ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА § 1 ... · 2018. 3. 26. · ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_____78 При a = 1 функция V 1 имеет

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________77

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА

Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и

средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных урав-

нений при помощи специальных функций Ляпунова.

§ 1. Знакоопределенные функции

Рассмотрим вещественную непрерывную числовую функцию

V = V(t, x ) Ctx (Z),

где

Z = {(t, x) | t 0, || x || H } при некотором H > 0.

О п р е д е л е н и е 1. Функция ),V(t x называется положительно (отри-

цательно) определенной в Z, если существует непрерывная числовая функция

W(x)C(||x|| ≤ H), такая, что

V(t, x ) ≥ W(x) > 0 (t, x)Z, x ≠ 0,

(V(t, x) ≤ –W(x) < 0 (t, x)Z, x ≠ 0)

V(t, 0) = W(0) = 0 t 0.

Следует заметить, что в качестве W(x) из приведённого определения

иногда удается использовать функцию вида

)V(t,inf)W(0t

xx

.

О п р е д е л е н и е 2. Положительно или отрицательно определенную

функцию именуют знакоопределенной.

Пример 1. Рассмотрим функцию

V1 = x2 + y

2 – 2axycost.

Если |a| < 1, то она является положительно определенной, так как

V1(t, x, y) ≥ x2 + y

2 – 2|a||x||y| ≥ ( 1 – |a| )( x

2 + y

2 ) W(x, y),

причем

W(x, y) > 0 x, y : x2 + y

2 > 0;

V1(t, 0, 0) = 0.


При a = 1 функция V1 имеет вид

V1 = x2 + y

2 – 2xycost.

Если предположить, что она в этом случае положительно определена, то для

некоторой функции W1 должно выполняться V1(t, x, y) ≥ W1(x, y) > 0 для

всех t ≥ 0 и всех x, y, таких, что ||(x, y)|| H и одновременно не обращаю-

щихся в нуль. Однако, например, при x = y = 3

H и t = πk2 , k = 1,2,..., по-

лучаем противоречие V1(t, x, y) = 0 ≥ W1(x, y) > 0, которое говорит о том, что

на самом деле функция V1 не является положительно определенной; она лишь

неотрицательна.

Аналогично можно убедиться, что функция V1 также не является поло-

жительно определенной при a = –1.

О п р е д е л е н и е 3. Функция V(t, x) имеет (допускает) бесконечно ма-

лый высший предел (б.м.в.п.), если V(t,0) = 0 при всех t 0, причём эта функ-

ция непрерывна по х в точке х = 0 равномерно относительно t 0, т.е.

ε)V(t,:0δ(ε)δ0ε x 0t , δ: xx .

З а м е ч а н и е 1. Если функция V = V(x) непрерывна в начале коорди-

нат и V(0) = 0, то, очевидно, V допускает б.м.в.п.

З а м е ч а н и е 2. Для того чтобы установить, что функция V(t, x) имеет

б.м.в.п., достаточно убедиться в существовании непрерывной в точке х = 0

функции W(x), удовлетворяющей следующим двум условиям:

1) W(0) = 0;

2) |V(t, x )| W(x) для всех (t, x) Z.

Пример 2. Функция

V1 = V1(t, x) = x2 + y

2 – 2axycost (|a| < 1)

на основании замечания 2 допускает б.м.в.п. в силу

|V1| yx2yx 22 = (|x| + |y|)2,

тогда как функция

V2 = sin2(t||x||)

не допускает б.м.в.п. не смотря на то, что она ограничена и 0V0||||

2x

(так как

отсутствует равномерная непрерывность этой функции в точке х = 0 относи-

тельно t 0).


Упражнения

1) Выяснить, являются ли данные функции положительно определенными:

i) 2)y(xy)V(x, ii) 22 yxy)V(x, iii) )]y(x[tsiny)V(x, 222 .

2) Определить, допускают ли указанные функции б.м.в.п.:

i) x)sintsgn()xV(t, ii) )]x(xtcos[)x,xV(t, 22

2121 .

§ 2. Теорема Ляпунова об устойчивости

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

)(t,dt

dxf

x (t 0), (1)

где

(t)x

(t)x

(t)

n

1

xx ,

)(t,f

)(t,f

)(t,

n

1

x

x

xf ,

причем f(t, x) непрерывна на Z = {(t,x ) | t 0 , ||x|| H} при некотором H > 0.

Будем считать, что система (1) имеет нулевое решение ξ = 0, т.е.

00f )(t, 0t .

О п р е д е л е н и е 1. Пусть имеется функция V = V(t, x) )(C(1,1)t Zx .

Рассмотрим произвольную пару (t,x )Z и соответствующее этой паре

начальных данных решение x = x(τ; t, x) системы (1), так что x( t; t, x ) = x.

Производной по времени t функции V(t, x) в силу системы (1) называют

функцию

n

1k

k

ktτ

V,t

V)(t,f

x

V

t

V))t,τ;(,V(τ

dτ

d)(t,V fxxxx , (2)

где T

n1 x

V,,

x

VV

есть градиент функции V.


Пример 1. Пусть

tcosxyyxV

y,xdt

dy

y,xdt

dx

22

2

.

Тогда производная функции V в силу данной системы имеет вид

xyt)cosx(2yy)(x t)cosy(2xtsinxyV 2 .

Теорема 1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Пусть дана система (1),

имеющая нулевое решение. Если существует положительно определенная

функция )(C)V(t, (1,1)t Zx x , называемая функцией Ляпунова, которая обладает

неположительной производной по времени )(t,V x в силу системы (1), то ну-

левое решение этой системы устойчиво по Ляпунову.

□ Согласно условию теоремы существует непрерывная положительная

функция W, такая, что

V(t, x) ≥ W(x) > 0 x : ||x|| H, x ≠ 0,

V(t, 0) = W(0) = 0 t 0.

Введем сферу

Sε = {x Rn | ||x|| = ε } Z,

где произвольно выбранное ε удовлетворяет неравенствам 0 < ε < H. Очевид-

но, Sε – непустой компакт и функция W непрерывна на нем. Введём

α: εS

minx

W(x) > 0.

Выберем произвольно и зафиксируем t0 0. Так как V(t0, x) непрерывна

по x, причем V(t0, 0) = 0, то существует 0δ )εδ( такое, что

α),V(t0 0 x δ||||: xx . (*)

Зафиксируем произвольное ненулевое решение x = x(t) с начальным

условием ||x(t0)|| < δ.

Докажем, что траектория решения x(t) целиком остается внутри сферы

Sε при всех t t0 , т.е. ||x(t)|| < ε для любого t ≥ t0.

В самом деле, в начальный момент времени t0 верно ||x(t0)|| < δ < ε.

Предположим противное: найдется 01 tt , такое, что ε)(t1 x , причем ||x(t)||

< ε при всех t0 ≤ t < t1 (см. рис 2.1).


Рассмотрим функцию

v(t) : V(t, x(t)) (t0 ≤ t < t1).

По условию теоремы

0dt

dV(t)v (t0 ≤ t < t1).

Следовательно, v(t) – невозрастающая

функция, и поэтому

α))(tW())(t,V(t))(t,V(tα 11100 xxx , (*)

что невозможно.

