ΑΣΚΗΣΗ 4genlab.physics.auth.gr/A4_Ekkremes.pdf · 2019-05-05 · Άσκηση 4: Εκκρεμές σελ. 3 / 19 F = - (mg/L) x = - mg θ [για x=>0, θ =>0] (1) δηλαδή,

Άσκηση 4: Εκκρεμές σελ. 1 / 19

ΑΣΚΗΣΗ 4Εκκρεμές: πειράματα με απλό και σύνθετο εκκρεμές

1. Σκοπός της άσκησηςΘα εξασκηθούμε με την παλίνδρομη κίνηση ενός απλού ταλαντωτή (περίπτωση εκκρεμούς).Θα μετρήσουμε την περίοδο και την επιτάχυνση της βαρύτητας g (gμ±σg) κάτω από διάφορεςπειραματικές συνθήκες και προσεγγίσεις. Επιπλέον, θα επισημάνουμε τις περιοριστικέςσυνθήκες κάτω από τις οποίες επαληθεύεται ο νόμος του εργαστηριακού εκκρεμούς (ΕΕ) μεκατάλληλη αναφορά σε δύο χρήσιμα μαθηματικά πρότυπα ΑΕ, ΦΕ που θα υπενθυμίσουμε. Ηαπόκλιση του ΕΕ από τα πρότυπα θα βασιστεί στη μέτρηση των πειραματικών λαθών (σg).

2. Εισαγωγή: 2α.ΤαλαντώσειςΣτην καθημερινή μας ζωή και στο περιβάλλον συναντάμε φαινόμενα παλίνδρομων κινήσεων ήταλαντώσεων (π.χ. κλαδιά δέντρων στον άνεμο, μετρονόμους μουσικής, κ.λ.π.). Η δυναμική ΕΔ

και η κινητική ενέργεια ΕΚ εναλλάσσονται περιοδικά γύρω από μια θέση ισορροπίας sο. Eστωsο=0 και ΕΔ(sο)=ΕΔ(0)=0. Η δυναμική ενέργεια ΕΔ(sο) στη θέση ισορροπίας sο έχει τοπικόελάχιστο (άρα dΕΔ/ds=0). Αν προσεγγίσουμε την ΕΔ με σειρά Maclaurin και κρατήσουμε μόνοτους 3 πρώτους όρους, τότε η ΕΔ είναι ανάλογη του s2, δηλαδή ΕΔ=k.s2/2 , όπου η σταθερά k=ΕΔ

''(0)[ΓΦ,σελ.254]. Γύρω από τη θέση ισορροπίας η δύναμη F έχει γραμμική μορφή ανάλογη τουνόμου του Hook (F = -dΕΔ/ds = –k.s). Ένας ταλαντωτής που θα επιδέχεται τις παραπάνωπροσεγγίσεις θα έχει την πιό απλή αλλά και χρήσιμη περιγραφή θα θεωρείται πρότυπος και θαονομάζεται αρμονικός ταλαντωτής. Η αναλυτική θεωρία του πρότυπου αυτού μπορεί να βρεθείσε βιβλία γενικής φυσικής[ΓΦ,σελ.254]. Στην άσκηση αυτή θα ασχοληθούμε με ένα παράγωγο ειδικόπρότυπο, το απλό εκκρεμές «ΑΕ»[ΓΦ,σελ.264], όπως στο σχήμα 1γ (και σχ.2), Από την παιδικήκούνια στο σχήμα 1α επιλέγουμε να αναλύσουμε την κίνηση του 1ου παιδιού στο σχ.1β, με τηγνωστή περιγραφή στη φυσική του απλού εκκρεμούς (ΑΕ, σχ.1γ), αλλά και αντιστρόφως. Μεαφετηρία το πιο απλό πρότυπο «ΑΕ» είναι δυνατό να εντάξουμε ένα πολύπλοκο «πείραμα στηφύση» (σχ.1α, σχ.1β) σε ένα (ήδη γνωστό μας) πρότυπο πλαίσιο: πείραμα «ΑΕ». Με ανάλογηκυκλική πορεία θα εργασθούμε και στην εργαστηριακή μας άσκηση: πείραμα «ΕΕ». Ετσιλοιπόν θα αναφερόμαστε συχνά στα ήδη γνωστά μας πρότυπα, όταν θα εκτελούμε πειράματαμε τη διάταξή μας (δηλ. του εργαστηριακού εκκρεμούς «ΕΕ», στο σχήμα 3γ).

Σχήμα 1: Παραδείγματα εκκρεμών στο περιβάλλον. Από το περιβάλλον στην περιγραφή της φυσικής.α. Πατέρας 5-παιδιών σε παιδική χαρά με 5ανεξάρτητες τυπικές κούνιες. Ο πατέρας ξεκινά απότο 1ο παιδί (στα αριστερά). Ο πατέρας παρέχει αρχικήενέργεια σε κάθε παιδί ξεχωριστά. Έτσι, έπονται ταυπόλοιπα 4 παιδιά (δεξιά), που θα περιμένουν τησειρά τους, στη θέση ισορροπίας (γωνία θ=0ο).

β. Ζουμ στο 1ο παιδί που ξεκινάτην αιώριση (θέση, μέγιστουπλάτους στη γωνία εκτροπής θ)με g.sinθ. Το 2ο-παιδί έχειg.sin0=0 και δεν θα κινηθεί(εκτός αν του δοθεί αρχική ενέργεια).

γ. Το πρότυπο AE (καιμετά, το πρότ. ΦE) θαπροσεγγίσει την παλίν-δρομη κίνηση της παιδικήςκούνιας (g. sinθ,εφαπτομενική συνιστώσα τουg).

ΓΕΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ / ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ / ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ / Α.Π.Θ.

Α Ε

σελ. 2 / 19 Άσκηση 4: Εκκρεμές

2β. Παλίνδρομες κινήσεις στο περιβάλλον

Συχνά συναντάμε παλίνδρομες κινήσεις (π.χ. διακοσμητικά ρολόγια τύπου εκκρεμούς «τικ-τακ», παιδική κούνια, βάδισμα δίποδων ζώων κ.λ.π.). Αν μας ανατεθεί η μελέτη τους, τότεποιούς δρόμους θα ακολουθήσουμε; Οι πειραματικές συνθήκες είναι πολύπλοκες, οπότε σανοδικό χάρτη προτείνουμε ορισμένα εργαστηριακά παραδείγματα και θεωρητικά πρότυπα. Ηαναφορά στο πρότυπο του απλού εκκρεμούς (ΑΕ) είναι όχι μόνο πολύ χρήσιμη αλλά και συχνάαναγκαία για την αποδοτικότερη επίλυση προβλημάτων με πραγματικά εκκρεμή στη φύση.Έτσι μόνο θα μπορέσουμε να κατανοήσουμε καλύτερα τις πιο βασικές παραμέτρους σταεκκρεμή που έχουμε να μελετήσουμε. Άρα, θα εκτελέσουμε πειράματα με βάση το πρότυπο τουαπλού εκκρεμούς (ΑΕ) και μετά θα κάνουμε κατάλληλες διορθώσεις με κριτήριο το σφάλμα-λάθος. Το σφάλμα βρίσκεται με μεθόδους που μάθαμε στα προηγούμενα εισαγωγικά μαθήματαγια εργαστηριακές δραστηριότητες και μετρήσεις (σφάλματα μετρήσεων, ΕΕΤ, κ.α.). Επιπλέονθα δούμε πως τα συστηματικά σφάλματα μας προσφέρουν ένα εργαλείο σύγκρισης τουεκκρεμούς με τα ιδανικά πρότυπα. Ανάλογη χρήση της μεθοδολογίας ακολουθείται και στηναποδοτική επίλυση προβλημάτων με πραγματικά αέρια. Εκεί γίνεται μια απλή προσεγγιστικήεπίλυση στα προβλήματα με πραγματικά αέρια με τη χρήση του προτύπου του «ιδανικούαερίου» (κύκλος Carnot κ.λ.π.).

3. Θεωρία εκκρεμών

Το απλό εκκρεμές (ΑΕ) θα είναι η βάση μας για την αρχική περιγραφή των μετρήσεων. Οτανόμως το ΑΕ, δεν επαρκεί τότε θα χρειαστούμε ένα πιό ρεαλιστικό πρότυπο, το φυσικό εκκρεμές(ΦΕ). Το ΦΕ θα μας βοηθήσει εναλλακτικά ίσως και περισσότερο στην κατανόηση καιερμηνεία πιό σύνθετων σφαλμάτων στις προοδευτικής εκτελεστικής δυσκολίας πειράματα με ταεργαστηριακά εκκρεμή (ΕΕ).

