第三章            图像变换3． 1    概述     一、图像处理可用线性系统描述

    其输入与输出图像的关系： 

原始图像 处理后图像),( yxf ),( yxg

),(),( yxfyxg

　　二、  图像处理的方法　 1． 直接处理 ---- 阵列运算（线性代数）　 2． 间接处理 --- 图像变换　　条件： 1）变换是可逆的；          2 ）算法不复杂　　优点： 1）运算速度快（快速算法）　　　　　 2）便于二维数字滤波处理　

　 3．在图像处理中广泛应用二维正交变换：　　利用某些正交变换可以从图像中提取一些特征：　如付氏变换后平均值（即直流项）正比于图像灰度值的平均值，高频分量则表明图像中目标边缘的强度及方向；

　  在变换的基础上，便于完成图像的变换编码。变换后的能量不变，但其分布会有变化，往往集中到少数一些项上，有利于存储和传输。 

3 ． 2    图像的线性运算3． 2． 1     二维连续线性系统　设输入　　　，输出　　　，二维线性系统映射为　　，则

　　 1． 线性叠加原理    

其中 a,b 为常数

),( yxf ),( yxg

),(),( yxfyxg

),(),(),(),(),(),( 212121 yxbgyxagyxfbyxfayxbfyxaf

2 ．二维狄拉克（ Dirac ）冲激函数    

具有性质：

1）

2）　　　　　　　　　  ，　为任意小的正数

其它

0,0

0,

yx

yx

其它

yx

yx,

0,

1),(),( dxdyyxdxdyyx

3 ）筛选性    

4 ）分解性         　　二维冲激函数可分解为二个沿正交坐标定义的一维冲激函数的乘积

5)

),(),(),( gdxdyyxyxg

)()(),( yxyx

),()(2exp yxdudvvyuxj

3 ．二维冲激响应函数 h(x,y)              －点扩展函数（ PSF ）

　　　      由于 h(x,y) 是当系统的输入为   函数或点光源时系统的输出，是对点光源的响应，因此称为点扩展函数。质量差的图像传输系统 h(x,y) 的作用将把图像中的一点弥散开来。 

),(),,,( yxyxh

4 ．空间不变性     当输入的单位脉冲函数延迟了    单位后，

 即对应于 x,y 平面中     处的点源              ,  其响应满足

则该系统称为空间不变系统。物理意义：输出仅在 x,y 方向移动了     单位，函数形状不变。

),( ),( yx

,

),,,(),(),( yxhyxyxh

,

5 ．卷积  对于二维线性位移不变系统，如果输入      ，输出          ,   则

由卷积积分的对称性，也可写成： 

),( yxf

),( yxg

),(),(

),(),(

),(),(

),(),(),(),(

yxhyxf

ddyxhf

yxf

ddyxfyxfyxg

ddhyxfyxg ),(),(),(

6 ．相关   1 ）  函数     的自相关函数    定义： 

       2 ）二个函数     和    的互相关函数定义： 

ddyxff

yxfyxfyxfyxfyxR ff

),(),(

),(),(),(),(),(

),( yxf

),( yxf ),( yxg

ddyxgf

yxgyxfyxgyxfyxR fg

),(),(

),(),(),(),(),(

  3 ． 2． 2    二维连续 Fourier 变换     一、一维 Fourier  ：   1 ．实变量函数 f(x) 是连续可积的，    即 :              ，且     是可积的，

    Fourier 变换对一定存在：          

    其中　 u ---- 频率

dxxf )( )(uF

duuxjuFxfuF

dxuxjxfuFxf

)2exp()()()(F

)2exp()()()( F

1-

2 ．一维 Fourier 变换的复数形式         

则 一维 Fourier 谱（幅值）              相角                      能量谱（功率谱） 

)()()()( )( ujIuReuFuF uj

2122 )()()( uIuRuF

)(

)(tan)( 1

uR

uIu

)()()()( 222uIuRuFuE

3 ．典型例子 ------ 门函数（矩形） 

Xx

XxAxf

0

0)(

uXjeuXu

AuF

)sin()(

)()sin(

)( uXAXSauX

uXAXuF

二、二维连续Fourier变换   条件：    是连续可积的，即          ，且     是可积的，Fourier变换对一定存在：

 

),( yxf

dxdyyxf ),(

),( vuF

dudvvyuxjvuFyxfvuF

dxdyvyuxjyxfvuFyxf

)(2exp),(),(),(

)(2exp),(),(),(

1- F

F

  变换的复数形式         

  二维谱（幅值）       相角   能量谱（功率谱） 

),(),(),(),( ),( vujIvuRevuFvuF vuj

2122 ),(),(),( vuIvuRvuF

),(

),(tan),( 1

vuR

vuIvu

),(),(),(),( 222 vuIvuRvuFvuE

例子 ------ 二维矩形体函数

以上推导利用了尤拉公式：  

YyXx

YyXxAyxf

,

0,0

0),(

vY

evY

uX

euXAXYvuF

uYjuXj

)sin()sin(

)( ，

),()sin()sin(

),( vuAXYSaVY

vY

uX

uXAXYvuF

)(2

1)sin( jxjx ee

jx

　再具体分析下面的付氏变换：

　上式表明：图像　　　可以看成是由无数正弦和余弦函数加权求和得到，加权因子为　　。 

dudvvyuxjvyuxvuF

dudvvyuxjvuFyxf

)(2sin)(2cos),(

)(2exp),(),(

),( yxf

),( vuF

　 3． 3  二维离散 Fourier 变换及其性质

　　　前节所分析的二维信号是在 X 轴和 Y 轴两个方向上空间连续的信号。然而，图像处理的信号往往不是这样的信号。常见的电视信号只在 625 条扫描行上才有取值，也就是说，该信号在 Y 轴方向上是离散的。为了得到二维离散信号，还要再在水平方向上抽样。 