Рассматриваемое ненулевое реше-

ние x = x(t), выходя из точки x(t0) в мо-

мент времени t0 при всех последующих значениях t ≥ t0 остается внутри сфе-

ры Sε. Так как ε < H, это решение определено для всех 0tt (т.е. бесконечно

продолжаемо вправо), причем

||x(t)|| < ε 0tt ,

если только ||x(t0)|| < δ. Полученное означает, что нулевое решение ξ = 0 си-

стемы (1) устойчиво по Ляпунову ■

Поясним геометри-

ческий смысл доказанной

теоремы в случае авто-

номной системы

)(dt

dxf

x , )V(V x ,

,dt

dV,V,)(V

xfx

когда функция Ляпунова

)V(V x задает семей-

ство замкнутых поверхно-

стей

}C)V(|{ n xRx , C > 0,

окружающих начало коор-

динат (рис. 2.2). Причём

так как функция Ляпунова непрерывна и в начале координат равна нулю, то, за

счёт выбора достаточно малой положительной константы C, всегда можно до-

x(t0)

x(t1)

x1

x2

Sε

Рис. 2.1. К доказательству теоремы 1.

x

O

V(x) = C

V(x) = C1 < C

V(x)

–V(x) x(t)

Рис. 2.2. Геометрическая иллюстрация теоремы 1.


биться, чтобы замкнутая поверхность, задаваемая равенством C)V( x , поме-

стилась в окрестность нуля сколь угодно малого радиуса.

Будем считать, что равенство x = x(t) задаёт закон движения материаль-

ной точки в фазовом пространстве. Тогда dt

dx есть вектор скорости этой точки

в момент времени t. Условие неположительности производной )(V x по вре-

мени в силу системы можно переписать в виде неотрицательности скалярного

произведения

0dt

dV,V

x ,

которое геометрически означает, что угол между вектором скорости движения

точки по траектории x = x(t) в момент времени t и нормалью к поверхности

C)V( x в точке x (точнее говоря, антиграндиентом –V(x)) не должен пре-

вышать прямого угла. Отсюда следует, что в каждый момент времени траекто-

рия движения должна переходить с положительной стороны поверхности

C)V( x , характеризуемой нормалью V(x), на ее отрицательную сторону,

определяемую нормалью –V(x). Указанное положение должно иметь место

для любого сколь угодно большого момента времени. Поэтому траектория с те-

чением времени будет все время переходить на замкнутую поверхность с

меньшим значением константы C и, тем самым, приближаться к началу коор-

динат, или (в случае равенства нулю указанного выше скалярного произведе-

ния), оставаться на этой поверхности. В таком случае устойчивость нулевого

решения становится очевидной: за счёт выбора начала траектории достаточно

близким к началу координат всегда можно добиться того, чтобы последующее

движение точки (при неограниченном увеличении времени) происходило в

произвольной сколько угодно малой окрестности начала координат. При этом

если знак равенства нулю скалярного произведения исключить, то можно ожи-

дать не только устойчивость, но и асимптотическую устойчивость нулевого

решения; об этом пойдёт речь в следующем параграфе.

Следствие 1. В условиях теоремы все решения x(t) системы (1) с до-

статочно малой по норме начальной точкой x(t0) (t0 0) бесконечно продол-

жаемы вправо и ограничены на [0, +∞).

Для линейной однородной системы устойчивость нулевого решения вле-

чет ограниченность каждого решения этой системы. Поэтому имеет место сле-

дующее

Следствие 2. Если для линейной однородной системы

xAx

(t)dt

d (A(t) )C([0, )


существует положительно определенная функция V(t, x), для которой произ-

водная в силу системы неположительна, то все решения этой системы опре-

делены и ограничены при t ≥0.

Пример 1. Рассмотрим систему

x,y

y,x

и исследуем на устойчивость её нулевое решение х = 0, y = 0. Примем

V = x2 + y

2.

Имеем V > 0 для всех x,y, одновременно не обращающихся в нуль, и

.0x)2y(2xy0V

В силу теоремы 1 нулевое решение данной системы будет устойчивым.

З а м е ч а н и е 1. Нетрудно проверить, что в примере 1 можно было

взять

V = (x2 + y

2)

n > 0, n N .

Это говорит о том, что функций, удовлетворяющих условия теоремы 1, может

быть бесконечно много.

Проблема: построить функцию Ляпунова V(t, x), т.е. такую функцию,

которая удовлетворяет условиям теоремы 1.

В соответствии с теоремой 1 решение этой проблемы дает возможность

установить устойчивость данного решения с.д.у. Заметим, что для некоторых

классов систем уравнений эта проблема решена, но в общем случае вопрос по-

строения функции Ляпунова остается открытым.


1) Вычислить производную функции 2ytx2V в силу системы

).y(xty

,yxyx 2

2) На основе первой теоремы Ляпунова получить достаточные условия

устойчивости нулевого решения уравнения Льенара 0)f(xx(x)x ,

в котором ), C(f, и 0)0(f .

Указание. Выполнить замену x

0dτ)τ(xy и перейти к рассмотрению

системы второго порядка относительно переменных x, y. Положить


x

0

2

)dτf(τ2

y)yV(x, .

3) С помощью теоремы 1 установить устойчивость нулевого решения урав-

нения texx (t 0).

§ 3. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Вновь обратимся к системе

)(t,dt

dxf

x ( 0t ) (1)

из предыдущего параграфа, в которой f(t, 0) ≡ 0. При этом считается, что мно-

жество Z = {(t,x ) | t 0 , ||x|| H} является областью существования и един-

ственности решения задачи Коши.

Теорема 1 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если

для системы (1) существует положительно определенная функция Ляпунова

V(t, x) )(C(1,1)t Zx , допускающая бесконечно малый высший предел и имеющая

отрицательно определенную производную )(t,V x по времени в силу системы

(1), то нулевое решение ξ = 0 рассматриваемой системы асимптотически

устойчиво по Ляпунову.

□ Так как условия теоремы (2) являются усилением условий теоремы 1 из

предыдущего параграфа, то нулевое решение устойчиво. По этой причине мож-

но считать, что для некоторого положительного верно неравенство

Остаётся установить асимптотическую устойчивость нулевого решения.

Для этого достаточно проверить, что для любого ненулевого решения x = x(t) с

начальным условием x(0), достаточно близким к началу координат, верно пре-

дельное равенство

.)t(limt

0x

(#)

Заметим, что благодаря устойчивости нулевого решения для указанного нену-

левого решения x = x(t) можно считать, что при некотором положительном

неравенство ||x(t)|| ≤ ≤ H верно для всех 0t .

Сначала на зафиксированном ненулевом решении (t)xx рассмотрим

функцию

(t))V(t,:v(t) x .

По условию теоремы


dVv(t) 0

dt 0t .

Значит, функция v(t) строго убывает и, будучи ограниченной снизу нулем,

имеет конечный предел

:tlim v(t)

v(t)inf0t

0. ( )

Займемся доказательством того, что 0α . Для этого предположим про-

тивное: 0α . В таком случае при некотором β > 0 ненулевое решение (t)x

удовлетворяет неравенству

(t)x 0β 0t , ( )

т. е. траектория этого решения

остается вне сферы радиуса β

(рис. 2.3). В самом деле, если это

не так, то существует такая по-

следовательность чисел 1kk}{t ,

что

k

kt и 0x

)(tlim kk

. Заме-

тим, что случай Ttk < +∞ не-

возможен, так как равенства

0xx

(T))(tlim kk

в силу един-

ственности решения задачи Коши

влекут противоречие 0x (t) .

Поэтому благодаря суще-

ствованию б.м.в.п. функции

)V(t, x имеем

0))(t,V(tlim)v(tlim kkk

kk

x ,

что не совместимо с (*) при α > 0.

