Совместный спектральный радиус матриц: приложения и методы вычисления.

В.Ю.Протасов (МГУ)

d1, , -- линейные операторы в mA A R

11

1/

1,..., {1,..., }

ˆ ( , , ) lim maxk

k

k

m d dk d d m

A A A A

Геометрический смысл:

ˆ 1 существует норма в

для которой 1 при всех 1 , ... ,

d

iA i m

g fR

Возьмём единичный шар в этой норме:

ˆ 1 существует центрально-симметричное выпуклое тело ,

для которого int , 1 , ... ,

d

i

M

A M M i m

g fR

M2A M

1A M

1 11ˆ inf { 0 | , , сжатия в некоторой норме}mA A

Геометрический смысл JSR

1

произвольная точка , 0,

( ) { , 1,2, 1, , } - орбита точки . k

d

k d d j

x x

O x A A x d j k x

dR

x

1A x 2A x

1( ) ,O x 2 ( ) ,O x 3( ) , ... O x

1 2Пусть 2. Предположим, что семейство , неприводимо. m A A

ˆmax | | | kku u O

1960 Rota, Strang (теория нормированных алгебр)1988-90 Барабанов, Козякин (динамическе системы с переключениями)1991 Daubechies, Lagarias, Cohen, Heil, …. (теория всплесков)1989-92 Micchelli, Prautzsch, Dyn, Dahmen, … (уточняющие схемы – теория приближений и

дизайн кривых и поверхностей)

Распределение случайных рядов (теория вероятностей), Асимптотика бинарной функции разбиения Эйлера (комбинаторика, теория чисел),Емкость кодов, оценка числа неперекрывающихся слов, теория графов, ....

Приложения:

Основные свойства

1/

1,...,ˆ1. Для одного оператора (A) = (A) = lim max | |

kkj

k j dm A

1Если операторы ,... , коммутируют, либо их матрицы симметричны,

либо их матрицы -- верхне (нижне) треугольные, то

mA A

1 1ˆ ( ,..., ) max ( ) ,..., ( )m mA A A A

1 1ˆВ общем случае, однако ( ,..., ) max ( ) ,..., ( )m mA A A A

Всплески с компактным носителем

1980-90: С.Малла, И.Мейер, И.Добеши, Ч.Чуи, А.Коэн, В.Дамен, и др.

, , 2

[0,1/ 2] [1/ 2,1]

/2,

{ } полная ортонормированная система (ПОНС) в ( ),

Система Х

аара (Haar, 1909), Пример 1. )

(

( ) 2 (2 )j k j k

j jj k

L

x

x x k

Z R

А.Хаар (1909), В.А. Котельников (1933), К.Э.Шеннон (1949),.

1, 1 1,0 1,1

I.Daubechies (1988) – всплески с компактным носителем.

. Теория функций, теория приближений

. Обработка сигналов

. Диф. Уравнения (Вейвлет-Галёркин метод, и др.)

Преимущества всплесков:

Локализация (компактные носители),Быстрые алгоритмы вычисления коэффициентов,Характеризация функциональных пространств

, ,,

, , ,

( ) ( ) ,

( , ) ( ) ( )

j k j kk j

j k j k j k

f x c x

c f f x x d x

Z

Для построения системы всплесков с компактным носителем нужно решить масштабирующие уравнение (refinement equation) – разностное функциональное уравнение со сжатием аргумента.

0 , , Nc c - последовательность комплексных коэффициентов.

( )x0 (2 )c x

1 (2 1)c x

.......

(2 )Nc x N

0

( ) (2 ) ,N

kk

x c x k

10

0

Когда мастабирующая функц

( ) ( 1

ия найдена, всплеск-функция

явно выписывается:

где - коффициенты масштабирующего уравнения

) (2 ),

. ., , ..

Nk

kk

N

x c x k

c c

Это – обычное разностное уравнение, но с двоичным сжатием аргумента.

Построение всплесков. Масштабирующие уравнения.

Примеры систем всплесков

1. Всплески Хаара (1909)

Масштабирующее уравнение: ( ) (2 ) (2 1)x x x

1 1

1

0

1 1

1

0

2. Всплески Шеннона-Котельникова (1933, 1949)

4. Всплески Добеши (1988) Второй всплеск Добеши. Масштабирующее уравнение:

1 3 3 3 3 3 1 3( ) (2 ) (2 1) (2 2) (2 3)

4 4 4 4x x x x x

2 30

2 3

0

3. Всплески Мейера (1986), Всплески Баттла-Лемарье (1987) Носитель некомпактен!

sin( )

xx

x

sin 2 sin

( )x x

xx

Носитель некомпактен!