　一、一维 DFT　离散 --- 对连续函数　　的采样，采样间隔　，采样点数　，则离散函数　　　　　  　式中　一维 DFT对： 

)(xf x

N )()( 0 xxxfxf

1,...,2,1,0 Nx

1

0

1

0

2exp)()(

2exp)(1

)(

N

u

N

x

NuxjuFxf

Nuxjxf

NuF

说明几个概念：1）　和　 都是离散序列。              表示取自相应连续函数的任意 N个等间隔抽样值；                ，当          的值对应于在                        处的连续变换的抽样值。2）频域采样间隔  与空域采样间隔  的关系：   3 ） DFT 总是存在的，不必考虑连续 FT的绝对可积条件。4 ） DFT的   和   都是周期性函数（周期为 N）。在实际应用中，取一个周期，则   和   是有限长度 N的序列。

)(xf )(uF )1(),....,2(),1(),0( Nffff

)()( 0 uuuFuF 1,....,2,1,0 Nu

uNuuuuuu )1(,....,2,, 0000

u x

xNu 1

)(xf )(uF

)(xf )(uF

二、二维 DFT

  由一维推广：

 若 M=N 讨论时：

     其中：   

1

0

1

0

1

0

1

0

)(2exp),(),(

)(2exp),(1

),(

M

u

N

v

M

x

N

y

Nvy

MuxjvuFyxf

Nvy

Muxjyxf

MNvuF

1

0

1

0

1

0

1

02

)(2exp),(),(

)(2exp),(1

),(

N

u

N

v

N

x

N

y

NvyuxjvuFyxf

Nvyuxjyxf

NvuF

1,....,2,1,0,;1,...,2,1,0, NyxNvu

说明：

　 1）    和     都是离散值，且是周期性函数（二维锥体，周期 N）

　 2）正反变换常数取法不一，多为各取

　 3 ）付氏谱，相位，功率谱表达式与连续时一样，只不过所有变量为离散值。 

),( vuF ),( yxf

N1

三、二维 DFT的性质　　 1．线性性：　　 　　　　；　　　　　　；　　　　则    　　　　　　　　　　　　　　　　　　其中　　为常数 　　 2．变换的可分离性：　　　由二维 DFT的公式：正反变换核可以分解成只含　　和　　的两个指数函数的乘积，于是其相应的二维 DFT可以分离成两次一维 DFT的乘积，因此可将二维 DFT分解为二步进行，每一步都是一维 DFT。 

),(),( 11 vuFyxf ),(),( 22 vuFyxf

),(),(),(),( 2121 vubFvuaFyxbfyxaf F

ba,

ux vy

3 ．平移性：　　若　　　　　　，则平移性可由下式给出：

　上式的物理意义：     指数项乘    并取其乘积的变换，使频率平面的原点移到点     ；    指数项乘       并取其乘积的反变换，使空间平面的原点移到点       。 

),(),( vuFyxf

NvyuxjvuFyyxxf

vvuuFNyvxujyxf

)(2exp),(),(

),()(2exp),(

0000

0000

),( yxf

),( 00 vu

),( vuF

),( 00 yx

  若取           则 

    此时将      的付氏变换的原点移到相应    频率方阵的中心。

   注意：    的移动并不影响它的付氏变换的幅度：

   结论： DFT的平移性只是相移，幅值不变。 

200 Nvu

yxyxjNyvxuj

)1()(exp)(2exp 00

)2

,2

()1)(,(N

vN

uFyxf yx

),( yxf NN

),( yxf

),()(2exp),( 00 vuFNvyuxjvuF

4 ．周期性和共轭对称性：1）周期性    　物理意义： DFT的正反变换具有 N 周期性，应用中只需取一个周期。在空间域中，　　也有相似的性质。2）共轭对称性          　　　　　其谱  　物理意义：　　是以中心对称的图形 ,计算　　只要求右半个周期，计算量减少。