Итак, в случае 0α выполнено неравенство (**). Кроме того, на осно-

вании устойчивости нулевого решения ранее предположено, что (t)x для

всех 0t .

По условию теоремы функция V(t, )x отрицательно определена вдоль

решения (t)xx . Поэтому существует непрерывная положительная функция

)(W1 x , такая, что

0))t((W(t))(t,V(t)v 1 xx 0t .

x(t)

x(0)

β

x1

x2

Рис. 2.3. К доказательству теоремы 2.


Интегрируя это неравенство в пределах от 0 до t , получим

t

0

t

0

1 dτ))(τ(Wv(0)dτ))(τ,(τVv(0)v(t) xx .

С учетом обозначения

0)(Wmin:γ 1β

xx

и неравенств )(τβ x для всех t][0,τ , имеем

γ)(W1 x x : xβ .

Поэтому полученная выше оценка сверху для v(t) принимает вид

t

0

γtv(0)dτγv(0)v(t) .

Отсюда при достаточно большом t следует

0,(t))V(t,v(t) x

что противоречит положительной определенности функции )V(t, x .

В итоге установлено равенство

0(t))V(t,limαt

x . (***)

Наконец, убедимся в том, что имеет место предельное равенство (#), т.е.

что для любого ε 0 существует такое 0T , что для всех t >T выполнено

неравенство ε)t( x . С этой целью выберем произвольное H)(0,ε . Обозна-

чим

0)W(min:wHε

xx

,

где W(x) – функция из определения положительно определенной функции

).V(t,x Согласно (***) существует такой момент времени 0T , что

V(T, (T)) wx . Поэтому в силу строгого убывания функции V(t, (t))x получа-

ем

V(t, (t)) < wx t >T .

Если предположить противное соотношению (#), т.е. что найдется такое

Tt1 , при котором ε)(t1 x , то на основании полученного выше придем к

противоречию:

1 1 1w V(t , (t )) W( (t )) w x x .


Следовательно, предельное соотношение (#) истинно ■

Следствие 1. Если для линейной однородной системы

d(t)

dt

xA x

существует положительно определенная функция )V(t,x , удовлетворяющая

условиям теоремы 1, то каждое решение этой системы асимптотически

устойчиво.

Пример (Ляпунов). Пусть )x,...,V(xV n1 – положительно определенная

функция класса 2С . Для нее выполнены равенства

1 n

V( ) V( )V( ) ... 0

x x

0 00 .

Заметим, что равенства нулю всех частных производных функции V вытекают

из условия положительной определённости и предположения о непрерывной

дифференцируемости этой функции в начале координат (в этом можно легко

убедиться, предположив противное).

Рассмотрим систему

1

1

n

n

Vx ,

x

Vx ,

x

имеющую нулевое решение 1 nx ... x 0 .

Принимая V за функцию Ляпунова, для производной V в силу системы

получим 2 2

1 n

V VV ...

x x

.

Это неположительная функция. Поэтому, согласно теореме 1 из § 2 данной гла-

вы, нулевое решение 0x устойчиво по Ляпунову.

Устойчивость будет асимптотической, если V – отрицательно опреде-

ленная функция. Для этого необходимо и достаточно, чтобы система уравнений

0x

V,...,0

x

V

n1


имела единственное нулевое решение 0x...x n1 в некоторой окрестности

Hx . Согласно теории неявных функций для этого достаточно, чтобы имело

место неравенство

0xx

Vdet 0...

ji

2

n1

xx .

Пример 2. Исследуем на устойчивость нулевое решение уравнения

mx a x ; a – const, m нечетное число.

Если a = 0, то, очевидно, нулевое решение устойчиво, но не является асимпто-

тически устойчивым.

Пусть a 0 . Введем функцию Ляпунова вида 2xV(x) . Для неё имеем

m

m 1

x a x

dVV 2a x

dt

,

где m+1 – четное. Следовательно, если a < 0, то функция V удовлетворяет

всем требованиям последней теоремы, а значит нулевое решение асимптотиче-

ски устойчиво.


1) С помощью надлежащей функции Ляпунова установить асимптотическую

устойчивость нулевого решения уравнения

x = arctgx (t 0).

2) Подобрать функцию Ляпунова и с её помощью установить асимптотиче-

скую устойчивость нулевого решения системы

.)y(xyαy2xy

,)y(x2x2yαxx

222

222

( 0α )

§ 4. Теоремы Ляпунова о неустойчивости

1

0. Первая теорема Ляпунова о неустойчивости.

Теорема 1. Пусть для системы

)(t,dt

dxf

x (t 0), (1)


удовлетворяющей предположениям из § 2 (в частности, 00f )(t, ), существу-

ет функция Ляпунова )(C)V(t, (1,1)t Ζx x , такая, что

1) V(t,x) допускает б.м.в.п.;

2) существует число 0t такое, что для любого > 0 найдётся точка

x , удовлетворяющая неравенствам δx , 0),tV( x ;

3) производная )(t,V x по t в силу системы (1) положительно определена.

Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво.

□ Согласно условию 3) имеем

V(t, ) W( ) 0 x x 0t , H0: xx , )(

где W( )x – некоторая непрерывная положительная функция.

Функция )V(t, x допускает б.м.в.п. Поэтому она ограничена в достаточ-

но узком цилиндре, т. е.

V(t, ) Mx 0t , HΔ0: 0 xx ,

где M и 0Δ – некоторые положительные числа.

Пусть )Δ(0,δ 0 – сколь угодно малое число. По условию теоремы при

фиксированном 0t найдется такая точка x , δ0 x , что :α 0),tV( x .

Рассмотрим ненулевое решение x = x(t) = x(t; ),t x системы (1). Положим

(t))V(t,:v(t) x 0t .

Согласно )( , функция v(t) – возрастающая, поэтому

0α))t(,tV((t))V(t, xx tt . (**)

Для доказательства неустойчивости, рассуждая от противного, покажем,

что существует такое tt1 , что .Δ)(t 01 x В самом деле, пусть 01 Δ)(t x

для любого .tt Тогда решение (t)x бесконечно продолжаемо вправо. А так

как функция )V(t, x имеет б.м.в.п., то из )( с использованием рассуждений,

приведенных при доказательстве предыдущей теоремы, получаем существова-

ние 0β , при котором

0Δ(t)β0 x tt .

Пусть

0β Δγ: inf W( ) 0

xx .

Тогда благодаря неравенствам 0Δ(t)β x будем иметь

V(t, (t)) W( (t)) γ x x tt .


Отсюда в результате интегрирования в пределах от t до t получаем

)tγ(t),tV((t))V(t, xx ,

что противоречит установленной ранее ограниченности функции )V(t, x в об-

ласти 0Δ0,t|)(t, xx .

Таким образом, для фиксированного 00 и произвольно выбранного

)Δ(0,δ 0 указано ненулевое решение (t)x , для которого при некотором t1 > t

имеют место неравенства

δ)t(0 x , 01 Δ)(t x .

Это означает, что нулевое решение системы (1) неустойчиво по Ляпунову ■

Пример 1. Вернемся к уравнению .xax m Теперь рассмотрим случай,

когда 0a и m – нечетное число. Функция Ляпунова 2

1V (x) x при a > 0

удовлетворяет требованиям теоремы 1. Следовательно, нулевое решение дан-

ного уравнения неустойчиво. К аналогичному результату приходим и в случае,

когда m – четное (в этом случае следует взять 2V (x) a x ).

20. Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости.

Теорема 2. Пусть существует функция )(C)V(t, (1,1)t Ζx x , обладающая

следующими свойствами:

1) функция )V(t, x ограничена сверху в некоторой 0Δ -окрестности

точки x = 0, т.е. существует M > 0, такое, что )V(t,x M для всех

t 0 и всех x, удовлетворяющих ;

2) существует число 0t такое, что для любого > 0 найдётся точ-

ка x , удовлетворяющая неравенствам δx , 0),tV( x ;

3) производная функции )V(t, x в силу системы (1) представима в виде

)W(t,)λV(t,dt

dV

(1)

xx для всех Zx ),t( , (2)

где – некоторая положительная константа, а ),W(t x является не-

которой непрерывной неотрицательной функцией при 0t , Hx .

Тогда нулевое решение 0ξ системы (1) неустойчиво по Ляпунову.

□ Предположим напротив, что нулевое решение системы (1) устойчиво.

Тогда для любого ),0(ε 0 и tt можно подобрать число 0δ такое, что

из неравенства δ)t( x всякий раз будет следовать

0Δε))t(,t(t; xx t t .


В таком случае в соответствии с условием 1) доказываемой теоремы вдоль ре-

шения ))t(,t;t( xx функция )V(t, x ограничена сверху при всех t t .

Благодаря условию 2) существует точка x , δx , для которой выпол-

нено 0),tV( x . Функция )),tt;(V(t,V xx в силу условия 3) удовлетворяет

линейному дифференциальному уравнению

WλVdt

dV

с начальным условием 0),tV()),tt;(V(t, xxx . Интегрируя это уравнение в

пределах от t до t, с учётом неотрицательности функции ),W(t x получим

неравенство

)t(tλe),tV(),tt;(,V(t xxx tt .

Это неравенство вместе с условием > 0 противоречит установленной в нача-

ле доказательства ограниченности сверху функции )V(t, x при всех t t ■


1) С помощью надлежащей функции Ляпунова установить неустойчивость ну-

левого решения уравнения 4x 1 cos x (t 0).

2) Проверить, что указанные функции являются функциями Ляпунова для си-

стем

i)

,yxy

,yxx

53

35

( 4 4V x y )

ii)

,xy2xy

,xx

222

4

(V = x y)

iii)

,2yx2xy

xy,2yx

22

(V = x + y)

имеющих неустойчивое нулевое решение.

§ 5. Экспоненциальная устойчивость

1

0. Экспоненциальная устойчивость решений систем общего вида.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений


)(t,dt

dxf

x (t 0), (1)

где f(t, 0) = 0 для всех t 0, причем f(t, x) непрерывна в Z = {(t, x) | t 0 ,

||x|| H} при некотором H > 0.

О п р е д е л е н и е 1. Нулевое решение 0ξ системы (1) называют

экспоненциально устойчивым, если существует такое h > 0, что для любого

решения x = x(t) этой системы с начальными данными в области

Hh,0t|),t( 00000 xxZ

выполнено неравенство

0α t t

0(t) Ν (t ) e

x x 0t t , (2)

в котором некоторые положительные числа N и α не зависят от выбора x(t).

Лемма 1. Из экспоненциальной устойчивости следует асимптотическая

устойчивость нулевого решения системы (1).

□ В самом деле, выберем произвольное 0ε . Для любых начальных

данных 000 ),t( Zx , удовлетворяющих неравенству N

ε0 x , рассмотрим

решение ),tt;()t( 00 xxxx , 00 )(t xx , и положим

Ν

ε:δ .

Тогда для введённого из (2) вытекает

0α(t t )ε(t) Ν e ε

Ν

x 0t t .

Следовательно, нулевое решение 0ξ устойчиво по Ляпунову. Более того,

имеет место равенство 0x

(t)limt

■

Аналогичным образом определяется экспоненциальная устойчивость лю-

бого (в том числе ненулевого) решения. А именно, решение (t)ξ системы (1)

экспоненциально устойчиво, если при некотором h > 0 любое решение

),t(t;(t) 00 xxx , такое, что Hh)(t)(t0,t 000 ξx , удовлетворяет нера-

венству

0α(t t )0 0|| (t) (t)|| || (t ) (t ) || e

x ξ x ξ 0t t (3)

при некоторых положительных постоянных N и α .

Как показывает следующий результат, экспоненциальная и асимптотиче-

ская устойчивость в классе линейных однородных систем с постоянной матри-

цей совпадают.


Лемма 2. Линейная однородная система

xAx

dt

d (4)

с постоянной матрицей А асимптотически устойчива тогда и только тогда,

когда эта система экспоненциально устойчива (т. е. экспоненциально устой-

чивым является всякое её решение).

□ Достаточность. Из экспоненциальной устойчивости системы (4) следу-

ет экспоненциальная устойчивость её нулевого решения. В соответствии с

леммой 1 нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Тогда в си-

лу результатов § 2 главы 1 асимптотически устойчивой является и система (4).

Необходимость. Ранее было установлено (см. § 4 главы 1), что нулевое

решение системы (4) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все

собственные значения j матрицы А имеют отрицательные вещественные ча-

сти, т.е. jRe λ < 0, j = 1,2,...,n . Положим (т.е. введём α )

jj

max Re λ < α < 0 .

Тогда (см. гл. 1, § 12 [2]) для матричной экспоненты при некотором N > 0

справедлива оценка

tαt eNe A 0t t . (*)

Всякое решение линейной системы (4) может быть представлено в виде

)t(e)t( 0)tt( 0 xx

A

,

где начальный момент времени 0t произволен.

Следовательно, с использованием (*) получаем

||)t(||||e||||)t(e||||)t(|| 0)tt(

0)tt( 00 xxx

AA

0α(t t )0N || (t )|| e

x 0t t .

Если в это неравенство вместо (t)x подставить разность (t) (t)x ξ , где (t)ξ

– произвольное решение системы (4) (такая подстановка правомерна, так как

данная разность также является решением системы (4)), то получим (3). Полу-

ченное будет означать экспоненциальную устойчивость системы (4) ■

Пример 1. Если = (t)A A , то лемма 2 может быть неверна. Рассмотрим,

например, скалярное линейное дифференциальное уравнение


1t

xx

(t 0).

Его решение в форме Коши имеет вид 1t

)1t(xx(t) 00

. Следовательно, нулевое

решение ξ 0 асимптотически устойчиво. Однако оно не является экспонен-

циально устойчивым, поскольку не существует положительных N и , для ко-

торых неравенство

)tα(t0

00 0e|x|N1t

|)1(tx||x(t)|

справедливо при x0 0 и всех t 0.

Теорема 1. Предположим, что существует положительно определенная

квадратичная форма xPxx T)V( , производная которой в силу системы (1)

при некотором h > 0 удовлетворяет неравенству

))t((W))t((V xx 0t , Hh: xx ,

где xQxx T)(W – отрицательно определенная квадратичная форма и P,

Q – постоянные симметричные матрицы. Тогда нулевое решение системы (1)

экспоненциально устойчиво.

□ Обозначим через )(λ j P , )(λ j Q , j 1 , 2 , . . . , n , собственные значения

матриц P и Q соответственно.

Введём числа

)(λmaxa),(λmina jj

1jj

PP ,

)(λmaxb),(λminb jj

1jj

QQ .

Очевидно,

1 10 < a a , 0 < b b .