0

2N

kk

c

Если есть решение с компактным носителем, и

0

( ) (2 ) ,N

kk

x c x k

Что известно о масштабирующих уравнениях ?

Обратно, если0

2N

kk

c

, то есть решение с компактным носителем. Оно единственно

с точностью о домножения на константу и сосредоточено на отрезке [0, N].

Но только в обобщённых функциях из

( )x

0 N

( ) 0x d x то

N C ( ) R

Масштабирующая функция не бывает бесконечно-гладкой

'( )S R

2

0

ˆ ˆ( ) ( / 2) ( / 2) ,1

( )2

Ni k

kk

mm c e

1

ˆ( ) ( 2 )j

j

m

Примеры 1.Тривиально:

0 1

Пример 2. 0 2

Пример 3.

0 3

Решение неустойчиво ! Малые изменения коэффициентов могут приводить к резким изменениям решения:

Пример 4. чисто сингулярно.

Tо же с примером

0 1 1c c

0 1 2

1 1, 1 ,

2 2c c c

0 1 2 3

1 3 3 1, , ,

4 4 4 4c c c c

0

1

2c

Примеры масштабирующих уравнений

1 1c 2

1

2c

чисто сингулярно. 0

1

4c 1

3

4c 2

3

4c 3

1

4c

( ) (2 ) (2 1)x x x

Cavaretta, Dahmen and Micchelli (1991) Описание всех масштабирующих сплайнов с целыми узлами.

Lawton, Lee and Sсhen (1995) Описание всех масштабирующих сплайнов.

Для любого N существует конечное число масштабирующих сплайнов порядка N

Berg and Plonka (2000), Hirn (2008)

Cклассификация всех кусочно-гладких масштабирующих функций.

Если существует 0 для которого гладкость

масштабирующей функции на интервале (0, ) превосходит ее

гладкость на , то -- масштабирующий

(

Теорема

сплайн

П. 2005).

с целыми узлам

и.

R

Все кусочно-гладкие масштабирующие функции -- сплайны.

Все они – линейные комбинации целых сдвигов B-сплайна.

“ Типичная ” масштабирующая функция и всплеск-функция

1 2 1 2( ) (2 ) (2 1) (2 2) (2 3)

3 3 3 3x x x x x Пример 5

0 3

( )x

sup 0 | | ( ) ( ) | for all ,x h x C h x h показатель гладкости (показатель Гельдера)

2log 1.5 0.58... Непрерывна, но не дифференцируема

Тем не менее, она дифференцируема почти всюду

( ) sup 0 | | ( ) ( ) |x x h x C h Локальная гладкость в точке x

2( ) log 2.25 1.17... Почти во всех точках Следовательно, п. '( 0 в) .xx

2( ) log 3 1.58...x (максимальная гладкость)

2( ) log 1.5 0.58...x (минимальная гладкость)

(изломы во всех двоично-

рациональных точках)

Фрактальная природа всплесков. Переменная локальная гладкость.

I.Daubechies, D.Lagarias, 1991

A.Cavaretta, W.Dahmen, C.Micchelli, 1991

C.Heil, D.Strang, 1994

0 1

2 0 1

ˆ( ) ( , ) 1

ˆБолее того, log ( , )

C T T

T T

R

11

1/

0 1, ,

ˆ ( , ) lim maxk

k

k

d dk d d

A A A A

2

0 1

1

, - матрицы (2-блочные тёплицевы матрицы),

( )i j k j k iT

T T

c

N N

0

2 1 00

4 3 2 1

4 3

0 0 0

0

0 0

c

c c cT

c c c c

c c

1 0

3 2 1 01

4 3 2

4

0 0

0

0 0 0

c c

c c c cT

c c c

c

0 1 2 3 4 4, , , , ,N c c c c cПример.

Как определить, будет ли масштабирующая функция непрерывной ?