),(),(),(),( NvNuFNvuFvNuFvuF

),( yxf

),(),( vuFvuF ),(),( vuFvuF

),( vuF ),( vuF

5 ．旋转不变性　　　　引入极坐标       　及       　

　　则　　　　　　无论在连续的或离散的付氏变换对中用直接代入方法可以证明　　　　　　　，　说明：如果　　被旋转　，则　　也被旋转了同一角度；类似地，如果　　被旋转　，则　　也被旋转了同一角度。

sin

cos

y

x

sin

cos

y

u

),(),(

),(),(

FvuF

fyxf

),(),( 00 Ff

),( yxf 0 ),( vuF

),( vuF 0 ),( yxf

6 ）分配性和比例性　分配性    与　　对加法可以分配，而对乘法则不行。　　比例性   设　　　　　　，　　为标量，　　　　　则　　　　　　　　；　　　　　　　　

说明：空间比例尺展宽，对应于频域比例尺压缩。 

F 1-F

),(),( vuFyxf ba,

),(),( vuaFyxaf ),(1

),(b

v

a

uF

abbyaxf

7）均值  二维离散函数平均值定义 

     　将　　　　　代入式：  

　　得    　　　　　　因此：    

　上式表示：均值等于　变换的原点值。 

1

0

1

02

),(1

),(N

X

N

Yyxf

Nyxf

0vu

1

0

1

0

)(2exp),(1

),(N

x

N

yN

vyuxjyxfN

vuF

1

0

1

0),(

1)0,0(

N

x

N

yyxf

NF )0,0(

1),( F

Nyxf

F

8）微分性质   　二变量函数　　的拉普拉斯（ Laplacian）算子定义为

   　按照二维付氏变换的定义可得拉氏算子的　变换

  拉普拉斯算子通常用于检测图像轮廓的边缘。 

),( yxf

2

2

2

22 ),(

y

f

x

fyxf

),()()2(),( 2222 vuFvuyxf

F

F

9）卷积和相关       　卷积定理和相关定理主要研究：（ 1）二个函数　　和　　的付氏变换关系；（ 2）空域与频域关系   二维连续函数　　和　　卷积定义       　二维卷积定理：　　　　　　，　　　　　，则

　作用：利用卷积定理可避免直接求卷积，可先求　　　　　相乘　　　　　得卷积值。 

),( yxf ),( yxg

ddyxgfyxgyxf

),(),(),(),(

),(),( vuFyxf ),(),( vuGyxg

),(),(),(),(

),(),(),(),(

vuGvuFyxgyxf

vuGvuFyxgyxf

F 1-F

),( yxf ),( yxg

二维离散函数和卷积　　注意问题：因离散付氏变换和反变换都是周期性函数，卷积（相关）要避免交叠误差，必须对离散函数定义域扩展（增 0方法）。

　设离散函数　　　  定义域   　　　　 AXB阵列

　 离散函数        定义域            CXD 阵列

     定义域扩展           用增 0方法扩充二个新

   二维离散函数（ MXN阵列）

),( yxf

10

10

By

Ax

),( yxg

10

10

Dy

Cx

1

1

DBN

CAM

二维离散卷积定理    

            为离散值 

1,10

10,10),(),(

NyBMxA

ByAxyxfyxfe

1,10

10,10),(),(

NyDMxC

DyCxyxgyxge

),(),(),(),(

),(),(),(),(

vuGvuFyxgyxf

vuGvuFyxgyxf

eeee

eeee

vuyx ,,,

二维相关定理     　　二维连续函数　　和　　相关定义

　　二维离散函数相关定理　　　　　　　　　　　， 　　　  　　则

         　　　　　　　　“ *”表示复共轭

),( yxf ),( yxg

ddyxgfyxgyxf

),(),(),(),(

),(),( yxfyxf e ),(),( yxgyxg e

),(),(),(),(

),(),(),(),(

vuGvuFyxgyxf

vuGvuFyxgyxf

eeee

eee

　　　在图像处理中相关主要应用于模板或者原型匹配方面，在给定的未知图像和已知的原始图像集之间求最紧密的匹配。解决这个问题的一个途径是计算未知的和每一个已知图像之间的相关。然后，选取使相关函数具有最大值的图像，从而就找到了最紧密的匹配。 

四、应用付氏变换注意问题　　 1）付氏变换缺点： 付氏变换是由复指数函数构成正交集，比实数计算（ DCT、 DWT、 DHT）费时；收敛性慢。　　 2 ）付氏变换谱能量集中（主要低频部分），衰减快，但显示不清楚。若定义一个函数：　　    更有利于对付氏变换的视觉理解。    3 ）快速算法（ FFT） -- 基 2—算法（ N为 2整数幂）　　　基本算法（“蝶形”运算）：　　　　　按时间抽取算法 *；按频率抽取算法

)v)F(u,log(1v)D(u,

　　五、 FFT　　 1）         概述　一维：        

　　对于每个　： N 次复数乘法， N-1次复数加法；　对于 N个　：　　次复数乘法， N（ N-1 ）次复数加法。因而，普通 FT 计算量与　　正比，当N 很大时，计算量非常大。　　 1965年库利提出了 FFT算法，复数乘法和加法正比于　　　　，当 N 很大时，计算量显著减少。 

1

0

2exp)(1

)(N

xN

uxjxfN

uF 1,...,2,1,0;1,...,2,1,0 NuNx

uu 2N

2N

NN 2log

2） FFT基本原理（ N为2的整数幂算法）---按时间抽取   一维：                               （ 1）  把式（1）表示成                      （ 2）          其中                           （ 3）  并且假定 N满足                        （ 4）  其中是正整数，在这个基础上， N可以写成                                       （ 5）  其中 M也是正整数。 

