РАСЧЕТ ПЛАСТИНОКСПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ

М О С К В А — 1 9 5 9

6 С )к п

А . С . К А Л М А Н О К

кандидат технических наук

РАСЧЕТ ПЛАСТИНОКС П Р А В О Ч Н О Е П О С О Б И Е

%

«--пт»----тп ,- .. ____Министерство вы сш его и среднего

специально-о о б р а зо в а н и я 'ч з ской ССРПавлодар

и н

• а з

(й инду р ,альный с т и г у т

Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Е И З Д А Т Е Л Ь С Т В О Л И Т Е Р А Т У Р Ы П О С Т Р О И Т Е Л Ь С Т В У , А Р Х И Т Е К Т У Р Е

И С Т Р О И Т Е Л Ь Н Ы М М А Т Е Р И А Л А М

М о с к в а 1 9 5 9

Научный редактор — доктор техн. наук проф. И. К. Снитко

В настоящ ем справочном пособии рассм атриваю тся задачи изгиба плит в упругой и упруго-пластических стадиях , изгиба плит в своей плоскости (балки-стенки), а т ак ж е вопросы их устойчивости и динамики. Д л я больш ого числа случаев здесь излагаю тся методы реш е­ния зад ач теории пластинок и даю тся окончательны е формулы и вспом огательны е таблицы , значительно упро­щ аю щ ие исследование различны х случаев изгиба плит.

С правочное пособие предназначено для инженеров- проектировщ иков, студентов и аспирантов втузов.

С . БСЙСг.»' +А Ее ЛТЫКДДГЫ ГЫЛЫМИ КГГА21ХАНА] СИР&Х ЮТАПТАР КОРЫ

С ОНА р е д к и х к н и гНАУЧНАЯ * М . >ИОТСКА ИМ. С. БЕЙСДОБАЕ&А

КАЛМАНОК А. С.Справочник по расчету пластинок

Госстройиздат Москва, Третьяковский проезд, д. /

% * *Редактор издательства Г. И. Вилков

Технический редактор Э. С. Степанова.

Сдано в набор 29, IX 1958 г. Подписано к печати 8/1V 1959 г. Т-04616. Бумага 84хЮ87з2=3,31 бум. л.—10,8 печ. л. (12,7 уч.-изд. л.).

Тираж 12.000 экз. Изд. № X—3132. Зак. № 1991.Цена 6 р. 35 к. + Переплет 1 руб.

Типография № 1 Государственного издательства литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам,

г. Владимир

О ГЛ АВЛ ЕН И ЕСтр.

П редисловие . ........................................................................................................ 5Условные обозначения .......................................................................................... 8

I. Основные уравнения теории пластинок и методы их решения

1. У равнение изгиба и плоского напряж енного состояния п л а ­стинки в упругой стадии ..............................................................................11

2. Реш ения зад ач теории пластинок в упругой стадии . . . 183. У пруго-пластический изгиб пластинок. М етод предельного

равновесия ................................................................................................... ........ 254. П рактические методы расчета п л а с т и н о к ............................................28

II. Осесимметричная деформация круглых и кольцевых плит

1. Упругий изгиб плит м алого п р о г и б а .............................................. 302. Р асчет круглы х и кольцевы х плит малого прогиба при по­

мощи вспом огательны х т а б л и ц ......................................................... 453. Н екоторы е более слож ны е задачи осесимметричной деф ор­

мации круглы х п л и т ........................................................................... 604. Упруго-пластический изгиб круглы х и кольцевы х плит, з а ­

груж енны х осесимметричной н а г р у з к о й .................................. 61

III. Изгиб плит, имеющих форму бесконечно простирающейся по­лосы или полуполосы

1. Ц илиндрический изгиб упругих плит м алого прогиба . . 642. С вободно опертые, бесконечно простираю щ иеся упругие

тонкие плиты м алого прогиба, загруж енны е местной н а ­грузкой ......................................................................................................... 68

3. Ц илиндрический изгиб упругих плит больш ого прогиба . 72

IV. Изгиб прямоугольных плит, свободно опертых по всему контуру

1. Реш ение задачи расчета прям оугольны х плит, свободно опертых на противополож ны х сторонах по м етоду прос­ты х р я д о в .................................................................................................. 74

2. Упругий изгиб свободно опертых по всем у контуру прям о­угольных плит м алого п р о г и б а ......................................................... 77

3. И згиб прямоугольны х плит больш ого п р о г и б а ....................... 894. У пруго-пластический изгиб прямоугольны х свободно опер­

ты х п л и т ........................................................................................................ 91

V. Изгиб прямоугольных плит при произвольных закреплениях на контуре

1. Общ ий м етод реш ения задачи изгиба упругих тонких плит, имею щих форму п р я м о у г о л ь н и к а .................................................... 95

2. П рям оугольны е плиты, опертые по всем у контуру на ж ест­кие о п о р ы ............................................. ..... ................................................... 98

3

Стр.

3. П рям оугольны е плиты со свободными от защ ем ления по всем у контуру о п о р а м и .......................................................................... 109

4. П рям оугольны е плиты с различными закреплениям и на контуре . , ................................................................................ ..... . 125

5. Упруго-пластический изгиб произвольно закрепленны х на контуре прям оугольны х плит . 140

VI. Изгиб неразрезных плит и пространственных систем, состав­ленных из плит

1. Р асчет неразрезны х плит по м етоду простых рядов . . . 1452. П рактические методы расчета неразрезны х плит . . . . 150

VII. Изгиб треугольных, трапецеидальных и других плит слож ­ной формы в плане « •

1. И згиб треугольны х и трапецеидальны х п л и т ...................................1522. К руглы е плиты, изгибаемые нагрузкой, несимметричной

относительно их центра ..................................................................... ......1613. И згиб плит, имеющих форму эллипса и кругового сектора 165

VIII Вопросы устойчивости и динамики пластинок

1. С лож ны й изгиб п л и т ..................................................................... ..... 1682. Устойчивость п л а с т и н о к ..................................................................... 1733. О пределение собственных частот колебаний пластинок . . 181

IX. Расчет балок-стенок

1. А налогия м еж ду решением задач плоского напряж енного состояния и изгиба плит ..................................................................... 189

2. Р асчет прямоугольны х балок-стенок......................................................... 193 Список использованной литературы ...................................................................... 206 Приложение. Вспомогательные таблицы для расчета прям оуголь­

ных пластинок № I—V ....................... ..... ..........................................................208

П Р Е Д И С Л О В И Е

П ластинки или, иначе, тонкие плиты являю тся важ ны м и конструк­

тивными элем ентам и многих сооружений. В р яде случаев пластинки в

сооруж ении работаю т не на поперечный изгиб, а на изгиб в своей плос­

кости. Такие пластинки обычно назы ваю тся балкам и-стенкам и. Расчет

пластинок под действием разнообразны х типов внеш них нагрузок имеет

больш ое значение не только в строительной практике, но и в сам олето­

строении, кораблестроении и т. п.

Теория расчета пластинок сущ ествует почти 150 лет, однако боль

пая часть практически важ н ы х задач бы ла реш ена в течение послед

них 50 лет преимущ ественно нашими отечественными учеными, из чис

ла которы х в первую очередь долж ны быть названы И. Г. Бубнов,

С. П. Тимошенко, Б . Г. Г алеркин, Ю. А. Ш иманский, П. Ф. П апкович и

В. 3 . Власов.

Больш инство трудов, посвящ енны х расчету пластинок, стали биб

лиографической редкостью , кром е того, в ряде работ не было уделено

достаточное внимание тому, чтобы сделать их полностью доступными

для непосредственного применения в практике. Э то затр у д н яет исполь­

зование достигнуты х в теории результатов и зачастую приводит к при­

менению грубых приближ енны х приемов.

В равной степени последнее зам ечание относится к расчету пласти­

нок в упругой и упруго-пластической стадии. П редлож енны й А. А. Г воз­

девы м 1 метод предельного равновесия д л я расчета плит с учетом п л а ­

стических деф орм аций, к сож алению , не имеет в наш ей литературе си

стематического освещ ения, и больш ое число инж енеров не умею т поль

зоваться этим методом. В то ж е врем я известно, что переход к методам

1 А. А. Г в о з д е в , Обоснование норм проектирования железобетонных конструкций, «Строительная промышленность» № 3, 1939.

расчета конструкций в упруго-пластической стадии позволяет во многих

случаях значительно облегчить их сечения за счет вы явления излишних

запасов прочности.

С казан ное позволяет считать своевременным появление в свет сп ра­

вочного пособия, в котором были бы собраны все имеющие практиче­

ский интерес таблицы и формулы д л я расчета пластинок. Э ту цель в ос­

новном и преследует н астоящ ая работа. П араллельно автор считает

уместным в сам ом сж атом виде излож ить основные методы реш ения з а ­

дач теории пластинок.

В соответствии с намеченными задачам и первая глава настоящ ей

работы содерж ит краткое теоретическое введение, в котором и зл ага ­

ются основные уравнения теории пластинок и методы их реш ения. Д а ­

лее последовательно рассм атриваю тся: вопросы расчета пластинок, име­

ющих форм у круга или кругового кольца, прям оугольны х пластинок

(в том числе бесконечно простираю щ ейся полосы или полуполосы ), тр е ­

угольны х пластинок и некоторых типов пластинок более слож ной ф ор­

мы в плане, вопросы расчета неразрезны х пластинок и пространствен­

ных систем, составленны х из пластинок типа прямоугольны х р езер ву а­

ров или бункеров. П осле этого даю тся некоторы е формулы и таблицы

для расчета плит на устойчивость и динамическую нагрузку. В послед­

ней главе приводятся таблицы для расчета балок стенок.

Вопросы, касаю щ иеся расчета пластинок, л еж ащ и х на упругом ос­

новании, в настоящ ей работе не рассмотрены , так как они являю тся

предметом р яда опубликованных в последнее врем я р аб о т1.

К оличество табличного м атериала в работах по этом у вопросу весь­

ма велико и его помещ ение вы звало бы значительное увеличение объ­

ема справочника. Кроме этого, специфика расчетов плит, леж ащ их на

упругом основании, настолько своеобразна, что на эту тем у следовало

бы им еть специальное справочное пособие. Н е рассм атриваю тся в н а ­

стоящ ей работе и вопросы, связанны е с расчетом безбалочных пере­

кры тий2.

1 Б. Г. К о р е н е в , Вопросы расчета балок и плит на упругом основании, Госстройиздат, М., 1954.

М. И. Г о р б у н о в-П о с а д о в, Балки и плиты на упругом основании, Маш- стройиздат, М., 1949.

Б. Н. Ж е м о ч к и н и А. Н. С и н и ц ы н , Практические методы расчета балок и плит на упругом основании без гипотезы Винклера, Госстройиздат, М., 1947.

а Современные методы расчета безбалочных перекрытий подробно изложены в книге М. Я. Ш т а е р м а н а и А. М. И в я н с к о г о , Безбалочные перекрытия, Госстройиздат, М., 1953.

6

Многие, представляю щ ие практический интерес задачи по расчету

пластинок (изгиб плит переменной толщ ины, изгиб плит с отверстиями

и вы резам и и д р .), не смогли получить отраж ения в настоящ ей работе

иниду отсутствия в литературе достаточно полных решений.При составлении настоящ его справочника автор переработал , а во

многих случаях вновь вычислил больш ое число таблиц для расчета п л а ­

стинок.

УСЛОВНЫ Е ОБОЗНАЧЕНИЯ

и, V , гш— составляю щ ие вектора перемещений;Схх . ву у , Тл-у — компоненты м алой деф орм ации;

Рх> Ру. Р г — проекции внеш них и объемных сил на оси координат;

Е , р — м одуль упругости и коэфф ициент по­перечного расш ирения;

Ох , О у — погонные изгибаю щ ие моменты в н а ­правлениях осей х и у-

Мх , М у — погонные норм альны е усилия в н а ­правлениях осей х и у;

п ху — погонные крутящ ие моменты;Т Ху — погонные касательны е усилия;

У х, У у — погонные перерезы ваю щ ие усилия;0х> Оу — опорные реакции;

С о — сосредоточенные опорные реакции в углах плиты;

М х , М у — величины погонных изгибаю щ их мо­ментов при ( х = 0 ;

°х> ау — норм альны е напряж ения; хх у , туг, %г х — касательны е напряж ения;

Ф — функция напряж ений;к —-'толщина плиты;

ЕН3& — Т 7Г- ;--------— цилиндрическая ж есткость плиты;

1 2 (1 — 1x2)V — потенциальная энергия деф орм ации

плиты;Р., А — работа внешних и внутренних сил;

Сг — коэфф ициент постели упругого осно­вания;

■Мпр — предельный погонный изгибаю щ ий момент;

Р — интенсивность равном ерно распреде­ленной по площ ади нагрузки;

9 — м аксим альная ордината нагрузки, распределенной по треугольном у з а ­кону;

% — интенсивность нагрузки, равном ерно распределенной вдоль линии;

Р — величина нагрузки в виде сосредото­ченной силы;

1МХ, , /Ы у/ . 1ТХУ1КР— величины критических нагрузок;

т. — м асса единицы площ ади пластинки;

О

'Япр— приведенная м асса;о — круговая частота собственных коле­

баний пластинки;Т — кинетическая энергия колебаний п л а­

стинки;п , 1К — число и период колебанищ пластинки;

для круглых и кольцевых плит:а — радиус опорной окруж ности;Ь — радиус окруж ности вы реза плиты или

прилож ения нагрузки;г

р = — — безразм ерн ая координата; а

М , — погонные радиальны е и тангенциаль­ные изгибаю щ ие моменты (при м-т^О);

для прямоугольных плит:

а , Ь — разм еры сторон плиты; х У

5 = — , -л = — — безразм ерны е координаты ; а Ь

а7 = — ■ — отнош ение сторон плиты;

т~<х = ----- , Р = ~1Пп — безразм ерны е парам етры ;

7Х& (“ • '’))> 5) — основные трансцендентны е функции;

72 тп, (т , п) — - —— — -—— — основной коэфф ициент в разлож ениях

трансцендентны х функций в тригоно­метрические ряды ;

(а , ( - у — -г])), ^ (р, ( — — б )) — трансцендентны е функции для слу­

чая симметричной деф орм ации пли­ты;

а>ср, и>Макс — прогибы в центре плиты и наиболь­шие;

М аср , М Ьср , М вмакс . М ЬЫЖС — пролетные изгибаю щ ие моменты в н а ­правлениях, параллельны х сторонам а и Ь в центре плиты и наибольш ие (при 1 = 0 );

М ° , М°и М°„ , М°ь — опорные изгибаю щ ие моменты на а 0 макс макс

серединах защ ем ленны х сторон и наибольш ие;

М 0 — изгибаю щ ие моменты в у гл ах плиты, действую щ ие в направлениях, н акло­ненных под углом 45° к координат­ным осям;

а> , М„ , М , , , М1 — прогибы и изгибаю щ ие моменты наО “о Росерединах пролетов и на опорах сво­бодных от закреплений сторон пли­ты;

( т 2 + 72 и2) 2

^ я 3. ^ я с . Я*3> &ьс — полные величины опорных реакций на сторонах а и Ь плиты, защ ем лен­ных и свободно опертых;

для равнобедренных треугольных плит:Ь, Н —-разм еры основания и высоты плиты;

М х , М у — изгибаю щ ие моменты в направлени­ях, параллельны х основанию и вы со­те плиты (пролетны е);

М® , М°н — опорные изгибаю щ ие моменты в на­правлениях, норм альны х к сторонам плиты;

/?ос 1 Яб.с. — полные величины опорных реакций на основании и боковы х сторонах плиты.

Обозначения краев плиты на рисунках и схемах:

- — свободный от закреплений край;

Щ Щ Щ НПППП

свободно опертый край;

защ ем ленны й край;

— опора в углу плиты, в котором схо­дятся д ва свободных от закреплений края.

I. ОСНОВНЫ Е УРАВН ЕН И Я ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК И МЕТОДЫ ИХ РЕШ ЕНИЯ

I. Уравнение изгиба и плоского напряженного состояния пластинки в упругой стадии

Пластинкой или плитой назы ваю т тело призматической или цилин­дрической формы, один из разм еров которого (к —• толщ ина плиты) м ал по сравнению с его разм ерам и в плане. Д л я того чтобы дальнейш ие вы ­воды могли быть прилож ены к расчету пластинки с достаточной точно­стью, толщ ина пластинки дол ж н а составлять не более '/з ее наим еньш е­го разм ера в плане1.

Срединной плоскостью назы вается плоскость, равно у дален н ая от обеих поверхностей пластинки, д ел ящ ая толщ ину на равны е части; уп р уго й поверхностью — поверхность, в которую обращ ается срединная плоскость в результате деф орм ации пластинки. К оординатны е оси х и у совм ещ аю тся с срединной плоскостью пластинки; ось г считается н а ­правленной вниз.

Теория расчета пластинок основы вается на ряде гипотез, позволяю ­щ их свести трехмерную зад ач у к двухмерной или одномерной.

Гипотеза прямы х нормалей: точки, располож енны е на линии, нор­мальной к срединной плоскости пластинки до ее деформ ации, остаю тся на прямой, перпендикулярной к упругой поверхности деформ ированной пластинки, причем расстояния м еж ду этими точкам и не изменяю тся. В следствие этого составляю щ ие м алой деф орм ации пластинки егг ‘ 7.1-г и 7уг равны нулю.

Гипотеза плоского напряж енного состояния: напряж ения от нагру­зок, прилож енны х к плоскости пластинки, равном ерно распределены по ее толщ ине.

П риняв эти гипотезы , мож но считать, что в упругой стадии работы напряж ения изменяю тся по толщ ине пластинки по линейному закону. Вследствие этого, вместо действую щ их в сечениях плиты напряж ений, мож но рассм атривать зам еняю щ ие их усилия и моменты. К элем ен тар­ной призме М х й у (рис. 1) в общ ем случае прилож ены следую щ ие по­гонные моменты и усилия:

изгибаю щ ие и крутящ ие моменты:

4 й/2 4 й/2 + й/2

-й /2 -й / 2- Й / 2

1 Б. Г. Г а л е р к и н, Упругие тонкие плиты, Госстройиздат, 1933.

11

действую щ ие в норм альны х к срединной плоскости направлениях , пере резы ваю щ ие усилия:

+ й/2 + Й/2

У х ~ § ГХ 2 ^г ' С-й/2 -й /2

действую щ ие в срединной плоскости норм альны е и касательны е усилия:-4- Л/2 + Й/2 + Й/2

N .* х ]' ах (1^ > Му — йа., Т х у — ^х у ^ *-Л /2 -й /2 -й /2

^ + | ~ У4 у

тх у ! ^

■ З с л \- г п 1 | у йу 4|МХУ| ^ И ту

Щ / Щ /

/

амх ,

с!хРис. 1

Если проекции суммы внешних, и объем ны х сил, действую щ их на элем ентарную призму, обозначить рх , ру и р г , условия ее равновесия могут быть написаны в виде:

худх д у

= — Рх

дМу д Тху

ду дх = - Р у

дУ х дУ у _

дх ду Рг

( Ы )

При отсутствии нагрузок р х и ру первым двум из уравнений (1.1) мож но удовлетворить, полагая:

д 2 Ф д 2 Ф а 2 Ф= # у - - ^ Г = Н Х , т ^ 7 = ~ Т х у ■ ( 1 -2 )

д х 2 д у 2 д х д у

12

При плоской деф орм ации долж но удовлетворяться уравнение сов- ММ'ТИпп н деформации:

д2 е . д 2 е.уу Ъсу

д у 3 д х 2 д х ду: 0 , (1-3)

примем компоненты м алой деф орм ации вы р аж аю тся через составляю - шнг нсктора перемещ ений по известны м ф орм улам:

ди

дхЧуу

ди

~ д у ’1ху ■

ди до

д у дх

Д л я упругого изотропного тела при м одуле упругости Е и коэфф и ЦИснте поперечного расш ирения П уассона р-

1 . . 1 . . 2 (1 + р.)— (ах — рлу) , еу у ■ ■ (Зу — № х) . Уху = '‘Ху » (1 .4 )

что после подстановки в уравнение (1.3) и интегрирования в пределах к к

ш' до + - ^ - д а е т равенство, представляю щ ее собой уравнение

п тм естн о сти деф орм аций, записанное в усилиях:

- \>-Ыу) — 2 ( 1 + р.)д 2 Т ху

дх ду= 0 . (1 .5 )

О тсю да, в ы р аж ая усилия через функцию напряжений Ф по ф орм у­лам (1.2), получается бигармоническое уравнение:

а 4 Ф б4 Ф Э4 Ф------------Н 2 -------------1-----------= у 2 V2 Ф = 0 ,

дх* д х 2 д у 2 ду* у у( 1. 6)

<э2 а 2где V2 = гармонический оператор Л ап ласа . К этом у ж е

уравнению мож но прийти и в случае р д := с о п з1, р у = с о п з 1:, полагая , н а ­пример:

д 2 Ф д 2 Ф д 2 Ф' = ^ у + УРу, — ~ = м х + х р х , т — = — Т хд х 2 д у 2 дх ду ■ х у

Д л я определения перемещ ений через функцию напряж ений имею т­ся равенства:

ди

Их' =ду

д у ~д 2 и

д у 2

д 2 V

д х 2

_1_Е к

_1_Е к

д 2 Ф

д у 2

д 2 Ф

д х 2

д 2 Ф

д х 2

д 2 Ф

— к [

Е к

' — (*-

д 3 Ф

дх3

д 3 Ф

д у 3

ду

+ (2 + р)

' + (2 + р)

о 3 Ф

д х д у 2

д3 Ф '

д х 2 ду

(1 .7 )

13

откуда перемещ ения и и у определяю тся с точностью до слагаем ы х:

ио — и + “ У > уо — 0 ~ шх ■ соответствую щ их ж естком у перемещ ению пластинки в своей плоскости, к ак абсолю тно твердого тела.

П ервы е д в а уравнения равновесия (1.1) могут быть записаны т а к ­ж е в перемещ ениях в форме:

д 2 и

д х 2

(1 + Iх)

(1 - Е ) д * и (1 + ц)2

д 2 ид у 2

д 2 V

дх ду д у 2 +

д 2 у

2 д х ду

(1 — [х) д2 о

2 ' Лс2

1 — р.2

Е к

1 — ^ Е к

Рх

Р у

П ри изгибе пластинки компоненты м алой деф орм ации е л 1ху вы раж аю тся через прогиб ш как:

■ XI) д 2ш д 2 ы)

д х * ’ е у у ~ 2 ду* ' Ъ у ~ ~ 2 г ' д х д у

( 1 . 8)

Суу

(1 .9 )

а так как

1 — (х2(еХХ+ ^ у у ) ,

1 — (л.2(еуу + \хехх) , х Ку =

2 (1 + (*)Хху (1 . 10)

Н кто после интегрирования в пределах от — — до + — получается:

О у — — И

О х = - В

д 2 IV

д у 2 + ! А '

д 2 а)

д х 2

д2 а I

д х 2

д 2 ш

д у 2

Я * , = - ( 1 - | х ) Яд 2 а)

д х ду. ( 1 . 11)

Е к 3где й = — —------- — — цилиндрическая ж есткость пластинки.

12(1 — к- )Величины сдвигаю щ их напряж ений 1 хг и туг находятся из уравн е­

ний равновесия, подобно тому, как это принято в теории изгиба балок. Таким образом мож но получить равенства:

к 2 — 4 г 2

8к 2 — 4 г2

8

д хV" К) .

1 — (х2 ду

д— у 2 ш

I

(1. 12)

Отсю да после интегрирования в пределах от — до + — получается:

мосле чего последнее из уравнений равновесия элем ентарной призмы (1,1) дает диф ф еренциальное уравнение поперечного изгиба пластинки:

д*до д4 до--------- Н 2 ----------дх4 д х 2 д у 2

й4 до

ду1= у 2 у 2 до =

О(1 .14)

представляющее собой бигармоническое уравнение с правой частью .У равнения (1.14) и (1.6) составляю т основную систему уравнений

теории изгиба упругих изотропных пластинок.П ластинки, выполненные из ортотропного м атериала, хар актер и зу ­

ются упругими константам и Е х , Е у , О, ц^у и |лулг> причем рху Е у — ■= |лух Е х . В ы раж ения нормальны х и касательны х усилий через ф унк­цию Ф сохраняю тся таким и ж е, как и в случае изотропного тела, но сама функция напряж ений долж на удовлетворять не уравнению ( 1.6 ), а уравнению :

1 « + = ,1 .1 5 )Е х дх1 \ О Е х ] д х 2 д у 2 ' Е у ду*

В ы раж ения для моментов и перерезы ваю щ их усилий тогда прини­маю т вид:

О х = — О хд2 до д2 дод х 2 ^ ^ ху д у 2

О у = — О уд х 2

д Г д 2 до- = — — \ О х --------- Ь (2 О к -

д х { * д х 2 К

д ГУ у ~ ~ ду I

И-лгу О у)

д2 до'ду2 ' (2О к + \>-уХ О х)

д 2 до д 2 до'

~ д ^ + ^ х

д 2 до

~ду2

д 2 гю

д х 2

(1 .16)

где

О х =Е х 1г3

12(1 — 1>-ху \хух)Оу = -

Е у к 3

12(1 — \>-ху \>.ух )Ок

П ри этом диф ф еренциальное уравнение поперечного тропной пластинки будет:

д4 до д4 до б4 дод х 1

-223ху д х 2 д у 2■ А ,

ду* 1 Рг

ОН3

~ 12 ■

изгиба орто-

(1 .17 )

где

20ху- 12 4 0 - 1 М*ху ~Ь Рул: Е л1 ЦХу Рух

Д л я изотропной пластинки потенциальная энергия упругой деф ор­мации м ож ет быть найдена по формулам: в случае плоского напряж енного состояния пластинки:

а Ь

в случае поперечного изгиба пластинки:

М 1 1 х г 1 + 2 ( ^- т Ш .О о

+д 2ХЮ

д у 2

— 2|х/ д 2 XI) \ д 2 XV д2 хю

[ д х д у ) д х 2 д у 2

Д л я пластинки, леж ащ ей на упругом основании в предполож ении прямой пропорциональности м еж ду прогибом пластинки и отпором грун­та, полная величина действую щ ей нагрузки будет: р г = р г— Сг хю, где С г — коэфф ициент постели. Здесь уравнение поперечного изгиба пластинки принимает вид:

д4 а) д4 хю

~ д ^ + д х 2д у 2

. П ри совместном действии нагрузок, действую щ их в срединной по­верхности и поперечной, необходимо учесть влияние на прогиб усилий, действую щ их в срединной плоскости. П оследние, вследствие прогиба пластинки, даю т составляю щ ую в направлении оси г, равную на едини­цу площ ади

д 2 ш д 2 хш д2 хю\

д 4и> С ,+ - Т Т + ^ Г а’ = Т Г -ду О

Р г

О( 1 . 20)

ь р г = [ м .д х 2

+ 2 Г.ху д х д у-ЛЛ,

д у 2

В этом случае уравнение (1.14) принимает вид:й4 хю д4 хю д4 хю

: + '

_1_

О Р а '

дх4

д 2 Ф д 2 хю

д у 2 д х 2

д х 2д у 2

д 2 Ф

д х д у

д у 4

д2 хю д 2 Ф д 2 хю'

д х д у д х 2 д у 2( 1 . 21)

К огда ж есткость пластинки невелика, ее прогиб м ож ет о казать влияние на усилия, действую щ ие в ее срединной плоскости. Д л я учета этого влияния следует вклю чить в уравнение совместности деформ аций (1.3) нелинейные члены, зависящ ие от перемещ ения хю, после чего это уравнение принимает вид:

д 2 е у уу д 2 Ъсу д2 хю

д у 2 д х 2 д х д у \ д х д у

При этом уравнение (1.6) будет иметь форму:

д 2 хю д2 хю

д х 2 д х 2

д4 Ф

Их41-2

д4 Ф д4 Ф

д х 2д у 2 ду4• — Ек

д 2хю \ 2 д 2хю

д х ду д у 2

(1 .22)

(1 .23)

и долж но реш аться совместно с уравнением ( 1.21 ).

В том случае, когда прогиб пластинки велик и составляет не м е­нее Уб ее толщ ины, поправки, вносимые учетом нелинейных членов, д е ­лаю тся достаточно больш ими и пренебрегать ими нет оснований1.

1 См. Б. Г. Г а л е р к и н, Упругие тонкие плиты, Госстройиздат, М., 1933.

16

При очень больш их прогибах пластинки мож но приближ енно поло­жить, что ее ж есткость равна нулю и равновесие изогнутой пластинки обеспечивается только возникаю щ ими при изгибе так назы ваем ы ми цепными усилиями в ее плоскости. При этом пластинка превращ ается в мембрану.

Реш ение диф ф еренциальны х уравнений теории пластинок долж но быть подчинено граничным условиям, т. е. условиям на контуре п л а­стинки. Н и ж е приводятся у р авн е­ния граничны х условий для края, параллельного координатнойоси у.

Три составляю щ ие изгибно- го напряж енного состояния п л а ­стинки О х , Н Ху и V х здесь могут бы ть сведены к двум. П о л агая не­сущ ественным закон распределе­ния касательны х напряж ений т Ху по сечению, зам еним крутящ ие моменты Н Ху распределенны м и вдоль этого к р ая перерезы ваю щ и­ми усилиями. Действую щ ий на элем енте опорного к р ая пластинкиМ у (рис. 2) крутящ ий момент Нху йу мож но представить в виде пары

_ сил Н ху с плечом йу. П ри переходе от точки у к соседней точке у + й у V дН,

величина сил возрастает на *ху

дуйу. П оэтом у действительная величина

опорной реакции на крае, параллельном координатной оси у, будет:

Я лд Н ху

дуБ

д3ш

~дх*+ (2 — Р-)

<Э3ш

дх д у 2(1 .24)

Аналогично на краях , параллельны х координатной оси х, опорная реакция определяется по формуле:

0 У = — 1/ у -+дН ху

д х

<Э3ш+ (2 — р)

д 3вV

д х 2 ду ]•(1 .25 )

В угловы х точках контура пластинки возникаю т прй этом неурав­новеш енные сосредоточенные силы, равные:

д 2гю(?0 = 2 Я г у = - 2 ( 1 - [ л ) О — - (1 .26 )

д х д у

а ) Граничные условия для плоского напряженного состоянияЕсли на крае заданы напряж ения, граничные условия приводятся к

уравнениям:

д2 Ф п д2 Ф а■ = НаЧ , — = - кг° . (1 .27 )

д у 2 д х ду

Если ж е на крае заданы перемещ ения, то, используя равенства (1* * Г получаю тся у р звгнепт гс)2Ф М и н е р е - во ^ р ш е ^ и среднего — х я в ц г а льну- 5-= <ййааева-ния- ССР *= — Е к -

^ а в л о Г а о Р - а л ®> А. С. Калм^0К|_| 0 у , , у т %

й 2 I)0

й у 2(1 .2 8 )

17

В первом Случае ф ункция напряж ений определена с точностью До несущ ественного линейного слагаем ого, во втором — с точностью до ж есткого смещ ения пластинки.

Если на контуре пластинка сопрягается с ребром ж есткостью |Д О о |н а сж ати е и 1.67*10 на изгиб в плоскости пластинки, граничные условия будут;

\ Е 1 Х \0

\ Е Р 0

Г <Э3Ф д 3 Ф[ ^ + (2 + ^ ) ^ ч Е к Ф

Ф

д х 2

а 2 ф

' ду*

дФ Е к — .

д х

(1.29)

б ) Граничные условия для поперечного изгиба пластинки

Если на крае заданы усилия и моменты, граничные условия приво­дятся к уравнениям :

Од 2 ни

д х 2

д 2 хи

д у 2= - а о , о [■

д3 ю д 3 ни= 0°. (1.30)

дх д у 2

Д л я свободного от закреплений и сил к р ая здесь следует принять: 0 ° = 0 и <Э°=0 .

Если ж е на контуре заданы перемещ ения, то граничные условия з а ­писы ваю тся так:

т — и)°,да)

дх= а ° .V * (1.31)

Д л я ж естко защ ем ленной грани здесь следует принять:

аР = 0 , = 0 .

Если на контуре пластинка сопрягается с балкой ж есткостью 1й / 2|0 на изгиб из плоскости пластинки и \01о\ на кручение, граничные условия будут:

,Е 1 ,д4 о<

ду*

I г г I д3а) г, I 92 т , д2%е)| 0 / о 1 д х д у * ° { д х 2 + |Л д у 2

(1.32)

Н аконец, при свободном опирании кр ая пластинки на ж есткую опо­ру имеем уравнения:

ш = 0 ,д 2 т

д х 2

д2т

+ ^ = ° - (1.33)

2. Решения задач теории пластинок в упругой стадии

И нтегралы диф ф еренциальны х уравнений теории пластинок полу­чены в зам кнутой форме только для некоторы х случаев, в основном тогда, когда эти уравнения вы рож даю тся в обыкновенные диф ф ерен­циальные уравнения, например, в случае осесимметричной деформации

18

круглой плиты. Обычно решение зад ач теории пластинок следует ис­пить при помощи различны х приближ енны х м етодов1. Н аиболее целесо­образно применение м етода разделени я переменных (метода рядов) и ■пи ленного м етода (м етода сеток).

а) М етод рядов

О сновная идея метода рядов состоит в представлении реш ения з а ­дачи в виде бесконечного двойного р я д а по системам функций А',,, н У л 1

т — ОО п — ооа>= 2 Е с тп Х т У п , (1 .34 )

т = 1 п = 1

где с т п — подлеж ащ ие определению коэфф ициенты, или ж е в виде бесконечного простого р яда по системе функций У п или Х т ,

п=°о т=оош = Е / п (х) Уп или ш = Б / т ( у ) Х т , (1-35)

п = 1 т —\

где [ п (х ) и }т{у) — подлеж ащ ие определению функции.

В качестве систем функций, по которы м производится разлож ение » ряд, могут быть приняты, например, системы ф ундам ентальны х балоч­ных функций, алгебраических или тригонометрических полиномов и др. Ж елательно, чтобы граничные условия задачи зар ан ее удовлетворялись самим выбором функций Х т и Уп .

При решении задачи в двойных р ядах (1.34), если граничные усло­вия автом атически удовлетворены выбором функций Х т и Уп, коэф ф и­циенты с тп могут быть найдены по м етоду Галеркина, исходя из усло­вия:

а ь

Уп а х а у = о. (1 .36 )

о о

П о д ставл яя в это уравнение значение пи в виде двойного ряда(1.34) и вы полняя интегрирование, получаю т для каж дой пары значений индексов т и п линейное алгебраическое уравнение относительно не­известных С1к- О граничиваясь конечным числом членов ряда С1и, м ож ­но найти их величины и, следовательно, получить приближ енное реш е­ние задачи .

Если ж е какая-либо из систем функций Х т или Уп не у довлетво­ряет граничным условиям задачи (что обычно имеет место при н али­чии у пластинки свободны х от закреплений к р аев ), то методом Г алер­кина нельзя пользоваться. Здесь следует применять метод реш ения з а ­дачи, основанный на использовании экстрем альны х свойств потенциаль­ной энергии упругой системы. П оследняя, как известно, равна разности

1 Подробное изложение приближенных методов интегрирования дифферен- циальных уравнений теории пластинок дано, например, в книге Л. В. Канторо­вича и В. И. Крылова, «Приближенные методы высшего анализа», Гостехиздат, М. 1950.

2* 19

м еж ду потенциальной энергией деф орм ации и работой внешних сил. Таким образом , используя ф орм улу (1.20):

а ЬС С Г В \[ д2т 2 / д2 а) \ 2 (д2т 2

'/у'С = ] ] ,~2~ \ Ы ) + ( дхду ) + \д/>) ~о о

— 2 (хд 2 а) \ 2 д 2ви д 2и>

дх д у ) д х 2 д у 2— рги> й х й у , (1 .3 7 )

после подстановки в это вы раж ение значения ъи в виде двойного ряда (1.34) и вы полнения интегрирования, получается вы раж ение для потенциальной энергии упругой системы в виде некоторой к вад ратич­ной формы от неизвестных коэф ф ициентов с т п . Д л я нахож ден ия мини­мума потенциальной энергии необходимо, чтобы коэффициенты с тп удовлетворяли условиям:

дУ<у.сдсп

= 0 ,

каж до е из которы х д а ет линейное алгебраическое уравнение относитель­но неизвестны х коэф ф ициентов с тп для каж дой пары индексов т и п. В случае, когда системы функций Х т и Уп удовлетворяю т граничным условиям задачи , эти уравнения совпадаю т с соответствую щ ими у р ав ­нениями, полученными при помощ и м етода Г алеркина.

Н аиболее простое реш ение задачи получается в случае принятия в' качестве систем функций Х т и Уп синусов кратны х аргументов, что удовлетворяет граничным условиям свободного опирания на всем кон­туре плиты здесь:

Ь

4 у а„ Г Г Рг . т и х . т у 2 \ \ -------- 8 Ш -------------5 1 П ----------й Х

Г) а Ь о о__________________

я 4 О (т 2 + у 2 п 2)2

йу

(1 .3 8 )

гдет= -отнош ение сторон плиты; поэтому уравнение упругой по­

верхности мож ет быть представлено в форме:

т — оо п= „оV " ! * -1 , „ т ^ х . ппу

V ! 4 а 4 *7т „ 5 1 п —— 51П —

гю = / 1 / 1 ---------------------------------------*'ш * и6 Б т а ( т 2 + у2 п 2)2т= 1 п = 1

Д л я обобщенной гидростатической нагрузки

Рг = Р + х I У а Ь

(1 .39)

(1 .40 )

Ч т п = Ш + ( - 1 ) т + 1 ] [ 1 + (— 1)” +1] Р + ( — 1) ш+1 [1 + (— 1)п + 1] ‘7а +

+ (— 1)п+1 [1 + ( — 1)т + 1 ] дь) ; (1 .41)

20

ими сосредоточенной в точке х 0, Уо силы Р:т2 тп тг.х„ пкуп , , , ,

Ятп = — — Я з т ----------з т —— . (1 .41а)аЬ а Ь

При решении задачи в виде простого р яда (1.35), если граничные условия для функций У п совпадаю т с граничными условиями плиты, Неизвестные функции / п (х) т ак ж е мож но найти по методу Галеркина Из равенства:

ь

Яу 2 у 2 а , _ - ^ - ) у л й у = 0 , (1 .42)

которое дает для каж дого индекса п обыкновенное линейное диф ф ерен­циальное уравнение, в своей совокупности образую щ ие совместную си- стему. Эту систему следует реш ать, ограничиваясь удерж анием конеч­ного числа членов в ряде (1.35) и, следовательно, конечного числа функ- ций / „ ( * ) . и

Если ж е граничные условия задачи выбором системы функции Уп не удовлетворены , ее решение следует искать, используя экстрем альны е свойства потенциальной энергии упругой системы. П од ставляя ряд(1.35) в уравнение (1.37) и выполнив интегрирование по переменной у, приходят к некоторому функционалу Р, стоящ ем у под знаком интегра­ла. У словия минимума этого функционала даю тся уравнениям и Э йле­ра— Л агр ан ж а :

й о р Л д р | д Р _ ф

а х 2 д / п с1х д / п д /п

которые в своей совокупности так ж е даю т систему обыкновенных ли­нейных диф ф еренциальны х уравнений.

В ы бирая в качестве системы функций Уп систему синусов кр ат­ных аргументов, что соответствует граничным условиям свободного опи- рания на двух противополож ны х сторонах плиты, используя (1.42) при­ходим к уравнению :

/ пу (х) - 2 ( у 1 ) 2/ ; (*) + ( у ) 4/п (* ) = Яп . (1 .43)

где я п — коэфф ициенты р азлож ения внешней нагрузки в ряд по сину­сам .

Если обозначить через С<п какой-либо частный интеграл уравнения (1.43), то общ ее реш ение задачи мож ет быть представлено, например, в форме:

ао

0 1 = ^ + С® СП + $ X ~ +

или в иной эквивалентной, полученной линейным преобразованием пер­вых четырех слагаем ы х ф ормулы (1.44). Величины постоянных инте­грирования с определяю тся из граничных условий на сторонах х = 0 и х = а плиты.

21

Соверш енно аналогично м ож ет быть получено реш ение и при ис­пользовании в качестве функций X т системы синусов кратны х аргу­ментов.

М етод простых рядов д ает при той ж е степени приближ ения ре­зультаты , значительно более точные, чем метод двойных рядов. З а ­частую у ж е первое приближ ение оказы вается вполне достаточны м по точности. О днако метод двойны х рядов несравненно прощ е по вы кл ад ­кам и практически является единственно пригодным для исследования нелинейных задач теории пластинок.

б) М етод сеток

Численное интегрирование диф ф еренциальны х уравнений основано на зам ене этих уравнений некоторы ми уравнениям и .в конечных р азн о ­стях, которые получаю тся путем представления производны х прибли­

К Г-1 Г т *>>' <3

1-1 1*1 ы 5-г 8-1 ' 5 ' 5н 8+2о г

-г т-1 /77 т>1 'т+2 1 -/' 1' ы 'с ,

П-1 п гн-1

р

1 т - / 2-т

--------- Рис. 3

женными вы раж ениям и через разностны е отнош ения или ординаты ис­комой функции в отдельны х точках. В ы раж ения производны х через ор­динаты функций м огут быть получены путем построения интерполирую ­щ его полинома, принимаю щ его в отдельны х точках те ж е значения, что и иском ая функция. П роизводны е от этого полинома приближ енно счи­таю тся равными производны м искомой функции. Н аиболее простым будет использование в качестве интерполирую щ его полинома к в ад р ат ­ной параболы .

П редставим три равно отстоящ ие друг от друга точки с ордина- на некоторой кривой (рис. 3 ). П ри достаточнотам и г ш—1 1 -т + 1 1

малом расстоянии Д х м еж ду этими точкам и рассм атриваем ы й отрезок кривой приближ енно м ож ет быть зам енен отрезком параболы

-2 ? + г,/тг 4-1

2 ( Д * ) 2х 2 + ■

‘Ст + 1 ' т—1

2Дхх + г т , (1 .45)

22

пкуда приближ енны е значения для производны х в точке г т',

Лг

<1х

ст+ 1 - г,т— 1

2Дх

Л2г

с1х2*т+ 1

(Дх) 2(1.46)

Й2211оетупая таким образом с кривой > находим

й 3г

с1х3

(Рг г,

а х 1

гт + 2 ’ ' 2 (‘ т + 1

« г + 2

2 (Дх) 3

— 4гт , , + 6 г — 4г/П4-1 1 т 1т - 1 + гт —2

(ДХ)4

(1 .47 )

П окры в поверхность исследуемой пластинки сеткой с постояннымДх

ш агом Д х и Ду в каж дом направлении, обозначив = у и пронуме­

ровав узлы сетки так, как это обозначено на прилагаем ом рисунке, можно написать, используя полученные результаты , следую щ ие вы р а­ж ения для четверты х производны х через ординаты упругой поверхно­сти плиты:

д4г

д х4

т+2 ' -4?,т + 1 ' 4 , - 4 гт - Г ‘т -2

(Дх)4

<34 г _ гй — 4гг + 6гт — 4г„ + г>,

ду* ~

д4 г г , _ 1+ г <+ + г „ + 1- 2 ( г т + 1 + г Я|_ 1+ г <+ г я) + 4 г д

д х 2д у 2 ~~ (Дх) 2 (Ду) 2

(1 .48 )

П о д ставл яя эти результаты в уравнение поперечного изгиба п л а ­стинки (1.14), получается следую щ ее тринадцатичленное уравнение, связы ваю щ ее м еж ду собой величины ординат в у злах сетки:

8 + 6 Ь 2 +1 1

1 + 7 2 ) (г ’п + 1 + гт - \ ) + 0 + 72) (г1+ гп)

+ 2 {г 1~ 1 + 2г+1 + гл- 1 + гп + \) + Т2 ( гА + гр ) +

+ ^ ( гт +2 + гш - 2) = у ( ^ ) 2 (Ду) 2 . (1 .4 9 )

В ы раж ения компонентов изгибного напряж енного состояния через ординаты упругой поверхности пластинки будут:

23

а х = -о

(Дж)* К г т ~ 1 ~ 2г"- + + 1) + ^ (г* _ 2гт + г«)1

оо „ = —

у (Д у )2( г , - 2гт + гл) + — ( г , * . , - 2гщ+ гт + 1 )

( 1 — (х )ОН гч — — . . [ ( г (+1 ~ гг—1) ~~ (г п+1 — гл—1)]'л г у

2 (Дх) з I т + 2 - 2 (; т +1 ' т —1 т —2

+ Т2 (2гг — 2 гп + гя—1 + гп+1 — ■

и у =о

2 ( А у ) ;

7—1

1

1+1 )]

’ — 2 (г — г ,) — г .- |------- (2 г т ,-р \ п I) к ' ^2 V т -1

■Ь гя +1 + г 1 + 1 — гл- 1 — г / - 1)1 -

•2 г,т + 1

(1.50)

У равнение (1.45) долж но быть написано для всех узлов сетки, ле ­ж ащ их внутри контура плиты, а при наличии незакрепленны х от пере­мещений сторон — и д л я узлов, леж ащ их на этих сторонах. В некото­рые из этих уравнений войдут и значения ординат для узлов сетки, рас­полож енны х вне контура плиты. Д л я определения значений таких ор ­динат следует воспользоваться уравнениям и граничных условий.

П редставлен узел 5 , леж ащ ий на контуре плиты (рис. 3). Д л я слу­чая свободного опирания плиты имеем равенства:

:° . г5+1 = - V - ! О-51)‘ .5—1

Д л я случая жесткого защ ем ления плиты соответствую щ ие равен­ства будут:

(1.52)г, = °- г *+1

Н аконец, в случае свободной от сил и закреплений грани

г5+1 — 2 г 5 + г^_1 + ( гг — 2гЛ. + г () = 0 ,

‘ $+1 - 2 (* ,+ 1 - * , _ ! ) + г, _ 2 +( 2 - М - )

Т2[2 ( г ,+ 1 - г 4_ , ) +

I(1.53)

+ г/.+ 1 + г <+1 — гГ- \ — гм ] = 0 •

Эти равенства позволяю т исклю чить из уравнений (1.45) значения ординат в законтурны х у злах сетки.

Таким образом решение задачи поперечного изгиба пластинок по методу сеток сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных, равным числу искомых ординат г т

П риняты е выш е для удобства расчетов равны е расстояния м еж ду узлам и сетки отню дь не являю тся обязательны м и, мож но использовать и сетку с переменным ш агом. Т ак ж е возм ож но использование и иных регулярны х сеток, кроме прямоугольны х, например, треугольны х. Сетки последнего вида особенно удобны при исследовании пластинок тре­угольной формы в плане..

24

Если сравнить м еж ду собой результаты применения к решению за- дач теории пластинок м етода рядов и м етода сеток, то мож но конста­тировать, что первый метод позволяет получить решение с той ж е сте­пенью точности при меньшем количестве вычислений. О днако метод рядов практически применим только для пластинок простейш ей ф ор­мы — круглых, кольцевы х и прям оугольны х. М етод сеток м ож ет быть применен в любых случаях, независим о от формы исследуемой пластин­ки1. Э та универсальность, а так ж е простота вы вода и составления у р а в ­нений является его основным достоинством.

3. Упруго-пластический изгиб пластинок. Метод предельного равновесия

И сследование упруго-пластического изгиба пластинок на оснозе не­линейного закона связи м еж ду деф орм ациям и и напряж ениям и пред­ставляет вычислительные трудности, вследствие чего соответствую щ ие реш ения получены лиш ь для некоторых задач . Расчет п л а ­стинок на основе гипотезы иде­ального упруго-пластического тела (рис. 4) оказы вается бо ­лее простым, чем расчет по упругой стадии, если прене­бречь упругими деф орм ациям и плиты по сравнению с пласти­ческими и работой м атериала в стадии упрочнения. При этом можно считать, что до тех пор, пока в процессе развития п л а ­стических деф орм аций иссле­дуем ая плита не превратится в изменяем ую систему, ее про­гибы пренебреж имо малы ; по­сле ж е такого превращ ения прогибы м огут принять любую величину.

Состояние, при котором плита вследствие развития пластических деф орм аций пре­вращ ается в изменяемую систему, назы вается п редельны м , а метод р а с ­чета, основанный на рассмотрении условий равновесия плиты в предел ь­ном состоянии — методом предельного равновесия2.

В предельном состоянии предполагается 'возникновение цилиндриче­ского ш арнира текучести, в котором при постоянном предельном зн аче­нии изгибаю щ его момента М пр образуется двугранны й угол произ­вольной величины. Величина предельного момента М „р для плит из однородного м атериала, если считать предельную эпю ру норм альны х

Рис. 4

1 Для задач расчета пластинок с отверстиями и вырезами метод сеток успешно применен И. Я. Амиро (Применение метода сеток к решению плоской задачи теории упругости в случае многосвязных областей. Сборник «Вопросы прочности конструкций и динамики машин», изд. АН УССР.1954) и М. И. Длугачем (Метод сил в применении к теории упругости, «Прикладная механика», т. 1, в. 1).

2 Метод предельного равновесия разработан А. А. Гвоздевым.

25

напряж ений в сечении в виде двух прямоугольников, мож ет бы ть при­нята равной

М пр = - у ат Н . (1 .54)

Д л я плит из ж елезобетона величина предельного момента мож ет быть определена как

М пр = / а от г , (1 .55)

где и ат •— площ адь и предел текучести арматуры ;г — плечо пары внутренних сил в предельном состоянии.

Основной задачей расчета плиты по м етоду предельного равнове-

и

сия явл яется нахож дение расчетной формы разруш ения плиты. И з всех возм ож ны х форм разруш ения расчетной будет та, при которой р азр у ­ш аю щ ая нагрузка имеет наименьш ую величину. Т ак как практически никогда нельзя исчерпать в анализе все возм ож ны е формы разруш ения плиты, то полученная таким путем величина разруш аю щ ей нагрузки м ож ет оказаться несколько преувеличенной. О днако возм ож ная погреш ­ность при определении этой величины, как правило, леж ит в допусти­мых пределах.

О сновное уравнение метода предельного равновесия м ож ет быть написано как условие равенства работы внеш них сил, прилож енны х к плите Я и работы внутренних сил А. П оследняя представляется как сумма произведений длин цилиндрических ш арниров текучести 11 на величины двугранны х углов и предельны х моментов М ;пр :

А = Е М /пр » , / / . (1 .56)

где сумм ирование распространяется на все ш арниры текучести.П ревращ ение плиты в изменяемую систему возм ож но, только если

цилиндрические ш арниры прямолинейны и разбиваю т поверхность плиты на ряд многоугольников. Так, например, поверхность круглой плиты в предельном состоянии образует конус со сплошным заполнением ци­линдрическими ш арнирам и текучести, направленными по радиусам .

26

Величина двугранного угла м ож ет быть определена следую щ им образом: полагая, что при разруш ении полигональной плиты (рис. 5) точка С получает единичный прогиб, причем диски А О С и Б О С по их общ ей стороне /; образую т двугранны й угол проводим через точ­ку С плоскость, перпендикулярную линии перелома, которая пересечет первоначальную горизонтальную плоскость пластинки По линии А 'В ' , перпендикулярной к проекции ребра ОС. Вследствие м алости прогиба плиты величина двугранного угла будет:

» / = — + ~ . 0 - 5 7 )а Ь

или, учиты вая, что а = / г а ; и 6 = / , - 1 2 Рг получается:

^ — (с 1е «г + с(§ рг) . (1 .58 )и

Еели ф орм а разруш ения рассм атриваем ой полигональной плиты представляет собой пирам иду с верш иной в точке С и предельный мо­мент д л я всех ш арниров текучести постоянен, то

А = М п Р 11(с(даг + с 1§ р /) . (1 .59)I

В частности, если пластинка имеет форму правильного 6 -угольника, а точка С совп адает с центром описанной вокруг него окруж ности, то

А — 2 М п р к 1 а — (1 .6 0 ) к

и в пределе, при к, стрем ящ ем ся к бесконечности, для круглой плиты:

А = 2 к М пр . (1 .61 )

Р або та внеш них сил равн а произведению их величины на ординаты прогиба, например, для равномерной нагрузки она равна произведению ее интенсивности р на объем тела, образованного единичным перем ещ е­нием плиты; для сосредоточенной силы Р — произведению ее величины на ординату прогиба в точке ее прилож ения.

При исследовании упруго-пластического изгиба пластинок следует различать случай изгиба плит м алого прогиба, когда сохраняется ли ­нейная зависим ость м еж ду деф орм ациям и плиты, и случай изгиба плит больш ого прогиба, когда у к азан н ая зависим ость становится нелиней­ной1. Х отя последний случай при упруго-пластической работе м атериа­ла и имеет больш ее значение, чем ' при упругой работе, одн ако из-за отсутствия достаточно обоснованны х решений задач упруго-пластиче- ского изгиба плит больш ого прогиба, мы ограничимся рассмотрением лиш ь зад ач упруго-пластического изгиба плит малого прогиба.

Н еобходим о зам етить, что для ж елезобетонной плиты одна и та ж е несущ ая способность м ож ет обеспечиваться при различны х вари ан тах арм ирования в обоих направлениях. Тип арм ирования м ож ет сущ ествен­но влиять и на форму возм ож ного разруш ения плиты. П оэтом у здесь сущ ественное значение приобретает вопрос о наивы годнейш ем арм иро­вании плиты, обеспечиваю щ ем заданную несущ ую способность при наи­меньш ем расходе арматуры .

1 А. Р. Р ж а н и ц ы н. Приближенные решения задач теории пластичности,- сборник «Исследования по вопросам строительной механики и теории пластично­сти», Госстройиздат, М., 1956, стр. 53—60.

27

Расчет плит по упруго-пластической стадии их работы имеет зн а ­чительные преим ущ ества по сравнению с расчетом по упругой стадии, обеспечивая более полное использование несущ ей способности м ате­риала. О днако в тех случаях, когда возникновение значительны х д е ­формаций, связанны х при применении ж елезобетона с образованием больш их трещ ин, недопустимо (как это имеет место, наприм ер, при расчете р езер вуаров), расчет конструкции с учетом пластических св-ойств м атериала считается неприемлемы м. Это очевидно относится и к случаю расчета плит, выполненных из м атериала с хрупким х ар ак те­ром разруш ения1.

4. Практические методы расчета пластинок

В больш инстве случаев в проектной практике использую тся ф орм у­лы или специальные расчетны е таблицы , содерж ащ ие готовы е резуль­таты реш ения отдельны х задач . Р я д подобных таблиц приводится ниже.

П ри составлении таблиц важ н о установить, какой величиной коэф ­фициента поперечного расш ирения П уассона |х следует зад ав аться , так как во многих случаях результаты расчета зави сят от этой величины. К ак показы вает опыт, при расчете ж елезобетонны х плит на прочность наиболее правильны м является предполож ение, что р = 0 . В этом пред­полож ении и вычислено больш инство приводимых таблиц.

К а к правило, влияние р на произведение прогиба плиты и ее ци­линдрической ж есткости невелико. Это обстоятельство позволяет с д о ­статочной точностью использовать табличны е данны е и для других зн а ­чений |а, которое, в частности, д л я стали приним ается равны м 0,25— 0,3. П ри этом, если известны из табли ц значения изгибаю щ их моментов в какой-либо точке плиты в д вух направлениях М х и М у , вычисленные для случая р. = 0 , то величины этих моментов С х и Су для других зн а ­чений (а могут быть найдены по ф ормуле

О х = М х + [X М у , О у = М у + ^ М Х , (1 .62 )а величины изгибаю щ их моментов в тех углах пластинки, в которы х сходятся две оперты е стороны, получаю тся умнож ением соответствую ­щ их табличны х величин на множ итель ( 1— ц ) .

