 1 1 2 2 12 1

2 1 2 1 1 2

( )S D D J Ud d

介

U1d

2d

1 1,

2 2, z

o

1 2 1 2n nJ J J J J 由

62


例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导

体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和

2 、电导率为 1和2 。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：

（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面

上的自由电荷面密度。

J

12 1

2

I外导体

内导体

介质2

介质1a

bc

1 1 、2 2 、

0U

63


（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由可得电流密度

Sd ,J S I

( )2

IJ e a c

11 1

( )2

J IE e a b

介质中的电场：

22 2

( )2

J IE e b c

解电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，

所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度

的表达式，然后求出和，再由确定出电流 I。J

0 1 2d db c

a bU E E

1E

2E

64


1 2 0

2 1

( )[ ln( ) ln( )]

UJ e a cb a c b

2 01

2 1

( )[ ln( ) ln( )]

UE e a bb a c b

1 02

2 1

( )[ ln( ) ln( )]

UE e b cb a c b

故两种介质中的电流密度和电场强度分别为

1 2 0

2 1

2ln( ) ln( )

UIb a c b

ps ss s

=+

0 1 21 2

d d ln ln2 2

b c

a b

I b I cU E Ea b

由于

于是得到

65


1 2 01 1 1

2 1[ ln( ) ln( )]S aUe E

a b a c b

2 1 02 2 2

2 1[ ln( ) ln( )]S cUe E

c b a c b

12 1 1 2 2

1 2 2 1 0

2 1

( )

( )[ ln( ) ln( )]

S be E e E

Ub b a c b

S ne D （2）由可得，介质1内表面的电荷面密度为

介质2外表面的电荷面密度为

两种介质分界面上的电荷面密度为

J

21 1

2

I

66


工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，

填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金

属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，

必定会有微小的漏电流 J 存在。

漏电流与电压之比为漏电导，即

IGU

其倒数称为绝缘电阻，即

1 URG I

3.2.3 漏电导

67


(1) 假定两电极间的电流为I；(2) 计算两电极间的电流密度

矢量J；(3) 由J = E 得到 E ;(4) 由，求出两导体间的电位差；

(5) 求比值，即得出

所求电导。

2

1dU E l

/G I U

• 计算电导的方法一： • 计算电导的方法二：

(1) 假定两电极间的电位差为U；

(2) 计算两电极间的电位分布； (3) 由得到E; (4) 由 J = E 得到J; (5) 由，求出两导体间

电流；

(6) 求比值，即得出所

求电导。

E

dS

I J S

/G I U

• 计算电导的方法三：

静电比拟法：GC

68


例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，

长度为l ，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。

解：直接用恒定电场的计算方法

电导2

ln( / )I lG

U b a

绝缘电阻1 1 ln

2bR

G l a

d d ln2 2

b

a

I I bUl l a

E l

l

b a

则 I2

IJl

2

J IEl

设由内导体流向外导体的电流为I。

69


22

2 2

1 0

00 0 , 0U

方程通解为 1 2C C

例3.2.4 在一块厚度h 的导电板上，由两个半径为r1和r2的圆

弧和夹角为 0的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计

算沿方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为σ。

解：设在沿方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿方向流动，而且电流密度是随变化的。但容易判定电位只是变量

的函数，因此电位函数满足一维拉普拉斯方程

代入边界条件

可以得到 1 0 0 2 0/ ,C U C U 环形导电媒质块

r1

hr2

0

J

σ

70


电流密度 0

0

UJ E e

两电极之间的电流

2

1

0 0 2

0 0 1

d d lnr

S r

U U h rI J S e e hr

故沿方向的两电极之间的电阻为

0 0

2 1

( )ln( / )

URI h r r

00

0

UU

所以

0

0

UE e e

71


设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为的液体，取该两平面为 xz面和yz 面，在和两点分别置正负电极并通以电流 I ，求导电液体中的电势。

72

0 0 0( , , )x y z 0 0 0( , , )x y z

72


解：无限空间时

73

2 21 4 44

Q Q r E j E I r jr

2 2 14 44

II r j r E Qr

2 2 20 0 0

2 2 20 0 0

(4

)

1( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

Ix x y y z z

x x y y z z

73


1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势体。为

满足器壁（边界上），应有三对像电极（即

三个像电流）。

74

0 0

74


1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势体。为满足器壁

（边界上），应有三对像电极（即三个像电流）。

75

0 0

1 1(

4 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0

I

x x y y z z x x y y z z

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z

75


1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势体。为满足器

壁（边界上），应有三对像电极（即三个像电

流）。

76

0 0

76


2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流为零，为满足器壁

（边界上）Jn=0 ，应有三对像电极（即三个像电流）

77

77


2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流为零，为满足器壁

（边界上）Jn=0 ，应有三对像电极（即三个像电流）

78

1 1(

4 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0

I

x x y y z z x x y y z z

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z

78


2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流为零，为满足

器壁（边界上）Jn=0 ，应有三对像电极（即三个像电流）

79

79


求半径为a的球形接地器的接地电阻。

80

2 21 4 44

Q Q r E j E I r jr

2 2 14 44

II r j r E Qr

选无穷远处电势为零，金属球的电势为：

1 14 4

I UU Ra I a

80


分类分析求解静态电磁场问题

静态电场

按场的类型

静态磁场

静电场恒定电场

81


一、静止电荷产生的场（静电场）

n 导体（）内部的电场为零

n 导体表面的切向电场为零等势体

n 导体内部的电荷为零

n 电荷只能位于导体表面，密集于表面类锐部分

n 应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针，… …

静态电场的典型现象和结论

0

82


二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）

n 导体（）内部可存在电场

n 导体表面的切向电场一般非零非等势体

n 导体内部可有运动电荷，但净电荷量为零

n 净电荷只能位于导体表面

n 理想导体（）内部电场为零，电流为零

n 理想导体边界上的电场垂直于表面等势体

典型静电场现象

0, JE

83



课下作业：

第166-167页

3.2，3.5，3.9，3.13

85山东大学物理学院宗福建

85

第3章电磁场与电磁波 86

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第三章 静态电磁场及其边值问题（1 3course.sdu.edu.cn/Download2/47d87073-21f8-4cc6-b77f-9514f84374ca.pdf电磁场与电磁波 第3章 1 第三章 静态电磁场及其边值问题（1）

第三章静态电磁场及其边值问题（1 3course.sdu.edu.cn/Download2/47d87073-21f8-4cc6-b77f-9514f84374ca.pdf电磁场与电磁波第3章 1 第三章静态电磁场及其边值问题（1）