1

0

2exp)(1

)(N

xN

uxjxfN

uF

1

0)(

1)(

N

x

uxNWxf

NuF

N

jWN2exp

nN 2

MN 2

把式（ 5）代入式（ 2）得到                                           （ 6） 因为由式（ 3）          ，  式（ 6）可以表示成                                          （ 7）

如果我们定义：                                                    （ 8）                                                                 （ 9）其中：                     。

1

0

12(2

1

0

)2(2

12

02 )12(

1)2(

1

2

1)(

2

1)(

M

x

xuM

M

x

xuM

M

x

uxM Wxf

MWxf

MWxf

MuF ）

uxM

uxM WW 2

2

1

02

1

0)12(

1)2(

1

2

1)(

M

x

uM

uxM

M

x

uxM WWxf

MWxf

MuF

1

0)2(

1)(

M

x

uxMWxf

MuF偶

1

0)12(

1)(

M

x

uxMWxf

MuF奇

1,...,2,1,0 Mu

由此，式（ 7）变成                                   （ 10）又因为            和           ，由式 (8),(9),(10) 可得结论：                                （ 11）   式 (8)-- 式 (11) 表示： N点变换可以通过原始表达式分成式 (10) 和式 (11) 的两个部分加以计算。                             前一半的计算要求计算式 (8) 、式 (9)给出的两个  点变换，然后计算式 (10) ，求得对   的   。另一半可以直接从式 (11)得到，用不着额外求变换的值。 

u

MWuFuFuF 2)()(2

1)( 奇偶

uM

MuM WW u

MMu

M WW 22

u

MWuFuFMuF 2)()(2

1)( 奇偶

)(uF

2

N )12

(,...,2,1,0 N

u

)(uF

3 ）逆 FFT

            

                  （付氏正变换形式） 

1

0

2exp)()(N

uN

uxjuFxf

两边求共轭

1

0

2exp)()(N

uN

uxjuFxf

N两边除

1

0

2exp)(1

)(1 N

uN

uxjuFN

xfN

3 ． 4     离散图像变换的一般表达式

1）代数表达式： 

                          

             和         分别为正反变换核。  特点：（ 1 ）不同的      和      决定不同变换；        （ 2）如               及                  称为可分离的。如付氏变换：        

1

0

1

0

1

0

1

0

),,,(),(),(

),,,(),(),(

N

u

N

v

N

x

N

y

vuyxhvuTyxf

vuyxgyxfvuT

),,,( vuyxg ),,,( vuyxh

),,,( vuyxg ),,,( vuyxh

),(),(),,,( 21 vyguxgvuyxg ),(),(),,,( 21 vyhuxhvuyxh

NvyjN

uxje

Ne

Nvyguxgvuyxg

2221

11),(),(),,,(

(3) 如  与   ,   与  函数形式上相同 --- 加法对称

 2）矩阵表达式  设数字图像    是实数方阵 (NXN), 变换核  和       是可分离和加法对称。图像变换的矩阵表达式为                           其中 P和 Q是变换矩阵 (NXN) 。   设 P和 Q是满秩矩阵 (即满足条件 A是方阵且      ), 则一定是可逆矩阵，式        分别用    左乘和   右乘，得        说明：数字图像能从它的反变换中完整恢复。 

1g 2g 1h 2h

),( yxf ),,,( vuyxg

),,,( vuyxh

PfQF 0A

PfQF 1P 1Q 11FQPf

3.5  离散 Walsh 变换及离散 Hadamard变换3.5.1    一维 Walsh 变换   设      ，    的离散 Walsh 变换记作正变换核：                    ；

  反变换核：                    ；

   其中：  是 z的二进制表示的第 k位 ,如        ，则       ，     ，     。 

nN 2 )(xf

1

0

)()( 1)1(1

),(n

i

ubxb ini

Nuxg

1

0

1

0

)()( 1)1()(1

)(N

x

n

i

ubxb inixfN

uW

1

0

)()( 1)1(),(n

i

ubxb iniuxh

1

0

1

0

)()( 1)1()()(N

u

n

i

ubxb iniuWxf

)(zbk 6,3 zn

0)(0 zb 1)(1 zb 1)(2 zb

说明：1） Walsh 变换正、反变换核是一样的，是 +1 或 -1的组合     2 ） Walsh 变换本质上是将序列   各项值的符号按一定规律改变，进行加减运算。  3）变换核矩阵表示是对称的，正交矩阵

　　 如 M=4 时   　　　　　　　

　各元素关于主对角线对称 ,行与列正交 (      ) 。 

)(xf

MITMGMGMG

TMG

1111

1111

1111

1111

G

1T GG

3 ． 5． 2    二维 DWT

说明： 1）正、反变换核一样；      2 ）对称可分离（二维 ----两次一维）；      3 ） FWT 类似 FFT，令       ；      4 ）矩阵表示         ；          5 ）二维 DWT具有某种能量集中，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，可以压缩图像信息。 

1

0

1

0

1

0

)()()()(

1

0

1

0

1

0

)()()()(

11

11

)1(),(1

),(

)1(),(1

),(

N

u

N

v

n

i

vbybubxb

N

x

N

y

n

i

vbybubxb

iniini

iniini

vuWN

yxf

yxfN

vuW

1NW

GfGN

1W

2 GWGf

3 ． 5． 3   离散 Hadamard变换（ DHT）    1 ． DHT的特点：       1 ） DHT与 DWT 都是 +1 、 -1 正交函数系，区别在于正、反变换核的行和列的次序不同；       2 ） DHT具有递推关系，高阶矩阵可用二个低阶矩阵的直积得到。