П ри вычислении табли ц для расчета круглы х и кольцеобразны х плит использовались готовы е формулы . Таблицы д л я расчета прям о­угольных плит вычислены на основе решений, полученных по м етоду простых тригонометрических рядов. П ри этом удерж ивалось такое чис­ло членов рядов, которое обеспечивало точность полученных резуль­татов для изгибаю щ их моментов не менее 1—2% . Таблицы д л я расчета треугольны х плит вы числялись на основе решений, полученных по ме­тоду сеток. (|

Д о сих пор для практических расчетов прямоугольны х плит на дей ­ствие сплош ной равномерной нагрузки обычно использовались таблицы , вычисленные на основе приближ енного м етода, предлож енного 30 лет тому н а за д Г. М аркусом 2. С равнение результатов, полученных на осно­ве точного реш ения задачи , с результатам и , полученными Г. М аркусом, показы вает, что реком ендованны й им приближ енны й м етод расчета

1 В общей постановке без использования гипотезы идеального упруго-пласти­ческого тела, задача упруго-пластического изгиба пластинок была рассмотрена В. В. С о к о л о в с к и м («Теория пластичности», изд. АН СССР, 1946) и А. А. И л ь ю ш и н ы м («Пластичность», Гостехиздат, М., 1948).

2 См., например, Промстройпроект, Справочник проектировщика промышлен­ных сооружений, т. IV, стр. 87—89.

28

прямоугольных Плит не обладает достаточной для обычных инж енер­ных расчетов точностью и д ает погреш ность, достигаю щ ую в ряде слу­чаев десятков процентов. П оэтом у здесь не приводятся таблицы , вы ­численные по методу Г. М аркуса.

М ногие таблицы , вычисленные для расчета упругих изотропных п л а­стинок, возм ож но так ж е использовать в некоторых случаях расчета ортотропных пластинок, когда мож но с достаточны м приближ ением считать, что

Оху = У э х О у . (1 .63 )

Д ействительно, если ввести безразм ерны е координаты

х у? = _ , (1 .64)

а о

и обозначить отнош ение сторон плиты при а <Ь

7 = - Ь (1-65)о

то уравнение изгиба изотропной пластинки (1.14) м ож ет быть представ­лено в виде:

д4 ш „ д4 ш . д4чи р , а 4------ + 2т2 ----------- + 74 --------= . ( 1 . 6 6 )д54 1 д ^ д г ? п 1 дг]4 О '

О бозначив через

\ »-“Т Уъ- (|'67’уравнение изгиба ортотропной пластинки (1.17) мож но представить в виде:

д4 т , „ 9 д* ш л д4 т р. а*

д 44 7пр + 7пР = о '

Таким образом , прогибы прямоугольной ортотропной плиты с соот­ношением сторон 7 могут быть найдены как прогибы прямоугольной изотропной плиты с соотнош ением сторон 7пр . Р ассм атр и вая табли ч­ные данны е для изгибаю щ их моментов при [а , равном 0 , как данны е о значениях вторы х производны х упругой поверхности пластинки, можно, используя формулы (1.16), получить необходимые значения изгибаю щ их моментов и для ортотропной плиты.

В некоторых из приводимых ни..:е таблиц, кроме значений изги­баю щ их моментов, в центре плиты приведены так ж е значения наиболь­ших изгибаю щ их моментов. П ри вычислении последних величины изги­баю щ их моментов определялись для всех узлов сетки; например, для прямоугольны х пластинок — всех узлов, соответствую щ их делению пло­щ ади плиты на восемь равны х отрезков в каж дом направлении. Хотя величины м аксим альны х моментов, приведенны е в таблицах , могут иметь место для каж до го направления в различных у злах сетки, все ж е для определения соответственны х величин в тех случаях, когда ^ отли­чен от нуля, м ож но пользоваться ф орм улами (1.62), подставляя в них м аксим альны е значения изгибаю щ их моментов, т ак как погреш ность по­добного приближ енного приема не велика и идет в запас прочности при расчете.

29

Знаний одних только Значений м аксим альны х Изгибающих момен­тов недостаточно для полного расчета плиты (особенно ж елезобетон­ной) на прочность. П оэтом у в таблицах , кроме значений изгибаю щ их моментов, в центре плиты, или в центре ее свободны х или защ ем лен­ных краев в ряде случаев даны так ж е значения изгибаю щ их моментов или сосредоточенны х опорных реакций в углах плиты. П оследние зн а ­чения связаны м еж ду собой равенством :

М 0 = ± ~ . (1 .69 )

Д л я того чтобы необходим ая прочность прям оугольной ж ел езо бе­тонной, опертой по всему контуру на ж есткие опоры, плиты при расчете по упругом у м етоду бы ла обеспечена более экономичным образом , при­меняется следую щ ий прием. В каж до м направлении плита разделяется на три полосы: средню ю и две крайние. Ш ирина последних принимается равной у4 меньш его разм ера плиты. А рм атура в средних полосах при­нимается на основе расчета по табличным величинам изгибаю щ их мо­ментов, а в крайних полосах — половине указанной величины. О днако пролетная арм атура у тех полос плиты, которы е непосредственно гр а ­ничат с ее свободно опертыми сторонами, не дол ж н а приним аться вдвое меньшей, чем в средних полосах. В противном случае необходим ая прочность плиты не будет обеспечена. П ри выполнении этих реком енда­ций результаты , полученные при расчете плит по упругой и упруго-пла­стической стадиях , сближ аю тся м еж ду собой.

II. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФ О РМ А Ц И Я КРУГЛЫХ И К О ЛЬЦЕВЫ Х ПЛИТ

1. Упругий изгиб плит малого прогиба

Реш ение задачи следует искать в цилиндрических координатах г, Я-, г (рис. 6 ), где:

30

В цилйндричесййх координатах диф ф еренциальное уравнение из­гиба пластинки будет:/д*_

1 дг2 ’

_д_

дг

/ а 2 ю 1а &2/ \ а /-2 г

да>_,

а Г

д 2 т'

"да2Р (г , » )

Г>. ( 2 . 1)

В еличины изгибаю щ их и крутящ их моментов и поперечных сил вы ­раж аю тся через производны е функции прогибов а)(г, $) по ф орм улам:

М;

[ + М(т/ 1 дни 1

= ~ в [ Т '~ д 7 + Т*

да) 1

д 2 ву

Я = — (1 — р-) О

а »2 а 2 ы>

а 2

' а э 2 /

а 2 ш

" а ^

да>'

Л -

1 а /

ага»

а 2 и) 1 да)

дг2 г дг

а 2 ш 1аг2 + г

да)

а 7 "

а »а2 ил

‘ ~ д№ )

1 а 2 ю') •

(2 .2)

В практически наиболее важ ном случае осесимметричной д еф орм а­ции пластинки диф ф еренциальное уравнение (2 .1) принимает вид:

(0*_ _ 1_ й_

I й г 2 ^ г Лг

а 2 а) 1

а г 2 + г

№

й г

айг йг

ай г

йхюХ

г 1 7 )Р ( г )

О '(2 -3 )

а величины изгибаю щ их моментов и поперечных сил определяю тся ф ор­мулами:

’ а 2 а> (л с1и>\Л Г ,------- О (

Й?Г2 аг

а 2 а), 1 йиоМ л = - О [ — • — + ц

г йг й г *

й / й 2 ш 1 ,

^ — й аг V аг2 + г а г ) н = о , уя = о .

(2 .4 )

П оследовательны м интегрированием (в случае р (г) = р) находится следую щ ее общ ее реш ение уравнения (2.3):

рг1

6 4 0■ + С у + С 2 г2 + С 3 1п г + С 4 г2 1п а , (2 .5 )

31

в которое входят четыре произвольны х Постоянных С; . Д ал ее находятся:

Лхш ргз С ,~йг = “ ЙШ* + 2С*Г + — + С* г (2 1ПГ+1).

м г = - о {

( 1 - 1 * )

(3 + [±)рг2

1 6 04- 2 (1 + |х) С 2 -

Сз + [(3 + р.) + 2 (1 + (а) 1п /•]

м д — + 2 (1 + р) С 2 +

+ ■( 1 ~ ~ !Х) С3 + [(1 + 3,,) + 2 (1 + |Х) 1п г] С4

Уг = - й\ 2 0

(2-Е)

тгттп ,РТТТТГТ1А ,рГГП1ПТ]

.в X в 4---------------

ЛР

9—■-б 4- б —

- 0 ^ 6 *

П роизвольны е постоянные опреде­ляю тся из граничны х условий задачи, вклю чая сю да в необходимых случаях и условия конечности деф орм аций в центре плиты (при г — 0 ).

Д а л ее приводятся реш ения задач для некоторых, наиболее 'часто встречаю ­

щ ихся случаев. Н иж е Р = — .а

А. Круглая плита, свободно опертая по контуру (рис. 7)

а) Н агр у зка, равном ерно распреде­ленная по всей площ ади круга:

ра4

Л Мг =

[(5 + ц) — 64(1 + (х ) О 1 ^

2 (3 + (*) р2 + (1 + (*) р4] ,

(3 + [а) р а 2

16 (1 — Р2) . ( 2 .7 )

р а2"Л е

—1*

Рис. 7

^ = 1Г [(3 + ,а)- (1 +

+ 3|х) р2] .

б) Н агрузка, равном ерно распределенная по площ ади круга р а ­диуса Ь:

32

на участке р < р

Р“ 4 . {[4 (3 + Iх) — (7 + 3{х) р2] Р2 — [864 (1 + I*) С

- 2 (1 — 1х) Р2] р2Р2 + (1 + (1) Р4 + 4 (1 + |х) (Р2 + 2р2) Р2 1 п - р } ,

М г = - ^ - { [ 4 - ( 1 - | х ) Р 2] р2 — (3 + {х)р2 — 4 (1 + м-) р2 1п р]} , 10

ра*

"Тб

ра2- ц * — и — N р ч

на участке р > Р

щ = {[4 - (1 - (х) Р2] р2 - (1 + 3;х) р2 - 4 (1-Ых) р2 1п р]};

Р ' 2а‘ {2 (3 + ц) — (1 — (х) Р2 — [2 (3 + (а) —32(1 + |х) О

— (1 — М-) Р2] Р2 + 2 ( 1 + 1х) (Р2 + 2 Р2) 1пР} .

ра2

^ " 1 6

М

а - (X) р4 ° ^ - 4 (1 + [X) Р2 1п р] ,

, = ^ [ ( 1 - ( л ) Р 2 [ 4 - Р 2 ( ^ ] ] - 4 ( 1 + | х ) р 2 1 п р ] .

в) Н агр у зка, равном ерно распределенная по площ ади внутренним радиусом Ь:

на у ч астк е р < Р

{К5 + ^ ) - 4 ( 3 + |х) Р2 + (7 + 3(х) Р4] —64 (1 + (х) Б

- 2 [(3 + |х) - 4р2 + (1 - [х) р*] р2- 4 (1 + [х) (Р2 + 2р2) Р21п Р}

1(3 + (х) ~ 4р2 + (1 — ц) р4 + 4 (1 + и.) Р2 1п р] ,1о

М ь = ^ [(3 + (х) — 4р2 + (1 - (X) Р4 + 4 (1 + ,Х) р2 1п р ] ;

на участке р > Р

{[(5 + (х) - 4 (3 + ,х) р2 + 2 (1 - (х) р‘] -64 (1 + [х) С

— 2 [(3 + |х) — 2 (3 + (х) Р2 + (1 — (х) РЧ р2+

+ (1 + |х) Р4 — 4 (1 + ;х) (р2 + 2р2) р2 1п р} ,

= ^ [ (3 + И) (1 - Р2) + 0 - | х)Р4 +

+ 4 (1 + (х) Р2 1п р] .

= пГ [ (3 + !Х) — 4 (1 — ( ) Р2 — (1 + 3|х) р2 +

+ (1 — (х) Р4 ( ^ ^ ) + 4 ( 1 + 1 х ) Р2 1пр

М ,

М

3 А. С. Калманок

(2 . 8)

)

(2 . 8а)

/кольца с

(2 .9 )

(2 .9 а )I

г) Н агрузка, равном ерно распределенная по окруж ности радиуса Ь: на участке р < р

---------- , . {(1 _ р2) [(3 + ^ — (1 — а) р2] +8 (1 + |х) О

+ 2 (1 + (х) (р2 + р2) 1п р] ,

М г = ^ - [ ( 1 - , * ) ( 1 - Р 2) - 2 ( 1 + (л) 1п р] ,

М л .

4

§ р а 3

[(1 — Н-) (1 — Р2) — 2 (1 + ц ) 1 п р ] ;

на участке р > Р

{[(3 + М-) — (1 - ! * ) Р2] (1 — р2) +1( 1 + 1*) О

+ 2 ( 1 + ц ) ( р 2 + р 2) 1 п р } ,

М.

, = ^ [ ( 1 - , ) Р ^

[ 2 - Р 2 ( -

- Р 2

Р2

= ^ - а { п -(1 - Iх) ±1р2

•2 (1 + |х) 1п р

— 2 (1 + (х) 1п р

д) Н агр у зка сосредоточенной силой в центре круга: Р аг

= — — : - [(3 + (х) (1 — р2) + 2 (1 + (х) р2 1п р]16(1 + (х )т : 0 '

М г ■(1 + Iх) -Р

4л1п р ,

Щ = ^ [(1 - Р) - (1 + ц) 1п Р] .

(2 . 10)

(Я-Юа)

(2 . 11)

е) Н агр у зк а изгибаю щ ими моментами, равном ерно распределенны ­ми по контуру:

та = ■2 ( 1 + ( х ) С

М = т , Ми = т

(1 - Р2) -( 2 . 12)

Б. К руглая плита, защемленная по контуру (рис. 8)

а) Н агрузка, равном ерно распределенная по всей площ ади круга:ра4

о > = (1 — р2)2 ,6 4 / Г У '

ра2м ^ ^ - ю + ^ - о + ю р 21 ,

М ьр а ‘

1 б"[ ( 1 + | х ) - ( 1 + 3 ; х ) р 2] .

(2 .1 3 )

34

б) Н агрузка, равном ерно распределенная по площ ади круга р а ­диуса 6:

на участке р <

ю = "сТл 1(4 — Зр2) р2 - 2 р у + р4 + 4р2 (р* + 2р2) 1п р] , Ь4 и

М , = ^ [ ( 1 + [ х) Р ' > - ( 3 + (х) р2 - 4 ( 1 + !А) Р2 1пр] ,1о

щ = н Г1(1 + ^ р4~ (1 + р2“ 4 (1 + ^ 1п Р1:

(2 .1 4 )

на участке р >

ра4[(2 + р*) (1

М г =

32 О

Р2) + 2 (Ра + 2р2) 1п р] ,

ра2 р2(1 + ^ ) Р 2 - 4 + (1-

16

^ - 4 ( 1 + |* ) 1п Р

16( 1 + [ х ) р2 — 4 [а—

— (1 — Iх) — — 4 (1 + ц) 1п р Р2 ] •

(2.14а)

А .

р р

1 »

в) Н агр у зк а , равном ерно распределен ная <|_по площ ади кольца с внутренним радиу- ^сом Ь: и

на участке р < р

о я , 4 гО -н

— ^ ------------ 1 до —»I-— а

Р ис. 8

Ра ,“ * = 6 4 0 !( 4?2 + Зр4) “ 2 (1 “ ?4) р2 “ 4ра(ра+ 2 р 2) 1п р],

ра2

1б ' ( 1 + 11)1(1 - Р 4) + 4 Р2,П М -

р а 2М а = 1? (1 + !А ) [ 0 - Р 4) + 4 р 2 1пр] ;

(2 .15 )

3* 35

на участке р > Р

^ = ^ [ ( 1 - 4 р 2 - 2 р * ) - 2 ( 1 - 2 р 2 - р * ) р 2 + р*-(УШ

— 4р2 (р2 + 2 Р2) 1п р] ,

(1 + 1*) + 4р* - (1 + Ю Р4 - (3 + ц) р * -ра2

М г=^ё

. . р а

Щ = = 1&

- ( 1 - ^ ) - ГГ + 4 ( 1 + !х ) ^ 1 п р Р2 ]

( ! + ( ! ) + 4^Р2 - (1 + ц) Р4 - (1 + 3(л) Р2 +

(2.15а)

+ ( 1 - 1 * ) - ^ - + 4 ( 1 + ц ) Р2 1п р ] .

г) Н агр у зка, равном ерно распределенная по окруж ности радиуса Ь: на участке р < Р

ггВдЗш = ^ [ ( 1 - р 2) (1 + Р2) + 2 (Р2 + р2) 1п р] ,

М , = - ^ ( 1 + ц) [(1 — Р2) + 2 1п р] ,

М а = - ^ ( 1 + ц ) [(1 — Р2) + 2 1п Р] ;

на участке р > Р

(2 .16)

8 О

Е Ё 1 Г

[(1 + р*) (1 — Р2) + 2 (Р2 + р2) 1пР] ,

(1 + I*) Р* + (1 - ц) - ^ г - 2 (1 + (1 + (0 1п ?)]4 I Р

ё ? а4

(1 + Н-) Р2 — (1 — Iх) “Т" — 2 ((а + (1 + (I.) 1пР)] р2

(2,16а)

д) Н агр у зк а сосредоточенной силой в^центре круга:

да = ! ? 7 Г К 1 - Р 2) + 2Р21пр1 '16 тъО

м г = — — [1 + (1 + ц) 1п р] ,4тс

Щ = — [|Х + (1 + (Д.) 1п р] .

(2 .17 )

В. Круглая плита, свободно опирающаяся по окружности,

концентричной к ее контуру (рис. 9)

а) Н агрузка, равном ерно р ас ­пределенная по всей площ ади круга:

при р < 1

ра*

и' “ б 4 (1 + ,х)0 {0 ++ !х) р4 — 2 [(1 + 3р .)р2 +

+ 2 (1 — (а) - 4 ( 1 +

+ Iх) Р2 1п й I-2 + [2 (1 +

+ 3|х) р4 + (3 — 5|л) — 8 (1 +

+{Х) Р2 1П Р1) ,

Мг= нГ1(1+3,а) р2++ 2 (1 — (х) — (3 + гх) Ра _

- 4 ( 1 + ,х)р2 1п р],

м » = ^ к1 + а д г -

— Ра) + 2 (1 — р.) — 4 (1 +

+ И) Р2 1 п р ];

ра4

_ _ _ т т т п т т т и п м м п ^

ШТШТТ , ,.______ 7дпшп

(2 .18)

Рис. 9

при р > 1

{[(3 ~ 5;х) - 2 (3 + }х) р2- 8 (1 + |х) р2 Щр] +64 (1 + ц) О+ 2 [(3 + [х) р2 — 2 (1 — (х) + 4 (1 + (х)Р2 1п р] Р2 +

+ 0 + 1*) Р4 — 8 (1 + (х) Р2 (1 + р2) 1 п Р} ,

М г= ^ {[(3 + ,х) р2 + 2 (1 - ;х) - 4 (1 + (х) р* 1п р] -

- (3 + (х) р2 - 2 (1 - ^ ) у + 4 (1 + (х) Р2 1п Р) .

М д = ^ {[2 (1 - |х) - (1 - 5|х) Р2 - 4 (1 + (х)Р21п р] -

— (1 + Зц) р2 + 2 (1 — (х) - ^ - + 4 ( 1 + ( х ) р2 1п р | .

(2.18а)

37

при р < 1р а 4

а, = б Ж + ^ в {12(1~ " ) + 3(1 + ")Э2]- 2[(1~ " ) ++ 2 ( 1 + , х ) р 2] р2 + ( 1 + ц ) р2 ?4} .

б) Н агрузка, равном ерно распределенная по внутренней части кругарадиуса а:

ра2М г = 7б(Г2 [(1 - Iх) + 2 (! + I") Р2 - (3 + ^) Р2Р2] •

1У11

а = 16 [(1 ~ ^ + 2 (1 + ^ ?2 ” (1 + 3(х) Р2 Р2] ;

(2 .1 9 )

при р > 1

ра4

— й о + й ? 5 ' (1- | ‘>(1- р ,,- 2 ( , + |‘)11,|» и

(2.19а)

в) Н агр у зка, равном ерно распределенная по площ ади кольца с внут­ренним радиусом а:

при р < 1

ра4[ ( 1 - ( х ) + 4(,р2 - ( 1 + 3 ( х ) р 4 +

32 (1 + |* ) Р20

+ 4 ( 1 + | 1) Р4 1п р] (1 — р2) ,ра 2

М г = ~ Ш Г к 1 + З 'х) Р4 - 4^ 2 - (1 - Iх) - 4 (1 + (*) р м п р] ,

ра29 = 1 б р ^ К 1 + а д ~ 4 ^ 2 - (1 - Iх) - 4 (1 + [х) !п р] ;

при р > 1

ш = б17Т Т ^ {(1 + ! х ) Р р 4 + 2 [ ( 3 + [х)р4 + ( 1 ~ |х ) хX (1 — 2р2) + 4 (1 + ц) р4 1п р] р2 — [2 (3 + (л) р 4 - ( 3 - 5 , л ) р2 +

+ 2 (1 - ц ) + 8 (1 + ц) р4 1п р] - 8 (1 + ц) р4 р2 1п р +

+ 4 ( 1 + р-)Р2 (1 — 2р2) 1п р} ,

МГ= {[(3 + р) Р4 - (1 - р) (1 - 2р2)— 4(1 + (Х )Р4 1п р] -

— (3 + р.) Р2 р2 + (1 — (*) (1 — 2 р2) + 4 (1 + (х) Р4 1п р | ,

38

(2 . 20)

(2.20а)

М 8 = | 4 (1 + (х) р4 1п р — [(1 — 5(1.) р4 + (1 - (1) (1 - 2 р2) +

+ 4 ( 1 + ;х) р4 1п р] - (1 + 3(1) р2 р2 - ( 1 - ( * ) (1 - 2 р 2) - ^ } .

г) Н агрузка, равном ерно распределенная по контуру:

при р < 1

т = - я П 1 а\ а п К1 - ^ !) + 2 (1 + ^ ]П Р1 (1 _ р 2 )’8 (1 + (х) р о

Мг = - ^ [(1 - (х) (Р2 - 1) + 2 (1 + (х) р2 1п р ] ',

Щ = - [(1 - (1 ) (р2 — 1) + 2 (1 + (х) р2 1п р] ;

при р > 1

и,== «,/1 ^ 3;т ^ - { [ ( 3 + ^ ) ^ - ( 1 - ^ ) + 2 а + ^)Г ^ 1пр] X8 (1 + (х) р о

х ( Р* — 1) — 2 ( 1 + (х) р2 (1 + Р2) 1 п Р) ,

М Л= ( [ ( 1 - (1) - 2 (1 + (х) р2 1п р] - 4р I

— (! - |х) + 2 0 + (х) р2 1п р | ,

М , = — ( [ (1 — (х) — 2 (1 — ;х) р2 - 2 ( 1 + ( х ) р ! 1пр] +0 4р I

+ (1 — р.) + 2 (1 + ;х) р2 1п Р| .

д) Н агрузка сосредоточенной силой в центре круга:

при р < 1

- 1 6 ( 1 + ^ { [ П - ^ ) + 2 ( 1 + ^ ^ 1 ( 1 - р2) ++ 2 ( 1 + (х)р2 р2 1пр} ,

М г= — 4 г 1 ( 1 ~ Р-) (1 ~ Р2) ~ ' 2 (1 + (х) р2 1п р] ,

М 9 = - ^ г [ ( 1 - ( х) ( 1 + Р 2) - 2 ( 1 + (х) Р 2 1п р] ;

(2 .2 0 а )

(2 . 21)

(2 .2 1 а )

(2 .22 )

ю =

Мг-

М л =

Ра2

16 (1 + ц) яр2 О

Р

при р > 1

[(1 — Iх) (1 — Р2) — 2 (1 + (а) В2 1 п Р]

8тф2

Р

(1 — I*) 1_ Р \

?2 ) '

8тф2 • ( 1 - 1*) 1 +Г

(2 .2 2 а)

е) Н агр у зка изгибаю щ ими моментами, равном ерно распределенны ­ми по опоре:

при р < 1

№ ■■

М г =

Л*А=»

4 ( 1 + 1 * ) т

[(1 — Iх) + (1 + [*) Р2] (1 — Р2) .

(1 + !*) + у (1 ~ (*)] .

(1 + !*) + у (1 — (*)| ;

(2 .23 )

01 =

при р > 1

та2Д (1 -

Мг =

Мй =

4 (1 + (х) $Ю

<*) (1 — Р2) — 2 (1 +

+ !*)Р2 1пр] ,

(1 — (*) т

2 ?

(1 — у ) т2 р

(-?)•1 - - & )

р2 !

(2.23а)

Д л я нагрузки изгибаю щ ими мо­ментами, равном ерно распределен­ными по контуру (схема ж ), сохра­няю тся в силе ф ормулы (2 .12) как при р > 1, так и д л я р < 1.

Г. Плита в виде кругового кольца, свободно опертого по одному

контуру (рис. 10)

а) Н агр у зка, равном ерно распре­деленная по всей площ ади плиты:

40

ра4а о - ю + о + и) р21 р2 х

6 4 [ ( 1 - ( л ) + (1 + |л ) Р2Р

х (Р2 - 1) - [(1 - (*)■ - (5 - 3(1) Р2 - 2 (3 + (1) р4 -

_ 8 ( 1 + |1)Р4 1пР] (р2 — 1) — 8 р2 [(1 — И-) + ( 1 + Iх)Р 2] р 2 1 п р -

- 4 р 2 [(1 + ц) + (1 - (л) р2 + 4 (1 + [х) р2 1пр] 1п р} ,

ра2М г — — ' {(3 + Ю К 1 - Ю +

1 6 [ ( 1 - | 1 ) + (1 + | 1 ) Р2]

+ 0 + 1 * ) Р2] р2 — 4 (1 — |х) Р2 — (1 + Iх) [(1 — 1 ) + (3 + н-) Р4 ~

- 4 ( 1 + 11) р4 1п р] — 4 (1 + (х) [(1 — м-) + (1 + к) Р2] Р2 1п Р +

+ (1 — (*) [(1 + ^) + (1 — ! ) Р3 + 4 (1 + IX) р2 1п р] ,

М л = -р а *

|(1 + 3(х) [(1 — (х) +16 [(1 - (1) + (1 + |1) Р2]

+ (1 + Iх) Р21 Р2— 4 ^ (1 — (*) Р2 — (1 + Iх) [(1 — Iх) — 0 — ЗД Р 4- — 4 (1 + (1) Р4 1п р] — 4 (1 + |1)[(1 - Р) + (1 + (1) Р2] Р2 1п р -

— ( ! — »*) [(1 + Н-) + (1 — ЮР2 + 4 (1 + гх) р3 1п Р] .г /

(2 .24 )

б) Н агрузка, равном ерно распределенная по свободном у краю плиты:

по = -ёГра3

8 0

I 3 + (1 2р2

1 + Iх 1 —4 (1 + м-) р2

1п Р ) (1 — р2) + 2 р2 1п р +

1п р 1п р

Мг — — (1 + Iх )

( 1 - ^ ) 0 - Р 2)

Р2 (Р2 — 1)

М « = -рР а

(1 + (*)

1п р

1п р

Р2 (1 — Р2)

Р2 (Р2 + 1)

Р2 (1 — Р2)

- 1п р

■ 1п р1 — (х

1 + (1

(2 .25 )

в) Н агрузка моментами, равном ерно распределенны ми по оперто­му краю плиты:

та*

м г=

2 ( 1 + |1) ( 1 - Р 2) 0

т~ , 1 _ "

2 (1 + м-)(1 — Р2) — ' \ - - - Р2 1п Р

1 — [1 ] •

1 — р2

т 1 — Р3

1

1 + 'Г

(2 .2 6 )

41

г) Н агр у зка моментами, равном ерно распределенны ми по свободно­му краю плиты:

тр2 а2

Мг =

М ь =

2 (1 + ^) (1 — ^2) О

(1 - р2)

(1 — Р2) Р2 ’ т ? 2 (1 + р2)

(1 — Р2) Р2 '

„ « 2 (1 + 11),(1 — Р )— :------------- 1п р

1 — а

Д. Плита в виде кругового кольца, защемленная по одному контуру(рис. 11)

а) Н агрузка, равном ерно распределенная по всей площ ади плиты:

, (1 + 64 (1 + ц) О I

+ |х ) р 4 - 2 [(3 + ;х )(1 — р2) +

+ 4 (1 + |*)- ;1п Р р2 +1 — р2

(5 + [х) — 2 (3 + (х) р2 +

■8 ( 1 + |* ) -

Л & Ш ____11111 1 1 а

~ У

/77

г 0 ~а — 4 -

- Г

1 —

— 8 (1 + (х) р® р2 1п р —

4 (1 + (х) Р21 — IX

х [(3 + (х) + 4 (1 +

+ (х)1 ■ , 1п Р 1п р ,

а —М г = - . » ■ (

11 16 1(3 + ,*) р2

[(3 + |х) (1 + р2) +

+ 4 ( 1 + (х)1 - Е

; 1п р

Р2

+ (3 + (*) + 4 (1 + р.)1 - Е

■ 1п р Х

X — — 4 (1 + р.) р2 1п р | ,

М а = “ " и Г { ° + 3,а) р2 — [(3 + М — 2 (1 — (х) Р2+

42

М 1 Г Р2+ 4(1 + | * ) ^ ^ 1 п р | - | @ + (1) + 4(1 + |*) — ; 1пР X

X - 4 ( 1 + |* )Р 2 1пр .

(2.28)

б) Н агрузка, равном ерно распределенная по свободному краю плиты: >

{[(1-:*) + (3 + !А)Р2 +

М г = -

8 [(1 — (х.) + ( 1 + (*)р2] й + 2 (1 + (*) р2 1п Р] (1 - р2) + 2 [(1 - (*) +

+ (1 + (О Р2] Р2 1п Р + 4р2 [1 + (1 + (*) 1пр] 1п ?},

_____ &Ьа'____2 [ ( 1 - [ * ) + (1 + !*)Р2] »

+ (1 + 1*) [(1 - 1* ) + ( 1 + 1*) Р2] 1пр

- О - ! * ) [1 + 0 + ! * ) 1п Р] у } .

«ГРа

|[ (1 — (*) + (! + (*) Р2 1п Р ]+

М л = — ----------------------------------------- И!* (1 — I*) —' (1 — !*2] Р2 ' 9 2 [(1 — [*) -1~ (1 + (*) Р21 О 1

—-------------------------------------------------- (1 + I*) Р2 1п Р + (1 + (*)[(! - [*) + (1 + !*) Р2] 1п р +

+ ( ! - ( * ) [ ! + ( ! + ( * ) 1пр] •

(2 .29)

в) Н агрузка моментами, равном ерно распределенны ми по свобод­ному краю плиты:

тР2 а2

М г =

м л =

2 [(1 — (*) + (1 + !*) Р2] ^т р 2

(1 — (*) + (1 + !*)Р2

/пр2 _____

(1 - (л) + (1 + [*)Р2

( ! + [ * ) +

(1 + Iх) ■

[(1 — р2) + 2 1п р]

( 1 - 1 * ) 1

(1 - !*)

Г

(2.30)

В ф орм улах разделов Г и Д величина Р м ож ет быть как меньше, так и больш е 1. П ервы й случай соответствует располож ению опор на внешнем контуре кругового кольца, второй — на внутреннем.

Д л я восьми случаев расчет# кольцевы х плит с различными видам и внешней нагрузки и граничных закреплений на кр аях приводится табл. 1 значений наибольш их прогибов и изгибаю щ их моментов, при величине коэфф ициента [* = 0,3, заим ствован ная у С. П. Тимошенко.

43

Т а б л и ц а 1Величины наибольших изгибающих моментов и прогибов

для кольцевых плит

\д п0 х--------Л | Л---------1

, р , р6 _Д] 11111 ПИ

р П - ~ ,Р ■>

р п - ~ ~ Р г ^ШШГГ

гш

V' *

щ1шш9\

р ~ : ~ ** ^1111111111____

д = д,

- а — Д.— а — ^

В схемах е и д наружный контур плиты закреплен от поворота и свободно перемещается.

Коэф­фици­ент

Схема9= Ь/а

0,^0 0,667 0,50 0,333 0,250 0,200

а 0 ,1 8 4 0 ,2 1 0 0 ,2 4 7 0 ,3 1 4 0 ,3 6 2 0 ,4 0 7б 0 , 1 1 0 0 ,198 0 ,3 4 0 0 ,5 5 6 0 ,7 1 6 0 ,8 5 0в 0 ,0 2 3 0 ,068 0 ,1 7 3 0 ,3 5 8 0 ,4 9 9 0 ,6 1 5г 0 , 0 2 0 0 ,0 5 6 0 ,1 2 3 0 , 2 0 2 0 ,2 4 2 0 ,2 6 5

Кт д 0 ,0 1 5 0 ,0 4 4 0 ,118 0 ,2 5 7 0 ,3 7 2 0 ,4 1 7е 0 ,0 1 9 0 ,0 3 7 0 ,0 6 8 0 ,1 1 7 0 ,1 5 6 0 ,1 8 8ж 0 ,0 9 9 0 ,1 6 3 0 ,2 4 0 0 ,3 1 4 0 ,3 4 7 0 ,3 8 33 0 ,0 3 8 0,071 0 ,1 2 5 0 ,2 0 1 0 ,2 5 3 0,291

а 0 ,0313 0 ,0 4 7 6 0 ,0616 0 ,0673 0 ,0664 0 ,0645б 0 ,0185 0 ,0450 0 ,0837 0 ,1119 0,1191 0 ,1 2 0 1в 0 ,0 0 0 2 0 ,0017 0 ,0 0 8 6 0 ,0269 0,0411 0 ,0517

Куц г 0 ,0003 0 ,0029 0 ,0115 0,0267 0 ,0382 0,0451д 0 ,0 0 0 1 0 ,0006 0 ,0 0 3 0 0 ,0 1 0 1 0 ,0164 0 ,0225е ■ 0 ,0001 0 ,0006 0 ,0 0 2 2 0 ,0057 0 ,0084 0 ,0105ж 0 ,0169 0 ,0380 0 ,0609 0 ,0755 0,0761 0 ,07453 0 ,0005 0 ,0023 0,0081 0 ,0192 0 ,0269 0,0321

Величины наибольшего прогиба и изгибающего момента находятся по формулам:

К Ра>для схем а, е н з: шмакс = — . М ыакс= К тР . ( Р = 2 т д )

для прочих схем: ю Макс = •

о

^макс—КтР0? ■

44

2. Расчет круглых и кольцевых плит малого прогиба при помощи вспомогательных таблиц

О пределение расчетны х значений прогибов и изгибаю щ их моментов по форм улам , приведенным в р азделе 1, а т ак ж е применение этих ф орм ул для реш ения новы х зад ач сущ ественно упрощ ается ори ис­пользовании приводимы х ниж е таблиц Н. В. Н икитина (2; 3; 4; 5; 6 ).

Таблицы составлены для пяти основных схем загруж е- .Г Д Г „ния круглы х и кольцевы х плит п ш гт п \ »(рис. 12) при ( х = 0. Д л я ше- д —НШИИШ— ^ ^ — I -----— —

стой, основной, схемы, обозна- Ученной на рисунке индексом Ж ^ ^I I I , необходимые данны е мо- 7} \ 9 ^гут бы ть получены из табли ц д — 1--------- — & Д " ^для схемы, обозначенной ин-дексом VI, если в ней поло- т ^ т т тж ить Р = 0 . /"""*■ ______

О пирание плит на к р ае / Г Ъ I I Ьпредполож ено свободным. В | . Ц—Чслучае ж есткого защ ем ления плиты радиальны е опорные ■2а - Iизгибаю щ ие моменты М°г бу- Рис. 12дут равны взяты м с обратны м знаком тангенциальны м изги­баю щ им моментам на крае такой ж е, но свободно опертой плиты.

Углы поворота опорного сечения свободно опертой плиты под дей­ствием рассм атриваем ой нагрузки определяю тся через опорные момен­ты Л1°Лпо формуле:

с1т&) а~ = — Г - . (2 .3 1 )а г V

В случае упругого защ ем ления плиты пп краю радиальны е опор­ные изгибаю щ ие моменты определяю тся по формуле:

М°гК = ----------— , (2 .3 2 )

1 +<р —а

где 9 — угол поворота конструкции, служ ащ ей опорой плиты от еди­ничного момента.

К омбинируя данны е табл. 2—6 , мож но рассчиты вать круглы е и кольцевы е плиты при любой осесимметричной сплош ной равном ерной или распределенной по концентрической окруж ности нагрузке, с одной или несколькими концентрическими балкам и или опорами, с консольными или защ емленны ми краям и . П ри этом следует так ж е иметь в виду сле­дую щ ее.

йы)Угол поворота в любом промеж уточном сечении с радиусом г

определяется как в круглой плите радиуса г под действием нагрузки, располож енной в ее пределах и опорных моментов, равны х радиальны м

45

Кру

глая

пл

ита

со сп

лош

ной

равн

омер

ной

нагр

узко

й,

расп

реде

ленн

ой

по пл

ощад

и кр

уга

СОУК

о.

Е а § ^ •к3 кX Ь

кнО1=3сак*=с

яБX

оО-с

Отно

шен

ие

ради

уса

нагр

узки

к

ради

усу

плит

ы (3

0,1

87

5

0,1

85

6

0,1

80

0

0,1

70

6

0,1

57

5

0,1

40

6

0,1

20

0

0,0

95

6

0,0

67

5

0,0

35

6

0

0,9

0,2

25

7

0,2

23

4

0,2

16

5

0,2

04

9

0,1

88

7

0,1

67

8

0,1

42

4

0,1

12

3

0,0

77

6

0,0

38

2

0

0,8

0,2

65

8

0,2

62

9

0,2

54

1

0,2

39

4

0,2

18

9

0,1

92

5

0,1

60

3

0,1

22

2

0,0

78

3

0,0

35

7

0

0,7

0,3

08

5

0,3

04

7

0,2

93

2

0,2

74

1

0,2

47

3

0,2

12

9

0,1

70

8

0,1

31

0

0,0

73

0

0,0

33

5

0

9‘0

0,3

55

2

0,3

50

0

0,3

34

4

0,3

08

3

0,2

71

9

0,2

25

0

0,1

67

7

0,1

12

6

0,0

68

4

0,0

31

6

0

0,5

0,4

07

7

0,4

00

2

0,3

77

7

0,3

40

2

0,2

87

7

0,2

20

2

0,1

55

5

0,1

05

4

0,0

64

6

0,0

30

0

0

0,4

0,4

69

1

0,4

57

4

0,4

22

2

0,3

63

6

0,2

81

6

0,2

03

3

0,1

45

5

0,0

99

6

0,0

61

4

0,0

28

7

0

0,3

0,5

45

4

0,5

24

5

0,4

62

0

0,3

57

9

0,2

58

6

0,1

90

2

0,1

37

7

0,0

95

0

0,0

58

9

0,0

27

7

0

0,2

0,6

49

9

0,6

03

0

0,4

62

4

0,3

26

3

0,2

42

2

0,1

80

8

0,1

32

1

0,0

91

8

0,0

57

2

0,0

26

9

0

о*

о

0,8

25

0

0,6

37

5

0,4

17

4

0,3

07

3

0,2

32

4

0,1

75

2

0,1

28

8

0,0

89

8

0,0

56

1

0,0

26

5

0

0,5

75

6

0,4

02

4

0,3

01

0

0,2

29

1

0,1

73

3

0,1

27

1

0,0

89

2

0,0

55

8

0,0

26

3

0

о . Т-* см со ю СО N оо 02 о о о о о о" о о о о ' *-«

Коэф

­ф

ици­

ент

46

ч\оСЯнсикка)*§есосхС

о

0,1

87

5

0,1

86

9

0,1

85

0

0,1

81

9

0,1

77

5

0,1

71

9

0,1

65

0

0,1

56

9

0,1

47

5

0,1

36

9

0,1

25

0 т-н см00 N N NО о

о о 0,0

74

4

0,0

69

8

0,0

63

5

0,0

55

7

0,0

46

4

0,0

35

9

0,0

24

5

0,0

12

4

0

0,9

0,2

25

7

0,2

24

9

0,2

22

6

0,2

18

8

0,2

13

4

0,2

06

4

0,1

97

9

0,1

87

9

0,1

76

3

0,1

63

2

0,1

48

7

0,0

93

6

0,0

92

4

0,0

89

1

0,0

83

6

0,0

76

0

0,0

66

6

0,0

55

4

0,0

42

9

0,0

29

2

0,0

14

8

0

00о*

ОО ОСю ^СО СО СМ С4

0 2 О СМ т-н N Ос о ю ю см см см

^ СО 0 2

СМ СМ СМ

с о О О СО N ОО СО NС М г Н г Ч

СО СМ 0 0 Nо о

СО 0 0 02 СО с о N О 0 3 00Т - . о о

03 0 2 СО СО СО 0 3 N СО О О О

Ю 02 СО СО СО г н О О

о о О О О О О О О О О о о О О О О О О О О О

со.

2н 0

,7

Ю с о оо N О о с о со

^ т-Н нСО Ь - СО О 02 ООс о см см

Ь С О О СО СМ СО N СО ^ см см см

СО О N N N СО СМ О СО СМ СМ т— 1

о ^с о г-нСМ см

0 2 ^ Т-Н СО 0 2 03 т-н о 03 т— Г-н О

^ с о оСО г-н юс о м оО О О

СО 00 N с оСО г-но о

с О о О О О О О О О О О о о О О О О О О О О О

о>.

ева 0

,6

с м йз» Ю с о ю ю с о с о

Ю с о со о з N^ СО СМс о с о с о

00 N N т-н см от-н 0 2 NСО (М СМ

Г-н т-н О0 0 с о ю^ ( М О см см см

СО 0 2 СО 'ф СО СО

с о о с о0 2 Т-н 0 2см см о

т-н с о о^ с о о0 3 О - СО О О О

СОО о 5 см о о

ик

. о о О О О О О О О О О о о О О О О О О О О О

со>>а .евXева>>

0,5

N см N ю о о

о о 0,3

97

7

0,3

85

2

0,3

67

7

0,3

45

2

0,3

18

7

0,2

91

7

0,2

65

8

0,2

41

4

0,2

18

7

0,1

49

3

0,1

47

3

0,1

41

3

0,1

31

5

0,1

18

3

0,1

02

3

0,0

84

0

0,0

64

2

0,0

43

3

0,0

21

8

0

а .

а»XX

0,4

т-н 04О з ю с о с о

^ ОЗ СО с о СО со Ю СО о■Н

СО 0 2 00 СО 0 2 ООЬ с о о СО СО с о

СМ О О О ^ О с о Ю со СМ СМ (М

ОО ЮО ООс о ЮТ—Н Т-Н

СО 0 2 0 0г-| о юю ^ см

с о N NСО ОО N О 0 0 СОг-н О о

СО 02ю см -§ » см о о

<и3о

о о О О О О О О О О О о о О О О О О О О О О

нО

0,3

Ю 00 с о

ю ю

СО 0 2 с о N СМ со 1— с о с о ю ^ ^

СМ Ю г-ню с о см 02 ю см СО с о с о

СО г нт-н СО 0 0 0 2 СО со см см см

02 СМо оо N СО

О ! N NО N Т-НСО ^ 2

О СО с ос о см оГ-н 0 2 Nг-н о о

^ 0 0 N с о ^ см о о

о о О О О О О О О О О о о О О О О О О О О О

0,2

02 СМ0 3 ^^ с о с о с о

N 0 2 N О О с о СМ с о Ю Ю - Ф

ОО СО СОО 0 0 г-нГ-н со с о ^ с о с о

О О О02 о Ю 0 2см см см

Г-н 0 20 2 юN N1-Н т—Н

N 0 2 ОО СО СМ Ю С О Ю С О

со о з СМ с о ^ смт-н 0 2 Nт-н о о

СО ^ с о ^ ’Ф <м о о

о о О О О О О О О О О о о О О О О О О О О О

о "

0,8

25

0

0,7

62

5

0,6

36

1

0,5

43

4

0,4

74

5

0,4

20

2

0,3

75

3

0,3

37

3

0,3

04

2

0,2

74

9

0,2

48

7 о оЮ Т-Н0 0 0 0

о о 0,1

70

6

0,1

56

0

0,1

38

3

0,1

18

3

0,0

96

5

0,0

73

4 'Ф оо 0 2 ^^ см о оо ’о 'о

о

0,8

25

6

0,6

52

4

0,5

51

0

0,4

79

1

0,4

23

3

0,3

77

1

0,3

39

2

0,3

05

8

0,2

76

3

0,2

50

0

0,1

87

5

0,1

82

7

0,1

71

9

0,1

57

1

0,1

39

2

0,1

19

0

0,0

97

0

0,0

73

8

0,0

49

6

0,0

25

0

0

а_о о

СМ со ^

О О ою с о о -

о" о о*00 02 о О О г-н" о о

см со ^

о" о ” оЮ СО N

о о" о"оо оз оО О Т-н"

Коэф

­ф

ици­

ент

3

47

Кру

глая

пл

ита

с на

груз

кой,

ра

вном

ерно

ра

спре

деле

нной

по

длин

е ок

руж

ност

и

як

\о

*с>

нкО)о

»я3я

к*=с

2о

»яЯ

кяяяСЗН

юяСоо,С

О О О О О О О О О О О

0,9

СМ о*

8 8СМ СМ (М

8 8 8(М <М(М О О О О О О

см см

8 8О О О О О О О О О О О

00о ’

со соО о см см

со со соО О О см см см

со со сО

О О О <М <М (М

СО ООо

О озсм о

о о О О О О О О О О О

СП.2н=

г -о*

оо оо ю ю о о СО со

00 00 00 ю ю ю О О О со со со

00 00 00 Ю Ю 1-0 О О Осо со со

ЮО 1—00 ОО1— о

с>.

о о О О О О О О О О О

ж«=<«Оо.

9*0 ю ю ю ю ю

^ ^ тр

ОЮ Ю !М

<м

см оо см соСО Г'--Г-Н О

5X

о о О О О О О О О О О

>о.исоЖ«0

юо* СО со

ю юТ*"

со со со ю ю ю

^ ю ^СО со

со со та* ю со см

^ сосо

со »— о

>>X о о О О О О О О О О О

а.а>5Xй>

■ч<о*

00 00 СО Х>со со

00 00 00 СО СО со со СО со

со ю о СО со о СО см см ^ со см

5 см со СО 1— О

НОX

о о О О О О О О О О О

Осоо*

ю ю03 03 СМ СМ 00 00

Ю Ю С О 03 03 со ( М ( М Ь ОС оо Ю

Г—• со 'З* Ю т-н 1— оз Отр см см

см о оо

см ю — о

о о О О О О О О О О О

<мо*

Г'- ^ т г ^

о о

О со т г со О ^ о — о ь - ю

СО СМ Г"- СО СО ОО (^ 1 ^ 0 0 СО (М '— '

см о^ Ю *— ю 1— О

1— 0 0 О О О О О О

о*

ОО 00 00 ООоз аз СО со

(М со"3< I"- Г-нсо см Г'-СО СО ^

г-н оз оз оз о

Ю Ю С О СО (М '

О со СО сог-н ЮТ— О

О О О О О О О О О

о

СО ^ о — <^ (М О Оо с юСО СО

СО ^ соСО Ю 00ч - ю ьСО СЧ г -

СО ^ 1— СМ

Ю 1— О

О О О О О О О О О

си Г -. <м со ^ ю со оо Оз оо о О О О О О О О О - н

Коэф

- фи

ци -

! ен

т

48

о О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О

0,9

10,

1002

0,10

020,

1002

0,10

020,

1002

0,10

020,

1002

0,10

020,

1002

0,10

020,

0950

0,04

990,

0494

0,04

790,

0454

0,04

190,

0374

0,03

190,

0254

0,01

780,

0093

0

со.о*

0,20

160,

2016

0,20

160.

2016

0,20

160,

2016

0,2)

160,

2016

0,20

160,

1951

0,18

00

0,09

930,

0983

0,09

530,

0902

0,08

320,

0741

0,06

300,

0499

0,03

480,

0178

0

о.2 ^1 ° с 0,

3058

0,30

580,

3058

0,30

580,

3058

0,30

580,

3058

0,30

580,

2977

0,27

890,

2550

0,14

760,

1460

0,14

140,

1338

0,12

310,

1093

0,09

250,

0726

0,04

990,

0254

0

;КИ

к ра

диус

0,6

0,41

540,

4154

0,41

540,

4154

0,41

540,

4154

0,41

540,

4047

0,38

690,

3516

0,32

00

0,19

400,

1919

0,18

750,

1753

0,16

080,

1421

0,11

920,

0925

0,06

300,

0319

0

сиИ ю- « ° о >> я

0,53

410,

5341

0,53

410,

5341

0,53

410,

5341

0,51

930,

4883

0,45

140,

4130

0,37

50

0,23

790,

2353

0,22

720,

2139

0,19

520,

1712

0,14

210,

1093

0,07

410,

0374

0

«3о.0>Я офэоя

0,66

810,

6681

0,66

810,

6681

0,66

810,

6466

0,60

430,

5567

0,50

910,

4633

0,42

00

0,27

830,

2750

0,26

500,

2483

0,22

490,

1952

0,16

080,

1231

0,08

320,

0419

0

осоо*

0,82

950,

8295

0,82

950,

8295

0,79

500,

7341

0,67

040,

6099

0,55

390,

5024

0,45

50

0,31

420,

3100

0,29

760,

2768

0,24

830,

2139

0,17

530,

1338

0,09

020,

0454

0

0,2

1.04

47

1,04

771.

0447

0,

9810

0,

8856

0,79

660,

7176

0,64

790,

5859

0,63

030,

4800

0,34

390,

3387

0,32

300,

2976

0,26

500,

2272

0,18

570,

1414

0,09

530,

0479

0

о”

1.39

881.

3988

1,23

971,

0717

0,94

000,

8341

0,74

600,

6707

0,60

520,

5471

0,49

50

0,36

550,

3585

0,33

870,

3100

0,27

500,

2353

0,19

190,

1460

0,09

830,

0494

0

о1

1,65

131,

3047

1,10

200,

9581

0,84

660,

7554

0,67

830,

6116

0,55

280,

5000

0,37

500,

3655

0,34

390,

3142

0,27

ьЗ0,

2379

0,19

400,

1476

0,09

930,

0499

0

О- т— СМ СО ^ ЮС01-"- ОООЗО

О О О О О О О О О о" г-н

г-н СМ СО ^ Ю со^ ОООЗО

О О О О О о о~ о о о * —

Коэф

- 1

фиии

- |

АНТ

'

5

4 А. С. Калманок 4 9

50

1,0

О

0,9 О О

соо*

соооо о ” о

ах25нк

с0,

7о 0,

0152

0,01

250

>><=(03Онил

9*0

05ооСЧо

ОО оО 05СО Г-4о о

текн

о о О О О

оа,<и«0носви>>К

0,5

0 0,05

000,

0581

0,04

660,

0256

0

Ло«<икя0)3о

0,4

о 0,08

480,

1003

0,08

75

0,06

250,

0322

0но

0,3

0 0,14

56

0,16

800,

1496

0,11

64

0,07

810,

0387

0

СЧсГ

0 0,26

300,

2821

0,24

600,

1958

0,14

34

0,09

270,

0448

0

о"СО т-н 1-0 N СЧ 0О 05 Ю ^ со

N г- СЧ Г-н }Н СО г-н СО СО СО СЧ г-н

О О Ю О О юТ-Н О

о О О О О О О О О О

о

1,15

13

0,80

470,

6020

0,45

81

0,34

660,

2554

0,17

83

0,11

160,

0527

0

О-О О*4

счсо ^ о о~ о

Ю СО Nо о" о

СО 05 О О 0~ т-н

Козф

-;фИ

ЦИ-

ент

Отн

ошен

ие

ради

уса

отве

рсти

я к

ради

усу

плит

ы

о

1,000

0

о

со СЧ 05^ 05го 05о О 05 от-н О о о

05 05 ь- со N05 1-0 СО 05 05т—н 05 05 N ооо Т-н 05 00 Т-Н От-н О о о о ” о

СО СО 1-0 N ^ сч05 ОЮСЧ сч СО 'ф05 Ю СО ^ ю СО 00о О 05 00 сч Т-Н О1—1 т-н О О о О О О

СЧ СЧ N N со т*н тн СЧ N00 ю О) СО N сою N 0005 Т-н со Т -н СО Ю Nо СЧ 1— 05 СО О- СО СЧ Г-н О•> •«Т-н т—< О О О о о О О О

СЧ со со со ОО О СО О СО 05 Т-н05 N О т-н т-н о оо Ю соСЧ 05 СЧ О г-н СО СО 05 Г-н Nо X*- т-н О 05 ОО N — со сч сч Т-н Ог-нг-^ О О О о ” о о о" о" о

ОО 05 т-н N с ч ь ю о т-н ю 05 ю О СЧ ю со 1-0 О- ^ ю Т-н СО о N05 оо оо СО ’Ф N 05 со со о ОО СОо ю СЧ О 05 СО N СО со СО сч сч Т-Н ОТ-Н т—• т—4 О О О О о О О О О О О

О 00 СЧ со Т* Т-н N Г-н 05 05 Ю Ю О СО ООСО 05 ^ 0 0 5 ^ Ю 05 СЧ N т-н со СО т-нСО СЧ ОО -ф 00 Ю СО ОО г-н Г -н Ю О ’Ф СО СЧ СОо” ОО со т-н 05 СО N со СО ’чН со СО СЧ т-н т-н ОГ-н т—н т—• О о О О О о о О О О О О О

Ю ’—1 СЧ СЧ г-н со Ю(Огн О ОО т-н N 05 Т-н оо соСО ОО г— ^ СЧ о N N 1^ 05 со СО т-н ОО СЧ со<м N о о т-н оо со 05 СЧ СО т-н со СЧ N СЧ со Г- Юо" т-н ю СЧ о о о ь СОСОЮ • н СО со СЧ СЧ Н Г-н ОСЧ т—1 ’—1 т-н о о О О О О О О О О О О О О

05 Г-н оо Ю N СО О- О- СО о СЧ 05 СО N N о счЮ N СЧ СЧ ^ 05 СО Т-н ОО СО ОО ОО СО со О со ^ ^ счСЧ О ^ ’Ф о 05 т-н ^ N СЧ 05 СО СО С75 ю о ю о юо ОО со СЧ О 05 N со ю ю со СО со СЧ СЧ СЧ т-н Т-Н оСЧ Т-Гт-Нг-Н о о о о ” о о о о о о О О О о - о оСО 1 - О т—1 со ^ со СО 0 0 о о ю 05 сч со 05 о СО СО 05^ СЧ ОО СО Ю СО г-н СЧ о Ю 1-0 со ^ ОО о. ^ N 05 051 «-О ООЮ т-н ю о N со ^ Т-Н N СО 05 ^ 05 'ф

о 1 СО СО т-н 05 0 0 N СО ( О Ю Ю со со со СО СЧ СЧ ’— 1 т— I о о1 Г“ 1 ,-Н гН О О О О О О О о о О О О О О О о о" о

•б4? & СП я К О КЖ-&

г- СЧ СО ^ Ю СО 1>- СО 0} О О О О О О О о"О О О г-н

4*

г-н СЧСО Ф Ю СО N ОО 05 о О О О О О О О О О О г-н"

(Я

а -

к

ч\ о

л

н

оXX<ичО)

§сисоло .

оXо .О)

о§ 8 ей Кей нСХ «

Си_ о

« м

5 « г & & ей Н К я о

>9В * 8 л ё 4 ж О1 «О2

ейНXчс

нкси2О2

>Я3 я из4гок«=(

н® е »<и м 2 | о к

» яаял4

к а - я <и и Я ГО

Н

\ оя

&схС

чо*

оооо

оо о юо смо ю смт- о о о

о ю 05о ю соо ех; 1—Н с оо Ю со 1г-н О о о о

оооо

оо ю со N ооС О т-н

о о о о о

оооо

'Ф СОг-< 00N соЮ СО

С О 1- нОО N0 5 о

о о о о о о

о с мО 0 5О ^ но ю

О - 00СО Ю0 5 Ь -СМ 1-Н

0 5 СО СМ юо ю

О

Т - Ч О О О О О О О

8 с о Nт-н оо

О СМ т—Iо с м

О г-ню ^СМ Nт -н О

С О с о ^ СМо о

о о о о о о о о

О ^ Г-н оо с м с м с оо ^ о юО С М 1- н о

с о оО 0 0СО 1- но о

Ю Nо ю*- Н оо о

о о о о о о о о о

о о о о о о о о о о

Т - Н С М С О ^ Ю С О Ь - О О О З Оо о о о о о о о ' о о т - н

52

чюгон

О)яяО)

к

§С*оси

с

1 1

О*©*

9.52

628.