3α. Απλό εκκρεμές (ΑΕ)

Το απλό εκκρεμές (ΑΕ) είναι το μαθηματικό πρότυπο που θα μας βοηθήσει να προσεγγίσουμετην κίνηση εργαστηριακών ή πραγματικών εκκρεμών. Όπως το ιδανικό αέριο (μαθηματικόπρότυπο) είναι μια ιδανική αφετηρία για να επιλύσουμε προβλήματα πραγματικών αερίων μεκατάλληλες διορθώσεις-προσεγγίσεις που έπονται, έτσι και εδώ έχουμε το απλό ή μαθηματικόεκκρεμές. Το απλό εκκρεμές είναι μια ιδανική διάταξη, που αποτελείται από:1) ένα σημειακό βαρίδιο (B=mg) μάζας m2) ένα αβαρές νήμα μήκους L, που3) κρέμεται από ένα σημειακό και σταθερό (ακίνητο) υποστήριγμα, και για τη κίνηση έχουμε, ότι:4) η μέγιστη γωνία θεωρείται σαν μία απειροστή, μόνο, μεταβολή, από την ισορροπία (θ=0).Εάν, επιπλέον, δεν έχουμε τριβές, η ταλάντωση του απλού εκκρεμούς είναι απλή αρμονική. Ηκίνηση μπορεί να περιγραφεί i)μέσω της γωνίας εκτροπής θ (Σχ.2α), είτε ii)μέσω τηςαπομάκρυνσης x (Σχ.2β) από τη θέση την ισορροπίας (όπου έχουμε: θ=0 και x=0).

Στην πράξη όμως αντιμετωπίζουμε διάφορα "θέματα εκκρεμών" με προσεγγίσεις σε μία,τουλάχιστον, από τις παραπάνω, συνθήκες. Στο εργαστήριο φροντίζουμε για προσεγγίσεις, πουαφορούν, ξεχωριστά, μία μόνο συνθήκη-παράμετρο, όπως θα δούμε στο πειραματικό μέρος.Σε μια τυχαία θέση Α, εκτός ισορροπίας (με απομάκρυνση x και γωνία, θ, εκτροπής από τηθέση την ισορροπίας, όπου έχουμε: θ=0, x=0), οι δυνάμεις είναι το βάρος, W=mg, και η τάσητου νήματος, T=-mg.cosθ (σχήμα 2β). Αναλύουμε, το διάνυσμα του βάρους W, σε δύοσυνιστώσες:

1) την F =-mg.sinθ, εφαπτομενική προς την «κυκλική» τροχιά και2) την F΄=-Τ=-mg.cosθ, κάθετη στην εφαπτομενική, δηλ. στην προέκταση του νήματος. Η Τ=-

F΄=Fκ , ισούται με την κεντρομόλο (για εμάς, ως ακίνητο παρατηρητή) δύναμη Fκ(=Τ=-F΄).

Επομένως, μόνο, η 1η συνιστώσα είναι η δύναμη (F) που συντηρεί την κίνηση της αιώρησης-ταλάντωσης είναι F=-mg.sinθ, που για αιωρήσεις μικρού πλάτους, έχουμε την κρίσιμηπροσέγγιση, θ ~ sinθ = x/L. Οπότε, έχουμε την επακόλουθη προσέγγιση:



F = - (mg/L) x = - mg θ [για x=>0, θ =>0] (1)

δηλαδή, μια απλή γραμμική έκφραση, ανάλογη του νόμου του Hook, F=-k x, όπου k=mg/L.Ωστε η F (1η συνιστώσα του βάρους W) είναι μια γραμμική δύναμη επαναφοράς και ηταλάντωση του απλού εκκρεμούς (ΑΕ) είναι απλή αρμονική ταλάντωση. Η διαφορική εξίσωσητης κίνησης: md2x/d2t + (mg/L) x = 0, είναι σε πιο απλή μορφή:

d2x/d2t + (g/L) x = 0 (2)

όπου, με ω2=g/L, έχουμε, d2x/d2t + ω2 x = 0. Η σταθερά, ω, καλείται κυκλική ιδιοσυχνότητα τουαπλού εκκρεμούς (ΑΕ), δηλ. σταθερά, μόνο, για αιωρήσεις μικρού πλάτους (sinθ~θ <<10ο).

Σχήμα 2: Απλό εκκρεμές (AE)α. Ανάλυση του διανύσματος του εκκρεμούς βάρους W σε 2 συνιστώσες F και F’ (W= F + F’)

β. Η συνιστώσα F’ του βάρους W είναι αντίθετη της τάσης Τ του νήματος.

γ. Η συνιστώσα F του βάρους συντηρεί την αιωρικήκίνηση και είναι ανάλογη τηςαπομάκρυνσης

Η λύση της[ΓΦ,σελ.259] είναι x(t)=xm cos(ωt+φ), που για αρχικό χρόνο t=0 έχουμε, cos(0)=1 καιx(0)=xm, τότε φ=0 . οπότε:

x(t) = xm . cos( ω t ) (3)

Η περίοδος Τ (=ω/2π) της αιώρησης είναι Τ=2π .√(L/g), δηλ. (Τ/2π)2=L/g και την παρόμοιαμορφή:

L = g. ( Τ/2π ) 2 = [g / (2π) 2] . . Τ 2 (4)

Η απλή μορφή της σχέσης (4) είναι χρήσιμη γιατί μπορεί να εφαρμοστεί στον υπολογισμό(μέτρηση) του g, από την κλίση a1 της ΕΕΤ (στη γνωστή μορφή: y = a1 x + a0), όπου θαεφαρμόσουμε: 1)την αντικατάσταση y=>L, και 2)την αντικατάσταση σε νέα στήλη x=>(Τ/2π)2

στη δραστηρότητα 5β. (5β.Μετρήσεις περίοδου Τ, με το μήκος L). Επομένως, τα (γραμμικά)διαγράμματα, y-x, θα έχουν άξονες, L-(Τ/2π)2, όπου η κλίση, a1 (στην ΕΕΤ), θα προσεγγίζειτην τιμή του g (για L=248mm~250mm). Ο σταθερός όρος, a0=L0, θα πρέπει να αξιολογηθεί καινα εξηγηθεί, εάν η τιμή, L0, θα πρέπει θεωρείται «μικρή» (ή «μεγάλη»), συγκρινόμενη με ταπειραματικά λάθη (<2mm) στη μέτρηση του μήκους L (για ΕΕ) με εφαρμογή της σχέσης (4),αναφορικά με την έκταση των τιμών του μήκους L (180mm, 320mm), δηλ. για τις πιόεύχρηστες θέσεις, L, του βάρος W(στο ΕΕ). Για να κατανοήσουμε, όμως, τον (L-)περιορισμόαυτό, θα πρέπει να διαβάσουμε τη θεωρία που ακολουθεί, δηλ. το "φυσικό" εκκρεμές, ΦΕ.



3β. Φυσικό εκκρεμές (ΦΕ)

Ενα εκκρεμές σώμα που ταλαντώνεται εξαιτίας του βάρους του και δεν μπορεί να θεωρηθεί σαναπλό εκκρεμές ΑΕ ονομάζεται φυσικό εκκρεμές ΦΕ [ΓΦ, σελ. 266]. Το ΦΕ είναι ένα στερεόσώμα που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ένα οριζόντιο άξονα «Ο΄» που δεν περνάει όμωςαπό το κέντρο μάζας του Κ. Ο άξονας «Ο΄» τέμνει το κατακόρυφο επίπεδο (ΚΕ) που περιέχειτο κέντρο μάζας του Κ σε ένα σημείο «Ο» που ονομάζε ται κέντρο εξάρτησης «Ο». Όταν τοΦΕ αποκλείνει κατά γωνία θ από το ΚΕ (κατακόρυφο επίπεδο) της θέσης ισορροπίας του, τότεαναπτύσσεται ροπή επαναφοράς, Μ = r x B = - r ( mg sin θ) , που για sinθ ~ θ έχουμε:

Μ = - r (mg θ) = - (r mg) θ (5)

Γνωρίζουμε ότι: Μ = Ιο . dω/dt = Ιο

. d2θ/d2t , όπου Ιο η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα «Ο’»,οπότε έχουμε:

Ιο . d2θ/d2t = Μ = - r mg θd2θ/d2t + (r . mg/ Ιο) θ = 0d2θ/d2t + ω2

ΦΕ . θ = 0

(6)

όπου ωΦΕ η κυκλική συχνότητα και ΤΦΕ η περίοδος. Εχουμε επίσης: ω2 = ω2ΦΕ= r.mg/ Ιο, όπως

και τις χρήσιμες μορφές των σχέσεων: ω = ωΦΕ = (r . mg / Ιο)1/2 και ΤΦΕ = 2π/ωΦΕ= 2π/(r.mg/Ιο)1/2. Ετσι, το ισοδύναμο μήκος L ΑΕ (ενός ισόχρονου ΤΑΕ, απλού εκκρεμούς ΑΕ) με περίοδοΤΑΕ = 2π . (LΑΕ/g)1/2, θα είναι:

LΑΕ = Ιο / r m (7)

Αυτό, το ισοδύναμο μήκος LΑΕ, ονομάζεται ανηγμένο μήκος LΑμΦΕ του ΦΕ: LΑμΦΕ = LΑΕ .

Σχήμα 3: Φυσικό εκκρεμές (ΦΕ). Η γωνία θ πρέπει να θεωρείται πολύ μικρή ώστε να ισχύει η προσέγγιση sinθ~θ στη σχέση 5.