    2 ．一维 DHT 

 递推关系： (H变换核 )        ,           ,             ,…,

1

0

)()(

1

0

)()(

1

0

1

0

)1)(()(

)1)((1

)(

N

u

ubxb

N

x

ubxb

n

iii

n

iii

uHxf

xfN

uH

11

11H2

22

224 HH

HHH

44

448 HH

HHH

NNNN

2N HH

HHH

3 ．二维 DHT            可分为二步一维的 DHT，矩阵表示为

                           G为 H变换核）   GfGH2

1

N

3． 6    离散余弦变换（DCT）   一、一维 DCT       DCT的核矩阵                                         k(行 )、 n(列 )=0,1,2,….,N-1  其中                      是一个正交矩阵，  但不是对称矩阵。而反变换矩阵根据正交性即为 

                                   n（行）、 k（列） =0,1,2,….,N-1  注意：除了行、列序号互换外，形式上与正变换完全一样。 

NNN

knkc

N

2

)12(cos)(

2 C

1,...,2,11

021)(

Nk

kkc C

NNN

knkc

N

2

)12(cos)(

2 T1 CC

二、二维 DCT的定义与计算     数字图像     可看成一个 MXN的矩阵，借助于二维 DCT，可以将图像从空间域（即 mn平面）变换到 DCT 域（即 kl平面）。二维 DCT为：

1,....,2,1,02

)12(cos)()(

2)(

1

0

Nk

N

knnxkc

NkF

N

n

1,....,2,1,02

)12(cos)()(

2)(

1

0

Nn

N

knkFkc

Nnf

N

n

),( nmf

1,...,2,1,0;1,....,2,1,02

)12(cos

2

)12(cos),()(

2)(

2

2

)12(cos

2

)12(cos),()()(

2),(

1

0

1

0

1

0

1

0

NlMkM

km

N

lnnmflc

Nkc

M

N

ln

M

kmnmflckc

MNlkF

M

m

N

n

M

m

N

n

     二维 DCT实际上可分解为两个一维 DCT。 

    IDCT也是可分离的。

1,...,2,1,0;1,....,2,1,0

2

)12(cos

2

)12(cos),()()(

2),(

1

0

1

0

NnMm

N

ln

M

kmlkFlckc

MNnmf

M

k

N

l

3 ． 7   离散卡 -洛（ K-L）变换  离散 K-L变换是根据图像的统计特性进行的正交变换，又称 Hotelling变换或主元分析。  在图像集合      中的每个图像      可以用堆叠方式表达成 MN维向量    

   其中   是集合中第 i帧图像第 j 行元素排成的列向量。

),( nmfi ),( nmfi

if

1Mi,

i,1

i,0

i

f

f

f

f

)1,(

)1,(

)0,(

Njf

jf

jf

i

i

i

ji,f

ji,f

    向量的协方差矩阵定义为其中          是  的平均值向量，  表示求统计平均的运算。在 L 帧图像组成的集合中，

      

上述平均值向量    是 MN维的，而    阵是 MN 阶方阵。 

f Tfff mfmfEC

fEm f f E

L

iL

1

1if fm

Tff

Tii

Tfff mmffmfmfC

L

i

L

iLL

11

11

fm fC

设   和  ，      ，是  的特征向量及其相应的特征值，因此，      =       对各实特征向量  进行归一化处理后，就得到了卡 -洛变换的变换矩阵   ，其第 i行元素由特征向量   构成，即                       且           

显然，   是一个 MN 阶正交矩阵。 

ia

i MNi ,...,2,1 fC

MN ...21

fC ia i

ia

MNi ,...,2,1

ia

ATia

TMN

T2

T1

a

a

a

A

ji

ji

0

1i

Ti aa

A

离散 K-L变换可以表达为        变换后  的平均值向量  为      而变换  后的协方差矩阵 

因此，        =                 =       

)mA(fg f

g gm

1 MN0AmfEA)mA(fEgEm ffg

g gC

T

fTT

ff

TTff

Tffg

AACA)m)(fm(fA

A)m)(fmA(fAmAfAmAfC

E

EE

Tfg AACC MN21f

TMN

T2

T1

aaaC

a

a

a

MNf2f1f

TMN

T2

T1

aCaCaC

a

a

a

=                     =

最后得到 

  这表明，经 K-L变换后，中的各个元素之间是不相关的；  中的第 i个元素的方差，就是   的第 i个特征值  。离散 K-L 反变换式： 

MN21

TMN

T2

T1

aaa

a

a

a

MN

21

MN

00

00

00

21

MN21

TMN

T2

T1

aaa

a

a

a

gCΛ

MN

00

00

00

21

gg

fC

i

fT mgAf

3.*   哈尔（ HARR）变换

付氏变换的基函数间仅是频率不同； 哈尔变换是使用哈尔函数作为基函数的对称、可分离变换。要求 N为 2的整数次幂。

哈尔函数在尺度（宽度）和位置上都不同。因此，哈尔变换具有尺度和位置双重属性。这种属性使得它不同于前述的其它变换，是讨论小波变换的一个起点。

哈尔函数的定义：　　由于哈尔函数在尺度和位置两个方面都可变化，所以基函数的索引必须要有双重索引的机制。　　哈尔函数定义在 [0,1]区间，令整数　　　　由其它两个整数 p和 q 唯一决定，即：