5262

0,85

420

00©*

4.55

54

3,97

243.

5554

0,71

670,

3562

0

СП.

2нXчс

0,7

2,92

162,

4620

2,14

691,

9216

0,58

770,

3873

0,

1925

0

> .о>>Б«=*счсх«

0,6

2,12

501,

7105

1,44

14

1,25

69

1,12

.0

0,46

730,

3441

0,22

680,

1127

0

киСио>соно<яи>.

0,5

1,66

671,

2593

1,01

360,

8542

0,74

490,

6667

0,35

600,

2769

0,20

390,

1344

0,06

680

схй)кя0)3о

0,4

1,38

100,

9524

0,71

960,

5792

0,48

810,

4256

0,38

10

0,25

450,

2035

0,15

830,

1165

0,07

680,

0382

0

нО со©“

1,19

780,

7170

0,49

450,

3736

0,30

070,

2534

0,22

100,

1978

0,16

410,

1322

0,10

560,

0822

0,06

050,

0399

0,01

980

(М©*

1,08

330,

5046

0,30

210,

2083

0,15

740,

1267

0,10

680,

0931

0,08

33

0,08

710,

0691

0,05

570,

0446

0,03

460,

0255

0,01

680,

0083

0

©*

1,02

020,

2626

0,12

230,

0732

0,05

050,

0382

0,03

070,

0259

0,02

260,

0202

0,02

830,

0211

0,01

680,

0135

0,01

080,

0084

0,00

620,

0041

0,00

200

© | О О О О О О О О О О1 °

О О О О О О О О О

си 1-н с м со ^ О О О О О

Ю СО N

О О ООО 05 О о ” о " т -н о о

с м со ^

О О О

Ю С О Ь

О О О

ОО 05 О О О т-н

Коэф

­ф

ици­

ент

*ф

§

53

таяк

систао,

си0>о*ш та

а ? к

в2ц О О *» 2 & § и Ж та си = о

зЖ О

03я-л4

ялчтак*=*та

а , :

ьхокиООнЕ

О оСО оОО ою о

со со о О ^ о О ю N о ^ ^ ь- оо о

Ю со 1—< о^ со 0 0 о

' ОО СО о^ СО ОО Оо о о т-Г

г-1 Ю ОО оN со <М т-н О

0 О Ю Т-. СМ о^ со со о оо о о" о* *-7

© ■■З* N оз со ©00 »—I 1—• см ю ©п (М СО О О) ю ои ^ СО ОО ОО 0 3 ©

© о © © © «-7

© СО © СО 00 ©СМ т-< ^^ NСМ © т*<оо со ©

оо ©© ©N ©© ©© © © © © ©

N см00 1-хN оою N

© © ©ю © ©см ю N© © ©© © © © © © ©

со © © ^N N N 05Ю © ©N 00 © ©

© Ю соСМ © -ФОО ОО ©© © ©© ©N ©2 ? °© ©

© © © © © о © ©

© © © © с т о © © © © о© © © © © © © © О © ©© © © © © © © О С ! ) © ©© © © © © © © © © © о

1- СЗ 00© © © © © © © о © ©"г-7

54

Про

долж

ение

та

бл.

т*1 -ф © © см см го Ю

© © © N СМю с м ю © г-нЮ N Ю © юю © ю СОЮ ^ © О

© © © © —- СМ © 1-4см © ^ см© ^ —н ©

© ’ф © © ю © г-н © ю СМ г-н Ю см 1—' N СМ т-нСО см см см см

N со © СМ оо N © а з с о ^ ^ ©© Ю ГН Ю ^ © © СМ © оо N ©СМ СМ СМ г-ч у—I т—(

© тН © см г-< © ©1—' СМ © © 00 Ю 1—<1 СОЮ’—' N ОО (М со СО © N Ю т*< ^ СО

•©■ 3 ьЛ э *о з: а» ^•в*

ОО © Ю СО N О 00 N N "«ф СО О СО т-ч {■-*02 т-. аз |ч о ю см азг-н N СО СО СМ СМ »—н

СО © СО N 00 т—< СО СО СМ ОО N © © СО ©о о © © о ю с м © © а о©ЮСОМгНгНгнОО

см © т 1 © ©

N0010 СМ N N ^ © СО ~ С О Ю (М °

© О N © © © "ф © 00 © © © е N Ю ^ О!

© © © ^ 00 1—< © СО Т—<© © ю *-н © е N Ю © !—• <■о* о о о о

© см © со смТ ООООГ-СОСО N N N N Ю © , © © ^ © СМ 1— сО О О © ©" о"

СМ © © С4!© СМ N © © 0 4© с м с м с о © о о © 1о с м ©СМ © О) N © © © СМ СМ СМ © С М г н О О О О О О О

т-н см СО СМ © © оо© см © см © © т*« т-н © 00 © —нт—I т—I. ©©'фт^сОСМ’-нс-© о о © о © ©

© Г -М О 0 ЮСОСО ©^г1© © ^ - © © © © СМ N г—I 1Л ОО © © - © © ’ г^сосм ’—'т-нСо о ” о" о ” о* о о" о

СО О С О © О О ^СМ гнО СО *—< ,—I © © СО г-н NСМ © N © ОО СМ © ОО © -.Ю ^ ^ ^ © © С М г н © ^о о" о" о о" о о © о

©©©©©о ©©©©©© © © © © © © © © © ©© © © © © © © © © © ©© © О О О © © © © © ©

»— С М © ^ © © Ь - 0 0 © 0© о © © о* © © © ©” т-7

© © © © © © © © © © О Ю О Ю 0 1 0 ©Ю ©Ю © © СО Ю (М N СМ Ю СО © ,. Ю ^ ^ ^ ^ со сО С М гн © '1© © © © © © © "© © с?

1—'СМ©г^©©С^-0 0 © ©©" о* ©~ ©" ©'©’© © © -7

55

моментам М г, возникающим в плите с радиусом а в сечении с радиу­сом г (рис. 13). При равномерно распределенной по круглой плите на­грузке угол поворота определяется формулой:

рг3

гптггп

75

Ат

аг

УГ -* 1

- 2 г

Рис. 13

8 0 ' О

где К г — коэффициент из табл. 2 при Р = 1,0 и соответствующем р.

П ри действии на плиту изгиба­ю щих моментов т0, распределенных по окружности с радиусом Ь (рис. 14), следует рассматривать внеш­нюю часть плиты (вне радиуса Ь) как кольцевую плиту, находящуюся под действием моментов

1 - р2та = ~ — Щ , (2.34)

а среднюю часть плиты — как круглую плиту с радиусом Ь, находя­щуюся под действием опорных моментов

1 + Р 2ть : (2.35)

ТТ)0/~ Ч

.«-гттТТТТ

- Г -!

Мг

М3

тв

Яте

Рис. 14

Я

к , $

р - 1,0 т /м г

и г г г ц ш ш п п ш— 2.00- Л ,

5,00

•Мо

г>-М0

" 6■Чо

Эпюра Мг

^З Ш Г С Р ”---------------

в 1 Ш РЭпюра М&

Рис. 15.1

При этом угол поворота сечения, в котором приложены изгибающие моменты т0, согласно (2.31) равен.:

Лив

Агть Ъ р (1 4- Р2) а т п

О 2 0(2.36)

56

Ниже приводятся примеры, поясняющие пользование таблиц для различных случаев загружения и опирания круглых и кольцевых плит.

Пример 1. Требуется определить величины изгибающих моментов для кольцевой плиты со сплошной равномерно распределенной нагруз­кой р (рис. 15).

Усилия в кольцевой плите со сплошной нагрузкой- могут быть по­лучены путем суммирования усилий, возникающих в круглой плите того же радиуса под действием сплошной равномерно распределенной на­грузки и усилий, возникающих в кольцевой плите, загруженной по кон­туру отверстия силами С?о и моментами Мо, равными по величине и об­ратными по знаку соответствующим внутренним усилиям, возникающим в сечении круглой плиты, положение которой соответствует контуру отверстия кольца.

В круглой плите (рис. 15,а) по табл. 2 при Р = 1:М г = К г -1 -2 ,52 = 6,25 К г ,М ь = % 1 -2 ,5 2 = 6 ,25 К*',

откуда для р = г- ; = 0,4 , К г = 0,1575 и М 0 = 6,25-0,1575 = 0,98 т/м.2,, о

Кроме того, очевидно <Зо = 0,5 рЬ = 0,5 г/ж.При этом в кольцевой плите (рис. 15,6) от действия нагрузки — <Зо вели­чины изгибающих моментов находятся из табл. 4:

М . = — 0 , 5 /С. , М§ = — 0 ,5 /Со ,

а от действия нагрузки — М0 из табл. 5:М г — — 0 ,9 8 К г , Л% = — 0 ,9 8 К а .

Все вычисления удобно свести в таблицу. Ниже дается определе­ние изгибающих моментов М и ЛГ9 для различных величин р :

В круглой плите В кольцевой плите

рот внешней на­

грузкиот--С?0 о т --м„ Итого

Мг Щ Мг Щ Мг м ь Мг м ь

0 ,4 + 0 ,9 8 + 1 .1 1 0 —0,80 - 0 ,9 8 + 1 ,3 6 0 + 1 ,6 70 , 6 + 0 ,7 5 + 1 ,0 3 - 0 ,0 5 - 0 , 5 4 - 0 ,3 3 + 0,71 + 0 ,3 7 + 1 ,2 00 , 8 + 0 ,4 2 + 0 ,9 2 —0,03 - 0 , 4 2 —0 ,1 1 + 0 ,4 8 + 0 ,2 8 + 0 ,9 81 , 0 0 + 0 ,7 8 0 —0,34 0 + 0 ,3 8 0 + 0 ,8 2

Пример 2. Требуется определить величины изгибающих моментов для круглой плиты, защемленной по контуру и опирающейся на кольце­вую опору, загруженной сплошной равномерно распределенной нагруз­кой р (рис. 16).

Усилия, возникающие в плите с дополнительной кольцевой опорой, могут быть определены как сумма усилий, возникающих в плите без дополнительной опоры (рис. 16,а) и усилий опорных реакций, возни­кающих от действия равномерно распределенных по окружности, совпа­дающей с расположением дополнительной опоры. Величины последних

57

определяются из условия равенства нулю прогибов плиты в месте рас­положения опоры (6 = 0,4 а).

Определяя прогиб плиты в месте расположения дополни­тельной опоры (в случае ее отсутствия) от равномерно распределенной нагрузки р, предварительно находят величину опорного момента. По табл. 2 при р = 1 и р = 1 : К& = 0,125 и, следовательно, Л1° = —0,125 ра2. Далее при Р = 1 н р = 0 ,4 находят по табл. 2 К и, = 0,0635 и по табл. 6 К т'= 0 ,42.

Таким образом, от равномерно 0,25 р-Ь-00 к г / м 2распределенной нагрузки прогиб в защемленной по контуру круглой плите при р = 0 ,4 будет:

юр — (0,0635}

= 0,01

0 ,1 2 5 0 ,4 2 )

ра4

ра4

О

I—— а — (-«—

р к п п ш ш ё ш ш ш ^ ^

Эпюра Мг

Зпю ра М3

Рис. 16

л

\+^-2-3,20--6Л0 ^ ----------2 Ь,0~-8,0

,Р

И

Юо ГПп

Эпюра Мг,

Эпюра М3 Рис. 17

Аналогично определяется прогиб плиты от действия неизвестных усилий §■, равномерно распределенных по окружности радиуса Ь в ме­сте расположения дополнительной опоры. Здесь предварительно нахо­дится величина опорного момента по табл. 3: при р = 0,4 и р = 1: /<$ ===0,42, а следовательно, М® = —0,42 §а. Далее при (3 = 0,4 и р = 0,4

: К т = 0,2249.Таким образом, от равномерно распределенной по окружности ра­

диуса Ь нагрузки прогиб в защемленной по контуру круглой плите при р = 0 ,4 будет:

щ = ( - 0 ,2 2 4 9 + 0 ,4 2 -0 ,4 2 ) = — 0 , 0 4 8 5 .

58

Из условий равенства прогибов и)р + ха>в = 0 получается:0,011ра4 = 0 ,0485^а26 .

Отсюдара2

3 = 0,227 ь - = 0 ,567ра .

Наконец определяются изгибающие моменты в сечениях плиты.1. Опорный изгибающий момент на контуре плиты:

М°г = ( - 0,125 + 0,227 • 0,42) ра2 = — 0,0295 ра2 .

2. Изгибающие моменты на дополнительной кольцевой опоре:М , = ( 0 ,1575 — 0,668-0 ,227 -0 ,0 2 9 5 ) ра2 = — 0,0237 ра2 ,

М 9 = (0,1775 — 0 ,6 6 8 • 0 ,227 — 0,0295) ра2 = 0,0037 р а 2.

3. Изгибающие моменты в центре плиты:М = М Ь = (0 ,1 8 7 5 -0 ,6 6 8 -0 ,2 2 7 — 0,0295) ра2 = + 0 ,ООбЗра2.

Пример 3. Требуется определить изгибающие моменты для круглой плиты с кольцевым ребром, загруженной сплошной равномерно распре­деленной нагрузкой р (рис. 17).

В плите за счет кольцевого ребра возникают равномерно распреде­ленные по концентрической окружности изгибающие моменты т0, вели­чина которых находится из условия равенства углов поворота сечения плиты в местах расположения ребра и поворота ребра в радиальном направлении.

Углы поворота плиты под действием равномерно распределенной нагрузки р и изгибающих моментов то находятся по формулам (2.33) и (2.36). Под действием же изгибающих моментов то в круговой балке прямоугольного сечения, у которой верхняя фибра не имеет радиально­го перемещения, возникают углы поворота, равные:

2 _ 3

4.Е7,

Условия равенства углов поворота дает уравнение: рб3 ра26 т„ (1 + р2) Ь _ т 0 Ь28 0 О 2 0 ~ 4 Ш <>

Отсюда8 К г + Р2

4 ( 1 + Р 2) + - Е]

3 2При р = = 0 ,8 и Р = 1 по табл. 2 : К г = 0,0675.

4Кроме того, по принятым размерам

6 0 0 , 13 - 3 ,2 0

Е *ь 0 , 33-0,25= 0,475

59

Отсюда получается:(8-0,0675 + 0 ,82)-0 ,4 -4 2

т п — --------------------------------------= 1 тм .0 4 (1 + 0 , 8 2) + 2-0 ,475

Окончательные величины моментов находятся суммированием ве­личин моментов, действующих в плите от сплошной равномерной на­грузки и от изгибающих моментов то, распределенных по концентриче­ской окружности радиуса г = 3,2 м. Так, например:

а) в центре плиты:1 I А ф 2

М = Мп = 0 , 1875-0.4-42 — ....—..^— -1 = 1 , 2 - 0 , 8 2 = 0 ,3 8 яш .г а 2

б) с внутренней стороны ребра:М г = 0,0675• 0 ,4 -42 — 0 ,82 = — 0,388 тм ,

= 0 , 1475-0 .4-42 — 0 ,82 — 0,114 тм

и т. д.

3. Некоторые более сложные задачи осесимметричной деформации круглых плит

А. Круглая толстая плита, свободно опертая по контуру, загруженная сплошной равномерной нагрузкой

Величины прогиба и изгибающих моментов в центре плиты, где они достигают наибольших величин, определяются по формулам:

М м

ра4 (5 + а) : 6 4 ( 1 + [ х ) 0

ра2 (3 + р.) 16

1 +

1 +

2 (8 - (х2) /г2

5 (1 — Iх) (5 + (х) а 2. 2 (2 + ц) Л2

15 (3 + |х) а2

(2.38)

Вторые слагаемые в квадратных скобках представляют собой по­правки к решению (2.7), учитывающие влияние толщины плиты.

Б. Круглая упругая плита большого прогиба, шарнирно опертая по контуру на жесткие несближающиеся опоры, загруженная сплошном

равномерной нагрузкой

Приближенное решение задачи может быть получено путем расчле­нения заданной нагрузки р на две составляющие: рь вызывающую из­гиб плиты, как плиты малого прогиба и рг, вызывающую изгиб плиты, как круглой мембраны, натянутой с небольшим начальным напряжением на недеформируемый контур.

Решение последней задачи для случая сплошной равномерной на­грузки получено Генки. Д ля определения величин прогиба в центре и

погонного натяжения в центре и на контуре при (х = 0 ,3 даны фор­мулы:

з / — г 3) / 4 ________и>макс= 0,662 у ^ , \Ы Г\г = 0 = 0 ,423 у " р 2 о2

3 _______1 # , | , =а = 0,328 У '’р 2 а2 Ек .

(2.39)

Величины нагрузок р\ и р2 находятся из решения системы урав­нений:

Р \ + Р2 = Р,

0,696 рх а4— 0,662 \ / . (2.40)

Ек? V ЕНПосле чего на нагрузку р\ пластинка рассчитывается по формулам

(2.7), а на нагрузку р2 по формулам (2.39) и полученные таким обра­зом напряжения в плите суммируются.

В. Круглая упругая плита большого прогиба, жестко защемленная по контуру, загруженная сплошной равномерной нагрузкой

По приближенному методу С. П. Тимошенко прогиб в центре плиты находится при [л = 0,3 из решения кубического уравнения:

+ 2 ,05/г2тд — 0,349 — ^ - = 0 , (2.41)

после чего величины прогибов и изгибающих моментов находятся по формулам (2.13), в которых величину действующей нагрузки следует считать равной:

Р = -------— ----- -2 ' (2 ‘42)А2 + 0 ,488Шд

Величины растягивающих усилий при этом будут:

Екий Екпа!I ЛМ г=о = 0,976 - т - , |Л Г ,|г=а= 0 ,4 7 6 -----— • (2.43)

4. Упруго-пластический изгиб круглых и кольцевых плит, загруженных осесимметричной нагрузкой

При расчете круглых и кольцевых плит в упруго-пластической ста­дии по методу предельного равновесия, форма разрушения в случае осесимметричной деформации принимается в виде конуса или усечен­ного конуса (рис. 18). Д ля круглой плиты последняя форма разрушения может иметь место только в случае неоднородного материала с различ­ными значениями предельных моментов в радиальном и тангенциальном направлениях (железобетонные плиты). Работа предельных тангенци­альных моментов по образующим конуса равна:

Л* - ЛЧ <2 '«>

61

Работа предельных радиальных моментов при переломе по паралле­ли г:

= м. 2 к г 2 я р

р) Мтпр"Р (а — г) (1

Работа предельных опорных радиальных моментов поконтуру в случае защемления плиты на опоре:

2 тс а 2 тсУИ" -М "

■ р) 'пр

(2.45)

опорному

(2.46)' пр (а — г) (1

Д ля неоднородного материала типа железобетона задача расчета плиты по методу предельного равновесия может иметь различные реше­

ния, в зависимости от соотношения между величинами предельных моментов М

Рис. 18

М г пр и М ,пр ■ Приводимые ниже форму­лы выведены из следующих положении, обеспечивающих наиболее экономичное ар ­мирование плиты:

а) величина предельного тангенциаль­ного момента определялась из условия по­лучения формы разрушения плиты по конической поверхности без переломов по параллелям;

б) величина предельного радиального момента — из условия, что указанная форма разрушения будет наиневыгоднейшей.

При этом для защемленных плит при­нималось предположение о равенстве вели­чин предельных тангенциальных и опор­ных радиальных моментов, как это имело бы место в Ълучае однородного материала.

А. Круглая плита, свободно опертая по контуру (рис1. 7)

а) Нагрузка, равномерно распределенная по всей площади круга:

Щ =°прМ =

Г п р

р (1 — р2) а 2

6(2.47)

б) Нагрузка, равномерно распределенная по площади круга ра­диуса Ь:

на участке р < Рра*

[Р2 (3 — 2 р) — р2] , (2.48)

на участке р > РрЪ2 рб2 8 (1 — р)

Ма = — (3 — 2В) , М = — —------ —апр 6 V 1 ’ '•пр Зр

(2.48а)

в) Н агрузка, равномерно распределенная по площади кольца с внутренним радиусом Ь:

р а *на участке • р < Р

ра?« . п р - Т [! — Р2 (3 — 2р)], М(.пр= ^ [ 1 - р М З - 2 р ) ] , (2.49)

М лра

на участке р > р ра2

“пр[1 — Р2 (3 — 2Р)1, М =

6 1 ' Vп ''пр 61

рз+ 2 (1— р) рз. (2.49а)

г) Нагрузка, равномерно распределенная по окружности радиуса 6 : на участке р > Р

М * п р = Р ( 1 “ Р) 8 а ' м г п р = ^ 1 ~ ^ е а ’

на участке р > р

Ра (1 — Р )Щ пр = Р (1 - Р) Ва , М г а = ------ ------- 8 а.

д) Н агрузка сосредоточенной в центре круга силой:Р

М л м = о .''пр

(2.50)

(2.50а)

(2.51)"пр 2 л

Б. Круглая плита, защемленная по контуру (рис. 8 )

а) Нагрузка, равномерно распределенная по всей площади круга:

МА"пр

ра1

1 Гм

■ пр

ра2 (1 — 2 р2) 12

(2.52)

б) Нагрузка, равномерно распределенная по площади круга ра­диуса Ь:

на участке р < Р ,2

М л"пррЬ212~ *7 ’ " V

ра^12

[Р2 (3 — 2 р) — 2 р2] (2.53)

на участке р > РрЬ2 рЬ2

М„ = — (3 — 2Р) , М =#пр 12 ''пр 12

4 — — (3 + 2р)] . (2.53а). Р

в) Нагрузка, равномерно распределенная по площади кольца с внутренним радиусом Ь:

на участке р < Р

=стпр

ра*

~\2(1 — Р2 (3 — 2Р)] , Мгп =

ра*

1 2[1 — р2(3 - 2 р ) ] (2.54)

на участке р > Р ра2

Щ пр = ^ [1 Р2 (3 — 2 р)],

М гпр

ра*5

Т Г1 + р2 (3 — 2 р) — 2 •

рз + 2 (1 — р) р3(2.54а)

63

г) Н агрузка, равномерно распределенная по окружности радиуса Ь:на участке р < Р , : 4.

, ? ( ! - » » < ■ м , Н 1 - Й » . 2 55)"пр 2 'пр 2

на участке р > Р

_ ( 1 _ Л 1 . ( 2 . 5 5 „"пр 2 гпр [ р 2

д) Н агрузка сосредоточенной в центре круга силой:

М„ = — , М = — — • (2.56)"пр 4я 'пр 4 *

В. Плита в виде кругового кольца, свободно опертая по одному контуру(рис. 1 0 )

а) Нагрузка, равномерно распределенная по всей площади плиты:

д , = р а 2 (1 + Р ~ 2Э* )-- , М = - ^ - ( р - Р ) ( 1 - р ) ( 1 + Р + р ) . (2.57)пр 6 ГпР ор

б) Нагрузка, равномерно распределенная по свободному краю плиты:

^ п р = ^ ’ М.п р = ° - (2 -58)

Г. Плита в виде кругового кольца, защемленная по одному контуру(рис. 11)

а) Нагрузка, равномерно распределенная по всей площади плиты: ра2 (1 + р - 2 р2) ( 1 - р )

^ п р 6 (2 — Р)

пр 6 [_(2 .59 )Г(Р — Р) (1 — Р) (1 + Р + Р) _ (1 + Р - 2 Р 2) '

Р 2 - р .б) Нагрузка, равномерно распределенная по свободному краю

плиты:в (1 - _ Р)еь м = (2 60)

пр 2 — р Гпр 2 — р

Д ля плит из однородного материала расчетной величиной предель- э изгибающего момен’

денным выше формулам.ного изгибающего момента всегда будет Л^апр> определенное по приве-

III. И ЗГИ Б ПЛИТ, ИМЕЮ Щ ИХ ФОРМУ БЕСКОНЕЧНО ПРОСТИРАЮ Щ ЕЙСЯ ПОЛОСЫ ИЛИ ПОЛУПОЛОСЫ

1. Цилиндрический изгиб упругих плит малого прогибаЕсли прямоугольная плита с большим отношением сторон а / 6 = 7

нагружена постоянной по длине а нагрузкой, то для средней части этой плиты, достаточно удаленной от поперечных сторон х = 0 и х = а можно считать, что деформация плиты является функцией только одной

64

координаты у, и упругая поверхность плиты представляет собой неко­торую цилиндрическую поверхность.

Д ля этой части плиты можно положить дифференциальное уравне­ние изгиба независимым от коордийаты х и принять его для случая упругой плиты малого прогиба в форме:

Свод, опертый

ГТТ1ИП1Т1И 1111ИIIII1111П НI !'| ИIII1111111II111111111 ч 11111111111111111......II

Ш О “ Г■ «а •

что отличается от дифференци­ального уравнения изгиба обыкновенной балки только тем, что вместо обычной хлест­кости балки на изгиб Е1 в не­го входит цилиндрическая жесткость пластинки Ь . Здесь могут быть применены для расчета плиты все приемы, употребляемые при расчете балок.

Практический интерес представляет вопрос о том, при каком значении х плита может рассчитываться по уравнению(3.1) и как далеко простирает­ся влияние моментов Ма .

В табл. 7 даны результаты решения задачи изгиба беско­нечно простирающейся в виде полуполосы упругой плиты м а­лого прогиба, загруженной сплошной равномерной нагруз­кой, при различных граничных закреплениях на контуре. Все­го рассматривается шесть ва­риантов граничных закрепле­ний полуполосы (рис. 19) при значении ^ = 0 . Величины прогибов и изгибающих мо­ментов М а и М ь приводятся для точек, расположенных на геометри­ческой оси полуполосы.

Наибольшие значения изгибающих равны:

2 - I -

И

0

I! I и 11 I н а Ш 1Ш 1.111 Н И Щ ч III 11<Ы I и ч^шшгшштштцлиппшшшц

о

XIРис. 19

моментов М а на оси плиты

для схемы I:

для схемы II:

для схемы III:

для схемы IV:

для схемы V:

для схемы VI:

х = 0 ,3 3 6 .

х = 0 ,63 Ь.

х = 0 ,22 Ъ.

х = 0 ,27 Ъ.

х = 0 ,47 Ь.

х = 0 ,55 Ь.

М а = 0,0238 рЬ2,

М а = 0,0175 р&2,

М а = 0,0133 рб2,

М а = 0,0167 рЬ2,

УИа = 0 ,0092р62,

М а = 0,0122 рЬ2.

5 А. С. К алм анок 65

Беск

онеч

но

прос

тира

ющ

аяся

по

лупо

лоса

, за

груж

енна

я сп

лош

ной

равн

омер

ной

нагр

узко

й

Про

долж

ение

та

бл. Осч

8Оо ю ою сч оСМ со Ог-н О О

NоюооN ОО Nсч со о г-н О О

Т-Но о СО сч 05

с о о счо сч со оо о оо о о

Nю N СО05 со сооо Т-нюо 8

о о о о

о05сооосо О со1—• N СЧО Т-нт-н О о

сосчсоооСОсо 05 ю

ОО СО т-нО О О

N ю сосч о 00 СОо ю сч Т-Но о о оо о

1о о

05сч ю оТ-Н о ю соо соо о о оо о о~ о

оооооО О ОО О ОО О ОО О О

о со ш оз5 5

5 *

оСО со Nсч со т—Но 00о о^ оо" о"

Iо"

СОю о Т-нсч со т-но ооо^ о^ оо* о о~

оооо

юсчоо

05 0500 т-нСО оо о

Nсч N о осч N СО Ю8

Nо соо ооо о

1о о

<мо ю 00 т—НТ-н со 05 05о СО сч оо о о оо о о о

00

оо

05оюосо сосч оосч оо о

счоооо

NоосооЮ СОсч счТ-Н Оо о

осч о юю ю счо сч СОо_ Т-Н оо ” о

1о

со1—Н 00 05ю соо сч СОо о^

оN Т-н 05оо ^ю оо о

00о

со сот-н 05 8 8

о о о о

оооооо

05 т—<N счСО Г-но о

счсосчоо

оо соОО 05сч оо ооI

сооооЙо_о

со СО^ юО т-но о

ооооооо о соо юо юо о

СО 05N оТ-Н Оо о о” о"

INооо

05 00ю соо счо оо ” о

оооооО О соО О оо8 0 Nо оо” о о

67

Мно

жит

ели

при

числ

овых

да

нны

х:

для

прог

ибов

:

2. Свободно опертые, бесконечно простирающиеся упругие тонкие плиты малого прогиба, загруженные местной

нагрузкой

При нагрузке р, распределенной по площади некоторого прямо­угольника со сторонами а0} Ь0 для весьма длинной прямоугольной плиты наиболее опасным будет случай, когда оси прямоугольника ао, Ь0 совпа­дают с осями плиты (рис. 2 0 ).

Решение задачи следует искать исходя из расчетной схемы беско­нечно простирающейся полосы при помощи метода простых рядов в форме (1.35). Уравнение упругой поверхности здесь получается различ­

ным для участков х > —ао/2 , х < — а0/2 и а0/2 > х > —а0/2 . Д ля первых двух участков его можно представить в виде:

П — сорЬ*

■ Еп = 1

X

X

п—1

(— I )2 [1 + ( - 1)п + 1 1 X

пк Ь0 пк (6 ------------ 31 п ----------

2 6

п к а0 2 Ь

2у) Г/ \ п к х

1 М ~

]зЬ

п к а 0 2 Ь

2 Ьа для последнего в виде

п - сорЬ4

п—1

п к а 0с Ь -

п к х

2 (— 1 ) 2 [1 + ( - 1 )п+1] п к Ь рп - 1

ПКХ

Л5

■ зЬп и х ]

Ь

п тс а0"~ 2Г 51П

З т л 2 Ь

п к {Ь + 2 у)

(3 .2 )

2 +

(3.2а)

где шо — уравнение упругой поверхности бесконечно простирающейся свободно опертой полосы, загруженной по всей длине той же нагрузкой, что на участке а о /2 > х > —ао/2. Это уравнение имеет вид:

для среднего нагруженного участка Ь0/2 > у > —6о/2.:

24 0

Ю» =

[</4- Ь0 (26 - &„) у*+ ( б § - Ш 20 + 8 6 3) ] ; (3.3)

гков у> Ь 0/2 и у < — Ьо/2:

( б - а д ) [(362 - ь 1 ) - ( ь - 2 \ у \ у у

для боковых участков у> Ъ 0/2 и у < — 60/2

Рб0 (3.3а)

68

Наибольшие значения изгибающих моментов в плите имеют место в центре плиты, где они при /л. = 0 :

М х _ Ра » Ь V [1 + (— П"+1] п к Ь »п2 ■81п "1 Г е

п = 1

М у =рЬ0 (26 — Ьд) _ рЬ2

8 ~~ гсз[1 + ( _ ! ) « + » ]

/1 = 1

. П я 6„ - 51П— - — е

26

«з

Л ТСйо' ~2<Г

2 +(3.4)

По этим формулам определены числовые данные в табл. 8 .Д ля случая загружения бесконечно простирающейся свободно опер­

той полосы, сосредоточенной в начале координат силой Р, решение зад а ­чи получается, если положить в формуле (3.2) ра0Ь0 = Р и предположить, что а0 и 60 стремятся к нулю. Таким образом, в результате предельного перехода получается:

П— 00я—-1

РЬ2 \ (— 1) 2 [1 + (—1)п+1] Л .4тс3/) я3 \

п - 1

)I П К Х

Ь т с ( 6 + 2 у)( 3-5)

причем наибольший прогиб (в точке приложения силы) равен:

Р 6 а“ 'макс = 0 , 0 1 6 9 6

О

Изгибающие моменты при величине коэффициента ^ = О опреде­ляются по формулам:

М х = -Р \ ( — 1) 2 [1 + (— 1)"+1]

пкхЬ

п—1

1 -

пкхЬ

51Ппк(Ь + 2у)

(3 .6 )

70

п—1

(— 1) 2 | 1 + ( — 1 Г + 1 11 +п (3.6)

п = 1

пкх \ Ь | . пк(Ь + 2у)

Их величины в начале координат равны бесконечности. Подоб­ные результаты встречаются всегда при расчете плит в упругой стадии на действие сосредоточенных сил [см., например, формулы (2 .11),

На рис. 21 приведены графики изменения прогибов и изгибающих моментов М х и М у вдоль оси х для рассматриваемого случая. Из этих графиков можно заключить, что влияние сосредоточенных сил затухает довольно быстро и практически распространяется на ширину, не боль­шую полутора пролетов плиты в каждую сторону от точки приложения силы.

Расчет в упруго-пластической стадии дает для случая действия сосредоточенной силы значения изгибающих моментов, согласно фор­муле (1.61):

что и можно рекомендовать для практических расчетов.Пример 4. Требуется определить наибольшие изгибающие моменты

в весьма длинной свободно опертой плите пролетом Ь — 3 м от на­грузки оборудованием весом 3 ООО кг, распределенной на площади 1,8Х0„6 м в случае (л. = 0,25.

Если нагрузка расположена широкой стороной вдоль длинной стороны плиты:

(2.17) и (2.22)].

Рис. 21

71

По табл. 8 находят:М а = 0,101 -3 ООО = 303 кгм; М ь = 0 ,135-3 ООО = 405 кгм

и окончательно:Оа = 303 + 0 ,25 -405 = 404 кгм;Оь = 405 + 0,25-303 = 481 кгм.

Если нагрузка расположена узкой стороной вдоль длинной сто­роны плиты:

••^— 0 ,6 . — = 0 ,2 .6 Ь

По табл. 8 находят:М а = 0 ,064-3 000 = 192 кгм, Мь = 0 ,18 -3 000 = 540 кгм

и окончательно:О а = 192 + 0 ,25 ■ 540 + 327 кгм ,Оь = 5 4 0 + 0 ,25-192 = 588 кгм-

3. Цилиндрический изгиб упругих плит большого прогиба

а) Пластинка с шарнирно неподвижными краями, загруженная сплошной равномерной нагрузкой (рис. 22,а)

Наибольшие прогиб и изгибающий момент будут иметь место в середине пролета, а распор N постоянен по всей длине:

ту и * N = ■АиЮ

/ 2М м

р12 2(1 — зесЬ и)

N

I

из

5 р / 4X

Рис. 22

3840

24(зесЬ г/—1)— 12и2 5и*

(3.7)

где приближенная, с точностью, до 0,5%, величина параметра и может быть найдена путем решения уравнения:

и 1 + — и*•к]/' 3 5р1*

2А 3840(3.8)

б) Пластинка с защемленными краями, загруженная сплошной равномерной нагрузкой (рис. 22,6)

Здесь наибольший прогиб имеет место в середине пролета, наи­больший изгибающий момент на опоре, а распор N постоянен по всей длине:

72

лг =4иЮ_

I2

^макс —

Ломакс — | 2

1 / и2 и

р / 2 3(и — 1Ь и)

и2 (Ь и иР14

3840 5и4 V 2 1 зЬ « Ши

(3.9)

где приближенное, с точностью до 0,5%, значение и может быть опре­делено из уравнения:

/ и2и2 \ * ] / 3 /> /4

2Л 3840(3.10)

Величина изгибающего момента в середине пролета найдется по формуле:

р12Мср = ~

2 (и— Л и) 1

и21Ь и Ш 2

и2 и и

2 ^. (3.11)

в) Пластинка нулевой жесткости (мембрана), загруженная сплошной равномерной нагрузкой

Приближенно величина распора, воспринимаемого неподвижными опорами, определяется по формуле:

зN

Величина наибольшего прогиба в середине пролета по формуле:

При н -= 0 ,3

N = 0 ,3 2 0 У р 212ЕН .

«аКС= 0 >400| / А|Р— ■

(3 .13)

73

IV. И ЗГИ Б ПРЯМ ОУГОЛЬНЫ Х ПЛИТ, СВОБОДНО ОПЕРТЫ Х ПО ВСЕМУ КОНТУРУ

1. Решение задачи расчета прямоугольных плит, свободно опертых на противоположных сторонах по методу

простых рядов

Решение (1.44) в простых рядах дает возможность расчета пря­моугольных пластинок, у которых только на одной паре противополож­ных сторон имеют место граничные условия свободного опирания, на остальных двух сторонах граничные закрепления плиты могут быть про­извольными.

Здесь целесообразно представить решение (1.44) в несколько пре­образованных формах, из которых можно указать две, особенно при­годные для указанной цели. В дальнейшем будем обозначать отноше-

ание сторон плиты, параллельных координатным осям х и у через 1 = — ,

тк— = а, чпк' = р

Тх У

и использовать безразмерные координаты $ = — и -п = —— . Однаа Ъ

форма представляет решения через начальные параметры; п — 00

* = 1 К Ч (М ) + с („2)й 1 (М ) +п — 1

+ С % 2 (М ) + С % % (М )] 51Пп щ , (4.1)где функции (Р,$)удовлетворяют так называемым условиям Коши:

Й0 ( М ) = 1 , 2о (Р.О) = 0 , &оСЭ.О) = 0 , 0 ’ (Р ,0)С =0

0 ,0 ) = О, 2 | ( Р , 0 ) = 1 , й" (Р ,0 ) = О, 9 " ( Р , 0 ) = 0

а 2 (р ,0 ) = 0 , о ' ( р , о ) = о , а ’2 (р.О) = 1 , д " ( р , 0 ) = 0

а 3(Р -°) = 0 ' 2 з 0 .0) = о, а ; (р ,о ) = о, й3"(р,о) = 1 .

Эти функции выражаются так:

Д ля дифференцирования и интегрирования этих функций исполь­зуются равенства:

/ ПК \ /2 0 ( М ) = - [ — ) 2 з ( М ) , 21 (Э,е) = 2 0 №,$).

/ П К \2 ,2 2 (р 1г) = 2 1 ( р , г ) - — е 3 (р,5), 2 3 (р,$) = - р 2 №,5).

(4.3)

Другая форма, предложенная автором, особенно пригодна в том случае, когда действующие на плиту внешние нагрузки не зависят от координаты х или зависят от нее только линейно. Она имеет вид:

п= ° °

- 2 - о ( — ) [ » , х , < р . о - а д + < « . ® . 0 +п - 1

+я„Хо(Р.(1 — ? ) )+ «„Хо(Р.б) + <7л] 51П ПЩ, (4.4)

где через основную трансцендентную функцию

Х о ( М )

и функции с индексами к:

(2—р с*ь э) зь ре—эе сь ре)Х о(М ) = ---------------(4>5)

Функция Хо (Р^) находится по формуле

Хо (Р .5 )= Х о (М )- М С 2 (М ) . (4-7)а тп , т п, пп и пп постоянные, подлежащие определению.

Следует заметить, что:Хо(Р.О) = 0; хо (р,1) = 1; Х2 (Р,0) = 0; Ха (РЛ ) = 0;

Х4 (Р.0) = 0; Х« (Р.1) = — 1 ■

Три функции Х*(М )) различных индексов связаны между собой равенством:

Хг-2 ( Р ^ )— 2Хг (Р.е) + Х/ + 2 (Р.5) = °- (4.8)

Кроме указанных функций для симметричной деформации плиты используются функции

С* (р. ( - ~ е ) ) ) = = х г ( Р . ( 1 - 5 ) ) - ( - 1 ) т Х | (М ) . (4.9)

Д ля обратно симметричной деформации плиты соответствующие функции будут:

XI (Р.О - 5)) + ( - 1)'+ 1 х* ( М ) = XI ( у . (1 -25 )) . (4 .10)

75

Д алее приводятся используемые в дальнейшем разложения в ряды по синусам функций XI №• 6) при четных значениях индекса (

Го (М ) = Ц 2(— 1)т+1 п (т,п) 81П тъ% =т - 1

т — со

= 5 — —12----— 82 (т,п) 31П ти«,т - 1

т= оо

Х2 (М ) = X ! —— ------ — 6о {т .п) з т т я $ ,ТСт ~1

т = о о :

XI (М ) = — ----- Я »1 (« .л ) 51 п тл $ =т = 1

т= оо

= — $ + У - (- -1 ) т + — 52 ( т ,я ) з 1 п ,-ггт = 1

где введены обозначения коэффициентов;

Ь0 (т,п) =( т 2+ 72л2)2 '

В2 ( т ,я ) = ■т 2

1 (т.п.) =

Ъ0 (т,п),

Т2,г» 50 (т .ге),

&! ( т ,п) = 5Х ( т , п) + 250( т , п ) ,

52 (т ,п ) = Ь2 (/л ,я) + 2 8 0 (т ,п ) , связанных соотношениями:

5х (т ,п)-{- 250 (т ,п) + 250 (т ,п ) :

= 5Х (т,п) — 280 (т,п ) (т,п)= _1_тп

и если обозначить 7 '_л_

7[В0 (т ,п )] Т= [50 (п,т)] / ,151 (т,п)] 1= [Ъ2 {п,т)\[Ь2(т,п)\ т= [61 («,/и)] т\

(4.11)

(4.12)

(4.14)

Чтобы перейти в разложениях (4.11) от переменной 5 к перемен­ной ( 1— $), достаточно вспомнить, что:

з т ттс (1 — Е) = — (— 51п т я { .

76

В приложении даны таблицы I—V значений функций х& (М ) для индексов к от 0 до 4 для различных значений аргумента Р и пере­менной 5 . Примеры использования этих таблиц приводятся ниже.

2. Упругий изгиб свободно опертых по всему контуру прямоугольных плит малого прогиба

В случае действия на плиту обобщенной гидростатической нагруз­ки ( 1.4 4 ) (рис. 23), функция, представляющая собой закон изменения интенсивности внешней нагрузки, разлагается в ряд по синусам:

Р + <?«? + Яь'Ч— ^ — ( [ ! + ( — 1)п+1] (р + Я<&) +шс 1п= 1

+ (— 1 )п + 1 яь) 51пши). (4.15)

Решение задачи изгиба такой плиты представляется в виде:Л= ОО

2 Ь* V* 51П п щ26* у

п = 1([ [1 + ( - 1)"+ 1 1 Р + ( - ! ) П+1 Яь] [ 1 -

+ [1 + ( - 1)"+ 1] ^ [ 6 - ^ ( М ) ] } . (4-16)

или выделяя элементарные решения, соответствующие цилиндрическо­му изгибу плиты, в виде.

т = (Р+ ^ (Ч« - 2т]3 + т,) + - ^ 7 7 (3 ^ - Ют]2 + 7)

- С о • - 5

2 4 0

264 у-гг 5 Г )тФГ) пъ

п = 1

360Я

[1 + (— 1)"+1] Р +

+ (_ 1 ) » + 1 ^ | Ц р . — 5 ) ) -Ь [1 + (— 1)п + 1]^Х о (Р.2) } . (4.16а)

Отсюда, используя общие формулы (1.18) и (1.21):

77

о , = 4 (Р + ‘7й5)^](1 — т]) +С)ьч\

2 6 2 V» 51П ПЩ

( 1—т|2)+

+ (-

{[[1 + ( - 1 ) ге+1] Р +

1)П+Ч ] [С, (? . ( “ — 2 ) ) — 1-С° (р . (

2 6 а V

п = 1

+ [1 + (— 1)"+1] 9а [Хг(Р ,5) — № (р.5)]}.

(Р + ЙаИ) г\ (1 — ч) + ЧьОу = 4 (1 -4 * ) _ * 13 2

262 ^18111 ИТС7)пз

+ ( _ ! )» + > ] р +

п — 1

+ ( - 1 ) ”+ Ч ] [с0(р. ( т _ 0 ) _ ( "С2( Р' ( ~ 2 " ~ г +

+ [1 + ( - 1)л+1] Яа (Хо (Р .5) - № (Р,5)1}.

,24ТП = 00

262 ' О С08 /МП)

Н ху = — (1—(X) | - ^ 7 7 (4т)3 _ 6^2 + 1) да —

2 6 ^ _ у (77-371° •*“ П3

п = 1

- [[1 + ( - 1)"+1] Р + ( - 1 ) п+1

Ух = ^ 1 1 (1 — 1 ) + 27

п = 1

+ ( - 1 ) п+Ы Сх Р ■с. ( Р . ( т - е

— [1 + (— 1)п+1] Йа [XI (Р-€)— Хз(Р.е)]}.

Ку = (Р + Я<&) (1 — 2т|) + д„(1 - З т ,2) 1 Ь

Н -

/1 = 1

+ ( - 1 )"+ Ч ] ■-г +

+ [1 + (— 1)п+1] Я а [Хо (Р. 5) — 1л (Р .5 )]}.

78

(4.17)

/

На сторонах контура х = 0 и х — а величины углов поворота упру­гой поверхности, опорных реакций и полных величин опорных реакций, определяемые путем интегрирования выражения для поперечных уси­лий по длине данной стороны, равны:

при х = 0 :

дх кЮ п (п= 1

~ Х1 0 .0 )+ ( - 1 )'г+1Л ( р . у ) + [ 1 + ( - 1)"+1]

71 П I.П — \

+ (— + ^з^Э> " | ~ ( 2 !х)^1 ~2~^

_ [ ! + ( - ! ) л+П 4а

я _ 2 - _ + ™ 1 у [ ! + ( - ! )-- Ю ' ч ------- Я12*[ 713 Г ГП- 1

Хз(? ,0 ) + (2 — ^ ( у - х Л Р . О ) ) } .

п + 1(2р + дь) *ЬР -

4аь р

при х — а:

днодх т.*П

п= 1

+ ( - 1 ) ' г+1?й] С, (р. - у )

11 + (— 1)ге+1] 4а

Ох

- X I (Р.1)

)"+1ь +

_1_' ' 2

( 2 - ^ С ! (Р, — ++ (— П п + 1 9й] Ц р

+ [1 + ( _ 1)» + 1] да [х з(р . 1) + (2 -11 ) ( у - Ц ( М ) ) } .

Пх = + “ Ц [ 1+ ( 1) '1 + 11 [(2 р + ?&)Шр - <?ас1§ Щ ■12^ ТС3 ^ ГГ

п - 1

(4.18)

(4.18а)

79

Пря

моу

голь

ная

своб

одно

оп

ерта

я пл

ита,

за

груж

енна

я сп

лош

ной

равн

омер

ной

нагр

узко

й

XччосеН

о 05 СП ОО т-Н 00 Г-н осм см со Г-Н со со СО 1—* г-. о о со о оо о о СО СО см со см со СО со СО со о> ю юо о о о о о о о о^ со со о сч см

о о о о о* о о о ” о ” о" о о ” о ” о о

оо со оо со ю СО со 00 о СО оСО со ю ь . ( М ю ю СО 00 о ( М с о оо о о со со СО см СО со СО со о ю оо о о о о о о о о со СО ГГ ГГ ( М СО

о о о о " о о о" о" о~ о о о о о о о

1—<СО со СМ соо о о о о о о о о о о о о о о ' о

СО о Ю( М ( М ^ С О Ю Н С О ОС'- 1-0 1-0 СО СО О 0 ) гНо о о с о ю ю с ч с мо о о о о о о о

0 ) Ю ( М ^ Ю О ) Ю О О ' ^ С О -' ^ -' ^*—' С М^

о о о о о о о о о о о о о

Ю СО О)Ю г н Ю О О С О С О н ООСОСОСЧСОг-н^С^ ОООООСОСОСМ- —'о о о о о о о о

о оЬ- -<СОСОГНСОЬЮ( М ^ Ю О г н С М Ю ЮО ^ С О Ю Ю т —' (М юо о о о о о о о о о о о о о о о

СО Ю г нг н ( М С О Ю ЮЮ^ С ОО Ь Ь Ю С О С О Ь О !т - * О О С ^ 1 Ь - ^ т —Iо о о о о о о о

ОСО Ю О СМ СО (М О < С^^)Ьгн(МСОЮСО О ^ С О Ю Ю н С ^ Ьо о о о о о о о о о о о о о о о

_____________________________________________ I________о г -н ю^ ( М С Ч С Л О Ф О г н С О 00Г Н С О С П О С О Ь О Ь С О Ю С ^ ^ О Ю О О 1н О О О С О С О т н О г н с О Ь г н ( М С О Ь С О О О О т - н О О ^ О О О ^ С О Ю Ю т —о о о о о о о о о о о о о о о о

ю ю со Ю О! со ^ (М 00 г-н о г н О г н (М О О О т-н

О со со ^О СМ СО СМ О СП о о О т— 0 1— 0 0 0

т*< со Ю О оо о оз N гн со со N 03 СО Ю Ю т—I см юо о о о о о о о о о о о о о о

тЧ , С4 п *Н ф <М СО гЧ СЧ СО Чтн 'г-?1 ч-ч3 ■чг? —Г** _® Л .О

сиосо

со ю юО С О ^ О О З Ю ’ФСОООС О ' Ф ^ О ^ О С О С О О О О Ю О ’-'8 О О Ю ^ т С С 0 ( М С 0 0 0 Ю 0 0 С 0 О О О О О О О О С О С О ’Ф ' ^

о,ОсоX3XXО)3*оноч:О)о,ооо

ч о

Xки 203со 2 соо. * 8. ’§ в *

РЗК О)4 си КС X 3 хси Оа1ч

шОо5иоРнс

х5 егя ч<Vк ю5 й^ «о* ч 3 о к сXсо»=си3 ю О4иксгксискчО)нк*ОX

§ а8 *■Я -74(О А§ *^ кк х5 80

§ ^о» д ЭК экВ яя а3 *я? 03о «о* сиЙ х5 3И я

9и * -

9

9 — -

9 \ 9 ^

N

►5 Ь-5>

_80

Н а сторонах у = 0 и у= Ь целесообразно использовать аналогичные формулы, полученные путем решения задачи при помощи разложения в простой ряд по переменной х. Эти формулы получаются путем взаим­ной -замены в предыдущих выражениях переменных ц и Е, а такж е за ­мены параметров 7 и р на 7 ' и а , индекса п на т, стороны Ь на а и взаимной перемены индексов нагрузки <7а и д*- Подобным образом мо­гут быть преобразованы и формулы (4.15) — (4.17).

Пример 5. Требуется определить прогиб и изгибающие моменты в

центре прямоугольной пластинки с соотношением сторон 7 = - =1,5

под действием сплошной равномерной нагрузки р, полагая |х = 0 .Согласно формулам (4.16а) и (4.17), используя табл. I и III при­

ложения, имеем:

5р&4"ср 384/?

0,01301

2 рЬ*П

п — ОО

2( - 1 )

/2— 1

~ [1 + (-

/1 = 1

2-0 ,0 1 3 0 2 (0 ,2 0 2 6 -

пР

0,0039243

1)п+1

Со (Р. -) =

рб4 рб4 — = 0,00773 — , И Б

/1—1

хср пЗ пз/1 = 1

: 2 -0 ,129 (0 ,1087-0,003

27

■ 1)«+11

4 ------ рЬ2 = 0,0281 рб2 ,

рб2 ср = "ТТ

2 р 6 2

из

п - 1

■1) 2 [1 + ( - 1),"+11

= 0 ,125—2-0,129 0,20260.0039

27

Со(Р, Т );

рб2 = 0 ,0 7 2 8 рб2.

В табл. 9 и 10 приводятся значения прогибов, изгибающих момен­тов, поперечных усилий и опорных реакций для случаев загружения свободно опертой по всему контуру прямоугольной плиты сплошной равномерной и гидростатической нагрузками, вычисленные при ц = 0 . П е­реход к другим значениям р- может быть выполнен по формулам, при­веденным в главе I.

Рассматривая числовые данные табл. 9, видно, что отличие в вели­чине прогиба и наибольшего изгибающего момента в центре плиты при 7 = 0 ,3 от соответствующих величин, полученных из рассмотрения ци­линдрического изгиба плиты меньше 5%. При 7 = 0,5 отличие состав­ляет около 23%. Однако общепринято рассматривать прямоугольные плиты при соотношении сторон 7 < 0 ,5 как балочные.

6 А. С. Калм анок 81

УПТШШПТТТТГтттгт,— ^с » ^ Прямоугольная свободно опертая плита,

П р и м е ч а н и е . Величины Ус и <3С, для отмеченных на схеме точек на сторонах

7 = я/Ь

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

В-1 0.00627 0,00575 0,00506 0,00432 0,00363 0,00302 0,00249

Ш2 0,00594 0,00547 0,00483 0,00412 0,00348 0,00292 0,00242

®3 0,00467 0,00430 0,00382 0,00329 0,00279 0,00236 0,00196

0,00428 0,00391 0,00343 0,00289 0,00241 0,00199 0,00163

Ш5 0,00583 0,00463 0,00391 0,00330 0,00273 0,00223 0,00180

" . 1 0,0602 0,0550 0,0482 0,0411 0,0341 0,0280 0,0228

0,0615 0,0566 0,0502 0,0435 0,0369 0,0311 0,0260

Маз 0,0529 0,0492 0,0445 0,0393 0,0343 0,0293 0,0254

0,0375 0,0338 0,0291 0,0243 0,0192 0,0156 0,0119

Ма5 0,0510 0,0439 0,0368 0,0307 0,0251 0,0202 0,0164

* Ы 0,0017 0,0050 0,0087 0,0121 0,0149 0,0168 0,0180

•^Ьг 0,0016 0,0047 0,0081 0,0113 0,0140 0,0159 0,0172

^ Ь з 0,0015 0,0035 0,0063 0,0088 0,0109 0,0125 0,0137

0,0014 0,0033 0,0060 0,0083 0,0101 0,0113 0,0119

« Ь в 0,0052 0,0092 0,0117 0,0135 0,0148 0,0155 0,0156

УА 0,330 0,326 0,316 0,303 0,289 0,275 0,261

УЬ 0,164 0,158 0,149 0,138 0,126 0,113 0,102

Ус 0,203 0,203 0,202 0,200 0,196 0,192 0,189

°А 0,341 0,341 0,340 0,337 0,332 0,325 0,314

0,173 0,173 0,172 0,169 0,163 0,156 0,145

в с 0,288 0,287 0,284 0,278 0,270 0,264 0,262

« о лев -0 ,0 7 8 7 —0,0774 —0,0751 —0,0728 —0,0696 -0 ,0 6 5 2 -0 ,0 6 0 6

в о пр —0,0593 —0,0584 —0,0569 -0 ,0 5 3 7 —0,0502 —0,0463 —0,0418

Множители прида*

при а /6 < 1 : для прогибов — , для перерезываю щ их сил и опор

в углах да2;дЬ4

при 6 /а < 1 : для прогибов — , для перерезывающ их сил и опорных

в углах дЬг.

82

ЛЬ а \

- V1 г 1 и

5

— О - и ♦с

* а —,4°пр

Т а б л и ц а 10загруженная гидростатической нагрузкой

данные в таблице, соответствуют наибольшим значениям, полученным У = 0, у = ь .