Из курса линейной алгебры известно, что

2

1T2

a)V(a xxPxxx ,

2

1T2

b)W(b xxQxxx .

Далее

)(Va

bb)W()(V

1

2TxxxQxxx .


Пусть здесь x = x(t) − произвольное ненулевое решение системы (1) с началь-

ными данными в области Z0. Интегрируя последнее неравенство в пределах от

t0 0 до t, находим

02α(t t )0V( (t)) V( (t )) e

x x 0t t ,

где 1

bα 0

2a . Но

2

1

2a)V(,a)V( xxxx . Поэтому

02α(t t )2 210

1 a|| (t)|| V( (t)) || (t ) || e

a a

x x x 0t t .

А значит,

0α(t t )0|| (t)|| N || (t ) || e

x x 0 t t ,

где 1aN

a и норма 0|| (t ) ||x мала настолько, что h)t( 0 x и H)t( x

для всех t ≥ t0 ■

20. Экспоненциальная устойчивость линейных нестационарных си-

стем. Рассмотрим линейную однородную систему

xAx

)t(dt

d (t 0) (5)

с непрерывной на промежутке [0, +∞) матрицей A(t). Для таких систем неред-

ко вводят несколько более «жёсткое» понятие экспоненциальной устойчивости,

чем это было сделано выше.

О п р е д е л е н и е 2. Линейную систему (5) называют экспоненциально

устойчивой, если существуют такие положительные константы 2121 β,β,α,α ,

что для всех начальных данных n00 ,0t Rx выполняются неравенства

)t(tα

0200)t(tα

010201 eβ),tt;(eβ

xxxx 0 t t . (6)

Нетрудно понять, что из экспоненциальной устойчивости системы (5) вы-

текает её асимптотическая устойчивость (но не обратно). В случае, когда мат-

рица A(t) = A постоянна, оба указанных понятия эквивалентны.

З а м е ч а н и е 1. В классе линейных однородных систем (5) с перемен-

ной матрицей определения 1 и 2 не являются эквивалентными. В этом можно

легко убедиться, рассмотрев линейное дифференциальное уравнение

x2tx , обладающее решением 2t

0 exx(t) , для которого, как легко про-

верить, не будет выполняться левое из неравенств (6).


В следующей теореме представлен критерий экспоненциальной устойчи-

вости системы (5).

Теорема 2. Для того чтобы система (5) была экспоненциально устойчи-

вой, необходимо и достаточно, чтобы существовали две квадратичные формы

xPxx )t()V(t, T , xQxx )t()W ( t , T , удовлетворяющие следующим двум

условиям

1) для некоторых положительных констант 2121 b,b,a,a при всех t 0, n

Rx имеют место неравенства

2

2

2

1 a)V(t,a xxx , 2

2

2

1 b)W(t,b xxx ;

2) матрица P(t) непрерывно дифференцируема на промежутке [0, +∞) и

справедливо равенство

)W(t,dt

dV

)5(

x . (7)

□ Необходимость. Любое решение системы (5) с начальными данными

(0, x0) можно представить в виде

01 )0()t()t( xXXx (t 0),

где X(t) – фундаментальная матрица данной системы.

Введем квадратичную форму xxx T:),W(t и функцию

dτdτ),W(τ:)V(t,t

T

t

xxxx . (8)

Очевидно, квадратичная форма ),W(t x удовлетворяет условию 1) доказывае-

мой теоремы при 1bb 21 и, кроме того, выполнено равенство (7).

Остается убедиться в том, что функция V(t,x), будучи квадратичной

формой, удовлетворяет условию 1). В самом деле, используя (8), при произ-

вольно выбранном решении x = ),t(t;(t) 00 xxx системы (5) получаем

,dτt),(τt),(τ)0((t)

(t)dτ)(τ)(τ))t((()(t))0((

dτ)0()(τ)(τ))0((dτ)(ττ)()V(t,

T

t

TTT0

1

1TT

t

1T11T0

T0

1T

t

T1T0

t

T

0

0

00

xBBxxXX

XXXXXXx

xXXXXxxxx


где (t))(τt),(τ 1 XXB . Из полученного представления для V(t,x) благодаря

произвольности выбора начальных данных ),(t 00 x (а значит, и произвольности

x) следует, что функция V(t,x) является квадратичной формой с матрицей

t

T dτt),(τt),(τ)t( BBP .

Из (6) для всех n0 Rx вытекает

tα22

02

2

2

0tα22

02

121 e)β(),t;0(e)(β

xxxx 0t .

Интегрируя эти неравенства в пределах от 0 до +∞, получим

dτe)(βdτ)τ()V(0,dτe)(β0

)tτ(α22

02

2

0

2

0

0

)tτ(α22

02

10201

xxxx .

Поскольку

i0

τα2

2α

1dτe i

, i = 1,2,

полученное неравенство в силу произвольности n0 Rx означает, что квадра-

тичная форма V(t,x) удовлетворяет условию 1).

Достаточность. Пусть существуют квадратичные формы V и W, удовле-

творяющие условиям 1) и 2) теоремы. Тогда применимо следствие 1 из § 3, в

соответствии с которым линейная система (5) является асимптотически устой-

чивой. Остается показать, что при условии n00 ,0t Rx любая интегральная

кривая ),tt;( 00 xxx системы (5) удовлетворяет неравенствам (6).

Интегрируя равенство (7), предварительно делённое на V, в пределах от

t0 до t, получим

t

0tdτ

))x(τ,V(τ

))x(τ,W(τ

0000001 e),V(t)),t(t;V(t,:),tt;(V xxxx , (9)

где функция V1, записанная в начале строки, является значением функции V

на выбранной интегральной кривой ),tt;( 00 xx системы (5).

Рассмотрим подынтегральное выражение из (9):

xPx

xQx

(t)

(t)

V

WT

T

.

Используя условие 1), для него можно записать


1

2

2

1

a

b

V

W

a

b .

В таком случае из равенства (9) вытекают неравенства

)t(ta

b

00001

)t(ta

b

00

02

10

1

2

e),V(t),tt;(Ve),V(t

xxx .

Заменим V(t0, x0) в левом неравенстве на 2

01a x , а V1 – на 2

02a x :

2

2

)t(ta

b

201 )t(ae||||a

01

2

xx

.

Аналогичным образом поступим и с правым неравенством:

)t(ta

b

202

2

1

02

1

e||||a)t(a

xx .

Из последних двух неравенств легко вывести (6) ■

30. Матричное уравнение Ляпунова. Перепишем уравнение (7) с учётом

равенств xPxx )t()V(t, T и xQxx )t()W(t, T :

xQxx

PxxP

xxPx

)t(dt

d(t)

dt

(t)d(t)

dt

d

dt

dV TTTT

.

Поскольку )t(xx – решение системы (5), имеем

xQxxAPP

PAx

)t((t))t(

dt

(t)d)t((t)

dt

dV TTT .

Отсюда благодаря произвольности выбора )t(xx следует равенство

)t((t))t()t((t)dt

(t)d TQAPPA

P , (10)

которое именуют матричным уравнением Ляпунова.

Оказывается, в частном случае, когда A – постоянная матрица, в каче-

стве матрицы Q также можно выбрать постоянную положительно определён-

ную матрицу1. Тогда уравнение (10) будет иметь единственное решение в виде

постоянной матрицы P, причём эта матрица будет положительно определён-

ной.