Στα δεξιά του ΦΕ φαίνεται το σχήμα του ισόχρονου ΤΑΕ απλού εκκρεμούς (ΑΕ) μήκους LΑΕ=LΑμΦΕ.

Στο ισόχρονο ΑΕ έχουμε μικρότερηπολυπλοκότητα, γιατί έχουμε τις ταυτότητες:1) μήκους LΦΕ = LΑΕ = rΑΕ και 2) σημείων ΛΦΕ = ΛΑΕ = ΚΑΕ.

Αν στην ευθεία ΟΚ μετρήσουμε μήκος ΟΛ, ίσο με το ανηγμένο μήκος LΑμΦΕ==LΑΕ, τότε τοσημείο, Λ, ονομάζεται, κέντρο αιώρησης . Ετσι, το ΦΕ μπορεί να αναχθεί σε ισοδύναμοπρότυπο ΑΕ, δηλ. έχουμε τη μάζα mΦΕ του ΦΕ, να ανάγεται, από το στατικό σημείο Κ, στοσημείο Λ (κέντρο αιώρησης). Άρα, το σημείο Λ είναι συνάρτηση του κέντρου εξάρτησης «Ο».Επίσης, αν ο άξονας «Ο» μεταφερθεί παράλληλα, ώστε να περάσει από το κέντρο αιώρησης Λ,τότε το ΦΕ θα έχει την ίδια, ακριβώς, περίοδο, ΤΑμΦΕ=ΤΑΕ. Ένα ειδικό ΦΕ, το «αντιστρεπτό ΦΕτου Kater», στηρίζεται στην ιδιότητα ακριβώς αυτής της (αντιστρεπτής) εναλλαγής, που ήτανιδιαίτερα διάσημο στη μετρολογία της εποχής του (18ος αιώνας). Ήταν η ακριβέστερη μέθοδοςμέτρησης του (τοπικού) g (επιτάχ. βαρύτητας) και όχι μόνον. Το (ραβδό)νημα (στο ΕΕ), χωρίς τοβάρος (#1, στο σχ.3γ), μπορεί να περιγραφεί μέσω (προσεγγίσεων) του πρότυπου ΦΕ (πείραμα5α.2). Να ευρεθεί το ισοδύναμο μήκος ΟΛ = LΑΕ (~248mm, δηλ. η θέση του κέντρου αιώρησης«Λ», από το «Ο», το κέντρο εξάρτησης) από τη μέτρηση της περιόδου Τ (=2π.√(ΟΛ/g) = 2π.√(2Lo/3g). Από τη σχέση 7 (δίνεται η ροπή αδράνειας, Ιο=mLo

2/3: όπου Lo~360mm). Η απόσταση r, του KM(r=Lo/2~180mm) από τον άξονα περιστροφής (5), είναι ~180mm, ενώ ΟΛ=4r/3=2Lo/3~248mm.



3γ. Πειραματικό εκκρεμές

Το πειραματικό εκκρεμές (σχ.3γ-αριστερά), όταν είναι καλά ρυθμισμένο, θα το αναφέρουμεσαν εργαστηριακό εκκρεμές (ΕΕ). Το ΕΕ είναι ένα σύνθετο φυσικό εκκρεμές ΦΕ πουμπορούμε όμως να το θεωρήσουμε ακόμη πιό απλοικά σαν να ήταν ένα απλό εκκρεμές ΑΕ(σχ.4, δεξιά). Αν και 1)το βαρίδιο δεν είναι σημειακό, 2)το νήμα δεν είναι αβαρές και 3)δενκρέμεται από ένα σημειακό υποστήριγμα (ρουλεμάν διαμέτρου 20mm), ωστόσο θα έχουμεσυνθήκες, που προβλέπουν την απλοποιημένη χρήση του, σαν να ήταν ένα πρότυπο ΑΕ.Επιπλέον, εάν η βάση στήριξης δεν είναι «καλά ρυθμισμένη» τότε 4)δεν θα έχουμε ούτεσταθερό (ακίνητο) υποστήριγμα (υπάρχουν βίδες ρύθμισης). Ωστόσο τα σημεία Κ και Λ σε μιαθεώρηση τύπου ΦΕ είναι πολύ κοντά (σχ. 3) για θέσεις του βάρους (όπως στο σχ.4), όπου180mm<L<250mm και άλλες συνθήκες (πρόβλεψη για χρήση του σαν ΑΕ). Επομένως στιςαρχικές και απλές δραστηριότητες του εργαστηρίου θα θεωρηθεί σαν να ήταν ένα ΑΕ. Για τηνερμηνεία, όμως, ορισμένων αποτελεσμάτων, θα χρειασθεί να έχουμε υπ’ όψη μας και τηθεώρηση του ΕΕ (ΒAl=10g<<W. σχ.4), δηλαδή ένα 3ο (εργαστηριακό) πρότυπο. Το ΕΕπροαπαιτεί τα πρότυπα ΦΕ και ΑΕ (σχήμα 3γ). Εδώ βρίσκεται η κατάλληλη πειραματικήτακτική στη θεώρηση των μεγεθών, που απαιτείται να μετρηθούν (με τα σωστά πρότυπα). Ηδιερεύνηση πειραματικών συνθηκών και τα πειραματικά λάθη (τυχαία και συστηματικά) στιςμετρήσεις θα συσχετισθούν με τα 2 διαθέσιμα θεωρητικά πρότυπα (ΑΕ και ΦΕ) των εκκρεμώνπου αναφέραμε παραπάνω. Τα συστηματικά λάθη στη μέτρηση του μήκους L είναι τα πιοκρίσιμα, οπότε αυτά θα είναι σε 1η προτεραιότητα να αναλυθούν (πηγές, πρόσημο κ.λ.π.)σύμφωνα με όσα γνωρίζουμε από το 1ο εισαγωγικό εργαστήριο.

Σχήμα 3γ: Εικόνα του Εργαστηριακού Εκκρεμούς (ΕΕ, με κλίση γωνίας Α). Οι 3 γραμμές δείχνουν στα (3) στοιχειώδη τμήματα, που αντιστοιχούν στο απλό πρότυπο (αναφοράς), του απλού εκκρεμούς (ΑΕ) και έχουν ιδιαίτερη σημασία. Τα βασικά μέρη του Εργαστηριακού Εκκρεμούς ΕΕ (πρότυπο ΕΕ) είναι:

1. Κυλινδρικό Βαρίδιο (W~303g) .2. Ραβδόνημα από αλουμίνιο (Al) , “το Al-νήμα μας” (ΒAl ~79g < 303g~W, μήκους Lmax=.......mm ~ 360mm). 3. Δίσκος-γωνιόμετρο, για ανάγνωση της γωνίας Α, του Κεκλιμένου Επιπέδου της Ταλάντωσης (ΚΕΤ).4. ”Ραβδόνημα - ενδείκτης” της γωνίας Α (0ο<Α<90ο), της γωνίας του ΚΕΤ.5. Άξονας στήριξης (του εκκρεμούς) ραβδονήματος (EE→ΦE).6. Κοχλίας G θέτει (και σταθεροποιεί) τη γωνία Α (0ο<Α<90ο) του ΚΕΤ.


G

A


4. Πειραματικό μέρος

4α. Πειραματική διάταξηΗ πειραματική διάταξη αποτελείται:

Α) Από το εργαστηριακό εκκρεμές (ΕΕ) καιΒ) από τη διάταξη μέτρησης χρόνου, όλων των περιόδων.

Α) Εργαστηριακό ΕκκρεμέςΤο Εργαστηριακό Εκκρεμές (πρότυπο ΕΕ) αποτελείται από:

Α1. Ομο γενές κυλινδρικό βαρίδιο, βάρους W~303g, πάχους dw=.......mm ~ 18mm και διαμέτρου D=.......mm ~ 50mm).

Α2. Αλουμινένια ράβδο (ραβδόνημα), μήκους =.......mm ~ 360mm. Ως πειραματικό μήκος L θα θεωρείται:

1) η απόσταση του κέντρου μάζας του κυλινδρικού βαριδίου Α1 από τον άξονα στήριξης Α5.

2) Εναλλακτικά, αντί του πειραματικού μήκους L, μπορεί να ζητηθεί η μέτρηση Λ, απότην κάτω βάση του κυλινδρικού βαριδίου Α1 έως το ελεύθερο άκρο της ράβδου (σχ.5β.2).

Α3. Δίσκο - γωνιόμετρο για ανάγνωση γωνίας Αg, μεταξύ του επιπέδου ταλάντωσης του ραβδονήματος με την κατακόρυφο, δηλαδή του κεκλιμένου επιπέδου της ταλάντωσης (ΚΕΤ).

Α4. Δείκτη της γωνίας Αg (0ο<Αg<90ο) του κεκλιμένου επιπέδου της ταλάντωσης (ΚΕΤ).Α5. Άξονα στήριξης ραβδονήματος.Α6. Κοχλία (G) επιλογής της γωνίας Αg (0ο<Αg<90ο) του κεκλιμένου επιπέδου

ταλάντωσης (ΚΕΤ).