т' = Ь/а

1 0,9 0 ,8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3

0,00203 0,00249 0,00302 0,00363 0,00432 0,00506 0,00575 0,006270,00199 0,00247 0,00306 0.00370 0,00449 0,00541 0,00650 0,008660,00164 0,00206 0,00256 0,00323 0,00402 0,00493 0,00603 0,008160,00131 0,00157 0,00190 0,00222 0,00257 0,00288 0,00322 0,003500,00147 0,00181 0,00217 0,00260 0,00309 0,00362 0,00410 0,004480,0184 0,0180 0,0168 0,0149 0,0121 0,0087 0,0050 0,00170,0214 0,0217 0,0212 0,0198 0,0176 0,0144 0,0113 0,00590,0216 0,0228 0,0232 0,0233 0,0225 0,0208 0,0171 0,00980,0095 0,0084 0,0076 0,0063 0,0045 0,0026 0,0012 0,00060,0132 0.0128 0,0119 0,0105 0,0086 0,0061 0,0036 0,00120,0184 0,0228 0,0280 0,0341 0,0411 0,0482 0,0550 0,06020,0178 0,0223 0,0278 0,0345 0,0425 0,0514 0,0611 0,07050,0143 0,0181 0,0228 0,0289 0,0367 0,0461 0,0581 0,07100,0121 0,0147 0,0177 0,0212 0,0246 0,0276 0,0298 0,03100,0156 0,0187 0,0225 0,0268 0,0318 0,0368 0,0439 0,05100,247 0,260 0,272 0,286 0,295 0,309 0,321 0,3330,090 0,088 0,083 0,077 0,070 0,062 0,052 0,0400,187 0,202 0,220 0,242 0,267 0,289 0,321 0,3450,304 0,325 0,345 0,366 0,389 0,414 0,413 0,3880,135 0,137 0,136 0,130 0,122 0,112 0,090 0,0720,261 0,279 0,297 0,314 0,330 0,345 0,374 0,383

-0 ,0 5 5 7 -0 ,0 6 2 2 —0,0696 —0,0771 —0,0854 —0,0941 —0,1035 —0,1131-0 .0 3 7 3 -0 ,0402 —0,0418 —0,0427 —0,0412 —0,0379 —0,0323 —0,0249

числовых данных:

ных реакций да, для моментов и сосредоточенных опорных реакций

реакций дЬ, для моментов и сосредоточенных опорных реакций

6* 83

В случае действия местных нагрузок, если такая нагрузка постоян­на по длине плиты а, уравнение упругой поверхности плиты может быть представлено в виде:

№к

51П П Щ

а* Чп

п = 1

1 — Со (4. 19)

где <7 п ■- коэффициент при разложении функции изменения внешней на­грузки в ряд по синусам. Например, для случая загружения плиты, равномерно распределенной вдоль ее оси х = 0 нагруз­кой (рис. 24,о) имеем:

п—1б_Ь ’Чп ■■ (— 1 ) 2 [ 1 + ( - 1 )"+1] (4 . 20)

Рис. 24

и уравнение упругой поверхности-плиты представляется в виде:П- 00

п—1

ВЬ* У \ — 0 2 [ ' + ( “ ] ) " + 1 1 / 1 Л . . и * (й + 2 </ ) _— Ю 5 " - « ? • ( , — - ' ) ---------

п = 1

(6 + 2 Ы ) ( 6 « + 2 б | у | - 2 у*)

«1 48 (4 .2 1 )

_ ] [ / - ■) 8 [ ' .+ . ( ■■! >И ь (? М ) ^ ■ ■ - № + 2 »)И5 1 2 ) Ъ

п = 1

Если же местная нагрузка переменна по длине плиты а и закон ее изменения отличен от линейного, решение задачи следует искать в форме (4.1). Полагая, что рассматриваемая нагрузка расположена на оси у —О, совпадающей с осью плиты и ^ п — коэффициенты ее разлож е­ния в ряд по синусам, тогда, принимая во внимание, что вследствие симметрии задачи на указанной оси

П = оо

дт> Л д 2 V Яп .-— = 0 , — у 2а) = > -— 51пгея-п д х д х у ' 2 0 1

п=1

84

следует искать уравнение упругой поверхности плиты в форме (4.1), при двух неизвестных начальных параметрах С ^ и :

П= 00

® = Ц 2 з (М ) + С п ) Ос (р .6) + 4 2) О, (Р.5)) 8Ш п щ , (4. 2 2 )п - 1

которые определятся из условий свободного опирания на стороне х = = а /2 . Ниже приводятся некоторые результаты.

П ри загружении плиты, равномерно распределенной вдоль ее оси х — 0 нагрузкой (рис. 24,6):

2-Ю

ц — ^

Еп=1

[ 1 + ( - ! ) '«+11

/г4 сЬ7 /г и

зЬ7 пк (а — 2 [л:|)

2а

7 л п\х\ 1пп(а—2 \х\) 7/гтс + _ с Н _ _ _ _ _

СПа

7 п ксН

з1п я тп] . (4. 23)

Я ри загружении плиты сосредоточенной силой Р, приложенной в ее центре (рис. 24,в ) :

РЬ2

4 я 30п - 1

п—1

(— 1) 2 Г1 + (— 1 )п + 1 1

дз сЬзЬ

сЬТЛ7СМ , ч п п ( а — 2 \х \ ) __упк а

а СЬ 2 а ~2 '

•у я я ( а — 2 |л;|) 2 а

з1п л го ] . (4. 24)сЬ •

Д ля случая загружения плиты местной нагрузкой, равномерно рас­пределенной по площади прямоугольника а0 X Ь0} центр которого сов­падает с центром плиты, что соответствует наиболее опасному случаю расположения нагрузки (рис. 25), приводится выражение упругой по­верхности для загруженной части плиты, данное Б. Г. Галеркиным:

па =384 0 \

Ш 4 — 24 2«о \ ад

а ) а52 +

Оо4 ( — )2 + 1

а / V а

85

т — со

768

т = 1

т т:т 5 сЬ ——

2 -Г

/П 71-Пз Ь -----

7

Здесь применено разложение в ряд по синусам по переменной х. Д ля написания аналогичного выражения, получающегося в случае при­

менения разложения в ряд по переменной у, следует заменить в этом выражении параметры, индексы и переменные, согласно приведенным выше указаниям.

Расчетные изгибающие моменты в центре плиты находятся с по­мощью таблицы 11 (заимствованной в переработанном виде у Б. Г. Г а­лер кина), в которой даны значения этих величин для различных отно-

и а„шений 7 , я0= — и р0= — , вычисленные при!ж=0. При ао=0,(50 = 0 ,

Ь Ьчто соответствует случаю действия сосредоточенной силы Р, величины изгибающих моментов под нагрузкой равны бесконечности. Д ля этой на­грузки прогиб в центре квадратной плиты равен:

что составляет 68,5% от прогиба бесконечно простирающейся полосы, загруженной сосредоточенной силой. Здесь величина прогиба в 2,85 раза больше, чем в том случае, если бы нагрузка была равномерно распре­делена по всей площади плиты.

Рис. 25

86

..... ГПТ1Г1ТМ^ Л

1 11 1 7 |

а-*--------- а -------- ► У~Г

Т а б л и ц а 11

Прямоугольная свободно опертая по всему контуру плита с нагрузкой,

равномерно распределенной на прямоугольной площадке

М а = К а Р = К а р а0 Ь0

М в = Къ Р — Къ р а0 Ь0

Ч

X 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

7 = 1

0 ОО 0,256 0,196 0,160 0,133 0,109 оо 0,174 0,121 0,093 0,073. 0,059

0,2 0,174 0,165 0,144 0,123 0.105 0,088 0,256 0,165 0,117 0,090 0,071 0,058

0,4 0,121 0,117 0,108 0,096 0,083 0,070 0,196 0,144 0,108 0,084 0,067 0,055

0,6 0,093 0,090 0,084 0,076 0,067 0,056 0,160 0,123 0,096 0,076 0,061 0,050

0.8 0,073 0,071 0,067 0,061 0,054 0,045 0,133 0,105 0,083 0,067 0,054 0,044

1.0 0,059 0,058 0,055 0,050 0,044 0,037 0,109 0,088 0,070 0,056 0,045 0,037

Т = 1.2

0 СО 0,244 0,190 0,153 0,127 0,105 00 0,192 0,141 0,108 0,087 0,071

0,2 0,167 0,156 0,127 0,118 0,099 0,083 0,273 0,183 0,135 0,107 0,086 0,070

0,4 0 114 0,110 0,102 0,091 0,078 0,065 0,216 0,164 0,127 0,102 0,083 0,068

0,6 0,086 0,083 0,078 0,070 0,062 0,051 0,180 0,144 0,115 0,096 0,076 0,063

0,8 0,067 0,065 0,063 0,057 0,049 0,041 0,154 0,125 0,103 0,085 0,069 0,057

1,0 0,054 0,053 0,051 0,046 0,040 0,034 0,132 0,109 0,090 0,074 0,061 0,050

1,2 0,046 0,045 0,043 0,039 0,034 0,029 0,112 0,094 0,077 0,064 0,053 0,043

Т = 1.4

0 ОО 0,238 0,184 0,148 0,122 0,101 Оо 0,205 0,153 0,119 0,097 0,080

0,2 0,161 0,148 0,126 0,111 0,095 0,079 0,284 0,194 0,149 0,118 0,096 0,080

0,4 0,108 0,105 0,097 0,085 0,072 0,059 0,229 0,175 0,139 0,113 0,093 0,077

0,6 0,080 0,078 0,073 0,065 0,057 0,048 0,195 0,158 0,129 0,105 0,088 0,072

0,8 0,061 0,060 0,056 0,051 0,045 0,037 0,169 0,140 0,117 0,097 0,081 0,066

1,0 0,048 0,048 0,045 0,041 0,037 0,031 0,148 0,124 0,105 0,088 0,073 0,060

1,2 0,040 0,040 0,038 0,034 0,030 0,026 0,129 0,110 0,092 0,078 0,065 0,053

1,4 0,034 0,034 0,031 0,029 0,025 0,021 0,112 0,096 0,081 0,069 0,058 0,048

87

Продолжение табл. 11

X 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Т = 1.б

0 ОО 0,233 0,180 0,144 0,119 0,098 ОО 0,213 0,160 0,126 0,104 0,0840,2 0,157 0,145 0,125 0,107 0,091 0,076 0,294 0,203 0,154 0,125 0,103 0,0840,4 0,104 0,100 0,092 0,081 0,069 0,057 0,238 0,185 0,147 0,119 0,099 0,0810,6 0,074 0,072 0,068 0,061 0,053 0,044 0,203 0,166 0,137 0,114 0,094 0,0780,8 0,057 0,055 0,052 0,047 0,041 0,035 0,179 0,150 0,126 0,106 0,088 0,072

1.0 0,044 0,043 0,041 0,038 0,033 0,027 0.158 0,134 0,113 0,096 0,080 0,067

1.2 0,035 0,035 0,034 0,031 0,027 0,022 0,140 0,120 0,102 0,087’ 0,073 0,0621,4 0,029 0,029 0,028 0,026 0,022 0,018 0,125 0,108 0,092 0,079 0,066 0,055-

1.6 0,025 0,025 0,024 0,022 0,019 0,016 0,111 0,096 0,082 0,071 0,060 0,049

1 = 1.8

0 ОО 0,230 0,177 0,141 0,118 0.095 ОО 0,218 0,165 0,131 0,108 0,0880,2 0,153 0,142 0,123 0,104 0,088 0,073 0,299 0,208 0,161 0,129 0,107 0,0880,4 0,Ю1 0,097 0,088 0,078 0,067 0,055 0,243 0,190 0,152 0,125 0,103 0,0850,6 0,070 0.069 0,065 0,057 0,050 0,043 0,209 0,172 0,142 0,119 0,098 0,0810,8 0,053 0,051 0,048 0,044 0,038 0,032 0,184 0,155 0,131 0,110 0,092 0,076

1,0 0,040 0,039 0,037 0,034 0,030 0,026 0,165 0,141 0,120 0,103 0,085 0,071

1.2 0.032 0,031 0,030 0.027 0.024 0,020 0,147 0,127 0,110 0,095 0,079 0,0661,4 0,026 0,025 0,024 0,022 0.019 0,016 0,133 0,115 0,100 0.086 0,072 0,0611,6 0,021 0,021 0,020 0,019 0,016 0,014 0.120 0,104 0,090 0,077 0,066 0,0551.8 0,018 0,018 0,017 0,016 0,014 0,012 0,107 0,094 0,082 0,070 0,059 0,049

Т = 2,0

0 ОО 0,228 0,175 0,139 0,115 0,094 ОО 0,221 0,168 0,133 0,109 0,0900,2 0,152 0,141 0,121 0,103 0,087 0,072 0,302 0,210 0,163 0,132 0,108 0,0890,4 0,098 0,095 0.088 0,076 0,066 0,055 0,246 0,193 0,155 0,127 0,106 0,0870,6 0,068 0,066 0,062 0,056 0,049 0,040 0,212 0.175 0,146 0,121 0,101 0,0820,8 0,051 0,049 0,047 0,042 0,037 0,031 0,188 0,159 0,134 0,113 0,095 0,0791,0 0,038 0,037 0,035 0,033 0,029 0,024 0,168 0,143 0,123 0,105 0,088 0,073

1,2 0,029 0,028 0,027 0,025 0,021 0,018 0,152 0,132 0,114 0,098 0,082 0,068

М 0,023 0,022 0,021 0,020 0,017 0,014 0,137 0,121 0,105 0,090 0,076 0,063

1,6 0,019 0,018 0,017 0,016 0,014 0,012 0,124 0,110 0,096 0,082 0,070 0,0581,8 0,016 0,016 0,015 0,014 0,012 0,010 0,113 0,100 0,088 0,075 0,064 0,0532,0 0,013 0,013 0,013 0,012 0,011 0,009 0,103 0,090 0,079 0,068 0,058 0,048

Пример 6. Требуется рассчитать квадратную плиту пролетами 3X 3 м, свободно опертую по всему периметру при Р —3 ООО кг, а =0 ,2 , р = 0 ,6 и (а == 0,25.

По таблице II случай 7 = 1 находится:М а =0,123-3 000=369 кгм , ЛГг,=0,090-3000=270 кгм , откуда окончательно:

Здесь наибольшая величина расчетного момента составляет лишь 74% от наибольшей величины расчетного момента, вызываемого такой же нагрузкой в бесконечно простирающейся свободно опертой полосе (см. пример 4). Отсюда получается вывод, что влияние пространствен­ной работы плиты сказывается для сплошной равномерной нагрузки значительно сильнее, чем для случаев сосредоточенных или распреде­ленных на небольших площадях нагрузок.

3. Изгиб прямоугольных плит большого прогиба

А. Упругая тонкая плита большого прогиба, свободно опертая по контуру и загруженная сплошной равномерной нагрузкой

Д ля случая шарнирно неподвижных опор, предложенный Прескот­том. путь решения задачи (в. первом приближении) состоит в следую­щем. Определяется наибольшая величина прогиба плиты путем решения кубического уравнения:

после чего величины изгибающих моментов и цепных усилий в центре плиты находятся по формулам:

Оа = 369 + 0,25-270 = 4 3 7 кгм , Оь = 270 + 0 ,25-369 = 362кгм .

16 Ой4^ - = ® м а к с ( 1 + Т 2) 2 + ^ г [ ( 3 - | 1 2) ( 1 + 7 4) + 4 и 2] ■ (4 -2 6 )

тс2 Ии),макс тс2 ЕН м а к с(1 + М 2) ,

8 ( 1 — н-2) а2[(2 - ц2) + ц-,2] ,

(4 .27 )

[(2 —(а2) -8 ( 1 — |д.2) а 2

Д ля случая шарнирно подвижных опор аналогичный метод реше­ния предложен М. А. Колтуновым, который дает для определения наи­большей величины прогиба в центре плиты кубическое уравнение:

после чего изгибающие моменты в центре плиты могут быть найдены по формулам (4.27), а цепные усилия по формулам:

2 ,П Е Н «?Ы1КС _ 2 ,7 6 Ш * 2мзкс

Ых ~ I 1 \ у ~ [ 1 \ ( )^ 2+ ° , б + — | а 2 ^72+ 0 ,б + — ^62

Формулы (4.26) и (4.28) дают достаточно достоверные результаты а

лишь для отношений —— не меньших 0,75. Далее неточность начи-Ь

нает нарастать. При меньших значениях к следует пользоваться рас­четными формулами для цилиндрического изгиба (3.7) — (3.8)*.

Б. Плита нулевой жесткости (мембрана), опертая по жесткому контуру и загруженная сплошной равномерной нагрузкой

Д ля квадратной мембраны прогибы и цепные усилия в центре пли­ты по В. М. Даревскому при [х=0,3 равны:

з; = 0,326

ЕН3 ________

Мх = N у = 0,249 V* Р*С12Ек

<мI

Рис. 26

•■"Решения задач изгиба прямоугольных плит при больш их прогибах в следую ­щих приближ ениях см. Г. Г. Р о с т о в ц е в , Расчет гибких пластин и гибких цилиндрических панелей и его приложение в самолетостроении, Сборник трудов конференции по расчету гибких пластин и оболочек, изд. ВВИА им. Н. Е. Ж ук ов­ского, М., 1952.

90

Сравнивая эти результаты с приведенными выше результатами для бесконечно простирающейся мембраны, видно, что влияние пространст­венное™ работы конструкции здесь меньше, чем для плит конечной ж ест­кости. Значение наибольшего прогиба, определенное по формуле (4.30), меньше на 18,5%, а наибольших цепных усилий на 2 2 %, чем это полу­чается по формулам (3.13).

Д ля прямоугольных мембран, загруженных сплошной равномерной нагрузкой, величины прогибов и цепных усилий в центре плиты опре­деляются по формулам:

3 _________Мх — а | / " р 2а^ЕН ’ Л у

Величины коэффициентов мому графику (рис. 26).

г ----------------т / Ра4= Р У р*а*Ек ’ ш = ТГ у '

«, Р и | могут быть взяты по прилагае-

4. Упруго-пластический изгиб прямоугольных свободно опертых плит

Д ля плиты, выполненной из однородного материала с предельной величиной изгибающего момента Л4пр, форма разрушения плиты может быть представлена в виде «конверта» (рис. 27). Соответствующая этой форме разрушения работа внутренних сил на единичном возможном пе­ремещении равна:

А = 4М пр , где к = с1§ <р . (4.31)

Работа внешних сил в случае действия сплошной равномерной на­грузки будет:

а ( Ь — ка) ка2

~3~

ра2

67(3 — Та) •

Отсюда

. . ра‘ М пр - 2 4

к (3 — -\к)

(Т + к)

(4.32)

(4.33)

Невыгоднейшей форме разрушения плиты соответствует угол у, определяемый равенством

6 = / з + ' ^ - Т ; (4.34)отсюда

М,П р := 2 *- [(3 + 2 72) - 2 7 / з + т2 ] . (4.35)

Работа внешних сил в случае действия сосредоточенной в центре плиты силы Р равна величине этой силы; поэтому здесь

Мпр = , , ? к \ Г ■ (4.36)4 (7 + к)

91

Невыгоднейшей форме разрушения плиты соответствует угол <р,1

определяемый равенством к = ---- . Отсюда:

<4 -37>Д ля достаточно вытянутой плиты (при малом значении ц ) вместо ука­занной формы разрушения (рис. 28) возможна такж е другая, показан­ная на этом рисунке пунктиром. Здесь анализ дает, что угол = 45° и предельный изгибающий момент будет:

Мпр= л ^ = 0 -0972Р-

Рис. 28

При 7 =0 ,477 обе эти формы разрушения равноопасны.Если опоры плиты осуществлены с односторонними связями, не пре­

пятствующими приподниманию углов плиты, возможно появление иных опасных форм разрушения. Так, для квадратной плиты, загруженной в центре сосредоточенной силой, наиболее опасной формой разрушения будет показанная на рис. 29. Угол наклона линий перелома к стороне квадрата <р находится из условия минимума выражения:

, 3с!§ <р + с(§ 4- = с(§ 9 + с(§ — л •

как это следует из формулы (1.58). Отсюда <р= л и, следовательно,О

форма разрушения представит собой правильный восьмиугольник, для которого предельный изгибающий момент равен:

РМ,пр ■ = 0 , 151Р ,

1618 тчто на 2 0 % ниже, чем для плиты с заанкеренными углами.

Железобетонные плиты могут рассматриваться как конструктивно ортотропные. Принимая при форме разрушения в виде «конверта»

= 4(М а пр . М ь Iпр_\ _т а пр М )

92

Наиболее экономичное армирование плиты соответствует минималь­ному значению выражения.

При заданном значении <\> невыгоднейшей форме разрушения пли­ты соответствует угол <р, определяемый равенством:

В случае односторонних связей на контуре плиты, кроме формы разрушения в виде конверта, возможна такж е форма разрушения, по­казанная на рис. 27 пунктиром. Анализ показывает, что для квадратной плиты, загруженной сплошной равномерной нагрузкой, наиболее опас­ный случай разрушения соответствует величине предельных моментов:

т. е. на 9% больше, чем это получается по формуле (4.31). Д ля более вытянутых прямоугольных плит различие результатов для обоих воз­можных форм разрушения уменьшается. Так, при х = 0 ,5 оно равно 3,5%.

При заанкеренном угле плиты необходима постановка верхней ар­матуры на участках длиной —0,30 а в каждую сторону от угла. Величи­на этой арматуры, соответствующая условию равноопасности обеих воз­можных форм разрушения, должна определяться из расчета на дейст­вие момента

Величины изгибающих моментов в центре квадратной плиты, загру­женной сплошной равномерной нагрузкой, определенные по формулам (4.35) или (4.39) равны 0,0417 ра2, что на 13% больше, чем по расче­ту в упругой стадии, где при (а = 0 они равны 0,0368 ра2. Это связано с тем, что наибольшие изгибающие моменты при расчете по упругой ста­дии получаются не в центре плиты, а у ее углов (рис. 30), где они при |л.=0 равны 0,0464 ра2.

1 + ■[>

6 + 7Ф ’что имеет место при к = 7 ; отсюда находится

, М ь пр ___т2(4 .38)

ра2 ра2 М а пР = ~ ~ (3 — 2 -[2) , М ьпр = т г г I 2 ■

А = V" к24 2 + 3^ — 1 2 ;отсюда

(4.40)М б п р = ^ ' 4 ' ^ ( 3 + 2 < И 2) — 2 Т ] / - ^ 2 + З ф | .

ра2М а пр = Мь Пр аг0,0454ра2= ,

" 4 3 2 ~ = 0 ,0176ра2

93

Расчет по предельному состоянию дает среднюю величину положи­тельных изгибающих моментов по диагональному сечению б—б. Таким образом, представление, что для данного случая расчет по предельному состоянию даст менее экономичные результаты, чем расчет в упругой

стадии, оказывается необосно­ванным. Этот же вывод остает­ся в силе и для других случа­ев расчета плит.

Следует предостеречь от рекомендации ставить в край­них полосах железобетонной плиты, равных в обоих направ­лениях У4 ее наименьшего раз­мера, арматуру половинной величины, как было указано р а ­нее при расчете по упругой стадии. Возможная в этом слу­чае форма разрушения в виде усеченного клина с гранями пе­релома, совпадающими с ме­стами обрыва арматуры, ока­жется более опасной (для квад­ратной плиты на 30% ), чем форма разрушения в виде «кон­верта». Подобная рекоменда­ция может быть принята толь­ко у защемленных сторон и на опорах неразрезных плит, при­чем поставленная в данном на-

О.ОЬбЬра1\ 0,0\51ра‘п/)Ш пл

и *

Рис. 30- а. ------

Рис. 31

правлении арматура должна иметь определяемую расчетом полную площадь сечения.

Метод предельного равновесия дает возможность определить толь­ко изгибающие моменты. Д ля определения величин прогибов следует обратиться к расчету плиты по упругой стадии. Величины опорных ре­акций могут быть найдены при помощи следующего приближенного приема. Проводятся биссектрисы углов и соединяются точки их пере­сечения друг с другом (рис. 31). С достаточным для практических це­лей приближением можно считать, что от прилегающей к плите части прямоугольника при сплошной равномерной нагрузке, короткая сторона

рЬг рЬ (2а— Ь) воспринимает —- , а длинная ------- ---------- . При этом закон распреде­

94

ления опорных реакции принимается в первом случае по треугольнику, а во втором — по трапеции.

Обычно этот ж е прием применяется и при расчете прямоугольных плит с защемленными сторонами и неразрезных плит.

V. ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ п л и т ПРИ П РО И ЗВО Л ЬН Ы Х ЗА К РЕ П Л Е Н И Я Х НА КОНТУРЕ

1. Общий метод решения задачи изгиба упругих тонких плит, имеющих форму прямоугольника

Д ля решения задач изгиба прямоугольной плиты, загруженной про­извольной нагрузкой с любыми закреплениями на контуре, может быть предложено обобщение метода простых рядов, основанное на пред­ставлении упругой поверхности такой плиты в форме (рис. 32):

хю{х , у) =~ш (х , у) + -----

т -оо+ 2 Ут &'ттт^-\-

т = 1 л2П ~ оо Х * г -

+ 2 Х п зтдап] - \ -Р (х ,у ) , (5.1)п = 1

Рис. 32

где ха> (х, у ) — уравнение упругой поверхности плиты, имеющей ту же форму и нагрузки, как исследуемая, но свободно опертой по всему кон­туру; функции Ут и Х„ — выражения, зависящие от введенных выше трансцендентных функций:

Ут =О/п2* 2 Ы Х ч ( а > ( 1—7])) + РтХг (“ - Ч) + ЛпХо ( « . ( ! •

— ■ '! ) )+ ^тХ о(а,г)) | ,

Г «лХг (Р . (1—2)) + т'пх2 Ф Л ) + п пх0(Э , ( !-Ш 2я 2

(5.2)

а Р (х , у ) — двенадцатичленный полином, составленный путем линейной комбинации всех двенадцати алгебраических одночленов, удовлетворяю­щих бигармоническому уравнению:

Р ( * . У ) = \ { А (1 - « (1 ~ Ч) + / в (1 - 5) Ч + / с 6 (1 - Ч) + / о е ^ +

тк (1 — ч) + « в Ч) (^3 — 3 ^2 + 2 ' ) + (т с (1 — т() + то п) (5—

95

— (*а 0 ~ *) + Рс® (т13 — 3*12 + 2г1) + (Рв О — 5) +

+ ( ^ ) (•'1 — -П3) ) (5.3)

Н а контуре исследуемой плиты получатся следующие выражения для ординат упругой поверхности:

К = о = т г { / а ( ] — ■'!) + / в ’П + Рл (т13 — Зт12 + 2т!) +

+ Рв (1 — т13)

п — ОО

+ 2 - ^ Г п«51пптс }-/1 = 1

N * = а = _5 ‘ [ / с ( } — т1) + / с 1' + ” [ н - с ( 113 — Ц г + 2-ч) +

п — оо

л = 1

, = 0 = ^ - { / л О - е ) + / с ? + Х тА (^3 — 362 + 2$) +

+ « С ( 5 - ^ 3)

(5 .4 )

+ У а а % 5 ' П т д Ц , т* ла )т = \

Н у = б = ^ " { / в ( 1 - ^ ) + / 0 5 + - | - [ ^ ( ^ - 3 5 2 + 2 е ) +

т .— оо

+ « о (5 - 53) ] + *«51п т ^ ) :т = 1

и для изгибающих моментов в нормальном к контуру направлении:

/1 = оо

| м ,|* = 0 ” т А (! — 71) + тв ’П + 2 т я 81п п ш 1./1 = 1п = оо

1М * |* = а = т С (1 ~ Т)) + т О Ч + 2 т л 5>п П пг1 ’/1 = 1

/ 7 1 = во

И у 1 у = 0 = Iх Л С1 — 0 ^ + 2 рт 51П т ,т - 1

т = оо

1уиу|у=Ь = (] — 5) -+-Н-0 2 (4 з 1п т я ? .т = 1

(5-5)

96

Коэффициенты п п, пп, чт и чп даю т возможность выразить про­

гибы, а коэффициенты т п, тп, \хт и — нормальные к контуру мо­менты, возникающие соответственно на сторонах х= 0 , х = а , у —О и у= Ь во всех обыкновенных точках контура плиты. Коэффициенты по­линома Р (х, у) дают возможность выразить прогибы и нормальные к контуру моменты в особых точках контура, т. е. его углах. Из числапоследних коэффициентов необходимо вводить коэффициенты / д , / в , / с

и / 0 в том случае, когда соответствующий угол имеет возможность вертикальных перемещений, а коэффициенты тл< тв , т с и т0 или

*В' и Ро в том случае, если на соответствующем угле налож е­на связь на возможность поворота пластинки в направлении осей х или у, при сохранении возможности вертикального перемещения данной стороны плиты.

Таким образом, форма (5.1) позволяет учесть любые, совершенно произвольные граничные условия на контуре плиты.

В дальнейшем используются следующие разложения:т = оо т + 1 т=оо

V 1 2 (— 1) \ 1 2? = / , --------- 81ПЯ1л6, (1 — >. ---- 51П т К С , ,

^ т те ^ тк<п = 1

т= оо

1 =

т = 1

т = со

1 + ( - 1)т + 1]

.51(1 т п? ;

. 2т = 1

2 (—1)т + 1

т? пз

т = оо$3— 352 + 25 2

т з тхзз т т г. 8

т = 1 т = оо

6 (1 - 6 )

2I 2- 11т = 1

1> + < - 1>"+ Ч . .---------— ------- з т т т с ?т 3 лз

(5.6)

с помощью которых можно представить уравнения любого граничного условия на сторонах контура в виде ряда по синусам кратных аргумен­тов. Д ля удовлетворения граничному условию в общем виде достаточно потребовать его удовлетворения для каждого члена ряда. Это дает воз­можность найти все неизвестные коэффициенты, входящие в уравнение(5.1).

Поскольку в уравнение (5.1) входят бесконечные ряды, задача мо­жет быть решена лишь приближенно, путем удержания конечного чис­ла их членов. Ввиду хорошей сходимости решений в простых рядах,

7 А. С. К алм анок 97

здесь обычно достаточно оставить не более 3—5 членов для получения решения с погрешностью, не превышающей 2% . Иногда удержание од­ного первого члена ряда дает приемлемую для практики точность ре­шения.

2. Прямоугольные плиты, опертые по всему контуру на жесткие опоры

Если плита на всем контуре опирается на жесткие опоры, причем на некоторых сторонах она может быть и защемлена, тогда в общем слу­чае в уравнении ее упругой поверхности следует оставить только сла­гаемые т (х , у) и зависящие от коэффициентов разложений т п, тп , рт и [л.т , после чего это уравнение принимает вид:

( х , у ) = т ( х ,у ) + ъ (а , (1 — ч)) Ч)

П — со

п - 1^/г2 тс2

т„ гг (Р. (1 — 5)) + т'п (Р, 5)

51П ткЬ +

(5.7)

Угол поворота упругой поверхности плиты, например, на стороне х = 0 контура, учитывая разложение (4.11), представится в виде ряда:

да) (х , у) 1 дт (х,у) 1

йх х~0 дх | Е аВ т к Рт 7.2 (®. (1 — Ч) ) +

тХа (“ . ' -р -— - [ тп Хз 0 . 1 ) — « ^ Х з ( Р , 0 ) | з т п я к | =

л = 1

— п (®я тп Хз (Р. 1) + тп Хз (Р> 0) + ^ ?>о (т ,п ) \\хт +П к и 71 *-

т -1

+ (— 1 )” +1 ^ т ] ) 31ПП7П) .(5.8)

При жестком защемлении плиты на рассматриваемой стороне вы­ражение в фигурных скобках разложения (5. 8 ) должно быть равно нулю. В общем случае для всех четырех сторон контура получается четыре группы уравнений:

X а (Р . 1 ) тп — Хг ( Р , 0 ) — Ъв (т , п)т — 1

Р-т +

+ ( — 1)"+ 1 ( 4 ] = Ф л

(5.9)

98

Ш= 00

Уз ($,\)т'п— Хз ( М ) т п — у - (— 1)т+1 ®0 1/и,и) [н™ +т = 1

+ (_ 1)" + 1 ^ ] = ® ; ,П= оо

2т гХз (“ . 1) 'лт — Хз (« ,0) Рт — Л 8° ( т ‘ п) 1т ™ +

/1=1

+ (— 1 )т + 1 т л] = Ф т ./1= 00

Хз (“ > 1) (хт — Х з(«.0) !хт — ~ (— 1)п + 1 5о {т .п) [ т „ +л=1чт + 1 '1 =

(5. 9)

(— 1) гпп \ = Фт ,

составляющие в совокупности бесконечную систему линейных алгебраи­ческих уравнений. Свободные члены этой системы уравнений имеют вид:

а) для обобщенной гидростатической нагрузки р ( х ,у ) — р + + %4а + ’ЧЧь-

пз И [ [ Н Н ) л+‘] р + М Г Ч с . ( р , у ) +

+ [ 1 + (— 1)” +1] ча [ у - X I ( М )

■- - й {[ [х + (- 1)П+1 ] * + (- !>п+1 с> (р ■ т ) -

_ [ 1 + ( - 1 ) » + 1] ^ [ у - х х ( М ) ] ) .

ф- = ^ Ф 1 + 1)т+1] р + (~ 1)т+1 ^ С1 (“■ т ) +

+ [1 + ( — 1 ) П1+ *] Яь XI ( а -0 ) | >

| [1 + (— 1)т + 1 ] р + ( - 1 )т + 1 Ча\ Сх ( « , у ) -Ф =т 3 тгз

- [1 + ( - 1 )т + 1 ] Чь [ ^ у — XI К 1)

(5. 10)

б) для нагрузки, распределенной по прямоугольнику аоХ^о, центр которого совпадает с центром плиты:

7* 99

п—1

Ф = Ф : п п(—1) 2 [1 + (— 1Г + 1] 5131П

п к Ь, 26

- 5 Ь2 а

X

сЬ1 п тс

XЧ пкао , 7 « т о 0 л -удтс

1 — —------ с ш -------------Ь ------ Ш --------2 а 2 а 2 2

рб2

Я3 Л3ш—1

Ф — фт

X

т ка0 т к 6 0

(— 1) 2 [1 ~ь (— 1 )от+1| 5‘п 5Ь 1 7 ГX

1 —т к Ь0

2~\Ь■ сШ-

сЬ-—2 7

т тс&о ж ш и 1 р а2

2 6 2 ^ 2 ] тзл з

(5. 11)

в) Д ля нагрузки Р, сосредоточенной в центре плиты

п —1

Ф = Ф = п п —

___ р( - 1 ) 8 [1 + (—1 ) п + 1 1 Р 811 2

8 П 71СЬ2 -

(— 1) 2 11 + (— 1)'п+1] Р8 ттс

а

511Т

сЬ2 -(5. 12)

В случае, если на какой-либо стороне контура плита опирается свободно, соответствующие коэффициенты в разложении (5.7) и систе­ме уравнений (5.9) полагаются равными нулю. Относящаяся к ней группа уравнений не выписывается.

В приведенных ниже примерах расчета прямоугольных плит при помощи системы уравнений (5.9) изгибающие моменты определяются в предположении [* = 0 по формулам:

д 2хю(х,у) г . .М а = — О — — + 2 ^ [н-т Ъ ( а . (1 - 1 )) +

т - 1 п - 00

+ ( 4 Х г К ч) ] я п » " Е — Е [тп ц (Р, (1 — 6)) +п= 1

+ т Л 4 6)] 8ШЛ7ГГ] ,

(5 . 13)

100

д2а>(х, у) д у 2 + 2 [« « X I (Р. 0 - 0 ) +

п=1 т - оо

+ т л Х 2 (Р - 0 ] з1пято] — Е [ ( ! „ х4(а. ( 1 — Ч)) +т =1

+ М'т Х4 (а ' Ч)] 8 1 п т я 6 .

Пример 7. Требуется рассчитать прямоугольную плиту с соотно- а

шением сторон 1 = —— = 0 ,8 с двумя противоположными свободно Ь

опертыми и остальными двумя защемленными сторонами, загруженную сплошной равномерной нагрузкой р (рис. 33).

Рис. 33 Рис. 34

Здесь Рти = — 0 по условию задачи и т п — т п вследствие симметрии. Поэтому система уравнений (5.9) приводится к равенству:

1

Отсюда

2 [ 1 + ( _ 1)"+ Ч р б 2 Ц Р . 2

п 3 713С;

4 0,2509 ра2т. = т, = — — • ------------------ = — 0,0844 ра2 ;

1 1 кз 0 ,5 9 9 4 -0 ,8 2 г

4 0,4955 ра2 „ „Шо = тч = — ---------• ------------------- - = — 0,0073 ра2 ;

3 3 27 л» 0 ,5 0 3 5 - 0 ,82 н

и далее:т 5 = т5 — — 0,0016 р а 2 ; т 7 = т 7 = — 0,0006 ра2 ;

т 9 = т'д = —0,0003 ра2 .

Опорные моменты на серединах защемленных сторон равны:

М°а = — (0,0844 — 0,0073 + 0,0016 — 0,0006 + 0,0003) ра2 == — 0,0784 ра2 .

101

о)ср = |^0,00603

Величины прогиба и изгибающих моментов (при [х = 0) в центре плиты находятся по данным, приведенным в табл. 9 и табл. III и V приложения:

2 Л , ™ , , 0,0073-0,0435— ( 0 ,0 8 4 4 - 0 ,1 4 0 6 - ---------------------- +

+ . . Л 1 ^ 1 = 0 , 0 0 2 2 7 ^ ,/ О о

М а ср = [0,056 - 2 (0,0844 ■ 0,1227 + 0.0073 • 0 ,0 2 0 5 --------) ] р а 2 == 0,035 ра2 ,

М Ьср = [0,0334 — 2(0 ,0844-0 ,1406 — 0,0073-0,0435 Н------ )] р а 2 == 0,0103 ра2 .

Пример 8 . Требуется рассчитать квадратную пластинку, защемлен­ную по всему контуру, загруженную сплошной равномерной нагрузкой р (рис. 34). Здесь вследствие симметрии задачи т„ = т'п |хт = у.'т и тк — М-к и система уравнений (5.9) приводится к одной группе урав­нений:

т= оо

у (о 1 \ V 2 [1 + (— 1)П+1] п\ 2 ) т'1 тг Ъ0 (т ,п) [хт —

т=1

=2л1±(_1г и (^ ^113 яЗ

Ограничиваясь удержанием в этой системе неизвестных с первы­ми пятью индексами, приходят к следующей системе уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

(0,5834 + 0,3183) + 0,0382 а3 + 0,0094 |х5 + 0,0036 ц7 + 0 ,0017>э == — 0,04301 ра2 ;

(0,5007 + 0,1061) [х3 + 0,1146 |хх + 0,0496 ^ + 0,0239 ц7 + 0,0127 ;х0 == - 0 ,0 0 2 3 8 ра2 ;

(0 ,5 + 0,0637) (л5 + 0,0471 ^ + 0,0827 (х3 + 0,0408 (х, + 0 . 0255 [Хд = = — 0,00051 р а 2 ;

(0 ,5 + 0,0455) ;х7 + 0 ,025 ^ + 0,0557 ;х3 + 0,0571 ц3 + 0,0332 (х9 == _ 0,00019 ра2 ;

(0 ,5 + 0,0354) |ха + 0,0153 [X! + 0,0381 [х3 + 0,0458 |л5 + 0,0428 |х7 =

= — 0,00013 ра2 ,решение которых будет:

т1 — )хх = — 0,048 ра2 , т? — ;х3 = 0,0049 ра2 , ть = ;х5 = 0,0023 ра2 , т7 = ;х7 = 0,001 ра2 , т 0 = ;х0 = 0,0005 ра2 .

102

Т а б л и ц а 12Прямоугольная плита, свободно опертая по

всему контуру, загруженная равномерно распределенной нагрузкой

*ср М Я С.Р МЪ ср " о « а «ь

0,50 0,01013 0,0965 0,0174 ± 0,0660 0,269 0,731

0,55 0,00938 0,0892 0 ,0 2 1 0 ± 0,0647 0,268 0 ,641

0,60 0,00865 0,0820 0,0243 ± 0 ,0633 0,267 0,566

0,65 0,00794 0,0750 0,0273 ± 0 ,0617 0,266 0,502

— 0 ,70 0,00726 0,0683 0,0298 ± 0 ,0599 0,265 0,450

6 0 ,75 0,00662 0,0619 0,0318 ± 0 ,0579 0,263 0,404

0,80 0,00603 0,0560 0,0334 ± 0 ,0557 0,261 0,364

0,85 0,00548 0,0506 0;0348 ± 0 ,0535 0,259 0,330

0 ,90 0,00498 0,0456 0,0359 ± 0 ,0512 0,256 0,300

0,95 0,00451 0,0410 0,0365 ± 0 ,0489 0,253 0,274

— 1 ,0 0 0,00406 0,0368 0,0368 ± 0 ,0464 0,250 0,250

0,95 0,00451 0,0365 0,0410 ± 0 ,0489 0,274 0,253

0 ,90 0,00498 0,0359 0,0456 ± 0,0512 0,300 0,256

0,85 0,00548 0,0348 0,0506 ± 0 ,0535 0,330 0,259

0 ,80 0,00603 0,0334 0,0560 ± 0 ,0557 0,364 0,261

. 0 ,75 0,00662 0,0318 0,0619 ± 0 ,0579 0,404 0,263О

— 0 ,70 0,00726 0,0298 0,0683 ± 0,0599 0,450 0,265л

0 ,65 0,00794 0,0273 0,0750 ± 0,0617 0,502 0,266

0 ,60 0,00865 0,0243 0,0820 '± 0 ,0633 0,566 0,267

0 ,55 0,00938 0 ,0 2 1 0 0,0892 ± 0,0647 0,641 0,268

0,50 0,01013 0,0174 0,0965 ± 0,0660 0,731 0,269

Множители при числовых данных:а ра*

при — < 1 : для прогибов — —, для прочих величин ра2;ь и ь рЬ4 •

при — < 1 : для прогибов —— , для прочих величин рЬ2. а и

103

Т а б л и ц а 13Прямоугольная плита, свободно опертая по

трем сторонам и защемленная по четвертой, загруженная равномерно распределенной

нагрузкой

ТО)шср К ср Л'ьср м 0 «а *ьз ^Ьс

0,50 0,00485 —0,1214 0,0584 0,0060 ± 0,0445 0,169 1,049 0,6130 ,55 0,00467 —0,1188 0,0562 0,0083 ± 0,0443 0,168 0,947 0,5450 ,60 0,00448 —0,1159 0,0538 0,0105 ± 0 ,0440 0,167 0,845 0,4870 ,65 0,00428 —0,1126 0,0512 0,0127 ± 0,0437 0,167 0,769 0,437

~ 0,70 0,00407 -0 ,1 0 8 9 0,0485 0,0149 ± 0,0433 0,166 0,702 0,394

0 ,75 0,00386 —0,1050 0,0457 0,0168 ± 0 ,0428 0,166 0,643 0,360

0,80 0,00365 —0,1008 0,0428 0,0187 ± 0,0422 0,165 0,591 0,329

0,85 0,00344 —0,0965 0,0400 0,0205 ± 0,0414 0,165 0,545 0,3020,90 0,00322 -0 ,0 9 2 2 0,0372 0 ,0 2 2 1 ± 0 ,0405 0,165 0,504 0,278

0 ,95 0,00300 —0,0880 0,0345 0,0234 ± 0 ,0395 0,165 0,467 0,255

~ 1 ,0 0 0,00278 —0,0839 0,0318 0,0243 ± 0 ,0383 0,166 0,433 0,2350 ,95 0,00318 —0,0881 0,0327 0,0282 ± 0 ,0409 0,186 0,440 0,2400,90 0,00362 —0,0924 0,0330 0,0323 ± 0 ,0435 0,209 0,449 0,2450,85 0,00411 —0,0967 0,0328 0,0369 ± 0 ,0462 0,234 0,460 0,2490 ,80 0,00465 —0 ,1 0 1 1 0,0324 0,0423 ±0,0491 0,263 0,471 0,253

6 ° ' 750,00526 —0,1055 0,0319 0,0485 ± 0 ,0523 0,298 0,482 0,257

7 0 - 700,00594 -0 ,1 0 9 6 0,0309 0,0553 ± 0 ,0554 0,339 0,492 0,260

0,65 0,00068 —0,1133 0,0292 0,0627 ± 0 ,0582 0,388 0,501 0,2620 ,60 0,00750 -0 ,1 1 6 5 0,0269 0,0707 ± 0 ,0606 0,447 0,508 0,2640 ,55 0,00837 —0,1192 0,0240 0,0792 ± 0 ,0628 0,519 0,514 0,2660,50 0,00927 —0,1215 0,0204 0,0880 ± 0,0648 0,606 0,520 0,268

Множители при числовых данных: а ра4

при “ < 1 : для прогибов —г - , для прочих величин ра2;ь иЬ рЪк

при — < 1 : для прогибов —~ , для прочих величин рЪ2. а О

С П 4

104

Т а б л и ц а 14Прямоугольная плита, свободно опертая по двум противоположным сторонам и защ ем­ленная по двум остальным, загруженная

равномерно распределенной нагрузкой

а —*-]

шср «2 "аср ^Ьср «а *ь

0,50 0,00262 —0,0845 0,0414 0,0017 0,098 0,9020,55 0,00257 -0 ,0 8 4 3 0,0408 0,0029 0,097 0,8120,60 0,00252 —0,0837 0,0400 0,0043 0,096 0,7370,65 0,00246 —0,0828 0,0391 0,0058 0,097 0,673

Т ° - 70 0,00240 —0,0816 0,0380 0,0073 0,097 0,617ь

0,75 0,00234 —0,0801 0,0366 0,0088 0,098 0,569

0,80 0,00227 -0 ,0 7 8 4 0,0350 0,0103 0,098 0,527

0,85 0,00220 —0,0765 0,0335 0,0119 0,099 0,490

0,90 0,00212 —0,0744 0,0319 0,0134 0,099 0,457

0,95 0,00203 -0 ,0 7 2 2 0,0302 0,0147 0,100 0,427

— 1,00 0,00192 —0,0698 0,0285 0,0158 0,102 0,398

0,95 0,00225 —0,0745 0,0297 0,0189 0,115 0,412

0,90 0,00262 —0,0796 0,0307 0,0225 0,130 0,426

0,85 0,00305 —0,0849 0,0314 0,0267 0,148 0,441

0,80 0,00355 —0,0902 0,0318 0,0316 0,170 0,455

0,75 0,00413 —0,0357 0,0320 0,0374 0,198 0,469

— 0,70 0,00480 —0,1011 0,0319 0,0442 0,232 0,482а 0,65 0,00558 —0,1063 0,0310 0,0519 0,274 0,495

0,60 0,00645 —0,1111 0,0292 0,0604 0,326 0,5070,55 0,00741 —0,1154 0,0266 0,0697 0,391 0,5180,50 0,00845 —0,1191 0,0234 0,0799 0,472 0,528

Множители при числовых данных:

а ^ 1 « Р " 4 ' 2 при — < 1: для прогибов " , для прочих величин раг\Ь и

Ь рь*при — < 1 :д л я прогибов------, для прочих величин ро2.а и

105

Т а б л и ц а 15Прямоугольная плита, свободно опертая по двум смежным сторонам и защемленная по двум остальным, загруженная равномерно

распределенной нагрузкой

Шср К < " а с р МЪ ср " о « а з «ас «Ь з «Ьс

0,50 0,00468 —0,1177 -0 ,0782 0,0560 0,0079 ±0,0443 0,350 0,157 0,967 0,526

0,55 0,00444 -0 ,1136 -0 ,0 7 7 9 0,0529 0,0105 ±0,0440 0,350 0,158 0,849 0,458

0,60 0,00418 - 0,1093 —0,0776 0,0496 0,0130 ±0,0436 0,350 0,158 0,756 0,403

0,65 0,00390 —0,1047 —0,0773 0,0462 0,0153 ±0,0430 0,350 0,159 0,670 0,356

— 0,70 0,00360 -0 ,0 9 9 6 -0 ,0768 0,0426 0,0171 ±0,0421 0,350 0,159 0,604 0,315Ь

0,75 0,00333 -0 ,0940 -0 ,0 7 5 9 0,0390 0,0188 ±0,0411 0,349 0,160 0,545 0,279

0,80 0,00308 -0 ,0882 —0,0746 0,0355 0,0203 ±0,0399 0,348 0,161 0,493 0,248

0,85 0,00283 -0 ,0825 -0 ,0731 0,0322 0,0216 ±0,0385 0,346 0,162 0,447 0,222

0,90 0,00258 —0,0773 -0 ,0714 0,0291 0,0226 ±0,0370 0,344 0,163 0,406 0,200

0,95 0,00234 —0,0724 —0,0696 0,0262 0,0232 ±0,0353 0,341 0,163 0,370 0,180

— 1,00 0,00210 -0 ,0 6 7 7 -0 ,0677 0,0234 0,0234 ±0,0333 0,338 0,162 0,338 0,162

0,95 0,00234 -0 ,0 6 9 6 -0 ,0724 0,0232 0,0262 ±0,0353 0,370 0,180 0,341 0,163

0,90 0,00258 -0 ,0714 —0,0773 0,0226 0,0291 ±0,0370 0,406 0,200 0,344 0,163

0,85 0,00283 —0,0731 -0 ,0825 0,0216 0,0322 ±0,0385 0,447 0,222 0,346 0,162

0,80 0,00308 —0,0746 -0 ,0882 0,0203 0,0355 ±0,0399 0,493 0,248 0,348 0,161

0,75 0,00333 —0,0759 -0 ,0940 0,0188 0,0390 ±0,0411 0,545 0,279 0,349 0,160

— 0,70 0,00360 -0 ,0 7 6 8 —0,0996 0,0171 0,0426 ±0.0421 0,604 0,315 0,350 0,159сс

0,65 0,00390 —0,0773 —0,1047 0,0153 0,0462 ±0,0430 0,670 0,356 0,350 0,159

0,60 0,00416 -0 ,0 7 7 6 -0 ,1093 0,0130 0,0496 ±0,0436 0,756 0,403 0,350 0,158

0,55 0,00444 —0,0779 -0 ,1 1 3 6 0,0105 0,0529 + 0,0440 0,849 0,458 0,350 0,158

0,50 0,00466 —0,0782 —0,1177 0,0079 0,0560 ±0,0443 0,967 0,526 0,350 0,157

Множители при числовых данных:а ра4

при — < 1 : для прогибов —~ , для прочих величин ра2;о иЬ г №

при — < 1 : для прогибов —— , для прочих величин рЬ2.

106

50 (55 <60 I65 (707580.859095

,00

,95,90,85,80,75,70,65,60,55,50

а--- <6

Ь---<а

Т а б л и ц а 16

Т

Прямоугольная плита, свободно опертая по одной стороне и защемленная по трем

остальным, загруженная равномерноI распределенной нагрузкой ,

М.а ср М Ь ср

-0,0836-0,0826-0,0813-0,0796-0,0774-0,0748-0,0720-0,0691-0,0660-0,0628-0,0596-0,0626-0,0655-0,0682-0,0706—0,0727—0,0743-0 ,0 7 5 5

■0,0765-0,0774-0,0782

-0 ,0563-0 ,0 5 6 4-0 ,0 5 6 6-0 ,0 5 6 9-0 ,0 5 7 2—0,0571-0 ,0 5 6 8—0,0564—0,0560—0,0556—0,0551—0,0599-0 ,0 6 5 2—0,0710—0,0773—0,0839—0,0907-0 ,0 9 7 8-0 ,1 0 4 6- 0,1101

—0,1140

0,04090,03980,03850,03700,03520,03330,03130,02920,02700,02490,02280,02300,02310,02290,02240,02140,01980,01770,01530,01270,0098

0,00280,00410,00590,00750,00910,01070,01230,01380,01510,01610,01670,01930,0222

0,02540,02890,03270,03680,04110,04520,04920,0535

0,254 0,254 0,255 0,257 0,259 0,260 0,261 0,262 0,263 0,264 0,265 0,293 0,325 0,362 0,405 0,456 0,515 0,584 0,662 0,752

|0,868

0,100

0,1000,0990,0990,100

0,100 0,101

0,101 0,102

0,1030,1050,120

0,1360,1540,1750,202

0,2350,2740,3200,3750,442

Множители при числовых данных:

0,8230,7360,6570,5910,5350,4870,4450,4080,3740,3430,3150,3200,3250,3300,3340,3370,3400,3420,3430,3440,345

Радля прогибов — , для прочих величин ра2;

цля прогибоврЬ4

О ’для прочих величин рб2.

4711 - 11111111111111И

мшпт

в-*

-

: I 1

Прямоугольная плита, защемленная по всему контуру, загруженная равномерно

распределенной нагрузкой

Т а б л и ц а 17

“■ср0 0

м ь •^а ср Мъ ср «а *ь

0 ,50 0,00251 —0,0826 — 0,0560 0,0401 0,0038 0,241 0,7590 ,55 0,00245 —0,0806 —0,0561 0,0385 0,0055 0,242 0,6670 ,60 0,00235 —0,0784 —0,0562 0,0367 0,0076 0,244 0,5890,65

а 0 ,0 0 2 2 2 -0 ,0 7 5 9 —0,0565 0,0346 0,0096 0,247 0,522— 0 ,70 ь 0,00209 —0,0731 -0 ,0 5 6 8 0,0322 0,0114 0,249 0,466

0 ,75 0,00197 —0,0698 —0,0564 0,0297 0,0129 0,250 0,4170 ,80 0,00184 —0,0661 —0,0558 0,0271 0,0143 0,251 0,3740,85 0,00170 —0,0620 —0,0550 0,0246 0,0156 0,251 0,3370,90 0,00156 —0,0580 -0 ,0 5 4 0 0 ,0 2 2 2 0,0167 0,251 0,3050 ,95 0,00142 —0,0543 —0,0527 0,0198 0,0173 0,251 0,276

— 1 ,0 0 0,00127 —0,0511 —0,0511 0,0176 0,0176 0,250 0,2500,95 0,00142 —0,0527 —0,0543 0,0173 0,0198 0,276 0,2510,90 0,00156 —0,0540 —0,0580 0,0167 0 ,0 2 2 2 0,305 0,2510 ,85 0,00170 —0,0550 —0,0620 0,0156 0,0246 0,337 0,2510 ,80 0,00184 —0,0558 —0,0661 0,0143 0,0271 0,374 0,251

6 ° ' 750,00197 —0,0564 —0,0698 0,0129 0,0297 0,417 0,250

— 0,70 а 0,00209 —0,0568 —0,0731 0,0114 0,0322 0,466 0,2490,65 0 ,0 0 2 2 2 —0,0565 —0,0759 0,0096 0,0346 0,522 0,2470 ,60 0,00235 —0,0562 —0,0784 0,0076 0,0367 0,589 0,2440,55 0,00245 —0,0561 —0,0806 0,0055 0,0385 0,667 0,2420,50 0,00251 —0,0560 -0 ,0 8 2 6 0,0038 0,0401 0,759 0,241

Множители при числовых данных:а ра*

при — < 1 : для прогибов — ,Ь Г>

Ь рЬ*при — < 1 : для прогибов ---- ,

а О

для прочих величин ра2;

для прочих величин рЪ \

108

Опорные моменты на серединах защемленных сторон равны:

М° = М°ь = — (0,048 + 0 ,0 0 0 4 9 — 0,0023 + 0,001 —

— 0,0005) ра2 = — 0,0511 ра2 .

Величины прогиба и изгибающих моментов (при (х = 0) в центре плиты определяются таким же путем, как в предыдущем примере:

и,ср = | о , 00406— ( о ,048-0 ,1435+

0 ,0049-0 ,0212 Р“ 4 _ л п п ^ о у + 9 " ) \ О ’ О ’

м аср = мьср = {0,0368 - 2 [0,048 (0,1435 + 0,0559) + + 0 ,0 0 4 9 (0 ,0 2 1 2 — 0 ,0 1 2 2 )--------]} ра2 = 0,0176ра2.

В табл. 12— 17 имеются данные для шести возможных случаев опи- рания прямоугольной плиты по контуру на жесткие опоры при загру­жении плиты сплошной равномерной нагрузкой. В этих таблицах даны величины прогибов и изгибающих моментов (при [*= 0 ) в центре пли­ты, опорных моментов на серединах защемленных граней, изгибающих моментов, действующих в диагональном направлении в тех углах пла­стинки, в которых сходятся свободно опертые стороны контура и величины полных опорных реакций на сторонах опорного контура.

Д алее приводятся табл. 18—25, в которых имеются числовые данные для восьми возможных случаев, когда опертая на жесткие опоры плита под действием нагрузки, распределенной по закону треугольника, дефор­мируется симметрично относительно одной из своих геометрических осей. Кроме тех ж е величин, что и в случае сплошной равномерной нагрузки, в них даны значения наибольших прогибов и изгибающих моментов (при [х = 0 ), определенные на основе деления площади плиты сеткой с шагом У8 пролета плиты в каждом направлении.