В соответствии с этим, для асимптотической устойчивости линейной

однородной системы (5) с постоянной матрицей A необходимо и достаточ-

1 Напоминаем, что симметричная матрица положительно определена, если таковой же является квадратичная

форма с данной матрицей.


но, чтобы для произвольно выбранной постоянной положительно определённой

матрицы Q линейная алгебраическая система

QAPPA T

имела единственное решение относительно P и чтобы это решение пред-

ставляло собой симметричную положительно определённую матрицу.


1) Проверить, являются ли экспоненциально устойчивыми нулевые решения

следующих уравнений

i) 1

4x xt ,

ii) 2x xsin t ,

iii) ln(1+t)

x x1+t

.

§ 6. Устойчивость квазилинейных систем

Существует класс нелинейных дифференциальных систем, правые части

которых близки к правым частям некоторых линейных систем в окрестности

положения равновесия. В таком случае оказывается, что с точки зрения устой-

чивости в обоих классах систем положения равновесия ведут себя сходным об-

разом. Соответствующие результаты формулируются ниже.

10. Теорема Ляпунова об устойчивости квазилинейной системы. Рас-

смотрим нелинейную дифференциальную систему

d

(t, )dt

x

A x x (t 0) , (1)

где А – постоянная матрица размера n n и векторная функция )(t,x опре-

делена и непрерывна на множестве }H0,t|){(t, xx .

Будем предполагать, что (t, ) 0 0 для всех t 0, т.е. система (1) имеет

нулевое решение (положение равновесия).

Линейная система

xAx

dt

d

называется системой линейного приближения системы (1).


Теорема 1. Предположим, что функция )(t,x удовлетворяет условию

x

x ||),t(|| 0 равномерно по t 0 при x 0 . (2)

Если при этом все собственные значения j, j = 1,2,...,n , матрицы А имеют

отрицательные вещественные части, т. е.

jRe < 0, j = 1,2,...,n ,

то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

□ Через (t; )ξ x обозначим решение соответствующей линейной систе-

мы:

d

dt

ξA ξ (3)

с начальным условием (0, )x , т.е. n);0(ξ Rxx .

Пусть (t)K – нормированная фундаментальная матрица (матрицант) си-

стемы (2), (0) K E . Имеем

(t; ) (t) ξ x K x . (*)

В силу отрицательности вещественных частей собственных значений j при

некотором N > 0 выполнено

αt|| (t)|| N e K t 0 ,

где jj

max Re λ < α < 0 . Отсюда

xxξ αteN);(t t 0 . (**)

Рассмотрим функцию

2

0

V( ) || (τ; )|| dτ

x ξ x .

С учётом (*) для нее получаем представление

xxSxxKKxKxKx ,dτ,)τ()τ(dτ)τ(,)τ()(V0

T

0

,


где T

0

: (τ) (τ)dτ

S K K .

Таким образом, V( )x – квадратичная форма относительно переменных

1 nx , ... , x с вещественной симметричной матрицей jk n x nSS .

В силу (**) интеграл, определяющий V, сходится. Поэтому квадратичная

форма V определена на nR и конечна, причём на основании единственности

решения линейной системы (2) верно

V( ) > 0x x 0 ,

V( ) = 00 .

Воспользуемся групповым свойством );τ(t));(τ;t( xξxξξ решений

автономной системы (2), которое выражает тот факт, что состояние системы

ξ(t+τ; x) (т.е. правая часть написанного выше равенства) к моменту времени t +

, полученное перемещением вдоль траектории из начальной точки x ξ(0; x),

может быть достигнуто движением вдоль этой траектории из «промежуточной»

точки ξ(;ξ(0; x)) за время t (см. рис. 2.4).

Получим

+2 2 2

0 0 t

V( (t; )) || (τ; (t; )) || dτ || (t τ; ) || dτ || (τ; )|| dτ

ξ x ξ ξ x ξ x ξ x .

Дифференцируя V( (t; ))ξ x по t в силу системы (2) в точке x, находим

y2

y1

ξ(t+τ; ξ(0; x)))

ξ(;ξ(0; x))

ξ(0; x) = x

Рис. 2.4. Иллюстрация группового свойство системы.


+.2 2 2

t = 0t = 0(2) t t = 0

dV( (t; )) dV( ) || (τ; )|| dτ || (τ; )|| || ||

dt dt

ξ xx ξ x ξ x x .

Теперь вычислим производную функции V(x) по t в точке x в силу си-

стемы (1):

. .

(1) (2)

2

V( ) V, V, (t, ) V( ) V, (t, )

V, (t, ) .

x A x x x x

x x

(***)

Напомним, что x – вектор-столбец. Благодаря

jk j k

j,k

V( ) , S x x x S x x jk kj(S S ) ,

имеем

1k k

1 k

nk k

kn

VS x

x

V( ) 2 2

V S x

x

x S x .

Кроме того, из равномерной по t 0 сходимости x

x ||),t(|| 0 при

x 0 получаем, что для любого положительного ε найдётся h > 0, при ко-

тором

|| (t, )|| < ε || || x x εt 0, : || || h < H x x .

Следовательно, из (***) следует

.2 2

(1)

2 2

V( ) || || | V, (t, ) | || || 2 || || || || ε || ||

1|| || 1 2ε || || || || 0,

2

x x x x S x x

x S x

если только

ε

10 ε , 0 || || h

4 || || x

S,


причём .

(1)

V( ) 0 0 .

В итоге установлено, что для системы (1) в некоторой окрестности начала

координат существует положительно определенная функция V( )x , не завися-

щая от t и допускающая отрицательную производную в силу системы. Соглас-

но теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости нулевое решение си-

стемы (1) асимптотически устойчиво ■

З а м е ч а н и е 1. Очевидно, для выполнения условия равномерной схо-

димости (2) достаточно, чтобы при некоторых положительных a и имело

место неравенство

α1a||)(t,||

xx H:,0t xx .

Из доказанной теоремы вместе с теоремой 1 предыдущего параграфа по-

лучаем следующее утверждение.

З а м е ч а н и е 2. В случае, когда вещественные части всех собственных

значений матрицы A неположительны и среди них есть собственные числа с

нулевой вещественной частью, по линейному приближению на основе теоремы

1 невозможно сделать вывод об устойчивости нулевого решения системы (1).

Такие случаи именуют критическими.

Следствие 1. Рассмотрим нелинейную систему

)(t,dt

dxf

x , (3)

в которой 00f ),t( и векторная функция ),t( xf дважды непрерывно диф-

ференцируема по x в области t 0, Hx , причём производные

1,2,...nji,,xx

),t(

ji

2

xf,

ограничены в указанной области, а матрица x

0f

),t( постоянна. Тогда си-

стема (3) представима в виде (1), где x

0fA

),t(

, и для неё справедлива

теорема 1.

Следствие 2. Рассмотрим нелинейную автономную систему

d( )

dt

yf y , )H}|({C)( 2 yyyf ,


у которой 0y y – состояние равновесия, т.е. 0( ) f y 0 0( || || H)y . Если все

собственные значения матрицы Якоби

0 jk 0 n x n( ) ( ) A f y f y

имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия

0y y данной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.

□ Положим 0 y y x . Тогда

dt

dy 0 0( ) ( ) ( ) o(|| ||) o(|| ||) f y f y f y x x A x x

dt

dx

и можно применить доказанную выше теорему 1 ■

20. Теорема Ляпунова о неустойчивости квазилинейной системы.

