{范例 2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动一质量为 m的小球以速率 v0从固定于光滑水平桌面上、半径为 R的圆周轨道内侧某点开始沿轨道内侧做圆周运动，小球运动时受轨道摩擦力大小与其速率 v成正比，比例系数为 k。速度和路程随时间变化的曲线有什么规律？法向加速度大小和切向加速度大小随时间变化的曲线有什么规律？法向加速度大小与切向加速度大小在什么时刻相等？

[解析 ]如图所示，小球受到重力 mg，桌面的支持力 N1，轨道内侧的压力 N2，轨道内侧摩擦力 f四个力的作用。

N1 与 mg相互平衡，小球所受的合外力为 N2 + f， N2沿法线方向， f沿切线方向且与速度方向相反。

mg

N1

N2 fv

{范例 2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动小球沿切线的运动方程为 -f = Fτ = mdv/dt，

由题意 f = kv，得微分方程 -kv = mdv/dt，mg

N1

N2 fv

分离变量得 dd

k vt

m v

积分得00 0

1d ln ln

vv

vv

k vt v v

m v v

变形得速率 0 exp( )kt

v vm

由于0d d exp( )d

ks v t v t t

m

积分得 0

0

exp( )dt k

s v t tm

0

0

exp( )tmv k

tk m

小球在 t时间内小球走过的路程为 0 [1 exp( )]mv k

s tk m

当 t→∞时， s→mv0/k，这是小球运动的全部路程。

{范例 2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动

mg

N1

N2 fv

速率 0 exp( )kt

v vm

小球的法向加速度为当 t = 0时，法向加速度为 v0

2/R，这是初始向心加速度，用 a0表示。

切向加速度的大小为当 t = 0时，切向加速度的大小为 kv0/m，初始摩擦力的大小为为 kv0。令 an = aτ，可得

220

n

2exp( )

vv ka t

R R m

0τ

d| | exp( )

d

kvv ka t

t m m

0eexp( )

v k kt

R m m

解得时刻为

0e ln

mvmt

k kR

这里要求 mv0 > kR，否则法向加速度的大小就总是小于切向加速度。

小球的初速度越大，两个加速度大小相等的时刻就越大。

可得2 2

20e 2

0

( )v kR k R

aR mv m

可见：切向和法向加速度大小相等的值与初速度无关。

速率随时间单调减少，最后趋于零；路程随时间单调增加，最后趋于总路程。

初始摩擦力与初始向心力之比越大，切向加速度大小的初始值就越大，切向加速度都随时间减小。

法向加速度也随时间减小，法向向加速度的初值比较大而减小得比较快。

法向加速度与切向加速度交点的横坐标，就是法向加速度和切向加速度的大小相等的时刻。

例如，当 kR/mv0 = 0.2时，法向加速度和切向加速度的大小相等的时刻是 1.61τ，加速度的值是 0.04a0。

初始摩擦力与初始向心力的比值越大，切向加速度与法向加速度大小达到相等所需要的时间就越短，两个加速度相等的值则越大。