注意： k不仅是 p和 q的函数，而且 p和 q也是 k的函数。对于任意 k>0，　是使　　的 2的最大幂，而 q-1  是余数。

12 qk p

10 Nk

kp 2p2

哈尔函数定义为：

且N

xh1

)(0

otherwise

qx

q

qx

q

Nxh

ppp

ppp

k

0

222

1

2

22

1

2

12

1)( 2

2

　则可以产生一组基函数，这些基函数在尺度（宽度）和位置上都有所变化。索引 p规定了尺度，而 q决定了平移量。

1,...,2,1,0 NiforN

ix

哈尔变换的 8*8 核矩阵

22000000

00220000

00002200

00000022

22220000

00002222

11111111

11111111

8

1rH

哈尔变换的基图像

特点：1）虽然基函数可以由单一的索引 k来决定，但它们都由索引 p和 q规定的尺度 /位置双重属性。2）假设在信号中沿 x轴的某一位置有一个特征（如一条边），则付氏变换可以按照平移理论将这个位置编码到相位谱中。尽管这个特征的位置可以唯一地被确定，并通过付氏变换完全恢复，但它在谱中并不能很直观地显示出来。而哈尔变换能直接地反映线和边，这是由于它的基函数有类似的这些特征。

     我们知道，如果一个信号，或信号中的一个部分可以近似地匹配上某个基函数，则在变换后，会产生一个对应那个基函数的较大的变换系数。由于基函数是正交的，则这个信号对应其它的基函数产生较小的系数。这样，哈尔变换可以给出一些线和边的尺寸和位置信息。例：在 N=8时的基图像的右下象限部分可以用来搜索图像中不同位置的小特征。

几种变换的特点和应用范围

DFT ：具有快速算法，数字图像处理中最为常用。需要算数运算。可把整幅图像的信息很好地用于若干个系数来表达。

DCT ：有快速算法，只要求实数运算。在高相关性图像的处理中，最接近最佳的 KL变换，在实现编码和维纳滤波时有用。同 DFT一样，可实现很好的信息压缩。

哈达玛变换：在图像处理算法的硬件实现时有用。在图像数据压缩、滤波、编码中有用。信息压缩效果好。

HARR 变换：非常快速的一种变换。在特征抽取、图像编码、图像分析中有用。信息压缩效果平平。

KL变换：在许多意义下是最佳的。无快速算法。在进行性能评价和寻找最佳性能时有用。对小规模的向量有用，如彩色多谱或其他特征向量。对一组图像集而言，具有均方差意义下最佳的信息压缩效果。

3 ． 8   小波变换（ Wavelet Transform）3.8.1  概述       小波分析是上世纪 80 年代中后期逐渐发展真正起来的一个数学分支，在信号处理、图像处理、模式识别等众多领域得到应用，被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。　　

　一、    传统变换方法的局限性   　　　 1）  对瞬态和局部信号分量的分析性能不佳：以付氏变换为例，其正交基函数是正弦信号（等幅震荡；两个方向上无限延伸），而瞬态信号只在很短的间隔上是非零的，同样，图像中的许多重要特征（如边缘）在空间位置上都是高度局部性的。因而这些瞬态或局部信号和付氏的任何基函数都毫无相似之处，不能由其变换系数紧致地表示。

　 2）时 -- 频和空 --频局部化：有时需要将信号在时域和频域中的特性或图像在空域和频域中的特性结合起来进行分析。如要了解图像的哪一部分含有高频分量，或者信号的哪一段的频率分量分布情况等，传统变换方法无法解决。　　　

　二、    关于小波变换　　　从以前的讨论可知，不管是连续的或者离散的变换，变换中的每个系数都是取待变换的函数和相应的基函数的内积的形式，这就使函数中所含有的和基函数相同的分量有较大的系数，因此，从某种意义上说，每个系数的大小，反映出待变换的函数和相应的基函数的相似程度。同样，在进行反变换时，则是由经过变换系数加权的基函数相加恢复出原来的信号或图像。这说明：采用和信号或图像中可能所含的分量相似的基函数进行变换，具有潜在的价值。

　　　小波变换具有空间—频率局部性、方向性、多分辨率性等优点，并与视觉特性接近，因而对图像处理，尤其是图像变换编码十分有用。

3． 8． 2 连续小波变换（积分小波变换）　　定义：给定实函数　　　，若其付氏变换　　满足以下允许条件

 　则称　　为基本小波。 

)(x )(Ψ

dC2)(

)(x

　　　　　注意，由于是　在积分式的分母上，所以必须有    　　　　　　同时也可得到    　　所以上述基本小波的幅频特性和带通滤波器的转移函数非常相似。实际上，任何随着频率的增加衰减足够快的带通滤波器，其具有零均值的冲激响应都可作为基本小波使用。 