Теорема 2. Пусть дана нелинейная система

d

(t, )dt

x

A x x , (1)

где А – постоянная матрица и (t, ) C (t, )| t 0, || || < H x x x , причём

x

x ||),t(||

0 равномерно относительно t 0 при x 0 .

Если хотя бы одно из собственных значений 1 nλ ,...,λ матрицы А имеет по-

ложительную вещественную часть, то нулевое решение системы (1) неустой-

чиво.

□ Пусть

1 mRe λ ,...,Re λ 0 ; m+1 nRe λ ,...,Re λ 0 (1 m n) .

В курсе линейной алгебры доказывается, что матрица А неособенным линей-

ным преобразованием может быть приведена к почти диагональному виду, т.е.

существует неособая матрица (det ( ) 0)S S :

BΛSAS 1 ,

где 1 ndiag (λ , ... ,λ )Λ , jk n x n(b )B , jkb 0 для всех j k и || || εB , при-

чём число ε 0 может быть выбрано сколь угодно малым. Заметим, что мат-

рицы S и B, вообще говоря, комплексные.

Выполним замену

αte x S y j1 j m

(0 < α < min Re λ )

,


где вектор y, вообще говоря, комплексный. Имеем

αt αt αt αtde e α e (t, e )

dt

yS S y A S y S y ,

или

d

( α ) (t, )dt

y

Λ E y B y y , (*)

где )e(t,e)(t, αt1αtySSy ψ и матрица αΛ E не имеет собственных

значений с нулевой вещественной частью.

Из условия равномерной сходимости x

x ||),t(||

0 относительно t 0

при x 0 , следует, что для любого ε 0 найдётся такое положительное h,

что выполнено неравенство

|| (t, )|| ε || || x x Hh:,0t ε xx .

Поэтому

ySSySSy 1αt1αt εeεe),(tψ (**)

для всех x, удовлетворяющих αtε|| || e || || || || h x S y , что равносильно неравен-

ству

αt -1ε|| || e || || h y S (***)

для всех достаточно малых ε 0 .

Положим

1

n

y

y

y , s s μ =λ α , s 1,2,...,n ,

и перепишем систему (*) следующим образом

11 1 12 2 1n n 1

22 2 2n n 2

nn n n

dyμ y b y ... b y (t, ),

dt

dy μ y ... b y (t, ),

dt

dy μ y (t, ),

dt

y

y

y


где jRe μ 0, j 1,2,...,m ; m kRe μ 0, k 1,2,...,n m .

Переходим к комплексно-сопряженной системе:

11 1 12 2 1n n 1

22 2 2n n 2

nn n n

dyμ y b y ... b y (t, ),

dt

dy μ y ... b y (t, ),

dt

dy μ y (t, ).

dt

y

y

y

Очевидно,

2 s ss s s s s

d d dy dy| y | (y y ) y y

dt dt dt dt , s 1,2,...,n .

Поэтому для функции

m

1j

mn

1k

2km

2j |y||y|

2

1:)V(y

получаем представление

2m

1j

mn

1k

2kmkm

2jj ),ρ(t|y|)μRe(|y|μRe)(V yyy

,

где ρ(t, ) O(ε)y , т.е. ρ(t, )y – величина порядка ε , равномерно относительно

пар (t, )y , удовлетворяющих (**), так как ijb имеют порядок ε .

Полагая

j m + kj,k

β: min(Re μ , Re μ ) 0 ,

при достаточно малом ε 0 будем иметь

.2 2β

V( ) (β |ρ(t, )|) || || || || βV( )2

y y y y y .

Следовательно, при 0t 0 и V( (0)) > 0y получаем

βtV( (t)) V( (0)) e y y ,

или 2 βt|| (t)|| 2V( (0)) e (t ) y y ,


что означает неограниченный рост нормы )t(y при одновременном выполне-

нии (см. (***)) неравенства

ε

1αt he)t(

Sy t 0.

Пусть δ 0 произвольно мало и точка (0)y такова, что

δ0 || (0)|| , V( (0)) 0 y y

S.

Заметим, что этого всегда можно добиться, положив m ky 0 , k 1,2,...,n m .

Сравнивая выписанные выше оценки снизу и сверху для 2

y и y соот-

ветственно, приходим к существованию такого момента времени 1t 0 , что

ε

1αt1 he)t( 1

Sy .

Если теперь вернуться к исходной переменной, то получим

|| (0)|| 1|| || || (0)|| δ x S y

и 1 1 1αt αt αt-1 1 -1

1 1 ε-|| (t ) || || || e || (t ) e || e || || h

x S x S S ,

откуда

-1

1 ε-1

|| |||| (t ) || h

|| ||

Sx

S,

где ε 0 – фиксировано. Поскольку положительное δ сколь угодно мало, ну-

левое решение квазилинейной системы неустойчиво по Ляпунову ■

Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы вто-

рого порядка x+yx 4 4y 2e ,

y = sinax+ln(1 4y),

(t 0)

где a – const. Воспользовавшись формулой Маклорена, найдем разложения

правых частей системы и перепишем её в виде квазилинейной системы

1

2

x 2x y (x,y),

y = ax 4y+ (x,y),


где величина 22

22

21

yx

стремится к нулю равномерно по t (так как она не за-

висит от t) при x 0, y 0 . В таком случае

2 1A

a 4

, 22 λ 1

det( λ ) det λ 6λ 8 a 0a 4 λ

A E .

Находим корни полученного характеристического уравнения: 1,2λ 3 1 a .

Анализ формулы корней приводит к следующему выводу: при a 8

нулевое решение данной системы неустойчиво, при a > −8 – асимптотически

устойчиво, тогда как в случае a 8 вопрос об устойчивости нулевого реше-

ния остается открытым.


Исследовать на асимптотическую устойчивость нулевые решения следу-

ющих систем:

1)

4 3

x 2xy x y,

y = 5x +y +2x 3y .

2) x+2y

y

x e cos3x,

y = 4+8x 2e .

3)

3x

3

x ln(4y e ),

y = 2y 1+ 1 6x.

§ 7. Теорема Зубова

Рассмотрим автономную дифференциальную систему

)(dt

dxf

x (t 0), (1)


в которой

dt

dx

dt

dx

dt

d,

(x)f

(x)f

(x),

x

x

n

1

n

1

n

1

x

fx .

Относительно вектор-функции f будем предполагать следующее:

1) 00f )( , т.е. система (1) имеет нулевое решение 0ξ ;

2) f – вещественна и непрерывна на nR ;

3) в каждой ограниченной области пространства nR функция f удовле-

творяет условию Липшица;

4) нулевое решение 0ξ системы (1) асимптотически устойчиво.

Как известно из курса дифференциальных уравнений, условия 2) – 3)

обеспечивают существование и единственность решения задачи Коши в каждой

точке пространства nR .

Отметим следующее свойство автономной системы. Если )t(x – решение

системы (1), то для любого Rc функция )ct( x также является решением

данной системы. По этой причине

),0;tt(),tt;( 0000 xxxx ,

т.е. всегда можно считать начальный момент нулевым (t0 = 0) и обозначать ре-

шение с начальными данными ),0( 0x короче: )t;( 0xx .

Напомним, что множество A всех точек n0 Rx , обладающих свой-

ством 0||)t;(||t

0xx , называется областью асимптотической устойчивости

(областью притяжения) нулевого решения системы (1).