( )x

0 N

Если только масштабирцующая функция ( ) -- не сплайн,

она имеет переменную локальную гладкость.

x

Максимальнаялокальная гладкость

Минимальная локальная гладкость

min 2ˆlog max 2log 0 2 0log

11

1/

0 1,..., {0,1}

ˆСовместный спектральный радиус ( , ) lim maxk

k

k

d dk d d

A A A A

11

1/

0 1,..., {0,1}

Нижний спектральный радиус ( , ) lim mink

k

k

d dk d d

A A A A

1

1

1/ 2

1/0 0 1

,..., {0,1}

Показатель Ляпунова ( , ) lim

k

k

k

kd d

kd d

A A A A

Гладкость почти всюду

min maxДля любого [0,1] имеем (Теорема. ) [ , ] . x x

min maxДля каждого [ , ] локальная гладкость = ( ) достигается

на всюду плотном множестве точек [0,1] .

x

x

0 2 0Для почти всех [0,1] имеем ( ) log .x x

Как вычислить или оценить JSR ?

Daubechies, Lagarias, Heil, Strang,

Эспоненциальная сложность. Heil, Strang (1994) для вычисления JSR специальных 2 2-матриц

с относит

е

ль

Перебором (

ной погрешнос

по определению)

тью = 0.05 переб

рали все произведения до длины 19.

G.Gripenberg (1996) - ``branch and bound'' алгоритм.

Разумный перебор. Часто очень эфективен. Но теоретически плох.

k

Сходимость к величине JSR при растущем к чрезвычайно медленная.

11

1/

,..., {1,..., }

d

Причина медленной сходимости:

ˆmax ,

Выбранная норма в может быть слишком далека

от той, в которой все операторы - сжимающие.

Скорость сходимости , где конс

kk

k

d dd d m

A

k

A k

C

dR

танта C - отношение двух норм.

Она может быть очень велика.

Blondel, Tsitsiclis (1997-2000). Задача приближённого вычисления JSR для рациональных матриц NP-сложна.

Задача определения: верно ли, что JSR строго меньше 1 (для рациональных неотрицательных матриц) алгоритмически неразрешима, начиная с размерноти d = 47.

Не существует алгоритма, полиномиального по размерности d и по точности для приближения JSR с относительной погрешностью

Тем не менее, существуют алгоритмы, полиномиальные

1(по отдельности) по d и по (уви .дим)

1

Отрицательные результаты о сложности задачи вычисления JSR:

Инвариантные нормы

Теорема 2 (A.Дранишников, С.Конягин, В.Протасов, 1996)

1

1a) Для неприводимого семейства операторов ,..., существует 0

и симметричное выпуклое тело ( ) такое, что

b) Для любо

го такого тела

( ,..., )def

m

mA A

M инвариантное тел

A M Conv A M

о

M A M

1ˆ ( ,..., ).mA A

1A M

2A M

M

1 ( ,... , )def

mA M Conv A M A M

Теорема 1 (Н. Барабанов, 1988)

1

1

1

a) Для неприводимого семейства операторов ,..., существует 0

и норма , для которой пр

A , ... , A =

и любом

ˆb) Для любой такой нормы имеем

max

( ,..., ).

m

m

d

m

A A

x

A A

x x x

R

Независимо был установлен ‘’двойственный’’ факт:

*

* *1

M = B (поляра к B), где B - единичный шар в Барабановской норме

для сопряженных операторов ,.. (F.Wirth, E.Plishk

Двойственность:

.,

e,

2005

)

mA A

1

21 2

1 2

Пример 1.

ˆ = ( ) max{

Матрицы де Рама.

1 2 0; , (0, 0.5)

0 1 2

При 0.25 имеем

При

1 2 , }.

10.25 имеем ˆ =

При всех им

( )

еем инвариантный шестиугольник

4 7 .

М( )2

.

A

A A

A A

2

0 1 1

12 2 матрицы , функции разбиения Эйлера (теория чисел).

Они состоят из 0 и 1.

Дл

Пример 2.

ˆ ˆ( ) я них при нечетных , и при четных .

Инвариантная норма строится для

( )

всех

n n

A nA A

A A

n

. 13n

1

Проблема ёмкости двоиных кодов, избегающих данных запрещенных разностей.

Для любого набора запрещённых разностей ёмкость равна JSR двух 0-1 матриц размерности 2 .

При малы

П

х m инвариан

ример 3.

тн

md ая норма явно строится и находится значение ёмкости.