0)(0)0(

dxx

0)(

　　对　　进行平移和伸缩，可得到一个小波基函数集合

　　　式中，　　为实数，且　　。变量　反映了一个具体基函数的伸缩尺度（宽度）；　表示其沿　轴平移的位置。通常基本小波　　以原点为中心，因此　　　的中心位于　　　。　　　函数　　以小波　　为基的连续小波变换：

　　　小波变换的系数以被变换的函数和每一个基函数的内积形式给出。 

)(x )(, xba

)(1

)(, a

bx

axba

ba, 0a ab

x )(x)(, xba bx

)(xf )(x

dxxxffbaW babaf )()(,),( ,,

连续小波逆变换为

              二维连续小波变换可定义为：

式中             　　　　　为二维基本小波。

二维连续小波反变换为

0,2

)(),(11

)( dbdaxbaWaC

xf baf

dxdyyxyxffbbaW

yxyx bbabbayxf ),(),(,),,( ,,,,

),(1

),(,, a

by

a

bx

ayx

yxbba yx

0,,3

),(),,(11

),( dadbdbyxbbaWaC

yxf yxbbayxf yx

3 ． 8． 3   二进小波变换      一个基本小波通过伸缩和平移构成一组基函数。二进小波约束条件：通过对基本小波    的二进伸缩（以 2的因子伸缩）和二进平移来构成基函数。     定义： 一个函数   是正交小波，如果它的函数集合        定义为：        

   其中            为整数，并且它构成    中的正交归一基。整数   决定伸缩而 k决定平移幅度。

)(x

)(x )(, xkj

)2(2)( 2, kxx jjkj

kj, )(2 RL

j

二进小波变换系数为 

dxkxxfxfC jj

kjkj )2()(2)(, 2,,

j kkjkj xCxf )()( ,,

3 ． 8． 4   多分辨率分析（ MRA）和 Mallat算法0. 前面内容总结：　任何一个事物都对应着多个描述空间（从不同角度观察），每个描述空间都由自身的特征描述基构成，若这些特征基可以描述出 S中不同事物，则称特征基在 S中是完备的。若这些特征基两两之间不相关，则称其为正交。当然完备并不要求正交，正交的好处在于每个特征基上描述的信息和其他特征基不相关。从而消除了信息的冗余（部分重复）表示。  因此，我们可以将事物在 A描述空间上的特征转为在 B空间（也成变换域）的特征，从而更符合于我们的观察或认知角度。  

　以图像来说明建立空间特征基和小波变换的关系设有一幅图像，从不同分辨率考察。若我们离很远来看，可能会把每 64个点看作一个点，若记此时构成的描述空间为 V0.若走进一些，把16个点看作一个点，记此时构成的描述空间为 V1若再走进一些，把4个点看作一个点，记此时构成的描述空间为 V2若再走进一些，把1个点看作一个点，记此时构成的描述空间为 V3

　则可知凡是 Vi 空间内可以描述的图像， Vi+1 空间内皆可描述 ,并且描述的更细致故 Vi包含于 Vi+1 空间 

　记 Vi+1=Vi+Wi , 即 Vi 和 Wi构成 Vi+1 空间。（若 Vi⊥Wi  ，则 Wi 为 Vi 的正交补空间，实际应用中不要求一定正交。） ( ⊥  正交 )则 Vi+1=Vi+Wi=Vi-1+Wi-1+Wi=……　记 Pi 为图像在 Vi 空间的描述则 Di= Pi+1 - Pi 就表示了图像在这两个描述空间的细节差异，因为 Vi+1=Vi+Wi ，故 Di 为图像在 Wi 空间上的描述。即 Wi 空间表述了细节差异。如果 Wi⊥Wj, 并且在 Wj空间中能找到一组正交标准基，其基本函数必是带（高）通的，就称其为小波函数。Wi⊥Wj正交，即为不同分辨率下的细节差异不相关，从而消除冗余。 

1 ．   多分辨率分析（ MRA： Multi-resolution Analysis）的基本思想：      将原始信号分为不同分辨率的几个信号，然后选择合适的分辨率或者同时在各级分辨率上处理此信号。      图像中的物体是以不同的尺度出现的。以一条边缘为例，它可能是一条从黑直接变成白和陡峭边缘，也可能是一条跨越相当距离的缓变边缘。图像表示和分析中的多分辨率方法就是基于这种考虑。这种多分辨率分析方法，可以地图为例加以说明。

      地图通常是以不同尺度绘制，其尺度就是实际距离和图上距离之比。在大尺度的地图上，如世界地图，可以看到大陆和海洋等，而城市街道等细节则超出了其分辨率的范围。在较小的尺度的地图上，细节是可见的，但大的特征则丢掉了。所以，为了能够达到目的地，通常需要一套以不同尺度绘制的地图。小波变换主要是沿着多分辨率分析这条路线发展的。      基本小波    被伸缩为     (      时变宽，而      　时变窄 ) 以构成一组基函数。在大尺度  上，膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的   ，它们则寻找细节信息。     教材 P73讨论了多分辨率逼近的性质。 