3. Прямоугольные плиты со свободными от защемления по всему контуру опорами

Если плита на всем контуре имеет или свободноопертые или сво­бодные от закреплений стороны, а все углы плиты закреплены от вер­тикальных перемещений, тогда в общем случае в уравнении ее упругой поверхности следует оставить только слагаемые т (х , у) и зависящие от коэффициентов разложений п п, пп, и чт . Таким образом, это уравнение представится в виде:

т= <ю— VI а 2

хю(х,у) = т{х, у) + 21| К Х о ( “ . ( 1— Ч)) +

т - 1

п — оо

+ о ( а .1))] 51П ткЪ + ^ 2_ 2 [п„Хо (?,(1 —6) ) + (5.14)п = 1

+ П'п Х о ( М ) ] 5‘п П7111-

109

Т а б л и ц а 18

Прямоугольная плита, свободно опертая по всему контуру,

загруженная гидростатической нагрузкой

Хй)Ч> Л'аср ^Ьср « 0 1 ЛГоа “ макс ^а макс ^ Ьмакс

. 0,50 0,00506 0,0482 0,0087 ±0,0377 ±0,0284 0,00506 0,0502 0,01170,55 0,00469 0,0446 0,0105 ±0,0371 ±0,0277 0,00469 0,0468 0,01260,60 0,00432 0,0410 0,0121 ±0,0364 ±0,0269 0,00432 0,0435 0,01350,65 0,00397 0,0375 0,0136 ±0,0356 ±0,0261 0,00397 0,0402 0,0142

— 0,70 6 0,75

0,00363 0,0341 0,0149 ±0,0347 ±0,0252 0,00363 0,0369 0,01490,00331 0,0310 0,0159 ±0,0337 ±0,0242 0,00331 0,0339 0,0159

0,80 0,00302 0,0280 0,0167 ±0,0327 ±0,0232 0,00302 0,0311 0,01670,85 0,00274 0,0253 0,0174 ±0,0315 ±0,0221 0,00274 0,0285 0,01740,90 0,00249 0,0228 0,0180 ±0,0303 ±0,0209 0,00249 0,0260 0,01800,95 0,00226 0,0205 0,0183 ±0,0291 ±0,0197 0,00226 0,0237 0,01831,00 0,00203 0,0184 0,0184 ±0,0279 ±0,0185 0,00203 0,0216 0,01840,Ь5 0,00226 0,0183 0,0205 ±0,0294 ±0,0194 0,00226 0,0223 0,02050,60 0,00249 0,0180 0,0228 ±0,0311 ±0,0201 0,00249 0,0228 0,02280,85 0,00274 0,0174 0,0253 ±0,0329 ±0,0206 0,00275 0,0230 0,02530,80 0,00302 0,0167 0,0280 ±0,0348 ±0,0209 0,00305 0,0232 0,02800,75 0,00331 0,0159 0,0310 ±0,0367 ±0,0212 0,00336 0,0233 0,0311

гь' о.70 0,00363 0,0149 0,0341 ±0,0386 ±0,0213 0,00371 0,0233 0,0345а 0 *6 5 0,00397 0,0136 0,0375 ±0,0406 ±0,0211 0,00409 0,0230 0,0384

0,60 0,00432 0,0121 0,0410 ±0,0427 ±0,0206 0,00449 0,0225 0,04250,55 0,00469 0,0105 0,0446 ±0,0449 ±0,0199 0,00494 0,0218 0,04700,50 0,00506 0,0087 0,0482 ±0,0471 ±0,0190 0,00541 0,0208 0,0514

Множители при числовых данных:а ца*

при — < 1: для прогибов —— , для моментов </а2; Ь иЬ <7 Ь'

п ри — < 1: для прогибов —— , для моментов аЬ2.а О

110

Прямоугольная плита, свободно опертая по трем сторонам

и защемленная по четвертой, загруженная гидростатической нагрузкой,

имеющей наименьшую величину на защемленной стороне

Т а б л и ц а 19

ПУ_Ср К " а с р « Ь с р Мо “'макс макс М Ь макс

0,50 0,00266 —0,0560 0,0311 0,0031 ±0,0279 0,00283 0,0384 0,00700,55 0,00257 —0,0546 0,0298 0,0045 ±0,0278 0,00273 0,0370 0,00760,60 0,00246 —0,0529 0,0284 0,0058 ±0,0277 0,00261 0,0354 0,00820,65 0,00234 —0,0509 0,0270 0,0071 ±0,0276 0,00247 0,0336 0,0090

5 0,70 0,00222 —0,0489 0,0255 0,0083 ±0,0274 0,00234 0,0317 0,0098ь 0,75 0,00210 —0,0468 0,0240 0,0094 ±0,0271 0,00222 0,0299 0,0106

0,80 0;00198 —0,0446 0,0224 0,0103 ±0,0267 0,00210 0,0282 0,01130,85 0,00186 -0,0424 0,0209 0,0112 ±0,0262 0,00197 0,0265 0,0120о,ео 0,00174 —0,0401 0,0194 0,0120 ±0,0257 0,00184 0,0248 0,01260,95 0,00162 -0,0377 0,0179 0,0127 ±0,0252 0,00171 0,0231 0,0133

_ 1,00 0,00150 —0,0352 0,0163 0,0132 ±0,0246 0,00159 0,0215 0,01380,95 0,00171 —0,0364 0,0166 0,0152 ±0,0262 0,00182 0,0222 0,01590,90 0,00194 —0,0377 0,0166 0,0174 ±0,0279 0,00206 0,0228 0,01830,85 0,00219 —0,0390 0,0162 0,0199 ±0,0298 0,00237 0,0233 0,02110,80 0,00247 —0,0399 0,0158 0,0226 ± 0 ,0320 0,00269 0,0237 0,02410,75 0,00279 —0,0406 0,0154 0,0258 ±0,0346 0,00302 0,0238 0,0275

А 0,70 0,00314 —0,0409 0,0149 0,0294 ±0,0371 0,00339 0,0238 0,0313а 0,65 0,00352 —0,0408 0,0141 0,0331 ±0,0396 0,00379 0,0237 0,С 357

0,60 0,00393 —0,0403 0,0130 0,0369 ±0,0419 0,00423 0,0231 0,0401

0,55 0,00436 —0,0392 0,0114 0,0412 ±0,0443 0,00472 0,0223 0,0449

0,50 0,00482 — 0,0377 0,0095 0,0457 ±0,0466 0,00526 0,0212 0,0500

Множители при числовых данных: а да*

п р и — < 1: для прогибов — , для моментов да2:Ь РЪ дЬ1

при— < 1: для прогибов — , для моментов дЬ2.

111

Прямоугольная плита, свободно опертая по трем сторонам и защемленная

по четвертой, загруженная гидростатической нагрузкой, имеющей наибольшую величину

на защемленной стороне

Т а б л и ц а 20

хю „ Ср К Ма ср " ь сР м 0 ^м акс макс ^ Ь м а к с

0,50 0,00219 —0,0654 0,0273 0,0029 ±0,0166 0,00219 0,0273 0,00510,55 0,00211 —0,0642 0,0264 0,0038 + 0,0165 0,00211 0,0264 0,00590,60 0,00202 —0,0630 0,0254 0,0047 ±0,0163 0,00202 0,0254 0,00670,65

и0,00194 —0,0617 0,0242 0,0057 ±0,0161 0,00194 0,0242 0,0076

— 0,70 ь 0,00185 —0,0600 0,0230 0,0066 ±0,0159 0,00185 0,0230 0,0084

0,75 0,00176 —0,0582 0,0217 0,0075 ±0,0157 0,00176 0,0217 0,00890,80 0,00167 —0,0562 0,0205 0,0084 ±0,0155 0,00167 0,0205 0,00930,85 0,00158 —0,0541 0,0192 0,0093 ±0,0152 0,00158 0,0192 0,00970,90 0,00148 —0,0521 0,0179 0,0101 ±0,0148 0,00148 0,0179 0,01020,95 0,00138 —0,0503 0,0167 0,0107 ±0,0143 0,00138 0,0167 0,0107

— 1,00 0,00128 —0,0487 0,0155 0,0111 ±0,0137 0,00128 0,0155 0,01110,95 0,00147 —0,0517 0,0160 0,0129 ±0,0147 0,00147 0,0160 0,01290,90 0,00168 —0,0547 0,0163 0,0149 ±0,0156 0,00168 0,0163 0,01490,85 0,00191 —0,0578 0,0165 0,0172 ±0,0164 0,00191 0,0167 0,01720,80 0,00218 —0,0612 0,0167 0,0197 ±0,0171 0,00218 0,0171 0,01970,75ь 0,00247 —0,0649 0,0165 0,0226 ±0,0177 0,00247 0,0174 0,0226

— 0,70 (1

0,00280 —0,0687 0,0159 0,0259 ±0,0183 0,00280 0,0176 0,02590,65 0,00317 —0,0724 0,0151 0,0296 ±0,0186 0,00317 0,0175 0,02960,60 0,00357 —0,0762 0,0139 0,0338 ±0,0187 0,00357 0,0173 0,03380,55 0,00400 —0,0800 0,0126 0,0380 ±0,0185 0,00400 0,0171 0,03800,50 0,00446 —0,0838 0,0109 0,0423 ±0,0182 0,00446 0,0169 0,0423

Множители при числовых данных:

при ^ < 1: для прогибов , для моментов <7<22;

Ь дЬ*ПРИ а Для прогибов , для моментов <7б2.

112

Прямоугольная плита, свободно опертая по двум противоположным сторонам и защемленная по двум остальным,

загруженная гидростатической нагрузкой, изменяющейся вдоль свободно опертых

сторон

Т а б л и ц а 21

шср0 0

Ми масР л*Ь ср шмакс л*амакс ^ Ьмакс

0,50 0,00131 -0,0509 —0,0336 ),0207 (),0009 0,00131 С>,0208 ( , 0037

0,55 0,00129--0,0507 —0,0334 ),0204 ),0015 0,00129 (),0205 3,0042

0,60 0,00126 —0,0505 —0,0332 ),0200 3,0021 0,00126 3,0202 3,0048

0,65 0,00123 —0,0499 —0,0329 3,0195 3,0029 0,00123 3,0196 3,0054

— 0,70 0,00120 -0,0492 —0,0324 0,0190 0,0036 0,00120 3,0191 0,0060

Ь 0,75 0,00117 —0,0483 —0,0318 0,0183 0,0044 0,00117 3,0184 0,0065

0,80 0,00114 —0,0474 —0,0310 0,0175 0,0052 0,00114 0,0177 0,0069

0,85 0,00110 —0,0464 —0,0300 0,0167 0,0059 0,00110 0,0170 0,0072

0,90 0,00106 —0,0454 —0,0289 0,0159 0,0067 0,00106 0,0163 0,0075

0,95 0,00101 —0,0443 —0,0278 0,0151 0,0073 0,00101 0,0156 0,0077

—1,00 0,00096 —0,0431 —0,0267 0,0142 0,0079 0,00096 0,0148 0,0079

0,95 0,00112 —0,0465 —0,0282 0,0149 0,0095 0,00112 0,0156 0,0095

0,90 0,00131 —0,0501 —0,0296 0,0153 0,0112 0,00131 0,0164 0,0112

0,85 0,00152 —0,0538 —0,030910,0157 0,0133 0,00152 0,0171 0,0133

0,80 0,00177 —0,0580 —0,0321 0,0159 0,0158 0,00177 0,0177 0,0158

0,75 0,00207 —0,0624 —0,0331 0.016С 0,0187 0,00207 0,0181 0,0187

— 0,70 0.0024С —0,0671 —0,0341 0,015< 0,0221 0.0024С 0,018 10,0221

° 0,65 0,0027( —0,071' —0,035()0,015< 0,026( 0,00274) 0,018(3 0,0260

0,60 0,0032 2—0,075 —0,035 Э 0,014 5 0,030 2 0,0032'20,017 5 0,0302

0,55 0,00373—0,078В —0,0367 0,0133 0,034Э 0,0037 30,0172 0,0349

0,50 0,00422—0,081 8 —0,0374 0,0117 0,0399 0,004220,0168 0,0399

Множители при числовых данных:

а 2ПрИ — < 1: для ярогибов — , для моментов <7а ;

8 А. С. К алм анок

при — < 1: Для прогибов ~ , для моментов <7&2.

2[11П11И11ПШ1

Т а б л и ц а 22Прямоугольная плита, свободно опертая

по двум противоположным сторонам и защемленная по двум остальным,

загруженная гидростатической нагрузкой, изменяющаяся вдоль защемленных сторон

““ср К ср Ма ср МЬ ср “’макс МЪ макс амакс Ьмакс

0,50 0,00422 —0,0596 0,0399 0,0117 0,00422 —0,0601 0,0425 0,01170,55 0,00370 —0,0577 0,0349 0,0133 0,00370 —0,0582 0,0375 0,01330,60 0,00322 —0,0556 0,0302 0,0146 0,00322 -0,0562 0,0330 0,01460,65 0,00279 —0,0532 0,0260 0,0155 0,00279 -0,0543 0,0290 0,0155

— 0,70и 0,00240 —0,0506 0,0221 0,0159 0,00240 —0,0522 0,0254 0,01590,75 0,00207 —0,0479 0,0187 0,0160 0,00207 -0,0499 0,0225 0,01600,80 0,00177 —0,0451 0,0158 0,0159 0,00177 -0,0475 0,0202 0,01590,85 0,00152 —0,0425 0,0133 0,0157 0,00152 —0,0450 0,0191 0,01570,90 0,00131 —0,0398 0,0112 0,0153 0,00131 —0,0424 0,0163 0,01530,95 0,00112 —0,0373 0,0095 0,0149 0,00113 —0,0399 0,0146 0,0149

— 1,00 0,00096 —0,0349 0,0079 0,0142 0,00098 -0,0375 0,0130 0,01420,95 0,00101 —0,0361 0,0073 0,0151 0,00105 -0,0389 0,0131 0,01520,90 0,00106 —0,0372 0,0067 0,0159 0,00112 —0,0403 0,0131 0,01630,85 0,00110 —0,0382 0,0059 0,0167 0,00119 —0,0417 0,0129 0,01740,80 0,00114 —0,0392 0,0052 0,0175 0,00126 —0,0433 0,0125 0,01850,75 0,00117 —0,0401 0,0044 0,0183 0,00132 -0,0451 0,0121 0,0198

— 0,70 0,00120 —0,0408 0,0036 0,0190 0,00138 —0,0473 0,0115 0,0210а 0,65 0,00123 -0,0414 0,0029 0,0195 0,00144 —0,0496 0,0108 0,0220

0,60 0,00126 -0,0419 0,0021 0,0200 0,00150 —0,0521 0,0099 0,02310,55 0,00129 —0,0421 0,0015 0,0204 0,00156 —0,0546 0,0089 0,02390,50 0,00131 —0,0423 0,0009 0,0207 0,00161 -0,0572 0,0076 0,0247

Множители при числовых данных:

при

при

114

< 1: для прогибов

< 1: для прогибов

<?а4

<7&4

для моментов <?а2;

для моментов цЬ2.

Я к

* як «

ХО а « Л <цН « х

о

Щ оё 5

о О .о <и сЕ ° а . ®- 5С о03К ОЛX ей Я * а>5 >.* х и X6 2 2 *со «=?<и X м«и 2я >> ° Э

»я

я =еСо »я

с 2 * * н яси<и * с »я

° §

о &

о3 *-Г * Щ и Н 4>я я* П хс 5я “Е °I Iо 5и>»О5ксиС

О «О3

ю с о м й м о с о о о о а>1-<со<г>о><мюоост>оэсоГ--ООСТ)т—<С^СЧСЧСОСО(М' 'ЮСО^-С750’—'СЧСО^ 0 гЧг_(гч г-(гчгНгН^НгНг-гНг-н(МО)(МС^О1о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о оо о о о

(МСДОСО(МОООООСОт-1УЗЬЬЮОСОСЧЮО'^СОЮОЮЬЮСООООСОЮСОСОСОСОСОС^СЧгнг-.ОЗСОСОСООК^ОКМТ-ГНГНГНГНГНГН^ГЧГЧГНГНГЧОо о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о ою '- 'м ^ ю ^ г - . ^ ь с о г н о о ь с о а ю с о ь с о о г ню с о ю ю ^ с о с ^ о о о ь о ь о з г н с о ю с о о о э ю о )^ ^ ^ ^ ^ т с ^ г с с о с о с о с о с о ^ ^ ^ ^ ю ю ю юо о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

’ ? ? ?о о о о о о о

И Т Т 7 Т Т 7 Т Т ТСОСЧт-'ОСМтГООСМ^СООСЛЬ-ЮСЧ^СОГ^-’- ЮОО^ ^ с ^ о с о с о ^ с о г - о о т а з о ’- с ^ с ^ с о о о ^ ^ '^С^С С С 1 г— -(г—II—н О О ’—§ о о о о о о о о о о о о о о о о о о < о о о о о о о о о о о о о о о о о^о_<о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о^ о ю о о а з о о с о '^ '^ ^ с о с ^ с ч с о ю ю с о о с о '- 'с ою ь со с ^ О г н (М (м с ^ о )с ч о о ^ ю ю ь с о с п а ) 0 0§О О О Н т Н г - Н г Н Н Н г 1 Н г - г н Н г Н Н Н ( М ( М

О О О О О О О О О О О О О О О О О О О ОО О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О

ТМ^Ю С^ОООООООЮ СОЬОСМ^СОСО^^ЬО О О Ю С О ’—■ О СО ^ С4 ' О О О Ь Ь Ю Ю ^ С О С О С Ч . - Н ' - 'О) СЧ СЧ СЧ гн гн 1—I т—I т—> о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о оо о о о о о о о о о о о о о о о о о о о оО ^О О ’ Ь О О Ь ^ О О С Ч ^ Ь ’-'ЮСЛСОЮКЮОСО(Мгнг1 0 0 )ООЬСО'^СОгн(МтГЮЮОООЗО’-<(МС^Т^Т^^СОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОООСО’ ' ^ ^ ^о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

ао

о о о г ^ о с м ^ с о о о т—• ососча>ю<мсг>соЮ^^^СОСОСО(МСМо о о о о о о о о

СЧЬОСОЬгн СО О О 05 00 СО(М С Ч С Ч гнгч^о о о о о о

гнОООЮ^(МСО ^ СО (М 1-н

о о о о о о к

со ^ I -

х§.|с>23ю т§ 5

=т ? г т ? =т ,:?‘т =т ? ?■^СЧгнСТ)ЬЮСО(МОСЧОКМ»-'’—' т -н т -н т -н г -чо о о о о о о о оо о о о о о о о о

ЮСОФЮГНСОО оо 00 о о оО О О О гн г-.“ о о о о о о о о о о

« О г н Ю О О О<гнСЧСМ(>)СОо о о с о о о с

о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о оо ю о ю о ю о ю о10 Ю СО СО С"- СО 00 О О О О О О О О О О С

а I

юо юоюо юоюо юоСПОСЛСЛСОСОЬЬСОЮЮЮ

«=(

< о о о о о о о о о о •с» I а

V

а |окОнк

к*=С

V •о а

ко.с

8* 115

т*< к<М евса XXЯ ок Щч >»

о-УО и.ев«3 со

н _Xо о.

5 ° 3 н х “

х ° К оО. д-

о §0 юС ОСПк Ол -* 2а: * а>* Е1 *Л 5

« 2х >>§ ■ 1 г *5 «

5г=г 5 о * х1=с»х о «" I<иК _ев X НО. -<и >5с Оо *9 >*я о.се По лю X0со вз:У о► *(в он 0>32 5ч *с йК **1 О 5 1 4 ? г г >1О2 к а.С

оXСО2Л3

оос ооазазсот-«юсг)юсо1 -ооооазосчсог-чоюсо<о ооа>ооооот-«счоо юг'-«соо»~'соООООООг-•»—1т-н-Чг—1г-н*—«т—<т—1т—1-<СЧСЧ-|О О 0 0 00000000000000 0^00о" о о" о о" о~ О*1 о” о" о о* о” о о" о о” о о о о о”

макс г-< ю оо о и оо ^ююсою сосос с о»

СЧСЧСМ’—'г—«г—<т—(г-нг-чг—«ооооооооооо ооооооо о о о о о о о о о о о о о оо О О О О О ООО о ооооооооооо

ом«02V

(Моос^юсоофьююьос^соююоюоососоюю сосчгноо ооосоюьогнсососоаСОСОСОСОСОСОСОСОСОССЧСОСОСОСОСО'Ф’ т то о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

т ^ ^ т т т т т т т т т т ^ т т т т т т

ожСО28

сооосоазюс оью гноо азюоосогчгносос ю- со’—'оаюос -ооооа оог-нт—<с со( гнгнгнгнгнг-■г-нООООООО'-Ч’-н'*—<1 г->Ч—>и-н1о о о о о о о о о о 8 о о 8 о о о о о о о о" оооооо о о о о о о о о о о о о о о

" аид

^ с о о о а з а с о г н ю м о ю с о м э о с о о з о о о о ю с о^ЮСОЬСОООООООгнС СО ЮЮЬОООО О О О О О О * —'1-- ' Г ^ Г Н г Н , --< Т—1 1-- ---------- 11--1,-- ----- 1 »—< СЧо ооооооооооо ооооооооо ооооооооооооооооооооо"

ао

г - . Ю ^ О О О т —К Г О С ^ С Ч О О Ю С О О С О ^ С О С О ^ Т ^ Ю Г ^ - Ю С О г - 1 СП Ь - СО СЧ т—« С ^ О О О О О О ^ ^ С О Ю ' ^ ' С О С М ’—•СЧ СЧ СЧ г н г н г - ^ г н . —11—1ОООО о о о о о о о о ооооооооооо^ ооооооооооо" оо о о о о о о о о о о о о о о о о о о

о д

счоосчсооооэаэг'-юсо -чососчсоооспоососоЮ С О Ю Ю ' Ф С О С Ч г - н О а г о О О ’—- С О ъ С С 0 1 > . С О С П О т —. СО СО СО СО СО СО СО СО СО СЧ СЧ СО СО СО СО СО СО СО СОо о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

О СЧ %

гнсосоакооюмюоююююм о'-'гнгнгчс оь- гнооюсчааь юсоьсоо гнсчсотгюЮ С О Ю Ю Ю - Ф ' ^ ^ С О С О С О С О С О С О С О С О ^ " ^ ' ^ ' ^ ^о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о0 ^ - 0 ^ 0 ^ - 0 0 0 0 ^ 0 ^ 0 0 ^ 0 0 0

а8 °

сооосооюс оэмо’ф г-.со^о'^оосчсоо О О О Г ^ Ю ^ С О г - О О С О Ь О О О О а С П О О г - 1 у—' СЧ СЧ СЧ »—< »—< 1—< *—1 ’—' О О О О О О О * —<’—' »—|»—' г —11—Iо о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о ОООООООО ООО 0 ^ 0 0 о о о о о о оо~ооо~ооооо~оооооооооооооюоюоюоюоюоюоюоюоюоюоююФюм^сооооооо^оооооььюсоююо" о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о

а | *с> | -о| а

м

о,сЧо ,с

116

Мно

жит

ели

при

числ

овых

да

нны

х:

Пря

моу

голь

ная

плит

а,

защ

емле

нная

по

всем

у ко

нтур

у,

загр

ужен

ная

гидр

оста

тиче

ской

на

груз

кой

03ЯК4

мак

с гаоо о

1500 0

0500 0 0,

0055

0,00

580,

0066

0,00

720,

0078

0,00

830,

0086

0,00

880,

0099

0,01

110,

0123

0,01

360,

0150

0,01

640,

0180

0,01

960,

0210

0,02

23

о*ев2СО 0,

0200

0,01

920,

0183

0,01

730,

0161

0,01

520,

0142

1 0

,013

2 0,

0122

0,01

120,

0101

0,01

030,

0104

0,01

030,

0101

0,00

970,

0093

0,00

920,

0092

0,00

920,

0092

имСО2

о д

—0,

0294

—0,

0296

-0,0

297

—0,

0298

-0,0

298

-0,0

296

—0,

0293

—0,

0290

-0,0

285

-0,0

279

—0,

0270

1

—0,

0291

-0,0

313

—0,

0336

—0,

0360

—0,

0387

—0,

0414

-0,0

438

-0,0

461

-0,0

482

-0,0

500

асо2

8 0,00

125

0,00

122

0 ,00

117

0,00

111

0,00

104

0,00

098

0,00

092

0,00

085

0,00

078

0,00

071

0,00

064

0,00

071

0,00

078

0,00

085

0,00

092

0,00

098

0,00

104

0,00

112

0,00

119

0,00

128

0,00

139

"ь

ср

0,00

190,

0028

0,00

38

0,00

480,

0058

0,00

660,

0072

1 0

,007

8 0,

0083

0,00

860,

0088

0,00

99

0,01

110,

0123

0,01

36

0,01

490,

0161

0,01

730,

0183

0,01

920,

0200

о.осо 0,

0200

0,01

920,

0183

0,01

730,

0161

0,01

490,

0136

| 0

,012

3 0,

0111

9800‘0 8800‘0 6600‘0 0,

0083

0,00

780,

0072

0 00

66

0,00

58

0,00

480,

0038

0,00

280,

0019

о д

-0,0

280

-0,0

280

-0,0

281

-0,0

283

-0,0

284

-0,0

282

-0,0

279

-0,0

275

-0,0

270

-0,0

263

-0,0

255

—0,

0271

—0,

0290

—0,

0310

-0,0

330

-0,0

349

-0,0

366

—0,

0380

-0,0

392

—0,

0403

—0,

0413

<М О я3

-0,0

327

—0,

0319

-0,0

309

-0,0

297

-0,0

282

—0,

0266

—0,

0249

-0,0

230

-0,0

211

—0,

0194

—0,

0178

—0,

0178

-0,0

177

-0,0

175

—0,

0171

—0,

0166

—0,

0158

-0,0

147

—0,

0135

—0,

0123

—0,

0111

О СО

—0,

0499

-0,0

487

—0,

0475

—0,

0463

—0,

0449

—0,

0431

-0,0

412

-0,0

391

—0,

0370

-0,0

351

—0,

0333

-0,0

348

—0,

0362

—0,

0375

—0,

0387

—0,

0399

—0,

0410

—0,

0419

—0,

0427

-0.0

434

—0,

0449

Сио§

0,00

125

0,00

122

0,00

117

0,00

111

0,00

104

0,00

098

0,00

092

0,00

085

0,00

078

0,00

071

0,00

064

0,00

071

0,00

078

0,00

085

0,00

092

0,00

098

0,00

104

0,00

111

0,00

117

0,00

122

0,00

125

0,50

0,55

0,60

ю о ю <г> 0*0*0* а | «

0,80

0,85

0,90

ю о ю 0 )0 0 )©%-н*0*

1

о ю оО) 00 00 о ’0*0*

ю О ю со0*0*0*

•о| а

о ю о ю ю ю0*0*0*

X3кк03

X3СОо5КВ*КСиСК4онккок5

ао

к<Уо

к1=3с*

& | 303ою5ОСиск§

ськО)оЕкч<=*

о\окиоа,Скчь*

V V

......... .

= \ I

• тпш птттт 1 1

Опорная реакция, возникающая при этом, например, на стороне х = 0 контура, учитывая разложения (4.11), может быть представлена в виде ряда:

х=0п= СО

тк

т=1чт [Хо (®, (1 — Ч)) — (2 — (а) '/.г (*. (1 —Ч))] +

+ Л п [Хо (а . Ч) — (2 — (а) Х2 (<*. Ч)]| -П — со

~ И ^ { М Х з ( М ) - ( 2 - ! * ) Х 1 ( М ) ] -п -1

—'ПП [Хз ( М ) — (2 — V) XI (Р.О)]} з1п п щ =

П— соV 1 пк (

п-1

— (1 — (*2) во {т >п)[чт + ( — 1)” +1 , т ] | 51П п щ , (5.15)т -1

где для сокращения записи обозначено:

Ф ( Р . е ) = (1 - ц ) [2 ь ( р . 5) - (1 + (X) 7.3 № .2)1 • (5 .16)При свободе от закреплений на рассматриваемой стороне контура

выражение в фигурных скобках (5.15) должно равняться нулю, В об­щем случае для всех четырех сторон контура находят четыре группы уравнений:

X<И М ) я „ — Ф (Р.О) «Д — ( 1 _ ^ 2 ) ^ 1

т= 1

Х » о (« ,я ) [ ' т + ( ~ 1)П+1 Ъ,] = « •„ .т= оо

Ф (Р .I) «А — Ф (Р.0 )ЛЯ — 2 (— 1) т + 1 (1 — р 2) ~ ~ Xт-1

Х 5 0 ( т , п ) [ ^ + ( - 1)п + 1 чт ] = т ; ,

Ф М Ь — ф(а, ° ) ^ - У (1_|д.«)— хп -1

(5 .17)

118

ХЬ0(т ,п ) [ « „ + ( — 1 )т+ 1 п'п ] = У т ,

П— 00

+ (« .1 ) ^ — К я . О ) ^ - Ц ( - 1 ) " +1 ( 1- “2) ^П — \

х \ ( т , « ) [ « „ + ( - 1)т + 1 п „ ] = т т ,

X

I

составляющие в совокупности бесконечную систему линейных алгебраи­ческих уравнений. Свободные члены этой системы уравнений имеют вид:

а) Д ля обобщенной гидростатической нагрузки р(х,у)

V » - - ^ { [ [ 1 + (— 1)п+1] Р + ( - 1 ) " +1Ч [с , (? . - у ) -

— (2 — (*)Сж’(э . - у ) - [ 1 + ( - 1)я + 1] ъ . Ь ( М ) +

+ (2 -< л) ( у - Ь ( Р . О ) ) ] | ,

< = ~ + ( - 1) п+1] р + ( - 1) п+1^ ] [ с , (р . 4 " ) -

— (2 — н-) С], (р , - у ) ] + [1 + ( - 1 )га+1] <?« [х з (Р . 1) +

+ (2

у т — — { [ [ 1 + (— 1)т + 1 ]р + (— 1)т + 1 ? а ] [ с з ( “ . - у

- [ ! + ( - ! ) ' 11 яь |хз К 0 ) +

+ (2 -| *)(-~Х 1 (..0) )]} ,

11« = ~ ^ { Ч 1 + (- 1)Щ+11р + ( _ 1)П,+] ч*

1>К- тЬ

[ 1 + ( — 1)т+ 1 ] ? * [ х з ( « , 1 ) +

+ (2 - | х ) — - Х1 (« ,! )

б) Для нагрузки, распределенной по прямоугольнику а0 X Ьп, центр которого совпадает с центром плиты:

119

л—1

1Р* ^ЦГ — п п(— 1) 2 [1 + ( - 1)п+1] з т ' ^ з Ьп + П . , „ ^ 8Ь

26 П 2 а

сЬ7/гте [(3 - ц ) -

1^)1 р *1' 1 2а 2а 2 2 / « 3* 3

ЧГ —ю*' .т т~ [(3-|0-

т —1

( _ 1 )“ Г [1 + ( _ 1) » + 1 ] 81п ^ - в Ь ^ -______________________________ 2а______ 276

тп сЪ —

2 т/ ткЬ0 ткЬ0 тп т \ ] ра2

- < ' - ^ ( - 2 ^ саЧ ^ ~ 2т” 2 Г № -в) Д ля нагрузки Р, сосредоточенной в центре плиты:

п—1

, т г _ да' _ ( - 1 ) 2 [1 + ( - 1>"+ 11Р ч ,п— к п— ------------ ------------------ А4 пл

(5.19)

XсЬ

т—1(5.20)

\ТГ — 11Г _т т■ ( - 1) 2 [1 + ( —1)т + Ч р

X

4 тк

2 + ( 1- ( х ) -^ -Ш у

сЬ

X

В случае, если на какой-либо стороне контура плита опирается на жесткие опоры, соответствующие коэффициенты в разложении (5.14) и системе уравнений (5.17) принимаются равными нулю, а соответствую­щая группа уравнений не выписывается.

Величины изгибающих моментов прн[х=0 находятся по формулам: __ т - «о

М а = - П -д — [Х- 'У) + ^ [% ,*(,(« . (1 — € ] + ъ Хдх2

т = 1и — ад

Х Х о К ч)] 51п/птс$- [ п д 2 (р , ' ( 1 — ?)) + « ЛХ2( М ) р 'п я т п ь я=1

(5.21)

120

м яп=1

+ П'п1 о ^)] 31ПП1Г-Г) +т -оо

+ X Ь т х 2 ^ )) + ^ ш Х2 («- Ч) ] 51П /П .

(5.21)

* /

т = 1Ниже приводятся табл. 26—28, в которых представлены данные для

трех случаев расчета прямоугольной плиты со свободными краями при загружении сплошной равномер­ной нагрузкой. Таблицы вычисле­ны в предположении р = 0. В них даны значения прогибов и изги­бающих моментов в центре плиты и на серединах свободных граней, а такж е опорных реакций на опертых сторонах и в тех углах плиты, где сходятся две свобод­ные стороны. Эти сосредоточен­ные опорные реакции по абсолют­ной величине равны удвоеннымизгибающим моментам, действующим по направлениям биссектрисы и нормальному к нему в указанных углах.

Возможны еще два варианта прямоугольных плит с рассматривае­мыми в настоящем разделе граничными условиями. Первый —- случай плиты, опертой по трем сторонам на жесткие опоры, рассмотрен в сле­дующем разделе; второй — плиты, опертой по двум противоположным сторонам на жесткие опоры при сплошной равномерной нагрузке, при­водится при [л=0 к случаю цилиндрического изгиба. Практический инте­рес представляет расчет плит этого типа только на местную нагрузку. Один подобный случай приводится ниже в качестве примера.

Пример 9. Требуется рассчитать плиту, опертую на две противопо­ложные стороны на жесткие опоры и загруженную равномерной на­грузкой, распределенной вдоль свободной от закреплений стороны у —О (рис. 35). Здесь пп—п п,^'т = о . а свободные члены Фтопределяются

из разложения постоянной величины нагрузки в ряд по синусам (5.6). Таким образом, система уравнений (5.17) в этом случае принимает вид:

! ) чт — Ф(“ . ° ) чт =2 [1 + (—1)т + 1 ] е а

отсюда2 [ 1 + ( - 1)т + 1] ф ( « . 1) Ва

« ■ *■ {№ (» . 1) ] * - № ( « , 0 )]*} ■ Так, в случае 7 = 0,5 при коэффициенте р. = 0 :

______4-1,5001 %а_______

"1 = л* (1,5001я -0 ,0 1 7 3 * )

' _ Ф К О )Ут ф ( а , 1) ^

= 0 ,27 е а ;

121

Xв

оЕко.

с

оО*

оюоюоюоюоюоюоюоюоюоюоЮ Ь О С ^ Ю Ь О ( ^ Ю Ь О М О ( М О Ы О О ) О М ОСЧСОЮСОЬСОО’-'СЧСОЮСОСЧГНОСО^СОЮСОО!

о о о о о" о" о о о" о~ о о о о о о о о о о о

охз

СКМЮФЮЮСЛ' ^СЧСО' ^Ю^Ь-ООСЛ' ^гнгчЮо с ч ^ с о а з с ч ю о с о с о о о о ^ с о с о ь ь о ^ г ч с о юС О Г О С О С О С О ^ ^ ^ Ю Ю С О ^ С О М г н О ^ д а Х ^ О

о" о о о о о* о о о о о о о" о О О О*4 о о о о

осо

ю г н г ч ^ о о с о ь - ^ ю ^ о о с ч ^ а н о ю а л о с ч ою о о г - н с з ^ г ' ^ с о с о ^ о о о с о а о о э ю с ч а з с о т ^ с м о0 0 0 0 0 0гН'СЧСО^ОЮЮ^^^СОСОСОСОСО

0 0 0 * 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

о,ихз

СОСОСОСОСОСОгнСОО'нЮСОгчСОЬО^г-.ОЮ(Мг н ^ 0 0 2 С О М 1 > ^ М О ) Ю С О ( М г н О г н ( М ^ Ь 0 1 0(ММ(МгЧг-.гч гнгнООО)СОЬСОЮСО(М(Мг-1

т—<т—<1—<7—1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

о* о" о о о" о о о о о о о о о о о* о о о о о

о*о

аГ

(МЮОГНОКСО’-.СОЮГНОСОГ-.СОООСОЮСОСОюок^мг-огнс^гоюакм^сомзсаюгнг-.н(М(МСО ЮЮЬООаоОнннннн(МММООООООООООг-.г- г-. нг-.г-. т-н н -.о* о" о** о о” о* о” о о о о о о о о о о о о о о

хзо§

ОСМЮСОгнЮСЙСОЬгнЮММгч(Мсоо)г-«счюоо^ ^ ^ ' ч С Ю Ю Ю Ю Ю Ь Ь ^ ( М О С 0 Ю 1 0 ^ С 0 ( М г ч

Т—1 —| гн т—ч т—< *—< т—< 0 0 0 0 0 0 0о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о** о” о о о о о о* о о о о" о"* о о о о о** о" о”

соо§ООЮ(Мг-.сЧ(ОСЧ^н(МЬЮг-(^СООЮгнсОЮ(^0г - н С Ч С О ^ Ю О О О О С Ч ^ ^ ^ О О Ю Ю Ю ^ т Г ^ * ^О О О О О О О г —1—11—11—1г—1 »—I г_(О О О О О О 0 ^ 0 0 ^ 0 О О О О О О О О О О О

ооо о о о о о о о о о о о о о о о о о о

аиа

с о а з ю с ч т - ' с о ^ ^ с о ю с м ю с о ^ ^ с о ’—« с ч ю о с о' ЮЮЬСОО'-нсОЮСОЮСОгнСПООКССЮ^о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о ооооооооооооооооооо**ооо

оюоюоюоюоюоюоюоюоюоюоЮЮССЮЫ>СОСОСПазО|ЭОСОСОЬЬ0ЮЮ1О

о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о оа | *с> | >сз | а

X3XXта4X

оО*X

сзС5.XXXX«=!

ь*

с | ^ио

оX

V а «о

осиX

л

XсхX

[— » — I

Г |Т 1 ?ь—и

122

нNN

<4хXи*>»

талтачи> .та

а я 8 г 8 8 8 а ц § § § 1 * Е § 2 В § Д 1о -о -о -о -о О о-О 6 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0

& 1 § 1 1 1 1 1 1 1 1 § 2 § I I 1 1 1 1 1о ' о ' о ' о " о " о ' о ' О о" о о о ' о о" о о ' о о о о о

та я « * 9

«■33 * 2X « 1=11 ° X2 “ о.кусстааятаСи5со

Сис;

Л Ё 1 ! 1 1 1 |1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 15 8 2 2 5 5 о = о о ' = о = о о о о о о = о

о о о _ о о _ оо- о" о- о- о" о" о" о о" о" о о о' О обооооо

| ! 1 ! 1 ! ! ! 1 ! 1 1 1 1 ! 1 ! | | § 1 о- о- 6 о" о- О О 00 0 0 0 0 0 0 ° ° ° ° 00

й й й й § 5 1 3 5 5 1 Е |1 § 1 1 | |! !3 о 3 о о О 3 о о о о о о о О о о о. ©_ о_ о. О о о" О о о~оо~оооо°°°0000002 ^ з з з § § § о § з я § 2 8 § 8 § § | |В о о о о о о о о о о о 0 0 0 . 8 0 0 0 0 0° ° ° п о о - о 0 0 -0 0 0 0 0 0 0 ° ° ° ° °

й 8 ^ 3 Й 8 ё ^ § Ё 3 8 § § § § § | | § 3 3 3 3 3 3 8 8 8 8 8 0 0 0 0 0 0 .0 0 . 0 . О о о о" оооооооо ооооооооо

.оСХXXXXч

XXXосиX

о " О О О О О о о о о ■

а | *о

■ч (О г~) гО О О *0 О Ю О ) О) С5 00 со Ь И о о о о о о о о о о

1 а

сз

XXXX

са

XиоАXк

§:

V

к

*=с

§.1°соо\оXиоОн

§

а I л 'з IX сх с

Xа-X

■41 I «

, _ Л

123

й всч от *2 вО

ч 5ю« г

и

ч2>>

2XМо4 о с о ш5 Н о о.С «я о 5 *(О3 &* ^ а *2 « и ои о.

(вк

ксвВ2евО.

а4Б

кев5чои>»о2яо.С

л0? 0,

273

0,28

80,

302

0,31

60,

328

0,33

9

0,35

00,

360

0,36

8

0,37

60,

384

0,35

2

0,32

00,

289

0,26

0

0,23

20,

205

0,17

9

0,15

50,

132

0,11

0

«1*

ОМЮ 05 Ю 04 0 0 )0 04т»«С0 00 О О О СО СО С ООСО •НСОЮ О СО СО 00 04 Ю 00 N СО СО Ю СО СМ ' О 00 ^ Г-, НМ М О! СМ СО СО СО СО СО СО СО СО СО СО со 04 смО* О* о" О* О*О* 0*0*0*' 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0*

ОО*

г-^осо ю м л о н ^ <м(мсм м н о о>г^ю сооь-т-н со т»* Ю СО Г'- ООгн <N«001 |-<0 01 N СО Ю т}> СО •—< »—* >—■ •—< И Н Н »-1 04 СМ 04 04 04 04 04 ■-< »-< .-ч0 0*0 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0*

оXIСО 05 .-н О со 05 05 Ю ОО 05 СО СО — ю СО 05 04 г- СО »—< *—1 •— °0 СО р о ю ь- сч Г> СМ Ю 00004 05 04 Ю 0088.8 О О О 8 8 3 . З Я .З 88.8 888 . 8 3 80*0 0* ООО* 00*0* 0*00* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0*

Осотч —< СО 1* 04 05 ООЮгН СО 00 05 00 Ю 05 05 СО О ' 05 СО 00 Ю 04 05 Г -п* 04 О 00 ЮСЧК 04 Г— *—< Ю 05 СО СОООг-.8 3 8 О О О 888 8 о ^ 8880*0*0* 0*0 0* 0*0 0* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0*

аохз*

04 СО 04 05 Ю СО О ' *-н 05 04 Ю О» •-•СОСО О г}* 00 Ь-нЮ ООСМЮ 050)10 !^ О Ь СО 05 Ю 04 00 'Т СО888 8 3 3 . 3 8 8 888 . 8 3 3 . 3 .8 8 888о* о* о* о* о* о* о* о* о* о* о* о* о* о* о* о*о* о* о’ о’ о*

о.о

аГ

СО тг О СО СО 051 10 04 Г - 05 ■ т-н О СО Ю 05 04 СО 04 СО г . г-4 ■»+• 00 04 Ю 05 СО N01^ Ю 04 ОТ Ю 04 00 Югч(^ 04 СМ СО СО СО -д- тГтГЮ Ю ср Ю Ю Ю -д* тГ СО СО СО 04 О О О о о о_ О 0 .0 О О О . 0^0 О. 4 0 0 О О О0*0*0* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0* 0*0*0*

хзо3

СО СМ 05 со со 05100 Ю О СМ Ю О Ь ИЮЬ- ОтСО Ю СО Г'- 1- СО 05 ф О н т-4 04 О СОГ'-Ю СО СМ (М ннВ 3 3 888 о о о О О О о 8Д 888 8880 0*0 ООО* 0*0*0* ООО* О О О 0*0*0* 0*0*0*

оВ

О •*** О Ь- Ю Ю О 10 04010 О Ю 05 СО СО 05 04 СО Н Н С 1 04 СО '3' Ю1 -00 0 04Н ГН о 05 05 00 1-- N СО Ю88Д 888 888 . о о Д 0^08 8 8 Д 8^88.0*0*0 0*0*0 0*0*0 0*00 0 0*0 О О О 0 0*0

аВ°

« ф З 2 3 2 з з й 5 5 ^ 8 о о 888 . 8Д о о о о 3 8 8 8_о8. 8.88.0 0*0* 0*0*0* О О О О О О ООО* О О О 0 0*0*

888 8Д 8 888 . 3 ;8Д 888 . 8 б 8 8 8.80*0*0* 0*0 сГ О О О О н о О О О О О О О О О

а| •<=> | о | а

тС5

[ . „ I I

1 ш т ш * .

»ос*.я55!к5тхкЕГО

х В- 2 сИ §§ « х * Iа § ^о5

КОнскчО)нк*оX

со>8киОе

ч*=*

V

ка,с

ао.

хк&*оа,Кк§

соОхокоо,ек§

ла | *о

ясиИ

124

ч3 = 0 ,0 3 ^ а , ч6 = 0 ,0 1 1 ^ а , V, = 0 ,0 0 6 §а и т. д.

И т у д а на середине нагруженной стороны:М Яа = (0 ,27 — 0 ,03 + 0,011 — 0,006 ------) д а = 0 ,247 §а ,

* ( • .0 ,03 0,011 27 _ -------1. —:------

9 25------ ) ^ = 0,0271 — .

] О ----------------- Р

Диалогично можно получить:да3

при 7 = 1 ,0 0 : Мао = 0,253 §а , и 0= 0,0278 — —

й

да3

при 7 = 1 ,5 : М йо = 0,278 , т 0= 0 ,0303

при 7 = 2 ,0 0 : М ао= 0 , 3 1 6 § а , ш0= 0 ,0 3 4 2

при 7 = 4 ,0 0 : М а = 0,532 §а , а> = 0 ,0 5 6О

В последнем случае величины прогиба и изгибающего момента псего на 6,5% превышают соответствующие величины для случая ци­линдрического изгиба плиты, загруженной сплошной равномерной на­грузкой, имеющей ту же величину. При малых значениях 7 можно приближенно считать, что нагрузка распределена по полосе, имеющей ширину, равную половине ее пролета.

4. Прямоугольные плиты с различными закреплениями на контуре

Так как практически невозможно исчерпать все варианты гранич­ных закреплений прямоугольных плит на контуре, ниже рассматрива­ются отдельные, представляющие наибольший практический интерес случаи. у

Важнейшим будет случай плиты, свободной от закрепле­ний на сторону у = 0 и опертой на жесткие опоры (свободно или с защемлением) на осталь­ных трех сторонах (рис. 36).П олагая деформацию плиты симметричной относительно оси х — а/2 , в общем случае удер­живают в уравнении (5.1) ко­эффициенты [Лд=(лс , тп —т'п,

'•т. М-т и Лп- Из условия р а ­венства нулю угла поворота упругой поверхности плиты в угловых точ­ках стороны у = 0 п о у ч ается равенство:

к= оо

/

а из условия равенства нулю изгибающих моментов, действующих в нормальном к свободной от закреплений стороне контура, равенство:

к = оо

Рт4 ц [ 1 + ( — 1)*+1]

кт л 2' Ч . (5.23)

к - \

Применяя тот же метод, как и в предыдущих разделах, получают следующие три группы уравнений, составляющие в совокупности бес­конечную систему линейных алгебраических уравнений данной задачи:

<И “ . 1 ) * Я1 + ф (а , 1) р'т 4* (а > 0 ) 4 (2кт ^ 1 рА -

п -ооАт Г 72 Д21

— — 2цЬо(т, п) (2 — (х) + — - \ т п = ЧГт,

П - 1

Х3 К ^) Рт Хз (а > 0) Р т ~ ^ ( а .О)4Т

кт Ра —

771/1 = 1

т - оо

Сз (р.у) т„- ^ 50 («, «) { + (- 1)"+1 (4 +т= 1

7

(5.24)

где величины хРт,Ф т и Ф„ определяются по формулам предыдущих разделов. Д ля сокращения записи использованы обозначения (5.16) и

+ К ’']) = Х1 (“ . П) — РХ з(«, *!)■ (5 .25 )

Из разложения (4.11) функции Хо(Р> 5) путем дифференцирова­ния получают равенства:

я 2 Г 1 1 X 1 \ ( т , п ) л 2 Г „ „ 12рч*(М)-т]=я ^ Н 0)-тт - 1

т -оо ,= = _ л у (— 1 )т 80 (т , п)

т (5.26)

т = 1

126

Используя эти равенства, после подстановки в уравнения (5.24) Мачений неизвестных Ил и 1 /ииз формул (5.22) и (5.23), бесконеч­ную систему уравнений здесь можно представить в форме:

т = оот г

т = 1М-' X

X 50 (т, п) ■2 [х

^ (« Л ) — $ К ° ) \хт — ^

— (“ . 1)

4 [1 + ( - 1 ) * + 1]

к = 1

4 тчк— — У Ь0 (т , п)

п = 1к — оо

кт и2

(2-ц) +

(2 - 11)

у* п *

Хз (*' ]) ^ К ° ) ''4 [1 + (—1)*+1]

кт тсаА= 1

— № К 0 )4 т

'1к~ ~ I] ( - ' [)П+1ь0 (т ’ п) тп :=Ф тп - 1

(5.27)

В случае, если на стороне у= Ь плита свободно оперта, все коэф­фициенты \>-т принимаются равными нулю, а соответствующая груп­па уравнений системы (5.27) не выписывается. В случае же свободного опирания на сторонах х = 0 и х = а следует использовать первые две группы системы уравнений (5.24), положив в них коэффициенты цт и тп , равными нулю.

Величины изгибающих моментов найдутся путем дифференциро­вания уравнения упругой поверхности:

т (х ,у ) = т \х , { /)+ (1 — 5) (■») — ?]2) +2 0

а *5

От2 тс2 [нтвХгО*. (1 — ^ Ч - ^ я Х о О . (1 — ''])+т = 1

+ Рт Х2 (а * 71)] з1п т + X62

И п 2 тс2п = 1

- Ф ,( 1 - 2 5 ) 28)

Ниже приводятся табл. 29—36, в которых имеются данные для че­тырех случаев опирания плиты на сторонах х= 0 , х —а и у= Ь при за ­гружении плиты сплошной равномерной и распределенной по треуголь­ному закону гидростатической нагрузки. Таблицы, составлены в

127

Т а б л и ц а 29Прямоугольная плита, свободно

опертая по трем сторонам и свободная от закреплений

по четвертой, загруженная сплошной равномерной нагрузкой

"ср м а ср М,Ь ср МЬо

0,30 0,00131 0 , 0 1 0 0 0,0114 0,00247 0,0218 —0,0660 0,0465

0,35 0,00176 0,0126 0,0150 0,00322 0,0290 —0,0757 0,0481

0 ,40 0,00224 0,0151 0,0194 0,00398 0,0363 —0,0842 0,04940 ,45 0,00274 0,0174 0,0243 0,00474 0,0436 -0 ,0 9 1 8 0,05010 ,50 0,00326 0,0192 0,0295 0,00550 0,0510 -0 ,0 9 8 7 0,0494

0 ,55 0,00378 0,0206 0,0346 0,00623 0,0583 —0,1043 0,04790 ,60 0,00430 0,0217 0,0396 0,00694 0,0651 —0,1094 0,04570,65 0,00480 0,0224 0,0446 0,00759 0,0716 —0,1141 0,04300,70 0,00529 0,0228 0,0493 0,00820 0,0774 —0,1182 0,04000 ,75 0,00576 0,0230 0,0538 0,00873 0,0828 —0,1217 0,03680,80 0,00621 0,0231 0,0581 0,00922 0,0875 —0,1244 0,03360,85 0,00664 0,0230 0,0622 0,00965 0,0917 —0,1267 0,03040,90 0,00703 0,0228 0,0661 0,01003 0,0955 —0,1285 0,02710,95 0,00740 0,0223 0,0698 0,01040 0,0992 —0,1301 0,02371 ,0 0 0,00776 0,0216 0,0733 0,01075 0,1026 —0,1313 0,0203

1 .1 0 0,00839 0,0204 0,0797 0,01125 0,1076 —0,1329 0,01341 ,2 0 0,00895 0,0189 0,0853 0,01168 0,1119 —0,1339 0 ,0 1 1 1

1,30 0,00941 0,0175 0,0902 0,01198 0,1148 —0,1343 0,00981,40 0,00985 0,0161 0,0944 0 ,0 1 2 2 2 0,1172 —0,1346 0,00841,50 0,01027 0,0148 0,0979 0,01242 0,1191 —0,1348 0,00731,75 0,01097 0,0116 0,1051 0,01264 0,1213 —0,1352 0,00452 ,0 0 0,01156 0,0088 0,1106 0,01284 0,1232 —0,1355 0,0018

М ножители при числовых данных:* рЬдля прогибов , для моментов и сосредоточенных опорных реак­

ций в углах рЬ2. ,

128

Т а б л и ц а 30

Прямоугольная плита, свободно опертая на противоположных сторонах,

а на остальных на одной защемленная и на другой свободная

от закреплений, загруженная сплошной равномерной нагрузкой

аЬ шсР К ^ а ср ср Ш0 "ьо О0

0,30 0,00027 — 0,0372 —0,0053 0,0015 0,00072 0,0050 0,01960 ,35 0,00045 —0,0468 —0,0041 0,0026 0,00115 0,0088 0,0250

0,40 0,00068 —0,0560 —0,0029 0,0044 0,00165 0,0133 0,0299

0,45 0,00097 —0,0649 —0,0016 0,0072 0,00226 0,0189 0,03420,50 0,00130 —0,0734 0 , 0 0 0 0 0,0104 0,00291 0,0255 0,0380

0,55 0,00166 -0 ,0 8 1 1 0 , 0 0 2 0 0,0138 0,00363 0,0325 0,0409

0,60 0,00203 - 0 ,0 8 7 8 0,0043 0,0174 0,00435 0,0395 0,0423

0,65 0,00243 —0,0935 0,0066 0,0214 0,00506 0,0465 0,0422

0,70 0,00286 -0 ,0 9 9 2 0,0087 0,0256 0,00577 0,0535 0,0420

0 ,75 0,00331 - 0 ,1 0 3 6 0,0105 0,0300 0,00649 0,0606 0,0416

0 ,80 0,00378 —0,1077 0 ,0 1 2 1 0,0345 0,00720 0,0676 0,0406

0 ,85 0,00423 —0 ,1 1 1 1 0,0135 0,0388 0,00780 0,0736 0,0385

0 ,90 0,00466 —0,1138 0,0148 0,0429 0,00832 0,0787 0,0359

0,95 0,00508 -0 ,1 1 6 0 0,0159 0,0470 0,00881 0,0835 0,0332

1 ,0 0 0,00549 —0,1177 0,0169 0,0510 0 ,(0928 0,0881 0,0305

1 ,1 0 0,00633 —0 ,1 2 0 1 0,0177 0,0584 0,01008 0,0959 0,0252

1 ,2 0 0,00708 -0 ,1 2 1 9 0,0183 0,0652 0,01084 0,1024 0 ,0 2 0 1

1,30 0,00771 —0,1229 0,0182 0,0715 0,01124 0,1074 0,0154

1,40 0,00830 -0 ,1 2 3 6 0,0179 0,0774 0,01167 0,1117 0,0113

1,50 0,00886 -0 ,1 2 4 2 0,0172 0,0828 0,01199 0,1149 0,0075

1,75 0,00986 —0,1248 0,0149 0,0940 0,01242 0,1192 0,0047

2 , 0 0 0,01067 —0,1250 0 , 0 1 2 0 0,1018 0,01273 0 , 1 2 2 2 0,0019

М ножители при числовых данных: рЬ*

для прогибов — , для моментов и сосредоточенных опорных реак­

ций рЬ2.