Эта область для автономной системы не зависит от начального момента

времени. При сделанных предположениях множество A действительно явля-

ется областью, т.е. открытым и связным множеством. В самом деле, оно откры-

то благодаря свойству интегральной непрерывности решений. Его связность

вытекает из существования (достаточно малой) окрестности начала координат,

целиком содержащейся в A , в которую можно перевести систему по непре-

рывным траекториям из произвольных двух точек множества A . Поскольку в

пределах указанной окрестности любые две её точки всегда можно соединить

отрезком прямой, лежащим в данной окрестности, всякие две точки множества

A оказываются соединимыми непрерывной кривой в A .


О п р е д е л е н и е 1. Множество nRB называют инвариантным для

системы (1), если B0x влечет выполнение включения B)t;( 0xx для лю-

бого Rt .

Следует отметить, что область асимптотической устойчивости A систе-

мы (1) является инвариантным множеством. Действительно, пусть дана точка

0x A и начальный момент времени t0 = 0, где A – область асимптотической

устойчивости. Очевидно, для всех последующих t > t0 траектория будет про-

ходить в A , так как из каждой точки траектории по этой же самой траектории

получаем движение, стремящееся к началу координат фазового пространства.

Если же t1 < t0 = 0, то движение из точки, соответствующей этому отрицатель-

ному значению переменной времени после прошествия времени − t1 приведёт в

точку 0x , последующее движение из которой будет обладать требуемым свой-

ством стремления к началу координат.

Теорема 1 (В.И. Зубов). Для того чтобы наперед заданная инвариант-

ная область A, содержащая точку 0x , была областью асимптотической

устойчивости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы существовали

такие функции V(x) и W(x), что

1) V(x) и W(x) определены, вещественны и непрерывны на A;

2) V(x) – отрицательно определена, W(x) – положительно определена;

3) для любого Ax ( 0x ) выполнено 0)(V1 x и

W(x)

n

1i

2i )(f1)( xx , (2)

где )(x – некоторая функция, для которой при некоторых положи-

тельных константах и β неравенства 0α)( x имеют место

для всех x: 0β x ;

4) V(x) – непрерывно дифференцируема вдоль интегральных кривых систе-

мы (1) и

W)V1(dt

dV

)1(

.

□ Ограничимся доказательством лишь части «достаточность» (доказа-

тельство второй части можно найти в [7]). По условию функция V(x) – отрица-

тельно определена, а её производная по времени в силу системы (1) положи-

тельно определена, так как

0W)V1(dt

dV

)1(


для всех x ≠ 0, достаточно малых по норме, т.е. удовлетворяющих h|||| x .

Функция V(x) 00x

, так как V непрерывна и V(0) = 0. Более того, V(x)

равномерно стремится к нулю благодаря тому, что она не зависит от t. Поэтому

согласно теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости нулевое решение

0ξ асимптотически устойчиво. Это означает, что для любого 0ε найдется

такое 0δδ ε , что

0.);t(lim2)

0,tε);t(1)

δ

0t

0

0xx

xx

x (*)

Установим, что для любого A0x интегральная кривая )t;( 0xx обла-

дает свойством

0||)t;(||t

0xx .

С этой целью выполним замену, осуществляющую изменение переменной вре-

мени по правилу 2

)(1dtdτ xf .

При этом, как нетрудно понять, сама траектория, т.е. множество точек

)}t;({ 0xx фазового пространства, не изменится. В результате замены получим

n,...,2,1i,1

)x,...,(xf

dτ

dx

,1

1

dτ

dt

2

n1ii

2

f

f (**)

где правые части уравнений непрерывны и ограничены относительно x, так как

1)(1

||)(||

)(1

)(f

22

i

xf

xf

xf

x.

Следовательно, у системы (**) существует решение на всей оси τ .

Теперь для доказательства теоремы достаточно показать, что для любого

A0x выполняется предельное соотношение 0||)τ;(|| 0

τ

xx , т.е. что для

каждого )δδε(0ε ε найдется εττ , при котором

ε);τ( 0xx ττ .


Для этого, в свою очередь, достаточно предъявить некоторое εττ , при кото-

ром δε);τ( 0 xx , так как отсюда благодаря асимптотической устойчивости

(*) будет следовать предельное соотношение 0||)τ;(|| 0

τ

xx .

Для доказательства последнего утверждения предположим противное:

для любого 0τ выполнено неравенство ε);τ( 0xx . Рассмотрим функцию

V)ln(1:V . Для нее вдоль решения );τ( 0xx имеем

0α1

f1

1

1W

V1

1)V1(

dτ

dt

dt

dV

V1

1

dτ

Vd2

i

2i

2)1((**)

ff

,

где α из условия 3). Интегрируя полученное итоговое неравенство в пределах

от 0 до τ , находим

ταVV 0 0τ .

Отсюда следует, что функция V вдоль решения );τ( 0xx растет неограничен-

но при τ , что несовместимо с неравенством

0V)ln(1V 0τ ,

вытекающим из условия 3) доказываемой теоремы ■

З а м е ч а н и е 1. Уравнение в частных производных

W)V1()(fx

)V(

dt

dV n

1i

i

i)1(

xx

из последнего условия теоремы 1 называют уравнением Зубова.

З а м е ч а н и е 2. На основе теоремы 1 разработан метод Зубова постро-

ения оценки области асимптотической устойчивости, общая идея которого со-

стоит в следующем. Пусть система (1) представима в виде

)(dt

dxqxA

x , (3)

где A − постоянная матрица,

...,)(...)()( m2 xqxqxq

причем для каждого m функция )(m xq является однородной формой порядка

m. Зададим функцию

...,)(...)()( m2 xWxWxW


в которой все )(m xW − однородные формы порядка m, причем )(2 xW − по-

ложительно определенная квадратичная форма.

Решение уравнения Зубова ищут в виде ряда

...)(...)()( m2 xVxVxV

Это решение существенно зависит от выбора функции )(xW . Трудности, свя-

занные с решением уравнения Зубова, приводят к необходимости создания эф-

фективных алгоритмов отыскания оценок области асимптотической устойчиво-

сти. При этом оценкой области A называют область B, целиком содержащую-

ся в A.

Существует вычислительный алгоритм построения оценок области при-

тяжения для случая, когда в качестве V(x) выбрана положительно определен-

ная квадратичная форма.

Пример 1. Убедимся, что множество A }1yx|)yx,{( 22 является об-

ластью притяжения нулевого решения системы

).yx1(y2y

),yx(1xx

22

22

Для этого положим 22 yx)yx,(V и 22 4y2xW . Указанная функция

)yx,(V

1) непрерывна в A;

2) отрицательно определена;

3) в A удовлетворяет неравенству 0)yV(x,1 ; кроме того, верно

α:β2)yx,(2y)W(x,β)yx,( 22 ;

4) удовлетворяет равенству

WV)1()yx1()y42x(dt

dV 2222

сист.

.

Остается проверить справедливость неравенства (2). Оно действительно

имеет место при 5

β2y)(x,

2

– const, так как

y)(x,:5

β2

4yx1

4y2x

)yx,(f)yx,(f1

y)W(x, 2

22

22

22

21

для всех (x, y), удовлетворяющих условию 1yx||)yx,(||β 22 .


Как видим, все условия теоремы Зубова выполнены, поэтому множество

A является областью притяжения нулевого решения.


1) Построить область асимптотической устойчивости для уравнения

)1x

xarctg(sinx

.

2) Построить область асимптотической устойчивости для системы

.yy

,yx2xx 2

Documents

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА § 1 ... · 2018. 3. 26. · ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_____78 При a = 1 функция V 1 имеет