Β) Διάταξη μέτρησης του χρόνου n.T

Η διάταξη αποτελείται από 3 όργανα (σχήμα 4α.1):

Β1. Φωτοπύλη Β1: Ανιχνεύει την προσωρινή διακοπή του σήματος της “οπτικής” δέσμης ir. Η 1η διακοπή της δέσμης σηματοδοτεί την αρχή του χρόνου μέτρησης t=0, η 2η είναι για t=Τ/2 και η 3η για t=Τ.

Β2. Aπαριθμητής περιόδων, Β2 (electronic oscillator counter): Με τον απαριθμητή γίνεται η προεπιλογή του επιθυμητού αριθμό n των περιόδων T, που θα ανιχνευτούν από τη φωτοπύλη Β1. Οι επιλέξιμες τιμές είναι: 1, 2, 4, 10, 20, 50, 100 (συνολικός) αριθμός ταλαντώσεων. έτσι, ο συνολικός χρόνος, τ (=n*T), καταγράφεται στο ηλεκτρ. χρονόμετρο Β3.u

Β3. Ηλεκτρονικό χρονόμετρο, Β3 (electronic digital timer), όπου καταγράφεται ο συνολικός χρόνος τ, των n περιόδων T.

Είναι προφανές, ότι, από τη στιγμή που ο απαριθμητής περιόδων Β2 θα «δώσει την εντολή» για τη διακοπή της χρονομέτρησης, μόλις ολοκληρωθούν οι επιλεγμένες n ταλαντώσεις, αυτός (Β2) θα συνδέεται ανάμεσα στην φωτοπύλη Β1 και το ηλεκτρονικό χρονόμετρο Β3.

Σχήμα 4α: Τα 3 βασικά όργανα, που συνιστούν τη διάταξη μέτρησης προεπιλεγμένου αριθμού ταλαντώσεων.


B3


4β. Διαδικασία μετρήσεων του χρόνου Τ της περιόδου.

Γ) Διαδικασία μετρήσεωνΣτο ηλεκτρονικό χρονόμετρο Β3 επιλέγουμε (με τη σειρά) τα εξής:

Γ1. Τροφοδοσία συσκευής: On

Γ2. Διακριτική ικανότητα (time resolution): επιλογή 0.01s ή 0.001s (για την πιο υψηλή διακριτική ικανότητα δt=1ms)(θα καθορίζεται σε κάθε άσκηση)

Γ3. Τρόπος λειτουργίας (function mode): επιλογή στον παλμό (pulse)

Δ) Διαδικασία της 1ης μέτρησηςΣτον απαριθμητή περιόδων Β2 επιλέγουμε με τον περιστροφικό διακόπτη 9 προεπιλεγμένων επιλογών (n = 1, 2, 4, 10, 20, 40, 100, 200, 400) τον αριθμό των ταλαντώσεων που επιθυμούμε να καταγράψουμε με το ηλεκτρικό χρονόμετρο. Στην φωτεινή ένδειξη του οργάνου, και κατά τη διάρκεια της μέτρησης, φαίνονται οι ολοκληρωμένες περίοδοι που έχουν καταγραφεί. Με το που θα καταγραφεί και η τελευταία περίοδος, ο απαριθμητής «δίνει εντολή» στο ηλεκτρικό χρονόμετρο για το σταμάτημα της μέτρησης.

Με τον μεταλλικό διακόπτη 2- θέσεων (reset / count), επιλέγουμε τον μηδενισμό (reset)και την επανέναρξη μιας νέας μετρησης (count).

Σχήμα 4β: Επιλογές στον απαριθμητή περιόδων. Θέση διακόπτη: από την τιμή του n=100. (Θέση Count:ON)

Δ1. Στην αρχή προεπιλέγουμε μια μικρή τιμή του n: π.χ. n = 1 ή 2 περιόδους Τ. Η μέτρησηθα σταματήσει μόλις ικανοποιηθεί η προεπιλογή μας, για συνολικό αριθμό n*T περιόδων. Θέση διακόπτη: από την επιλογή «Reset» στη θέση «Count».

Για την έναρξη νέας μέτρησης, πιο αναλυτικά, έχουμε την εκτέλεση των παρακάτω διαδοχικών βημάτων:

Δ2. Επιλογή νέας μέτρησης: Reset (προετοιμασία για νέα έναρξη)

Δ3. Επιλογή έναρξης νέας μέτρησης: Count

Δ4. Λήξη μέτρησης: Γίνεται αυτόματα με την ηλεκτρονική λήξη της μέτρησης δηλ. την ικανοποίηση της προεπιλογής για συνολικό αριθμό n*T περιόδων και τηκαταγραφή του χρόνου με το ηλεκτρονικό χρονόμετρο.

Ε1) Διαδικασία της 2ης μέτρησης

Διαδικασία της 2ης μέτρησης: επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα (Δ2, Δ3, Δ4).

Ε2) Διαδικασία της νης μέτρησης

Διαδικασία νης μέτρησης: επαναλαμβάνουμε τα βήματα Δ2, Δ3, Δ4.



5. Εκτέλεση (4) πειραματικών δραστηριοτήτων

Στο, αμιγώώ ς, εργαστηριακοώ μεώρος της αώ σκησης θα ασχοληθούώ με με τις εξηώ ς θεματικεώς ενοώ τητες:

5α.Απλεώς μετρηώ σεις περιώοδού Τ (~1s) σε εώνα, μοώ νο, μηώ κος L: Εξοικείωση με τα όργανα (και στοιχειώώ δη εξαρτηώ ματα: Β1, Β2, Β3) της διάταξης του εκκρεμούς (εξοικειώώση με τα προώ τύπα: AΕ, ΦΕ, ΕΕ).

5β. Δύώ ο μετρηώ σεις τού g: 1) στη Γη, και 2) στη Σεληώ νη (στο AΕ).

5γ. Μετρηώ σεις τού G με την κλιώση Αg, τού επιπεώδού ταλαώ ντώσης (στο AΕ).

5δ. Διερεύώ νηση της εξαώ ρτησης της περιώοδού Τ αποώ το μεώγιστο πλαώ τος θm (στο ΕΕ).

Στον ιστότοπο του εργαστηρίου υπάρχουν και άλλες προτάσεις πειραματικών δραστηριοτήτων (Εργασίες για το σπίτι: πίνακας6, κ.λ.π.: η επιλογή θα γίνεται από το διδάσκοντα).

5α. Απλές μετρήσεις περιόδου Τ: σε σταθερό μήκος L

Εδώώ θα εξοικιώθούώ με με τα στοιχειώώ δη εξαρτηώ ματα της διαώ ταξης τού εκκρεμούώ ς. Στοώχος μας, μεώσα αποώ την εξοικειώώση με τη πειραματικηώ διαώ ταξη, η μελεώτη της μεώτρησηςτης περιοώ δού. Επιπλεώον, επειδηώ η τύπικηώ τιμηώ της περιοώ δού θα ειώναι γνώστηώ Τ1 (=1s), τοώ τετο σφαώ λμα: εΤ = (Τ-1s), θα ειώναι το κύώ ριο κριτηώ ριο (εργαλειώο) στη φαώ ση αύτηώ της μελεώτημας.

5α.0 Προετοιμασία για μετρήσεις περιόδου Τ (~1s)

Σε σταθεροώ μηώ κος L θα μετρηώ σούμε την περιώοδο Τ1 (~1s).

Μεταώ την εξοικειώώση με τη διαώ ταξη τού εκκρεμούώ ς θα εξεταώ σούμε τη σύσχεώτισητών μετρηώ σεών στο ΕΕ με ιδανικεώς τιμεώς στα προώ τύπα (ΑΕ και ΦΕ).

Στο μεώρος αύτοώ θα αναγνώριώσετε τα μεώρη της διαώ ταξης. Θα ξεκιναώ τε με κριτηώ ριοτην παραώ μετρο της γώνιώας μεώγιστης εκτροπηώ ς θm, δηλαδηώ διώνούμε μοώ νο μια αρχικηώδύναμικηώ ενεώργεια Εmδ. Ετσι θα παραώ γετε απλεώς ταλαντώώ σεις με σχετικαώ μεγαώ λη αρχικηώ(μεώγιστη) γώνιώα εκτροπηώ ς (θm~45ο) και θα μετρηώ σετε την περιώοδο Τ με τη βοηώ θεια τούσύστηώ ματος «φώτοπύώ λης». Θα ξεκινηώ σετε να μετραώ τε την περιώοδο Τ σύώ μφώνα με τιςοδηγιώες 4β2 (Διαδ. 1ης μεώτρησης), 4β3 (Διαδ. 2ης μεώτρησης), και 4β4.