9 А. С. Калманок 129

г Уттттттттттттттт -л —

Т а б л и ц а 31Прямоугольная плита, защемленная

на противоположных сторонах, а на остальных: на одной свободно

опертая и на другой свободная от закреплений, загруженная

сплошной равномерной нагрузкой

аЬ “ ср С

ТО Л'асР МЪ ср &

СГ О

О МЪо

0,30 0,00074 —0,0355 0,0081 0,0103 0,00136 —0,0726 0,01900 ,35 0,00095 —0,0405 0,0093 0,0131 0,00161 —0,0785 0,02400 ,40 0 ,0 0 1 1 2 —0,0451 0 ,0 1 0 2 0,0158 0,00181 —0,0834 0,02810,45 0,00127 —0,0494 0,0109 0,0185 0,00197 -0 ,0 8 7 4 0,03150,50 0,00141 —0,0534 0,0114 0 , 0 2 1 0 0 ,0 0 2 1 0 —0,0895 0,03420,55 0,00155 —0,0571 0,0119 0,0232 0 ,0 0 2 2 2 —0,0900 0,03640,60 0,00167 —0,0605 0 ,0 1 2 2 0,0253 0,00230 —0,0901 0,03820,65 0,00178 —0,0635 0 ,0 1 2 0 0,0271 0,00235 -0 ,0 9 0 0 0,03960,70 0,00187 -0 ,0 6 6 2 0,0115 0,0286 0,00238 —0,0897 0,04060,75 0,00196 —0,0686 0,0109 0,0300 0,00241 —0,0892 0,04120,80 0,00205 —0,0706 0,0103 0,0314 0,00243 —0,0884 0,04150,85 0 ,0 0 2 1 2 —0,0724 0,0098 0,0326 0,00245 —0,0872 0,04160,90 0,00218 —0,0740 0,0094 0,0336 0,00246 —0,0860 0,0417

0,95 0,00224 —0,0754 0,0090 0,0344 0,00247 —0,0848 0,04181 ,0 0 0,00229 —0,0767 0,0085 0,0351 0,00248 —0,0843 - 0,0419

1 ,1 0 0,00236 —0,0789 0,0074 0,0359 0,00250 —0,0840 0,0419

1 ,2 0 0,00241 —0,0806 0,0061 0,0365 0,00252 —0,0838 0,0418

1,30 0,00245 —0,0817 0,0047 0,0371 0,00253 —0,0836 0,0418

1,40 0,00249 —0,0823 0,0035 0,0377 0,00254 -0 ,0 8 3 5 0,0417

1,50 0,00252 —0,0826 0,0025 0,0383 0,00255 —0,0834 0,0417

1,75 0,00254 —0,0830 0,0015 0,0400 0,00257 —0,0833 0,0417

2 , 0 0 0,00256 —0,0833 0,0008 0,0417 0,00259 —0,0833 0,0417

Множители при числовых данных: рЬ*

для прогибов , для моментов рЬ2.

130

Т а б л и ц а 32

т т

ПIIIIIIII||гтт— 9 _

Прямоугольная плита, защемленная по трем сторонам и свободная от закреплений по четвертой,

загруженная сплошной равномерной нагрузкой

аЬ ШСР

0 0м ь Ма ср МЬ ср

0«кь„ V

0,30 0 ,0 0 0 2 1 —0,0327 -0 ,0 1 3 3 —0,0038 0,0026 0,00070 —0,0379 0,0077

0,35 0,00033 —0,0396 -0 ,0 1 6 5 -0 ,0 0 2 3 0,0047 0 ,0 0 1 1 2 -0 ,0 4 7 1 0,0126

0,40 0,00046 -0 ,0 4 5 3 —0,0206 -0 ,0 0 0 6 0,0067 0,00142 -0 ,0 5 6 3 0,0171

0,45 0,00059 —0,0486 -0 ,0 2 6 2 0 ,0 0 1 2 0,0087 0,00163 —0,0655 0 ,0 2 1 0

0,50 0,00074 —0,0511 -0 ,0 3 1 9 0,0029 0,0108 0,00178 -0 ,0 7 4 2 0,0246

0,55 0,00090 -0 ,0 5 2 6 -0 ,0 3 6 9 0,0044 0,0131 0,00192 —0,0783 0,0279

0 ,6 0 0,00104 —0,0538 -0 ,0 4 1 5 0,0056 0,0154 0,00205 —0,0815 0,0309

0,65 0,00118 —0,0548 —0,0460 0,0066 0,0175 0,00217 —0,0840 0,0335

0,70 0,00131 —0,0556 —0,0496 0,0074 0,0194 0,00228 -0 ,0 8 5 8 0,0356

0,75 0,00142 -0 ,0 5 6 0 -0 ,0 5 2 8 0,0081 0 ,0 2 1 2 0,00238 -0 ,0 8 6 9 0,0372

0,80 0,00152 -0 ,0 5 6 2 -0 ,0 5 5 9 0,0087 0,0229 0,00246 —0,0872 0,0385

0,85 0,00162 —0,0563 —0,0589 0,0091 0,0244 0,00252 -0 ,0 8 7 3 0,0395

0,90 0,00171 -0 ,0 5 6 2 -0 ,0 6 1 8 0,0092 0,0258 0,00256 —0,0872 0,0402

0,95 0,00180 -0 ,0 5 6 1 —0,0647 0,0091 0,0271 0.00257 -0 ,0 8 7 0 0,0408

1 ,0 0 0,00188 -0 ,0 5 6 0 —0,0675 0,0090 0,0283 0,00258 -0 ,0 8 6 6 0,0413

1 ,1 0 0 ,0 0 2 0 2 -0 ,0 5 5 9 -0 ,0 7 0 3 0,0085 0,0303 0,00258 —0,0858 0,0415

1 ,20 0,00214 - 0 ,0 5 5 8 —0,0731 0,0077 0,0321 0,00259 -0 ,0 8 4 9 0,0416

1,30 0 ,0 0 2 2 2 —0,0557 —0,0759 0,0067 0,0337 0,00259 —0,0842 0,0417

1,40 0,00228 -0 ,0 5 5 6 -0 ,0 7 8 5 0,0059 0,0351 0,00259 -0 ,0 8 3 8 0,0417

1,50 0,00232 —0,0556 —0,0805 0,0052 0,0362 0,00259 -0 ,0 8 3 6 0,0417

1,75 0,00238 —0,0556 —0,0823 0,0030 0,0381 0,00259 —0,0834 0,0417

2 ,0 0 0,00243 —0,0556 —0,0833 0,0015 0,0395 0,00259 -0 ,0 8 3 3 0,0417М ножители при числовых данных:

рь*для прогибов , для моментов рЬ2.

9* 131

Т а б л и ц а 33Прямоугольная плита, свободно

опертая по трем сторонам и свободная от закреплений по четвертой, загруженная

гидростатической нагрузкой

аЬ шсР "а с р «ЬсР а>о "ьо С.|1 Фоа

0 ,30 0,00044 0,0051 0,0040 0,00082 0,0073 —0,0249 0,01390 ,35 0,00062 0,0065 0,0058 0,00107 0,0097 —0,0290 0,01410,40 0,00080 0,0079 0,0067 0,00133 0 ,0 1 2 1 —0,0329 0,01420 ,45 0,00099 0,0092 0,0086 0,00157 0,0146 —0,0366 0,01340 ,50 0,00118 0,0104 0,0105 0,00181 0,0171 —0,0401 0 ,0 1 2 2

0,55 0,00138 0,0114 0,0125 0,00203 0,0194 —0,0435 0,01090 ,60 0,00159 0 ,0 1 2 2 0,0145 0,00224 0,0215 -0 ,0 4 6 8 0,00940,65 0,00180 0,0128 0,0165 0,00244 0,0234 —0,0500 0,00780,70 0 ,0 0 2 0 1 0,0133 0,0184 0,00262 0,0251 —0,0530 0,00600 ,75 0 ,0 0 2 2 1 0,0137 0,0203 0,00277 0,0266 —0,0557 0,00400,80 0,00240 0,0139 0 ,0 2 2 2 0,00288 0,0278 —0,0582 0 ,0 0 2 1

0 ,85 0,00259 0,0140 0,0241 0,00298 0,0288 —0,0606 0,00040 ,90 0,00278 0,0141 0,0259 0,00306 0,0297 —0,0629 - 0 , 0 0 1 2

0,95 0,00296 0,0140 0,0276 0,00314 0,0304 —0,0651 —0,00271 ,0 0 0,00313 0,0139 0,0292 0,00319 0,0310 —0,0671 —0,00401 ,1 0 0,00346 0,0135 0,0323 0,00324 0,0315 —0,0707 -0 ,0 0 6 41 ,2 0 0,00375 0,0129 0,0352 0,00325 0,0317 —0,0740 —0,00831,30 0,00402 0,0123 0,0379 0,00322 0,0314 —0,0771 —0,00981,40 0,00427 0,0116 0,0404 0,00317 0,0310 —0,0799 -0 ,0 1 0 81,50 0,00450 0,0108 0,0427 0,00311 0,0304 —0,0825 —0,01151,75 0,00495 0,0090 0,0474 0,00289 0,0282 —0,0887 —0,01172 , 0 0 0,00531 0,0070 0,0511 0,00263 0,0256 —0,0948 —0,0117

Множители при числовых данных:</64

для прогибов , для моментов и сосредоточенных опорных реак­

ций чЬ2.

132

■ Е - .- - * Т а б л и ц а 34

Прямоугольная плита, свободно опертая на противоположных сторо­нах, а на остальных двух на одной

защемленная и на другой свободная от закреплений, загруженная гидростатической нагрузкой

аЬ шсР " а Ма ср " Ь ср щ "Ьо Ч,

0,30 0,00008 —0,0131 —0,0003 0,0006 0 ,0 0 0 2 0 0,0013 0,0045

0,35 0,00013 —0,0167 0,0004 0,0008 0,00032 0,0024 0,0055

0,40 0,00019 —0,0204 0 ,0 0 1 2 0 ,0 0 1 2 0,00046 0,0037 0,0064

0 ,45 0,00028 —0,0243 0 ,0 0 2 1 0 ,0 0 2 0 0,00061 0,0052 0,0070

0 ,50 0,00039 —0,0280 0,0030 0,0030 0,00079 0,0069 0,0074

0 ,55 0,00052 -0 ,0 3 1 5 0,0040 0,0042 0,00099 0,0089 0,0077

0 ,60 0,00066 —0,0349 0,0051 0,0056 0 ,0 0 1 2 1 0 ,0 1 1 0 0,0079

0,65 0,00080 —0,0382 0,0061 0,0070 0,00140 0,0130 0,0075

0,70 0,00096 —0,0415 0,0071 0,0084 0,00159 0,0149 0,0068

0,75 0,00113 —0,0447 0,0080 0,0099 0,00178 0,0168 0,0059

0,80 0,00130 -0 ,0 4 7 6 0,0089 0,0115 0,00195 0,0185 0,0048

0,85 0,00147 —0,0502 0,0097 0,0132 0 ,0 0 2 1 0 0 ,0 2 0 0 0,0035

0,90 0,00165 —0,0527 0,0105 0,0149 0,00224 0,0214 0 , 0 0 2 2

0,95 0,00183 -0 ,0 5 5 1 0 ,0 1 1 1 0,0166 0,00236 0,0226 0,0009

1 ,0 0 0 ,0 0 2 0 0 —0,0573 0,0116 0,0182 0,00246 0,0236 —0,0004

1 ,1 0 0,00235 —0,0611 0 ,0 1 2 2 0,0215 0,00263 0,0254 -0 ,0 0 2 7

1 ,2 0 0,00269 -0 ,0 6 4 7 0,0126 0,0248 0,00276 0,0267 -0 ,0 0 4 6

1,30 0,00300 —0,0679 0,0130 0,0279 0,00280 0,0272 —0,0063

1,40 0,00330 —0,0709 0,0132 0,0309 0,00284 0,0275 —0,0076

1.50 0,00358 -0 ,0 7 3 8 0,0133 0,0337 0,00279 0,0271 —0,0086

1 75 0,00421 —0,0790 0,0119 0,0400 0,00268 0,0262 —0 ,0 1 0 0

2 , 0 0 0,00475 —0,0830 0,0088 0,0453 0,00254 0,0248 -0 ,0 1 0 8

Множители при числовых данных:<7&4

для прогибов - у , для моментов и сосредоточенных опорных реак­

ций <7&2.

133

Т а б л и ц а 35 Прямоугольная плита, защемленная

на противоположных сторонах, а на остальных двух — на одной свободно опертая и на другой

свободная от закреплений, загру­женная гидростатической нагрузкой

0,300 ,350,400 ,450 ,500 ,550 ,60

0 ,650 ,70

0 ,750 ,800 ,850 ,900 ,951,001,101,201,301,401,501,752,00

ср

0,000280,000350,00042

0,000490,000560,00063

0.000700,000750,000800,000840,000880,00092

0,000960,001000,001040,00111

0,001170,00122

0,001260,001290,001340,00136

0*0

"а с р м ь сР щ СТО

о ^Ьо

-0 ,0 1 3 2 0,0045 0,0009 0,00046 -0 ,0 2 2 7 0,0065-0 ,0 1 5 5 0,0054 0,0015 0,00055 —0,0232 0,0080—0,0178 0,0062 0,0024 0,00062 —0,0238 0,0093—0 , 0 2 0 0 0,0069 0,0036 0,00067 —0,0236 0,0103—0 ,0 2 2 1 0,0074 0,0048 0,00070 —0,0229 0 , 0 1 1 0—0,0241 0,0076 0,0059 0,00071 —0,0219 0,0114—0,0260 0,0077 0,0070 0,00072 —0,0207 0,0116—0,0278 0,0078 0,0080 0,00071 —0,0196 0,0117-0 ,0 2 9 5 0,0078 0,0090 0,00070 —0,0185 0,0116—0,0310 0,0077 0 , 0 1 0 0 0,00068 —0,0174 0,0115—0,0324 0,0076 0,0109 0,00066 —0,0163 0 , 0 1 1 2-0 ,0 3 3 7 0,0073 0,0118 0,00064 -0 ,0 1 5 2 0,0108—0,0349 0,0070 0,0127 0,00062 —0,0142 0,0104—0,0360 0,0067 0,0136 0,00060 —0,0132 0 ,0 1 0 0—0,0368 0,0063 0,0145 0,00058 —0 ,0 1 2 2 0,0096-0 ,0 3 8 4 0,0056 0,0159 0,00054 -0 ,0 1 0 5 0,0087—0,0396 0,0050 0,0171 0,00050 —0,0090 0,0079—0,0405 0,0043 0,0179 0,00046 —0,0080 0,0072—0,0410 0,0037 0,0185 0,00042 —0,0073 0 ,0 0 6 6—0,0413 0,0031 0,0190 0,00038 —0,0065 0,0059—0,0416 0,0019 0 ,0 2 0 0 0,00031 -0 ,0 0 5 8 0,0052—0,0417 0,0009 0,0206 0,00026 —0,0052 0,0047

Множители при числовых данных'

для прогибов , для моментов дЬ2.

134

\ !Т:

1 1иИ

Прямоугольная плита, защемленная по трем сторонам и свободная

от закреплений по четвертой, загруженная гидростатической нагрузкой

Т а б л и ц а 36

Ср

I0,00006

0,00011 0,00016

0,00021 0,00027

0,00032 0,00037

0,00042 0,00048 0,00053 0,00059 0,00064 0,00070 0,00075 0,00081 0,00091 0,00100 0,00108 0,00114 0,00119

0,00123

К

- 0,0120 -0 ,0148 -0 ,0 1 7 2 -0 ,0 1 9 3 ' - 0,0212 -0 ,0 2 2 9

-0 ,0 2 4 6 - 0 ,0 2 6 2

—0,0277 —0,0291 —0,0304

—0,0317 —0,0329 —0,0340 —0,0349 —0,0358 —0,0375

—0,0391 —0,0405 —0,0418 —0,0455 —0,0478

" ь

-0,0048-0 ,0066-0 ,0084-0 ,0 1 0 4-0 ,0 1 2 4-0 ,0 1 4 5

м а ср М,Ь срМЬо

2 , 0 0 0,00126

Множители при числовых данных,

прогибов , для прочих величин <?62.

0 ,0 0 0 2 0 ,0006 0 ,00016 --0 ,0089 0 ,0028

0,0009 0 ,0012 0 ,00024 -- 0 ,0 1 1 2 0 ,0035

0,0016 0 ,0018 0 ,00031 -0 ,0 1 3 1 0 ,0044

0,0024 0 ,0026 0 ,00038 -0 ,0 1 4 9 С, 0054

0,0032 0,0034 0,00044 -0 ,0 1 6 4 (), 0064

0,0041 1 ,0042 С), 00048 -0 ,0 1 6 5 3,0072

0,0050 ),0050 ),00051 —0,0165 3,0079

0,0057 3,0058 ),00053 —0,0164 0,0085

0,0062 0,0067 Э,00055 —0,0162 0,0090

2 0,0065 0,0076 0,00057 —0,0159 0,0094

В 0,0067 0,0085 0,00058 —0,0153 0,0096

4 0,0069 0,0094 0,00057 —0,0144 0,0097

9 0,0071 0 ,0 1 0 2 0,00056 —0,0136 0,0096

3 0,0071 0 , 0 1 1 0 0,00055 —0,0128 0,0095

7 0,0070 0,0118 0,00053 —0 ,0 1 2 0 0,0091

9 0,0065 0,0126 0,00050 —0,0103 0,0083

58 0,006^Ю, 0134 0,00046 —0,0088 0,0076

34 0,005 '? 0,0142 0,00042 —0,0075 0,0069

37 0,004<Э 0 ,015( 0,0003 —0,0071 0,0063

78 0,004 10,015 3 0,0003 5 - 0 ,0 0 6 ' 0,0057

99 0,002 70 ,017 9 0,0003 0 —0,005 7 0,0051

13 0,001 6 0 ,0 2 0 3 0,0002 6 —0,005 1 0,0046

для

Т35

предположении [л = 0 . В них приведены значения изгибающих моментов и прогибов в середине свободной стороны и в центре плиты, а такж е опор­ных моментов на середине защемленных сторон и в углах контура, где сходятся свободные от закреплений и защемленные стороны. Кроме того, для плит со свободно опертыми сторонами х= 0 и х = а даны значения сосредоточенных опорных реакций в углах контура.

В случае кососимметричной относительно оси х = а /2 деформации плиты, аналогично предыдущему, можно получить:

к= °

* = 1 кк'''А,

к = о

У ] 1 2 (л [1 - (- 1 )*+1]кт к 2

Ч , (5.29)* = 1

а бесконечная система линейных алгебраических уравнений, дающих ре­шение задачи, будет:

И ® . 1)Л л — ,М “ -0 )12 [ 1 - ( - 1 )»+Ч Г ( 2 - ц )

кт л 2*=1

П — оо

[‘

4 я Г [ „ 72 л21— (>•+(“ . 1) |^ А ------ -- 2 ^ [ (2 — Iх) + ' ^ г ] 8о ( т ,п ) т „ = Ф -„

п - 1

Хз^ 12 [1 — (— 1 )*+

(а, 1) ( а . 0 ) > ] -----------------

к = 1П — оо

(5.30)

— И Ь ( “ . ° ) ] ^ — “ I ] (— 1)П+1 Ь0 (т - п) тп ==ф'т.п - 1т= оо

Х з ( у , ' ) тп - у 5 ] { ( ~ ("*•«>т=1

с*+ «• ( ” • " ) - ( * • ( т • ■) - у ) ] } - ф *

При решении рассмотренной задачи требуется введение в общее уравнение и полинома Р (х, у ) , что позволяет удовлетворить особым гра­ничным условиям в углах контура; они сводятся к требованию равенст­ва нулю угла поворота упругой поверхности плиты в тех углах, где схо­дятся жестко защемленная и свободная от закреплений стороны, в на­правлении последней из них.

13&

В других случаях расчета прямоугольных плит также аналогично могут быть записаны уравнения особых граничных условий. В частно- . ги, для неподпертого угла контура, в котором сходятся две свободные иг закреплений стороны плиты, такое уравнение получается, если величи- иу сосредоточенной опорной реакции в этом углу приравнять нулю. Это И будет дополнительное условие, из которого может быть определена пеличина неизвестного коэффициента /г в полиноме (5.3), соответствую­щего индексу угла.

Ниже рассматриваются, ограничиваясь действием сплошной равно­мерной нагрузки, плиты, опирающиеся на упруго проседающие балки или упруго защемленные на опорах.

В первом случае (рис. 37), считая жесткости балок, расположенных на параллельных сторонах контура одинаковыми, имеем чт = чт и

пп= п п . Исходя из граничных условий в форме первого из уравнений (1.32), приходим к следующей бесконечной системе линейных алгебраи­ческих уравнений:

и (р. 1 ) - Ф ( ? . о ) + \ЕАь

2 [ 1 + (— 1)'1+1]рЬ2

П3 713

4 7/1пп — Ъ ( ! — Iх ) ---ъо(">’Ф т =и

т =1

[ |2 - Ц ь ( р , | ) - 1. ( р 4 ) ] ,

П= со\ Е Л а 1 4/г

'( а , 1) — ф (а, ° ) + —77Г“ а Л т — ^ ( 1 — ^ ) ---- (т ’ ") Пп =ь и I

= г 1 1 ± ь в [ ( 2 _ ; к ; Н ) _ (, ( „ , ! ) ] .)

Д ля квадратной плиты, опертой по всему контуру на упруго просе­дающие балки, на рис. 38 приводятся графики изменения величин изги­бающих моментов в центре и на серединах сторон в зависимости от

| |(5ал , , ,отношения ----- —— . Н а рис. 39 даны аналогичные графики для квад-аО

ратной плиты, которая на двух противоположных сторонах опирается на

упруго-проседающие, а на двух остальных — на жесткие балки, Все графики вычислены при = 0 .

И з этих графиков видно, что при обычно встречающихся на прак-I (бал „ г

тике соотношениях жесткости балки к жесткости плиты------ ——• > оаР

влияние упругой просадки балок на напряженное состояние плиты не­значительно и может не учитываться в практических расчетах. При бо­лее гибких балках это влияние может оказаться достаточно существен­ным.

Рис. 38 Рис. 39

Во втором случае (рис. 40) очевидно, цт = цт и т п = т п . Исхо­дя из граничных условий в форме второго из уравнений (1.32), прихо­дим здесь к следующей бесконечной системе линейных алгебраических уравнений:

4 упп — / , — *о(/и. «)|Хт =ТЪ

т = 1

2 [1 + (— 1 ) " + 1 1 Сх (р. у ) Рб2

Я3 713п= ОО

[ 4 2 Н , о , , > П- 1

2 [ 1 + ( - 1)",+ 1]С 1 ( « . у ) ра

(т , п) тп =

т.я цз

При определении жесткости опорных балок на кручение надлежит учитывать конструкцию их сопряжений с плитой, отчего зависит поло­жение центра кручения балок.

Д ля квадратной плиты, защемленной по всему контуру в балки оди­наковой жесткости (рис. 41), приводятся графики изменения изгибающих моментов в центре и опорных моментов на серединах сторон в зависимости от отношения

а й-— . На рис. 42 приводят-

\ 0 ^ о|бался такие ж е графики для квад­ратной плиты, которая на двух противоположных сторонах уп­руго защемлена в опорных бал­ках, а на других двух сторонах оперта свободно.

0,060

0,050

о,ш

к

0,030

I

о т

о,ою

V

Па

ч{йдЯЗЗ

а ; 0 1‘° V

Рис. 41

р,070

0,060

0,050

0,01,0

0,030

0,010

Даи . О

4

%

^ 5 .

цц изгибают, и йт о центре___^

-------------1

0,5 1,0

Рис. 42

а ,о Па

Из этих графиков видно, какое большое значение может иметь за ­щемление плиты в окаймляющих ее балках, приближающееся при обыч-

а йно встречающихся на практике соотношениях ~— < 1 к полному.

о1бал

Однако практические конструкции плит и балок обычно не позволяют реализовать указанную возможность.

139

5. Упруго-пластический изгиб произвольно закрепленных на контуре прямоугольных плит

Д ля прямоугольной плиты, опертой по всему контуру на жесткие опоры, невыгоднейшую форму разрушения возможно представить так же, как и в случае свободно опертой плиты в виде «конверта». Однако

здесь этот конверт может оказать­ся несимметричным относительно одной или обеих осей симметрии контура (рис. 43).

В качестве общего случая рассматривается конструктивно неоднородная (железобетонная) плита. Отношение предельных мо­ментов в середине пролета плиты в направлениях, параллельных сторонам а : и Ь, обозначено, как и выше, через ф, а отношения пре­дельных опорных моментов на сто­ронах х= 0 , х — а и у = 0, у= Ь к предельным моментам того же

направления в середине пролета — через а0, а1 и р°, р1 . Тогда соответ­ствующая принятой форме разрушения работа внутренних сил на еди­ничном возможном перемещении представляется в виде:

+ Р° , 1 + Р1А = М а“прп + «» 1 + я11 (1 — Л) -у

+ 7Ф [ 1 К }■ (5.33)

причем должно выполняться условие ко-\-к\К 1, иначе следует заменить обозначения сторон плиты а на Ь и наоборот.

Работа внешних сил для случая сплошной будет:

равномерной нагрузки

/? =раЬ

Отсюда

^ п р =ра2

6

[3 - ( * 0 + ^ ) ]

[ 3 - (^0 + ^ ) ]1 + а " 1 + «1— + Т 3 1 + +Т1

1 ± ]ко

■ +! ± Р Ч

к 1 ]

(5.34)

(5.35)

Условия минимума по параметрам даю т равенства:

1 -4- «°

1 + а1 =

1 +

1 + Р1 '

Первое из этих равенств дает:

(1 — й) 2

%

к =1 Ъа

(5.36)

(5.37)

140

С учетом полученных выше результатов можно переписать равенст­во (5.35) при принятых обозначениях в виде:

ра2 [ 3 - М 1 + * ? )] К к2 ______МапР = 6 ' (1+ “°)*о+Ф72*2(1 + Р0)(1 +*р) ' 1 '

Условие минимума по параметру ко дает квадратное уравнение

. 2ф72 к2 (1 + Р°) (1 + х я ) . . Ц ч ' к Ц 1 + Р)ко + --------------7-т - у - — — «О + — г т з ; = 0 .

решение которого будет:

<И* & (1 + Р°) (1 + * р ) 3 (1 + а ° ) (5.39)

Подставив значение параметров из формул (5.37) и (5.39) в ра­венство (5.38), получают решение задачи. Это решение, однако, не будет единственным, так как величины параметров Ф, а°, а1, (3° и р1 прак­тически могут изменяться в довольно широких пределах, и одна и та ж е несущая способность плиты может быть получена при различном ее армировании. Рекомендуется принимать параметр ф близким к то­му, что получается для свободно опертой плиты по формуле (4.38), а для параметров я°, а1, Р° и р1 на защемленных сторонах плиты — вы­бирать значения от 1 до 2 .

Пример 10. Требуется рассчитать прямоугольную железобетонную плиту размерами в плане а— 3,6 м, 6= 4 ,5 м, защемленную на сторонах х = 0 и у = 0 и свободно опертую на двух остальных под расчетную на-

3,60 0 ,8 2грувку 800 кг/м2. Здесь у = =0,80. Принимаем ф — 3 _ 2 0 8! =

=0 ,37 и а°=В о=2. Так как на свободных опорах а1 = Рх= 0 находим:_ IX. =,*{! = У 3 = 1 ,7 3 , 6 = ^ 73 = 0 ,6 3 4 .

Отсюда по формуле (5.39)0 ,3 7 -0 ,8 2 -0,6342-3-2 ,73

ка = '

[\ ■ 0,26 ( ] / ”5 ,23 — 1) =0,334.Х I I / 1 + 0 ,3 7 -0 ,8 2-0 ,6342-3-2,732 1

Так как 0,334 (1 + 1,73) = 0 ,9 1 3 < 1 использование выведенных выше формул допустимо. Теперь по формуле (5.38) находим:

800 -3 .62 (3 — 0 ,334-2 ,73) 0 ,3 3 4 -0 ,6342М а = 6 ’ 3-0 ,334 + 0 ,3 7 -0 ,82-0 ,6342-3 -2 ,73 -

800•3 ,62= --------------= 272 кгм и далее:

38,2

М = 0 ,3 7 -2 7 2 = 101 кгм , М°а = — 2-272 = - 544 кгм,О иМ° = — 2-101 = — 202 кгм.

141

Т а б л и ц а 37Предельные моменты для прямоугольных плит,

загруженных равномерной нагрузкой

: -= 1

1Ё

Лг

Ш

1

; = з ■Ш.11III1111-

ж - Г : г ш“ — — -"

т ’ллимш ГПТГТ1 гггп!(— а —А

Схема / II III IV V VI

0 ,3 0,0892 0,0642 0,0490 0,0607 0,0465 0,0446

0 ,4 0,0793 0,0585 0,0452 0,0543 0,0422 0,0396

0 ,5 0,0707 0,0534 0,0417 0,0485 0,0384 0,0354

— 0 , 6 1) 0,0633 0,0488 0,0386 0,0434 0,0349 0,0316

0 ,7 0,0568 0,0445 0,0357 0,0390 0,0316 0,0284

0 , 8 0,0511 0,0407 0,0330 0,0351 0,0288 0,0251

0 ,9 0,0461 0,0372 0,0304 0,0316 0,0264 0,0232

— 1 , 0 0,0417 0,0340 0,0282 0,0286 0,0243 0,0208

0 ,9 0,0461 0,0384 0,0321 0,0316 0,0271 0,0232

0 , 8 0,0511 0,0432 0,0367 0,0351 0,0304 0,0251

0 ,7 0,0568 0,0489 0,0423 0,0390 0,0343 0,0284

т * 0 , 60,0633 0,0555 0,0487 0,0434 0,0389 0,0316

0 ,5 0,0707 0,0633 0,0564 0,0485 0,0440 0,0354

0 ,4 0,0793 0,0723 0,0658 0,0543 0,0501 0,0396

0 ,3 0,0892 0,0825 0,0770 0,0607 0,0572 0,0446

М ножители при числовых данных: при а /Ь < 1 : ра2 и при а/Ь > 1 : рЬ2.

142

\ 1 '

— а —И ■

В то же время расчет по упругой стадии (см. таблицу 15) дает значения изгибающих моментов значительно большей величины:

М а = 0 ,0355- 800-3 ,6г = 368кгм,

М° = - 0 ,0 8 8 2 - 8 0 0 -3 ,62 = — 914 кгм,

М ь = 0 ,0203-800-3 ,62 = 210 кгм,

М°ь = -0 ,0 7 4 6 - 8 0 0 -3 ,62 = — 772 кгм,

что даж е с учетом возможности облегчения армирования для крайних полос плиты приводит к значительно большему расходу арматуры.

Д ля плиты, выполненной из одно­родного материала \ = \, а. парамет- а} 6) ры <х°, а1, (3° и Р1 равны или нулю (у свободно опертой стороны) или еди­нице (у защемленного края). При этом величины коэффициентов к, к0 и к\ находятся по формулам (5.36),(5.37) и (5.39) в зависимости от вида закреплений на сторонах плиты, а предельный изгибающий момент опре­деляется по формуле (5.38). Таблица Рис. 44 37 содержит числовые решения за ­дачи расчета в упруго-пластическойстадии прямоугольной плиты, выполненной из однородного материала и загруженной сплошной равномерной нагрузкой.

В этой таблице начальное значение отношения сторон плиты при­нято т =0,30, так как при расчете по упруго-пластической стадии даж е при таком малом соотношении сторон эффект пространственной работы плиты проявляется достаточно заметно.

Д ля прямоугольной плиты, опертой на жесткие опоры по трем сторонам и свободной от закреплений четвертой возможны две формы разрушения (рис. 44). При этом вторая форма (рис. 44,6), соответствует одной из половин симметричной формы разрушения в виде «конверта»

2 ас отношением сторон 1= ~ — . Поэтому достаточно рассмотреть только

о

первую из этих форм. Ниже рассматриваются лишь симметричные от­носительно оси ( /= 6/2 граничные закрепления и формы разрушения плиты. Работа внешних сил для случая сплошной равномерной нагруз­ки будет:

■2 к) . (5. 40)

П олагая, что все опертые стороны плиты защемлены, причем отно­шение опорных и пролетных моментов в направлениях параллельных сторонам а я Ь обозначены через я и § , а отношение предельных пролетных моментов в указанных направлениях, как и выше, через ф. Работа внутренних сил на единичном перемещении здесь может быть выражена как

{ 5 . 4 1 )А = М апр

143

Отсюда

М ( 3 - 2 6 ) *а "Р 6 2 ф7»(1+ р ) + (2 * + а ) к '

(5 .4 2 )

Наивыгоднейшей форме разрушения соответствует величина пара­метра к, определяемая из уравнения:

к2 + 4ф72 ( 1 + Р )3 +^ ( ‘ Ч ) (5. 43)

причем предельному значению к = 0,5 соответствует отношение сторон плиты

3 + а

4 ф (1 + Р ) -(5. 44)

а)а2<Р--I ~ Т ~ г11 1

I- !111 } 1

4-- - -4-1-

5)у - —

К--- (■Рис. 45

Определение величин расчетных моментов производится здесь таким же путем, как и в предыдущем примере.

Д ля прямоугольной плиты, опирающейся только по четырем углам, такж е следует рассмотреть две возможные формы разрушения (рис. 4 5 ). Первой из этих форм соответствуют величины предельных моментов

. . р а 2 рЬ2М а „ = — , М ь = - — ,“ пр в ’ "пр § ■

вторая ж е при предельном значении с= 0 дает величину предельных моментов в углах плиты:

л, РаЬ М 0 = -— .ПР Я

Д ля квадратной плиты обе эти формы оказываются равноопас­ными. И з последнего результата непосредственно получается величина опорных реакций в углах плиты, равная четверти полной нагрузки, при­ложенной к плите.

144

VI. И ЗГИ Б Н Е РА ЗРЕ ЗН Ы Х ПЛИТ И ПРОСТРАНСТВЕННЫ Х СИСТЕМ, СОСТАВЛЕННЫ Х

ИЗ ПЛИТ

1. Расчет неразрезных плит по методу простых рядов

Рассматривается плита, свободно опертая на двух параллельных сто­ронах у —0 и у= Ь и неразрезная в направлении оси у (рис. 46). Если на данной стороне х —сопз! сходятся I—ое и г + 1—ое поля плиты, углы

поворота упругих поверхностей этих полей на их общей стороне при введенных выше обозначениях записываются так:

дщ {х'у) = _ V ----- [ Ф; + т Хз ( Р„ 0 ) -х = а ^ I ‘

п - 1

— т'п Хз(Рг.1) (зт /гти г),

Ох

да>1+1 (х ,у )

дх

п= со

= У -------- --------- К +1 + < Ч 1Ь ( ^ ’0)л: = 0 ^1+1 П71 *•

п = 1

— т ' ‘ 1 + 1 Хз ( • 1 ) | 5*п п • (6

И з условия равенства углов поворота упругой поверхности смежных полей плиты, на их общей стороне находится следующее уравнение для каждого индекса п, принимая во внимание что опорные изгибающие мо­менты для каждого из полей плиты на их общей стороне одинаковы и заменяя в соответствии с этим нумерацию сторон, как это показано на рисунке:

— т п1_ х Х з(р г .О )

10 А. С. Калманок

+ тп .Хз(3г,1) н *з ( Рл-1 ,1)

Ф'

О (+1

Пп1+11 з ( Рг+1 ’° ) 'п 1О

1+1О; + О

‘/+1

<'+1

(6 .2)

145

Это уравнение, выведенное Б. Г. Галеркиным, названо им уравне­нием о трех моментах для неразрезной плиты.

В случае неразрезной в обоих направлениях плиты (рис. 47) полу­чается следующее уравнение о семи моментах для неразрезной плиты:

- т п1_ 1Х3 ( М ) Г Хз (Р/ ,1) Хз ( ^ + 1 ^ )

+ " ”« — ---------I. 1 + 101

ь ( Р/+ 1 .° ) 2п V‘ /+1 о

/+1

лл / I |С |

т = 1

( _ 1 )т + 1 80 (/п,п)/Х (6 .3 )

X П т, + (— 1) " +1 Н-ш 80( т ,п )

° 1 + 1

= ! ^ + Фп- О/ о

/ - И ^ - М4- / П " + 1 Iх'+ ( - ! ) т 1+1

/ +1

1+1

Несмотря на несколько сложную струк­туру этого уравнения, оно может быть при­менено на практике для расчета различного рода неразрезных плит и пространстве'нных систем, составленных из прямоугольных плит типа резервуаров, имеющих форму параллелепипеда. Количество вычислений, необходимых для получения числовых ре­зультатов, будет не слишком велико, если не требовать большой точности и пренеб­речь коэффициентами, имеющими индексы большой величины (например, более 3).

Пример 11. Требуется определить при помощи уравнения о семи моментах величины изгибающих моментов на серединах опорных сторон и в центре полей для резервуара, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием при свободно опертых (на плиту перекрытия) верхних сторонах (рис. 48).

Все величины, относящиеся к днищу резервуара, обозначаем ин­дексом дн, а к боковым стенкам — индексом ст. При этом коэффици-

146

енты в разложениях опорных моментов по боковым ребрам обозначают цт , а по ребрам сопряжения стенок с днищем тп■ Отношение высоты

крезервуара к размеру его основания — — 7 . Используя уравнение о

семи моментах, находят для рассматриваемой задачи следующие две группы уравнений, составляющих в совокупности бесконечную систему линейных алгебраических уравнений:

Г» — СО

/т к 1 \ V 2га; • ~7Г) Рт — (т ,\ К 2 / П=1 ^ 0

п)ст тп ■■

(тп 1

Ъ о Ь Ц — ’ 2

т 3 тс3

Сз ( " 'т ) л . Хз(1 Пк,\) тп - 4/1

°лп Ос т 71

к -оо

дн тк +

+

т-оо ^ Л (т ,п )с

Л с4 7о/га2

я* тс3

* = 1

СХ ПТ1,

о . .

(6 ,4 )

Уд (7 « * . ! ) ] — - _|__________________ 7

/ )СТ

где 70— объемный вес жидкости, заполняющей резервуар. Здесь индек­сы й и А принимают только нечетные, а индексы /и все возможные значения.

В этом примере положено к = а , Г>дн = В Ст и удерживаются первые два члена в разложении с индексом п и три — в разложении с индек­сом т.

После выполнения необходимых вычислений для решения данной задачи получаем, пользуясь таблицами приложения, следующую систему пяти уравнений с пятыо неизвестными.

0 , 5 8 3 4 ^ + 0,1592 т1 + 0,0191 пц = — 0,0215 Л3 .0,5098 ,и2 + 0,1019 т1 + 0,0452 т3 = — 0,0039 То кз ,0,5907 (13 + 0,0573 + 0,053 т3 — - 0 ,0 9 1 2 -(„Лз ,

(0,5834 + 0,4901) + 0,3183 т1 + 0,0382 т3 ++ 0,3183 [1! + 0 , 1019^2 + 0 ,0382ц3 = — 0,0683 1ок 3 ,

(0,5007 + 0 ,5 ) ш3 + 0,1146 +

+ 0,1061 т3 + 0 ,1 1 4 6 ^ + 0 ,1 3 5 5 )и.2 + 0,1061 ,х3 = — 0,0043 кз ,

10* 147

решение которых будет:

т 1= - 0,0435 70А3 , т3 = 0,0029 у0 Л3 ,

[X! = — 0,0251 10 к3, [а2 = 0,0007 к0 к3 , ц3 = 0,0022 у0 №.

Теперь, используя числовые данные табл. 9 и 10 и таблиц прило­жения, находят величины искомых моментов при р = 0 по формулам (5.13):

а) опорные моменты на середине защемленных сторон:

М'т = — (0,0435 + 0,0029) То А3 = — 0,0464 То Аз ,

М°„ = — (0,0251 + 0,0022) То А3 = — 0,0273 ^ к3 ;

б) моменты в центре днища резервуара:

МсРдн = [0,0368 — 2(0 ,1435 + 0,0559) 0,0435 — 2(0 ,0212 —

— 0,0122) 0,0029] -(0 А3 = (0,0368 — 0,0173 — 0,0001) То А3 = 0 ,0 1 9 4 у^к3 -,

в) моменты в центре стенок резервуара:

Мас1 = [0,0184—(0,1435 0,0435 + 0,0212• 0,0029) —2 (0,0559•0,0251 —

— 0,0122 0,0022)) Л3 = (0,0184 — 0,0063 — 0,0027) То А3 == 0,0094 ч0А3,

М ьст = [0,0184—(0,0559 • 0 ,0435-0 ,0122 • 0 ,0 0 2 2 )-2 (0 ,1435 • 0,0251 +

+ 0,0212■ 0,0022)] То А3 = (0,0184 — 0,0024 — 0,0073) у0 к 3 =

= 0,0086 7о Л3 .

При удержании только одного члена в каждом разложении опор­ных моментов, получается:

М°АН = — 0 ,0 4 3 3 то А3 , УИ°Т = — 0,0251 10к3 ,

Л4срд = 0,0196 1о к3 ; М а ст = 0,0094 т0 А3 ; Мь ст = 0,0087 у0 к3 ,

т. е. значения опорных моментов при этом отличались бы от получен­ных выше на 7—8 %, а пролетных-— не более, чем на 1°/о-

Аналогично могут быть рассмотрены и другие случаи опорных за ­креплений неразрезной плиты или пространственной коробки, составлен­ной из плит. Так, для резервуара, имеющего форму прямоугольного па­раллелепипеда с квадратным основанием, типа рассмотренного в пре­дыдущем примере, но со свободными от закреплений верхними сторо­нами, комбинируя решения, полученные в разделах 2 и 4 предыдущей главы, т. е. системы уравнений (5.9) и (5.28), получаем следующую бесконечную систему линейных алгебраических уравнений:

148

^(■уятг, 1 ) п п — ^ ( 7 п к ,0 ) тп —

к — оо

к = 1

4 [1 + (— 1)й+1| ’ (2 - Ю _

кП 712 7 п тс[а ф (т я тс, 1)

- 1 И . ^ ( _ 1)« + п о(ОТ)ге)71 7

гг — 1

4чо Ла2 (ДЗ 713

(2 — Н-) + 'т 2

|Х з (т лтс- 0 ) + (2 — (х)1

у п л

• XI (уп

рт '■

0 ) ||

(т л 1 \ 1 т \ у |^ ■ ~7г) — ~ 1 а р т * ) « т " ~

п- 1

( - 1)т + 1 [«о {т ,п )„ (р + —

[т тс 1

2 Я с / » . м . 2 ,1 С ,( Т 1 Т

+О дн

к = оо

1 М

4 11

* = 1к — оо

4п V« ь

к = 1

1 )с

ЩЗлЗ

т п - » ( Т Я ? . . 9 ) _ я ; _ / ) ст

п

Д ст кп тс2

80 (й , п)

А ,

] Л 71

т = оо

+

П з ^ п л .О ) пк —

дн ■ 2 - ст

_ 4^0 Ла2

Я3 713

т = 1

а ( П7С- Т т ) Ь (Т« * . !)■■ +

Д..

(6 .5 )

где функциональные коэффициенты ф ( > 5 ) и ф (А, 6 ) определяются по формулам (5.16) и (5.26), с сохранением введенных выше обозначе­ний. В соответствии с формулами (5.23), (5.24) в этом случае:

149

У [1 + ( - 1)*+»] ,I — « в — ^ -1 к к пк -

к~1

, V V [1 + ( - 1)а+1 | ,п„ = АЦ ---------------------------- п. .п ктт? к

к = 1

(6. 6)

Здесь во всех формулах индексы п и к могут принимать только нечет­ные, а индексы т все возможные значения.

2. Практические методы расчета неразрезных плит

Изложенные выше строгие методы расчета неразрезных плит доволь­но сложны и для обычных случаев проектной практики целесообразно

Рп/ / / /

Рп+Рдр / Рп

/ / / / /х/ / / , / Рп+Рбр'

/ / / /

/ / / / / Рп / Рп+РВр

/ / / /

Рвр Р>р111IIIIТТП Г11111111111.111.1л 11 ш \ лУ 4

,3° "Р” * 1 Рвр Д-1111111111Ц 11ТТТП ТртТТТТТТ%

Д т т т т С ^ р ш ш щР и с . 49

применение приближенного приема, сущность которого состоит в сле­дующем.

При определении расчетных моментов в пролетах следует исходить из невыгоднейшего загружения полей плиты, предполагая распределе­ние временной нагрузки рвр на расчетном поле, а на прочих полях плиты — в шахматном порядке (рис. 49). Тогда полную нагрузку р = = Р п + Р в р можно рассматривать как сумму условных нагрузок:

Р РI вр , вр

ёо = Рп~\---- . Ро = ± .

150

причем нагрузка §о действует на все поля плиты и в отношении ее псе стороны, на которых сходятся два поля плиты, следует считать жестко ущемленными. Н агрузка ро действует в смежных полях в противопо­ложные стороны и в отношении ее все поля надо рассматривать как свободно опертые по всему к о н - ------------ --------------- -----------------ТУРУ- -ч х-ч ✓->. 4,

При определении опорных к»)моментов необходимо считать з а - _______________________________ |груженными все поля плиты и |принимать расчетные значения ✓-гч ^этих моментов как полусумму V -' к Уопорных моментов полей, п р и м ы - _______________________________{кающих к рассматриваемой опоре. |"Величины всех моментов могут /дЛ §быть подсчитаны по приведенным ^ ^ ^ Увыше таблицам (для с п л о ш н о й ----------------------------------------------- *равномерной нагрузки по табл. 350—4 - — 4 0 0 -\~ ~ 3 50—- 12— 17).

Пример 12. Требуется опре- Рис. 50 делить пролетные и опорные мо­менты для изображенной нарис. 50 неразрезной плиты, свободно опертой по наружному контуру. Величины расчетных нагрузок: рп= 300 кг/м2, р вр= 400 кг/м2.

Определяют условные нагрузки:

г0 = 300 + 0 ,5 - 400 = 500 кг/м 2 , р0 — ± 200 кг/м г .

Находим значения моментов в пролете и опорных для каждого поля:

2 .5а) для поля А '■'(= ~ =0,715 по табл. 12 и 15:

3.5

М а = (0,0664-200 + 0 ,0415-500)-2 ,52 = 213 /сгж;

М ь = (0,0304 - 200 + 0,0176 - 500) - 2 ,5 !2 = 93 кгм ;

М°а = - 0 ,0 9 7 3 - 7 0 0 .2 ,52 = — 426 кгм ■

М°ь = — 0 ,0765-700-2 ,5 2 = — 335кгм ,

2 .5б) для поля Б : \ — — =0,625 по табл. 12 и 16:

Мй = (0,0785-200 + 0 ,0432-500)-2 ,52 = 233кгл< ;М ь = (0,0258• 200 + 0,0165 • 500) ■ 2 ,5 2 = 86 кгм ;

М°а = — 0,1012-700-2 ,52 = — 444 кгм;

М°ь = — 0 ,076 -700 -2 ,53 = — 331 кгм ;

3 ,0в) Для поля Г : 7 = —7 = 0 ,86 по табл. 12 и 16;

3 ,5

151

© ©*

|

® ® ©|

|

® ® ®1г

—3,50— — 4,00— - 3,50—

Рис. 50

М а = (0,0496 • 200 + о , 0288 • 500) ■ 3 ,02 = 219 кгм ;М ь = (0,035-200 + 0,0141 -500)-3 ,02 = 127 кгм ;

= — 0,0685-700-3 ,02 = — 432/сгж ;

М°ь = — 0 ,0563-700-3 ,0 2 = - 355кгм ;

3 ,0г) Для поля Д : 7 = = 0 ,7 5 по табл. 12 и 17 :

М а = (0 ,0619-200 + 0,0297 • 500) - 3 ,0 2 = 246 кглг;М ь = (0,0318-200 + 0 ,0129-500)-3 ,0 2 = 115 кгм ;

М°а — — 0,0698-700-3 ,02 = — 440кай ;

М пь = — 0,0564-700-3 ,02 = — 3 9 3 кгж .

Расчетные величины опорных моментов будут:

Б = — 0 ,5 (335 + 331) = — 333 кгм ;

М ° Г = — 0 ,5 (4 2 6 + 433) = — 429 кгм;

М °д = - 0 ,5 (444 + 440) = — 442 кгм ;

7И°д = — 0 ,5 (355 + 393) = — 374 кгм .

Наименьшие значения изгибающих моментов во всех пролетах ос­таются положительными.

Величины опорных реакций, передающихся на каждую балку, на­ходятся по тем же таблицам, по которым выше определяли величины из­гибающих моментов. Например, для балки, расположенной между по­лями А и Б, при условии загружения обоих смежных полей плиты, по табл. 15 и 16 видно, что полная величина опорной реакции равна:

(?АБ = (0 ,35 + 0 ,339 )-700 -2 ,52 = 302кг и т. д.

При расчете неразрезной плиты по методу предельного равновесиякаждое ее поле может рассматриваться как однопролетная плита, за ­щемленная по тем сторонам, где она граничит с другими полями и рассчитывается по формулам раздела 5 предыдущей главы.

VII. И ЗГИ Б ТРЕУГОЛЬНЫ Х ТРА П ЕЦ ЕИ Д А Л ЬН Ы Х

И Д РУ ГИ Х ПЛИТ СЛОЖ НОЙ ФОРМЫ В ПЛАНЕ

1. Изгиб треугольных и трапецеидальных плит

Задача изгиба треугольных плит в упругой стадии за некоторым исключением не может быть решена при помощи тех аналитических методов, которыми выше решались задачи расчета круглых, кольцевых и прямоугольных плит. К числу исключений относятся следующие два случая.

152

А. Равносторонняя треугольная плита, свободно опертая по контуру и загруженная сплошной равномерной нагрузкой (рис. 51)

Уравнение упругой поверхности плиты здесь может быть представ­лено в виде:

хю (х , у ) —64 НО

Г

о < ]

[*з_3у Ч - Н (*2+ у 2) + — Я'31

(7. 1)

Отсюда величины прогиба и изгибающих моментов в центре пластин­ки при = 0:

о>ср : рЯ4- = 0,00103 Р-Щ - , МХср = . М уср = ^ = 0,0185 р Н 29720 О

Б. Плита, имеющая форму равнобедренного прямоугольного треугольника, свободно опертая по контуру (рис. 52)

Такую плиту можно рассматривать как половину квадратной пли­ты, изображенной пунктиром на прилагаемом рисунке, загруженнойобратносимметричной относительно диагонали нагрузкой:

Рис. 52

153

а. Д л я случая сплошной равномерной нагрузки решение этой за ­дачи, данное Б. Г. Галеркиным, приводит к следующим значениям рас­четных величин:

р /.4прогиб в центре плиты: а)ср =0,000216 ;

наибольшие положительные изгибающие моменты при р. = 0 :

отрицательный изгибающий момент в вершине прямого угла плиты:

б. Д л я случая нагрузки, распределенной по закону треугольника, верш ина которого совпадает с гипотенузой контура плиты, получен­ное тем ж е автором решение дает:

где максимальная ордината нагрузки.

В остальных случаях задачи расчета треугольной плиты могут быть решены при помощи численных методов интегрирования (метода сеток). Подобные решения были даны А. В. Смотровым и М. П. Бар- штейном. На основе этих решений нами составлены приводимые ниже таблицы, при помощи которых могут быть рассчитаны плиты, имею­щие форму равнобедренного треугольника со свободно опертыми или жестко защемленными по всему контуру краями, загруженные сплош­ной равномерной или распределенной по гидростатическому закону нагрузками.

Эти таблицы могут быть использованы также для расчета равно­бедренных трапецеидальных плит при условии, что высота дополни­тельного треугольника, образующего с трапецеидальной плитой пол­ную треугольную, не превосходит высоты последней. Сравнение усилий, возникающих в обоих этих случаях, показывает возможность пренебрежения различием между этими двумя случаями.

В таблицах приведены величины опорных изгибающих моментов на боковых сторонах в правлениях, перпендикулярных этим сторонам. Моменты в направлениях, составляющих с указанным угол <р, находятся умножением табличных величин на множитель к^ = со з2<р

Пример 13. Требуется определить величины наибольших изгибаю­щих моментов М х и М у в стенках бункера (рис. 53), полагая р = 0, объемный вес материала заполнения бункера Чо=2,0 т/м3 и угол его естественного откоса <р = 35°. Имеем:

При определении изгибающих моментов стенки бункера рассма­триваются как треугольные плиты, защемленные по контуру. Находим:

Мх = 0,0069 р / .2 , М у = 0,0093р /.2 ;

УИ0 = — 0,00955 рЬ* .

о/-4ш = 0,00006 — ;

БМ х = 0 ,0 0 3 1 ; М у = 0,0032 дЬ* ; М 0 = - 0,00475 р ^ ,

154

Т а б л и ц а 38Плита, имеющая форму равнобедренного

треугольника, свободно опертая по всему контуру, загруженная сплошной равномерной

нагрузкой

I.Н IV Мх Му Нос Я б.с

0 ,50 0,00216 0,0396 0,0209 0 , 2 2 2 0,389

0,55 0,00196 0,0367 0,0203 0,214 0,348

0,60 0,00177 0,0343 0,0197 0,206 0,314

0 ,65 0,00160 0,0322 0,0191 0,198 0,286

0 ,70 0,00144 0,0303 0,0186 0,190 0,263

0,75 0,00129 0,0286 0,0181 0,183 0,242

0 ,80 0,00116 0,0270 0,0178 0,176 0,225

0 ,85 0,00104 0,0255 0,0175 0,170 0,209

0,90 0,000932 0,0241 0,0172 0,165 0,195

0 ,95 0,000840 0,0227 0,0169 0,161 0,183

1 ,0 0 0,000762 0,0214 0,0166 0,157 0,172

1 ,1 0 0,000652 0,0192 0,0161 0,148 0,154

1 ,2 0 0,000555 0,0172 0,0154 0,140 0,139

1,30 0,000469 0,0155 0,0145 0,134 0,126

1,40 0,000393 0,0141 0,0135 0,128 0,115

1,50 0,000326 0,0128 0,0126 0,123 0,105

1,60 0,000270 0,0118 0,0118 0,118 0,097

1,70 0,000225 0,0108 0 ,0 1 1 1 0,113 0,090

1,80 0,000192 0,0099 0,0105 0,108 0,084

1,90 0,000170 0,0090 0,0099 0,104 0,079

2 , 0 0 I 0,000159 0,0081 0,0094 0 ,1 0 0 0,075

Множители при числовых данных:

для прогибов ——, для прочих величин р/А

155

Т а б л и ц а 39Плита, имеющая форму равнобедренного

треугольника, свободно опертая по всему контуру, загруженная нагрузкой,

распределенной по гидростатическому закону

Г 5н ш мх Му Н ос Яб-С

0 ,50 0,00169 0,0271 0,0182 0 , 2 0 0 0,233

0,55 0,00148 0,0247 0,0175 0,191 0,207

0,60 0,00130 0,0226 0,0167 0,183 0,186

0,65 0,00115 0,0209 0,0160 0,175 0,168

0 ,70 0 ,0 0 1 0 2 0,0195 0,0154 0,167 0,154

0,75 0,000925 0,0182 0,0148 0,160 0,142

0,80 0,000830 0,0170 0,0143 0,154 0,131

0,85 0,000742 0,0161 0,0138 0,148 0 ,1 2 2

0 ,90 0,000663 0,0150 0,0133 0,143 0,114

0 ,95 0,000593 0,0140 0,0129 0,139 0,106

1 ,0 0 0,000532 0,0130 0,0125 0,135 0,099

1 ,1 0 0,000440 0,0114 0,0117 0,127 0,088

1 ,2 0 0,000361 0 ,0 1 0 0 0 ,0 1 1 0 0,119 0,079

1,30 0,000296 0,0088 0,0104 0 , 1 1 2 0,072

1,40 0,000244 0,0078 0,0097 0,106 0,066

1,50 0,000206 0,0070 0,0091 0 ,1 0 1 0,061

1,60 0,000175 0,0063 0,0085 0,096 0,056

1,70 0,000149 0,0057 0,0080 0,092 0,052

1,80 0,000128 0,0052 0,0075 0,088 0,048

1,90 0 ,0 0 0 1 1 2 0,0048 0,0070 0,085 0,045

2 , 0 0 0 ,0 0 0 1 0 0 0,0045 0,0066 0,082 0,043

•Множители при числовых данных:

для прогибов — , для прочих величин ^^2.