X

Y

( )M

0

1 1 2 1 1

Берем произвольный начальный многогранник

центрально-симметричный относительно нуля,

последовательность { } определяется индуктивно:

( , ). Многогранник приближает

с о

d

k

k k k k

P

P

Q A P Conv A A P Q

R

1 1 1

(1 ) / 2

тносительной погрешностью : (1 )

и содержит не более вершин.

k k k

dd

Q P Q

N C

1Если положить , то многогранник может иметь до 2 вершин,

и сложность будет экспоненциальной.

Не нужно хранить все вершины , можно приближать, .

mk k m

m m m

P A P P

P P Q

После 10С итераций получим нужное приближение

1/ ˆ( ) mmdiam P

Общее число операций ( 1) / 20 1( , , ) dC d A A

Для d=2 число операций: 3/ 2C При 0.0001 требуется 610 операций.

При d > 2 непонятно как практически реализовывать

kP

1 kA P

m kA P

k kQ AP

(1 ) kQ

1kP

2kP

Для d =2 алгоритм был запрограммирован И.Шейпаком в 1998.

Алгоритм приближения инвариантной нормы многогранниками

Оценка JSR с помощью тензорных произведений матриц

Протасов (1997), Zhow (1998), Blondel, Nesterov (2005)

ˆАлгоритм - полиномиальный по размерности . Даёт грубые оценки на .d

- спектраьный радиус ( -радиус), [1, ]pL p p

1

1

1/

1, ,

ˆ( ,..., ) lim , m

k

pmp

kp m d d

kd d

A A m A A

Определен в 1995 независимо: Y.Wang (p = 1), R.Q.Jia (для всех p)

1/ˆ Для любог о p имеем: pp pm

p

1/ 2

2 12

1

Для целых четных 2 значение вычисляется как обычное собственное значение

1матрицы A =

Через A B обозначено тензорное (кронекер

( ,...

овское) пр е

, )

-

( ) .m

r r

kk

r mA A

p

Am

A

r

2 матриц A, B - матрица размера d

2 2 2 2

1

1Матрица имеет размерность матрица A = имеет размерность .

mr r r r

k kk

A d A dm

1/ 2 1/ 2 1/ 2ˆ Для любо ( )го r имеем: ( )r r rA m A

1/ 2 1/ 2Величина даёт приближени JSR с погрешностьln

( ) 12

ю r r mA m

r

2

1

2 2

1ˆДля двух матриц величина (A), где A = приближает с

Размерность матрицы A равна

Пример 1. =

2 1

(можно понизить до

41%

/ 2 )

m

kk

d d Am

d d

4

4

44

1

4

1ˆДля двух матриц величина (A), где A = приближает с

Размерность матрицы

П

равна (можно понизить до

р

/ 24)

имер 2. = 2 1 19

% m

kk

d d Am

A d d

Идея доказательства. p-инвариантные нормы.

1

1

( ) множество всех норм в . выпуклый невырожденный точечный конус.

Для еприводимого семейства матриц , ... , и для p [1, + ] рассмотрим оператор

1 : , ( | . | )[ ] | |

d d

m

mp

mj

N N N

A A

F N N F u A um

R R

1/

,

Для любой нормы | . | N функционал ( | . | ) также норма.

p

du

F

R

1

1

1p =1. ( | . | )[ ] | | ... | |

m

p = . ( | . | )[ ] max | | , ... , | |

При p = 2 оператор сохраняет евклидовы нормы

Примеры.

(единичный шар - эллипсоид).

m

m

F u A u A u

F u A u A u

F

N

F(N)

f

f

1Для неприводимого семейства { , ... , } и любого p [1, ] оператор

имеет ''собственный вектор'': существует норма | . | и > 0 , для которых

Теорема

.

(

mA A F

F

N

p 1Для любой такой нормы ''собственное значение

| . | )[ ]

'' рав

| | ,

но

.

( , ... , ).m

d

A A

u u u

R

1/ 2

22 2

При 2 (r - целое) имеет инвариантный конус

( , ) существует инвариантная норма ,

соответствующая вектору Перрона-Ф

Следст

робениуса опера

вие. r

rr j r

j

p r F

N x a x f N

1/ 2

2 1

22

1

тора .

1На конусе оператор задаётся матрицей

( ,..., ) ( ) .

A =

r

r

mr

r kk

mA A A

F

N F Am

N2r

F(N2r)

f

f

Алгоритм вычисления JSR поиском лучшей нормы в определенном семействе норм.