Αρχικαώ θα εώχούμε τη σύνθηώ κη: n=1, σαν επιθύμητοώ αριθμοώ «n περιοώ δών» στοναπαριθμητηώ περιοώ δών Β2. Οι μετρηώ σεις της περιοώ δού Τ θα γιώνούν κονταώ σε μιώαπροεπιλεγμεώνη τύπικηώ τιμηώ Τ~1s. Ετσι θα εώχούμε την εύκαιριώα να διορθώώ σούμεενδεχοώ μενα σύστηματκαώ σφαώ λματα στη διαδικασιώα της μεώτρησης. Εδώώ το σφαώ λμα θαορισθειώ αποώ τη σχεώση: εΤ1 = (Τ-1s). Εαώ ν εώχούμε εΤ>0.1s, τοώ τε διερεύνούώ με τις πειραματικεώςσύνθηώ κες για σφαώ λματα και μεταώ τις αλλαγεώς επαναλαμβαώ νούμε οώ λες τις μετρηώ σεις. Εαώ νσύνεχιώζούμε να εώχούμε εΤ>0.1s, τοώ τε καλούώ με το διδαώ σκοντα για βοηώ θεια.



5α.1 Μετρήσεις περιόδου Τ1 (~1s) σε απλό εκκρεμές: διερεύνηση του πρότυπου ΑΕ Στον απαριθμητηώ περιοώ δών Β2, επιλεώγούμε: n=1. Θεώτούμε το βαώ ρος W στο μηώ κος L1

=248mm (L1=Lmax-(Λ+dw/2)) και θα μετρηώ σούμε 1 φοραώ την περιώοδο Τ. Με αρχικηώ γώνιώαεκτροπηώ ς (θm~40ο) θα εώχούμε παώ νώ αποώ (τ=)5min μεώχρι να αποσβεσθούώ ν (τmax~10 με15min). Άρα, θα μετραώ με την περιώοδο Τ με “ρύθμοώ ”, 1 φοραώ αναώ ~30s.

Θα σύνεχιώσετε να μετραώ τε τη εποώ μενη τιμηώ (περιοώ δού Τ) μοώ νο με την απληώεναλλαγηώ τού διακοώ πτη: on/off (δηλαδηώ Count / Reset).

Ποώ τε πιστεύώ ετε οώ τι, θα εώχετε το μικροώ τερο σφαώ λμα στη μεώτρηση της περιοώ δού, εΤ1; Γιατιώ;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ποώ τε πιστεύώ ετε οώ τι, η μεώτρηση τού g, με αύτηώ τη μεώθοδο, θα ειώναι ακριβεώστερη; Γιατιώ;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Πίνακας 5α.1: Μετρήσεις περιόδου Τn (για n=1)

α/α «τ»Περιώοδος

Τ1

Σφαώ λμα εΤ1 =

(Τ1-1s)

Σφαώ λμα εΤ2 =

(Τ1-Tm)g

Σφαώ λμαεg =

g–9.81

γώνιώα θmax, εκτροπηώ ς

Σχοώ λια

min s s s m/s2 m/s2 ο

1 0.0 402 0.53 1.04 1.55 2.06 2.57 3.08 3.59 4.0

10 4.5

μο = T1m

Ε ρ γ α σ ί α γ ι α τ ο σ π ί τ ι :

1) Να υπολογισθεί ο μέσος όρος περιόδου T1m και το τυπικό σφάλμα σm1 (σm2): α) για τις 5 πρώτες μετρήσεις [Ν=5], και β) για τις 5 τελευταίες μετρήσεις [Ν=5].

2) Να γίνει διάγραμμα της περιόδου T1 (s) με το χρόνο μέτρησης τ (min). Χαράξτε 3 οριζόντιεςγραμμές (με άλλο χρώμα) στο ύψος των 2 παραπάνω μέσων όρων περιόδου Tm και μία ακόμηοριζόντια γραμμή στο ύψος της περιόδου TΑΕ=1s (πρότυπο ΑΕ: απλό εκκρεμές).

3) Να γίνει ένα ενιαίο διάγραμμα των σφαλμάτων εΤ1 και εΤ2 (με άλλο χρώμα) με το χρόνομέτρησης τ (min). Να εξηγήσετε γιατί και πότε το πρότυπο ΑΕ (αβαρές νήμα) είναι σε ισχύ.

4) Να υπολογισθεί επίσης και το σφάλμα εg (=g – 9.81m/s2). Πού έχουμε την ελάχιστη τιμή εg

και να εξηγήσετε γιατί. Εντοπιώστε τις 2 πιοώ σημαντικεώς αιτιώες - πηγεώς σφαλμαώ τών.

5) Να γίνει ένα ενιαίο διάγραμμα των σφαλμάτων εΤ1 και εΤ2 με το σφάλμα εg. Να σχολιάσετετο διάγραμμα.



5α.2 Μετρήσεις περιόδου Τ (~1s) σε φυσικό εκκρεμές (ΦΕ)

Στον απαριθμητηώ Β2, επιλεώγούμε: n=1. Αφαιρούώ με προσεκτικαώ το βαώ ρος Β και στο φύσικοώεκκρεμεώς τού μη αβαρούώ ς «νηώ ματος» θα μετρηώ σούμε 10 φορεώς την περιώοδο Τ1 καθώώ ς θαμειώώ νεται η γώνιώα θεκτ εκτροπηώ ς λοώγώ απώλειώώ ν ενεώργειας με το χροώ νο (στη στηώ λη) «τ».Με αρχικηώ γώνιώα εκτροπηώ ς θm~60ο, θα εώχούμε παώ νώ αποώ ~1min μεώχρι να αποσβεσθούώ ν(θm<1ο). Άρα, θα μετραώ με την περιώοδο Τ1, με “ρύθμοώ ” (n=) 1 φοραώ , στον ενδεικτικοώ χροώ νο«τ» (s).

Σημειώώ στε, τι κραταώ με σταθεροώ και τι μεταβαώ λλούμε αναώ μεσα στις δραστηριοώ τητες 5α.1(με το βαώ ρος W) και 5α.2 (αφαιρούώ με το βαώ ρος W).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Τι διερεύνούώ με στη δραστηριοώ τητα αύτηώ ;εΤ1, εΤ4 και Τ1 (για n=1) με το «τ»: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Πίνακας 5α.3: Μετρήσεις περιόδου Τ1 (για n=1) σε φυσικό εκκρεμές

α/α «τ» ΠεριώοδοςΤ1

Σφαώ λμα_1εΤ1 =

(Τ1-1s)

Σφαώ λμα_2εΤ2 =

(Τ1-Tm)

g Σφαώ λμα εg =

g–9.81

γώνιώα θmax,

εκτροπηώ ς

s s s s m/s2 m/s2 ο

1 1 602 33 54 105 156 207 258 309 40

10 60

μο = T1m


1) Να ύπολογισθειώ ο μεώσος οώ ρος περιοώ δού Tm και το τύπικοώ σφαώ λμα σm2: α) για τις 5 πρώώ τες μετρηώ σεις [Ν=5], αλλαώ και β) για τις 5 τελεύταιώες μετρηώ σεις [Ν=5].

2) Να γιώνει διαώ γραμμα της περιοώ δού T (s) με το χροώ νο της μεώτρησης τ (min). Χαραώ ξτε 3οριζοώ ντιες γραμμεώς (με αώ λλο χρώώ μα) στο ύώ ψος τών 2 παραπαώ νώ μεώσών οώ ρών περιοώ δού Tm

και μιώα ακοώ μη οριζοώ ντια γραμμηώ στο ύώ ψος της περιοώ δού TΑΕ=1s (προώ τύπο ΦΕ: φύσικοώεκκρεμεώς). Να εύρεθειώ η ροπηώ αδραώ νειας Ιο (=mL2/3, m=10g, L=Lmax ~ ....mm). Να εύρεθειώτο ισοδύώ ναμο μηώ κος LΑΕ (=0Λ‘., στο Λ‘ εώχούμε τη θεώση τού κεώντρού αιώώ ρησης, σχεώση 7).Ειώναι σώστηώ η σχ.: 0Λ‘ > Lmax/2 = r ~ ..../2; Γιατιώ;

3) Να γιώνει εώνα ενιαιώο διαώ γραμμα τών σφαλμαώ τών εΤ1 και εΤ2 (αώ λλο χρώώ μα) με το χροώ νομεώτρησης τ (min). Να εξηγηώ σετε γιατιώ, και ποώ τε, το προώ τύπο ΦΕ (μη αβαρεώς νηώ μα) ειώναι σεισχύώ . να ελεώγξετε τον σύντελεστηώ γραμμικηώ ς σύσχεώτισης R. Να γιώνει σύώ γκριση με τασφαώ λματα στο πειώραμα 5α.1.

4) Να ύπολογισθειώ το g (αποώ τη σχ. ΤΦΕ=(r.mg/Ιο)1/2/2π) και το σφαώ λμα εg (=g–9.81m/s2).Πούώ εώχούμε την ελαώ χιστη τιμηώ εg και να εξηγηώ σετε γιατιώ;

5) Να γιώνει εώνα ενιαιώο διαώ γραμμα τών σφαλμαώ τών εΤ1 και εΤ2 με το σφαώ λμα εg. Νασχολιαώ σετε το διαώ γραμμα.