156

Т а б л и ц а 40

Плита, имеющая форму равнобедренного треугольника, защемленная по всему

контуру, загруженная сплошной равномерной нагрузкой

н О) К м°у мх Му ^ ос «б-С

0 ,50 0,000790 -0 ,0 3 7 8 - 0 ,0 2 1 0 0,0187 0,0089 0,182 0,409

0,55 0,000719 -0 ,0 3 5 6 —0,0215 0,0178 0,0094 0,178 0,365

0,60 0,000654 —0,0335 —0,0219 0,0169 0,0098 0,175 0,329

0,65 0,000594 —0,0315 —0 ,0 2 2 1 0,0160 0 ,0 1 0 0 0,172 0,299

0 ,70 0,000538 -0 ,0 2 9 7 —0 ,0 2 2 0 0,0150 0 ,0 1 0 0 0,169 0,273

0,75 0,000486 —0,0280 -0 ,0 2 1 8 0,0140 0,0099 0,166 0,250

0,80 0,000438 —0,0264 —0,0215 0,0131 0,0096 0,163 0,231

0 ,85 0,000394 —0,0249 —0 ,0 2 1 1 0 ,0 1 2 2 0,0093 0,160 0,214

0 ,90 0,000354 —0,0234 —0,0206 0,0114 0,0089 0,157 0,199

0 ,95 0,000318 —0 ,0 2 2 0 —0 ,0201 0,0106 0,0085 0,155 0,186

1 ,0 0 0,000286 -0 ,0 2 0 7 -0 ,0 1 9 6 0,0098 0,0082 0,152 0,174

1 ,1 0 0,000245 -0 ,0 1 8 3 —0,0184 0,0087 0,0076 0,146 0,155

1 ,2 0 0,000208 -0 ,0 1 6 2 -0 ,0 1 7 3 0,0077 0,0071 0,140 0,138

1,30 0,000175 —0,0145 -0 ,0 1 6 3 0,0069 0,0067 0,135 0,125

1,40 0,000146 —0,0131 -0 ,0 1 5 3 0,0061 0,0063 0,130 0,114

1,50 0 ,00 0 1 2 1 —0 ,0 1 2 0 -0 ,0 1 4 4 0,0055 0,0059 0,125 0,104

1,60 0 ,0 0 0 1 0 0 - 0 ,0 1 1 1 —0,0136 0,0049 0,0056 0 ,1 2 1 0,095

1,70 0,000084 —0,0103 —0,0128 0,0044 0,0053 0,117 0,088

1,80 0,000072 —0,0066 - 0 , 0 1 2 0 0,0039 0,0050 0,113 0,082

1,90 0,000063 —0,0091 —0 , 0 1 1 2 0,0034 0,0048 0,109 0,077

2 , 0 0 0,000057 —0,0087 -0 ,0 1 0 3 0,0029 0,0045 0,106 0,072Множители при числовых данных:

для прогибов ~~1у , для прочих величин рЬ2.

157

Т а б л и ц а 41Плита, имеющая форму равнобедренного

треугольника, защемленная по всему контуру,

загруженная нагрузкой, распределенной по гидростатическому закону

1_Н 40

0м и

0 м х м у «ос * 6-с

0,50 0,000598 —0,0293 —0,0174 0,0141 0,0082 0,171 0,248

0,55 0,000542 —0,0270 —0,0176 0,0128 0,0079 0,166 0 ,2 2 0

0,60 0,000490 —0,0248 —0,0177 0,0116 0,0076 0,162 0,197

0,65 0,000442 -0 ,0 2 2 8 —0,0177 0,0106 0,0074 0,158 0,177

0,70 0,000398 - 0 ,0 2 1 0 —0,0176 0,0097 0,0072 0,154 0,161

0,75 0,000358 —0,0193 —0,0173 0,0089 0,0070 0,150 0,147

0,80 0,000321 —0,0178 - 0,0169 0,0083 0,0068 0,146 0,135

0,85 0,000288 —0,0164 —0,0165 0,0077 0,0066 0,142 0,125

0,90 0,000258 —0,0153 —0,0160 0,0071 0,0065 0,139 0,115

0,95 0,000230 —0,0144 —0,0155 0,0066 0,0063 0,136 0,107

1 ,0 0 0,000204 —0,0136 —0,0150 0,0061 0,0062 0,133 0 , 1 0 0

1 ,1 0 0,000161 —0 ,0 1 2 0 -0 ,0 1 4 0 0,0053 0,0058 0,127 0,088

1 ,2 0 0,000130 - 0 ,0 1 0 6 —0,0130 0,0046 0,0054 0 ,1 2 1 0,078

1,30 0,000107 —0,0094 —0 ,0 1 2 1 0,0040 0,0050 0,116 0,070

1,40 0,000090 —0,0083 —0 , 0 1 1 2 0,0035 0,0046 0 ,1 1 1 0,063

1,50 0,000077 -0 ,0 0 7 4 —0,0103 0,0031 0,0042 0,106 0,058

1,60 0,000066 —0,0067 —0,0095 0,0028 0,0038 0 ,1 0 1 0,053

1,70 0,000057 —0,0061 —0,0088 0,0025 0,0035 0,097 0,049

1,80 0,000049 -0 ,0 0 5 6 —0,0082 0 ,0 0 2 2 0,0033 0,093 0,045

1,90 0,000042 —0,0052 —0,0077 0,0019 0,0031 0,090 0,043

2 , 0 0 0,000036 —0,0049 —0,0072 0,0016 0,0029 0,087 0,040

Множители при числовых данных: дИ

для прогибов — , для прочих величин цЦ-.

158

(2 а, = — = 1 92 , « , = 62°30' , з т = 0,887 , соз ах = 0,462 ; е 1 2,6

Стенка 1:

Отсюда:

/ = ■ 5 '° „ - = 5 ,6 5 м . х = 5 ,65 ’ ■ -= 1 ,0 7 л , 0,887 5 , 0 — 0 ,8

Я = 5 , 65 + 1 ,07 = 6 , 72м ,

— = — = 0,75:.Н 6 ,72

При толщине стенки 16 см вес 1 м3 ее равен: д —0,16-2,5 =0,40 г/м2 и, следовательно:

Р| = [у соз я = 0 ,40 -0 ,462 - 0 ,185 т /м 2 ,

р'2 = & СОЗ <4 + •(„ Н 51П Я! (соз2 «1 + к з т Я 2 Я!) =

= 0,185 + 2 ,0 -6 ,7 2 • 0,887 (0,4622 + 0 ,2 7 1 -0.8872) = 0,185 + 5,085 =

= 5 ,2 7 т /м 2 .

159

По табл. 40 и 41 находят:М х = (0 ,014-5 ,27 — 0 ,0089-5 ,085)5 ,02 = 0,715 т м \ М у = (0 ,0099-5,27 — 0,007-5,085) 5 ,02 = 0,412 тм ;

Л1у = — (0,0218-5,27 -0 ,0 1 7 3 -5 ,0 8 5 ) 5,02 = _ 0 ,6 7 2 тм;

М1 = — (0 ,028-5 ,27 — 0,0193-5 ,085) 5 ,0 2 = - 1,235 тм .

Стенка 2:5 0

“г = = 2 ,38 ; <*2 = 67° 4 0 '; з т а2 = 0 ,9 1 6 ;

р\ = 0 ,4 - 0 ,3 8 5 = 0 ,1 5 5 т /ж 2;

р% = 0 ,155 + 2 ,0 -6 ,7 2 -0 ,9 1 6 (0 ,3852 + 0,271 -0 .9162) =

= 0,155 + 4,325 = 4 ,48 т /м 2.

По тем же таблицам находят:

М х = (0 ,0106-4 ,48 — 0 ,0066-4 ,325)6 ,02 = 0,685 тм\Му = (0 ,0085-4 ,48 — 0,0063-4,325) 6 , 0 2 = 0,389 тм\

М ° = —(0,0201 -4 ,48—0,0155-4 ,325)6 ,02= —0,82 тм-,

М° = - ( 0 ,0 2 2 -4 ,4 8 - 0 ,0 1 4 4 - 4,325) 6 ,0 2 = - 1,295 тм.

С05 = 0,385 ;

И*--------- I

Рис. 54

отсюда:

Я = 5 ,45 + 0 ,84 = 6 ,2 9 л* .

следовательно:

160 / '

В. Для равнобедренных прямоугольных и равносторонних треуголь­ных плит, свободно опертых на основании и жестко защемленных на боковых сторонах, А. В. Смотровым получены решения:

Равносторонняя треугольная плита (рис. 54)

а) В случае сплошной равномерной нагрузки:

б) в случае нагрузки, распределенной по гидростатическому за ­кону:

М°а = — 0 ,0 1 4 3 ^ 2; М х = 0,0056<^2; М у = 0 ,0 0 7 5 ^ 2.

а) В случае сплошной равномерной нагрузки:

М° = - 0 ,0 1 1 6 р 1 2; М х = 0 ,0046р12; М у = 0,0046р/-2;

б) в случае нагрузки, распределенной по гидростатическому з а ­кону:

М ° = —'0,0071д12; = О.ООЗЗд!2; М = 0 ,0 0 3 3 ? /.2.

2. Круглые плиты, изгибаемые нагрузкой, несимметричной

Случай осесимметричной деформации круглой плиты рассмотрен в главе II. Здесь приводятся некоторые опубликованные в литературе решения задач изгиба круглой плиты несимметричной нагрузкой.

А. Круглая плита, загруженная нагрузкой, изменяющейся по линейному закону и обратно симметричной относительно диагонали

(рис. 56)а) Д л я плиты, свободно опертой по контуру:

М° = — 0,0213р1А М х =0,0093р/.-2; М = 0 ,0093р12;

Равнобедренная прямоугольная плита (рис. 55)

Р 9Рис. 55

относительно их центра

ш = [(7 + Зр.) — (3 + р.) р2] созЭ ,

(7 .2 )

ч И5 + (1) (1 + 3(х) + ( I + 5р.) ( 3 + р ) р 2] со з 48 (3 р.)

Ц А. С. Калм анок 161

<?:да

Наибольшее значение М г имеет место при р -= V зи а = 0 , где

он равен:^ 2(5+ |х)

|^Имакс = ^2 у / з ” ’ (7-3)

Наибольшее значение имеет местопри

(5+м-)(1+3[х)3(1+5(1)(3+ц)

и & = 0 , где он

равен:

^ т П ТТП^

_ ^ ( 1 + З и ) ( 5 + | 1 )

I » |макс 72(3+}л) ■ ( ^

б) Д л я плиты, защ емленной по контуру, да* р( 1—-р2) 2

<7° Р

1920

р ц ^а а -* 4

м г = - — [ (3 — 5 р 2)+ [х (1 — р2) ] соз Э,

Мь№ Р

48[(1—Рг)+Р-(3—5р2)]соз&,

Рис. 56С ? = ^ С 0 5 » .

4

(7.5)

Наибольшее значение М г имеет место при р =

= 0 , где он равен:

|^г|макс —(ЗЧ-1Х)

96(3+ е)

2(5+(1)да‘

Наибольшее значение М & имеет место при р

& = О, где он равен:

(1+3(1) . / (1+Зц)

V| |макс — ' 96 ■ / 2(1+5(1)

(3 +Е> и2(5+ |1)

(7.6)

(1 + 3(1) и 2( 1+5(1)

(7.7)

Комбинируя эти результаты с решениями (2.7) и (2.13), можно получить решение задачи изгиба круглой плиты, загруженной гидро­статической нагрузкой, распределенной по произвольному закону.

162

Б. Круглая плита, загруженная в произвольной точке сосредоточенной силой Р

При расчете по упругой стадии работы плиты следует рассматри­вать нагрузку распределенной на площади весьма малого круга Р = п г^р (рис. 57).

а) Д л я плиты, свободно опертой на контуре величины наиболь­ших изгибающих моментов находятся в точке, соответствующей центру круга, на котором приложена нагрузка. Здесь при заданном эксцентри­цитете приложения нагрузки е и достаточно малой величине го:

|М/"!макс — |М$(макс —4л

а— е (1 (*)го1 + ( 1 + , и ) 1п ----------- ------------- —г о 4 (а— е )2

(7.8)

В произвольной точке:

М г — 1 г[макс( 1+ 11-) 1п

И - ( 1+ ^ ) 1п —Га

Щ = \ Щ

(1+;х) 1п — + ( 1—р-) __________ П __________

1 + ( 1+(х) 1п — га

(7.9)

б) Д л я плиты, защемленной на контуре, прогиб в произвольной точке по Мичелу равен:

8 к В 2 \ а22 I .2 1п

агх\ I ~ Г \ 1п

11"

(7.10)

163

В точке, соответствующей центру приложения нагрузки, изгибаю щие моменты равны:

\М г\е = 1% 1 , =(1+!*)Р

4па —е

1п ------+Го 4(а—е) 2

Эти моменты являются максимальными в случае г0 <0,6(а—е). В противном случае наибольшим будет опорный изгибающий момент в точке контура, ближайшей к центру приложения нагрузки, равный:

|Л О > = - —4тг 2 (а—е)2

(7 .11а)

Рис. 58

При расчете по упруго-пластической стадии работы плиты, выпол­ненной из однородного материала, принимая коническую форму раз­рушения с вершиной конуса, совпадающей с точкой приложения со­средоточенной силы Р (рис. 58,а ), находим величину предельного мо­мента для свободно опертой по контуру плиты:

Р V а ? - е*

2 кам пр= — --------- . (7.12)

а для защемленной по контуру плиты:

Р V а * — е2------- • (?ЛЗ)

В ряде случаев можно указать более опасные формы разрушения плиты с незамкнутым краевым шарниром (рис. 58,6), при этом для свободно опертой плиты при е > 0,865 а и для защемленной плиты при любой величине а предельный момент будет:

РМпо= — = 0.0795Р.

* 4.1

164

Д ля свободно опертой плиты величина предельного момента опре­деляется по формуле (7.12) только при е<0 ,707а. При этом, если г = 0,707а, предельный момент равен:

М пр —V 2 Р

4 к— 0 , 1121Р.

IД ля промежуточных значений 0,707 < — < 0,865 величина предель-

того момента свободно опертой плиты находится интерполяцией.

]. Изгиб плит, имеющих форму эллипса и кругового сектора

А. Эллиптическая плита с защемленными краями

В случае сплошной равномерной нагрузки решение задачи полу- гается в виде (рис. 59):

х г у 2 \2Р 1 - Т - Ь2

(7.14)

При этом значения изгибающих моментов в центре плиты и на концах осей эллипса равны:

2а \

1 + ,л ь 2 )/ з з 2 \

У=° 2а2 — + — + ------- 'а ’ Ь* а Ч 2 /

т х = а <у=0 3 3 2

а4 о4 а 26 2

Ьг

Ш у\х=0 — у = ° 2 6 2

Я П + ^ —

/ 3 3 2

ь - + - +64 а 26 2

1-м у1ж=о ——У = Ь 62 А + А _ )

64 а 26 2 /

(7.15)

Наибольшей величины опорная реакция достигает на концах м а­лой оси эллипса, где она равна (для а > Ь):

|С?|«а 26(3а2+ 6 2)р

(3а4+ 3 6 4+ 2 а 262)(7.16)

165

Д ля нагрузки, распределенной по закону р = Яо — , получено ре-а

шение в форме:

<7о*24 аИ

( 1 — —\ а 2

У2_ ^

6 2

_5_ _1_ 2 \

а4 + 6* + а 26 2 )

(7.17)

Б. Эллиптическая плита, свободно опертая по контуру

Решение задачи для этого случая получено Б. Г. Галеркиным. Ес­ли представить прогиб и изгибающие моменты в центре плиты фор­мулами (для а > Ь ):

т0 — к ърЬ4

1 ГМд-0 = кхрь2-, МУо = курь2, (7.18)

то значения постоянных к т, к х и ку при [л. = 0 принимаются по дан­ным табл. 42.

Т а б л и ц а 42

Значения коэффициентов в формулах для расчета свободно опертой эллиптической плиты

аЬ 1 1,1 1.2 1.3 1.4 1,5 2 3 4 5 ~

кщ 0,064 0,076 0,088 0,099 0,106 0,116 0,145 0,173 0,185 0,193 0,209к х 0,158 0,157 0,155 0,151 0,145 0,138 0,105 0,064 0,049 0,029 0 , 0 0 0ку 0,158 0,187 0,214 0,238 0,260 0,280 0,348 0,413 0,450 0,470 0,500

166

В. Плита, имеющая форму кругового сектора

Ряд случаев расчета секторных плит со свободно опертыми ради­альными краями исследован Б. Г. Галеркиным, из работ которого за ­имствованы приводимые ниже результаты.

Д ля секториальной плиты с закрепленным дуговым краем, загру­женной сплошной равномерной нагрузкой (рис. 60), величины наиболь­шего прогиба и изгибающих моментов вычислены по формулам.

ра4т = ; М г = кгра2; М& = ра2;

М°г = к ()ра2. (7.19)

Д ля секториальной плиты, свободно опертой по всему контуру, указанные величины вычислены по формулам:

__ п а4 __ _

Ы)=к1и^ ~ , М г = кгра2 , М % ~ к ^ р а 2 . (7.20)

Величины коэффициентов, входящих в эти формулы, при р = 0, приводятся в табл. 43.

Т а б л и ц а 13Значения коэффициентов в формулах,

для расчета секториальных плит

Формаплиты К К к г Н

!/в круга 0,00028 0,0082 0,0186 -0 ,0 2 5 0 0,00048 0 ,0 1 2 1 0,01781/ 6 к РУ га 0,00057 0,0097 0,0169 —0,0340 0,00093 0,0197 0,02311и круга 0,00132 0 ,0 2 2 0 0,0172 —0,0488 0,00225 0,0324 0,0272Полукруг 0,00336 0,0440 0,0168 -0 ,0 7 5 6 0,00810 0,0784 0,0310

У плит, имеющих форму >/4 круга, в вершине прямого угла возни­кают изгибающие моменты, равные:

а) при закрепленном дуговом крае: М0 = + 0,0265 ра2;б) при свободно опертом дуговом крае: М0 = + 0,0367 ра2.Б. Г. Галеркиным рассмотрена также и секториальная плита в

виде 'Д круга со свободным от закреплений дуговым краем. Д ля слу­чая сплошной равномерной нагрузки (рис. 61) при р = 0,3 им п о л у ­чены следующие результаты:

167

Прогиб на середине дугового края: т — 0,0634 —— .

Изгибающий момент на середине дугового края: Л % = 0,1331 ра'1. Наибольшие изгибающие моменты на оси симметрии плиты:а) в радиальном направлении (в углу плиты) М г — —0,1263 ра2;б) в тангенциальном направлении (при р = 0,75) М<у = 0,1437 ра2.

VIII. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ И Д И Н А М И КИ ПЛАСТИНОК

1. Сложный изгиб плит

Задача устойчивости и динамическая задача теории пластинок тес­но связаны с задачей сложного изгиба плиты, описываемой дифферен­циальным уравнением:

д4оа д*и) д*хю , д2ю-------4 -2 ----------‘ А---------+ к ---------дх1 д х2ду2 ду* х дх2

о д2т р (х ,и )+ 4 — + ^ = ^ . ( 8 .1 )

Д ля прямоугольной свободно опертой по всему контуру плиты решение этого уравнения по методу двойных рядов имеет форму:

т — оо п = оо № = у У* 4а2дтп 51П тт$, зш пщ

^ ^ ОтТшпЬтпт =1п - 1

т. е. аналогичную решению (1.39) для случая поперечного изгиба плиты.

При этом Ятп имеет те же значения, как в указанном случае, а:

\ тп — (т2 -(- -[2ге2) 2 -|- -(2/и2я 2к2аЬ \2

тъгтпкха \ 2 / куЬ'тс т I \ к п

(8.3)

Точно так же может быть построено и решение в простых рядах для прямоугольной плиты, свободно опертой по двум противоположным сторонам (например у — 0 и У=Ь); это решение представляется в фор­ме, аналогичной (4.4):

П — 00

х ю = ш (х ,у ) 4 - У ] “ ^ - [ « яХа(Р.(1 -6))+»*Й Х а(Р .5) +п = 1

+ я лХо.(М1 — 6)')+п^Хо (Р.€)] з!п птг»|. (8.4)

где основные трансцендентные функции зависят от параметров:

168

- V , / ( т ) ' - т У Пк1 — к \ )— ^ 4+ '

ъ

юъ

В общем случае при з пф пф 0:

х«(М) =1

82 - I 2 п Ы

зЬ 5„Р$

5„ 5Ь 5„р

к\ ) ~ к Ч -

1\ зЬ 1п$

Х о(М ) = 5„ (п Хо (Э,5) — № ( М ) -

(8.5)

(8 .6)

Функции с другими индексами I, чем 0, определяются по формуле (4.6).

Частное решение и>(х,у) для нагрузки, не зависящей от координа­ты х, или зависящей от нее только линейно, находится путем интегри­рования обыкновенного дифференциального уравнения:

(8.7)

Так, для сплошной равномерной нагрузки: имеем: а) при ку = к = 0:

(8 .8)

б) при

5 = - * -кЮ

в) при

ку = 0, к Ф 0;

1—

сЬ(1 + 0 й (6—2г/)

2 1 / 2сЬ

2 сЬ(1+0& 6

+

2 У" 2

ку ={= §, к = 0;

( 1 - / ) 6 (6-2* /)

2 У"~2 (\—1)кЬ

2 1 /"22 сЬ

но— — - У(Ь—у)соз

ку{Ь—2у)

(8.8а)

(8 .8 6 )

169

Д ля этой нагрузки уравнение упругой поверхности, свободно опер­той по всему контуру прямоугольной плиты, может быть записано в форме, аналогичной выражению (4.16а):

д » ( * . у ) = ю - 3 | ] 2[1-+ ( ~ ! Г 11/,&4 с° ( 4 - - 0 ) (8 -9)п - 1

причем функции С* — $ Ц выражаются через функции

Ха (Р. (1— 5)) и хк (Р.? ) по формуле (4.9). Так, например:

с2 ___/2ьп 1п

(т-е)

г-«)(8 . 10)

Эти выводы могут быть обобщены и на различные случаи произ­вольных закреплений на контуре. Д ля прямоугольной плиты, опертой по всему контуру на жесткие опоры, решение задачи может быть представлено в форме (5.7), в которой величины коэффициентов также могут быть найдены из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (5.9). При этом в случае сплошной равномерной нагрузки функциональные коэффициенты при неизвестных и свободных членах в этой системе определяются, исходя из выражений (8.6) и (8.10) для

функций * 0(М ) и Со (? , ( “5 " “ 5 ) ) и аналогичных выражений для

функций Хо и — ^ ) ) Последние получаются при за ­

мене в выражениях (8.6) и (8.10) параметров р на « , координат Е на •') и корней характеристических уравнений и (п на 8 т и т р а в ­ные:

- Т ) - Т + У ( т ) ( ^ М ‘+ т :

— '

(8 .11)

170

Коэффициенты 80 (т ,п) в системе (5.9) здесь выражаются:

80 (т .п .) =у т п

(8 . 12)

где Дшп определяется по формуле (8.3).Таким путем может быть получено решение задачи расчета пря­

моугольной плиты, загруженной внешней нагрузкой и, кроме того, рас­тянутой или сжатой в одном или обоих направлениях равномерными усилиями N х = —к'2х Д # у = —к 2х О, или лежащей на упругом осно­вании Сг = к*й.

УN у-N x

Н х

шшш

п т ш шЫу = Л/х

а

Рис. 62

Пример 14. Требуется определить прогибы и изгибающие моменты в центре и на серединах сторон стальной квадратной плиты, равномер­но растянутой в обоих направлениях и свободно опертой или защ ем­ленной по всему контуру (рис. 62) при следующих данных:

а = Ь — 200 см, к = 3 с м , Ых = Ыу = 1 800 к г /с м ,

Е = 2 ,1 \0 6к г /с м 2, [л = 0 ,3 , нагруженной сплошной равномерной нагрузкой р.

Цилиндрическая жесткость этой плиты:Екз 2 . Ы О в -3®

О — --------------= --------- ----------= 5-10 т кгсм.

Отсюда:12(1— (I2)

к 2 = 6 2 - - Кх к у

12-0,91

1 800= —36-10“ 6 >/ел2;

5-107

кх — ку = 6 • 10~3 г Ч е м , кха = к уЬ = 6 • 10"Ь А

соз — сЬ 0 ,6 = 1,1855. 2

•200* = 1 , 2«;

Решение в первом приближении ограничивается удержанием толь­ко одного члена в разложениях. При этом

1 .

171

Согласно формуле (8.86) для центра плиты

щ =рЪ*

1,2 Ю1 1

1 , 2 2

__п д*ю0 _ _Р*!_д у 2 1 , 2 2

1 -

1

1 \

1,1855 1

= 0,01132рЬ4 О

1,1855= 0,1086р62,

_ в д ^ = 0дх 2

Отсюда, удерживая один член ряда в (8.9) для свободно опертой плиты:

^ср 01132 +

1

1

— Лд2а>

дх 2

сЬ 0,5л 4

0 , 1459л5 \1 ,1 4 5 9 сЬ 0 ,5 3 5 л

рЬ* рЬ1—— = 0,00379 ,

О Г»

1 1

0 , 1459лз \сЬ 0,535л сЬ0,5лрЬ2 = 0,034р62,

— Ид2ио

0,1086

1

сЬ 0,5л

0,1459лз \ 1 ,1459сЬ 0,535л

рЬ2 = 0,034р62,

а , = аЧр У ср ' 1,3-0,034р62 = 0,0442р62.

Растягивающие усилия, приложенные в средней плоскости плиты, в данном случае уменьшают величины прогибов и изгибающих момен­тов на 8%.

Рассмотрим случай защемленной плиты. Вычисляем значения коэф­фициентов при неизвестных т 1= т 1=[*1= |л 1 , ограничиваясь удержанием только соответствующих слагаемых в системе (5.9):

1 ЛЬ 0,535л- 0 - Л Щ - Т 5 7 - - ‘ь 0 -5*] = 0 ’3101-

1

0,1459

»о(1 Д ) =

(1,0711т 0,535л — (Ь 0,5л) = — 0,5656,

1

4+2-0,1459= 0,233.

Таким образом, для определения этих неизвестных получается уравнение:

0,5656 + — 0,233 ) т 1 -- ---------0,3101 рЬ2

172

и, следовательно, величина опорного момента на середине сторон кон­тура равна:

0°х = 0 ° = т 1 = — 0,0463рьз.

В центре плиты теперь можно найти:2-0,463 / 1

0,00379-Ь

О, ср

_ - ± _ У | / * „ « > ,сЪ0> Л О

0 , 1459л2 \сЬ 0 ,535л рб4

00123Л

10,0442

2

2-1 ,3 -0 ,463 / 2,14590,1459 \сЬ 0,535л

рб2 = 0,0218р62,сЬ 0,5л/

что на 6% меньше, чем в случае отсутствия сил, растягивающих плиту.

2. Устойчивость пластинок

Нагрузка, приложенная в срединной плоскости пластинки, при ко­торой последняя теряет свою устойчивую плоскую форму и выгибает­ся даж е при отсутствии поперечной нагрузки, т. е. подвергается про­дольному изгибу, называется критической нагрузкой.

Д ля решения задачи устойчивости пластинки существует ряд ме­тодов, из которых наибольшее значение имеют два — статический и энергетический.

Статический метод заключается в определении величины критиче­ской нагрузки путем нахождения собственных чисел дифференциального уравнения сложного изгиба пластинки, т. е. таких значений коэффици­ентов этого уравнения, для которых оно может иметь отличное от нуля решение даж е при равной нулю правой части:

у 2у 2к> -

АЛ*- д2ш N д2Ш1

О дх2 И ду(8.13)

Так, для прямоугольной, свободно опертой по всему контуру пли­ты, исходя из решения в двойных рядах (8.2), видно, что в случае (\тп= 0, отличное от нуля решение может иметь место лишь когда Ь тп — 0, что дает равенство:

т 2л2 л2л2+ *» +

7 2 7Т2 \ 2

ъ2(8.14)

одном на-В случае Му = 0 имеем плиту, равномерно сжатую в правлении. Д ля нахождения минимального значения критической на­грузки здесь следует принять п — 1, что дает:

л2 О(8.15)

173

Число т должно быть принято равным

V" 1 + 4 7 2— 1 * = " ------^ ------- • (8-16)

или ближайшему целому числу, большему т.Здесь т — число полуволн в направлении стороны а, по которым

происходит потеря устойчивости плиты. Например, для квадратной1/ д __]

плиты 7=1 и т — -------------- = 0 ,6 2 , поэтому здесь т — 1, что дает2

4т:201Л^1кр = - - Т — • (8.17)

а г

В случае N х ф 0 и Ыу ф 0 решение уравнения (8.14) представляется в виде:

т2я 2 О т 2л2 / у2п? \ 2Нх + Ну Ъ г = — 7 “ 1 + (8.18)т 2 а2 \ т 2 ]

и находится сравнением результатов подстановки различных значений. Так, в случае N х = N у для квадратной плиты имеем при т = 1 и п — 1:

1^лг1кр — |Л^у|кр = — • (8.19)

Д ля прямоугольной плиты, произвольно опертой по контуру, реше­ние задачи приводится к бесконечным системам линейных алгебраиче­ских уравнений типа (5.9). Д ля однородной системы отличное от нуля решение может существовать только в том случае, когда детерми­нант системы равен нулю. Однако задача нахождения корней бесконеч­ного детерминанта может быть решена лишь приближенно и притом при большом количестве вычислений, что практически неприемлемо.

В частном случае, когда прямоугольная плита свободно оперта на двух противоположных краях, бесконечная система уравнений распа­дается на отдельные уравнения, решения которых могут быть найдены без особого труда.

Д л я прямоугольной плиты, свободно опертой по двум противопо­ложным сторонам, у — 0 и у = Ь и произвольно закрепленной на двух остальных, получены решения для ряда случаев.

Если стороны х = 0 и х = а защемлены, то в случае симметричной формы потери устойчивости приходят к уравнению:

С ,_ (р , „ „„ . (8 .20)

а при несимметричной форме потери устойчивости — к уравнению:

Хз , 1 ^ = 0 или вп с(Ь = 1п сШ . (8.20а)

Параметры з п и 1п зависят от величин нагрузок Ых и N у, поэто­му решение этих уравнений определит величины критической нагрузки.

174

Уравнение (8.20а) дает решение для случая, когда сторона х, = 0 свободно оперта, а сторона х = а защемлена, если при этом принять отношение 7 вдвое большим действительного его значения.

Аналогично решаются и другие случаи расчета пластинок на устой­чивость. Приводим ниже некоторые результаты, заимствованные из ра­бот С. П. Тимошенко и П. Ф. Папковича.

' и ш ш ' н и6 )

НИМИ 1111111111! Г

- ч.

\

щ

- Л а — - ----- а —

г )Л'Уч

1 Ш Ш Ш

Iг

:> Е

I1 ^ 1

■ щ ц т н !:• Ч .

и ш н пЛу

Рис. 63

а) Стороны х = 0 и х = а защ емлены, сжимающие усилия прило­жены к свободно опертым сторонам (рис. 63,а ) . Критическая нагрузка определяется по формуле:

■кЮИ Ч кР = - А — . (8 -21)

где коэффициенты к принимаются по данным табл. 44.Т а б л и ц а 44

Значения к в уравнении (8.21) для плиты со свободно опертыми сторонами у = 0 и у = Ь и защемленными сторонами х = 0 и х = а

Ыа 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

к 9,44 7,69 7,05 7,00 7,29 7,83 7,69

175

б) Стороны х — 0 и х = а защ емлены, сжимающие усилия прило­жены к защ емленным сторонам (рис. 63,6). Критическая нагрузка опре­деляется по формуле:

Ш кр = - А — . (8 .22)

где коэффициенты к принимаются по данным табл. 45

Т а б л и ц а 45

Значения к в уравнении (8.22) для плиты со свободно опертыми сторонами 1/=0 и у —Ъ и защемленными сторонами х = 0 и х = а

а/Ь 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1.7 1,8 2 2,5 3

к 13,38 8,73 6,74 5,84 5,45 5,34 5,33 5,18 4 ,85 4,32 4,08

в) Сторона х = 0 защ емлена, сторона х — а свободна от сил, сжимающие усилия приложены к свободно опертым сторонам (рис. 63,г). Критическая нагрузка определяется по формуле (8.21), где коэффициенты к (для случая ^ = 0,25) принимаются по данным табл. 46.

Т а б л и ц а 46

Значения к в уравнении (8.21) для плиты со свободно опертыми сторонами у = 0 и у = Ь , защемленной стороной х = 0 и свободной от сил

стороной х = а

Ыа 1 1,1 1,2 ‘ 1.3 1,4 1,5 1,6 1,7 1.8 1,9 2 2,2 2,4

к 1,70 1,56 1.47 1,41 1,36 1,34 1,33 1,33 1,34 1,36 1,38 1,45 1,47

г ) Сторона х = 0 свободно оперта, сторона х — а свободна от сил, сжимающие усилия приложены, к свободно опертым сторонам (рис. 63,а). Критическая нагрузка определяется такж е по формуле (8.21), где коэффициенты к (для случая р = 0,25) принимаются по данным табл. 47.

Т а б л и ц а 47

Значения к в уравнении (8.21) для плиты со свободно опертыми сторонами 1/=0, х = 0 и у = Ь и свободной от сил стороной х —а

Ыа 0,5 1 1.2 1.4 1,6 1,8 2 2,5 3 4 5

к 4,40 1,44 1,135 0,952 0,835 0,755 0,698 0,610 0,564 0,516 0,506

176

ьПри — > 5 можно принимать к = (0 ,4 5 6 + '(2).

а2, п = 1 ) и N г =При т — 1, п = 2 (или т

(8.18) получается

1^|кр — |ЛГу|кр

п = 1) и N х

7 ,2 т,2й

из решения

(8.23)

Последний результат дает значение критической нагрузки для пли­ты, имеющей форму равнобедренного прямоугольного треугольника, свободно опертого по контуру и подвергнутого всестороннему равномер­ному сжатию. Д ля равносторонней, свободно опертой по контуру тре­угольной плиты величина критической нагрузки в случае всестороннего равномерного сжатия равна

4тг20М кр = - — — - (8.23а)

а ‘

Энергетический метод основан на использовании того положения, что моменту перехода из устойчивой формы равновесия в неустойчивую соответствует условие равенства работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях. Пусть возможное перемещение задано неко­торой упругой поверхностью плиты ш0. Тогда работа V внутренних сил определится как потенциальная энергия изгиба пластинки по формуле (1.19). Работа внешних сил на перемещении, вызванном сближением концов пластинки, находится по формуле:

\2— ш( д щ Х \ д у )

+ Му | ^ 2 _ ] + 2 Т,

Из условия V = К получается:

(V

Л7,

д щдх

дщ_ дх

дщ _ду

+

, йх с1у. (8.24)

■2(1 - ; х ) д2щд х 2

+N х_ д щ \ 2 Му

~о

‘ ) ( д 2ш>о д х 2

д 2щд у 2

2

- ) ~д 2щ (д 2щ \ 2'

д у 2 \ дх д у ) _

+ 2О

д щ д щдх ду

Действительная форма упругой поверхности пластинки должна удовлетворять условию минимума потенциальной энергии всей упругой системы, т. е. выражения, стоящего в (8.25) под знаком двойного ин­теграла. Принимая уравнение упругой поверхности в виде двойного ряда (1.34), можно найти величину критической нагрузки из уравнения:

дУУ-сдсп

д(У —К)

дСтп= 0,

или непосредственно или из условия обращения детерминанта однород­ной системы линейных алгебраических уравнений относительно неиз­вестных с тп в нуль.12 А. С. Калманок 177

г

Если принятое для упругой поверхности плиты выражение (1.34) удовлетворяет граничным условиям задачи, величина критической на­грузки может быть получена по .методу Галеркина, который дает си­стему уравнений относительно неизвестных стп\

И д*Щ<9х4 + 2 д*и>0

д х 2ду 2 +д4ш0д у 4

О д у * О .ду3 О д х д у. Х т УпЛ хйу — 0 , (8 .26)

■•у

откуда величина критической нагрузки находится описанным выше пу­тем. Интегрирование в выражениях (8.25) и (8.26) распространяется на всю площадь пластинки.

Аналогично решается данная задача и методом простых рядов, что однако приводит не к системе линейных алгебраических уравнений,

а к системе линейных дифференциаль­ных уравнений. Последние в свою оче­редь дают систему трансцендентных уравнений типа (8.20) и (8.20а); поэто­му здесь решение задачи связано с боль шими вычислительными затруднениями.

Практически интересна только наи­меньшая величина критической нагруз­ки, соответствующая наименьшему соб­ственному числу дифференциального уравнения (8.13), поэтому в большинстве случаев можно ограничиться удержанием в ряде (1.34) одного первого члена. Однако это возможно лишь в том слу­чае, когда этот член удовлетворяет гра­ничным условиям задачи и достаточно хорошо аппроксимирует возможную фор­му искривления пластинки. Если эти

условия не соблюдены и, в частности, если возможна форма потери устойчивости пластинки по нескольким полуволнам, такое решение мо­ж ет привести к ошибке. Если же указанные условия соблюдены, то по­грешность при определении величины критической нагрузки будет, как правило, не большей, чем погрешность, содержащ аяся в исходных данных задачи (реальное осуществление граничных закреплений, упругие кон­станты материала и пр.).

Пример 15. Требуется определить величину критической нагрузки для всесторонне сжатой, защемленной по всему контуру прямоугольной пластинки, мало отличающейся от квадратной (рис. 64), принимая в ка­честве уравнения упругой поверхности первый член разложения в ряд по косинус — биномам:

2тгх\ Л 2п у\ш = сп 1 - С05 - С 05

Это уравнение удовлетворяет граничным условиям и хорошо ап­проксимирует возможную форму потери устойчивости пластинки. После подстановки этого выражения в уравнения (1.19) и (8.24) находим.

178

/ 3 3 2 \ 9V = Ют^аЬ — + — + — - с?1 ,

\ а 1 64 а 262 1

Зт:2 2/ ? = - — (Л/* + -(2Л^) СП.

Отсюда:

4 / 3 3 2 \1 ^ + ^ у1к р = - т ^ ( - + - + — ) .

Такой же результат получится и при решении задачи по методу Галер- кина при помощи уравнения (8.26)

Д ля равномерно сжатой в обоих направлениях квадратной, защ ем ­ленной по контуру пластинки, получаем:

5,33 т.Ю\лукР = |лдКР= - — %— • (8-27)

Решение в более высоком приближении изменяет здесь величину числового коэффициента до 5,30, т. е. менее, чем на 1%.

Д ля сжатой в одном направлении, защ емленной по всем у контурупрямоугольной плиты, величину критической нагрузки находим как

\^х |кр = к , (8.28)

где к — числовой коэффициент, который принимается по табл. 48, разработанной С. П. Тимошенко.

Т а б л и ц а 48

Значения к в уравнении (8.28) для защемленной по всему контуруплиты

в/ ь 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,5 4

к 195,5 126,0 103,5 92,6 83,4 80,7 79,6 78,6 78,9 76,6 75,2 72,8 73,5

При составлении этой таблицы решение задачи находилось с по­мощью двойных рядов и удержанием трех и более членов разложения.

Д л я прямоугольной, свободно опертой по контуру плиты, сжимаемой нагрузкам и, распределенными вдоль сторон х —0 и х = а по линейному закону (рис. 65), А ^ = ( 1 — а71)Л^о, величина критической нагрузки на­ходится при помощи формулы:

6л2Г>УУ01кр = — ~ г , (8.29)

где числовые значения коэффициента к принимаются по табл. 49, раз­работанной С. П. Тимошенко.

12* 179

Т а б л и ц а 49

Значения к в уравнении (8.29) для случая совместного действия сжатия и изгиба в средней плоскости свободно опертой по всему контуру

прямоугольной плиты

а0,4 0,6 0,8 1 1,5

2 29,1 24,1 24,4 25,6 24,1

4/ з 18,7 12,9 1 1 , 2 1 1 , 0 11,5

1 15,1 9,7 8 , 1 7,8 8 ,4

4/ 6 13,3 8 ,3 6,9 6 , 6 7,1

2 // 3 1 0 , 8 7,1 6 , 0 5 ,8 6 , 1

Д л я прямоугольной, свободно опертой по контуру плиты, на­груженной тангенциальной на­грузкой (рис. 6 6 ), величина крити­ческой нагрузки при 7 < 1 нахо­дится по приближенной формуле:

|Г * у|н р = Г5 ,35 + 4 Т» ) ^ - ■ (« -3 0 )

Д л я защ емленной по контуру плиты, нагруженной тангенциаль­ной нагрузкой, имеется решение только для случая 7 = 0 (бесконеч­ной полосы). Здесь

8 ,98 кЮ\Тх у\чР = ------Г— • (8-31)

Д л я задачи устойчивости всесторонне сжатой круглой плиты (рис. 67) получено точное решение, выражающееся через корни бессе­левых функций. Величина критической нагрузки здесь равна:1) для случая жесткого защемления плиты на контуре

14 ,680|лЧ *р = — — ;--------; (8.32)

180

2) для случая свободного опирания плиты на контуре

4 ,2 0|Л М кр = — „ (8.32а)

т. е. в 3,5 раза меньше, чем в случае защемления

Тху

г

3. Определение собственных частот колебаний пластинок

Динамические задачи тесно связаны с вопросом свободных колеба­ний пластинки. Получившая начальную деформацию и скорость пластин­ка, будучи разгружена, начинает совершать свободные поперечные ко­лебания. При этом в уравнении равновесия изогнутой (1.14) должны

— дг1Ю —быть учтены силы инерции, равные т , где т — масса единицы

д(2площади пластинки:

— 7о Л т = ------

е(8.33)

То — удельный вес материала, к — толщина пластинки, § — ускорение силы тяжести, равное 9,81 м/сек.2.

С учетом сил инерции уравнение равновесия изогнутой пластинки принимает вид:

д4а> д4до д'гм т д2ьо-------- |- 2 -------- 4- ------4- — ------ = Одх± д х 2д у 2 д у 1 1 О д(2

(8.34)

Решение этого уравнения может быть представлено:

пи = щ, (х ,у ) соз (м ( + 10) , (8.35)

где <о — круговая частота собственного колебания пласгинки, связанная с числом колебаний п и периодом колебаний Iи зависимостями

ш 2к

По подстановке выражения (8.35) в уравнение (8.34) получают:

(Р Щ -I- 2 д4 д х 1 + д х 2д у 2 ду* 1>

о>0 = 0 . (8. 37)

Это уравнение совпадает с однородным уравнением изгиба пластинки, лежащ ей на упругом основании при

С2 — — ш2т . (8- 38)Здесь также возможны два метода определения собственных частот

колебаний пластинки, т. е. таких значений параметра <*>, при которых однородное уравнение (8.37) может иметь отличные от нуля решения.

Первый метод заключается в определении собственных частот коле­баний пластинки путем нахождения собственных чисел дифференциаль­ного уравнения (8.37). Так как для прямоугольной, свободно опертой по всему контуру пластинки, исходя из решения в двойных рядах (8.2),эти собственные числа находятся из уравнения учесть равенства (8.11) и (8.38):

=0, что дает, если

64а47С4

ш2та*

те4 О(8. 39)

Отсюда для определения числа собственных колебаний получается формула:

где

Рис. 68

■к (т* 4- 7% 2)

О

(8. 40)

(8 .4 1 )

Низшая частота собственных колебаний прямоугольной, свободно опертой плиты соответствует случаю т = п = \ , когда число колебаний равно:

1 ,57(1 + т2) «11 = : - А . (8 .4 2 )

Д ля прямоугольной ,, свободно опертой по двум противоположным сторонам плиты, когда бесконечная система линейных алгебраических упавнений типа (5.9) или ей аналогичная распадается на отдельные уравнения, частота собственных колебаний находится путем решения трансцендентных уравнений вида (8.20) — (8.20а), в которых параметры зп и Iп зависят от искомой величины <•> .

Второй метод определения собственных частот колебаний пластинки (энергетический) основан на использовании принципа сохранения энер­гии. Известно, что полная энергия колеблющегося тела состоит из двух частей: потенциальной энергии деформации и кинетической энергии дви­жения. При наибольшей деформации пластинки скорость ее движения равна нулю и вся ее энергия будет потенциальной, вычисляемой по формуле (1.19). Наоборот, когда колеблющаяся пластинка проходит через свое начальное, недеформированиое положение, ее потенциальная

182

энергия будет равна нулю и вся ее энергия будет кинетической. Таким образом:

™ „2 —■ йх й у -

2 2

Из условия V Ма к с— Т макс получаем уравнение:

Шц с1хйу. (8 .4 3 )

(У м акс — Т'макс) — -----2

д2 щ

дх2

— Iх)д 2щ д2и>0 / д 2Ы’0 \ 2' о>2т

д х 2 а у2 \ дх д у ) О

д 2щ ^ 2

~ д ?

.2 1

- 2 ( 1-

й х й у = 0 , (8 . 44)

аналогичное уравнение (8.25), которое может быть решено теми же приемами, в частности, при помощи двойного ряда (1.34), каждый член которого удовлетворяет граничным условиям задачи, по методу Галер- кина, что приводит к уравнениям вида:

д4 пд х ‘

+ 2 д'Юодх^ду1

+д'вд,д у 1

<я ‘пг — — Х т Уп йх йу = 0, (8. 45)

дающих в совокупности систему уравнении для определения частот « . Интегрирование в выражениях (8.44) и (8.45) распространяется на всю площадь плиты.

Пример 16. Требуется определить энергетическим методом величину низшей частоты собственных колебаний круглой, защемленной по контуру плиты (рис. 68), принимая для ее упругой поверхности выражение, за-

гвисящее от двух параметров и одной переменной р = — : I

щ = ^ (1 — р2)2 + с2 (1 — р2)3 .

Это выражение удовлетворяет граничным условиям и условию осевой симметрии, которое соответствует низшей форме колебаний плиты.

Для осесимметричной деформации круглой пластинки выражение (8.44) имеет вид:

А2хи)пйг2 с1г аг2

с!щ

Аг

л2П

О(1г = 0 . (8. 46)

После подстановки сюда уравнения упругой поверхности и выпол­нения интегрирования имеем

96_

9а2с\ + ~ С1 с2 + А с2 \

10 2 /ю2та2

10 Ос 1 + - у с \ с2 + у - С2 1 = 0 .

Д ля определения величин коэффициентов С\ и с2, соответствующих минимальному значению частоты ^ , следует взять частные производные найденного выражения по этим коэффициентам. Таким путем получаем

183

системы двух линейных однородных уравнений относительно этих коэф­фициентов:

192 ш 2а*тЬ + (

1144 ы2а* т9

144

5 0

ш2а*т 'V 9

/ 96

6 0

м2а4 т9 6 0

1 ч 1 15 7 0

с2 = 0 ,

с2 = 0 ,

К этим же уравнениям приводит и формула (8.45) метода Галеркина.Приравнивая нулю определитель этой системы, приходим к биквад­

ратному уравнению относительно искомой величины « :

/ ш 2а4 т \, 2 204-48,( ш2а4 т ^

1 о ) 5 1 ^ ){- 768-36-7 = 0,

корни которого будут:

10,21У т а2 У т

Таким образом, получено достаточно точное значение частоты низ­шего вида колебаний пластинки и довольно грубое приближение частоты второго вида колебаний, при котором колеблющаяся пластинка имеет одну узловую (неподвижную) окружность. Если ограничиться удерж а­нием в выражении для га0 одного первого члена, то нашлось бы:

Ь'60 О ю ,3 3 , / _ 0

т

, / 960Р

= V 9 а*т =

что отличается от результата второго приближения всего на 1%.Д ля определения следующих частот с приемлемой для инженерных

расчетов точностью приходится удерживать несколько большее число членов в ряде (8.2). Так, точное значение определенной выше второй частоты собственных колеб|аний круглой, защемленной по контуру плас­тинки, равно:

39,78V т

что отличается от полученного выше значения на 8,5%. Впрочем даж е такая погрешность имеет порядок погрешностей, обычно содержащихся в исходных данных задачи.

Ниже приводятся некоторые формулы, которыми следует пользо­ваться при определении собственных частот колебаний пластинок и мембран.

А. Однопролетная прямоугольная плита (рис. 69)

В этом случае следует использовать в двойном ряде (1.34) для опре­деления собственных частот колебаний плиты, в качестве функций Х т и.

184

У п собственные функции стержня, так называемые фундаментальные балочные функции', являющиеся решениями уравнения

с1*ш-------- Ха» = 0 .с1х1

(8. 47)

Для шести возможных схем граничных закреплений однопролетной прямоугольной плиты, опирающейся по всему контуру на жесткие опоры, частоты собственных колебаний низшей формы (п— 1, т = 1) с весьма

.1 Л'

V! П"11 111 I 111

тттттттттттт

— а —

Рис. 69

Ж11111111111111

1'Щ ними

а

гг - и

малой погрешностью находятся по формуле:

91,1 „«1 = - г - А ,

а 2

где А — определяется по формуле (8.41), а <р;д равно

для схемы 1 : 1,57 (1 + 72) ;

для схемы II : 1,57 У 1 + 2 ,33 -у2 + 2 ,44 -у4 ;

для схемы III: 1,57 1 + 2 , 5 72 + 5 ,1 4 -у* ;

для схемы IV : 1,57 1 2 ,44 + 2,72-(2+2,44-[4 ;

для схемы V : 1,57 У 5 , 14ч- 2 ,9 2 ,2 + 2,44 у* ;

для схемы VI : 1,57 У 5 ,1 4 + 3 ,13-(2 + 5 ,14 -у4

(8. 48)

1 Теория фундаментальны х балочных функций излож ена, например, в кн игеВ. 3. Власова, О бщ ая теория оболдчек. Ч ее прилож ения в технике, Госгехиздат,М„ 1949.

Частоту собственных колебаний ( я = 1, т = 2 или « = 2 , т—\) второй с ннзу формы с достаточной для практических целей точностью находят по формуле:

п-з = А , (8 .4 9 )а 2

где <Р2 меньшее из чисел:

для схемы I : ^2,1= 6 ,28(1 + 0 ,25 72 ) или ? 1,2 = 1 ,57(1 4* 4Л(2) ;

для схемы II : ?2,1 = 6 ,28 |/^1 + 0,582ч2 + 0 , 15274 или

9 1,2 = 1,57 / 1 + 8,69 72 + 25,63 74 ;

для схемы III : 92,1 = 6 ,28 V 1 + 0,625 72 + 0,321ч4 или

Т1,2 = 1,57 V I + 9 ,32 Т2 +- 39,06 Т4 ;

для схемы IV : 92,1 = 7 ,95 V" 1 + 0,395 72 + 0,095■(* или

91,2 = 1,57 V 2 ,4 4 + 1 0 ,12-(2+ 2 5 ,6 3 '[4 ;

для схемы V : 92,1 = 9 ,82 + 0 ,266 “(2+ 0 , 0625(4 или

91,2 = 1,57 V 5 ,1 4 + 1 0 ,867* + 25, 6З74 ;

для схемы VI : 92,1 = 9 ,8 2 ]/"1 + 0 , 29 8 72 + 0 , 13274 или

9 1 ,2 = 1 ,5 7 " / 5 ,1 4 + 1 1 ,6572 + 39,0б74 .

В случае, если рассматриваемая плита загружена сплошной равно­мерной нагрузкой и сосредоточенными в отдельных точках с коорди­натами и т], грузами <2.5 (рис. 70), такж е можно использовать фор­мулы (8.49) и (8.49а), но величину А при этом следует считать равной

У т пп

П(8. 50)

пр

где т пр — масса приведенная к равномерно распределенной

5 —ГП

(8 .5 1 )7оА + р + — к (?*) к (т]*) • О.,аЪ

8-1

а суммирование распространяется на все т сосредоточенных грузов.Коэффициенты к ( | 5) и &(% ) принимаются в зависимости от вида

закреплений противоположных сторон плиты, относительных координатУз

груза = " — , % = — и номера определяемой частоты по табл. 50, а Ь

разработанной Е. С. Сорокиным.

186

Т а б л и ц а 50Коэффициенты приведения сосредоточенного груза

к равномерно распределенной нагрузке при определении, собственных частот колебаний плит

Схемазакреплений 1 Л

о--- ---4 Л =1 И

1 ь

Номер частоты 1 2 1 2 1 2

0 0 0 0 0 0 00,05 0,05 0 ,19 0,08 0,24 0 0,020,10 0,19 0,69 0,31 0,84 0,04 0,210,15 0,41 1,31 0,66 1,51 0,15 0 720,20 0,69 1.81 1,07 1,94 0,37 1,460,25 1,00 2,00 1,49 1,91 0,74 2,090,30 1,31 1,81 1,86 1,44 1,20 2 270,35 1,59 1,31 2,13 0,75 1,69 1,860,40 1,81 0,69 2,27 0,18 2,12 1,070,45 1,95 0,19 2,25 0,01 2,42 0,31

Е (г, ) 2,00 / 0 2,09 0,33 2,52 0^ ы 0,55 1,95 0,19 1,81 1,00 2,42 0,31

0,60 1,81 0,69 1,46 1,74 2,12 1,070,65 1,59 1,31 1,08 2,21 1,69 1,860,70 1,31 1,81 0,72 2,23 1,20 2,270,75 1,00 2,00 0,42 1,81 0,74 2,090,80 0,69 1,81 0,21 1,15 0,37 1,460,85 0,41 1,31 0,08 0,53 0,15 0,720,90 0,19 0 69 0,02 0 15 0,04 0,210,95 0,05 0,19 0 0,01 0 0,021,00 0 0 0 0 0 0

/ '

Д ля квадратной плиты, свободной от закреплений по. всему контуру, низшие собственные частоты колебаний согласно Ритцу равны при ц =

0,225:

187

(8.55)

где а — сторона квадрата.

Б. Неразрезная плита

Д ля приближенного определения собственных частот колебаний: неразрезных плит с близкими величинами пролетов в каждом направле­нии 'может быть применен следующий метод. Плита мысленно разре­зается над всеми промежуточными опорами, причем в местах разрезов предполагаются свободные опоры. Таким образом каждое поле будет находиться в условиях однопролетной плиты. Первые и вторые частоты этих плит обозначают через п \ Г, пгг- Затем в местах разрезов предпо­лагаются жесткие защемления. Перв_ые и_вторые частоты для полей пли­ты в этом случае обозначают через п 1Г, «гг- Тогда для неразрезной пли­ты приближенно:

где N — общее число полей плиты.При этом частоты, заключающиеся между п\ и п \, образуют первую,

а частоты между п2 и п2 вторую резонансную зону. Внутри каждой зоны при значительном числе полей плиты лежит весьма большое число частот собственных колебаний.

Низшие собственные частоты колебаний круглой плиты определяют­ся по формуле:

где числовой коэффициент (при (а= 0,3) равен:а) для защемленной плиты : 1,63;б) для свободно опертой плиты : 0,785;в) для свободной от закреплений плиты : 0,835.В последнем случае деформация плиты не осесимметрична.

(8 . 53)

В. Круглая плита

(8. 54)

188

Г. Плита в виде равнобедренного прямоугольного треугольника

Низшая собственная частота колебаний здесь равна:

«1 :_ ^ / 4 ,

а 2 \ т

где а — длина катетов треугольника.

Д . Колебания мембраны

Д ля плит весьма малой жесткости, равновесие которых обеспечи­вается только цепными усилиями натяжения Я, низшие собственные час­тоты колебаний определяются по формуле:

— ‘ ■ у Я Г - <8 56>где Р — площадь мембраны; р — поперечная нагрузка а к 8 — коэф­фициент равный

а) для круга : 4,261;б) для квадрата : 4,443;в) для четверти круга (квадранта) : 4,551;г) для равностороннего треугольника : 4,774;д) для полукруга : 4,803;е) для прямоугольника с отношением сторон 7= 1,5 : 4,624;ж ) для прямоугольника с отношением сторон 7 = 2,0 : 4,967.К ак видно из приведенных данных, для мембран, имеющих форму,

не слишком отличающуюся от круга, величина коэффициента к$ не на много превышает величину этого коэффициента для равновеликой круг­лой мембраны.