)(x )( ax 1a

1a aa

     要使形如                   的函数系能叠加出所有能量有限的信号（即信号空间是    ），人们发现     必须是带通函数，直流分量为零。注意式中是双下标，第一个下标表征尺度，第二个下标代表位移。固定尺度   的部分函数                叠加出小波空间    。    每个空间在统计意义下各自占据了一个带通范围，大体相当于                           ，合起来完成对频率域的分割。 

)2(2)( 2, kxx jjkj

)(2 RL

)(x

j}:{ , Znkj

jW

]2,2[]2,2[ 11 jjjj

      什么是 MRA？它是在    空间一串从无到有、逐级精细、最终逼近的    子空间串    ，即

     且               和              。  它们是逐级扩大的一串低通空间。这些空间是由一个尺度函数生成的：每个    是由对应尺度的函数系                线性叠加出来的。每相邻两个空间    和    相差一个带信号空间    ，其带通是                       。可以证实一定有一个函数      ，它的   阶伸缩平移系               线性叠加出   。 

)(2 RL

)(2 RL }{ jV

)(21 RLVV jj

)(2lim RLV jj

}0{lim

jj

V

jV

});({ , Zkxkjj

jV 1jV jW]2,2[]2,2[ 11 jjjj

)(x j2}:{ , Znkj jW

   如何算出这个小波     ?尺度空间的嵌套性    等价于一个双尺度方程，尺度函数满足方程                                    （ 1）

  对它右端系数变号重排就叠加出小波                                                （ 2）

  这是由     酉矩阵结构导出来的，“  ”表示  的复共轭。  似乎只要任意用一些系数设计一个方程（ 1）就可以构造小波基了。其实不然！

)(x 10 VV

n

n nxcx )2()(

n

nn nxcx )2()1()( 1

22 c c

  问题：式（ 1）的解是否存在？即使存在，它能不能张成整个空间      ？衡量小波的指标（高消失矩即波动性越多越好、正则性即越光滑越好、局部性即衰减性越快越好）如何反映到（ 1）当中？这些问题很重要，但又很难回答。      所幸的是，对实际信号处理，并不需要直接介入这些，直接从离散小波入手—只要掌握小波分解对应的两个数字滤波器就可以用小波了。  

)(2 RL

     2 ． Mallat算法  因为     是    的低通逼近，任何信号   自然可以近似为

        大体可以把       看成    按周期      的采样值。现在把    分解到信号空间    和细节信号空间    上；再对    重复往下分解；这个过程倒过来就是小波的恢复算法。它们在离散形式表现很简单。不过要先引入一对滤波器：                              （ 3）                              （ 4）

1jV )(2 RL )(xf

kkjkj xCxf )()( ,1,1

kjC ,1 )(xf 12 j

1jV jV

jW jV

dxxkxgk )()2(2 21

dxxkxhk )()2(2 21

   这不过是式（ 1）和（ 2）右端系数的复共轭。自然就继承了关系：

所有的算法就靠这对滤波器。把    分解到    和    的过程描述为                                              （ 5）  首先考虑分解算法。在式（ 5）两端乘以       或      再来做积分（注意正交性），就能求出右边的各个系数    

kk

k gh 1)1(

1jV jV jW k

kjkjk

kjkjk

kjkj xdxCxC )()()( ,,,,,1,1

)(, xlj)(, xlj

k

lkkjk

ljkjkjlj gCCC 2,1,,1,1, ,

k

lkkjk

ljkjkjlj hCCd 2,1,,1,1, ,

计算只用到变量代换。注意：滤波与取样率指标 没有任何关系。换言之，无论从哪层尺度空间出发，算法都一样。此外，投影 和 分别是低通和带通，所以， 和 分别是低通和带通滤波器。对恢复算法，推导类似。只要在式（ 5 ）的两端同乘以 再积分，就有

j

jj VV 1 jj WV 1

kg kh

)(,1 xlj

k

klkjklk

kjlj hdgCC 2,2,,1

•二维空间：可以用张量积的方式把一维小波变换自然推广到

二维空间。就是把不同空间方向的对象联合起来。 的多尺度空间就是 ，此时， 的 空间关系与 的空间关系 可推广成

就是说，每一个二维低通空间要分解成 4 个小空间，其空间特性是低与带通的组合（ 4 种可能性）。所得的全低通空间可以再往下分。恢复的时候也是仿照一维的进行。

)( 22 RLyj

xj VV )(2

xRLxj

xj

xj WVV 1 )(2

yRLyj

yj

yj WVV 1

)()()()(11yj

xj

yj

xj

yj

xj

yj

xj

yj

xj WWVWWVVVVV

下面给出一般性的二维 Mallat 算法：输入： 输出： ， ， ，步骤： 分解 ，

， 合成：

}{ ,lkc }{ )1(,nmC }{ )1(

,nmD }{ )2(,nmD }{ )3(

,nmD

lk

nlmklknm ggcC,

22,)1(,

lknlmklknm hgcD

,22,

)1(,

lk

nlmklknm ghcD,

22,)2(,

lknlmklknm ghhcD

,22,

)3(,

)

(

22)3(

,22)2(

,

22,

)1(,22,,

lnkmlklnkmlk

lnkmlk

lklnkmlknm

hhDghD

hgDggCc