5β Δύο μετρηώ σεις τού g: 1) στη Γη, και 2) στη Σεληώ νη (στο AΕ)

5β.1 Μέτρηση του gΓ

Η μεώτρηση της επιταώ χύνσης της βαρύώ τητας gΓ στο χώώ ρο τού εργαστηριώού μας αναώ γεται σεμετρηώ σεις της περιώοδού ταλαώ ντώσης Τ σε κατακοώ ρύφο επιώπεδο με το μηώ κος L τούεκκρεμούώ ς (ΕΕ). Η περιοχηώ επιλεώξιμών τιμώώ ν μηώ κούς L φαιώνεται στο σχηώ μα 5α.

Σχήμα 5β.1: Γραφική παράσταση της περιόδου Τμε το επιλέξιμο μήκος L. Η έκτασητιμών στο μήκος L του εκκρεμούς ΕΕθα είναι μέσα στην περιοχή τιμώντου μήκους L (σχέση 4).

Η έκταση επιλέξιμων τιμώνεπισημαίνεται με το πιο έντονοευθύγραμμο τμήμα της ευθείαςγραμμής του διαγράμματος (με λογαριθμικούς άξονες: λογL =[g.π-2/2] λογΤ).

Η περιώοδος Τ εξαρταώ ται αποώ την παραώ μετρο τού μηώ κούς L (σχ. 5β.1). Στο μηώ κος Lταλαντώώ νεται η θεώρητικαώ «σημειακηώ » μαώ ζα τού απλούώ εκκρεμούώ ς (ΑΕ), οώ πώςαναφεώρθηκε στη θεώριώα τού ΑΕ (παραώ γραφος 3α). Ομώς, αντιώ τού θεώρητικούώ μηώ κούς L,εμειώς θα μετραώ με τη σύμπληρώματικηώ τού τιμηώ , δηλαδηώ το μηώ κος Λ (σχ. 5β.2). Ετσιμειώώ νονται τα σύστηματικαώ σφαώ λματα στο μηώ κος (γιατιώ;). Σε καώ θε μια, πρώτογενώώ ςμετρούώ μενη θεώση Λ, θα εκτελούώ νται μετρηώ σεις περιώοδού Τn με n=4 (βλεώπε σχηώ μα 4β). Έτσιθα σύμπληρώώ σούμε τον παρακαώ τώ πιώνακα 5β.1.

Σχήμα 5β.2: Μετρήσεις του μήκους Λ του εκκρεμούςΕΕ για το θεωρητικό μήκος L τουεκκρεμούς (ΑΕ).

Στα δεξιά φαίνεται καλύτερα ηπρωτογενώς μετρούμενη θέση Λ τουεκκρεμούς ΕΕ.

Σημειώώση: Ο Κοχλίας (6, Σχήμα 3γ) Gπου θέτει τη γωνία Αg=0ο (τώρα, θα είναιστο 0ο).



Πίνακας 5β.1: Μέτρηση του gΓ από μετρήσεις περίοδου Τ1 με το μήκος Λ (Lmax~360mm)

α/α Μηώ κοςΛ

Περιώοδος Τ (=Τ1) Mηώ κος L(~Lmax -(Λ+dw/2))

g Σφαώ λμα εg

(= g–9.81)mm s mm m/s2 m/s2

1 252 353 504 755 1006 112 ~248 9.81 Ελαώ χιστο;7 1208 1309 150

10 20011 25012 30013


1. Να γιώνούν τα διαγραώ μματα, λογΤ – λογL, και να ύπολογισθειώ η ΕΕΤn. Μεταώ ναύπολογισθειώ το g και το λαώ θος εg (=g - 9.81 m/s2). Να αξιολογηθειώ ο σταθεροώ ς οώ ρος στηνΕΕΤ και να εκτιμηθειώ η επιώδραση τού σταθερούώ οώ ρού στα λαώ θη εg τού g. Να γιώνούν ταδιαγραώ μματα L - εg.

2. Να γιώνούν και τα διαγραώ μματα τού L με το LΑΕ, οώ πού LΑΕ=g . (Τ/2π)2. Να ύπολογισθειώ ηΕΕΤ (L-LΑΕ) και να αξιολογηθειώ και ο σταθεροώ ς οώ ρος.

3. Επιπλεώον να ξαναγιώνούν τα διαγραώ μματα λογΤ - λογL μοώ νο για 6 αποώ τις 10 μετρηώ σειςτού πιώνακα 5β, οώ πού η εώκταση τιμώώ ν τού L περιεώχει τα μικροώ τερα λαώ θη. Να γιώνει νεώααξιολοώγηση στα λαώ θη και να διερεύνηθούώ ν αύταώ σύσχετιώζονταώ ς τα με τα κριτηώ ρια στα 2προώ τύπα: ΑΕ και ΦΕ (ΑΕ στην παραώ γραφο 3α. και ΦΕ στη παραώ γραφο 3β.).

Προαιρετικά: Οι μετρηώ σεις περιώοδού Τn μπορειώ γιώνούν και για 3 αώ λλες ομαώ δες αριθμώώ ν περιώοδώνn=:{1, 4, 10}.

Πίν. 5β.1β: Σύώ γκριση προαιρετικώώ ν μετρηώ σεών τού g (αναώ λογα με τον αριθμοώ n μετρηώ σεών τώνπεριοώ δών).

α/α αριθμοώπεριοώ δών

n

g Λαώ θος εg (εg = g - 9.81)

Σχοώ λια

1 12 23 44 10



5β.2 Μέτρηση του gΣ της σελήνης

Παροώ μοια με την παραπαώ νώ δραστηριοώ τητα 5β.1 εώτσι και η μεώτρηση της επιταώ χύνσης τηςσεληνιακής βαρύώ τητας gΣ (=0.166gΓ, 1.625m/s2) αναώ γεται επιώσης σε μετρηώ σεις τηςπεριώοδού Τ με το μηώ κος L, αλλαώ με μιώα διαφοραώ . Τώώ ρα, το εκκρεμεώς θα κινειώται σε εώνα (οώχικατακοώ ρύφο, αλλαώ ) κεκλιμμεώνο επιώπεδο ταλαώ ντώσης (ΚΕΤ). Η αλλαγηώ τού επιπεώδούταλαώ ντώσης επιτύγχαώ νεται με αλλαγηώ της γώνιώας Αg αποώ 0 ο σε 80ο (80.4ο, με ανοχηώ 2ο),οώ πώς φαιώνεται στο σχηώ μα 5γ.1 (οώ πού το Αg=20ο ειώναι αώ λλο παραώ δειγμα). Τώώ ρα η κινούώ σαδύώ ναμη της ταλαώ ντώσης θα μειώθειώ. Στην εργασιώα σας να καώ νετε καταώ λληλο σχηώ μα και νατο εξηγηώ σετε αναλύτικαώ . Θα εκτελεώσούμε τα παρακαώ τώ τεχνικαώ βηώ ματα:

1) Αρχικαώ , ξεβιδώώ νούμε, και αφαιρούώ με με προσοχηώ , το βαώ ρος της ταλαώ ντώσης,χειροκιώνητα. Σημειώώση: Δεν το αφηώ νούμε να πεώσει καώ τώ χώριώς εώλεγχο.

2) Αλλαώ ζούμε πολύώ προσεκτικαώ τη γώνιώα τού επιπεώδού ταλαώ ντώσης, οώ πώς επεξηγειώταιαναλύτικαώ στη εποώ μενη παραώ γραφο και φαιώνεται στο σχηώ μα 5γ.1.

3) Βιδώώ νούμε (προσεκτικαώ , και οώχι ύπερβολικαώ ) τον κοχλιώα #6 (G#6 στο σχηώ μα 5γ.1),ώώ στε να στερεώθειώ “επαρκώώ ς“ το επιώπεδο ταλαώ ντώσης τού ΕΕ.

4) Τοποθετούώ με και βιδώώ νούμε (προσεκτικαώ , και οώχι ύπερβολικαώ ) το βαώ ρος τηςταλαώ ντώσης σε καταώ λληλη θεώση πού εώχει μηώ κος Λ (σχηώ μα 5β), οώ πώς προτειώνεται στην1η σειραώ τού πιών. 5β2.

Παροώ μοια με την προηγούώ μενη δραστηριοώ τητα 5β.1 και εδώώ θα σύμπληρώώ σούμε τονπαρακαώ τώ πιώνακα 5β.2., για 10 μετρηώ σεις (περιοώ δού) Τ1 (Λ) με το μηώ κος Λ.

Πίνακας 5β.2: Μετρηώ σεις Τ1 με το μηώ κος Λ (για μεώτρηση τού gΣ).

α/αΜηώ κος

ΛΠεριώοδος

ΤMηώ κος L

(~Lmax -(Λ+dw/2))g Σφαώ λμα εg

(= g–1,625)mm s mm m/s2 m/s2

1 252 503 754 1005 112 Ελαώ χιστο;6 1207 1308 1809 200

10 250


1. Να γιώνούν τα διαγραώ μματα λογΤ - λογL και να ύπολογισθειώ η ΕΕΤn. Μεταώ ναύπολογισθειώ το gΣ και το λαώ θος εgΣ.Να αξιολογηθειώ ο σταθεροώ ς οώ ρος στην ΕΕΤ και να εκτιμηθειώ η επιώδραση τού σταθερούώοώ ρού στα λαώ θη εgΣ τού gΣ. Να γιώνούν τα διαγραώ μματα L – εgΣ.