Д ля прямоугольной мембраны частоты собственных колебаний определяются по формуле:

• в Я ] / Л - Р \ а2 №

N р

здесь низшей частоте соответствует случай т = 1, п—1, т. е.

к - . / N е “11=* — 1 / — ( 1 + 7 2) .а у р

где 7 = а /Ь .

IX. РАСЧЕТ БАЛОК СТЕНОК

1. Аналогия м еж ду решением задач плоского напряженного состояния и изгиба плит

Дифференциальные уравнения плоского напряженного состояния (1.6) и поперечного изгиба (1.14) плиты для случая р г = 0 , оказывают­ся с математической точки зрения тождественными. Точно так ж е впол-

189

не аналогичными являются и граничные условия обеих этих задач. Следовательно, любая задача из области плоского напряженного со­стояния пластинки может рассматриваться как задача изгиба плиты, загруженной только приложенными на ее контуре нагрузками или де­формациями.

Таким образом, плоское напряженное состояние балки-стенки, имею­щей прямоугольную форму, всегда может быть представлено в виде:

т — оо п — ооФ (х, у ) = Р (х , у) + 21 Ут 51П т 7С$ + 2 Х„31п ПОТ], (9.1)

т = 1 П=1т. е. аналогичной общему решению задачи произвольно закрепленной на контуре прямоугольной плиты (5.1). При этом для полинома здесь целесообразно принять равносильное (5.3) выражение:

"2 < - г , „ 52 (3 — 25))т у- \ - т у { \ — 2ц) ---------------- 1 +[пу + п'у (I - 2-г])] (62- 6) +

+ у [ [пх + п'х (1 — 26)] (т)2 — г))+

[тх + тх ( 1 — 25)]К]2 (3 --- 2т|) аЬ (9.2)

(9.3)

а для функций У т и Х п выражения:

К'" = ( “ ) к д 2 (а - 0 “ Ч ) ) + 1*«Х2 (в - Ч) +

+ ^тХо(а .(1—'Ч. ) ) +ЛпХо( а > Ч)] -

Хп = Ш 2 К * 2 (Р- (!-«)> + т'пШ > 5) +

+ «„Х0 (Р. ( 1 - 5 ) ) +- «Д-Хо Ф. 5)] ,

т. е. вместо функций Хо (“ >■')) и Хо (Р. 5) в выражениях (5.2) введе­ны основные трансцендентные функции Хо(а> -г1) и Хо(Р>5)-

Соответствующие полиному Р (х , у ) компоненты напряженного со­стояния балки-стенки определяются по формулам ( 1.2):

N К + п 'х (! - 25)] + К + т ' х О - 2 )] (! - *]) ■

Ыу = К + П'у 0 “ + ['"у + Ч ^ “ 2'^] - 2') ■

Г. . . = ^ - Т К 0 - 2 5 ) - 2 т ; 5(1 - 5 ) ] -

— [«* (1 — 2-г]) — 2т'х к] (1 — г,)].

(9.4)

Соответствующие этому полиному величины проекций главного вектора и главного момента на сторонах контура балки-стенки равны (рис. 71):

а) на стороне х .= 0;

* х = ь ( пх + п '*); Т у = Ь ( ~ а п 'у + - ^ т 'х> 1 х = - у [ т х + т 'х) ; ( э ..5)

190

б) на стороне х = а :

К'х = Ь ( п х - п ' ху, Т у = Ы ап'у + - ^ т ' я \ 1*'х = ± - { т х - т ' х) ; (9 .5а)

в) на стороне у = 0;

Яу = а ("у + "у) ; Г *= ^ ~ 6п* + • 1 У = т К + шу) • (9 ‘5б)г) на стороне ( /= 6:

« Л

ата? + Ьпх + — т 'у . Ч = Т

Г &Тх / 1

Гу/?

—

Тх 1 .

—-------а — *■Рис. 71

Если граничные условия на контуре балки-стенки заданы в напря­жениях, то из условий задачи непосредственно находятся проекции главного вектора и главные моменты от внешней нагрузки на сторонах, контура (с теми же, как и выше, обозначениями, но с чертой по верху). Если наложить на напряженное состояние рассматриваемой балки-стен­ки напряженное состояние, соответствующее полиному (9.2), причем

П х~ ~ ~ 2 Ь ^ х ^ ’ П* ~ ~

пу= --^(«у+~я 'у)' п'у

26

_12 а1 % - К ) .

3 - — , 3 — —: = — — (^ + ^ ) , т = — — (Ь — Ьг )Л2 \ ■* ' X) ' X г 2 \ X X)

_3 1-г а

1

3 ' 1 . - Т

Г 4- Ту у

а*

I . — I I

у / »

2 а

г , - г ;

(9.6)

141

то заданные внешние нагрузки преобразуются в такие нагрузки, у ко­торых величины проекций главного вектора и главные моменты на каж ­дой из сторон порознь равны нулю. Такие нагрузки можно назвать нормализованными.

Представим нормализованные внешние нагрузки на сторонах кон­тура балки-стенки в форме разложений в тригонометрические ряды:

1Л/^ ^ = о = 2 1п 8!п п щ , \тП -\

П— 00

П — 00

ху!х=0 5=8 ^ ~п ^0$ п п - 1

1 л ' л - 1 л - = й = Е * 'п 5 [ п п п г 1\ т х у\х = а = Е ('п с о в пп = 1

т = ооп = 1

т= оо1^у1у=0 = 2 з1п т . |т , у|у=0 = Е (гпС0$ткЬ,

т = 1т = 00

I \У = Ь = 2 5т з1п ттг$, I Г

т = 1/72= оо

*У1У=Ь= 2 1ш соз т 71?,т —1

(9.7)

Искомую функцию напряжений находим в форме (9.1), где полином Р(Х,У) равен нормализующему полиному, взятому с обратным знаком, коэффициенты чш, , п ,, и п п равны:

Вя = - 5« ’ я« = -(9.8)

а коэффициенты цт , (хш, т п и ш п находятся путем решения бесконеч­ной системы линейных алгебраических уравнений задачи изгиба прямо­угольной плиты, опертой по всему контуру на жесткие опоры (5.9) со свободными членами, равными:

ф п = - Г „ + ъ (Р. 1) в я - к д ( Р . 0)®; +т= оо

2?п у+ " 7 И М « . л ) - ^ [«т + ( - 1)"+1 * „ ’] ,

т = 1

ФП = — Хх (р. 0) 5Г + XI (», 1) +

Ф = — ( + х , (®. 1) 5 — 7 , (а1 0) 5т +т т 1 ' 7 т '-1 ' 7 тП — оо

2т \ ч

7*

(9.9)

192

ф.п — со

^ Е ( - » " +1 8» ( т . П) ^ р „ + ( - 1)Я + Ч ] •п - 1

(9.9)

Подобным же образом решаются задачи расчета балок-стенок, ког­да граничные условия на всем контуре или части контура заданы в пе­ремещениях. В некоторых случаях таких смешанных граничных условий решение задачи существенно упрощается. Такие случаи будут рассмот­рены в следующем разделе.

2. Расчет прямоугольных балок-стенок

А. Свободное опирание на боковых сторонах

Для прямоугольной балки-стенки, свободно опертой на боковых сторонах х = 0 и х = а (рис. 72), осуществляются граничные условия

\ЫХ \ = 0 , М = 0 .1 х ' л =О 1 х=0х - а х —а

Отсюда также следует:

и = 0= о .х = а

т. е. вся опорная реакция передается только при помощи тангенциаль­ных напряжений 1х у ,

Внешняя нагрузка, приложенная, например, к стороне г /= 0, может быть представлена в виде разложения:

т -оо

\ М у \ у = о = 21 5т 81П/Л7с5. (9-10)т - 1

Здесь решение задачи дается функцией напряжений:т=оо

Ф (Х .у ) = — ^ ( — \ ['Г1 (я) У.2 («. (1 — Г{)) + т = 1 \ т к /

+ Хо (а . (1 — 1 ) ) + ? 2 И Х г ( я . 1)1 5т з т т * ? , (9 .1 1 )

$Н2 а + а 2 2 а $Ь аТ1 ( » ) = , 2 ? . ( « ) = - ^ Т -------- -2 . (9.12)

зЬ а — а 2 5 Ь 2а — а 2

В табл. 51 приведены вычисленные при помощи этой функции напря-а

жений значения напряжений ох в сечении х = — и прогибов V в точке у —О,

х=а)2 для различных отношений сторон балки-стенки, находящейся под действием равномерно распределенной по стороне у = 0 нагрузки интенсив­

ности р. При вычислении величин прогибов принималось ,«• = ~г~ .о

13 Зак. 1991 193

где-

Т а б л и ц а 51Н апряжения и прогибы для свободно подвешенной на боковых сторонах

прямоугольной балки-стенки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой ^

0,5 0,75 1 1,5 2

0 1,001 1,042 1,204 1,964 3,2140,125 0,161 0,407 0,646 1,286 2,2260,250 -0 ,1 3 7 0,030 0,239 0,739 1,4090,375 —0,161 —0,122 —0,001 0,304 0,6760,500 —0,115 —0,154 —0,128 —0,056 - 0 ,0 1 8 .0,625 —0,071 —0,147 —0,211 -0 ,4 0 6 —0,6940,750 —0,042 - 0 ,1 4 4 —0,302 —0,763 - 1 ,4 1 80,875 —0,033 —0,185 —0,458 — 1,211 —2,2381,000 —0,060 —0,330 —0,748 — 1,817 —3,185

Прогиб —0,746 —0,778 —0,823 — 1,243 —2,043

Р 1Множители при числовых данных таблицы для напряжений сх : ~

раи для прогибов V : — •

ЕНПри стремящемся к нулю, величина прогиба V стремится к зна-

Рачению —0,741 — , а не к нулю, как это следовало бы по элемен- Ек

тарной теории. ,

Значения лормальных напряжений ах для такой балки бесконечно большой высоты приведены на рис. 73, где для сравнения показана эпю­ра напряжений ах для балки-стенки с высотой, равной удвоенному про­лету ^ =0,50.

Д ля нагрузки, равномерно распределенной по площади пластинки (собственный вес), вместо табл. 51 следует пользоваться табл. 52.

1Э4

Т а б л и ц а 52

Напряжения и прогибы для свободно подвешенной на боковых сторонах прямоугольной балки-стенки, загруженной объемными силами

собственного веса

0,5 0,75 1 1,5 2

0 0,379 0,618 0,956 1,884 3,2070,125 0,119 0,302 0,548 1,250 2,2310,250 0,024 0,133 0,294 0,758 1,4140,375 0,001 0,043 0,121 0,356 0,6840,500 0 0 0 0 00,625 —0,001 - 0 ,0 4 3 —0,121 - 0 ,3 5 6 —0,6840,750 —0,024 —0,133 —0,294 —0,758 — 1,4140,875 - 0 ,1 1 9 —0,302 - 0 ,5 4 8 — 1,250 —2,2311,000 —0,379 —0,618 - 0 ,9 5 6 — 1,884 —3,207

П рогиб - 0,201 —0,325 - 0 ,4 9 2• —0,962 —1,921

Множители при числовых данных таблицы для напряжений То аЪ

для прогибов V : —— , где 70—-объемный вес материала балки- .с

стенки.Приближенное решение задачи расчета загруженной равномерно

распределенной нагрузкой прямоугольной балки-стенки (рис. 72) может быть представлено в виде:

3 Р р^ = - 7 ( 1 - 2 - чИ ( 1 - $ ) + 7 7

АГу = -

(1 — 2г))2— - (1 - 2^) ;

(3 — 2-г))г)2р ;

Ц а - Ч ) ( 1 - 2 б) Р .

(9.13)

Это решение удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным условиям задачи, однако на боковых сторонах х — О и х — а последние удовлетворяются лишь в интегральной форме (для главного вектора и главного момента опорных реакций). Несмотря на это можно при опре­делении величин нормальных напряжений о у и тангенциальных напря­жений для свободно опертой на боковых сторонах балки-стенки использовать формулы (9.13). При этом необходимо принимать во вни­мание характер приложения нагрузки, например, для нагрузки объем­ными силами собственного веса исходить при определении нормальных напряжений из формулы:

Му = — [(3 — 2т|) -г!2 — т)] То Ыг (9 .13а)

13* 195

У -0 ,0Рис. 73

196

Б. Свободное опирание на нижней стороне

Если предположить, что опорные реакции распределяются равномер­но по всей площади опоры, то задача расчета прямоугольной балки-стен­ки, свободно опертой на нижней стороне, представляет собой рассмотрен­ную в первом разделе задачу плос- /- кого напряженного состояния прямо­угольной пластинки при граничных условиях, заданных в напряжениях.

В табл. 53 даны значения на­пряжений ах по оси симметрии бал­ки-стенки для двух случаев действия внешних нагрузок, показанных на рис. 74.

Используя эти данные, можно получить решения для различных случаев загружения балки-стенки, комбинируя полученные результаты с однородным загружением балки- стенки равномерной сжимающей или растягивающей нагрузкой, соответст­вующей тому слагаемому в полиноме (9.2), которое зависит от коэффици­ента Пу .

Пример 17. Требуется опреде­лить напряжения ах в квадратнойбалке-стенке при ширине опор С\ = 0,2а от внешней нагрузки Р, прило­женной к верхней стороне балки на участке'длиной с2= 0 ,\а (рис. 75).

Если наложить на напряженное состояние рассматриваемой балки-Р

стенки напряженное состояние чистого растяжения оу =ак

то вели­

чины напряжений ах находятся суммированием соответствующих реше­

ний из табл. 53 для схем нагрузок А и Б. Таким образом ^р = — | .

/«*/у= о = (1.457 + 0 ,2 0 2 ) -71 = !,659

/3л7у=о ,25ь = ( ° ’5 0 1 + 0.159) -7- = 0,66 * Н а

/» ,/у = о .2№ = (-0 ,0 5 1 + 0 ,1 8 3 ) = 0 ,132 ;

/ ал7у=о,375й — (— 0, 24 + 0,24) ^ = 0;

/ ° х 1у= 0 5ь = ( - 0,253 + 0,309) = 0,044 ; ' ■ к к

1ах / у = о 625ь ~ (— 0 ,2 0 5 + 0,365) = 0 ,16 — ■ ;к к

14 А. С. Калманок 197

Нап

ряж

ения

ах

для

своб

одно

оп

ерто

й по

ниж

ней

стор

оне

прям

оуго

льно

й ба

лки-

стен

ки

0 00 0

•ч*см

0 3оо

СОСП

о СОсосм 1

тгсм о

см

СМсо

03смТГ

со8 1

смс -со

см

8

см3

3Г-'-

юоосм

от 7 7 7 7

о о см7 7 7 7

о1 7

смо3

гоосм

смсмсо

со$со

смсм

о00

03сооо

8см

8ТГ3

СО3- г

3см

803см

СОсо

о * см1 т 7

о1 7

о см см1 7 7 7

о1

о1

о 1-1

88

смсмО)

«о3

с о юсм

' Гю

с оСМ

00о

ооо з СО

см00ою

0 0 0 0см

о8см

00о

чгю

со3

о см1 7 7 7 7

о см со см1 7 7 7

о1

о1

о1

о осм

о»г*»00

03сг>ю

О)смп*

соз

Г'~-03

’ Г8

СОСО

•ч*

о з

0 3о зс о

00оо03

Г'-со

3чГ 1

СО

$

ОЗосм 1

со8

ог -

о о1

о1 7 7 7

о1

о о о1

о1

О1

о1

о1

о о о

8СОсм00

03оою

соТ?

юсм

смо

оф'Г

осм

3смо

ю03со

юю

юсм

смосо 3

8см

о зст.см

о зсм

-о

7о

1 7О1

о1

о о т- см 7о1 7 7

о1

о1 7

о 03

юо

3со

оО)

юоГ'-

О3

о зюсм

тр-то

03Юю §

сосо

соо

81 -

сосмю

я■ч*

соо

юСТ-СО

ю3

осм со

о7

о1

о1 7 7

о о г- см7

о1

о1

о ' 1 7 7.

о1

о1

03

(Мсо со 2

юосм

СОЮСМ

оТсм

юо § ю

т гг*»03

смю

смсосм

■ч*асм

003

омсоооо

СОсм■ч*

о7 7

о1 7 7

о1 7

о 7 7 7 7о1 7 7

о

о<м

ооГГСМсм

03<м

см©со СО 1

ТГсм

смю

смосм

о зю

со00 §

см 1

юСОСО

со03со

соСОсм ю

о о1

о1 7 7

о1 7

о1

о о1 7 7 7 7 7 7 1

юо 8

смооОз

соТАсо

о з3 8

см

3ю8

юоо

ю03

юосм

смСО

00оо

NТГсм

сосо

см3

сот г

03СО

сосоГР

о о1

о1

о1

о1

О1

о1

о о 7 7 7 7 7о

1 7 7ОЗ

смсо3 §

3 я 03юсм

00 смсм

СО'Я* §

Г'-3

см1-*.о

осм 8

ооюсм

3СО

ю03

соо•ч*

о О1

о1

о1 7 7 7

о1

о о1

о1 7 7

р1

о1

о1

о1

ю г—о

юо

СО8

юю

03СОсм

сооосм

со3 1

033

■ч*I4»о

юсм

оооо

03•осм

«оСО 8

Г'-см■ч*

о * о о1

о1

О1

о1

о1

о1

о1

о —о

1 7о

1о

1о

1о

1о

1о

103

юо

0 0о

СОюо

•'ГО)00

СОСМ

оосо

сосм

8ГГ

о з0300 § ю

ог^.г^.о

сосм

со03

г--см 1 8

ТГ

СО3

о о1

о1

о1

о1 7

о1

о1

о 7 7 7 7о

1,от 7

о1

03

см008 1

тГО

соо

юЧ*1юсм

оо8

•>*смГГ

008

ю8 8

соо 1 ю 1

СОсмСО

03сг-СО

о7 о о О

1о

1 7о

1о

!' н о

1О

7о

1о

1 7 7о

1•ч-

1оо

см8

Г--о

СОо

см03

смсосо

юо

8г -

со

8 1 8о зо

038

оою

смсо

СОоСО

смсм

о’ о7

о О7 7

о1 о1 7

о1

о 01

о1

о1 7 7

о1

03

юоо

соо

§ яо

юшо

СОсм

00от г 8

г>-

3 1ю

803о

Г "о СОсоСО

03ч*

о- гЧГ

о о1

о о7

о1

о1 7

о1

" 7О о

7о

1 7 7о

1ОЗ

у юС'}

ою

ю 8 юСМ

ою ю 2 юсм

ою юсо

8ююсмСО

8г.ю00

1

и о о’ о* о о* сГ ©‘ о* - о о © о о о о о -

Схе

ма < из

198

Мно

жит

ель

при

всех

чи

слов

ых

данн

ых:

/ ° Л =0.756 = ( - 0 . 1 5 4 + 0 ,3 9 3 )^ - = 0 ,2 3 9 -^ - ;

/ ° Л = 0 , 8 7 5 Й = ( - ° ’ 131 + ° ' 2 3 6 ) = ° ’ 1 0 5 " Г 1

К / у=6 = ( - - 0 ,1 6 1 — 9 ,4 5 1 )-^ - = — 9 ,6 1 2 -^ - . •

Здесь почти по всей высоте балка-стенка испытывает растяжение, а сжатым оказывается лишь небольшой (около 0,16 по высоте) участок у верхнего ее края.

В случае загружения балки-стенки равномерно распределенными по ее срединной поверхности силами (собственный вес), величины напря­жений ах находят такж е по табл. 53, как для случая загружения А, принимая р = "(оЫг.

Д ля определения величин напряжения ау и %ху в литературе нет таблиц готовых решений, в то же время они достигают зн а­чительных величин у опор балки, где имеет место концентрация этих напряжений. Д ля определения величин наибольших нормальных на­пряжений оу можно воспользоваться известными величинами опорных реакций. Таким образом:

/°у/макс = — ' <9' 14>у макс а ^ 2 е х к

Д ля определения наибольших величин касательных напряжений можно (в некоторый запас прочности) считать, что вся поперечная сила у края опоры воспринимается только той частью высоты балки-стенки, которая равна длине опоры е; а. Таким образом, приближенно:

/ т , „ / и / о „ / - — — . ( 9 .1 5 )1 ХУ' макс 1 У' макс 2 е Л

В. Консольная балка-стенка

Д ля консольной балки-стенки, загруженной равномерно распреде­ленной вдоль верхней и нижней сторон нагрузкой, суммарной интенсив­ности р, величины напряжений ах в защемленном сечении (рис. 76) на­ходятся при помощи табл. 54.

рб2Множитель при всех числовых данных таблицы: — г .

Г. Защемленная балка-стенка

Д ля жестко защемленной балки-стенки, загруженной равномерно распределенной вдоль верхней стороны у = Ь нагрузкой интенсивности р (рис. 77), величины напряжений вх в среднем и защемленных сечениях, вычисленные при [л.=0, даны в табл. 55.

14* 199

Т а б л и ц а 54

Напряжения ах по защемленному сечению прямоугольной консольной балки-стенки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой

...... ...... 0,5 1 2 4

0 9,98 5 ,54 3 ,93 3,360,125 0 ,92 1,79 2 ,09 2 ,190,250 0 ,34 0 ,92 1,25 1,400,375 0 ,19 0,50 0,61 0,690,500 0 0 0 00,625 - 0 , 1 9 —0,50 - 0 ,6 1 - 0 , 6 90,750 - 0 , 3 4 - 0 , 9 2 - 1 , 2 5 — 1,400,875 - 0 , 9 2 — 1,79 - 2 , 0 9 —2,191,000 —9,98 - 5 , 5 4 - 3 ,9 3 - 3 , 3 6

Т а б л и ц а 55

Напряжения ах для защемленной на обоих концах прямоугольной балки-стенки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой

0,5 0,75 1 1 ,5 2

0 -0 ,4 2 7 —0,806 - 1,128 —2,154 —3,1620,125 —0,028 - 0 , 1 2 6 - 0 ,2 5 5 - 0 ,7 1 4 — 1,2900,250 —0,012 —0,044 —0,085 —0,314 — 0,6580,375 —0,003 - 0,021 —0,048 - 0 ,1 4 2 —0,277

На опоре 0,500 0 0 0 0 05 = 0 , 5 = 1 0,625 0,003 0,021 0,048 0, 142 0,277

0,750 0,012 0,044 0,085 0,314 0,6580,875 0,028 0,126 0,255 0,714 1,2901,000 0,428 0,806 1,128 2,154 3,162

0 0,183 0,332 0,448 0,831 1,2510,125 0,025 0,094 0,177 0,460 0,781

В пролете 0,250 0,012 0,026 0,052 0,224 0,4435 = 0 ,5 0,375 0,004 0,014 0,019 0,087 0,193

0,500 0 0 0 0 00,625 —0,004 —0,014 - 0 ,0 1 9 —0,087 - 0,1930,750 —0,012 - 0 ,0 2 6 —0,052 —0,224 —0,4430,875 —0,025 - 0 ,0 9 4 —0,177 - 0 ,4 6 0 —0,7811,000 —0,183 - 0 ,3 3 2 —0,448 —0,831 -1 ,2 5 1

Множитель при всех числовых данных: — .

200

р/2Щ Щ Щ Щ

р / 2

Ш Н Н Н Ж

Рис. 76

я ч »

.1 Ш1 „

\чь

II II II II II II

ц н тш Ьишш иП! II Я ! г пIII

•

. . . Ж . ]■>

ж Т Ш » Ш-«— а -*■

т т щ т т р-*— а —*-

ж

Рис. 77 Рис. 79

Нап

ряж

ения

в.г

для

нера

зрез

ной

балк

и-ст

енки

, за

груж

енно

й ра

вном

ерно

ра

спре

деле

нной

на

груз

кой

1 71

'

. 0,5

|

075

I

1 )

15

I 2

ЯЯ

%

н ю а ю н СО СО 05 ТГ о О СО СО <М Т-Ч о СП)—Г о* о* о* о’ о* о* 1 1 1 1 1

N О) 00 N

СО 1-« ТГ 05со ю 05 -н со

I I IО) СО О) Л СО (О

I I Iо о о о *-<

«О О 05 о

о о о о1 1 1 1

8 9 8О Т-Ч Ю

1 1 1 11М N О) СО N 05 О0 0 0 0 0 5 < 0 1 ' - ' Ч , ГЮ М И Н Н О Н И

| | | | | ;СМ Т-« ^ 0 5 1“ * Г "

1 1 1 1 1 1

аз ю о

1 1 1 1 I IСО С4 т-< со СО 05 ю «о о соо О Оо* о* о* о о* 1 1 1 1 'ю о оз см аз со5 . О О 3 В 2о о’ о о о оI I I 1 I I

г-« Т-< СМ ^ О?о о о о о о* о" о' о* о”1 1 1 1 1

I I 1 1 1 100 сч о о

| Ц 1 I I I

I I I

3 8 8- г-.о ' О 1-ГI I

8 8 81 1 1 1

о ю о ю Ю Г-- о сч СМ со ю со

СО Ю 05 ю ю <м~ Н со о| со г со со о1-Г о* о о о о

§ 8 1-Г ггI I

а ) О О с о ю ю с о 1-н 1-нг-~Т Г Ю С О С О С О О С © » - * » - *<МО-Ю'3, -'Г'"Г ЮСО1-Г о’ О* О* О* О* О О 05

С* О) 05 05ю ю <м

т г СО 05 0 5 ю Ю Н К и СО N СО СО СО Ч 1

I IТГ 1-н ТГЙ со соГГ Ю Й соСО

1-Н Оо о о о

< М Г ^ О 5 1 - 1 С О С О 0 0 1 Л С СС О О ^ Г С О С О О О О С О С Ю СО СМ СМ СО -Ч* СО ^

о” о* о* о* о* о* о* о” «-<

ю <м3 8

05 СО н05 N ОО 1-н СО -Ч*

О 1-1 СЧо* о* о* о* о*

Ю О 03 СМ

о о о о о осо со• 05о о •—

н (О О)о В о

8 80 0 0 0 0 0 0 0 0 5

СМ Ю - * 05 о о ■-

ю о ю см юсч со ю со

202

Мно

жит

ели

при

всех

чи

слов

ых

данн

ых:

При других значениях величины напряжений 3х находятся по формуле:

Н-1) Р3.то' (9.16)

где Од-о— табличные данные.Величины напряжений ау и с достаточной для практических

целей точностью определяются исходя из приближенных формул (9.13).

Д. Неразрезная балка-стенка

Д ля среднего пролета весьма длинной неразрезной балки-стенки, загруженной одинаковой во всех пролетах нагрузкой, приложенной к какой-либо одной из сторон балки-стенки (рис. 78), нагрузку представ­ляем в виде разложения в ряд:

т — оор (у ) = X 8т со$тк%. (9.17)

т = 1Решение задачи может быть получено в форме:

т - оо

т - 1

+ У-о (“ • ~ Ч)) + ?2 (а )Х2(“. 11) I 5т С05 тг^ ' (9 -18)где коэффициенты <Р1(я) и 9г(а) определяются равенствами (9.12).

В табл. 56 приведены вычисленные при помощи этой функции на-а

пряжений значения напряжений <*х в сечениях х = 0 (х = а ) и для

различных отношений сторон балки-стенки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, как это показано на рис. 78.

При помощи приведенных в этой таблице результатов можно решать разнообразные задачи из области расчета неразрезных балок-стенок. Так, например, задача, указанная на схеме А (рис. 79), может быть найдена путем наложения друг на друга решений для схем Б и В, показанных на этих рисунках, аналогично тому, как подобная задача была решена в примере 17. При этом нагрузка в схеме В представляет собой сдвинутую на '/г пролета нагрузку по схеме Б.

При помощи функции напряжений (9.17) может быть такж е решена задача расчета весьма высокой неразрезной балки-стенки (т « 0 ) . Эпю­ры напряжений в пролетах и на опорах такой балки для различных

сотношений е = — показаны на рис. 80.

аД ля определения величин напряжений оу и хху и в этом случае

в литературе нет таблиц готовых решений. Здесь можно рекомендовать использование приближенных формул (9.14) и (9.15).

Д ля практических расчетов неразрезных балок-стенок весьма удоб­на табл. 57, разработанная Дишингером, в которой для двух схем за- гружения (рис. 81) приведены величины площади эпюры растягивающих напряжений Я 2, плеча внутренней пары г и расстояния от точки прило­жения равнодействующего усилия Кг до крайнего волокна г 0.

203

Если обозначить через М бал изгибающий момент в каком-либо се­чении балки-стенки, то имеет место равенство:

А1бал = гК; ■ (9.19)

€,‘0 ,т ?г 0,050 ег-0,025 €,-0,100 €)-0,050 Е г-0,0/5

На опоре §-0 ,0 и %-1,0 В пролете §=0,5

Рис. 80

Л

-цнниш и

1-

III 1 1 !!11 11||

Полученные таким образом величины изгибающих моментов в не­разрезной балке-стенке совпадают с определенными по элементарным формулам.

204

Т а б л и ц а 57

Значения равнодействующей растягивающих усилий, плеча внутренних сил и расстояний от точки приложения равнодействующей

до крайнего волокна для неразрезной балки-стенки

Схема А Охема Б

в пролете на опоре в пролете и на опоре

а[Ь 6 2 го г г0 * 2 г го

0,20 0,117 0,341 0,063 0,188 0,320 0,031 0,289 0,346 0,0382 ,0 0,10 0,119 0,345 0,064 0,229 0,311 0,020 0,320 0,352 0,024

0,05 0,120 0,346 0,065 0,258 0,300 0,011 0,333 0,358 0,014

0,20 0,091 0,440 0,061 0,176 0,343 0,030 0,244 0,410 0,03&1,5 0,10 0,093 0,444 0,062 0,214 0,328 0,018 0,278 0,404 0,022

0,05 0,094 0,445 0,063 0,249 0,310 0,011 0,303 0,394 0,013

0,20 0,086 0,462 0,060 0,162 0,370 0,030 0,241 0,415 0,0341,0 0,10 0,088 0,466 0,061 0,212 0,341 0,018 0,276 0,408 0,021

0,05 0,089 0,467 0,062 0,248 0,306 0,011 0,298 0,395 0,012

0,20 0,085 0,465 0,060 0,161 0,373 0,030 0,238 0,420 0,0360 .0 0,10 0,088 0,468 0,061 0,211 0,337 0,019 0,273 0,412 0,022

0,05 0,089 0,469 0,061 0,247 0,306 0,012 0,295 0,405 0,013

Множители при числовых данных таблицы для Кг : Р, для г и: а.

ВЫВОДЫ

Полученные выше результаты показывают, что для балок с отноше­нием пролета к высоте сечения не более 2, расчет по элементарным фор­мулам может привести к серьезным ошибкам. Д ля таких балок отклоне­ния от закона плоских сечений делаются достаточно заметными и при отношениях 1 могут достигать десятков и даж е сотен процентов.При этом нейтральная ось балки может быть значительно смещена к одной из сторон или даж е могут возникать несколько нейтральных осей. Подобные балки должны рассчитываться при помощи формул и таблиц, полученных на основе решений плоской задачи теории упругости для прямоугольного контура.

205

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Б а й Г., Расчет балок-стенок, Госстройиздат, М. 1935.2. Б р о у д е Б. М., Устойчивость пластинок в элементах стальных

конструкций, Машстройиздат, М., 1949.3. Б у б н о в И.Г., Строительная механика корабля, СПБ, 1914.4. В а р в а к П. М., Развитие и приложение метода сеток к расчету

пластинок, т. I и II, АН УССР, Киев, 1949 и 1952.5. В л а с о в В. 3., Строительная механика тонкостенных пространст­

венных систем, Госстройиздат, М., 1949.6. Г а л е р к и н Б. Г., Упругие тонкие плиты, Госстройиздат, М.,

1933.7. Г о л ь д е н б л а т И. И., Расчет и конструирование железобетон­

ных балок-стенок, Госстройиздат, М., 1940.8. К а л м а н о к А. С., Строительная механика пластинок, М аш­

стройиздат, М., 1950.9. К а л м а н о к А. С., Некоторые задачи расчета плит со свободны­

ми краями, «Конструкции и материалы в городском строительстве», т. VII. Гос. изд. архитектуры и градостроительства, М., 1950.

10. К а л м а н о к А . С., К расчету железобетонных плит по методу предельного равновесия, «Исследования по теории сооружения», т. VII, Госстройиздат, М., 1957.

11. К а л м а н о к А. С., Расчет балок-стенок, Госстройиздат, М., 1957.12. К и т о в е р К. А., Круглые тонкие плиты, Госстройиздат, Л., 1953.13. К о л т у н о в М. А., Учет конечных перемещений в задаче об из­

гибе и устойчивости пластин и пологих оболочек, «Вестник МГУ» № 5, М., 1952.

14. Л а з а р ь я н В. А., Об одном случае плоского изгиба короткой балки, «Труды Киевского инженерно-строительного института», т. III, ГНТИ УССР, Киев, 1936.

15. Л е в е Д., Безбалочные перекрытия, Макиз, М., 1927.16. Л е х н и ц к и й С. Г., Анизотропные пластинки, Гостехиздат, М.,

1947.17. М а л и е в А. С. и Н и к о л а е в а М. В., Исследование напря­

женного состояния высокой балки, свободно лежащ ей на двух опорах, «Труды Ленинградского института сооружений», вып. II, ОНТИ, Л., 1935.

18. М а р к у с Г., Теория упругой сетки и ее приложения к расчету плит и безбалочных перекрытий, ГНТИ УССР, Киев, 1936.

19. П а п к о в и ч П. Ф., Теория упругости, Оборонгиз, М., 1939.20. П а п к о в и ч П. Ф., Строительная механика корабля, т. II. Суд-

промгиз, М., 1941.21 Р е п м а н Ю. В., Общий метод расчета тонких плит, сборник

«Пластинки и оболочки», Госстройиздат, М., 1939.22. Р ж а н и ц ы н А. Р., Расчет сооружений с учетом пластических

свойств материалов, Госстройиздат, М., 1954.

206

23. Р о с т о в ц е в Г. Г., Продольно-поперечный изгиб гибкой пря­моугольной пластины, соединенной на контуре с ребрами, «Инженерный сборник», т. V III, АН СССР, М., 1950.

24. С м о т р о в А. В., Решение плит, нагруженных сплошной нагруз­кой по закону трапеции, ОНТИ, М., 1936.

25. С о р о к и н Е. С., Динамика междуэтажных перекрытий, Гос­стройиздат, М., 1940.

26. Т и м о ш е н к о С. П., Теория упругости, ОНТИ, М., 1937.27. Т и м о ш е н к о С. П., Теория колебаний в инженерном деле,

ГНТИ, М., 1932.28. Т и м о ш е н к о С. П., Пластинки и оболочки, Гостехиздат, М.,

1946.29. Т и м о ш е н к о С. П., Устойчивость упругих систем, Гостехиздат,

М., 1946.30. Ф е о д о с ь е в В. И., Упругие элементы точного приборостроения,

Оборонгиз, М., 1949.31. Ф е п п л ь А. и Ф е п п л ь Л., Сила и деформация, т. I, ОНТИ,

М., 1933.32. Ш и м а н с к и й Ю. А„ Изгиб пластин, ОНТИ, М., 1935.33. Справочник инженера-проектировщика, т. II (Промстройпроект),

Госстройиздат М., 1934.34. Справочник по технической механике, под ред. акад. Дин-

ника А. Н., Гостехиздат, М., 1949.35. Плиты, опертые по контуру, Промстройпроект, серия Е-404,

М., 1948.36. Таблицы для расчета треугольных плит, КТИС, серия 158,

М., 1948.37. Таблицы для статических расчетов, Харьковское отд. ГСПИ-4,

Серия 2-625, Харьков, 1948.

П РИ Л О Ж ЕН И Е

Т а б л и ц а IЗначения трансцендентной функции Хо (* М )

N. 71

к N.0 0,1250 0,2500 0,3750 0,5000 0,6250 0,7500 0,8750 1,0000

0,00 0 0,1250 0,2500 0,3750 0,5000 0,6250 0,7500 0,8750 1,00000,10 0 0,1250 0,2500 0,3749 0,4999 0,6249 0,7499 0,8749 1,00000,20 0 0,1248 0,2495 0,3742 0,4991 0,6242 0,7493 0,8746 1,00000,30 0 0,1235 0,2471 0,3711 0,4958 0,6211 0,7468 0,8737 1,00000,40 0 0,1206 0,2420 0,3642 0,4880 0,6135 0,7409 0,8699 1,00000,50 0 0,1159 0,2330 0,3523 0,4747 0,6009 0,7309 0,8648 1,0000

0,60 0 0,1093 0,2205 0,3353 0,4557 0,5824 0,7160 0,8559 1,00000,70 0 0,1009 0,2047 0,3143 0,4317 0,5590 0,6971 0,^452 1,00000,80 0 0,0915 0,1869 0,2899 0,4039 0,5325 0,6748 С.8325 1,00000,90 0 0,0э15 0,1680 0,2638 0,3739 0,5017 0,6499 0,8182 1,00001,00 0 0,0716 0,1490 0,2373 0,3430 0,4703 0,6235 0,8023 1,00001,10 0 0,0620 0,1303 0,2112 0,3119 0,4387 0,5962 0,7860 1,0000

1,20 0 0,0530 0,1128 0,1866 0,8818 0,4074 0,5685 0,7693 1,00001,30 0 0,0449 0,0968 0,1636 0,2536 0,3772 0,5412 0,7522 1,00001,40 0 0,0377 0,0825 0,1425 0,2270 0,3476 0,5142 0,7349 1,00001,50 0 0,0314 0,0597 0,1235 0,2026 0,3198 0,4880 0,7177 1,00001,60 0 0,0259 0,0587 0,1066 0,1803 0,2937 0,4628 0,7008 1,00001,70 0 0,0214 0,0492 0,0918 0,1600 0,2691 0,4383 0,6840 1,0000

1,80 0 0,0175 0,0410 0,0787 0,1418 0,2465 0,4149 0,6673 1,00001,50 0 0,0142 0,0341 0,0573 0,1253 0,2256 0,3924 0,6510 1,00002,00 0 0,0115 0,0283 0,0575 0,1107 0,2062 0,3711 0,6351 1,00002,20 0 0,0075 0,0192 0,0416 0,0859 0,1718 0,3311 0,6036 1,00002,40 0 0,0048 0,0129 0,0300 0,0665 0,1428 0,2949 0,5735 1,00002,60 0 0,0032 0,0087 0,0215 0,0512 0,1183 0,2622 0,5441 1,0000

2,80 0 0,0019 0,0058 0,0153 0,0394 0,0978 0,2328 0,5150 1,00003,00 0 0,0012 0,0038 0,0109 0,0301 0,0807 0,2059 0,4866 1,00003,50 0 0,0004 0,0013 0,0046 0,0154 0,0495 0,1516 0,4267 1,00004,00 0 0,00 Л 0,0005 0,0019 0,0078 0,0302 0,1111 0,3695 1,00004,50 0 0,0000 0,0002 0,0008 0,0039 0,0182 0,0807 0,3217 1,00005,00 0 0,0000 0,0001 0,0003 0,0019 0,0112 0,0583 0,2782 1,0000

5,50 0 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0065 0,0421 0,2400 1,00006,00 0 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0039 0,0302 0,2064 1,00007,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0014 0,0155 0,1519 1,00008,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0078 0,1111 1,00009,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0039 0,0807 1,0000

10,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0019 0,0583 1,0000

208

Т а б л и ц а II

Значения трансцендентной функции ''/.1(611.г])

к0,0000 0,1250 0,2500 0,3750 0,5000 0,6250 0,7500 0,8750 1,0000

0,00 00 ОО ОО ОО ОО Оо ОО ОО ОО0,10 3,1825 3,1826 3,1828 3,1830 3,1832 3,1834 3,1836 3,1837 3,18390,20 1,5871 1,5874 1,5883 1,5896 1,5913 1,5931 1,5948 1,5962 1,59670,30 1,0477 1,0478 1,0513 1,0553 1,0603 1,0664 1,0714 1,0748 1,07700,40 0,7675 0,7693 0,7748 0,7829 0,7935 0,8053 0,8166 0,8255 0,82920,50 0,5894 0,5924 0,6011 0,6149 0,6320 0,6523 0,6716 0,6875 0,6935

0,60 0,4622 0,4664 0,4787 0,4984 0,5237 0,5526 0,5814 0,6037 0,61470,70 0,3653 0,3707 0,3863 0,4113 0,4445 0,4828 0,5216 0,5537 0,56790,80 0,2892 0,2954 0,3139 0,3438 0,3838 0,4308 0,4797 0,5213 0,54010,90 0,2284 0,2352 0,2557 0,2893 0,3350 0,3900 0,4485 0,4995 0,52341,00 0,1798 0,1872 0,2082 0,2447 0,2936 0,3563 0,4239 0,4847 0,51371,10 0,1410 0,1482 0,1704 0,2075 0,2605 0,3274 0,4030 0,4732 0,5079

1,20 0,1101 0,1173 0,1390 0,1763 0,2310 0,3020 0,3846 0,4643 0,50451,30 0,0857 0,0925 0,1135 0,1504 0,2052 0,2783 0,3675 0,4564 0,50261,40 0,0662 0,0728 0,0926 0,1284 0,1826 0,2579 0,3518 0,4489 0,50141,50 0,0513 0,0572 0,0756 0,1095 0,1625 0,2384 0,3367 0,4418 0,50081,60 0,0395 0,0448 0,0618 0,0934 0,1446 0,2203 0,3220 0,4349 0,50051,70 0,0304 0,0351 0,0504 0,0797 0,1285 0,2035 0,3077 0,4280 0,5004

1,80 0,0233 0,0275 0,0411 0,0680 0,1142 0,1877 0,2939 0,4211 0,50031,90 0,0178 0,0214 0,0335 0,0580 0,1013 0,1728 0,2802 0,4142 0,50022,00 0,0136 0,0167 0,0274 0,0494 0,0899 0,1592 0,2674 0,4072 0,50012,20 0,0079 0,0102 0,0182 0,0358 0,0705 0,1346 0,2423 0,3929 0,50002,40 0.С045 0,0062 0,0121 0,0259 0,0522 0,1133 0,2190 0,3784 0,50002,60 0,0026 0,0038 0,0080 0,0186 0,0428 0,0950 0,1973 0,3638 0,5000

2,80 0,0015 0,0023 0,0053 0,0133 0,0332 0,0793 0,1774 0,3488 0,50003,00 0,0008 0,0014 0,0035 0,0095 0,0256 0,0661 0,1592 0,3335 0,50003,50 0,0002 0,0004 0,0012 0,0041 0,0133 0,0414 0,1198 0,2993 0 50004,00 0,0001 0,0002 0,0004 0,0017 0,0068 0,0257 0,0895 0,2662 0,50004,50 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0034 0,0157 0,0661 0,2361 0,50005,00 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0017 0,0098 0,0485 0,2080 0,5000

5,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0008 0,0057 0,0355 0,1823 0,50006,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0035 0,0257 0,1590 0,50007,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0012 0,0133 0,1197 ОДООО8,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0068 * 0,0895 0,50009,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0034 0,0661 0,5000

10,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0017 0,0485 0,5000

209

Т а б л и ц а III

Значения трансцендентной функции х 2 (к тс,-г))

* Ч

0 0,1250 0,2500 0,3750 0,5000 0,6250 0,7500 0,8750 1,0000

0,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,10 0 0,0020 0,0038 0,0052 о,оосо 0,0062 0,0053 0,0033 0,00000,20 0 0,0074 0,0141 0,0195 0,0228 0,0233 0,0202 0,0127 0,00000,30 0 0,0150 0,0286 0,0395 0,0465 0,0479 0,0418 0,0269 0,00000,40 0 0,0229 0,0441 0,0614 0,0727 0,0755 0,0668 0,0431 0,00000,50 0 0,0300 0,0579 0,0813 0,0974 0,1023 0,0920 0,0610 0,0000

0,60 0 0,0354 0,0685 0,0969 0,1174 0,1254 0,1149 0,0771 0,00000,70 0 0,0384 0,0750 0,1073 0,1329 0,1436 0,1345 0,0925 0,00000,80 0 0,0394 0,0775 0,1124 0,1406 0,1572 0,1502 0,1062 0,00000,90 0 0,0387 0,0768 0,1128 0,1442 0,1643 0,1621 0,1184 0,00001,00 0 0,0367 0,0737 0,1100 0,1435 0,1679 0,1708 0,1286 0,00001,10 0 0,0338 0,0686 0,1044 0,1397 0,1682 0,1766 0,1378 0,0000

1,20 0 0,0305 0,0626 0,0973 0,1335 0,1659 0,1800 0,1453 0,00001,30 0 0,0270 0,0561 0,0893 0,1259 0,1618 0,1815 0,1519 0,00001,40 0 0,0235 0,0495 0,0809 0,1175 0,1559 0,1816 0,1578 0,00001,50 0 0,0202 0,0430 0,0725 0,1087 0,1493 0,1804 0.1630 0,00001,60 0 0,0171 0,0376 0,0644 '0,0998 0,1421 0,1782 0,1674 0,00001,70 0 0,0145 0,0322 0,0568 0,0911 0,1344 0,1754 0.1710 0,0000

1,80 0 0,0121 0,0275 0,0499 0,0828 0,1266 0,1717 0,1741 0,00001,90 0 0,0100 0,0233 0,0436 0,0749 0,1190 0,1676 0,1769 0,00002,00 0 0,0083 0,0197 0,0379 0,0575 0,1115 0,1632 0,1791 0,00002,20 0 0,0055 0,0137 0,0284 0,0543 0,0969 0,1534 0,1821 0,00002,40 0 0,0037 0,0095 0,0210 0,0435 0,0336 0,1431 0,1837 0,00002,60 0 0,0025 0,0066 0,0154 0,0344 0,0716 0,1325 0,1839 0,0000

2,80 0 0,0015 0,0044 0,0112 0,0270 0,0603 0,1220 0,1826 0,00003,00 0 0,0009 0,0030 0,0031 0,0212 0,0515 0,1116 0,1804 0,00003,50 0 0,0003 0,0010 0,0035 0,0113 0,0333 0,0375 0,1731 0,00004,00 0 0,0001 0,0004 0,0015 0,0059 0,0212 0,0679 0,1626 0,00004,50 0 0,0000 0,0002 0,0006 0,0030 0,0132 0,0515 0,1509 0,00005,00 0 0,0000 0,0001 0,0002 0,0015 0,0083 0,0336 0,1378 0,0000

5,50 0 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0049 0,0288 0,1246 0,00006,00 0 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0030 0,0212 0,1117 0,00007,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0113 0,0875 0,00008,00 ' 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0059 0,0679 0,00009,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0030 0,С515 0,0000

10,00 0 0,00001

0,00001

0,0000 0,0000 0,0001 0,0015 0,0386 0,0000

210

Т а б л и ц а IV

Значения трансцендентной функции Хз (&

к0,0000 0,1250 0,2500 0,3750 0,5000 0,6250 0,7500 0,8750 1,0000

0,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00000,10 0,0511 0,0488 0,0415 0,0297 0,0130 —0,0085 —0,0351 —0,0667 —0,10340,20 0,0957 0,0913 0,0783 0,0565 0,0256 —0,0149 —0,0653 —0,1264 —0,19900,30 0,1286 0,1231 0,1065 0,0782 0,0373 —0,0172 —0,0871 —0,1745 —0,28150,40 0,1481 0,1422 0,1244 0,0934 0,0478 —0,0152 —0,0988 —0,2076 —0,34710,50 0,1549 0,1494 0,1326 0,1027 0,0568 -0,0090 —0,1010 —0,2263 -0 ,3969

0,60 0,1514 0,1469 0,1327 0,1066 0,0643 —0,0001 —0,0953 —0,2336 —0,43250,70 0,1408 0,1375 0,1269 0,1061 0,0700 0,0106 —0,0842 —0,2317 —0,45700,80 0,1261 0 ,1242 0,1175 0,1028 0,0741 0,0216 —0,0697 -0 ,2 2 3 0 —0,47320,90 0,1097 0,1090 0,1062 0,0973 0,0765 0,0323 —0,0535 —0,2102 —0,48351,00 0,0932 0,0937 0,0940 0,0908 0,0770 0,0418 —0,0370 —0,1946 —0,49011,10 0,0778 0,0791 0,0821 0,0837 0,0771 0,0498 —0,0213 —0,1781 —0,4941

1,20 0,0640 0,0659 0,0709 0,0762 0,0756 0,0565 —0,0066 —0,1612 —0,49661,30 0,0521 0,0543 0,0607 0,0689 0,0734 0,0609 0,0066 —0,1444 —0,49801,40 0,0421 0,0444 0,0516 0,0620 0,0703 0,0649 0,0182 —0,1287 —0,49891,50 0,0334 0,0360 0,0437 0,0554 0,0669 0,0671 0,0285 —0,1137 —0,49931,60 0,0264 0,0290 0,0369 0,0492 0,0631 0,0682 0,0372 —0,0992 —0,49961,70 0,0208 0,0234 0,0310 0,0436 0,0591 0,0683 0,0446 —0,0852 —0,4997

1,80 0,0163 0,0186 0,0259 0,0384 0,0548 0,0676 0,0506 —0,0722 —0,49981,90 0,0127 0,0148 0,0216 0,0337 0,0506 0,0663 0,0555 —0,0601 —0,49992,00 0,0099 0,0118 0,0181 0,0295 0,0466 0,0644 0,0595 —0,0488 —0,49992,20 0,0059 0,0078 0,0124 0,0224 0,0389 0,0597 0,0647 —0,0286 —0,50002,40 0,0035 0,0046 0,0085 0,0169 0,0321 0,0541 0,0670 -0 ,0112 -0 ,50002,60 0,0020 0,0029 0,0058 0,0125 0,0260 0,0482 0,0676 0,0038 —0,5000

2,80 0,0012 0,0018 0,0039 0,0092 0,0209 0,0424 0,0665 0,0165 —0,50003,00 0,0007 0,0011 0,0026 0,0068 0,0167 0,0369 0,0639 0,0273 —0,50003,50 0,0002 0,0003 0,0009 0,0030 0,0092 0,0251 0,0556 0,0464 —0,50004,00 0,0001 0,0001 0,0004 0,0013 0,0049 0,0167 0,0463 0,0591 —0,50004,50 0,0000 0,0000 0,0002 0,0006 0,0026 0,0107 0,0369 0,0675 —0,50005,00 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0013 0,0068 0,0288 0,0676 —0,5000

5,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0042 0,0221 0,0669 —0,50006,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0026 0,0167 0,0640 —0,50007,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0009 0,0092 0,0557 —0,50008,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0049 0,0464 —0,50009,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0026 0,0369 —0,5000

10,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0013 0,0288 -0,5000

211

Т а б л и ц а V

Значения трансцендентной функции 14 ( б ’1,-'])

\ 71 к \

0 0,1250 0,2500 0,3750 0,5000 0,6250 0,7500 0,8750 1,0000

0,00 0 -0 ,1 2 5 0 -0 ,2500 -0 ,3750 -0 ,5000 —0,6250 -0 ,7500 -0 ,8750 -1,00000,10 0 — 0,1210 —0,2425 —0,3646 -0 ,4878 -0 ,6126 -0 ,7394 -0,8682 -1 ,00000,20 0 —0,1100 —0,2211 —0,3352 -0 ,4535 —0,5776 -0,7090 -0,8492 -1 ,00000,30 0 —0,0936 —0,1900 —0,2921 -0 ,4029 —0,5254 —0,6633 -0 ,8200 -1 ,00000,40 0 —0,0748 —0,1537 —0,2414 -0 ,3426 —0,4625 —0,6073 —0,7837 -1 ,00000,50 0 —0,0558 —0,1171 —0,1897 -0 ,2799 —0,3962 -0,5469 -0 ,7429 -1 ,0000

0,60 0 —0,0386 - 0,0835 —0,1416 —0,2209 -0 ,3316 —0,4862 -0 ,7017 —1,000:0,70 0 -0 ,0241 - 0,0548 —0,0997 —0,1678 -0 ,2718 -0 ,4281 -0 ,6602 —1,000Г-0,80 0 -0 ,0127 —0,0318 —0,0651 -0 ,1227 -0 ,2181 -0 ,3 7 4 4 -0,6200 — 1,000С0,90 0 -0 ,0041 —0,014 * -0 ,0378 —0,0855 -0,1731 -0 ,3257 -0 ,5813 —1,00001,00 0 0,0018 -0 ,0 0 1 6 —0,0173 -0 ,0 5 5 9 —0,1344 -0 ,2 8 1 9 —0,5451 -1 ,00001,10 0 0,0057 0,0070 —0,0023 —0,0326 -0 ,1021 -0 ,2429 -0 ,5106 —1,0000

1,20 0 0,0079 0,0124 0,0081 -0 ,0 1 4 9 —0,0754 —0,2086 -0 ,4785 —1,00001,30 0 0,0090 0,0154 0,0151 —0,0017 —0,0534 —0,1784 —0,4484 - 1,00001,40 0 0,0093 0,0166 0,0192 0,0079 -0 ,0355 -0,1511 -0 ,4194 —1,00001,50 0 0,0090 0,0168 0,0215 0,0147 —0,0211 —0,1272 -0,3918 -1 ,00001,60 0 0,0083 0,0164 0,0222 0,0193 —0,0095 —0,1063 -0,3661 -1 ,00001,70 0 0,0076 0,0153 0,0220 0,0222 -0 ,0005 -0 ,0 8 7 8 —0,3419 -1 ,0000

1,80 0 0,0067 0,0139 0,0212 0,0238 0,0068 —0,0715 -0 ,3190 -1 ,00001,90 0 0,0058 0,0125 0,0199 0,0245 0,0125 —0,0572 -0 ,2973 -1 ,00002,00 0 0,0050 0,0111 0,0184 0,0244 0,0167 —0,0446 -0 ,2769 -1 ,00002,20 0 0,0035 0,0083 0,0152 0,0228 0,0220 -0 ,0243 —0,2394 -1,00002,40 0 0,0025 0,0061 0,0120 0,0205 0,0243 -0 ,0087 —0,2060 —1,00002,60 -0 0,0018 0,0045 0,0093 0,0175 0,0249 0,0027 -0,1763 —1,0000

2,80 0 0,0012 0,0031 0,0071 0,0147 0,0239 0,0111 -0 ,1498 -1 ,00003,00 0 0,0007 0,0021 0,0054 0,0122 0,0223 0,0173 -0 ,1259 -1 ,00003,50 0 0,0002 0,0008 0,0025 0,0071 0,0170 0,0234 —0,0805 -1 ,0 0 0 04,00 0 0,0001 0,0003 0,0011 0,0040 0,0123 0,0247 -0 ,0 4 4 3 —1,00004,50 0 0.0000 0,0002 0,0005 0,0022 0,0082 0,0224 -0 ,0199 -1 ,00005,00 0 0,0000 0,0001 0,0002 0,0011 0,0054 0,0189 -0 ,0026 —1,0000

5,50 0 0,0000 0,0000 0 ,0С01 0,0005 0,0034 0,0154 0,0092 -1,00006,00 в 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0022 0,0122 0,0169 —1,00007,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0071 0,0232 -1 ,00008,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0246 —1,00009,00 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0022 0,0224 -1 ,0000

10,00 0 0,0000 0,0000 о,оосо 0,0000 0,0001 0,0011 0,0189 -1 ,0000

212

О П Е Ч А Т К И

03 «Яа, я н я О *Строка Напечатано Следует читать

д 2т д 2гю д2ш д2т16 8 снизу

дх" дх2

11

24 13 . + г5-2 1 1 ю

33 3 сверху 1п — р 1п р

59 Ю „ = 0,0037 ра2 = — 0,0037 ра2

72 12 „ + 327 кгм = 327 кгм

79_ Я а Яа

9 снизущ зЬ р

П -оо /г= оо121 1 сверху — X + 2

П = 1 п= 1

121 2 . $1п/г тетг) + 81П /г тст] —т-со т - со

121 3 . + 2 - 2т = 1 т=1

4 п 4 т137 7 снизу —-

7* 7*

Зис. 19»!