Идея: мы не можем найти инвариантную норму. Тогда приблизим её с помощью норм из определеннго конечномерного класса. (стандартный трюк в теории приближений)

1

min

subject to:

0

0 ,k

k

k d d

r

x

Ax r x A A A

1/ 1/ 1/ˆДля любого имеем Теорема. k k kk kk d r r

(V.Protasov, R.Jungers, and V.Blondel, 2010)

1,...,

Возьмём класс ``прямоугольных'' норм u max , > 0 .i d

ix

i

uu

x

(V.Blondel, Yu.Nesterov, J.Theys, 2005)

Рассмотрим сначала случай неотрицательных матриц

d

dR

x

xмногогранник с гранямиkm

1

min

subject to:

0

0 ,k

k

Tk d d

r

X

A X A r X A A A

Берём все ``эллипсоидные'' нормы u ( , ), где - положительно-определённая матрица.X

Xu u X

1/(2 ) 1/(2 ) 1/(2 )ˆДля любого имеем Теорема. k k kk kk d r r

Случай произвольных матриц

Решаем следующую задачу полуопределённого программирования

с одним (матричным) неизвестным и ограничениями. kX m

X

X

0 1

1

1

Общая задача полуопределённого программирования:

( ,..., ) min

,..., 0

( ,..., ) 0 , 1,...,

q

q

s q

l X X

X X

l X X s N

Эффективно решается методом внутренней точки. ЛП-задачи – частный случай.

Доказать больше иногда легче.

Джордж Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения» (1954)

Если не получается хорошо приблизить JSR, можно попробовать …

вычислить его точно.

Если не получается что-то доказать, можно попробовать доказать больше.

ˆНорма . является экстремальной, если Опр еделение. , 1,... ., jA j m

ˆЕсли - единичный шар экстремальной нормы, то , 1,..., .jM A M M j m

Для экстремальной нормы сходимость осуществляется в один шаг:

M2A M

1A M

Понятие экстремальной нормы

11

1/

,..., {1,..., }ˆmax ,

kk

k

d dd d m

A A k

Как построить экстремальную норму ?

1

произвольная точка , 0,

( ) { , 1, 2, 1, , }

( ) , { } , ( ) , lim

- множество частичных пределов (точек накопления) орбиты.

Пусть ( ) ( ( ), ( ));

{ }

k

j j j

d

k d d j

dj j k m kj

x x

O x A A x d j k

x y k x O x x x

M x Conv x x

d

dN

R

R

тогда ( ) непусто,

dim ( ) и

x

M x d

1 2ˆПусть m =2. Нормируем матрицы так, чтобы ( , ) 1A A

1 2( ) ( ) ( )A x A x x 1 2 (свойство самоподобия )A K A K K

x

1A x 2A x

1( ) ,O x 2 ( ) ,O x 3( ) ,O x , ( )O x

( )xv

Будем строить единичный шар экстремальной нормы в качестве многогранника M .Оказывается, что такая норма существует для большинства семейств матриц.

Наблюдение 1. Для приводимого семейства задача вычисления JSR сводится кНескольким аналогичным задачам в меньших размерностях. Таким образом, предполагаем, что семейство неприводимо.

Наблюдение 2. Если произведение П максимальное, то его максимальный собственный вектор v должен быть крайней точкой множества M. Если M – многогранник, то v -- его вершина.

Итак, максимальные собственные векторы произведения П и всех его циклических перестановок -- вершины M.

Наблюдение 3. Критерий остановки:

*

Пусть ( ) = 1 и v* - максимальный

собственный вектор . Если существует другое

произведение Q, для которого (v*, Qv) > (v*, v),

то - м

Лемм

аксимальное

а.

.не

v

vQv

Qv

1

2

1

j 1

Берем максимальный собственный вектор of .

Полагаем v , 2, , .k

k j k

d d

d d

v A A

A A v j k

1v 2v

kv

1s jv A v

p i qv A v

Каждый раз проверяем, будет ли новая точка принадлежать выпуклой оболочке предыдущих точек (ЛП задача). Алгоритм завершается, когда не появилось ни одной новой вершины.

Инвариантный многогранник M – выпуклая оболочка всех точек, построенных алгоритмом

‘’Мертвые’’ ветви

3v…..

kdA

2dA

1dA

2kdA

1kdA

Алгоритм точного вычисления JSR (Н.Гуглиелми, В.Протасов, 2011)

1v 2v

kv

s j rv A v

p i qv A v

Для каждой очередной вершины применяем критерий остановки:

3v…..