2. Να γιώνούν τα διαγραώ μματα L με το LΑΕ, οώ πού LΑΕ =gΣ . (Τ/2π)2. Να ύπολογισθειώ η ΕΕΤ.



5γ. Μετρήσεις του G με την κλίση Αg του επιπέδου ταλάντωσης

Οι μετρηώ σεις τού ρύθμιζοώ μενού G (τεχνητούώ g, G=g cosΑg) με τη γώνιώα κλιώσης Αg θα γιώνούνμε παραώ μετρο το μηώ κος L τού εκκρεμούώ ς (οώ πώς περιγραώ φεται στο μεώρος 5α). Προτειώνεταισαν βεώλτιστη παραμετρικηώ τιμηώ τού μηώ κούς L η ιδανικηώ τιμηώ LΑΕ

=248mm, για να εώχούμεσε ισχύώ το πιο στοιχειώώ δες προώ τύπο ΑΕ (ιδιοώ τητες-προδιαγραφεώς «προώ τύπού ΑΕ»). Αύτηώη ιδανικηώ τιμηώ τού μηώ κούς LΑΕ παραμεώνει σταθερή στη δραστηριοώ τητα αύτηώ . Η γώνιώακλιώσης Αg τού επιπεώδού ταλαώ ντώσης θα μετρηθειώ οώ πώς φαιώνεται στο σχ.5γ.1.

Σχήμα 5γ.1: Κοχλίας G (#6) με την μετακίνηση του οποίου θέτουμε την επιθυμητήγωνία Αg (0ο<Α<90ο) (μεταξύ του επιπέδου ταλάντωσης ραβδονήματος με την

κατακόρυφο). Στον δίσκο - γωνιόμετρο επιλέγουμε την τιμή της γωνίας Αg. Ιδανικήτιμή (στο ΑΕ): L=248mm.

Οι μετρηώ σεις της περιώοδού Τn με τη γώνιώα κλιώσης Αg, παραώ μετρο τον αριθμοώ n στοαντιώστοιχο θεώρητικοώ διαώ γραμμα σχ.5γ.2. Eδώώ , θα ξεκιναώ τε, παραώ γοντας, μοώ νο, απλές(θm<<10ο) ταλαντώώ σεις (ΑΕ), δηλ. εώχούμε, παώ ντοτε, παώ ρα πολύώ μικρηώ γώνιώα (μεώγιστης)εκτροπηώ ς.

3) Με το βαριώδιο W στην καταώ λληλη θεώση (L~248mm), θα ξεκινηώ σετε να παιώρνετε μετρηώ σειςκαταώ τα γνώσταώ (παραώ γραφος 4β). Εχούμε γώνιώα Αg=0, στην 1η μεώτρηση (Τ~1s) .

4) Θεώτούμε n=1 στη σύσκεύηώ Β2 (σχ. 4α) για την περιώοδο Τ1.

5) Επαναλαμβαώ νούνε το παραπαώ νώ βηώ μα 2, για τις εποώ μενες μετρηώ σεις μας, μεταώ την αλλαγηώτης γώνιώας κλιώσης Αg. Επιλεώγούμε τις τιμεώς πού ύπαώ ρχούν στη στηώ λη τών προτεινοώ μενώντιμώώ ν Αg, τού πιώνακα 5γ. Σύμπληρώώ στε, 10 μετρηώ σεις, στον παρακαώ τώ πιώνακα 5γ.

Αποώ τις στηώ λες της περιώοδού Τn με τη γώνιώα κλιώσης Αg τού πιώνακα 5γ., να γιώνούνπειραματικαώ διαγραώ μματα (Αg - Τn) για n=1, οώ πώς φαιώνεται στο αντιώστοιχο θεώρητικοώδιαώ γραμμα σχ.5γ.2.


Κοχλίας G (για κλίση γωνία Α

g)

Αg


Πίνακας 5γ: Μετρήσεις περιόδων Τn με τη γωνία κλίσης Αg

(Μετρήσεις τεχνητού g, G=g cosΑg)

α/α γώνιώα Αg (o) Περιώοδος Τ1 (s) G1 (=g cosΑg) Σχοώ λια

1 02 53 104 305 406 507 608 709 76

10 8011 8212 8513 88

Η γώνιώα κλιώσης Αg μας αλλαώ ζει τις τιμεώς τού φαινοώ μενού G=g cosΑg, πού εώχούν δραστικηώεπιώδραση κύριώώς στις μεγαώ λες γώνιώες Αg, οώ πώς φαιώνεται στο σχ.5γ.2.

Επομεώνώς χρειαώ ζεται ιδιαιώτερη προσοχηώ στις μεγαώ λες γώνιώες Αg.


1) Αποώ τις μετρηώ σεις της περιώοδού Τ με τη γώνιώα κλιώσης Αg τού πιώνακα 5γ να γιώνει σε εώναδιαώ γραμμα (μιώα καμπύώ λη με τα πειραματικαώ δεδομεώνα Τ1 για ΕΕ και η θεώρητικηώ καμπύώ ληγια ΑΕ) αναώ λογο με το αντιώστοιχο θεώρητικοώ διαώ γραμμα (ΑΕ) πού φαιώνεται στο σχ.5γ.2.

2) Αποώ τις παραπαώ νώ μετρηώ σεις να γιώνει πειραματικοώ διαώ γραμμα: G - cosΑg, (G=LΑΕ/(Τ/2π)2). Aποώ την κλιώση, a1, στην ΕΕΤ, (G= a1 cosΑg + a0). Να ύπολογιστειώ το g (a1=g).

3) Να σχολιασθειώ και ο σταθεροώ ς οώ ρος (a0) της ΕΕΤ (θεώρητικαώ : a0=0).

Σχήμα 5γ2:

Επίδραση της γωνίας

κλίσης Αg στο G(Αg).

Η γωνία κλίσης Αg θα

μετρηθεί όπως

φαίνεται στο σχ.5γ.1,

το πρότυπο “ΕΕ” του

εργαστηρίου.



5δ. Διερεύνηση της εξάρτησης της περίοδου Τ από το μέγιστο πλάτος θm στο ΕΕ

Tο ΕΕ σύμπεριφεώρεται ώς το προώ τύπο ΑΕ, μοώ νον οώ ταν το πλαώ τος θm της γώνιώας εκτροπηώ ςτειώνει στον μηδεών, οποώ τε εώχούμε: sin(θm)~θm. Θα εξεταώ σούμε, τώώ ρα, καταώ ποώ σο θααύξηθούώ ν τα σφαώ λματα της περιοώ δού Τ, οώ ταν η αρχικηώ γώνιώα θm θα γιώνει παώ ρα πολύώμεγαώ λη (θm>>2ο). Η πειραματικηώ διαώ ταξη τού ΕΕ για το σκοποώ αύτοώ φαιώνεται στο σχ.5δ.1α. Η εξαώ ρτηση αύτηώ , οώ μώς, ειώναι, σχετικαώ , παώ ρα πολύώ μικρηώ εθm<12%, για στηνμεσαιώα περιοχηώ του L: 180mm<L<250mm. Αποώ την επιώδραση αύτηώ προκύώ πτει ηαντιώστοιχη μεταβοληώ (σύώ μφώνα με τούς κανοώ νες μεταώ δοσης σφαλμαώ τών) και στις τιμεώςτού παραγοώ μενού g, πού ειώναι επομεώνώς αναμενοώ μενο οώ τι, θα αποτύπώθειώ και στασφαώ λματα τού g.

Σχήμα 5δ.1:

Θέτουμε την τιμή της αρχικής γωνίαςθ m σε ενδεικτική τιμή 30ο

Ξεκιναώ με, με το σύνολικοώ μεώγιστο της γώνιώας, τού αρχικούώ πλαώ τούς θm, στον πιώνακα 5δ(θm=60ο). Εφ' οώ σον θεώσούμε την θm, μετραώ με τη τιμηώ της περιοώ δού Τ1, με n=1, (και με n=2,μοώ νον, εαώ ν το ζητηώ σει ο διδαώ σκών). Μεταώ , θεώτούμε οώ λες τις τιμεώς στις στηώ λες, θmj και Τ1,

στον πιών. 5δ. Ας σημειώώ σούμε οώ τι, με το σύολο Τθm=3o, οριώζούμε την περιώοδο πού αντιστοιχειώστη μικροώ τερη γώνιώα, θm=3ο (τού πιών. 5δ).

Πίνακας 5δ: Επίδραση της γωνίας θm στην περίοδο Τ (πρότυπο ΕΕ)Α/Α

θmΤ1

(n=1)

Λαώ θος εΤ

= Τ1 – Τθm=3oεΤ% g Λαώ θος εg

= g - 9.81Λαώ θος εg2

= g - g13o s s m/s2 m/s2 m/s2

1 602 553 504 455 406 357 308 259 20

10 1511 1012 513 3 ~1 =0 =0 =0



Σχήμα 5δ.2: Ανάλυση λαθώνστην περίοδο Τ(θm).

Δίνεται μία ενδεικτική (θεωρητικήπροσέγγιση στην) καμπύλη τηςεξάρτησης των λαθών της περίοδουεΤ~(100/4) sin2(θm/2) από το αρχικόπλάτος της γωνίας θm.

Τα εΤ είναι αμελητέα για μικρά πλάτη.Δηλαδή το εκκρεμές είναι ένα «αρκετάακριβές» ωρολόγιο.

Σ’ αυτό στηρίζεται ο λεγόμενος«νόμος του εκκρεμούς» ή «νόμοςτου Galileo-Galilei».

Από την ”εποχή-Galileo” είχε εφαρμογή,στα ωρολόγια τοίχου (σήμερα, ωρολόγιααντίκες).

Θα ήταν χρήσιμη, πέραν από τη μέτρηση της αρχικής γωνίας θm, και η άλλη εναλλακτική περιγραφή του αρχικού πλάτους,μέσω του xmh, που είναι η μέγ. οριζόντια απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (σχ. 5δ.1β): πάνω άξονα-Χ2, εάν το ζητήσει οδιδάσκων.


1) Στο λαώ θος εΤ% (στηώ λη εΤ%) τού πιώνακα 5δ, να γιώνει εώνα διαώ γραμμα εΤ%-θm για το ΕΕ.Αύτοώ θα ειώναι παροώ μοιο με το θεώρητικοώ εΤθ% (εΤθ% - θm) τού ΑΕ, πού φαιώνεται στο σχηώ μα5δ.2.

2) Στον παρακαώ τώ πιώνακα 5δ.2 να αποτύπώθειώ σύvολικαώ η επιώδραση τού λαώ θούς εΤ% - θm.

3) Να εκτιμηώ σετε με τη βοηώ θεια τού πειραματικούώ εΤ% - θm διαγραώ μματοώ ς σας(διερεύώ νηση) το ερώώ τημα: εαώ ν ισχύώ ει το προώ τύπο τού ΑΕ (ηώ ΦΕ) και σε ποιαώ περιοχηώγώνιώώ ν;

4) Mε τη βοηώ θεια τού πειραματικούώ σχηώ ματος πού θα καώ νετε, οώ πώς αύτοώ τού θεώρητικούώδιαγραώ μματος στο παραπαώ νώ σχ.5δ.2., να εκτιμηώ σετε το λαώ θος εg στο g με τη γώνιώα θm (εg

- θm).

Πίνακας 5δ.2: Επιλογή 4 μετρήσεων με μικρή επίδραση (Γιατί;) του πλάτους θm στηνπερίοδο Τ (πρότυπο ΑΕ)

Α/ΑΑ/Α

Πίνακα5δ.1

θm(o) εΤ% g εg Σχοώ λια

o m/s2 m/s2

1 (Γιατί;)234

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ1. ΓΦ: [Γενικηώ Φύσικηώ ] Θ. Καρακώώ στας & Δ.Σ. Κύριαώ κος. Φύσικηώ : Εισαγώγηώ στη Μηχανικηώ , (1998) Θεσσαλονιώκη, Εκδοώ σειςΖηώ τη2. Λέξεις κλειδιαώ (Google): απλοώ εκκρεμεώς, φύσικοώ εκκρεμεώς, Kater’s pendulum, ……….., ……….., ……….., ……….., ………..,……….., ………..,……….., ……….., ………..,……….., ………..,……….., ………..,……….., ……….., ……….., ……….., ……….., ……….., ……….., ………......



Πίνακας 6: Θέματα πρόσθετων (προαιρετικών) εργασιών με εκκρεμή (για το σπίτι)

1Εκκρεμές και στιγμιαίες μετρήσεις. Έστω μετρήσεις θ(t) τηςγωνίας θ με το χρόνο t σε αρχεία (ιστότοπος εργαστηρίου).Να μελετηθούν οι κινήσεις σύμφωνα με τις οδηγίες του διδάσκοντα.Ερωτήματα μελέτης σε ένα αρχείο:-ποιός είναι ο αριθμός των περιόδων nπ;-το μέγιστο πλάτος θm(t) μειώνεται με το nπ; Κλπ

Συγκριτικά ερωτήματα (μιας παραμέτρου) ανάμεσα στααρχεία: σε ποιά Α έχουμε: α) το μεγαλύτερο αριθμό περιόδων νπ και γιατί; β)ταλαντώσεις ΕΕ ως εάν να είματαν στη σελήνη (GΣελήνης):

Παράμετρος μέτρησης η συμπληρωματική γωνία Α (=90 ο - φ) του κεκλιμένου επιπέδου φΑ =: {0ο, 45ο , 80ο}

2Εκκρεμές και χρονοφωτογράφιση (f~10fps).Σε χρονοφωτογραφίες να γίνουν μετρήσεις θ(t) της γωνίαςμε το χρόνο (ιστότοπος εργαστηρίου). Να μελετηθούν οι κινήσειςσύμφωνα με τις οδηγίες του διδάσκοντα.

Παράμετρος μέτρησης η συμπληρωματική γωνία Α (=90 ο - φ) της γωνίας φ του κεκλιμένου επιπέδου

Α =: {0ο, … , 80ο}

3Εκκρεμές και video.Στα αρχεία video (ιστότοπος εργαστηρίου) να γίνουνμετρήσεις θέσης-χρόνου. Να μελετηιθύν οι κινήσεις σύμφωνα μετις οδηγίες του διδάσκοντα.

Παράμετρος μέτρησης η συμπληρωματική γωνία Α (=90 ο - φ) της γωνίας φ του κεκλιμένου επιπέδου

Α =: {0ο, … , 80ο}

4Εκκρεμές και παιδιά. Να μελετηθούν οι κινήσεις παιδικήςκούνιας σύμφωνα με τις οδηγίες του διδάσκοντα.Παράμετροι μελέτης: 1) αλλαγή κέντρου βάρους (πρότυπαΦΕ-ΑΕ) 2)πώς κινεί τα πόδια για να αυξήσει το μέγιστοπλάτος θμ(t) με διατήρηση της στροφορμής; - συχνοτική επίδραση εξωτερικής δύναμης- επίδραση της φάσης της εξωτερικής δύναμης κλπ

5Εκκρεμές και διάστημα. α. Απλό εκκρεμές (ΑΕ) στη Σελήνη. β. ΑΕ και ΕΕ σε διαστημόπλοιο. Να μελετηθούν οι κινήσειςμιας επιλογής σύμφωνα με τις οδηγίες του διδάσκοντα.

6Εκκρεμές και καθημερινές εμπειρίες. Ιδανικό κάθισμα κούνιας με βάση κυκλική. Το εκκρεμέςδεν κρέμεται. Εδώ η τάση του «εικονικού νήματος»αντικαθίσταται από την αντίδραση του δαπέδου. Να γίνεισύγκριση με το άνετο βάδισμα σε κυλιόμενο διάδρομογυμναστικής. Να μελετηθεί η κίνηση σύμφωνα με τις οδηγίες τουδιδάσκοντα. Να μελετηθεί μια παραλλαγή κίνησης κούνιας με α. παραβολική βάση. β. υπερβολική βάση.

7Εκκρεμές και μαθηματικά:α. Εκκρεμές του Kater.β. Εκκρεμές και ρολόγια τοίχου (αντίκες).γ. Εκκρεμές και μουσική (μετρονόμος μουσικής κ.λ.π.).δ. Κωνικό εκκρεμές (σχ. 6.7).ε. Διπλό εκκρεμές, εκκρεμή με ελατήρια κ.λ.π. Να μελετηθούν οι κινήσεις μιας επιλογής σύμφωνα με τις οδηγίεςτου διδάσκοντα.

Εκκρεμές στο περιβάλλον:

8Εκκρεμές και βάδισμα (πρότυπο ΦΕ). Βάδισμα τουανθρώπου (αντίστροφο εκκρεμές). Να μελετηθούν οι κινήσειςσύμφωνα με τις οδηγίες του διδάσκοντα μία από τις περιπτώσεις:Βάδισμαάνετο, αργό, γρήγορο,σε κυλιόμενο διάδρομο (γυμναστικής, αεροδρομίων κ.α.),σε κυλιόμενες σκάλες.

9Βάδισμα των τετράποδων. Παρόμοια κίνηση (με αυτή τωνδίποδων) εκτελείται και στο βάδισμα των τετράποδων; Ναγίνει διερεύνηση των τρόπων βαδίσματος (άνετο, αργό,γρήγορο) με την ταχύτητα του κέντρου μάζας.


Documents

ΑΣΚΗΣΗ 4genlab.physics.auth.gr/A4_Ekkremes.pdf · 2019-05-05 · Άσκηση 4: Εκκρεμές σελ. 3 / 19 F = - (mg/L) x = - mg θ [για x=>0, θ =>0] (1) δηλαδή,