* *

*

Пусть -- максимальный собственный вектор циклической перестановки

такой, что ( , )

не являет

=

ся

1,

мак

1, .

сималь

.., . То

ным Для некоторого {

гда:

1,

,

.

..

j j

j j j

m

v

j

v

v k

*} и некоторой вершины имеем |( , ) | 1. s j sv v v

*kv

*3v

*2v*

1v

* | ( , ) | , 1, ... , , Для каждой новой вершины все произведения

не должны превосходить 1. Иначе, -- не максимальн ы

й

s j sv v v j k

Пример 1. Задача о плотности единиц в ромбе Паскаля: (S.Finch, P.Sebah, and Z.-Q.Bai, 2008)

2 1 2 2 1 2ˆlog ( , ) log ( , )Плотность единиц в ромбе Паскаля порядка -- между и C , гдеA A A An C n n

1 2ˆИзвестно, что ( , ) = 2. A A

1/ 63 31 2 1 2( , ) 1.6376...A A A A

На самом деле,

(алгоритм работает несколько секунд)

1 2

1+ 5Относительно ( , ), выдвинута гипотеза, что он равен = 1.6180...

2A A

3 31 2Выбираем A A

1Инвариантный многогранник M имеет 8 вершин.

Бинарна (я фу ) -нкция - это разбиения Эй количество разложен йа илер db k

1 2 10 1 2 1 , где 2 2 2 {0,1, , 1}m

m jk d d d d d d

2Как мы знаем, ( ) 1. Для 3 нужно оценить рост ( ) при . db k d b k k

2 L.( E) u1 l er , 1( 8)2 7b k

3 (S te( ) rn, 1858( 1 ))b k s k

4 Klosinsky, Alexanderson, Hill( ) / man ( ), 19842 1b k k

Какова асимптотика величины ( ) при ?db k k

L.Euler (1728), A.Tanturri (1918), K.Mahler (1940), N.de Bruijn (1948) L.Carlitz (1965), D.Knuth (1966), R.Churchhouse (1969), B.Reznick (1990)

Асимптотика бинарной функции разбиениПример 2. я Эйл ера.

1 2

2 2

2 1

1 2 1 2 2 2 1 2

(B.Reznick, 1990)

( ) , где log

( ) , где

ˆ log ( , ), log ( , )

Ответ:

(V .

r

r

b k C k r

C k b k C k

A A A A

1 2, это ( 1) ( 1) матрицы из нулей и единиц:

если

иначе.

1, 2 2 1(

Protas

)

ov, 2000

0,

)

i j k

k j i

A A

d

d d

A

1

1 1 1 0

0 1 1 0

0 1 1 1

0 0 1 1

A

2

1 1 0 0

1 1 1 0

0 1 1 0

0 1 1 1

A

1 2 1 1 2 1

Алгоритм вычисляет точные значения для d 100.

Оказывается, что для всех d имеем

либо , либо: ˆ ˆ( ) , ( ) ( ) , ( )A A A A A A

Для размерности 50 программа работает 5 минут, для размерности 100 -- около 20 минут

Пример. При d = 5 :

Функция разбиения Эйлера для троичного разложения:

1 3Выбираем A A

3Экстремальный многогранник M имеет 16 вершин.

Пример 3. Асимптотика числа слов двоичного алфавита без перекрытий.

Задача сводится к вычислению JSR и LSR двух 20x20-матриц.

(Blerk, 2 1988 ,) (Koba2. ya226 shi, 1988)

Kfor

ˆ 2.584 Этот результат последовательно улучшался:

u (1988), Kobayashi (1988), Cassaigne (1993), Lepisto (1995)

1/11 1/ 2101 2 1 2ˆ( ) 2.41756... ; ( ) 2.51793... A A A A

Программа работает 8 минут

ˆ2.226 2.584

Вычисление JSR для случайных пар матриц

Вычисление JSR и LSR для случайных пар булевских матриц размерности d = 100.

Условия конечной сходимости алгоритма

1

1

Произведение называется доминирующим, если ( )=1,

и существует 1 такое, что ( ) < для всех остальных произведений ,

не являющихся степенями , или степ

Определение.

енями

е

k

n

d d

d d

A A

q q A A

го циклических перестановок.

Алгоритм сходится за конечное время тогда и только тогда

когда произведение доми

Теоре

нирую

ма

ще

1.

е.

максимальноедоминирующее

Спасибо!